La formula di una retta su un grafico di funzione. Funzioni elementari di base, loro proprietà e grafici

1. Funzione frazionaria lineare e suo grafico

Una funzione della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, è chiamata funzione razionale frazionaria.

Probabilmente hai già familiarità con il concetto di numeri razionali. Allo stesso modo funzioni razionali sono funzioni che possono essere rappresentate come quoziente di due polinomi.

Se una funzione razionale frazionaria è un quoziente di due funzioni lineari - polinomi di primo grado, cioè funzione di visualizzazione

y = (ax + b) / (cx + d), allora si dice lineare frazionario.

Si noti che nella funzione y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altrimenti la funzione diventa lineare y = ax/d + b/d) e che a/c ≠ b/d (altrimenti il funzione è una costante). La funzione lineare-frazionaria è definita per tutti i numeri reali, ad eccezione di x = -d/c. I grafici delle funzioni lineari-frazionarie non differiscono nella forma dal grafico che conosci y = 1/x. Viene chiamata la curva che è il grafico della funzione y = 1/x iperbole. Con un aumento illimitato di x in valore assoluto, la funzione y = 1/x diminuisce indefinitamente in valore assoluto ed entrambi i rami del grafico si avvicinano all'asse delle ascisse: quello di destra si avvicina dall'alto e quello di sinistra si avvicina dal basso. Le linee avvicinate dai rami di un'iperbole sono dette sue asintoti.

Esempio 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Decisione.

Selezioniamo la parte intera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione è ottenuto dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: spostamento di 3 segmenti unitari verso destra, allungamento lungo l'asse Oy di 7 volte e spostamento di 2 segmenti di unità in alto.

Qualsiasi frazione y = (ax + b) / (cx + d) può essere scritta allo stesso modo, evidenziando la “parte intera”. Di conseguenza, i grafici di tutte le funzioni lineari-frazionarie sono iperboli spostate lungo gli assi delle coordinate in vari modi e allungate lungo l'asse Oy.

Per tracciare un grafico di qualche funzione lineare-frazionaria arbitraria, non è affatto necessario trasformare la frazione che definisce questa funzione. Poiché sappiamo che il grafico è un'iperbole, basterà trovare le linee a cui si avvicinano i suoi rami - l'iperbole asintota x = -d/c e y = a/c.

Esempio 2

Trova gli asintoti del grafico della funzione y = (3x + 5)/(2x + 2).

Decisione.

La funzione non è definita, per x = -1. Quindi, la linea x = -1 funge da asintoto verticale. Per trovare l'asintoto orizzontale, scopriamo a cosa si avvicinano i valori della funzione y(x) quando l'argomento x aumenta in valore assoluto.

Per fare ciò, dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Poiché x → ∞ la frazione tende a 3/2. Quindi, l'asintoto orizzontale è la retta y = 3/2.

Esempio 3

Traccia la funzione y = (2x + 1)/(x + 1).

Decisione.

Selezioniamo la “parte intera” della frazione:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione è ottenuto dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: uno spostamento di 1 unità a sinistra, una visualizzazione simmetrica rispetto a Ox, e uno spostamento di 2 unità di intervallo lungo l'asse Oy.

Dominio di definizione D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Punti di intersezione con assi: c Oy: (0; 1); c Bue: (-1/2; 0). La funzione aumenta su ciascuno degli intervalli del dominio di definizione.

Risposta: figura 1.

2. Funzione frazionario-razionale

Si consideri una funzione razionale frazionaria della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi di grado maggiore del primo.

Esempi di tali funzioni razionali:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Se la funzione y = P(x) / Q(x) è un quoziente di due polinomi di grado maggiore del primo, il suo grafico sarà, di regola, più complicato e talvolta può essere difficile costruirlo esattamente , con tutti i dettagli. Tuttavia, spesso è sufficiente applicare tecniche simili a quelle con cui ci siamo già incontrati sopra.

Sia propria la frazione (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Ovviamente, il grafico di una funzione razionale frazionaria può essere ottenuto come somma di grafici di frazioni elementari.

Tracciare funzioni razionali frazionarie

Considera diversi modi per tracciare una funzione frazionaria-razionale.

Esempio 4

Traccia la funzione y = 1/x 2 .

Decisione.

Usiamo il grafico della funzione y \u003d x 2 per tracciare il grafico y \u003d 1 / x 2 e utilizziamo il metodo di "divisione" dei grafici.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (0; +∞).

Non ci sono punti di intersezione con gli assi. La funzione è pari. Aumenta per ogni x dell'intervallo (-∞; 0), diminuisce per x da 0 a +∞.

Risposta: figura 2.

Esempio 5

Traccia la funzione y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Decisione.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Qui abbiamo utilizzato la tecnica della fattorizzazione, riduzione e riduzione a una funzione lineare.

Risposta: figura 3.

Esempio 6

Traccia la funzione y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Decisione.

Il dominio di definizione è D(y) = R. Poiché la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Prima di tracciare, trasformiamo nuovamente l'espressione evidenziando la parte intera:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Si noti che la selezione della parte intera nella formula di una funzione frazionario-razionale è una delle principali quando si tracciano grafici.

Se x → ±∞, allora y → 1, cioè, la linea y = 1 è un asintoto orizzontale.

Risposta: figura 4.

Esempio 7

Considera la funzione y = x/(x 2 + 1) e prova a trovare esattamente il suo valore più grande, ad es. il punto più alto nella metà destra del grafico. Per costruire accuratamente questo grafico, le conoscenze odierne non sono sufficienti. È ovvio che la nostra curva non può "salire" molto in alto, poiché il denominatore inizia rapidamente a “sorpassare” il numeratore. Vediamo se il valore della funzione può essere uguale a 1. Per fare ciò, è necessario risolvere l'equazione x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Questa equazione non ha radici reali. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Per trovare il valore più grande della funzione, è necessario scoprire per quale A più grande l'equazione A \u003d x / (x 2 + 1) avrà una soluzione. Sostituiamo l'equazione originale con una quadratica: Ax 2 - x + A \u003d 0. Questa equazione ha una soluzione quando 1 - 4A 2 ≥ 0. Da qui troviamo il valore più grande A \u003d 1/2.

Risposta: Figura 5, max y(x) = ½.

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Una funzione lineare è una funzione della forma y=kx+b, dove x è una variabile indipendente, k e b sono numeri qualsiasi.
Il grafico di una funzione lineare è una retta.

1. Per tracciare un grafico di funzione, abbiamo bisogno delle coordinate di due punti appartenenti al grafico della funzione. Per trovarli, devi prendere due valori x, sostituirli nell'equazione della funzione e calcolare da essi i valori y corrispondenti.

Ad esempio, per tracciare la funzione y= x+2, è conveniente prendere x=0 e x=3, quindi le ordinate di questi punti saranno uguali a y=2 e y=3. Otteniamo i punti A(0;2) e B(3;3). Colleghiamoli e otteniamo il grafico della funzione y= x+2:

2. Nella formula y=kx+b, il numero k è chiamato coefficiente di proporzionalità:
se k>0, allora la funzione y=kx+b aumenta
se k
Il coefficiente b mostra lo spostamento del grafico della funzione lungo l'asse OY:
se b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b si ottiene dal grafico della funzione y=kx spostando b unità in alto lungo l'asse OY
se b
La figura seguente mostra i grafici delle funzioni y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Si noti che in tutte queste funzioni il coefficiente k Sopra lo zero, e le funzioni sono crescente. Inoltre, maggiore è il valore di k, maggiore è l'angolo di inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva dell'asse OX.

In tutte le funzioni b=3 - e vediamo che tutti i grafici intersecano l'asse OY nel punto (0;3)

Consideriamo ora i grafici delle funzioni y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Questa volta, in tutte le funzioni, il coefficiente k minore di zero e caratteristiche diminuire. Il coefficiente b=3, ed i grafici, come nel caso precedente, incrociano l'asse OY nel punto (0;3)

Considera i grafici delle funzioni y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Ora, in tutte le equazioni delle funzioni, i coefficienti k sono uguali a 2. E abbiamo tre rette parallele.

Ma i coefficienti b sono diversi e questi grafici intersecano l'asse OY in punti diversi:
Il grafico della funzione y=2x+3 (b=3) attraversa l'asse OY nel punto (0;3)
Il grafico della funzione y=2x (b=0) attraversa l'asse OY nel punto (0;0) - l'origine.
Il grafico della funzione y=2x-3 (b=-3) attraversa l'asse OY nel punto (0;-3)

Quindi, se conosciamo i segni dei coefficienti k e b, allora possiamo immediatamente immaginare come appare il grafico della funzione y=kx+b.
Se un k 0

Se un k>0 e b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se un k>0 e b, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se un k, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se un k=0, allora la funzione y=kx+b si trasforma in una funzione y=b e il suo grafico è simile a:

Le ordinate di tutti i punti del grafico della funzione y=b sono uguali a b If b=0, allora il grafico della funzione y=kx (proporzionalità diretta) passa per l'origine:

3. Separatamente, notiamo il grafico dell'equazione x=a. Il grafico di questa equazione è una retta parallela all'asse OY, i cui punti hanno tutti un'ascissa x=a.

