Come ho già notato, nel calcolo integrale non esiste una formula conveniente per integrare una frazione. E quindi, c'è una tendenza triste: più "fantasiosa" la frazione, più difficile è trovare l'integrale da essa. A questo proposito, bisogna ricorrere a vari trucchi, di cui parlerò ora. I lettori preparati possono utilizzare immediatamente sommario:
- Il metodo di sussunzione sotto il segno del differenziale per frazioni semplici
Metodo di trasformazione artificiale del numeratore
Esempio 1
A proposito, l'integrale considerato può anche essere risolto con il metodo del cambio variabile, denotando , ma la soluzione sarà molto più lunga.
Esempio 2
Trova l'integrale indefinito. Esegui un controllo.
Questo è un esempio fai da te. Va notato che qui il metodo di sostituzione delle variabili non funzionerà più.
Attenzione importante! Gli esempi n. 1, 2 sono tipici e sono comuni. In particolare, tali integrali spesso sorgono nel corso della risoluzione di altri integrali, in particolare, quando si integrano funzioni irrazionali (radici).
Il metodo sopra funziona anche nel caso se la potenza massima del numeratore è maggiore della potenza massima del denominatore.
Esempio 3
Trova l'integrale indefinito. Esegui un controllo.
Iniziamo a selezionare il numeratore.
L'algoritmo di selezione del numeratore è simile a questo:
1) Nel numeratore devo organizzare, ma c'è. Cosa fare? Racchiudo tra parentesi e moltiplico per: .
2) Adesso provo ad aprire queste parentesi, cosa succede? . Hmm ... già meglio, ma non c'è un due con inizialmente nel numeratore. Cosa fare? Devi moltiplicare per:
3) Riaprendo le staffe: . Ed ecco il primo successo! Necessario si è rivelato! Ma il problema è che è apparso un termine in più. Cosa fare? Affinché l'espressione non cambi, devo aggiungere lo stesso alla mia costruzione: 
. La vita è diventata più facile. È possibile riorganizzarsi al numeratore?
4) Puoi. Proviamo: 
. Espandi le parentesi del secondo termine: 
. Scusa, ma in realtà avevo nel passaggio precedente e non . Cosa fare? Dobbiamo moltiplicare il secondo termine per: 
5) Anche in questo caso, per verifica, apro le parentesi nel secondo termine: 
. Adesso è normale: ottenuto dalla costruzione finale del paragrafo 3! Ma ancora una volta c'è un piccolo "ma", è apparso un termine in più, il che significa che devo aggiungere alla mia espressione: 
Se tutto è fatto correttamente, quando si aprono tutte le parentesi, dovremmo ottenere il numeratore originale dell'integrando. Controlliamo:
Bene.
Così: 
Pronto. Nell'ultimo termine, ho applicato il metodo di portare la funzione sotto il differenziale.
Se troviamo la derivata della risposta e riduciamo l'espressione a un denominatore comune, otteniamo esattamente l'integrando originale. Il metodo considerato di espansione in una somma non è altro che l'azione inversa per portare l'espressione a un denominatore comune.
L'algoritmo di selezione del numeratore in tali esempi viene eseguito al meglio su una bozza. Con alcune abilità, funzionerà anche mentalmente. Ricordo un tempo record in cui ho fatto una selezione per l'undicesima potenza e l'espansione del numeratore ha richiesto quasi due righe di Werd.
Esempio 4
Trova l'integrale indefinito. Esegui un controllo.
Questo è un esempio fai da te.
Il metodo di sussunzione sotto il segno del differenziale per frazioni semplici
Passiamo al prossimo tipo di frazioni.
, , , (i coefficienti e non sono uguali a zero).
In effetti, un paio di casi con arcoseno e arcotangente sono già scivolati nella lezione Metodo del cambiamento di variabile nell'integrale indefinito. Tali esempi si risolvono portando la funzione sotto il segno del differenziale e poi integrando usando la tabella. Ecco alcuni esempi più tipici con un logaritmo lungo e alto:
Esempio 5
Esempio 6
Qui è consigliabile prendere una tabella di integrali e seguire quali formule e come avviene la trasformazione. Nota, come e perché i quadrati sono evidenziati in questi esempi. In particolare, nell'Esempio 6, dobbiamo prima rappresentare il denominatore come 
, quindi porta sotto il segno del differenziale. E devi fare tutto questo per utilizzare la formula tabulare standard 
.
Ma cosa guardare, prova a risolvere gli esempi n. 7,8 da solo, soprattutto perché sono piuttosto brevi:
Esempio 7
Esempio 8
Trova l'integrale indefinito:
Se puoi controllare anche questi esempi, allora grande rispetto è la tua capacità di differenziazione al massimo.
Metodo di selezione del quadrato completo
Integrali della forma, 
(coefficienti e non sono uguali a zero) sono risolti metodo di selezione del quadrato completo, che è già apparso nella lezione Trasformazioni della trama geometrica.
In effetti, tali integrali si riducono a uno dei quattro integrali di tabella che abbiamo appena considerato. E questo si ottiene usando le familiari formule di moltiplicazione abbreviate:
Le formule vengono applicate in questa direzione, ovvero l'idea del metodo è di organizzare artificialmente le espressioni nel denominatore o , e quindi convertirle, rispettivamente, in o .
Esempio 9
Trova l'integrale indefinito
Questo è l'esempio più semplice in cui con il termine - coefficiente unitario(e non un numero o meno).
Guardiamo al denominatore, qui il tutto è chiaramente ridotto al caso. Iniziamo a convertire il denominatore:
Ovviamente, devi aggiungere 4. E in modo che l'espressione non cambi - lo stesso quattro e sottrarre:
Ora puoi applicare la formula:
Al termine della conversione SEMPREè auspicabile eseguire una mossa inversa: va tutto bene, non ci sono errori.
Il design pulito dell'esempio in questione dovrebbe assomigliare a questo: 
Pronto. Portare una funzione complessa "libera" sotto il segno differenziale: , in linea di principio, potrebbe essere trascurato
Esempio 10
Trova l'integrale indefinito:
Questo è un esempio di self-solving, la risposta è alla fine della lezione.
Esempio 11
Trova l'integrale indefinito:
Cosa fare quando c'è un meno davanti? In questo caso, devi togliere il meno tra parentesi e disporre i termini nell'ordine di cui abbiamo bisogno:. Costante("doppio" in questo caso) Non toccare!
Ora ne aggiungiamo uno tra parentesi. Analizzando l'espressione, giungiamo alla conclusione che ne abbiamo bisogno dietro la parentesi - aggiungi:
Ecco la formula, applica:
SEMPRE eseguiamo un controllo sulla bozza:
, che doveva essere verificato.
Il design pulito dell'esempio è simile a questo: 
Complichiamo il compito
Esempio 12
Trova l'integrale indefinito: 
Qui, con il termine, non è più un coefficiente unico, ma un “cinque”.
(1) Se si trova una costante in, la togliamo immediatamente da parentesi.
(2) In generale, è sempre meglio togliere questa costante dall'integrale, in modo che non si intrometta.
(3) È ovvio che tutto sarà ridotto alla formula . È necessario comprendere il termine, ovvero ottenere un "due"
(4) Sì, . Quindi, aggiungiamo all'espressione e sottraiamo la stessa frazione.
(5) Ora seleziona un quadrato intero. Nel caso generale è necessario anche calcolare , ma qui abbiamo una formula del logaritmo lungo 
e l'azione non ha senso da eseguire, perché - diventerà chiaro un po 'più in basso.
(6) In realtà, possiamo applicare la formula 
, solo al posto di "x" abbiamo, che non nega la validità dell'integrale tabulare. A rigor di termini, manca un passaggio: prima dell'integrazione, la funzione avrebbe dovuto essere portata sotto il segno differenziale: 
, ma, come ho più volte notato, questo è spesso trascurato.
(7) Nella risposta sotto la radice, è desiderabile riaprire tutte le parentesi:
Complicato? Questo non è il più difficile nel calcolo integrale. Tuttavia, gli esempi in esame non sono così complicati in quanto richiedono una buona tecnica di calcolo.
Esempio 13
Trova l'integrale indefinito:
Questo è un esempio fai da te. Rispondi alla fine della lezione.
Ci sono integrali con radici nel denominatore che, con l'aiuto di una sostituzione, sono ridotti a integrali del tipo considerato, puoi leggerli nell'articolo Integrali complessi, ma è progettato per studenti altamente preparati.
Portando il numeratore sotto il segno del differenziale
Questa è la parte finale della lezione, tuttavia, integrali di questo tipo sono abbastanza comuni! Se la stanchezza si è accumulata, forse è meglio leggere domani? ;)
Gli integrali che considereremo sono simili agli integrali del paragrafo precedente, hanno la forma: o 
(i coefficienti , e non sono uguali a zero).
Cioè, abbiamo una funzione lineare nel numeratore. Come risolvere tali integrali?
La frazione è chiamata corretta se la potenza massima del numeratore è minore della potenza massima del denominatore. L'integrale di una frazione razionale propria ha la forma:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
La formula per integrare le frazioni razionali dipende dalle radici del polinomio al denominatore. Se il polinomio $ ax^2+bx+c $ ha:
- Solo radici complesse, quindi è necessario selezionare un quadrato intero da esso: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
- Radici reali diverse $ x_1 $ e $ x_2 $, quindi è necessario espandere l'integrale e trovare i coefficienti indefiniti $ A $ e $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Una radice multipla $ x_1 $, quindi espandiamo l'integrale e troviamo i coefficienti indefiniti $ A $ e $ B $ per questa formula: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Se la frazione lo è sbagliato, cioè il grado più alto al numeratore è maggiore o uguale al grado più alto del denominatore, quindi prima deve essere ridotto a corretta mente dividendo il polinomio dal numeratore per il polinomio dal denominatore. In questo caso, la formula per integrare una frazione razionale è:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Esempi di soluzioni
| Esempio 1 |
| Trova l'integrale di una frazione razionale: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Decisione |
|
La frazione è regolare e il polinomio ha solo radici complesse. Pertanto, selezioniamo un quadrato intero: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Comprimi l'intero quadrato e sommiamo sotto il segno differenziale $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Utilizzando la tabella degli integrali, otteniamo: $$ = \frac(1)(2 \cpunto 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai familiarizzare con lo stato di avanzamento del calcolo e raccogliere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere un credito dall'insegnante in modo tempestivo! |
| Risposta |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| Esempio 2 |
| Integra frazioni razionali: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Decisione |
|
Risolvi l'equazione quadratica: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Scriviamo le radici: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Tenendo conto delle radici ottenute, trasformiamo l'integrale: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Eseguiamo l'espansione di una frazione razionale: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Uguaglia i numeratori e trova i coefficienti $ A $ e $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(casi) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(casi) $$ $$ \begin(casi) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(casi) $$ Sostituiamo i coefficienti trovati nell'integrale e risolviamo: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Risposta |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
Viene data la derivazione delle formule per il calcolo degli integrali dalle frazioni più semplici, elementari, di quattro tipi. Integrali più complessi, da frazioni del quarto tipo, vengono calcolati utilizzando la formula di riduzione. Si consideri un esempio di integrazione di una frazione del quarto tipo.
ContenutoGuarda anche: Tabella degli integrali indefiniti
Metodi per il calcolo degli integrali indefiniti
Come è noto, qualsiasi funzione razionale di una variabile x può essere scomposta in un polinomio e in frazioni semplici, elementari. Esistono quattro tipi di frazioni semplici:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Qui a, A, B, b, c sono numeri reali. Equazione x 2+bx+c=0 non ha vere radici.
Integrazione di frazioni dei primi due tipi
L'integrazione delle prime due frazioni viene eseguita utilizzando le seguenti formule dalla tabella degli integrali:
,
, n ≠ - 1
.
1. Integrazione di una frazione del primo tipo
Una frazione del primo tipo per sostituzione t = x - a viene ridotta a un integrale di tabella:
.
2. Integrazione di una frazione del secondo tipo
Una frazione del secondo tipo viene ridotta a un integrale di tabella con la stessa sostituzione t \u003d x - a:
.
3. Integrazione di una frazione del terzo tipo
Consideriamo l'integrale di una frazione del terzo tipo:
.
Lo calcoleremo in due passaggi.
3.1. Passaggio 1. Selezionare la derivata del denominatore nel numeratore
Selezioniamo la derivata del denominatore al numeratore della frazione. Denota: u = x 2+bx+c. Differenziare: u′ = 2x + b. Quindi
;
.
Ma
.
Abbiamo omesso il segno modulo perché .
Quindi:
,
dove
.
3.2. Passaggio 2. Calcolare l'integrale con A = 0, B=1
Ora calcoliamo l'integrale rimanente:
.
Portiamo il denominatore della frazione alla somma dei quadrati:
,
dove .
Riteniamo che l'equazione x 2+bx+c=0 non ha radici. Così .
Facciamo una sostituzione
,
.
.
Così,
.
Quindi, abbiamo trovato un integrale di una frazione del terzo tipo:
,
dove .
4. Integrazione di una frazione del quarto tipo
E infine, considera l'integrale di una frazione del quarto tipo:
.
Lo calcoliamo in tre passaggi.
4.1) Selezioniamo la derivata del denominatore al numeratore:
.
4.2) Calcolare l'integrale
.
4.3) Calcolare gli integrali
,
usando la formula del cast:
.
4.1. Passaggio 1. Estrazione della derivata del denominatore al numeratore
Selezioniamo la derivata del denominatore al numeratore, come abbiamo fatto in . Denota u = x 2+bx+c. Differenziare: u′ = 2x + b. Quindi
.
.
Ma
.
Infine abbiamo:
.
4.2. Passaggio 2. Calcolo dell'integrale con n = 1
Calcoliamo l'integrale
.
Il suo calcolo è riportato in .
4.3. Passaggio 3. Derivazione della formula di riduzione
Consideriamo ora l'integrale
.
Portiamo il trinomio quadrato alla somma dei quadrati:
.
Qui .
Facciamo una sostituzione.
.
.
Eseguiamo trasformazioni e integriamo per parti.
.
Moltiplicato per 2(n - 1):
.
Torniamo a x e I n .
,
;
;
.
Quindi, per I n abbiamo ottenuto la formula di riduzione:
.
Applicando successivamente questa formula, riduciamo l'integrale I n a I 1
.
Esempio
Calcola integrale
1.
Selezioniamo la derivata del denominatore al numeratore.
;
;
.
Qui
.
2.
Calcoliamo l'integrale della frazione più semplice.
.
3.
Applichiamo la formula di riduzione:
per l'integrale.
Nel nostro caso b = 1
, c = 1
,
4 c - b 2 = 3. Scriviamo questa formula per n = 2
e n = 3
:
;
.
Da qui
.
Infine abbiamo:
.
Troviamo il coefficiente in .
.
Il materiale presentato in questo argomento si basa sulle informazioni presentate nell'argomento "Frazioni razionali. Decomposizione di frazioni razionali in frazioni elementari (semplici)". Ti consiglio vivamente di sfogliare almeno questo argomento prima di procedere alla lettura di questo materiale. Inoltre, avremo bisogno di una tabella di integrali indefiniti.
Lascia che ti ricordi un paio di termini. Sono stati discussi nell'argomento in questione, quindi qui mi limiterò a una breve formulazione.
Il rapporto di due polinomi $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ è chiamato funzione razionale o frazione razionale. Si chiama la frazione razionale corretta se $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется sbagliato.
Le frazioni razionali elementari (più semplici) sono frazioni razionali di quattro tipi:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Nota (utile per una migliore comprensione del testo): mostra\nascondi
Perché è necessaria la condizione $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Ad esempio, per l'espressione $x^2+5x+10$ otteniamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Poiché $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
A proposito, per questo controllo non è necessario che il coefficiente davanti a $x^2$ sia uguale a 1. Ad esempio, per $5x^2+7x-3=0$ otteniamo: $D=7^2- 4\cpunto 5 \cpunto (-3)=109$. Poiché $D > 0$, l'espressione $5x^2+7x-3$ è fattorizzabile.
Si possono trovare esempi di frazioni razionali (regolari e improprie), nonché esempi di scomposizione di una frazione razionale in elementari. Qui ci interessano solo le questioni della loro integrazione. Cominciamo con l'integrazione delle frazioni elementari. Quindi, ciascuno dei quattro tipi delle frazioni elementari di cui sopra è facile da integrare utilizzando le formule seguenti. Lascia che ti ricordi che quando si integrano frazioni di tipo (2) e (4) si assume $n=2,3,4,\ldots$. Le formule (3) e (4) richiedono la condizione $p^2-4q< 0$.
\begin(equazione) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equazione) \begin(equazione) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equazione) \begin(equazione) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equazione)
Per $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ viene effettuata la sostituzione $t=x+\frac(p)(2)$, dopodiché l'integrale risultante è diviso in due. Il primo verrà calcolato inserendolo sotto il segno del differenziale, e il secondo apparirà come $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Questo integrale è preso usando la relazione di ricorrenza
\begin(equazione) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Io_n, \; n\in N \end(equazione)
Il calcolo di tale integrale è analizzato nell'esempio n. 7 (vedi terza parte).
Schema per il calcolo di integrali da funzioni razionali (frazioni razionali):
- Se l'integrando è elementare, applica le formule (1)-(4).
- Se l'integrando non è elementare, rappresentalo come somma di frazioni elementari e poi integra usando le formule (1)-(4).
L'algoritmo di cui sopra per l'integrazione di frazioni razionali ha un innegabile vantaggio: è universale. Quelli. Usando questo algoritmo, si può integrare qualunque frazione razionale. Ecco perché quasi tutte le sostituzioni di variabili nell'integrale indefinito (Eulero, sostituzioni di Chebyshev, sostituzione trigonometrica universale) sono fatte in modo tale che dopo questa sostituzione otteniamo una frazione razionale sotto l'intervallo. E applica l'algoritmo ad esso. Analizzeremo l'applicazione diretta di questo algoritmo usando degli esempi, dopo aver fatto una piccola nota.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
In linea di principio, questo integrale è facile da ottenere senza l'applicazione meccanica della formula. Se prendiamo la costante $7$ dal segno di integrale e prendiamo in considerazione che $dx=d(x+9)$, otteniamo:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Per informazioni dettagliate consiglio di guardare l'argomento. Spiega in dettaglio come vengono risolti tali integrali. A proposito, la formula è dimostrata dalle stesse trasformazioni che sono state applicate in questo paragrafo quando si risolve "manualmente".
2) Anche in questo caso, ci sono due modi: applicare una formula già pronta o farne a meno. Se applichi la formula, dovresti considerare che il coefficiente davanti a $x$ (il numero 4) dovrà essere rimosso. Per fare ciò, eliminiamo semplicemente i quattro tra parentesi:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sinistra(x+\frac(19)(4)\destra)^8). $$
Ora è il momento di applicare la formula:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Puoi fare a meno di usare la formula. E anche senza mettere i costanti $ 4 $ fuori dalle parentesi. Se prendiamo in considerazione che $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, otteniamo:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Spiegazioni dettagliate sulla ricerca di tali integrali sono fornite nell'argomento "Integrazione per sostituzione (introduzione sotto il segno differenziale)" .
