Definicija parnog i neparnog. Kako odrediti parne i neparne funkcije

Nule funkcije
Nula funkcije je vrijednost x, pri čemu funkcija postaje 0, odnosno f(x)=0.

Nule su točke presjeka grafa funkcije s osi Oh.

Paritet funkcija
Funkcija se poziva čak i ako je za bilo koju x iz domene definicije, jednakost f(-x) = f(x)

Parna funkcija je simetrična u odnosu na os OU

Neparna funkcija
Funkcija se naziva neparna ako za bilo koji x iz domene definicije zadovoljena je jednakost f(-x) = -f(x).

Neparna funkcija je simetrična u odnosu na ishodište.
Funkcija koja nije ni parna ni neparna naziva se općom funkcijom.

Povećanje funkcije
Funkcija f(x) naziva se rastućom ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, t.j. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Smanjenje funkcije
Funkcija f(x) naziva se opadajućom ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, t.j. x 2 >x 1 → f(x 2)
Pozivaju se intervali u kojima se funkcija ili samo smanjuje ili samo povećava intervali monotonije. Funkcija f(x) ima 3 intervala monotonosti:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; +∞)

Pronađite intervale monotonosti pomoću usluge Intervali rastućih i opadajućih funkcija

Lokalni maksimum
Točka x 0 zove se lokalna točka maksimuma ako postoji x iz susjedstva točke x 0 vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) > f(x)

Lokalni minimum
Točka x 0 naziva se lokalna minimalna točka ako postoji x iz susjedstva točke x 0 vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0)< f(x).

Lokalne točke maksimuma i lokalne minimalne točke nazivaju se lokalnim ekstremnim točkama.

x 1 , x 2 - lokalne ekstremne točke.

Periodičnost funkcije
Funkcija f(x) naziva se periodična, s točkom T, ako za bilo koji x f(x+T) = f(x) .

Intervali postojanosti
Intervali na kojima je funkcija samo pozitivna ili samo negativna nazivaju se intervali konstantnog predznaka.

f(x)>0 za x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Kontinuitet funkcije
Funkcija f(x) naziva se kontinuiranom u točki x 0 ako je granica funkcije pri x → x 0 jednaka vrijednosti funkcije u ovoj točki, t.j. .

točke prekida
Točke u kojima je narušen uvjet kontinuiteta nazivaju se točke diskontinuiteta funkcije.

x0- prijelomna točka.

Opća shema za crtanje funkcija

1. Nađite domenu funkcije D(y).
2. Pronađite presječne točke grafa funkcija s koordinatnim osi.
3. Istražite funkciju za par ili nepar.
4. Istražite funkciju za periodičnost.
5. Naći intervale monotonosti i ekstremne točke funkcije.
6. Naći intervale konveksnosti i prevojne točke funkcije.
7. Pronađite asimptote funkcije.
8. Na temelju rezultata studije izgraditi graf.

Primjer: Istražite funkciju i izgradite njezin graf: y = x 3 - 3x
8) Na temelju rezultata istraživanja izgradit ćemo graf funkcije:

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• formirati pojam parnih i neparnih funkcija, podučavati sposobnosti određivanja i korištenja tih svojstava u proučavanju funkcija, crtanju grafova;
• razvijati kreativnu aktivnost učenika, logičko mišljenje, sposobnost uspoređivanja, generaliziranja;
• njegovati marljivost, matematičku kulturu; razviti komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijska instalacija, interaktivna ploča, materijali.

Oblici rada: frontalni i grupni s elementima aktivnosti pretraživanja i istraživanja.

Izvori informacija:

1. Algebra razred 9 A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga zadataka.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije.

2. Provjera domaće zadaće

Broj 10.17 (Zadatak 9. razred A.G. Mordkovich).

a) na = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 for x ~ 0,4
4. f(x) >0 u x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa x € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na najam = - 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje značajki?) Slajd.

2. Provjerimo tablicu koja vam je postavljena na slajdu.

Popunite tablicu
	Domena	Nule funkcije	Intervali postojanosti		Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
		x = -5, x = 2	h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ažuriranje znanja

– Zadane su funkcije.
– Odredite domenu definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Za koje su od zadanih funkcija u domeni definicije jednakosti f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (stavi podatke u tablicu) Slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	grafikoni	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		a nije definirana.

