Metoda Lagrangeove varijacije. Metoda varijacije proizvoljnih konstanti

06.12.202027.05.2017

Teoretski minimum
U teoriji diferencijalnih jednadžbi postoji metoda koja tvrdi da ima dovoljno visok stupanj univerzalnosti za ovu teoriju.
Riječ je o metodi varijacije proizvoljne konstante, primjenjivoj na rješavanje različitih klasa diferencijalnih jednadžbi i njihovih
sustava. To je upravo slučaj kada je teorija - ako izvučete dokaz tvrdnji iz zagrada - minimalna, ali vam omogućuje postizanje
značajne rezultate, pa će glavni fokus biti na primjerima.
Opća ideja metode je prilično jednostavna za formuliranje. Neka je zadana jednadžba (sustav jednadžbi) teško rješiva ili čak neshvatljiva,
kako to riješiti. Međutim, može se vidjeti da kada se neki pojmovi izuzmu iz jednadžbe, ona je riješena. Tada rješavaju upravo tako pojednostavljeno
jednadžba (sustav), dobivamo rješenje koje sadrži određeni broj proizvoljnih konstanti - ovisno o redoslijedu jednadžbe (broj
jednadžbe u sustavu). Tada se pretpostavlja da konstante u pronađenom rješenju zapravo nisu konstante, pronađeno rješenje
se supstituira u izvornu jednadžbu (sustav), dobiva se diferencijalna jednadžba (ili sustav jednadžbi) za određivanje "konstanti".
Postoji određena specifičnost u primjeni metode varijacije proizvoljne konstante na različite probleme, ali to su već detalji koji će se
prikazano primjerima.
Razmotrimo posebno rješenje linearnih nehomogenih jednadžbi višeg reda, t.j. jednadžbe oblika
.
Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe je zbroj općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe i posebnog rješenja
zadana jednadžba. Pretpostavimo da je opće rješenje homogene jednadžbe već pronađeno, odnosno da je konstruiran temeljni sustav rješenja (FSR)
. Tada je opće rješenje homogene jednadžbe .
Potrebno je pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednadžbe. Za to se smatra da su konstante ovisne o varijabli.
Zatim morate riješiti sustav jednadžbi
.
Teorija jamči da ovaj sustav algebarskih jednadžbi s obzirom na derivacije funkcija ima jedinstveno rješenje.
Prilikom pronalaženja samih funkcija, integracijske konstante se ne pojavljuju: na kraju krajeva, traži se bilo koje jedno rješenje.
U slučaju rješavanja sustava linearnih nehomogenih jednadžbi prvog reda oblika

algoritam ostaje gotovo nepromijenjen. Prvo morate pronaći FSR odgovarajućeg homogenog sustava jednadžbi, sastaviti temeljnu matricu
sustav, čiji su stupci elementi FSR-a. Dalje, jednadžba
.
Rješavajući sustav, određujemo funkcije , čime se nalazi određeno rješenje za izvorni sustav
(osnovna matrica se množi sa stupcem pronađenih značajki).
Dodajemo ga općem rješenju odgovarajućeg sustava homogenih jednadžbi, koji je izgrađen na temelju već pronađenog FSR-a.
Dobiva se opće rješenje izvornog sustava.
Primjeri.
Primjer 1 Linearne nehomogene jednadžbe prvog reda.
Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednadžbu (traženu funkciju označavamo s ):
.
Ova se jednadžba lako rješava odvajanjem varijabli:

.
Sada predstavljamo rješenje izvorne jednadžbe u obliku , gdje se funkcija tek treba pronaći.
Zamjenjujemo ovu vrstu rješenja u izvornu jednadžbu:
.
Kao što vidite, drugi i treći termin na lijevoj strani se međusobno poništavaju - to jest karakterističan metoda varijacije proizvoljne konstante.

