Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa x. Paano hanapin ang surface area ng rebolusyon gamit ang integral

Kung ang curve ay ibinibigay ng mga parametric equation, kung gayon ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve na ito sa paligid ng axis ay kinakalkula ng formula . Kasabay nito, ang "direksyon sa pagguhit" ng linya, kung saan napakaraming mga kopya ang nasira sa artikulo, ay walang malasakit. Ngunit, tulad ng sa nakaraang talata, mahalaga na matatagpuan ang kurba mas mataas abscissa axis - kung hindi, ang function na "responsable para sa mga manlalaro" ay kukuha ng mga negatibong halaga at kailangan mong maglagay ng minus sign sa harap ng integral.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng globo na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog tungkol sa axis.

Desisyon: mula sa mga materyales ng artikulo tungkol sa area at volume na may parametrically given line alam mo na ang mga equation ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan na may radius 3.

mabuti at globo , para sa mga nakalimutan, ay ang ibabaw bola(o spherical na ibabaw).

Sumusunod kami sa binuong scheme ng solusyon. Maghanap tayo ng mga derivatives:

Buuin natin at pasimplehin ang "formula" na ugat:

Hindi na kailangang sabihin, ito ay naging kendi. Suriin para sa paghahambing kung paano pinalo ni Fikhtengoltz ang mga ulo sa parisukat ellipsoid ng rebolusyon.

Ayon sa teoretikal na pangungusap, isinasaalang-alang namin ang itaas na kalahating bilog. Ito ay "iginuhit" kapag binabago ang halaga ng parameter sa loob (madaling makita iyon sa pagitan na ito), kaya:

Sagot:

Kung ang problema ay nalutas sa pangkalahatang pananaw, pagkatapos ay eksakto formula ng paaralan ang lugar ng isang globo, kung saan ang radius nito.

Isang bagay na masakit na simpleng problema, kahit na nahihiya .... Iminumungkahi kong ayusin mo ang bug na ito =)

Halimbawa 4

Kalkulahin ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng unang arko ng cycloid sa paligid ng axis.

Ang gawain ay malikhain. Subukang i-deduce o intuit ang formula para sa pagkalkula ng surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve sa paligid ng y-axis. At, siyempre, ang bentahe ng mga parametric equation ay dapat muling bigyang-pansin - hindi nila kailangang baguhin kahit papaano; hindi na kailangang mag-abala sa paghahanap ng iba pang mga limitasyon ng pagsasama.

Maaaring matingnan ang cycloid graph sa pahina Lugar at volume kung ang linya ay nakatakda nang parametric. Ang ibabaw ng pag-ikot ay magiging katulad ... Hindi ko alam kung ano ang ihahambing dito sa ... isang bagay na hindi makalupa - bilugan na may matulis na depresyon sa gitna. Dito, para sa kaso ng pag-ikot ng cycloid sa paligid ng axis, ang asosasyon ay agad na naisip - isang pahaba na rugby ball.

Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Tinatapos namin ang aming kamangha-manghang pagsusuri sa isang kaso polar coordinate. Oo, ito ay isang pangkalahatang-ideya, kung titingnan mo ang mga tutorial sa pagsusuri sa matematika(Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov, at iba pang mga may-akda), maaari kang makakuha ng isang dosenang (o higit pa) karaniwang mga halimbawa, kung saan posible na mahanap mo ang gawain na kailangan mo.

Paano makalkula ang lugar ibabaw ng rebolusyon,
kung ang linya ay ibinigay sa polar coordinate system?

Kung nakatakda ang curve sa polar coordinate equation , at ang function ay may tuluy-tuloy na derivative sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve na ito sa paligid ng polar axis ay kinakalkula ng formula , kung saan ang mga angular na halaga ay tumutugma sa mga dulo ng curve.

Alinsunod sa geometric na kahulugan pagsasama-sama ng problema , at ito ay makakamit lamang kung ( at kilala na hindi negatibo). Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang mga halaga ng anggulo mula sa hanay , sa madaling salita, ang kurba ay dapat na matatagpuan mas mataas polar axis at mga extension nito. Tulad ng nakikita mo, ang parehong kuwento tulad ng sa nakaraang dalawang talata.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng cardioid sa paligid ng polar axis.

Desisyon: ang graph ng kurba na ito ay makikita sa Halimbawa 6 ng aralin tungkol sa polar coordinate system. Ang cardioid ay simetriko tungkol sa polar axis, kaya isinasaalang-alang namin ang itaas na kalahati nito sa puwang (na, sa katunayan, ay dahil din sa nabanggit sa itaas).

Ang ibabaw ng pag-ikot ay magiging katulad ng isang bullseye.

Ang pamamaraan ng solusyon ay pamantayan. Hanapin natin ang derivative na may kinalaman sa "phi":

Bumuo at pasimplehin ang ugat:

Sana may supernumerary mga formula ng trigonometriko walang nagkaroon ng anumang problema.

Ginagamit namin ang formula:

Sa gitna , kaya: (Inilarawan ko nang detalyado kung paano maayos na mapupuksa ang ugat sa artikulo Haba ng curve arc).

Sagot:

Isang kawili-wili at maikling gawain para sa malayang solusyon:

Halimbawa 6

Kalkulahin ang lugar ng spherical belt,

Ano ang ball belt? Maglagay ng isang bilog, hindi binalatan na orange sa mesa at kumuha ng kutsilyo. Gumawa ng dalawa parallel gupitin, sa gayo'y hinahati ang prutas sa 3 bahagi ng di-makatwirang laki. Ngayon kunin ang gitna, kung saan ang makatas na pulp ay nakalantad sa magkabilang panig. Ang katawan na ito ay tinatawag spherical layer, at ang nakagapos na ibabaw nito (orange peel) - sinturon ng bola.

Pamilyar sa mga mambabasa polar coordinate, madaling ipinakita ang pagguhit ng problema: ang equation ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa poste ng radius , kung saan sinag putulin mas mababa arko Ang arko na ito ay umiikot sa paligid ng polar axis at sa gayon ay nakuha ang isang spherical belt.

Ngayon ay maaari mong kasama malinis na budhi at kumain ng orange na may magaan na puso, sa masarap na tala na ito ay tatapusin natin ang aralin, huwag sirain ang iyong gana sa iba pang mga halimbawa =)

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2:Desisyon : kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng itaas na sangay sa paligid ng x-axis. Ginagamit namin ang formula .
Sa kasong ito: ;

kaya:


Sagot:

Halimbawa 4:Desisyon : gamitin ang formula . Ang unang arko ng cycloid ay tinukoy sa segment .
Maghanap tayo ng mga derivatives:

Bumuo at pasimplehin ang ugat:

Kaya ang ibabaw na lugar ng rebolusyon ay:

Sa gitna , Kaya naman

Unang integralpagsamahin ayon sa mga bahagi :

Sa pangalawang integral na ginagamit namintrigonometriko formula .


Sagot:

Halimbawa 6:Desisyon : gamitin ang formula:


Sagot:

Mas mataas na matematika para sa mga mag-aaral sa pagsusulatan at hindi lamang >>>

(Pumunta sa pangunahing pahina)

Paano makalkula ang isang tiyak na integral
gamit ang trapezoid formula at ang Simpson method?

Ang mga numerical na pamamaraan ay isang medyo malaking seksyon ng mas mataas na matematika at ang mga seryosong aklat-aralin sa paksang ito ay may daan-daang mga pahina. Sa pagsasagawa, sa mga pagsusulit, ang ilang mga gawain ay tradisyonal na iminungkahi para sa paglutas sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan, at isa sa mga karaniwang gawain ay ang tinatayang pagkalkula mga tiyak na integral. Sa artikulong ito, isasaalang-alang ko ang dalawang paraan para sa tinatayang pagkalkula ng isang tiyak na integral − trapezoidal na pamamaraan at pamamaraan ni simpson.

Ano ang kailangan mong malaman upang makabisado ang mga pamamaraang ito? Nakakatawa ito, ngunit maaaring hindi mo magawang kumuha ng mga integral. At kahit na hindi maintindihan kung ano ang mga integral. Sa mga teknikal na paraan, kakailanganin mo ng microcalculator. Oo, oo, naghihintay kami ng mga karaniwang kalkulasyon sa paaralan. Mas mabuti pa, i-download ang aking semi-awtomatikong calculator para sa trapezoidal method at sa Simpson method. Ang calculator ay nakasulat sa Excel at magbibigay-daan sa iyo na bawasan ang oras para sa paglutas at pagproseso ng mga gawain ng sampung beses. Ang isang video manual ay kasama para sa Excel teapots! Siyanga pala, ang unang video na may boses ko.

Una, tanungin natin ang ating sarili, bakit kailangan natin ng tinatayang mga kalkulasyon? Mukhang posible na mahanap ang antiderivative ng function at gamitin ang Newton-Leibniz formula, na kinakalkula ang eksaktong halaga ng isang tiyak na integral. Bilang sagot sa tanong, agad nating isaalang-alang demo may pagguhit.

Kalkulahin ang isang tiyak na integral

Ang lahat ay magiging maayos, ngunit sa halimbawang ito ang integral ay hindi kinuha - bago ka hindi kinuha, ang tinatawag na integral logarithm. Umiiral ba ang integral na ito? Ilarawan natin ang graph ng integrand sa drawing:

Maayos ang lahat. Integrand tuloy-tuloy sa segment at ang tiyak na integral ay numerical na katumbas ng shaded area. Oo, iyon ay isa lamang sagabal - ang integral ay hindi kinuha. At sa ganitong mga kaso, ang mga numerical na pamamaraan ay dumating upang iligtas. Sa kasong ito, ang problema ay nangyayari sa dalawang formulations:

1) Kalkulahin ang tiyak na integral humigit-kumulang , pag-ikot ng resulta sa isang tiyak na lugar ng decimal. Halimbawa, hanggang dalawang decimal place, hanggang tatlong decimal place, atbp. Sabihin nating nakakuha ka ng tinatayang sagot na 5.347. Sa katunayan, maaaring hindi ito ganap na tama (sa totoo lang, sabihin nating ang mas tumpak na sagot ay 5.343). Ang aming gawain ay doon lamang upang bilugan ang resulta sa tatlong decimal na lugar.

2) Kalkulahin ang tiyak na integral humigit-kumulang, na may tiyak na katumpakan. Halimbawa, kalkulahin ang tiyak na integral na humigit-kumulang na may katumpakan na 0.001. Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na kung ang isang tinatayang sagot na 5.347 ay nakuha, kung gayon lahat ang mga numero ay dapat na reinforced concrete tama. Upang maging mas tumpak, ang sagot na 5.347 ay dapat na mag-iba sa truth modulo (sa isang direksyon o iba pa) nang hindi hihigit sa 0.001.

Mayroong ilang mga pangunahing pamamaraan para sa tinatayang pagkalkula ng isang tiyak na integral na nangyayari sa mga problema:

Paraan ng parihaba. Ang segment ng pagsasama ay nahahati sa ilang bahagi at isang hakbang na pigura ay itinayo ( bar graph), na malapit sa lugar sa gustong lugar:

Huwag husgahan nang mahigpit sa pamamagitan ng mga guhit, ang katumpakan ay hindi perpekto - nakakatulong lamang sila upang maunawaan ang kakanyahan ng mga pamamaraan.