4. Novi materijal

- Radeći ovaj posao, dečki, otkrili smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih - to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš je zadatak naučiti kako odrediti parne i neparne funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . Slajd

Def. jedan Funkcija na = f (x) definiran na skupu X zove se čak, ako za bilo koju vrijednost xÊ X u tijeku jednakost f (–x) = f (x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X zove se neparan, ako za bilo koju vrijednost xÊ X zadovoljena je jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo se susreli s pojmovima "parni" i "neparni"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koji su neparni? Zašto?
Za bilo koju funkciju obrasca na= x n, gdje n je cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna za n je neparan, a funkcija je parna za n- čak.
– Funkcije pregleda na= i na = 2x– 3 nije ni paran ni neparan, jer jednakosti nisu zadovoljene f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Proučavanje pitanja je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanjem funkcije za paritet. Slajd

Definicije 1 i 2 bavile su se vrijednostima funkcije na x i - x, pa se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti x, i na - x.

ODA 3. Ako skup brojeva zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element x, tada skup x naziva se simetričnim skupom.

primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su nesimetrični.

- Imaju li parne funkcije domenu definicije - simetričan skup? Oni čudni?
- Ako je D( f) je asimetričan skup, koja je onda funkcija?
– Dakle, ako je funkcija na = f(x) je paran ili neparan, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Ali je li obrnuto istinito, ako je domena funkcije simetričan skup, onda je paran ili neparan?
- Dakle, prisutnost simetričnog skupa domene definicije je nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako možemo istražiti funkciju za paritet? Pokušajmo napisati algoritam.

Slajd

Algoritam za ispitivanje pariteta funkcije

1. Odredite je li domena funkcije simetrična. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, idite na korak 2 algoritma.

2. Napiši izraz za f(–x).

3. Usporedite f(–x).i f(x):

• ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
• ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
• ako f(–x) ≠ f(x) i f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

primjeri:

Istražite funkciju za paritet a) na= x 5 +; b) na= ; u) na= .

Odluka.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + neparan.

b) y =,

na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, pa funkcija nije ni parna ni neparna.

u) f(x) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opcija 2

1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Ispitajte funkciju na paritet:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. Na sl. ucrtano na = f(x), za sve x, zadovoljavajući uvjet x? 0.
Iscrtajte funkciju na = f(x), ako na = f(x) je parna funkcija.

3. Na sl. ucrtano na = f(x), za sve x koje zadovoljava x? 0.
Iscrtajte funkciju na = f(x), ako na = f(x) je neparna funkcija.

Međusobna provjera slajd.

6. Domaća zadaća: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

*** (Dodjela opcije USE).

1. Neparna funkcija y \u003d f (x) definirana je na cijeloj realnoj liniji. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Pronađite vrijednost funkcije h( x) = at x = 3.

7. Sumiranje

Definicija 1. Funkcija se poziva čak (neparan ) ako zajedno sa svakom vrijednošću varijable
značenje - x također pripada
i jednakost

Dakle, funkcija može biti parna ili neparna samo kada je njezino područje definicije simetrično u odnosu na ishodište na realnoj liniji (brojevi x i - x istovremeno pripadati
). Na primjer, funkcija
nije ni paran ni neparan, budući da je njegova domena definicije
nije simetrično u odnosu na porijeklo.

Funkcija
čak, jer
simetrično u odnosu na ishodište koordinata i.

Funkcija
čudno jer
i
.

Funkcija
nije ni paran ni neparan, budući da iako
i simetrična je s obzirom na ishodište, jednakosti (11.1) nisu zadovoljene. Na primjer,.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os OU, budući da je točka

također pripada grafu. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište, jer ako
pripada grafu, zatim točki
također pripada grafu.

Kada se dokazuje je li funkcija parna ili neparna, korisni su sljedeći iskazi.