Ovdje već - doista, proizvoljna konstanta. Tako,
.
Primjer 2 Bernoullijeva jednadžba.
Postupamo slično kao u prvom primjeru – rješavamo jednadžbu

metoda odvajanja varijabli. Ispostavit će se , pa tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku
.
Zamijenite ovu funkciju u izvornu jednadžbu:
.
I opet ima rezova:
.
Ovdje morate zapamtiti da se prilikom dijeljenja po, rješenje ne izgubi. I slučaj odgovara rješenju originala
jednadžbe. Sjetimo ga se. Tako,
.
Idemo pisati .
Ovo je rješenje. Prilikom pisanja odgovora treba navesti i ranije pronađeno rješenje, jer ono ne odgovara nijednoj konačnoj vrijednosti
konstante .
Primjer 3 Linearne nehomogene jednadžbe višeg reda.
Odmah napominjemo da se ova jednadžba može jednostavnije riješiti, ali je prikladno prikazati metodu na njoj. Iako neke prednosti
metoda varijacije proizvoljne konstante ima je i u ovom primjeru.
Dakle, trebate početi s FSR-om odgovarajuće homogene jednadžbe. Podsjetimo da bi se pronašao FSR, karakteristika
jednadžba
.
Dakle, opće rješenje homogene jednadžbe
.
Ovdje uključene konstante moraju se mijenjati. Sastavljanje sustava

Predavanje 44. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Metoda varijacije proizvoljnih konstanti. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima. (posebna desna strana).

Društvene transformacije. Država i Crkva.

Socijalnu politiku boljševika uvelike je diktirao njihov klasni pristup. Dekretom od 10. studenog 1917. ukinut je posjednički sustav, ukinuti su predrevolucionarni činovi, titule i nagrade. Utvrđen je izbor sudaca; izvršena je sekularizacija građanskih država. Utemeljen besplatno školovanje i zdravstvena skrb (dekret od 31. listopada 1918.). Žene su izjednačene u pravima s muškarcima (dekreti od 16. i 18. prosinca 1917.). Uredbom o braku uvedena je institucija građanskog braka.

Dekretom Vijeća narodnih komesara od 20. siječnja 1918. crkva je odvojena od države i od obrazovnog sustava. Velik dio crkvene imovine je zaplijenjen. Patrijarh moskovski i cijele Rusije Tihon (izabran 5. studenog 1917.) 19. siječnja 1918. anatemizirao je sovjetsku vlast i pozvao na borbu protiv boljševika.

Razmotrimo linearnu nehomogenu jednadžbu drugog reda

Struktura općeg rješenja takve jednadžbe određena je sljedećim teoremom:

Teorem 1. Opće rješenje nehomogene jednadžbe (1) predstavljeno je kao zbroj nekog posebnog rješenja ove jednadžbe i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe

Dokaz. Moramo dokazati da je zbroj

je opće rješenje jednadžbe (1). Dokažimo najprije da je funkcija (3) rješenje jednadžbe (1).

Zamjena zbroja u jednadžbu (1) umjesto na, imat će

Budući da postoji rješenje jednadžbe (2), izraz u prvim zagradama identično je jednak nuli. Budući da postoji rješenje jednadžbe (1), izraz u drugoj zagradi je jednak f(x). Dakle, jednakost (4) je identitet. Dakle, prvi dio teorema je dokazan.

Dokažimo drugu tvrdnju: izraz (3) je Općenito rješenje jednadžbe (1). Moramo dokazati da se proizvoljne konstante uključene u ovaj izraz mogu odabrati tako da su zadovoljeni početni uvjeti:

bez obzira na brojke x 0 , y 0 i (ako bi samo x 0 preuzeta je iz područja gdje je funkcija a 1, a 2 i f(x) stalan).

Primjećujući da je moguće predstaviti u obliku . Tada, na temelju uvjeta (5), imamo

Riješimo ovaj sustav i pronađimo Od 1 i Od 2. Prepišimo sustav kao:

Imajte na umu da je determinanta ovog sustava Wronskyjeva determinanta za funkcije 1 i u 2 u točki x=x 0. Budući da su ove funkcije linearno neovisne po pretpostavci, determinanta Wronskyja nije jednaka nuli; dakle sustav (6) ima definitivno rješenje Od 1 i Od 2, tj. postoje takve vrijednosti Od 1 i Od 2, za koji formula (3) određuje rješenje jednadžbe (1) koje zadovoljava zadane početne uvjete. Q.E.D.