Ad esempio, il grafico dell'equazione x=3 si presenta così:
Attenzione! L'equazione x=a non è una funzione, poiché un valore dell'argomento corrisponde a diversi valori della funzione, che non corrispondono alla definizione della funzione.

4. Condizione per il parallelismo di due rette:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è parallelo al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 =k 2

5. La condizione per due rette perpendicolari:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è perpendicolare al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 *k 2 =-1 oppure k 1 =-1/k 2

6. Punti di intersezione del grafico della funzione y=kx+b con gli assi delle coordinate.

con asse OY. L'ascissa di qualsiasi punto appartenente all'asse OY è uguale a zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OY, è necessario sostituire zero invece di x nell'equazione della funzione. Otteniamo y=b. Cioè, il punto di intersezione con l'asse OY ha coordinate (0;b).

Con l'asse x: L'ordinata di qualsiasi punto appartenente all'asse x è zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OX, è necessario sostituire zero anziché y nell'equazione della funzione. Otteniamo 0=kx+b. Quindi x=-b/k. Cioè, il punto di intersezione con l'asse OX ha coordinate (-b / k; 0):

Vediamo come esplorare una funzione usando un grafico. Si scopre che guardando il grafico, puoi scoprire tutto ciò che ci interessa, ovvero:

• ambito della funzione
• gamma di funzioni
• zeri di funzione
• periodi di aumento e diminuzione
• punti alti e bassi
• il valore più grande e più piccolo della funzione sull'intervallo.

Chiariamo la terminologia:

Ascissaè la coordinata orizzontale del punto.
Ordinato- coordinata verticale.
ascissa- l'asse orizzontale, più spesso chiamato asse.
Asse Y- asse verticale, o asse.

Discussioneè una variabile indipendente da cui dipendono i valori della funzione. Il più delle volte indicato.
In altre parole, noi stessi scegliamo , sostituiamo nella formula della funzione e otteniamo .

Dominio funzioni: l'insieme di quei (e solo quelli) valori dell'argomento per cui esiste la funzione.
Denotato: o .

Nella nostra figura, il dominio della funzione è un segmento. È su questo segmento che viene disegnato il grafico della funzione. Solo qui esiste questa funzione.

Gamma di funzioniè l'insieme di valori che assume la variabile. Nella nostra figura, questo è un segmento, dal valore più basso a quello più alto.

Zero di funzione- punti in cui il valore della funzione è uguale a zero, ovvero . Nella nostra figura, questi sono i punti e .

I valori delle funzioni sono positivi dove . Nella nostra figura, questi sono gli intervalli e .
I valori delle funzioni sono negativi dove . Abbiamo questo intervallo (o intervallo) da a.

I concetti più importanti - funzioni crescenti e decrescenti su qualche set. Come insieme, puoi prendere un segmento, un intervallo, un'unione di intervalli o l'intera linea dei numeri.

Funzione aumenta

In altre parole, più , più , ovvero il grafico va a destra e in alto.

Funzione diminuisce sull'insieme se per qualsiasi e appartenente all'insieme la disuguaglianza implica la disuguaglianza.

Per una funzione decrescente, un valore maggiore corrisponde a un valore minore. Il grafico va a destra e in basso.

Nella nostra figura, la funzione aumenta sull'intervallo e diminuisce sugli intervalli e .

Definiamo cos'è punti massimo e minimo della funzione.

Punto massimo- questo è un punto interno del dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso è maggiore che in tutti i punti sufficientemente vicini ad esso.
In altre parole, il punto massimo è tale punto, il valore della funzione in corrispondenza del quale di più che in quelli vicini. Questa è una "collina" locale sul grafico.

Nella nostra figura - il punto massimo.

Punto basso- un punto interno del dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso contenuto sia minore che in tutti i punti ad esso sufficientemente vicini.
Cioè, il punto minimo è tale che il valore della funzione in esso contenuto sia inferiore rispetto a quelli vicini. Sul grafico, questo è un "buco" locale.

Nella nostra figura - il punto minimo.

Il punto è il confine. Non è un punto interno del dominio di definizione e quindi non si adatta alla definizione di punto massimo. Dopotutto, non ha vicini a sinistra. Allo stesso modo, non ci può essere un punto minimo nel nostro grafico.

I punti massimo e minimo vengono chiamati collettivamente punti estremi della funzione. Nel nostro caso, questo è e .

Ma cosa succede se hai bisogno di trovare, ad esempio, minimo di funzione sul taglio? In questo caso la risposta è: perché minimo di funzioneè il suo valore nel punto minimo.

Allo stesso modo, il massimo della nostra funzione è . Si raggiunge al punto.

