Un altro schema per descrivere esperimenti con esiti ambiguamente previsti, che rende abbastanza facile introdurre una caratteristica quantitativa della fattibilità di un evento, è lo schema delle probabilità geometriche, che, come lo schema dei casi sopra considerato, sfrutta l'idea di l'uguale possibilità dei risultati dell'esperimento. Come nello schema dei casi, la caratteristica quantitativa della fattibilità di un evento - la sua probabilità - è definita come un valore in qualche modo normalizzato, proporzionale allo stock di esiti che favoriscono l'attuazione dell'evento. Sia descritto l'insieme dei risultati dell'esperimento in esame come un insieme di P punti di un "continuum geometrico": ogni risultato corrisponde a un certo punto e ogni punto corrisponde a un determinato risultato. Il “continuum geometrico” Q può essere un segmento su una retta, un arco di curva rettificabile su un piano o nello spazio, una quadratura su un piano (triangolo, rettangolo, cerchio, ellisse, ecc.) o una parte di una superficie quadrata, un volume nello spazio (un poliedro - un prisma, una piramide, una palla, un ellissoide, ecc.) Un evento è qualsiasi sottoinsieme quadrato di un insieme (lunghezza, area, volume) che possiamo misurare. Assumendo l'equiprobabilità dei risultati, chiamiamo la probabilità dell'evento A un numero proporzionale alla misura del sottoinsieme A dell'insieme P: Le probabilità geometriche in questo caso saranno comprese tra zero - la probabilità di un evento impossibile, e uno - il probabilità di un evento affidabile4*. La condizione di normalizzazione consente di trovare la costante k - il coefficiente di proporzionalità che specifica la probabilità. Risulta essere uguale a Quindi, nello schema delle probabilità geometriche, la probabilità di qualsiasi evento è definita come il rapporto tra la misura del sottoinsieme A, descrivendo l'evento, e la misura dell'insieme il, descrivendo l'esperimento come un tutto: contenuto in un altro non può essere maggiore di quest'ultimo. Come nello schema dei casi, gli eventi nello schema delle probabilità geometriche possono essere combinati, combinati e costruiti sulla base di quelli opposti - in questo caso, in generale, si otterranno eventi diversi dagli eventi originari. La prossima proprietà è molto importante. 3. Se gli eventi sono incompatibili, allora, in particolare, vale il principio di complementarità: questa proprietà, comunemente chiamata regola dell'addizione delle probabilità, deriva ovviamente dall'additività della misura5*. In conclusione, notiamo che la probabilità di qualsiasi risultato nello schema delle probabilità geometriche è sempre uguale a zero, così come la probabilità di qualsiasi evento descritto da un insieme di punti “magro”, cioè insieme, la cui misura (rispettivamente - lunghezza, area, volume) è uguale a zero. Consideriamo diversi esempi che illustrano il calcolo delle probabilità nello schema delle probabilità geometriche. Esempio 1. L'esperimento consiste nella scelta casuale di un punto dal segmento [a, 6|. Trova la probabilità che il punto selezionato si trovi nella metà sinistra del segmento considerato. 4 Per definizione, la probabilità di scegliere un punto da qualsiasi insieme su un segmento è maggiore di zero e il loro prodotto è negativo.
Risposta: 0;25.
4.6. Durante l'addestramento al combattimento, l'n-esimo squadrone di bombardieri ha ricevuto il compito di attaccare il deposito di petrolio "nemico". Sul territorio del deposito petrolifero, che ha la forma di un rettangolo con lati di 30 e 50 m, sono presenti quattro cisterne rotonde dell'olio del diametro di 10 m ciascuna. Trova la probabilità di un colpo diretto dei serbatoi di petrolio da parte di una bomba che ha colpito il territorio del deposito di petrolio, se la bomba colpisce un punto qualsiasi di questa base con uguale probabilità.
Risposta: π/15.
4.7. Due numeri reali xey vengono scelti a caso in modo che la somma dei loro quadrati sia minore di 100. Qual è la probabilità che la somma dei quadrati di questi numeri sia maggiore di 64?