Okrenimo se općoj metodi za pronalaženje pojedinih rješenja nehomogene jednadžbe.

Napišimo opće rješenje homogene jednadžbe (2)

Potražit ćemo određeno rješenje nehomogene jednadžbe (1) u obliku (7), s obzirom na Od 1 i Od 2 kao neke još nepoznate značajke iz X.

Razlikujemo jednakost (7):

Odabiremo željene funkcije Od 1 i Od 2 tako da je jednakost

Ako se ovaj dodatni uvjet uzme u obzir, tada prvi izvod poprima oblik

Sada razlikujemo ovaj izraz, nalazimo:

Zamjenom u jednadžbu (1) dobivamo

Izrazi u prva dva zagrada nestaju jer y 1 i y2 su rješenja homogene jednadžbe. Stoga posljednja jednakost poprima oblik

Dakle, funkcija (7) će biti rješenje nehomogene jednadžbe (1) ako su funkcije Od 1 i Od 2 zadovoljiti jednadžbe (8) i (9). Sastavimo sustav jednadžbi iz jednadžbi (8) i (9).

Budući da je determinanta ovog sustava determinanta Vronskog za linearno nezavisna rješenja y 1 i y2 jednadžba (2), onda nije jednaka nuli. Stoga ćemo rješavajući sustav pronaći obje određene funkcije x:

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo , odakle, kao rezultat integracije, dobivamo . Zatim, zamjenjujemo pronađene funkcije u formulu, dobivamo opće rješenje nehomogene jednadžbe, gdje su proizvoljne konstante.

Metoda varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeova metoda je još jedan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda i Bernoullijeve jednadžbe.

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda su jednadžbe oblika y’+p(x)y=q(x). Ako je desna strana nula: y’+p(x)y=0, onda je ovo linearna homogena Jednadžba 1. reda. Prema tome, jednadžba s desnom stranom različitom od nule, y’+p(x)y=q(x), — heterogena linearna jednadžba 1. reda.

Metoda proizvoljnih konstantnih varijacija (Lagrangeova metoda) sastoji se od sljedećeg:

1) Tražimo opće rješenje homogene jednadžbe y’+p(x)y=0: y=y*.

2) U općem rješenju, C se ne smatra konstantom, već funkcijom od x: C=C(x). Pronalazimo derivaciju općeg rješenja (y*)' i zamjenjujemo rezultirajući izraz za y* i (y*)' u početni uvjet. Iz dobivene jednadžbe nalazimo funkciju S(x).

3) U općem rješenju homogene jednadžbe umjesto C zamjenjujemo pronađeni izraz C (x).

Razmotrimo primjere metode varijacije proizvoljne konstante. Uzmimo iste zadatke kao u , usporedimo tijek rješenja i uvjerimo se da su dobiveni odgovori isti.

1) y'=3x-y/x

Prepišimo jednadžbu u standardnom obliku (za razliku od Bernoullijeve metode, gdje nam je oznaka bila potrebna samo da bismo vidjeli da je jednadžba linearna).

y'+y/x=3x (I). Sada idemo po planu.

1) Rješavamo homogenu jednadžbu y’+y/x=0. Ovo je jednadžba varijable koja se može odvojiti. Predstavite y’=dy/dx, zamjena: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Oba dijela jednadžbe pomnožimo s dx i podijelimo s xy≠0: dy/y=-dx/x. Integriramo:

2) U dobivenom općem rješenju homogene jednadžbe smatrat ćemo S ne konstantom, već funkcijom od x: S=S(x). Odavde

Rezultirajući izrazi zamjenjuju se u uvjet (I):

Integriramo obje strane jednadžbe:

ovdje je C već neka nova konstanta.

3) U općem rješenju homogene jednadžbe y \u003d C / x, gdje smo smatrali C \u003d C (x), odnosno y \u003d C (x) / x, umjesto C (x) zamjenjujemo pronađeni izraz x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x ili y=x²+C/x. Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernoullijevom metodom.

Odgovor: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Ovdje je jednadžba već napisana u standardnom obliku, nema potrebe za pretvaranjem.

1) Rješavamo homogenu linearnu jednadžbu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integriramo:

Da bismo dobili prikladniji zapis, uzet ćemo eksponent na stepen C kao novi C:

Ova transformacija izvedena je kako bi bilo prikladnije pronaći derivaciju.

2) U dobivenom općem rješenju linearne homogene jednadžbe smatramo S ne konstantom, već funkcijom od x: S=S(x). Pod ovim uvjetom

Rezultirajući izrazi y i y' zamjenjuju se u uvjet:

Pomnožite obje strane jednadžbe sa

Integriramo oba dijela jednadžbe pomoću formule integracije po dijelovima, dobivamo:

Ovdje C više nije funkcija, već obična konstanta.

3) U opće rješenje homogene jednadžbe

zamjenjujemo pronađenu funkciju S(x):

Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernoullijevom metodom.

Metoda varijacije proizvoljne konstante primjenjiva je i na rješavanje .

y’x+y=-xy².

Dovodimo jednadžbu u standardni oblik: y’+y/x=-y² (II).

1) Rješavamo homogenu jednadžbu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Pomnožite obje strane jednadžbe s dx i podijelite s y: dy/y=-dx/x. Sada integrirajmo:

Dobivene izraze zamjenjujemo u uvjet (II):

Pojednostavljenje:

Dobili smo jednadžbu s odvojivim varijablama za C i x:

Ovdje je C već obična konstanta. U procesu integracije, umjesto C(x), jednostavno smo napisali C, kako ne bismo preopteretili notaciju. I na kraju smo se vratili na C(x) kako ne bismo zamijenili C(x) s novim C.

3) Pronađenu funkciju S(x) zamjenjujemo u opće rješenje homogene jednadžbe y=C(x)/x:

Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernoullijevom metodom.

Primjeri za samotestiranje:

1. Prepišimo jednadžbu u standardnom obliku: y'-2y=x.

1) Rješavamo homogenu jednadžbu y'-2y=0. y’=dy/dx, dakle dy/dx=2y, pomnožite obje strane jednadžbe s dx, podijelite s y i integrirajte:

Odavde nalazimo y:

Zamjenjujemo izraze za y i y’ u uvjet (radi kratkoće, ubacit ćemo C umjesto C (x) i C’ umjesto C "(x)):

Da bismo pronašli integral na desnoj strani, koristimo formulu integracije po dijelovima:

Sada zamjenjujemo u, du i v u formulu:

Ovdje je C = konst.

3) Sada zamjenjujemo u otopinu homogene

Razmatrana je metoda rješavanja linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda s konstantnim koeficijentima metodom varijacije Lagrangeovih konstanti. Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe ako je poznat temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe.

Sadržaj

Vidi također:

Lagrangeova metoda (varijacija konstanti)

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu s konstantnim koeficijentima proizvoljnog n-tog reda:
(1) .
Metoda konstantne varijacije, koju smo razmatrali za jednadžbu prvog reda, također je primjenjiva na jednadžbe višeg reda.

Rješenje se provodi u dvije faze. U prvoj fazi odbacujemo desnu stranu i rješavamo homogenu jednadžbu. Kao rezultat, dobivamo rješenje koje sadrži n proizvoljnih konstanti. U drugom koraku mijenjamo konstante. Odnosno, smatramo da su te konstante funkcije nezavisne varijable x i pronalazimo oblik tih funkcija.

Iako ovdje razmatramo jednadžbe s konstantnim koeficijentima, ali Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe. Za to, međutim, mora biti poznat temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe.

Korak 1. Rješenje homogene jednadžbe

Kao iu slučaju jednadžbi prvog reda, prvo tražimo opće rješenje homogene jednadžbe, izjednačavajući desni nehomogeni dio s nulom:
(2) .
Opće rješenje takve jednadžbe ima oblik:
(3) .
Ovdje su proizvoljne konstante; - n linearno neovisnih rješenja homogene jednadžbe (2), koja čine temeljni sustav rješenja ove jednadžbe.

Korak 2. Varijacija konstanti - Zamjena konstanti funkcijama

U drugom koraku bavit ćemo se varijacijom konstanti. Drugim riječima, zamijenit ćemo konstante funkcijama nezavisne varijable x :
.
Odnosno, tražimo rješenje izvorne jednadžbe (1) u sljedećem obliku:
(4) .

Zamijenimo li (4) u (1), dobivamo jednu diferencijalnu jednadžbu za n funkcija. U ovom slučaju te funkcije možemo povezati dodatnim jednadžbama. Tada dobivate n jednadžbi, iz kojih možete odrediti n funkcija. Dodatne jednadžbe mogu se napisati na različite načine. Ali to ćemo učiniti na način da rješenje ima najjednostavniji oblik. Da biste to učinili, prilikom diferenciranja morate izjednačiti s nula pojmova koji sadrže derivate funkcija. Pokažimo ovo.

Za zamjenu predloženog rješenja (4) u izvornu jednadžbu (1), potrebno je pronaći derivacije prvih n redova funkcije zapisane u obliku (4). Razlikovati (4) primjenom pravila za razlikovanje zbroja i proizvoda:
.
Grupirajmo članove. Prvo, ispisujemo pojmove s izvedenicama od , a zatim pojmove s izvedenicama od :

.
Funkcijama namećemo prvi uvjet:
(5.1) .
Tada će izraz za prvu derivaciju u odnosu na imati jednostavniji oblik:
(6.1) .

Na isti način nalazimo drugu izvedenicu:

.
Drugi uvjet namećemo funkcijama:
(5.2) .
Zatim
(6.2) .
itd. Pod dodatnim uvjetima, članove koji sadrže derivacije funkcija izjednačavamo s nulom.

Dakle, ako odaberemo sljedeće dodatne jednadžbe za funkcije:
(5.k) ,
tada će prve izvedenice s obzirom na imati najjednostavniji oblik:
(6.k) .
ovdje .

Nalazimo n-tu izvedenicu:
(6.n)
.

Zamjenjujemo u izvornu jednadžbu (1):
(1) ;

.
Uzimamo u obzir da sve funkcije zadovoljavaju jednadžbu (2):
.
Tada zbroj članova koji sadrže daje nulu. Kao rezultat, dobivamo:
(7) .

Kao rezultat, dobili smo sustav linearnih jednadžbi za derivacije:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo izraze za derivacije kao funkcije od x. Integracijom dobivamo:
.
Ovdje su konstante koje više ne ovise o x. Zamjenom u (4) dobivamo opće rješenje izvorne jednadžbe.

Imajte na umu da nikada nismo koristili činjenicu da su koeficijenti a i konstantni za određivanje vrijednosti derivacija. Tako Lagrangeova metoda je primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe, ako je poznat temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe (2).

Primjeri

Jednadžbe rješavati metodom varijacije konstanti (Lagrange).

Rješenje primjera >> >

Vidi također: Rješenje jednadžbi prvog reda metodom konstantne varijacije (Lagrange)
Rješavanje jednadžbi višeg reda Bernoullijevom metodom
Rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda s konstantnim koeficijentima linearnom zamjenom

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti za konstruiranje rješenja linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

sastoji se u promjeni proizvoljnih konstanti c k u općoj odluci

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

odgovarajuća homogena jednadžba

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

na pomoćne funkcije c k (t) , čije derivacije zadovoljavaju linearni algebarski sustav

Determinanta sustava (1) je Wronskian funkcija z 1 ,z 2 ,...,z n , što osigurava njegovu jedinstvenu rješivost s obzirom na .

Ako su antiderivati za uzeti pri fiksnim vrijednostima konstanti integracije, onda je funkcija

je rješenje izvorne linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe. Integracija nehomogene jednadžbe u prisutnosti općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe tako se svodi na kvadrature.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti za konstruiranje rješenja sustava linearnih diferencijalnih jednadžbi u vektorskom normalnom obliku

sastoji se u konstruiranju određenog rješenja (1) u obliku

gdje Z(t) je osnova rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe, zapisana kao matrica, a vektorska funkcija , koja je zamijenila vektor proizvoljnih konstanti, definirana je relacijom . Željeno određeno rješenje (s nultim početnim vrijednostima pri t = t 0 ima oblik