Teorema 1. a) Zbroj dviju parnih (neparnih) funkcija je parna (neparna) funkcija.

b) Umnožak dviju parnih (neparnih) funkcija je parna funkcija.

c) Umnožak parne i neparne funkcije je neparna funkcija.

d) Ako f je parna funkcija na skupu x, i funkcija g definirana na setu
, zatim funkcija
- čak.

e) Ako f je neparna funkcija na skupu x, i funkcija g definirana na setu
pa par (neparan), zatim funkcija
- paran (neparan).

Dokaz. Dokažimo npr. b) i d).

b) Neka
i
su čak i funkcije. Onda, dakle. Slučaj neparnih funkcija razmatra se slično
i
.

d) Neka f je ravnomjerna funkcija. Zatim.

Slično se dokazuju i druge tvrdnje teorema. Teorem je dokazan.

Teorema 2. Bilo koja funkcija
, definiran na setu x, koji je simetričan u odnosu na ishodište, može se predstaviti kao zbroj parne i neparne funkcije.

Dokaz. Funkcija
može se napisati u obliku

.

Funkcija
je čak, jer
, i funkcija
je čudno jer. Tako,
, gdje
- čak i
je neparna funkcija. Teorem je dokazan.

Definicija 2. Funkcija
pozvao časopis ako postoji broj
, takav da za bilo koji
brojevima
i
također spadaju u domenu definicije
i jednakosti

Takav broj T pozvao razdoblje funkcije
.

Definicija 1 implicira da ako T– razdoblje funkcije
, zatim broj T isto je period funkcije
(jer prilikom zamjene T na - T održava se jednakost). Metodom matematičke indukcije može se pokazati da ako T– razdoblje funkcije f, zatim i
, također je razdoblje. Iz toga slijedi da ako funkcija ima period, onda ima beskonačno mnogo perioda.

Definicija 3. Najmanji pozitivni period funkcije naziva se njezinim glavni razdoblje.

Teorema 3. Ako T je glavno razdoblje funkcije f, tada su preostala razdoblja višestruka od toga.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, odnosno da postoji razdoblje funkcije f (>0), nije višestruko T. Zatim, dijeljenje na T s ostatkom dobivamo
, gdje
. Tako

tj – razdoblje funkcije f, i
, što je u suprotnosti s činjenicom da T je glavno razdoblje funkcije f. Iz dobivene kontradikcije slijedi tvrdnja teorema. Teorem je dokazan.

Poznato je da su trigonometrijske funkcije periodične. Glavno razdoblje
i
jednaki
,
i
. Pronađite period funkcije
. Neka bude
je period ove funkcije. Zatim

(kao
.

ororor
.

Značenje T, određena iz prve jednakosti, ne može biti period, budući da ovisi o x, tj. je funkcija od x, nije konstantan broj. Razdoblje se određuje iz druge jednakosti:
. Postoji beskonačno mnogo razdoblja
najmanji pozitivni period dobiva se kada
:
. Ovo je glavno razdoblje funkcije
.

Primjer složenije periodične funkcije je Dirichletova funkcija

Imajte na umu da ako T onda je racionalan broj
i
su racionalni brojevi pod racionalnim x i iracionalan kada je iracionalan x. Tako

za bilo koji racionalni broj T. Dakle, bilo koji racionalni broj T je period Dirichletove funkcije. Jasno je da ova funkcija nema glavnu period, budući da postoje pozitivni racionalni brojevi proizvoljno blizu nule (na primjer, racionalni broj se može napraviti odabirom n proizvoljno blizu nule).

Teorema 4. Ako funkcija f postavljen na set x i ima razdoblje T, i funkcija g postavljen na set
, zatim kompleksna funkcija
također ima razdoblje T.

Dokaz. Imamo dakle

odnosno dokazana je tvrdnja teorema.

Na primjer, budući da cos x ima menstruaciju
, zatim funkcije
imati mjesečnicu
.

Definicija 4. Pozivaju se funkcije koje nisu periodične neperiodični .

. Da biste to učinili, koristite milimetarski papir ili grafički kalkulator. Odaberite bilo koji broj brojčanih vrijednosti za nezavisnu varijablu x (\displaystyle x) i priključite ih u funkciju za izračunavanje vrijednosti zavisne varijable y (\displaystyle y). Stavite pronađene koordinate točaka na koordinatnu ravninu, a zatim povežite te točke kako biste izgradili graf funkcije.