3) Dobbiamo integrare la frazione $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Questa frazione ha la struttura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, dove $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Tuttavia, per assicurarti che questa sia effettivamente una frazione elementare del terzo tipo, devi controllare la condizione $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Risolviamo lo stesso esempio, ma senza usare la formula già pronta. Proviamo ad isolare al numeratore la derivata del denominatore. Cosa significa questo? Sappiamo che $(x^2+10x+34)"=2x+10$. È l'espressione $2x+10$ che dobbiamo isolare nel numeratore. Finora, il numeratore contiene solo $4x+7$ , ma non per molto. Applicare la seguente trasformazione al numeratore:
$$ 4x+7=2\cpunto 2x+7=2\cpunto (2x+10-10)+7=2\cpunto(2x+10)-2\cpunto 10+7=2\cpunto(2x+10) -tredici. $$
Ora nel numeratore è apparsa l'espressione richiesta $2x+10$. E il nostro integrale può essere riscritto come segue:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Rompiamo in due l'integrando. Bene, e, di conseguenza, anche l'integrale stesso è "diviso":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \destra)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Parliamo prima dell'integrale primo, cioè circa $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Poiché $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, allora il differenziale denominatore si trova nel numeratore dell'integrando. In breve, invece dell'espressione $( 2x+10)dx$ scriviamo $d(x^2+10x+34)$.
Diciamo ora qualche parola sul secondo integrale. Individuiamo il quadrato intero al denominatore: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Inoltre, prendiamo in considerazione $dx=d(x+5)$. Ora la somma degli integrali da noi ottenuti in precedenza può essere riscritta in una forma leggermente diversa:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ nove). $$
Se apportiamo la modifica $u=x^2+10x+34$ nel primo integrale, allora assumerà la forma $\int\frac(du)(u)$ e sarà presa semplicemente applicando la seconda formula da . Per quanto riguarda il secondo integrale, per esso è ammissibile la sostituzione $u=x+5$, dopodiché assume la forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Questa è l'acqua più pura, l'undicesima formula dalla tavola degli integrali indefiniti. Quindi, tornando alla somma degli integrali, avremo:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando si applica la formula , il che, in effetti, non è sorprendente. In generale, la formula è dimostrata con gli stessi metodi che abbiamo usato per trovare questo integrale. Credo che un lettore attento possa avere una domanda qui, quindi la formulerò:
Domanda 1
Se applichiamo la seconda formula dalla tabella degli integrali indefiniti all'integrale $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, otteniamo quanto segue:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Perché il modulo mancava nella soluzione?
Risposta alla domanda n. 1
La domanda è del tutto legittima. Il modulo mancava solo perché l'espressione $x^2+10x+34$ per ogni $x\in R$ è maggiore di zero. Questo è abbastanza facile da mostrare in diversi modi. Ad esempio, poiché $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ e $(x+5)^2 ≥ 0$, allora $(x+5)^2+9 > 0$ . È possibile giudicare in modo diverso, senza coinvolgere la selezione di un quadrato intero. Da $ 10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ per ogni $x\in R$ (se questa catena logica è sorprendente, ti consiglio di guardare il metodo grafico per risolvere le disuguaglianze quadrate). In ogni caso, poiché $x^2+10x+34 > 0$, allora $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, cioè puoi usare parentesi normali invece di un modulo.
Tutti i punti dell'esempio n. 1 sono risolti, resta solo da scrivere la risposta.
Risposta:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Esempio #2
Trova l'integrale $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
A prima vista, l'integrando $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ è molto simile a una frazione elementare del terzo tipo, cioè a $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Sembra che l'unica differenza sia il coefficiente $3$ davanti a $x^2$, ma non ci vorrà molto per rimuovere il coefficiente (tra parentesi). Tuttavia, questa somiglianza è evidente. Per la frazione $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ la condizione $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Il nostro coefficiente davanti a $x^2$ non è uguale a uno, quindi controlla la condizione $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, quindi l'espressione $3x^2-5x-2$ può essere fattorizzata. Ciò significa che la frazione $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ non è una frazione elementare del terzo tipo e si applica all'integrale $\int\frac(7x+12)( La formula 3x^2- 5x-2)dx$ non è consentita.