Sa halimbawang ito, ang segment ng integration ay nahahati sa tatlong segment:
. Malinaw, mas madalas ang partition (mas maliit na intermediate segment), mas mataas ang katumpakan. Ang paraan ng mga parihaba ay nagbibigay ng isang magaspang na approximation ng lugar, tila, samakatuwid, ito ay napakabihirang sa pagsasanay (naalala ko lamang ang isa praktikal na halimbawa). Sa bagay na ito, hindi ko isasaalang-alang ang paraan ng mga parihaba, at hindi ko ibibigay isang simpleng formula. Hindi dahil sa katamaran, ngunit dahil sa prinsipyo ng aking libro ng solusyon: kung ano ang napakabihirang sa mga praktikal na gawain ay hindi isinasaalang-alang.

Trapezoidal na pamamaraan. Ang ideya ay magkatulad. Nahahati ang segment ng integration sa ilang intermediate na segment, at lumalapit ang graph ng integrand putol na linya linya:

Kaya ang aming lugar (asul na pagtatabing) ay tinatayang sa kabuuan ng mga lugar ng mga trapezoid (pula). Samakatuwid ang pangalan ng pamamaraan. Madaling makita na ang paraan ng trapezoid ay nagbibigay ng isang mas mahusay na pagtatantya kaysa sa paraan ng rektanggulo (na may parehong bilang ng mga segment ng partition). At, siyempre, ang mas maliliit na intermediate na mga segment na isinasaalang-alang namin, mas mataas ang katumpakan. Ang paraan ng trapezoid ay nakatagpo paminsan-minsan sa mga praktikal na gawain, at sa artikulong ito maraming mga halimbawa ang susuriin.

Paraan ni Simpson (paraan ng parabola). Ito ay isang mas perpektong paraan - ang graph ng integrand ay nilapitan hindi sa pamamagitan ng isang putol na linya, ngunit sa pamamagitan ng maliliit na parabola. Ilang mga intermediate na segment - napakaraming maliliit na parabola. Kung kukuha tayo ng parehong tatlong mga segment, kung gayon ang paraan ng Simpson ay magbibigay ng mas tumpak na pagtatantya kaysa sa paraan ng rektanggulo o paraan ng trapezoid.

Hindi ko nakikita ang punto sa pagbuo ng isang guhit, dahil biswal na ang pagtatantya ay ipapatong sa graph ng pag-andar (ang putol na linya ng nakaraang talata - at kahit na ito ay halos magkasabay).

Ang gawain ng pagkalkula ng isang tiyak na integral gamit ang Simpson formula ay ang pinakasikat na gawain sa pagsasanay. At ang paraan ng mga parabola ay bibigyan ng malaking pansin.

Pagbati, mahal na mga mag-aaral ng Argemony University!

Ngayon ay patuloy nating pag-aaralan ang materyalisasyon ng mga bagay. Huling beses na pinaikot namin ang mga flat figure at nakakuha ng three-dimensional na katawan. Ang ilan sa mga ito ay lubhang nakatutukso at kapaki-pakinabang. Sa tingin ko, ang daming naimbento ng salamangkero ay maaaring magamit sa hinaharap.

Ngayon ay paikutin natin ang mga kurba. Malinaw na sa ganitong paraan makakakuha tayo ng ilang uri ng bagay na may napakanipis na mga gilid (isang kono o isang bote para sa mga potion, isang plorera para sa mga bulaklak, isang baso para sa inumin, atbp.), dahil ang isang umiikot na kurba ay maaaring lumikha ng mga ganoong bagay. . Sa madaling salita, sa pamamagitan ng pag-ikot ng kurba, makakakuha tayo ng ilang uri ng ibabaw - sarado sa lahat ng panig o hindi. Bakit ngayon ko lang naalala ang holey cup kung saan palaging iniinom ni Sir Shurf Lonley-Lockley.

Kaya gagawa kami ng isang tumutulo na mangkok at isang hindi butas na butas, at kalkulahin ang lugar ng nilikha na ibabaw. Sa tingin ko na para sa ilang kadahilanan ito (sa pangkalahatan, ang ibabaw na lugar) ay kinakailangan - mabuti, hindi bababa sa para sa pag-aaplay ng isang espesyal na pintura ng magic. At sa kabilang banda, ang mga lugar ng mahiwagang artifact ay maaaring kailanganin upang kalkulahin ang mahiwagang pwersa na inilapat sa kanila o iba pa. Malalaman natin kung paano ito hahanapin, at hahanapin natin kung saan ito ilalapat.

Kaya, ang isang piraso ng isang parabola ay maaaring magbigay sa atin ng hugis ng isang mangkok. Kunin natin ang pinakasimpleng y=x 2 sa pagitan . Makikita na kapag umiikot ito sa OY axis, isang bowl lang ang makukuha. Walang ibaba.

Ang spell upang makalkula ang ibabaw na lugar ng pag-ikot ay ang mga sumusunod:

Dito |y| ay ang distansya mula sa axis ng pag-ikot sa anumang punto sa curve na umiikot. Tulad ng alam mo, ang distansya ay isang patayo.
Medyo mas mahirap sa pangalawang elemento ng spell: ang ds ay ang arc differential. Ang mga salitang ito ay hindi nagbibigay sa atin ng anuman, kaya't huwag tayong mag-abala, ngunit lumipat sa wika ng mga formula, kung saan ang pagkakaibang ito ay tahasang ipinakita para sa lahat ng mga kaso na alam natin:
- Cartesian coordinate system;
- mga talaan ng curve sa parametric form;
- polar coordinate system.

Para sa aming kaso, ang distansya mula sa axis ng pag-ikot sa anumang punto sa curve ay x. Isinasaalang-alang namin ang ibabaw na lugar ng nagresultang holey bowl:

Upang makagawa ng isang mangkok na may ilalim, kailangan mong kumuha ng isa pang piraso, ngunit may ibang kurba: sa pagitan, ito ang linyang y=1.

Ito ay malinaw na kapag ito ay umiikot sa paligid ng OY axis, ang ilalim ng bowl ay makukuha sa anyo ng isang bilog ng unit radius. At alam namin kung paano kinakalkula ang lugar ng isang bilog (ayon sa formula pi * r ^ 2. Para sa aming kaso, ang lugar ng bilog ay magiging katumbas ng pi), ngunit kakalkulahin namin ito gamit ang isang bagong formula - para sa pagpapatunay.
Ang distansya mula sa axis ng pag-ikot sa anumang punto ng piraso ng curve na ito ay x din.

Well, tama ang aming mga kalkulasyon, na nakalulugod.

At ngayon takdang aralin.

1. Hanapin ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng polyline ABC, kung saan ang A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), sa paligid ng OX axis.
Payo. Itala ang lahat ng mga segment sa parametric form.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Sa pamamagitan ng paraan, ano ang hitsura ng resultang item?

2. Buweno, ngayon ay gumawa ka ng isang bagay sa iyong sarili. Sa tingin ko, sapat na ang tatlong bagay.

Samakatuwid, agad akong lilipat sa mga pangunahing konsepto at praktikal na mga halimbawa.

Tingnan natin ang isang simpleng larawan

At tandaan: kung ano ang maaaring kalkulahin gamit tiyak na integral?

Una sa lahat, siyempre, lugar ng isang hubog na trapezoid. Kilala mula pa noong mga araw ng paaralan.

Kung ang figure na ito ay umiikot sa paligid ng coordinate axis, pinag-uusapan na natin ang tungkol sa paghahanap katawan ng rebolusyon. Simple lang din.

Ano pa? Kamakailang nasuri problema sa haba ng arko .

At ngayon matututunan natin kung paano kalkulahin ang isa pang katangian - isa pang lugar. Isipin ang linyang iyon umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pagkilos na ito, ang isang geometric na pigura ay nakuha, na tinatawag ibabaw ng rebolusyon. Sa kasong ito, ito ay kahawig ng isang palayok na walang ilalim. At walang takip. Tulad ng sasabihin ng asno na si Eeyore, isang nakakasakit na tanawin =)

Upang maalis ang hindi maliwanag na interpretasyon, gagawa ako ng nakakainip ngunit mahalagang paglilinaw:

mula sa isang geometric na punto ng view, ang aming "palayok" ay may walang katapusan na manipis pader at dalawa mga ibabaw na may parehong lugar - panlabas at panloob. Kaya, ang lahat ng karagdagang mga kalkulasyon ay nagpapahiwatig ng lugar tanging ang panlabas na ibabaw.

Sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, ang ibabaw na lugar ng pag-ikot ay kinakalkula ng formula:

o, mas siksik: .

Ang parehong mga kinakailangan ay ipinapataw sa function at ang hinango nito tulad ng kapag naghahanap haba ng curve arc, ngunit, bilang karagdagan, ang curve ay dapat na matatagpuan mas mataas mga palakol. Mahalaga ito! Madaling maunawaan na kung ang linya ay matatagpuan sa ilalim axis, kung gayon ang integrand ay magiging negatibo: , at samakatuwid ay kailangang magdagdag ng minus sign sa formula upang mapanatili ang geometric na kahulugan ng problema.

Isaalang-alang ang isang hindi nararapat na hindi napapansing pigura:

Lugar ng ibabaw ng isang torus

Sa maikling sabi, tor ay isang donut. Isang halimbawa ng aklat-aralin, na isinasaalang-alang sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa matan, ay nakatuon sa paghahanap dami torus, at samakatuwid, para sa kapakanan ng pagkakaiba-iba, susuriin ko ang mas bihirang problema ng ibabaw nito. Una sa mga partikular na halaga ng numero:

Halimbawa 1

Kalkulahin ang ibabaw na lugar ng isang torus na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog sa paligid ng axis.

Desisyon: paano mo malalaman ang equation set bilog unit radius na nakasentro sa . Pinapadali nitong makakuha ng dalawang function:

– itinatakda ang itaas na kalahating bilog;
– nagtatakda ng mas mababang kalahating bilog:

Ang kakanyahan ay malinaw na kristal: bilog umiikot sa paligid ng x-axis at bumubuo ibabaw bagel. Ang tanging bagay dito, upang maiwasan ang mga malalaking reserbasyon, ay maging maingat sa terminolohiya: kung paikutin mo isang bilog, na napapalibutan ng bilog , pagkatapos ay makakakuha ka ng isang geometric katawan, iyon ay, ang bagel mismo. At ngayon pag-usapan ang square it ibabaw, na malinaw na kailangang kalkulahin bilang kabuuan ng mga lugar:

1) Hanapin ang lugar sa ibabaw, na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng "asul" na arko sa paligid ng x-axis. Ginagamit namin ang formula . Tulad ng paulit-ulit kong ipinapayo, mas maginhawang magsagawa ng mga aksyon sa mga yugto:

Kumuha kami ng isang function at hanapin ito derivative:

At sa wakas, ini-load namin ang resulta sa formula:

Tandaan na sa kasong ito ito ay naging mas makatwiran doblehin ang integral ng isang even function sa kurso ng solusyon, sa halip na paunang pag-usapan ang simetrya ng figure na may paggalang sa y-axis.

2) Hanapin ang lugar sa ibabaw, na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng "pula" na arko sa paligid ng x-axis. Ang lahat ng mga aksyon ay mag-iiba sa katunayan sa pamamagitan lamang ng isang tanda. Ididisenyo ko ang solusyon sa ibang istilo, na, siyempre, ay may karapatan din sa buhay:


3) Kaya, ang ibabaw na lugar ng torus:

Sagot:

Ang problema ay maaaring malutas sa isang pangkalahatang paraan - upang kalkulahin ang ibabaw na lugar ng torus na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog sa paligid ng abscissa axis, at makuha ang sagot . Gayunpaman, para sa kalinawan at higit na pagiging simple, isinagawa ko ang solusyon sa mga tiyak na numero.

Kung kailangan mong kalkulahin ang dami ng donut mismo, mangyaring sumangguni sa tutorial bilang isang mabilis na sanggunian:

Ayon sa teoretikal na pangungusap, isinasaalang-alang namin ang itaas na kalahating bilog. Ito ay "iginuhit" kapag binabago ang halaga ng parameter sa loob (madaling makita iyon sa pagitan na ito), kaya:

Sagot:

Kung malulutas natin ang problema sa mga pangkalahatang termino, eksaktong makukuha natin ang formula ng paaralan para sa lugar ng isang globo, kung saan ang radius nito.

Isang bagay na masakit na simpleng problema, kahit na nahihiya .... Iminumungkahi kong ayusin mo ang bug na ito =)

Halimbawa 4

Kalkulahin ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng unang arko ng cycloid sa paligid ng axis.

Ang gawain ay malikhain. Subukang i-deduce o intuit ang formula para sa pagkalkula ng surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve sa paligid ng y-axis. At, siyempre, ang bentahe ng mga parametric equation ay dapat muling bigyang-pansin - hindi nila kailangang baguhin kahit papaano; hindi na kailangang mag-abala sa paghahanap ng iba pang mga limitasyon ng pagsasama.

Maaaring matingnan ang cycloid graph sa pahina Lugar at volume kung ang linya ay nakatakda nang parametric. Ang ibabaw ng pag-ikot ay magiging katulad ... Hindi ko alam kung ano ang ihahambing dito sa ... isang bagay na hindi makalupa - bilugan na may matulis na depresyon sa gitna. Dito, para sa kaso ng pag-ikot ng cycloid sa paligid ng axis, ang asosasyon ay agad na naisip - isang pahaba na rugby ball.

Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Tinatapos namin ang aming kamangha-manghang pagsusuri sa isang kaso polar coordinate. Oo, ito ay isang pagsusuri, kung titingnan mo ang mga aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika (ni Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov, at iba pang mga may-akda), maaari kang makakuha ng isang dosenang (o mas kapansin-pansing higit pa) mga karaniwang halimbawa, kung saan posible na ikaw ay mahahanap ang problemang kailangan mo.

Paano makalkula ang ibabaw na lugar ng rebolusyon,
kung ang linya ay ibinigay sa polar coordinate system?

Kung nakatakda ang curve sa polar coordinate equation , at ang function ay may tuluy-tuloy na derivative sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve na ito sa paligid ng polar axis ay kinakalkula ng formula , kung saan ang mga angular na halaga ay tumutugma sa mga dulo ng curve.

Alinsunod sa geometric na kahulugan ng problema, ang integrand , at ito ay makakamit lamang kung ( at kilala na hindi negatibo). Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang mga halaga ng anggulo mula sa hanay , sa madaling salita, ang kurba ay dapat na matatagpuan mas mataas polar axis at mga extension nito. Tulad ng nakikita mo, ang parehong kuwento tulad ng sa nakaraang dalawang talata.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng cardioid sa paligid ng polar axis.

Desisyon: ang graph ng kurba na ito ay makikita sa Halimbawa 6 ng aralin tungkol sa polar coordinate system. Ang cardioid ay simetriko tungkol sa polar axis, kaya isinasaalang-alang namin ang itaas na kalahati nito sa puwang (na, sa katunayan, ay dahil din sa nabanggit sa itaas).

Ang ibabaw ng pag-ikot ay magiging katulad ng isang bullseye.

Ang pamamaraan ng solusyon ay pamantayan. Hanapin natin ang derivative na may kinalaman sa "phi":

Bumuo at pasimplehin ang ugat:

Sana may supernumerary

Hayaang maibigay ang isang katawan sa kalawakan. Hayaang gawin ang mga seksyon nito sa pamamagitan ng mga eroplanong patayo sa axis na dumadaan sa mga puntos na x
sa kanya. Ang lugar ng figure na nabuo sa seksyon ay nakasalalay sa punto X, na tumutukoy sa eroplano ng seksyon. Hayaang malaman ang pagtitiwala na ito at bigyan ng tuloy-tuloy function. Pagkatapos ay ang dami ng bahagi ng katawan na matatagpuan sa pagitan ng mga eroplano x=a at x=v kinakalkula ng formula

Halimbawa. Hanapin natin ang volume ng isang bounded body na nakapaloob sa pagitan ng ibabaw ng isang silindro ng radius :, isang pahalang na eroplano at isang hilig na eroplano z=2y at nakahiga sa itaas ng pahalang na eroplano .

Malinaw, ang katawan na isinasaalang-alang ay inaasahang papunta sa axis ng segment
, at para sa x
ang cross section ng katawan ay isang kanang tatsulok na may mga binti y at z=2y, kung saan ang y ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng x mula sa cylinder equation:

Samakatuwid, ang cross-sectional area na S(x) ay:

Ang paglalapat ng formula, nakita namin ang dami ng katawan:

Pagkalkula ng mga volume ng katawan ng rebolusyon

Hayaan sa segment [ a, b] ay isang tuluy-tuloy na sign-constant function y= f(x). Mga volume ng isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis Oh(o mga palakol OU) curvilinear trapezoid na may hangganan ng kurba y= f(x) (f(x) 0) at direkta y=0, x=a, x=b, ay kinakalkula ayon sa mga formula:

, ( 19)

(20)

Kung ang isang katawan ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng isang axis OU curvilinear trapezoid na nakatali ng isang curve
at direktang x=0, y= c, y= d, kung gayon ang dami ng katawan ng rebolusyon ay katumbas ng

. (21)

Halimbawa. Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang pigura na nililimitahan ng mga linya sa paligid ng isang axis Oh.

Ayon sa formula (19), ang nais na dami

Halimbawa. Hayaang isaalang-alang ang linyang y=cosx sa xOy plane sa segment .

E ang linyang iyon ay umiikot sa espasyo sa paligid ng axis, at ang resultang ibabaw ng rebolusyon ay naglilimita sa ilang katawan ng rebolusyon (tingnan ang Fig.). Hanapin ang dami nitong katawan ng rebolusyon.