Possiamo dire che gli estremi della funzione sono uguali a e .

A volte nelle attività che devi trovare i valori più grande e più piccolo della funzione su un dato segmento. Non necessariamente coincidono con gli estremi.

Nel nostro caso valore della funzione più piccolo sull'intervallo è uguale e coincide con il minimo della funzione. Ma il suo valore più grande su questo segmento è pari a . Si raggiunge all'estremità sinistra del segmento.

In ogni caso, i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un segmento si ottengono o nei punti estremi o alle estremità del segmento.

Le funzioni elementari di base, le loro proprietà intrinseche ei grafici corrispondenti sono una delle basi della conoscenza matematica, simile per importanza alla tabellina. Le funzioni elementari sono la base, il supporto per lo studio di tutte le questioni teoriche.

L'articolo seguente fornisce materiale chiave sull'argomento delle funzioni elementari di base. Introdurremo termini, daremo loro definizioni; Studiamo in dettaglio ogni tipo di funzione elementare e analizziamo le loro proprietà.

Si distinguono i seguenti tipi di funzioni elementari di base:

Definizione 1

• funzione costante (costante);
• radice dell'ennesimo grado;
• funzione di alimentazione;
• funzione esponenziale;
• funzione logaritmica;
• funzioni trigonometriche;
• funzioni trigonometriche fraterne.

Una funzione costante è definita dalla formula: y = C (C è un numero reale) e ha anche un nome: costante. Questa funzione determina se un qualsiasi valore reale della variabile indipendente x corrisponde allo stesso valore della variabile y – il valore C .

Il grafico di una costante è una linea retta parallela all'asse x e passante per un punto avente coordinate (0, C). Per chiarezza, presentiamo grafici di funzioni costanti y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (contrassegnate rispettivamente in nero, rosso e blu nel disegno).

Definizione 2

Questa funzione elementare è definita dalla formula y = x n (n è un numero naturale maggiore di uno).

Consideriamo due varianti della funzione.

1. Radice dell'ennesimo grado, n è un numero pari

Per chiarezza indichiamo il disegno, che mostra i grafici di tali funzioni: y = x , y = x 4 e y = x 8 . Queste funzioni sono codificate a colori: rispettivamente nero, rosso e blu.

Una vista simile dei grafici della funzione di un grado pari per altri valori dell'indicatore.

Definizione 3

Proprietà della radice della funzione dell'ennesimo grado, n è un numero pari

• il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali non negativi [ 0 , + ∞) ;
• quando x = 0 , la funzione y = x n ha valore uguale a zero;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né pari né dispari);
• intervallo: [ 0 , + ∞) ;
• questa funzione y = x n con esponenti pari della radice aumenta sull'intero dominio di definizione;
• la funzione ha una convessità con direzione ascendente sull'intero dominio di definizione;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• il grafico della funzione per n pari passa per i punti (0 ; 0) e (1 ; 1) .

1. Radice dell'ennesimo grado, n è un numero dispari

Tale funzione è definita sull'intero insieme dei numeri reali. Per chiarezza, considera i grafici delle funzioni y = x 3 , y = x 5 e x9. Nel disegno sono indicati dai colori: rispettivamente nero, rosso e blu delle curve.

Altri valori dispari dell'esponente della radice della funzione y = x n daranno un grafico di forma simile.

Definizione 4

Proprietà della radice della funzione dell'ennesimo grado, n è un numero dispari

• il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali;
• questa funzione è dispari;
• l'intervallo di valori è l'insieme di tutti i numeri reali;
• la funzione y = x n con esponenti dispari della radice aumenta sull'intero dominio di definizione;
• la funzione ha concavità sull'intervallo (- ∞ ; 0 ] e convessità sull'intervallo [ 0 , + ∞) ;
• il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) ;
• non ci sono asintoti;
• il grafico della funzione per n dispari passa per i punti (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) e (1 ; 1) .

Funzione di alimentazione

Definizione 5

La funzione di potenza è definita dalla formula y = x a .

Il tipo di grafici e le proprietà della funzione dipendono dal valore dell'esponente.

• quando una funzione di potenza ha un esponente intero a, la forma del grafico della funzione di potenza e le sue proprietà dipendono dal fatto che l'esponente sia pari o dispari, e anche dal segno che ha l'esponente. Consideriamo di seguito tutti questi casi speciali in modo più dettagliato;
• l'esponente può essere frazionario o irrazionale - a seconda di ciò, variano anche il tipo di grafici e le proprietà della funzione. Analizzeremo casi speciali impostando diverse condizioni: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• una funzione di potenza può avere un esponente zero, analizzeremo anche questo caso in modo più dettagliato di seguito.

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando a è un numero positivo dispari, ad esempio a = 1 , 3 , 5 …

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni di potenza: y = x (colore nero del grafico), y = x 3 (colore blu del grafico), y = x 5 (colore rosso del grafico), y = x 7 (grafico verde). Quando a = 1 , otteniamo una funzione lineare y = x .

Definizione 6

Proprietà di una funzione di potenza quando l'esponente è un positivo dispari

• la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) (esclusa la funzione lineare);
• il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) (esclusa la funzione lineare);
• non ci sono asintoti;
• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando a è un numero positivo pari, ad esempio a = 2 , 4 , 6 ...

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni di potenza: y \u003d x 2 (colore nero del grafico), y = x 4 (colore blu del grafico), y = x 8 (colore rosso del grafico). Quando a = 2, otteniamo una funzione quadratica il cui grafico è una parabola quadratica.

Definizione 7

Proprietà di una funzione di potenza quando l'esponente è anche positivo:

• dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• decrescente per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici di funzioni esponenziali y = x a quando a è un numero negativo dispari: y = x - 9 (colore nero del grafico); y = x - 5 (colore blu del grafico); y = x - 3 (colore rosso del grafico); y = x - 1 (grafico verde). Quando a \u003d - 1, otteniamo una proporzionalità inversa, il cui grafico è un'iperbole.

Definizione 8

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è dispari negativo:

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ per a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

• intervallo: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• la funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è decrescente per x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0) e concava per x ∈ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici delle funzioni di potenza y = x a quando a è un numero pari negativo: y = x - 8 (grafico in nero); y = x - 4 (colore blu del grafico); y = x - 2 (colore rosso del grafico).

Definizione 9

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è anche negativo:

• dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ per a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

• la funzione è pari perché y (- x) = y (x) ;
• la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; 0) e decrescente per x ∈ 0 ; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• l'asintoto orizzontale è una retta y = 0 perché:

k = lim x → ∞ x un x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Fin dall'inizio, prestare attenzione al seguente aspetto: nel caso in cui a sia una frazione positiva con denominatore dispari, alcuni autori prendono l'intervallo - ∞ come dominio di definizione di questa funzione di potenza; + ∞ , stabilendo che l'esponente a è una frazione irriducibile. Al momento, gli autori di molte pubblicazioni didattiche sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINONO le funzioni di potenza, dove l'esponente è una frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Inoltre, aderiremo proprio a tale posizione: prendiamo l'insieme [ 0 ; +∞) . Raccomandazione per gli studenti: scoprire a questo punto il punto di vista dell'insegnante per evitare disaccordi.

Quindi diamo un'occhiata alla funzione di alimentazione y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale a condizione che 0< a < 1 .

Illustriamo con grafici le funzioni di potenza y = x a quando a = 11 12 (grafico in nero); a = 5 7 (colore rosso del grafico); a = 1 3 (colore blu del grafico); a = 2 5 (colore verde del grafico).

Altri valori dell'esponente a (supponendo 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definizione 10

Proprietà della funzione di potenza a 0< a < 1:

• intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione ha convessità per x ∈ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale non intero a condizione che a > 1 .

Illustriamo i grafici della funzione di potenza y \u003d x a in determinate condizioni utilizzando le seguenti funzioni come esempio: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (nero, rosso, blu, verde rispettivamente grafici).

Altri valori dell'esponente a nella condizione a > 1 daranno una vista simile del grafico.

Definizione 11

Proprietà della funzione di potenza per a > 1:

• dominio di definizione: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione è concava per x ∈ (0 ; + ∞) (quando 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• punti di passaggio della funzione: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Attiriamo la vostra attenzione Quando a è una frazione negativa con denominatore dispari, nelle opere di alcuni autori si ritiene che il dominio di definizione in questo caso sia l'intervallo - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) con la condizione che l'esponente a sia una frazione irriducibile. Al momento, gli autori di materiali didattici sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINISCONO le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Inoltre, aderiamo proprio a questo punto di vista: prendiamo l'insieme (0 ; + ∞) come dominio delle funzioni di potenza con esponenti negativi frazionari. Suggerimento per gli studenti: chiarisci a questo punto la visione del tuo insegnante per evitare disaccordi.

Continuiamo l'argomento e analizziamo la funzione di potenza y = x a fornito: - 1< a < 0 .

Ecco un disegno di grafici delle seguenti funzioni: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (linee nere, rosse, blu, verdi, rispettivamente ).

Definizione 12

Proprietà della funzione di potenza a - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• intervallo: y ∈ 0 ; +∞ ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• non ci sono punti di flesso;

Il disegno seguente mostra i grafici delle funzioni di potenza y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (rispettivamente i colori nero, rosso, blu, verde delle curve).

Definizione 13

Proprietà della funzione di potenza per a< - 1:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione è decrescente per x ∈ 0; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• asintoto orizzontale - linea retta y = 0;
• punto di passaggio della funzione: (1 ; 1) .

Quando a \u003d 0 e x ≠ 0, otteniamo la funzione y \u003d x 0 \u003d 1, che determina la retta da cui è escluso il punto (0; 1) (abbiamo convenuto che l'espressione 0 0 non sarà dato alcun valore).

La funzione esponenziale ha la forma y = a x , dove a > 0 e a ≠ 1 , e il grafico di questa funzione appare diverso in base al valore della base a . Consideriamo casi speciali.

Per prima cosa, analizziamo la situazione in cui la base della funzione esponenziale ha un valore da zero a uno (0< a < 1) . Un esempio illustrativo sono i grafici delle funzioni per a = 1 2 (colore blu della curva) e a = 5 6 (colore rosso della curva).

I grafici della funzione esponenziale avranno forma simile per altri valori della base, a patto che 0< a < 1 .

Definizione 14

Proprietà di una funzione esponenziale quando la base è minore di uno:

• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• una funzione esponenziale la cui base è minore di uno è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• non ci sono punti di flesso;
• l'asintoto orizzontale è la retta y = 0 con la variabile x tendente a + ∞ ;

Consideriamo ora il caso in cui la base della funzione esponenziale è maggiore di uno (a > 1).

Illustriamo questo caso speciale con il grafico delle funzioni esponenziali y = 3 2 x (colore blu della curva) e y = e x (colore rosso del grafico).

Altri valori della base, maggiori di uno, daranno una vista simile del grafico della funzione esponenziale.

Definizione 15

Proprietà della funzione esponenziale quando la base è maggiore di uno:

• il dominio di definizione è l'intero insieme dei numeri reali;
• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• una funzione esponenziale la cui base è maggiore di uno è crescente per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• asintoto orizzontale - retta y = 0 con variabile x tendente a -∞;
• punto di passaggio della funzione: (0 ; 1) .

La funzione logaritmica ha la forma y = log a (x) , dove a > 0 , a ≠ 1 .

Tale funzione è definita solo per valori positivi dell'argomento: per x ∈ 0 ; +∞ .

Il grafico della funzione logaritmica ha una forma diversa, in base al valore della base a.

Considera prima la situazione in cui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Altri valori della base, non maggiori di uno, daranno una vista simile del grafico.

Definizione 16

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è minore di uno:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ . Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a + ∞;
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• logaritmico
• la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;

Analizziamo ora un caso particolare in cui la base della funzione logaritmica è maggiore di uno: a > 1 . Nel disegno sottostante, ci sono i grafici delle funzioni logaritmiche y = log 3 2 x e y = ln x (rispettivamente i colori blu e rosso dei grafici).

Altri valori della base maggiori di uno daranno una vista simile del grafico.

Definizione 17

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è maggiore di uno:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ . Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a - ∞;
• intervallo: y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'intero insieme dei numeri reali);
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione logaritmica è crescente per x ∈ 0; +∞ ;
• la funzione ha convessità per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• punto di passaggio della funzione: (1 ; 0) .

Le funzioni trigonometriche sono seno, coseno, tangente e cotangente. Analizziamo le proprietà di ciascuno di essi e i grafici corrispondenti.

In generale, tutte le funzioni trigonometriche sono caratterizzate dalla proprietà della periodicità, cioè quando i valori delle funzioni vengono ripetuti per valori diversi dell'argomento che differiscono tra loro per il valore del periodo f (x + T) = f (x) (T è il periodo). Pertanto, l'elemento "periodo meno positivo" viene aggiunto all'elenco delle proprietà delle funzioni trigonometriche. Inoltre, indicheremo tali valori dell'argomento per cui la funzione corrispondente scompare.

1. Funzione seno: y = sin(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda sinusoidale.

Definizione 18

Proprietà della funzione seno:

• dominio di definizione: l'intero insieme dei numeri reali x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la funzione svanisce quando x = π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• la funzione è crescente per x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z e decrescente per x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• la funzione seno ha massimi locali nei punti π 2 + 2 π · k ; 1 e minimi locali nei punti - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• la funzione seno è concava quando x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z e convesso quando x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• non ci sono asintoti.

1. funzione coseno: y=cos(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda coseno.

Definizione 19

Proprietà della funzione coseno:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• il periodo positivo più piccolo: T \u003d 2 π;
• intervallo: y ∈ - 1 ; uno ;
• questa funzione è pari, poiché y (- x) = y (x) ;
• la funzione è crescente per x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z e decrescente per x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• la funzione coseno ha massimi locali nei punti 2 π · k ; 1 , k ∈ Z e minimi locali nei punti π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• la funzione coseno è concava quando x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z e convesso quando x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• non ci sono asintoti.

1. Funzione tangente: y = tg (x)

Viene chiamato il grafico di questa funzione tangenziale.

Definizione 20

Proprietà della funzione tangente:

• dominio di definizione: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• Il comportamento della funzione tangente sul confine del dominio di definizione lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Pertanto, le linee x = π 2 + π · k k ∈ Z sono asintoti verticali;
• la funzione svanisce quando x = π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è crescente a -π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• la funzione tangente è concava per x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z e convesso per x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Funzione cotangente: y = c t g (x)

Il grafico di questa funzione è chiamato cotangenteide. .

Definizione 21

Proprietà della funzione cotangente:

• dominio di definizione: x ∈ (π k ; π + π k) , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);

Comportamento della funzione cotangente sul confine del dominio di definizione lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Pertanto, le linee x = π k k ∈ Z sono asintoti verticali;

• il periodo positivo più piccolo: T \u003d π;
• la funzione svanisce quando x = π 2 + π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è decrescente per x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• la funzione cotangente è concava per x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z e convessa per x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• non ci sono asintoti obliqui e orizzontali.

Le funzioni trigonometriche inverse sono l'arcoseno, l'arcocoseno, l'arcotangente e l'arcocotangente. Spesso, a causa della presenza del prefisso "arco" nel nome, le funzioni trigonometriche inverse sono chiamate funzioni ad arco. .

1. Funzione arcoseno: y = a r c sin (x)

Definizione 22

Proprietà della funzione arcoseno:

• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione arcoseno è concava per x ∈ 0; 1 e convessità per x ∈ - 1 ; 0;
• i punti di flesso hanno coordinate (0 ; 0) , è anche lo zero della funzione;
• non ci sono asintoti.

1. Funzione arcoseno: y = a r c cos (x)

Definizione 23

Proprietà della funzione arcoseno:

• dominio di definizione: x ∈ - 1 ; uno ;
• intervallo: y ∈ 0 ; π;
• questa funzione è di forma generale (né pari né dispari);
• la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• la funzione arcoseno è concava per x ∈ - 1 ; 0 e convessità per x ∈ 0 ; uno ;
• i punti di flesso hanno coordinate 0 ; π2;
• non ci sono asintoti.

1. Funzione arcotangente: y = a r c t g (x)

Definizione 24

Proprietà della funzione arcotangente:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• intervallo: y ∈ - π 2 ; π2;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è crescente nell'intero dominio di definizione;
• la funzione arctangente è concava per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e convessa per x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• il punto di flesso ha coordinate (0; 0), è anche lo zero della funzione;
• gli asintoti orizzontali sono linee rette y = - π 2 per x → - ∞ e y = π 2 per x → + ∞ (gli asintoti nella figura sono linee verdi).

1. Funzione arco cotangente: y = a r c c t g (x)

Definizione 25

Proprietà della funzione arco cotangente:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• intervallo: y ∈ (0 ; π) ;
• questa funzione è di tipo generale;
• la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• la funzione arcocotangente è concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) e convessità per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• il punto di flesso ha coordinate 0 ; π2;
• gli asintoti orizzontali sono le linee rette y = π in x → - ∞ (linea verde nel disegno) e y = 0 in x → + ∞.

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Una volta che hai veramente capito cos'è una funzione (potrebbe essere necessario leggere la lezione più di una volta), sarai in grado di risolvere i problemi con le funzioni con maggiore sicurezza.

In questa lezione analizzeremo come risolvere i principali tipi di problemi di funzione e grafici di funzione.

Come ottenere il valore di una funzione

Consideriamo il compito. La funzione è data dalla formula " y \u003d 2x - 1"

1. Calcola " y"Quando" x \u003d 15 "
2. Trova il valore " x", In corrispondenza del quale il valore " y "è uguale a" −19 ".

Per calcolare " y"Con" x \u003d 15"È sufficiente sostituire il valore numerico richiesto nella funzione invece di" x".

La voce della soluzione è simile a questa:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Per trovare " x"Secondo la "y" nota, è necessario sostituire un valore numerico al posto di "y" nella formula della funzione.

Cioè, ora, al contrario, cercare " x"Sostituiamo nella funzione" y \u003d 2x - 1 "Invece di" y ", il numero" −19".

−19 = 2x − 1

Abbiamo ottenuto un'equazione lineare con una "x" incognita, che viene risolta secondo le regole per risolvere le equazioni lineari.