• Zamijenite pozitivne numeričke vrijednosti u funkciju x (\displaystyle x) i odgovarajuće negativne numeričke vrijednosti. Na primjer, zadana funkcija f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). U njega unesite sljedeće vrijednosti x (\displaystyle x):

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na y-os. Simetrija se odnosi na zrcalnu sliku grafa oko y-osi. Ako dio grafa desno od y-osi (pozitivne vrijednosti nezavisne varijable) odgovara dijelu grafa lijevo od y-ose (negativne vrijednosti nezavisne varijable), graf je simetričan u odnosu na os y. Ako je funkcija simetrična u odnosu na os y, funkcija je parna.

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Izvorište je točka s koordinatama (0,0). Simetrija o ishodištu znači da je pozitivna vrijednost y (\displaystyle y)(s pozitivnom vrijednošću x (\displaystyle x)) odgovara negativnoj vrijednosti y (\displaystyle y)(s negativnom vrijednošću x (\displaystyle x)), i obrnuto. Neparne funkcije imaju simetriju u odnosu na ishodište.

Provjerite ima li graf funkcije ikakvu simetriju. Posljednja vrsta funkcije je funkcija čiji graf nema simetriju, odnosno nema zrcalne slike i u odnosu na y-os i u odnosu na ishodište. Na primjer, zadana funkcija.

• Zamijenite nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti u funkciju x (\displaystyle x):
• Prema dobivenim rezultatima nema simetrije. vrijednosti y (\displaystyle y) za suprotne vrijednosti x (\displaystyle x) ne poklapaju se i nisu suprotne. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna.
• Imajte na umu da funkcija f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) može se napisati ovako: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Napisana u ovom obliku, čini se da je funkcija parna jer postoji paran eksponent. Ali ovaj primjer dokazuje da se oblik funkcije ne može brzo odrediti ako je nezavisna varijabla zatvorena u zagrade. U tom slučaju morate otvoriti zagrade i analizirati rezultirajuće eksponente.

Koji su vam u ovom ili onom stupnju bili poznati. Tamo je također napomenuto da će se zaliha funkcijskih svojstava postupno obnavljati. U ovom odjeljku će se raspravljati o dva nova svojstva.

Definicija 1.

Funkcija y \u003d f (x), x ê X, naziva se čak i ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X jednakost f (-x) \u003d f (x) istinita.

Definicija 2.

Funkcija y = f (x), x ê X, naziva se neparnom ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X istinita jednakost f (-x) \u003d -f (x).

Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.

Odluka. Imamo: f (x) = x 4, f (-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4 . Dakle, za bilo koji x jednakost f (-x) = f (x), tj. funkcija je ravnomjerna.

Slično, može se dokazati da su funkcije y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 parne.

Dokažite da je y = x 3 neparna funkcija.

Odluka. Imamo: f (x) = x 3, f (-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3 . Dakle, za bilo koji x, jednakost f (-x) \u003d -f (x), tj. funkcija je neparna.

Slično, može se dokazati da su funkcije y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 neparne.

Vi i ja smo se više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju “zemaljsko” podrijetlo, t.j. mogu se na neki način objasniti. To je slučaj i za parne i neparne funkcije. Vidite: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y \u003d x "(u nastavku ćemo posebno proučavati ove funkcije), gdje je n prirodni broj, možemo zaključiti: ako je n neparan broj, tada funkcija y \u003d x " je čudno; ako je n paran broj, tada je funkcija y = xn paran.

Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je, na primjer, funkcija y = 2x + 3. Doista, f (1) = 5, a f (-1) = 1. Kao što možete vidjeti, ovdje Dakle, ni identitet f (-x ) \u003d f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).

Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.

Proučavanje pitanja je li određena funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanjem funkcije za parnost.

Definicije 1 i 2 bave se vrijednostima funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u točki x i u točki -x. To znači da točka -x pripada domeni funkcije u isto vrijeme kada i točka x. Ako brojčani skup X zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok )