Definizione di pari e dispari. Come determinare le funzioni pari e dispari

Zero di funzione
Lo zero della funzione è il valore X, in cui la funzione diventa 0, cioè f(x)=0.

Gli zeri sono i punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Oh.

Parità di funzioni
Viene chiamata una funzione anche se per qualsiasi X dal dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x) = f(x)

Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse UO

Funzione dispari
Una funzione è chiamata dispari se per qualsiasi X dal dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x) = -f(x) è soddisfatta.

Una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine.
Una funzione che non è né pari né dispari è chiamata funzione generale.

Incremento di funzione
La funzione f(x) è chiamata crescente se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore maggiore della funzione, cioè x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funzione decrescente
La funzione f(x) si chiama decrescente se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore minore della funzione, cioè x 2 > x 1 → f(x 2)
Vengono chiamati gli intervalli in cui la funzione diminuisce o solo aumenta intervalli di monotonia. La funzione f(x) ha 3 intervalli di monotonia:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Trova gli intervalli di monotonia usando il servizio Intervalli di funzioni crescenti e decrescenti

Massimo locale
Punto x 0è chiamato punto di massimo locale, se presente X da un intorno di un punto x 0 vale la seguente disuguaglianza: f(x 0) > f(x)

Minimo locale
Punto x 0è chiamato punto di minimo locale se esiste X da un intorno di un punto x 0 vale la seguente disuguaglianza: f(x 0)< f(x).

I punti massimi locali e minimi locali sono detti punti estremi locali.

x 1 , x 2 - punti estremi locali.

Periodicità delle funzioni
La funzione f(x) è detta periodica, con periodo T, se per qualcuno X f(x+T) = f(x) .

Intervalli di costanza
Gli intervalli in cui la funzione è solo positiva o solo negativa sono detti intervalli di segno costante.

f(x)>0 per x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Continuità di funzione
La funzione f(x) si dice continua nel punto x 0 se il limite della funzione come x → x 0 è uguale al valore della funzione in questo punto, cioè .

punti di interruzione
I punti in cui viene violata la condizione di continuità sono detti punti di discontinuità della funzione.

x0- punto di rottura.

Schema generale per le funzioni di plottaggio

1. Trova il dominio della funzione D(y).
2. Trova i punti di intersezione del grafico delle funzioni con gli assi delle coordinate.
3. Esaminare la funzione per pari o dispari.
4. Esaminare la funzione per la periodicità.
5. Trova gli intervalli di monotonia e i punti estremi della funzione.
6. Trova gli intervalli di convessità e i punti di flesso della funzione.
7. Trova gli asintoti della funzione.
8. Sulla base dei risultati dello studio, costruire un grafico.

Esempio: Esplora la funzione e costruisci il suo grafico: y = x 3 - 3x
8) Sulla base dei risultati dello studio, costruiremo un grafico della funzione:

Indietro avanti

Attenzione! L'anteprima della diapositiva è solo a scopo informativo e potrebbe non rappresentare l'intera portata della presentazione. Se sei interessato a questo lavoro, scarica la versione completa.

Obiettivi:

• formare il concetto di funzioni pari e dispari, insegnare la capacità di determinare e utilizzare queste proprietà nello studio delle funzioni, nel tracciare;
• sviluppare l'attività creativa degli studenti, il pensiero logico, la capacità di confrontare, generalizzare;
• coltivare la diligenza, la cultura matematica; sviluppare capacità comunicative .

Attrezzatura: installazione multimediale, lavagna interattiva, dispense.

Forme di lavoro: frontale e di gruppo con elementi di ricerca e attività di ricerca.

Fonti di informazione:

1. Algebra classe 9 A.G. Mordkovich. Manuale.
2. Algebra Grado 9 A.G. Mordkovich. Libro delle attività.
3. Grado di algebra 9. Compiti per l'apprendimento e lo sviluppo degli studenti. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Stabilire obiettivi e obiettivi della lezione.

2. Controllo dei compiti

N. 10.17 (Libro problema 9a elementare A.G. Mordkovich).

un) A = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 per X ~ 0,4
4. f(X) >0 a X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La funzione aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La funzione è limitata dal basso.
7. A noleggio = - 3, A naib non esiste
8. La funzione è continua.

(Hai usato l'algoritmo di esplorazione delle funzionalità?) Vetrino.

2. Controlliamo la tabella che ti è stata richiesta sulla diapositiva.

Riempi il tavolo
	Dominio	Zero di funzione	Intervalli di costanza		Coordinate dei punti di intersezione del grafico con Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aggiornamento della conoscenza

– Vengono fornite le funzioni.
– Specificare il dominio di definizione per ciascuna funzione.
– Confronta il valore di ciascuna funzione per ogni coppia di valori di argomento: 1 e – 1; 2 e - 2.
– Per quale delle funzioni date nel dominio di definizione sono le uguaglianze f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (metti i dati nella tabella) Vetrino

		f(1) e f(– 1)	f(2) e f(– 2)	grafici	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		e non definito.

4. Nuovo materiale

- Durante questo lavoro, ragazzi, abbiamo rivelato un'altra proprietà della funzione, a voi sconosciuta, ma non meno importante delle altre: questa è l'uniformità e la stranezza della funzione. Annota l'argomento della lezione: "Funzioni pari e dispari", il nostro compito è imparare a determinare le funzioni pari e dispari, scoprire il significato di questa proprietà nello studio delle funzioni e del tracciamento.
Quindi, troviamo le definizioni nel libro di testo e leggiamo (p. 110) . Vetrino

def. uno Funzione A = f (X) definito sull'insieme X viene chiamato Anche, se per qualsiasi valore XЄ X in corso uguaglianza f (–x) = f (x). Dare esempi.

def. 2 Funzione y = f(x), definito sull'insieme X viene chiamato strano, se per qualsiasi valore XЄ X l'uguaglianza f(–х)= –f(х) è soddisfatta. Dare esempi.

Dove abbiamo incontrato i termini "pari" e "dispari"?
Quale di queste funzioni sarà pari, pensi? Come mai? Quali sono strani? Come mai?
Per qualsiasi funzione del modulo A= x n, dove nè un numero intero, si può sostenere che la funzione è dispari per nè dispari e la funzione è pari per n- Anche.
– Visualizza funzioni A= e A = 2X– 3 non è né pari né dispari, perché le uguaglianze non sono soddisfatte f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Lo studio della questione se una funzione sia pari o dispari è chiamato studio di una funzione per parità. Vetrino

Le definizioni 1 e 2 trattano i valori della funzione in x e - x, quindi si presume che la funzione sia definita anche al valore X, e a - X.

ODA 3. Se un numero insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto x, allora l'insieme Xè chiamato insieme simmetrico.

Esempi:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sono insiemi simmetrici e , [–5;4] sono non simmetrici.

- Anche le funzioni hanno un dominio di definizione - un insieme simmetrico? Quelli dispari?
- Se D( f) è un insieme asimmetrico, allora qual è la funzione?
– Quindi, se la funzione A = f(X) è pari o dispari, allora il suo dominio di definizione è D( f) è un insieme simmetrico. Ma è vera l'affermazione inversa, se il dominio di una funzione è un insieme simmetrico, allora è pari o dispari?
- Quindi la presenza di un insieme simmetrico del dominio di definizione è una condizione necessaria, ma non sufficiente.
– Quindi, come possiamo studiare la funzione di parità? Proviamo a scrivere un algoritmo.

Vetrino

Algoritmo per esaminare una funzione per parità

1. Determinare se il dominio della funzione è simmetrico. In caso contrario, la funzione non è né pari né dispari. Se sì, vai al passaggio 2 dell'algoritmo.

2. Scrivi un'espressione per f(–X).

3. Confronta f(–X).e f(X):

• Se f(–X).= f(X), allora la funzione è pari;
• Se f(–X).= – f(X), allora la funzione è dispari;
• Se f(–X) ≠ f(X) e f(–X) ≠ –f(X), allora la funzione non è né pari né dispari.

Esempi:

Studiare la funzione di parità a) A= x 5 +; b) A= ; in) A= .

Decisione.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), insieme simmetrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funzione h(x)= x 5 + dispari.

b) y =,

A = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), insieme asimmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opzione 2

1. L'insieme dato è simmetrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

un); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Esaminare la funzione per la parità:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. In fig. tracciato A = f(X), per tutti X, soddisfacendo la condizione X? 0.
Traccia la funzione A = f(X), Se A = f(X) è una funzione pari.

3. In fig. tracciato A = f(X), per ogni x soddisfacente x? 0.
Traccia la funzione A = f(X), Se A = f(X) è una funzione dispari.

Controllo reciproco vetrino.

6. Compiti a casa: №11.11, 11.21,11.22;

Dimostrazione del significato geometrico della proprietà di parità.

*** (Assegnazione dell'opzione USE).

1. La funzione dispari y \u003d f (x) è definita sull'intera linea reale. Per qualsiasi valore non negativo della variabile x, il valore di questa funzione coincide con il valore della funzione g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Trova il valore della funzione h( X) = a X = 3.

7. Riassumendo

Definizione 1. La funzione viene chiamata Anche (strano ) se insieme a ciascun valore della variabile
Senso - X appartiene anche
e l'uguaglianza

Quindi una funzione può essere pari o dispari solo quando il suo dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine sulla retta reale (numeri X e - X appartengono contemporaneamente
). Ad esempio, la funzione
non è né pari né dispari, poiché il suo dominio di definizione
non simmetrico rispetto all'origine.

Funzione
anche, perché
simmetrico rispetto all'origine delle coordinate e.

Funzione
strano perché
e
.

Funzione
non è né pari né dispari, poiché benchè
ed è simmetrico rispetto all'origine, le uguaglianze (11.1) non sono soddisfatte. Per esempio,.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse UO, poiché se il punto

appartiene anche al grafico. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, perché se
appartiene al grafico, quindi il punto
appartiene anche al grafico.

Per dimostrare se una funzione è pari o dispari, sono utili le seguenti affermazioni.

Teorema 1. a) La somma di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari (dispari).

b) Il prodotto di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari.

c) Il prodotto di una funzione pari e dispari è una funzione dispari.

d) Se fè una funzione pari sul set X, e la funzione g definito sul set
, quindi la funzione
- Anche.

e) Se fè una funzione dispari sul set X, e la funzione g definito sul set
e pari (dispari), quindi la funzione
- pari dispari).

Prova. Dimostriamo, ad esempio, b) e d).

b) Let
e
sono anche funzioni. Allora, quindi. Il caso delle funzioni dispari è considerato in modo simile
e
.

d) Let f è una funzione pari. Quindi.

Similmente si dimostrano le altre asserzioni del teorema. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2. Qualsiasi funzione
, definito sul set X, che è simmetrico rispetto all'origine, può essere rappresentato come la somma di una funzione pari e dispari.

Prova. Funzione
può essere scritto nel modulo

.

Funzione
è pari, poiché
, e la funzione
è strano perché. Così,
, dove
- anche, e
è una funzione dispari. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. Funzione
chiamata periodico se c'è un numero
, tale che per qualsiasi
numeri
e
appartengono anche al dominio di definizione
e le uguaglianze

Un tale numero T chiamata periodo funzioni
.

La definizione 1 implica che se T– periodo di funzione
, quindi il numero T anche è il periodo della funzione
(perché durante la sostituzione T sul - T l'uguaglianza è mantenuta). Usando il metodo dell'induzione matematica, si può dimostrare che se T– periodo di funzione f, poi e
, è anche un periodo. Ne consegue che se una funzione ha un periodo, allora ha infiniti periodi.

Definizione 3. Il più piccolo dei periodi positivi di una funzione è detto suo principale periodo.

Teorema 3. Se Tè il periodo principale della funzione f, allora i periodi rimanenti sono multipli di esso.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè che ci sia un punto funzioni f (>0), non multiplo T. Poi, dividendo sul T con il resto, otteniamo
, dove
. Così

cioè – periodo di funzione f, e
, il che contraddice il fatto che Tè il periodo principale della funzione f. L'asserzione del teorema segue dalla contraddizione ottenuta. Il teorema è stato dimostrato.

È noto che le funzioni trigonometriche sono periodiche. Periodo principale
e
è uguale a
,
e
. Trova il periodo della funzione
. Lascia stare
è il periodo di questa funzione. Quindi

(come
.

oror
.

Significato T, determinato dalla prima uguaglianza, non può essere un punto, poiché dipende da X, cioè. è una funzione di X, non un numero costante. Il periodo è determinato dalla seconda uguaglianza:
. Ci sono infiniti periodi
il periodo positivo minimo si ottiene quando
:
. Questo è il periodo principale della funzione
.

Un esempio di una funzione periodica più complessa è la funzione di Dirichlet

Nota che se Tè un numero razionale, quindi
e
sono numeri razionali sotto razionale X e irrazionale quando irrazionale X. Così

per qualsiasi numero razionale T. Pertanto, qualsiasi numero razionale Tè il periodo della funzione di Dirichlet. È chiaro che questa funzione non ha periodo principale, poiché esistono numeri razionali positivi arbitrariamente prossimi allo zero (ad esempio, un numero razionale può essere ottenuto scegliendo n arbitrariamente vicino a zero).

Teorema 4. Se funzione f impostato sul set X e ha un periodo T, e la funzione g impostato sul set
, quindi la funzione complessa
ha anche un periodo T.

Prova. Abbiamo quindi

cioè si dimostra l'asserzione del teorema.

Ad esempio, poiché cos X ha un periodo
, quindi le funzioni
avere un periodo
.

Definizione 4. Vengono chiamate le funzioni non periodiche non periodico .

. Per fare ciò, utilizzare carta millimetrata o una calcolatrice grafica. Seleziona un numero qualsiasi di valori numerici per la variabile indipendente x (\ displaystyle x) e inserirli nella funzione per calcolare i valori della variabile dipendente y (\ displaystyle y). Metti le coordinate trovate dei punti sul piano delle coordinate, quindi collega questi punti per costruire un grafico della funzione.

• Sostituisci i valori numerici positivi nella funzione x (\ displaystyle x) e corrispondenti valori numerici negativi. Ad esempio, data una funzione f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Sostituisci i seguenti valori in esso x (\ displaystyle x):

Controlla se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse y. La simmetria si riferisce all'immagine speculare del grafico sull'asse y. Se la parte del grafico a destra dell'asse y (valori positivi della variabile indipendente) corrisponde alla parte del grafico a sinistra dell'asse y (valori negativi della variabile indipendente), il grafico è simmetrico rispetto all'asse Y. Se la funzione è simmetrica rispetto all'asse Y, la funzione è pari.

Controllare se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine. L'origine è il punto con coordinate (0,0). Simmetria sull'origine significa che un valore positivo y (\ displaystyle y)(con valore positivo x (\ displaystyle x)) corrisponde a un valore negativo y (\ displaystyle y)(con valore negativo x (\ displaystyle x)), e viceversa. Le funzioni dispari hanno simmetria rispetto all'origine.

Controllare se il grafico della funzione ha simmetria. L'ultimo tipo di funzione è una funzione il cui grafico non ha simmetria, ovvero non esiste un'immagine speculare sia relativa all'asse y che relativa all'origine. Ad esempio, data una funzione.

• Sostituisci diversi valori positivi e corrispondenti negativi nella funzione x (\ displaystyle x):
• Secondo i risultati ottenuti, non c'è simmetria. Valori y (\ displaystyle y) per valori opposti x (\ displaystyle x) non corrispondono e non sono opposti. Pertanto, la funzione non è né pari né dispari.
• Si prega di notare che la funzione f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) si può scrivere così: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Scritta in questa forma, la funzione sembra essere pari perché esiste un esponente pari. Ma questo esempio dimostra che la forma di una funzione non può essere determinata rapidamente se la variabile indipendente è racchiusa tra parentesi. In questo caso, è necessario aprire le parentesi e analizzare gli esponenti risultanti.

Che in un modo o nell'altro ti erano familiari. È stato anche notato che lo stock di proprietà delle funzioni verrà gradualmente reintegrato. In questa sezione verranno discusse due nuove proprietà.

Definizione 1.

La funzione y \u003d f (x), x є X, viene chiamata anche se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d f (x) è vera.

Definizione 2.

La funzione y \u003d f (x), x є X, è chiamata dispari se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x) è vera.

Dimostra che y = x 4 è una funzione pari.

Decisione. Abbiamo: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ma (-x) 4 = x 4 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) = f (x), cioè la funzione è pari.

Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sono pari.

Dimostra che y = x 3 è una funzione dispari.

Decisione. Abbiamo: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ma (-x) 3 = -x 3 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x), cioè la funzione è dispari.

Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono dispari.

Tu ed io ci siamo più volte convinti che i nuovi termini in matematica hanno molto spesso un'origine "terrena", ad es. possono essere spiegati in qualche modo. Questo vale sia per le funzioni pari che per quelle dispari. Vedi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono funzioni dispari, mentre y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sono funzioni pari. E in generale, per qualsiasi funzione della forma y \u003d x "(di seguito studieremo specificamente queste funzioni), dove n è un numero naturale, possiamo concludere: se n è un numero dispari, allora la funzione y \u003d x " è strano; se n è un numero pari, allora la funzione y = xn è pari.

Ci sono anche funzioni che non sono né pari né dispari. Tale, ad esempio, è la funzione y \u003d 2x + 3. In effetti, f (1) \u003d 5 e f (-1) \u003d 1. Come puoi vedere, qui Quindi, né l'identità f (-x ) \u003d f ( x), né l'identità f(-x) = -f(x).

Quindi, una funzione può essere pari, dispari o nessuno dei due.

Lo studio della questione se una data funzione sia pari o dispari è solitamente chiamato studio della funzione di parità.

Le definizioni 1 e 2 trattano i valori della funzione nei punti x e -x. Ciò presuppone che la funzione sia definita sia nel punto x che nel punto -x. Ciò significa che il punto -x appartiene al dominio della funzione contemporaneamente al punto x. Se un insieme numerico X insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto -x, allora X è chiamato insieme simmetrico. Diciamo che (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sono insiemi simmetrici, mentre )