Ricordare!

Non dimenticare la regola di trasferimento nelle equazioni.

Quando si trasferisce dal lato sinistro dell'equazione a quello destro (e viceversa), la lettera o il numero cambia segno in opposto.

−19 = 2x − 1
0 = 2x - 1 + 19
-2x = -1 + 19
-2x = 18

Come per risolvere un'equazione lineare, per trovare l'incognita, ora dobbiamo moltiplicare sia il lato sinistro che quello destro su "-1" per cambiare il segno.

-2x = 18 | (-1)
2x = -18

Ora dividiamo entrambi i lati sinistro e destro per "2" per trovare "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Come verificare se l'uguaglianza è vera per una funzione

Consideriamo il compito. La funzione è data dalla formula "f(x) = 2 − 5x".

L'uguaglianza "f(−2) = −18" è vera?

Per verificare se l'uguaglianza è vera, è necessario sostituire il valore numerico "x = -2" nella funzione " f (x) \u003d 2 - 5x"E confrontare con ciò che accade nei calcoli.

Importante!

Quando sostituisci "x" con un numero negativo, assicurati di racchiuderlo tra parentesi.

Non giusto

Correttamente

Con l'aiuto dei calcoli, abbiamo ottenuto "f(−2) = 12".

Ciò significa che "f(−2) = −18" per la funzione "f(x) = 2 − 5x" non è un'uguaglianza valida.

Come verificare se un punto appartiene a un grafico di una funzione

Considera la funzione " y \u003d x 2 −5x + 6"

È necessario scoprire se il punto con coordinate (1; 2) appartiene al grafico di questa funzione.

Per questo compito, non è necessario tracciare una determinata funzione.

Ricordare!

Per determinare se un punto appartiene a una funzione, è sufficiente sostituirne le coordinate nella funzione (coordinata lungo l'asse "Ox" anziché "x" e coordinata lungo l'asse "Oy" anziché "y").

Se questo funziona vera uguaglianza, quindi il punto appartiene alla funzione.

Torniamo al nostro compito. Sostituisci nella funzione "y \u003d x 2 - 5x + 6" le coordinate del punto (1; 2).

Invece di " x"Sostituiamo" 1". Invece di " y"Sostituto" 2».

2 = 1 2 - 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (corretto)

Abbiamo ottenuto l'uguaglianza corretta, il che significa che il punto con coordinate (1; 2) appartiene alla funzione data.

Ora controlliamo il punto con le coordinate (0; 1) . Lei appartiene
funzioni "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

Invece di "x", sostituiamo "0". Invece di " y"Sostituto" 1».

1 = 0 2 - 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (sbagliato)

In questo caso, non abbiamo ottenuto l'uguaglianza corretta. Ciò significa che il punto con coordinate (0; 1) non appartiene alla funzione " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Come ottenere le coordinate del punto funzione

Da qualsiasi grafico di funzione, puoi prendere le coordinate di un punto. Quindi è necessario assicurarsi che quando si sostituiscono le coordinate nella formula della funzione, si ottenga l'uguaglianza corretta.

Considera la funzione "y(x) = −2x + 1". Abbiamo già costruito il suo programma nella lezione precedente.

Troviamo sul grafico della funzione " y (x) \u003d -2x + 1", che è uguale a" y"Per x \u003d 2.

Per fare ciò, dal valore " 2"Sull'asse" Ox", Disegna una perpendicolare al grafico della funzione. Dal punto di intersezione della perpendicolare e del grafico della funzione, traccia un'altra perpendicolare all'asse "Oy".

Il valore risultante " -3"Sull'asse" Oy"E sarà il valore desiderato" y».

Assicuriamoci di aver preso correttamente le coordinate del punto per x = 2
nella funzione "y(x) = −2x + 1".

Per fare ciò, sostituiamo x \u003d 2 nella formula della funzione "y (x) \u003d -2x + 1". Se disegniamo correttamente la perpendicolare, dovremmo anche ottenere y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Durante il calcolo, abbiamo anche ottenuto y = −3.

Ciò significa che abbiamo ricevuto correttamente le coordinate dal grafico della funzione.

Importante!

Assicurati di controllare tutte le coordinate del punto dal grafico della funzione sostituendo i valori di "x" nella funzione.

Quando si sostituisce il valore numerico "x" nella funzione, il risultato dovrebbe essere lo stesso valore "y", che hai ottenuto sul grafico.

Quando si ottengono le coordinate dei punti dal grafico della funzione, è molto probabile che si commetta un errore, perché il disegno di una perpendicolare agli assi viene eseguito "ad occhio".

Solo la sostituzione di valori in una formula di funzione fornisce risultati accurati.