Risposta: 0;36.
4.8. I due amici hanno deciso di incontrarsi tra le 13:00 e le 14:00. La prima persona che arriva aspetta la seconda persona per 20 minuti e poi se ne va. Determina la probabilità di incontrare amici se i momenti del loro arrivo nell'intervallo di tempo specificato sono ugualmente probabili.
Risposta: 5/9.
4.9. Due battelli a vapore devono arrivare allo stesso molo. L'ora di arrivo di entrambe le navi è ugualmente possibile durante il giorno indicato. Determinare la probabilità che uno dei piroscafi debba attendere il rilascio dell'ormeggio se il primo piroscafo rimane per un'ora e il secondo per due ore.
Risposta: ≈ 0;121.
4.10. Vengono presi a caso due numeri positivi xey, ciascuno dei quali non supera due. Trova la probabilità che il prodotto x y sia al massimo uno e il quoziente y/x sia al massimo due.
Risposta: ≈ 0;38.
4.11. Nella regione G delimitata dall'ellissoide 
, un punto viene fissato a caso. Qual è la probabilità che le coordinate (x; y; z) di questo punto soddisfino la disuguaglianza x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
Risposta: 1/3.
4.12. Un punto viene lanciato in un rettangolo con i vertici R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Trova la probabilità che le sue coordinate soddisfino le disuguaglianze 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Risposta: 2/3.
4.13. La regione G è delimitata dal cerchio x 2 + y 2 = 25, e la regione g è delimitata da questo cerchio e dalla parabola 16x - 3y 2 > 0. Trova la probabilità di cadere nella regione g.
Risposta: ≈ 0;346.
4.14. Vengono presi a caso due numeri positivi xey, ciascuno dei quali non supera uno. Trova la probabilità che la somma x + y non ecceda 1 e il prodotto x · y non sia inferiore a 0,09.
Risposta: ≈ 0;198.
Definizione statistica di probabilità
Compito 2. Il tiratore spara un colpo al bersaglio. Stimare la probabilità che colpisca il bersaglio.
Decisione. In questo esperimento sono possibili due risultati: o il tiratore ha colpito il bersaglio (l'evento UN), o ha mancato (evento). Eventi UN e sono incompatibili e formano un gruppo completo. Tuttavia, nel caso generale, non è noto se siano ugualmente possibili o meno. Pertanto, in questo caso, la definizione classica di probabilità di un evento casuale non può essere utilizzata. Puoi risolvere il problema usando la definizione statistica della probabilità di un evento casuale.
Definizione 1.12. Frequenza relativa degli eventi UN chiamato il rapporto tra il numero di prove in cui l'evento UN apparso, al numero totale di prove effettivamente eseguite.
Quindi, la frequenza relativa dell'evento UN può essere calcolato con la formula
dove K– numero di occorrenze dell'evento UN, lè il numero totale di prove.
Osservazione 1.2. La principale differenza nella frequenza relativa dell'evento UN dalla sua probabilità classica sta nel fatto che la frequenza relativa si trova sempre in base ai risultati delle prove. Per calcolare la probabilità classica, non è necessario impostare un esperimento.
Osservazioni a lungo termine hanno mostrato che se una serie di esperimenti viene eseguita in condizioni identiche, in ciascuna delle quali il numero di prove è sufficientemente grande, la frequenza relativa rivela proprietà di stabilità. Questa proprietà consiste nel fatto che in diverse serie di esperimenti la frequenza relativa W( UN) cambia poco (meno, più test vengono eseguiti), fluttuando attorno a un certo numero costante.
Come probabilità statistica di un evento prendi una frequenza relativa o un numero vicino ad essa.
Torniamo al problema 2 sul calcolo della probabilità di un evento UN(il tiratore colpirà il bersaglio). Per risolverlo, è necessario condurre diverse serie di un numero sufficientemente elevato di colpi al bersaglio nelle stesse condizioni. Ciò consentirà di calcolare la frequenza relativa e stimare la probabilità di un evento UN.
Lo svantaggio della definizione statistica è l'ambiguità della probabilità statistica. Ad esempio, se W( UN)»0,4, quindi come probabilità dell'evento UN puoi prendere 0.4 e 0.39 e 0.41.
Osservazione 1.3. La definizione statistica di probabilità supera la seconda lacuna della definizione classica di probabilità.
Che ci siano figure sull'aereo G e g, e gÌ G(Fig. 1.1).
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Osservazione 1.4. Nel caso quando g e G- segmenti di retta, la probabilità di un evento UNè uguale al rapporto tra le lunghezze di questi segmenti. Se un g e G sono corpi nello spazio tridimensionale, quindi la probabilità di un evento UN si trova come rapporto tra i volumi di questi corpi. Pertanto, nel caso generale dove mesè la metrica dello spazio in esame. Osservazione 1.5. La definizione geometrica di probabilità si applica alle prove con un numero infinito di risultati. Esempio 1.13. Due persone hanno concordato di incontrarsi in un determinato luogo tra le 12 e le 13 ore, e ciascuna persona che è venuta alla riunione attende l'altra per 20 minuti, ma non oltre le 13.00, dopodiché se ne va. Trova la probabilità di incontrare queste persone se ognuna di loro arriva in un momento casuale, non coordinato con il momento di arrivo dell'altra. Decisione. Lascia che l'evento UN- si è svolto l'incontro. Indica con X- l'orario di arrivo della prima persona alla riunione, y- orario di arrivo della seconda persona. Allora l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperienza è l'insieme di tutte le coppie ( X, y), dove X, yО . E l'insieme dei risultati favorevoli è determinato dalla disuguaglianza |X – y| £ 20 (min). Entrambi questi insiemi sono infiniti, quindi la definizione classica per il calcolo della probabilità non può essere applicata. Usiamo la definizione geometrica. Sulla fig. 1.2 mostra gli insiemi di tutti i possibili risultati (quadrato OKMT) e risultati favorevoli (esagono OSLMNR). Usando la Definizione 1.13, otteniamo Somma e prodotto di eventi. Teoremi sulla probabilità della somma e del prodotto degli eventi Definizione 1.14.La somma degli eventi A e B nominare l'evento consistente nella comparsa di almeno uno di essi. Designazione: UN + B. Definizione 1.15.Il prodotto degli eventi A e B chiamiamo evento consistente nel verificarsi simultaneo di questi eventi nella stessa esperienza. Designazione: AB. Esempio 1.14. Da un mazzo di 36 carte, viene estratta una carta a caso. Introduciamo la notazione: UN- la carta estratta è risultata essere una signora, B- hanno tirato fuori una carta di picche. Trova le probabilità degli eventi UN + B e AB. Decisione. Evento UN + B succede se la carta pescata è di picche o di una regina. Ciò significa che l'evento in esame è favorito da 13 esiti (qualsiasi delle 9 carte di picche, qualsiasi delle 3 regine di un altro seme) su 36 possibili. Usando la definizione classica della probabilità di un evento casuale, otteniamo Evento AB si verifica se la carta pescata è di picche e una regina. Pertanto, l'evento AB favorisce un solo esito dell'esperienza (Queen of Spades) su 36 possibili. Tenendo conto della Definizione 1.11, otteniamo Osservazione 1.6. Le definizioni di somma e prodotto di eventi possono essere estese a qualsiasi numero di eventi. Quando si calcola la probabilità della somma e del prodotto degli eventi, è conveniente utilizzare le seguenti affermazioni. Teorema 1.1. La probabilità del verificarsi di uno di due eventi incompatibili, indipendentemente da quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi P( UN+B)=P( UN)+P( B). Corollario 1.1. La probabilità di accadimento di uno di più eventi incompatibili a coppie, indipendentemente da quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi P( UN 1 +UN 2 +…+Un)=P( UN 1)+P( UN 2)+…+P( Un). Corollario 1.2. La somma delle probabilità di eventi