Ayon sa pormula, nakukuha natin:

Ang ibabaw na lugar ng pag-ikot

,
, umiikot sa paligid ng Ox axis, pagkatapos ay ang ibabaw na lugar ng pag-ikot ay kinakalkula ng formula
, saan a at b- abscissas ng simula at pagtatapos ng arko.

Kung ang arko ng kurba ay ibinigay ng isang di-negatibong function
,
, umiikot sa paligid ng Oy axis, pagkatapos ay ang ibabaw na lugar ng pag-ikot ay kinakalkula ng formula

,

kung saan ang c at d ay ang abscissas ng simula at katapusan ng arko.

Kung ang arko ng kurba ay ibinigay parametric equation
,
, at
, pagkatapos

Kung ang arko ay nakatakda sa polar coordinate
, pagkatapos

.

Halimbawa. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa espasyo sa paligid ng axis ng bahagi ng linya y= matatagpuan sa itaas ng cutoff line.

Bilang
, pagkatapos ay binibigyan tayo ng formula ng integral

Gawin natin ang pagbabago t=x+(1/2) sa huling integral at makuha ang:

Sa una sa mga integral sa kanang bahagi, ginagawa namin ang pagbabago z=t 2 -:

Upang kalkulahin ang pangalawa ng mga integral sa kanang bahagi, tinutukoy namin ito at isama sa pamamagitan ng mga bahagi, pagkuha ng isang equation para sa:

Ang paglipat sa kaliwang bahagi at paghahati sa 2, nakukuha namin

kung saan, sa wakas,

Mga aplikasyon ng tiyak na integral sa solusyon ng ilang problema ng mekanika at pisika

Variable force work. Isaalang-alang ang paggalaw ng isang materyal na punto sa kahabaan ng axis OX sa ilalim ng pagkilos ng isang variable na puwersa f, depende sa posisyon ng punto x sa axis, i.e. isang puwersa na isang function x. Pagkatapos ay magtrabaho A, kinakailangan upang ilipat ang isang materyal na punto mula sa isang posisyon x = a sa posisyon x = b kinakalkula ng formula:

Upang makalkula puwersa ng presyon ng likido gamitin ang batas ni Pascal, ayon sa kung saan ang presyon ng isang likido sa isang platform ay katumbas ng lugar nito S pinarami ng lalim ng paglulubog h, sa density ρ at ang acceleration ng gravity g, ibig sabihin.

.

1. Mga sandali at sentro ng masa ng mga kurba ng eroplano. Kung ang arko ng kurba ay ibinigay ng equation na y=f(x), a≤x≤b, at may density
, pagkatapos mga static na sandali ng arko na ito, M x at M y na may paggalang sa mga coordinate axes Ox at Oy ay

;

mga sandali ng pagkawalang-galaw I X at I y na may kaugnayan sa parehong mga palakol Ang Ox at Oy ay kinakalkula ng mga formula

a sentro ng mass coordinate at - sa pamamagitan ng mga formula

kung saan ang l ay ang masa ng arko, i.e.

Halimbawa 1. Hanapin ang mga static na sandali at sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga axes Ox at Oy ng catenary arc y=chx para sa 0≤x≤1.

Kung ang density ay hindi tinukoy, ang curve ay ipinapalagay na pare-pareho at
. Mayroon kaming: Samakatuwid,

Halimbawa 2 Hanapin ang mga coordinate ng sentro ng masa ng bilog arc x=acost, y=asint na matatagpuan sa unang kuwadrante. Meron kami:

Mula dito nakukuha natin ang:

Sa mga application, ang mga sumusunod ay kadalasang kapaki-pakinabang. Teorama gulden. Ang lugar sa ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang arko ng isang kurba ng eroplano sa paligid ng isang axis na namamalagi sa eroplano ng arko at hindi nagsalubong ito ay katumbas ng produkto ng haba ng arko at ang haba ng bilog na inilarawan ng kanyang sentro ng masa.

Halimbawa 3 Hanapin ang mga coordinate ng sentro ng masa ng kalahating bilog

Dahil sa simetriya
. Kapag ang isang kalahating bilog ay umiikot sa paligid ng axis ng Ox, ang isang globo ay nakuha, ang ibabaw na lugar ng kung saan ay pantay, at ang haba ng kalahating bilog ay katumbas ng pa. Sa pamamagitan ng teorama ni Gulden, mayroon tayong 4

Mula rito
, ibig sabihin. Ang sentro ng masa C ay may mga coordinate C
.

2. Mga gawaing pisikal. Ang ilang mga aplikasyon ng tiyak na integral sa paglutas ng mga pisikal na problema ay inilalarawan sa ibaba sa mga halimbawa.

Halimbawa 4 Ang bilis ng paggalaw ng rectilinear ng katawan ay ipinahayag ng formula (m / s). Hanapin ang landas na dinaanan ng katawan sa loob ng 5 segundo mula sa simula ng paggalaw.

Bilang landas na tinatahak ng katawan na may bilis na v(t) para sa pagitan ng oras , ay ipinahayag ng integral

pagkatapos ay mayroon kaming:

P
halimbawa. Hanapin natin ang lugar ng limitadong lugar na nasa pagitan ng axis at ng linyang y=x 3 -x. Sa abot ng

ang linya ay tumatawid sa axis sa tatlong puntos: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

Ang limitadong lugar sa pagitan ng linya at ng axis ay inaasahang papunta sa isang segment
,at sa segment
,linya y=x 3 -x napupunta sa itaas ng axis (ibig sabihin, linya y=0, at sa - sa ibaba. Samakatuwid, ang lugar ng rehiyon ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:

P
halimbawa. Hanapin ang lugar ng rehiyon na nakapaloob sa pagitan ng una at ikalawang pagliko ng Archimedes spiral r=a (a>0) at isang segment ng pahalang na axis
.

Ang unang pagliko ng spiral ay tumutugma sa isang pagbabago sa anggulo sa hanay mula 0 hanggang, at ang pangalawa - mula hanggang. Upang magdala ng pagbabago sa argumento sa isang puwang, isinusulat namin ang equation ng pangalawang pagliko ng spiral sa anyo
,

. Pagkatapos ang lugar ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula, paglalagay
at
:

P halimbawa. Hanapin natin ang volume ng katawan na nakatali sa ibabaw ng pag-ikot ng linyang y=4x-x 2 sa paligid ng axis (na may
).

Upang kalkulahin ang dami ng isang katawan ng rebolusyon, inilalapat namin ang formula

P halimbawa. Kalkulahin ang haba ng arko ng linya y=lncosx na matatagpuan sa pagitan ng mga tuwid na linya at
.

(kinuha namin bilang value ng root , at hindi -cosx, dahil cosx > 0 when
, ang haba ng arko ay

Sagot:
.

Halimbawa. Kalkulahin ang lugar Q ng ibabaw ng rebolusyon na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng arko ng cycloid x=t-sint ; y=1-gastos, na may

, sa paligid ng axis.

D Upang makalkula, inilalapat namin ang formula:

Meron kami:

, kaya

Upang pumasa sa ilalim ng integral sign sa isang variable, tandaan namin na kapag

nakukuha natin

, pati na rin ang

Bilang karagdagan, nag-precompute kami

(kaya
) at

Nakukuha namin:

Paggawa ng pagpapalit , dumating kami sa integral

5. Paghahanap sa ibabaw na lugar ng mga katawan ng rebolusyon

Hayaang ang curve AB ay ang graph ng function na y = f(x) ≥ 0, kung saan ang x [a; b], at ang function na y \u003d f (x) at ang derivative nito na y "\u003d f" (x) ay tuloy-tuloy sa segment na ito.

Hanapin natin ang lugar S ng surface na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve AB sa paligid ng Ox axis (Fig. 8).

Inilapat namin ang scheme II (differential method).

Sa pamamagitan ng arbitrary point x [a; b] iguhit ang eroplano П, patayo sa axis Oh. Ang eroplanong P ay nag-intersect sa ibabaw ng rebolusyon kasama ang isang bilog na may radius y - f(x). Ang halaga S ng ibabaw ng bahagi ng pigura ng rebolusyon na nakahiga sa kaliwa ng eroplano ay isang function ng x, i.e. s = s(x) (s(a) = 0 at s(b) = S).

Bigyan natin ang argumento x ng pagtaas Δх = dх. Sa pamamagitan ng puntong x + dx [a; b] gumuhit din ng isang eroplanong patayo sa x-axis. Ang function na s = s(x) ay makakatanggap ng pagtaas ng Δs, na ipinapakita sa figure bilang isang "belt".

Hanapin natin ang kaugalian ng lugar na ds, na pinapalitan ang figure na nabuo sa pagitan ng mga seksyon ng isang pinutol na kono, ang generatrix na kung saan ay katumbas ng dl, at ang radii ng mga base ay katumbas ng y at y + dy. Ang lateral surface area nito ay: = 2ydl + dydl.

Ang pagtatapon ng produkto dу d1 bilang isang infinitesimal na mas mataas na order kaysa sa ds, nakukuha namin ang ds = 2уdl, o, dahil d1 = dx.

Ang pagsasama ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa hanay mula sa x = a hanggang x = b, nakuha namin

Kung ang curve AB ay ibinigay ng parametric equation x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, kung gayon ang formula para sa lugar ng ibabaw ng rebolusyon ay magiging

S=2 dt.

Halimbawa: Hanapin ang surface area ng isang globo ng radius R.

S=2 =

6. Paghahanap ng gawain ng isang variable na puwersa

Variable force work

Hayaang gumalaw ang materyal na point M sa kahabaan ng axis ng Ox sa ilalim ng pagkilos ng variable na puwersa F = F(x) na nakadirekta parallel sa axis na ito. Ang gawaing ginawa ng puwersa kapag inilipat ang point M mula sa posisyon x = a sa posisyon x = b (a

Anong gawain ang dapat gawin upang iunat ang spring ng 0.05 m kung ang puwersa ng 100 N ay umaabot sa spring ng 0.01 m?

Ayon sa batas ni Hooke, ang nababanat na puwersa na umaabot sa tagsibol ay proporsyonal sa kahabaan na ito x, i.e. F = kx, kung saan ang k ay ang koepisyent ng proporsyonalidad. Ayon sa kondisyon ng problema, ang puwersa F = 100 N ay umaabot sa tagsibol sa pamamagitan ng x = 0.01 m; samakatuwid, 100 = k 0.01, kung saan k = 10000; samakatuwid, F = 10000x.

Ang nais na gawain batay sa pormula

A=

Hanapin ang gawaing dapat gastusin sa pagbomba ng likido sa ibabaw ng gilid mula sa isang patayong cylindrical na tangke na may taas na H m at base radius R m (Larawan 13).

Ang gawaing ginugol sa pagtataas ng katawan ng timbang p sa taas h ay katumbas ng p H. Ngunit ang iba't ibang layer ng likido sa tangke ay nasa iba't ibang lalim at ang taas ng pagtaas (sa gilid ng tangke) ng tangke. ang iba't ibang mga layer ay hindi pareho.

Upang malutas ang problema, inilalapat namin ang scheme II (differential method). Ipinakilala namin ang isang coordinate system.

1) Ang gawaing ginugol sa pagbomba ng likidong layer ng kapal x (0 ≤ x ≤ H) mula sa reservoir ay isang function ng x, i.e. A \u003d A (x), kung saan (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Nahanap namin ang pangunahing bahagi ng pagtaas ng ΔA kapag ang x ay nagbago ng Δx = dx, i.e. nakita namin ang kaugalian dA ng function na A(x).