Ebbene, se la frazione razionale data non è elementare, allora deve essere rappresentata come somma di frazioni elementari e quindi integrata. In breve, approfitta di trail. Come scomporre una frazione razionale in elementari è scritto in dettaglio. Iniziamo calcolando il denominatore:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(allineato) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(allineato)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cpunto\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2). $$
Rappresentiamo la frazione subinterna nella forma seguente:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra)(x-2)). $$
Ora espandiamo la frazione $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ in quelle elementari:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra))(\sinistra(x+ \frac(1)(3)\destra)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)( 3)\destra). $$
Per trovare i coefficienti $A$ e $B$ ci sono due modi standard: il metodo dei coefficienti indeterminati e il metodo della sostituzione dei valori parziali. Applichiamo il metodo di sostituzione del valore parziale sostituendo $x=2$ e poi $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sinistra(x+\frac(1)(3)\destra).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\sinistra(2+\frac(1)(3)\destra); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\destra); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cpunto 3)(9\cpunto 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Poiché sono stati trovati i coefficienti, non resta che annotare l'espansione finita:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
In linea di principio, puoi lasciare questa voce, ma mi piace una versione più accurata:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Tornando all'integrale originale, sostituiamo in esso l'espansione risultante. Quindi dividiamo l'integrale in due e applichiamo la formula a ciascuno. Preferisco eliminare immediatamente le costanti al di fuori del segno di integrale:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Risposta: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Esempio #3
Trova l'integrale $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Dobbiamo integrare la frazione $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Il numeratore è un polinomio di secondo grado e il denominatore è un polinomio di terzo grado. Poiché il grado del polinomio al numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore, cioè $ 2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Dobbiamo solo dividere in tre l'integrale dato e applicare la formula a ciascuno. Preferisco eliminare immediatamente le costanti al di fuori del segno di integrale:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Risposta: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Una continuazione dell'analisi di esempi di questo argomento si trova nella seconda parte.
Richiama questo frazionamente razionale sono chiamate funzioni della forma $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ nel caso generale essendo il rapporto di due polinomi %%P_n(x)%% e % %Q_m(x)% %.
Se %%m > n \geq 0%%, viene chiamata una frazione razionale corretta, altrimenti non è corretto. Usando la regola della divisione polinomiale, una frazione razionale impropria può essere rappresentata come la somma di un polinomio %%P_(n - m)%% di grado %%n - m%% e una frazione propria, ad es. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ dove il grado è %%l% % del polinomio %%P_l(x)%% è minore del grado %%n%% del polinomio %%Q_n(x)%%.
Pertanto, l'integrale indefinito di una funzione razionale può essere rappresentato come la somma degli integrali indefiniti di un polinomio e di una frazione razionale propria.
Integrali di frazioni razionali semplici
Esistono quattro tipi di frazioni razionali proprie, che sono classificate come le frazioni razionali più semplici:
- %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
- %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,
dove %%k > 1%% è un numero intero e %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Calcolo di integrali indefiniti da frazioni dei primi due tipi
Calcolare integrali indefiniti di frazioni dei primi due tipi è facile: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$
Calcolo di integrali indefiniti da frazioni di terzo tipo
Per prima cosa trasformiamo la frazione del terzo tipo selezionando il quadrato intero al denominatore: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ da %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, che indicheremo come %%a^2%%. Sostituendo anche %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, trasformiamo il denominatore e scriviamo l'integrale di una frazione del terzo tipo nella forma $$ \begin (array)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(array) $$
Usando la linearità dell'integrale indefinito, rappresentiamo l'ultimo integrale come somma di due e nel primo introduciamo %%t%% sotto il segno differenziale: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (A + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\destra| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$
Tornando alla variabile originale %%x%%, si ottiene $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \sinistra| x^2 + px + q\destra| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ dove %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.
Il calcolo dell'integrale di tipo 4 è difficile, quindi non è trattato in questo corso.