incompatibili a coppie UN 1 , UN 2 ,…, Un, formando un gruppo completo, è uguale a uno P( UN 1)+P( UN 2)+…+P( Un)=1. Corollario 1.3. Probabilità dell'evento opposto Un evento casuale è stato definito come un evento che, a seguito dell'esperienza, può verificarsi o meno. Se nel calcolo della probabilità di un evento non vengono imposte altre restrizioni (ad eccezione delle condizioni sperimentali), tale probabilità viene chiamata incondizionata. Se vengono imposte altre condizioni aggiuntive, la probabilità dell'evento viene chiamata condizionata. Definizione 1.16.Probabilità condizionale P B(UN) (o P( UN|B)) è chiamata probabilità di un evento UN, calcolato assumendo che l'evento B già successo. Utilizzando il concetto di probabilità condizionata, diamo una definizione dell'indipendenza degli eventi che differisce da quella data in precedenza. Definizione 1.17. L'evento A è indipendente dall'evento B se l'uguaglianza Nelle questioni pratiche, per determinare l'indipendenza di questi eventi, raramente si ricorre alla verifica del soddisfacimento delle uguaglianze (1.3) e (1.4) per essi. Di solito per questo usano considerazioni intuitive basate sull'esperienza. Definizione 1.18. Vengono chiamati diversi eventi indipendente a coppie se tutti e due sono indipendenti. Definizione 1.19. Vengono chiamati diversi eventi collettivamente indipendente se sono indipendenti a coppie e ogni evento e tutti i possibili prodotti degli altri sono indipendenti. Teorema 1.2. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno di essi per la probabilità condizionata dell'altro, calcolata sull'ipotesi che il primo evento si sia già verificato. A seconda della scelta della sequenza di eventi, il Teorema 1.2 può essere scritto come P( AB) = P( UN)P UN(B) P( AB) = P( B)P B(UN). Corollario 1.4. La probabilità del verificarsi congiunto di più eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno di essi per le probabilità condizionate di tutti gli altri e la probabilità di ogni evento successivo è calcolata partendo dal presupposto che tutti gli eventi precedenti siano già comparsi In questo caso, l'ordine in cui si trovano gli eventi può essere scelto in qualsiasi ordine. Esempio 1.15. Un'urna contiene 6 palline bianche e 3 nere. Una pallina viene estratta a caso dall'urna finché non ne appare una nera. Trova la probabilità che il quarto prelievo dovrà essere effettuato se le palline non vengono riposte nell'urna. Decisione. Nell'esperimento in esame è necessario effettuare la quarta estrazione se le prime tre palline risultano bianche. Indica con un io un evento che io-esimo disegno apparirà una pallina bianca ( io= 1, 2, 3). Il problema è trovare la probabilità di un evento UN 1 UN 2 UN 3. Dal momento che le palline estratte non tornano indietro, gli eventi UN 1 , UN 2 e UN 3 sono dipendenti (ogni precedente influisce sulla possibilità del successivo). Per calcolare la probabilità, utilizziamo il Corollario 1.4 e la classica definizione di probabilità di un evento casuale, ovvero Corollario 1.5. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle loro probabilità P( AB)=P( UN)P( B). Corollario 1.6. La probabilità del verificarsi congiunto di più eventi indipendenti nell'aggregato è uguale al prodotto delle loro probabilità P( UN 1 UN 2 …Un)=P( UN 1)P( UN 2)…P( Un). Esempio 1.16. Risolvi il problema dell'esempio 1.15, supponendo che dopo ogni rimozione le palline tornino nell'urna. Decisione. Come prima (Esempio 1.15), dobbiamo trovare P( UN 1 UN 2 UN 3). Tuttavia, gli eventi UN 1 , UN 2 e UN 3 sono complessivamente indipendenti, poiché la composizione dell'urna è la stessa per ogni prelievo e, quindi, il risultato di una singola prova non pregiudica le altre. Pertanto, per calcolare la probabilità, utilizziamo il Corollario 1.6 e la Definizione 1.11 della probabilità di un evento casuale, ovvero P( UN 1 UN 2 UN 3)=P( UN 1)P( UN 2)P( UN 3)= = . Teorema 1.3. La probabilità del verificarsi di almeno uno dei due eventi congiunti è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto
Osservazione 1.7. Quando si usa la formula (1.5), si deve tenere presente che gli eventi UN e B possono essere dipendenti o indipendenti. Esempio 1.17. Due tiratori hanno sparato un colpo ciascuno al bersaglio. È noto che la probabilità di colpire il bersaglio per uno dei tiratori è 0,6 e per l'altro - 0,7. Trova la probabilità che a) entrambi i tiratori hanno colpito il bersaglio (evento D); b) solo uno dei tiratori colpirà il bersaglio (evento e); c) almeno uno dei tiratori colpirà il bersaglio (l'evento F). Decisione. Introduciamo la notazione: UN- il primo tiratore ha colpito il bersaglio, B Il secondo tiratore ha colpito il bersaglio. Per condizione P( UN) = 0,6 e P( B) = 0,7. Risponderemo alle domande. a) Evento D accadrà se si verifica un evento AB. Perché gli eventi UN e B sono indipendenti, quindi, tenendo conto del Corollario 1.5, otteniamo P( D) = P( AB) = P( UN)P( B) = 0,6×0,7 = 0,42. b) Evento e accade se si verifica uno degli eventi UN o B. Questi eventi sono incompatibili e gli eventi UN() e B() sono indipendenti, quindi, per il Teorema 1.1, Corollari 1.3 e 1.5, abbiamo P( e) = P( UN+ B) = P( UN) + P( B) = P( UN)P() + P()P( B) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. c) Evento F si verificherà se si verifica almeno uno degli eventi UN o B. Questi eventi sono condivisi. Pertanto, per il Teorema 1.3, abbiamo P( F) = P( UN+B) = P( UN) + P( B) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Si noti che la probabilità di un evento F poteva essere calcolato diversamente. Vale a dire P( F) = P( UN+ B + AB) = P( UN) + P( B) + P( AB) = 0,88 P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0,4×0,3 = 0,88. Formula di probabilità totale. formule di Bayes Lascia che l'evento UN può verificarsi se si verifica uno degli eventi incompatibili B 1 , B 2 ,…, B n, formando un gruppo completo. Poiché non è noto in anticipo quale di questi eventi si verificherà, vengono chiamati ipotesi. Stimare la probabilità che si verifichi un evento UN prima dell'esperimento, puoi usare la seguente affermazione. Teorema 1.4. Probabilità di evento UN, che può verificarsi solo se si verifica uno degli eventi incompatibili B 1 , B 2 ,…, B n, formando un gruppo completo, è uguale a
Viene chiamata la formula (1.6). formule di probabilità totale. Esempio 1.18. Per superare l'esame, gli studenti dovevano preparare 30 domande. Su 25 studenti, 10 hanno preparato tutte le domande, 8 - 25 domande, 5 - 20 domande e 2 - 15 domande. Trova la probabilità che uno studente selezionato a caso risponda alla domanda data. Decisione. Introduciamo la seguente notazione: UN- un evento consistente nel fatto che uno studente chiamato a caso ha risposto alla domanda posta, B 1 - lo studente chiamato a caso conosce le risposte a tutte le domande, B 2 - lo studente chiamato a caso conosce le risposte a 25 domande, B 3 - lo studente chiamato a caso conosce le risposte a 20 domande e B 4 - Lo studente chiamato a caso conosce le risposte a 15 domande. Si noti che gli eventi B 1 ,B 2 ,B 3 e B 4 sono incompatibili, formano un gruppo completo e l'evento UN può verificarsi se si verifica uno di questi eventi. Pertanto, per calcolare la probabilità di un evento UN possiamo usare la formula della probabilità totale (1.6): A seconda della condizione del problema, sono note le probabilità delle ipotesi P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) = e probabilità condizionali (probabilità per gli studenti di ciascuno dei quattro gruppi di rispondere alla domanda) 1, = , = , = . Così, P( UN) = ×1 + × + × + × = . Si supponga che sia stato eseguito un test a seguito del quale si è verificato un evento UN, e quale degli eventi B io (io =1, 2,…, n) avvenuta non è nota al ricercatore. Per stimare le probabilità delle ipotesi dopo che il risultato del test è diventato noto, è possibile utilizzare formule di Bayes
Qui P( UN) è calcolato con la formula della probabilità totale (1.6). Esempio 1.19. In una certa fabbrica, la macchina I produce il 40% di tutta la produzione e la macchina II produce il 60%. In media, 9 unità su 1.000 prodotte dalla macchina I sono difettose e la macchina II ha 4 unità difettose su 500. Qual è la probabilità che sia stato prodotto dalla macchina II? Decisione. Introduciamo la notazione: UN- evento consistente nel fatto che un'unità di produzione, scelta a caso su una produzione giornaliera, si è rivelata un difetto, B io- un'unità di produzione, scelta a caso, è costituita da una macchina io(io= I, II). Eventi B 1 e B 2 sono incompatibili e formano un gruppo completo e l'evento UN può verificarsi solo a seguito del verificarsi di uno di questi eventi. È noto che l'evento UN successo (un'unità di produzione scelta a caso si è rivelata un difetto). Quale degli eventi B 1 o B 2 allo stesso tempo, è sconosciuto, perché non si sa su quale delle due macchine sia stato realizzato l'oggetto selezionato. Stima della probabilità di un'ipotesi B 2 può essere effettuato utilizzando la formula di Bayes (1.7): dove la probabilità di selezione casuale di un prodotto difettoso è calcolata dalla formula della probabilità totale (1.6): Considerando che, in base alla condizione del problema P( B 1) = 0,40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Sequenza di prove indipendenti Nelle attività scientifiche e pratiche è costantemente necessario eseguire prove ripetute in condizioni simili. Di norma, i risultati dei test precedenti non influiscono su quelli successivi. Il tipo più semplice di tali test è molto importante, quando in ciascuno dei test si verifica un evento UN può apparire con la stessa probabilità e questa probabilità rimane la stessa, indipendentemente dai risultati dei test precedenti o successivi. Questo tipo di test è stato esplorato per la prima volta da Jacob Bernoulli ed è quindi chiamato Schemi Bernoulliani. Schema Bernoulli. Lascia che sia prodotto n test indipendenti in condizioni simili (o viene eseguito lo stesso esperimento n volte), in ciascuna delle quali l'evento UN può o non può apparire. In questo caso, la probabilità che si verifichi un evento UN in ogni prova è uguale e uguale p. Pertanto, la probabilità di non verificarsi dell'evento UN in ogni singola prova è anche costante e uguale a q= 1 - p. La probabilità che in queste condizioni un evento UN si avvererà esattamente K volte (e, quindi, non si realizzeranno n – K volte) può essere trovato da Formula di Bernoulli
In questo caso, l'ordine in cui si è verificato l'evento UN nell'indicato n i test possono essere arbitrari. Esempio 1.20. La probabilità che un cliente richieda scarpe taglia 41 è 0,2. Trova la probabilità che tra i primi 5 acquirenti saranno necessarie scarpe di questa misura: a) una; b) almeno uno; c) almeno tre; d) più di uno e meno di quattro. Decisione. In questo esempio, la stessa esperienza (scelta delle scarpe) viene eseguita 5 volte e la probabilità dell'evento lo è UN- vengono scelte le scarpe della 41a taglia - è costante e uguale a 0,2. Inoltre, il risultato di ogni singolo test non influisce su altri esperimenti, perché. gli acquirenti scelgono le scarpe indipendentemente l'una dall'altra. Pertanto, abbiamo una sequenza di test eseguiti secondo lo schema di Bernoulli, in cui n = 5, p = 0,2, q= 0,8. Per rispondere alle domande poste è necessario calcolare le probabilità P 5 ( K). Usiamo la formula (1.8). a) P 5 (1) = = 0,4096; b) P 5 ( K³ 1) = 1 - P 5 ( K < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; c) P 5 ( K³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0,5792; d) P 5 (1< K < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. L'uso della formula di Bernoulli (1.32) per grandi valori di n e m causa grandi difficoltà, poiché ciò comporta calcoli ingombranti. Pertanto, a n = 200, m = 116, p = 0,72, la formula di Bernoulli assume la forma P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . È quasi impossibile calcolare il risultato. Il calcolo di P n (m) causa difficoltà anche per piccoli valori di p (q). È necessario trovare formule approssimative per il calcolo di P n (m), fornendo l'accuratezza necessaria. Tali formule ci danno teoremi limite; contengono le cosiddette formule asintotiche, che, per valori di prova grandi, danno un errore relativo arbitrariamente piccolo. Si considerino tre teoremi limite contenenti formule asintotiche per calcolare la probabilità binomiale P n (m) come n. Teorema 1.5. Se il numero di prove aumenta indefinitamente (n) e la probabilità p del verificarsi dell'evento A in ciascuna prova diminuisce indefinitamente (p), ma in modo tale che il loro prodotto pr sia un valore costante (pr = a = const) , allora la probabilità P n (m) soddisfa l'uguaglianza limite L'espressione (1.9) è chiamata formula di Poisson asintotica. Dall'uguaglianza limite (1.9) per grande n e piccolo p segue la formula approssimativa di Poisson La formula (1.10) viene utilizzata quando la probabilità p = const di successo è estremamente piccola, ovvero il successo stesso (l'aspetto dell'evento A) è un evento raro (ad esempio, vincere un'auto con un biglietto della lotteria), ma il numero di prove n è grande, il numero medio di successi pr = a leggermente. La formula approssimativa (1.10) viene solitamente utilizzata quando n 50 e pr 10. La formula di Poisson trova applicazione nella teoria delle code. Un flusso di eventi è una sequenza di eventi che si verificano in momenti casuali (ad esempio, un flusso di visitatori in un parrucchiere, un flusso di chiamate in una centrale telefonica, un flusso di guasti agli elementi, un flusso di abbonati serviti, ecc.). Il flusso degli eventi, che ha le proprietà di stazionarietà, ordinarietà e assenza di conseguenze, è chiamato il flusso più semplice (di Poisson). La proprietà di stazionarietà significa che la probabilità di accadimento di k eventi in un intervallo di tempo di lunghezza dipende solo dalla sua lunghezza (cioè, non dipende dalla sua origine). Di conseguenza, il numero medio di eventi che compaiono nell'unità di tempo, la cosiddetta intensità del flusso, è un valore costante: ( t) = . La proprietà di ordinario significa che l'evento non compare in gruppi, ma uno per uno. In altre parole, la probabilità di accadimento di più eventi per un piccolo periodo di tempo t è trascurabile rispetto alla probabilità di accadimento di un solo evento (ad esempio, il flusso delle barche in avvicinamento al molo è normale). La proprietà dell'assenza di una conseguenza significa che la probabilità di occorrenza k di eventi in qualsiasi intervallo di tempo di lunghezza non dipende da quanti eventi sono comparsi su qualsiasi altro segmento che non si interseca con esso (si dice: il "futuro" di il flusso non dipende dal "passato", ad esempio il flusso di persone, compreso nel supermercato). Si può dimostrare che la probabilità del verificarsi di m eventi del flusso più semplice in un tempo di durata t è determinata dalla formula di Poisson. Utilizzare la formula di Bernoulli per valori elevati n abbastanza difficile, perché in questo caso si devono eseguire operazioni su numeri enormi. I calcoli possono essere semplificati utilizzando tabelle fattoriali o utilizzando mezzi tecnici (calcolatrice, computer). Ma in questo caso, gli errori si accumulano nel processo di calcolo. Pertanto, il risultato finale potrebbe differire in modo significativo da quello reale. C'è bisogno di fare domanda