Dahil sa liit ng dx, ipinapalagay namin na ang "elementarya" na likidong layer ay nasa parehong lalim x (mula sa gilid ng reservoir). Pagkatapos dА = dрх, kung saan ang dр ay ang bigat ng layer na ito; ito ay katumbas ng g AV, kung saan ang g ay ang acceleration ng libreng pagkahulog, ay ang density ng likido, ang dv ay ang dami ng "elementarya" na likidong layer (ito ay naka-highlight sa figure), i.e. dr = g. Ang dami ng likidong layer na ito ay malinaw na katumbas ng , kung saan ang dx ay ang taas ng silindro (layer), ay ang lugar ng base nito, i.e. dv = .

Kaya, dр = . at

3) Ang pagsasama ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa saklaw mula sa x \u003d 0 hanggang x \u003d H, nakita namin

A

8. Pagkalkula ng mga integral gamit ang MathCAD package

Kapag nilulutas ang ilang inilapat na mga problema, kinakailangan na gamitin ang operasyon ng simbolikong pagsasama. Sa kasong ito, ang MathCad program ay maaaring maging kapaki-pakinabang kapwa sa paunang yugto (mabuti na malaman ang sagot nang maaga o malaman na ito ay umiiral) at sa huling yugto (mabuti na suriin ang resulta na nakuha gamit ang sagot mula sa iba pinagmulan o solusyon ng ibang tao).

Kapag nilulutas ang isang malaking bilang ng mga problema, maaari mong mapansin ang ilang mga tampok ng paglutas ng mga problema gamit ang MathCad program. Subukan nating unawain gamit ang ilang mga halimbawa kung paano gumagana ang program na ito, suriin ang mga solusyon na nakuha sa tulong nito at ihambing ang mga solusyon na ito sa mga solusyon na nakuha sa ibang mga paraan.

Ang mga pangunahing problema kapag gumagamit ng MathCad program ay ang mga sumusunod:

a) ang programa ay nagbibigay ng sagot hindi sa anyo ng mga pamilyar na elementarya na pag-andar, ngunit sa anyo ng mga espesyal na pag-andar na malayo sa alam ng lahat;

b) sa ilang mga kaso "tumanggi" na magbigay ng sagot, bagaman ang problema ay may solusyon;

c) kung minsan imposibleng gamitin ang resulta na nakuha dahil sa bulkiness nito;

d) nalulutas ang problema nang hindi kumpleto at hindi sinusuri ang solusyon.

Upang malutas ang mga problemang ito, kinakailangang gamitin ang mga kalakasan at kahinaan ng programa.

Sa tulong nito, madali at simple ang pagkalkula ng mga integral ng fractional rational function. Samakatuwid, inirerekumenda na gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit, i.e. ihanda muna ang integral para sa solusyon. Para sa mga layuning ito, maaaring gamitin ang mga pagpapalit na tinalakay sa itaas. Dapat ding tandaan na ang mga resulta na nakuha ay dapat suriin para sa pagkakataon ng mga domain ng kahulugan ng orihinal na function at ang resulta na nakuha. Bilang karagdagan, ang ilan sa mga nakuhang solusyon ay nangangailangan ng karagdagang pananaliksik.

Ang programang MathCad ay nagpapalaya sa mag-aaral o mananaliksik mula sa nakagawiang gawain, ngunit hindi siya maaaring palayain mula sa karagdagang pagsusuri kapwa kapag nagtatakda ng problema at kapag nakakuha ng anumang mga resulta.

Sa papel na ito, ang mga pangunahing probisyon na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga aplikasyon ng isang tiyak na integral sa kurso ng matematika ay isinasaalang-alang.

- isang pagsusuri ng teoretikal na batayan para sa paglutas ng mga integral ay isinagawa;

- ang materyal ay sumailalim sa systematization at generalization.

Sa panahon ng gawaing kurso, ang mga halimbawa ng mga praktikal na problema sa larangan ng pisika, geometry, mekanika ay isinasaalang-alang.

Konklusyon

Ang mga halimbawa ng mga praktikal na problema na isinasaalang-alang sa itaas ay nagbibigay sa amin ng isang malinaw na ideya ng kahalagahan ng isang tiyak na integral para sa kanilang kakayahang malutas.

Mahirap pangalanan ang isang pang-agham na lugar kung saan ang mga pamamaraan ng integral calculus, sa pangkalahatan, at ang mga katangian ng isang tiyak na integral, sa partikular, ay hindi ilalapat. Kaya sa proseso ng paggawa ng gawaing pang-kurso, isinasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng mga praktikal na problema sa larangan ng pisika, geometry, mechanics, biology at economics. Siyempre, hindi ito isang kumpletong listahan ng mga agham na gumagamit ng integral na paraan upang makahanap ng isang set na halaga kapag nilutas ang isang partikular na problema, at upang magtatag ng mga teoretikal na katotohanan.

Gayundin, ang tiyak na integral ay ginagamit upang pag-aralan ang matematika mismo. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga differential equation, na, sa turn, ay gumawa ng isang kailangang-kailangan na kontribusyon sa paglutas ng mga problema ng praktikal na nilalaman. Masasabi nating ang tiyak na integral ay isang uri ng pundasyon para sa pag-aaral ng matematika. Samakatuwid ang kahalagahan ng pag-alam kung paano lutasin ang mga ito.

Mula sa lahat ng nasa itaas, malinaw kung bakit nangyayari ang kakilala sa isang tiyak na integral kahit na sa loob ng balangkas ng isang paaralang pangkalahatang edukasyon sa sekondarya, kung saan pinag-aaralan ng mga mag-aaral hindi lamang ang konsepto ng integral at mga katangian nito, kundi pati na rin ang ilan sa mga aplikasyon nito.

Panitikan

1. Volkov E.A. Numerical na pamamaraan. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Differential at integral calculus. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Mas Mataas na Matematika. M., Mas Mataas na Paaralan, 1990.