approssimativo (asintotico) formule. Osservazione 1.8. Funzione g(X) sono chiamati approssimazione asintotica della funzione f(X), Se. Teorema 1.6. (Teorema locale di Moivre-Laplace) Se la probabilità p verificarsi di un evento UN in ogni prova è costante e diversa da 0 e 1, e il numero di prove indipendenti è sufficientemente grande, quindi la probabilità che l'evento UN apparirà dentro n prove eseguite secondo lo schema di Bernoulli, appunto K volte, approssimativamente uguale (più è accurato, più n) Il grafico della funzione ha la forma mostrata in Fig. 1.3. Va tenuto presente che: a) la funzione φ(x) è pari, ovvero φ(-x) = φ(x); Per funzione j(X) vengono compilate le tabelle dei valori X³ 0. Per X< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(X) è anche. Teorema 1.7. (Teorema integrale di Moivre-Laplace) Se la probabilità p evento UN in ogni prova è costante e diversa da 0 e 1, quindi la probabilità P n(K 1 , K 2) che l'evento UN apparirà dentro n prove effettuate secondo lo schema Bernoulli, da K 1 a K 2 volte, approssimativamente uguale Qui z 1 e z 2 sono definiti in (1.14). Esempio 1.21. La germinazione dei semi è stimata con una probabilità di 0,85. Trova la probabilità che su 500 semi seminati germoglino: a) 425 semi; b) da 425 a 450 semi. Decisione. Qui, come nell'esempio precedente, c'è una sequenza di prove indipendenti eseguite secondo lo schema di Bernoulli (esperimento - piantare un seme, evento UN- seme germogliato n = 500, p = 0,85, q= 0,15. Poiché il numero di prove è elevato ( n> 100), utilizziamo le formule asintotiche (1.10) e (1.13) per calcolare le probabilità richieste. b) »F(3.13)–F(0)»0.49. Se il numero di prove n, effettuato secondo lo schema di Bernoulli, è grande, e la probabilità p verificarsi di un evento UN in ognuno di essi è piccolo ( p£ 0,1), allora la formula asintotica di Laplace non è adatta. In questo caso, utilizzare formula di Poisson asintotica
dove l = np. Esempio 1.22. Il negozio ha ricevuto 1.000 bottiglie di acqua minerale. La probabilità che una bottiglia si rompa durante il trasporto è 0,003. Trova la probabilità che il negozio riceva bottiglie rotte: a) esattamente 2; b) inferiore a 2; c) almeno uno. Decisione. In questo problema c'è una sequenza di test indipendenti eseguiti secondo lo schema di Bernoulli (esperimento - verifica dell'integrità di una bottiglia, evento UN- la bottiglia è rotta n = 1000, p = 0,003, q= 0,997. Perché il numero di prove è elevato ( n> 100) e la probabilità p piccolo ( p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l=3. a) = 4,5 e-3 » 0,224; b) P 1000 ( K < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0,199; c) P 1000 ( K³ 1) = 1 - P1000 ( K < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0,95. I teoremi locali e integrali di Moivre-Laplace sono corollari di un più generale teorema del limite centrale. Molte variabili casuali continue hanno normale distribuzione. Questa circostanza è in gran parte determinata dal fatto che la somma di un gran numero di variabili casuali con leggi di distribuzione molto diverse porta alla distribuzione normale di questa somma. Teorema . Se una variabile casuale è la somma di un numero molto grande di variabili casuali reciprocamente indipendenti, l'influenza di ciascuna delle quali è trascurabile sull'intera somma, allora ha una distribuzione prossima alla normale . Il teorema del limite centrale è di grande importanza pratica. Supponiamo che sia determinato un indicatore economico, ad esempio il consumo di elettricità in città per l'anno. Il valore del consumo totale è la somma del consumo di energia dei singoli consumatori, che ha valori casuali con distribuzioni diverse. Il teorema afferma che in questo caso, qualunque sia la distribuzione delle singole componenti, la distribuzione del consumo risultante sarà prossima alla normalità. |
