CB og'ish ehtimoli X undan M.O. a mutlaq qiymatda berilgan musbat raqamdan kichik bo'ladi , ga teng

Agar biz bu tenglikni qo'ysak, biz olamiz

w: bo'sh joy = "720"/>"> ,

Ya'ni, normal taqsimlangan SW X M.O.dan chetga chiqadi. a, qoida tariqasida, 3 dan kam. Bu shunday deb ataladi 3 sigma qoidasi, bu ko'pincha matematik statistikada qo'llaniladi.

Bitta tasodifiy o'zgaruvchining funktsiyasi. Bitta SV funksiyasining matematik kutilishi.(tetr)

Tasodifiy o'zgaruvchining har bir mumkin bo'lgan qiymati bo'lsa X tasodifiy miqdorning bitta mumkin bo'lgan qiymatiga mos keladi Y , keyin Y chaqirdi tasodifiy argumentlar funktsiyasi X: Y=ph (X ).

Argumentning ma'lum bo'lgan taqsimot qonuniga ko'ra funktsiyaning taqsimot qonunini qanday topish mumkinligini aniqlaymiz.

1) Bahsga ruxsat bering X diskret tasodifiy o'zgaruvchi va turli qiymatlardir X turli qiymatlarga mos keladi Y . Keyin mos keladigan qiymatlarning ehtimolliklari X va Y teng .

2) Agar turli qiymatlar bo'lsa X bir xil qiymatlarga mos kelishi mumkin Y , keyin funktsiya bir xil qiymatni oladigan argument qiymatlarining ehtimolliklari qo'shiladi.

3) Agar X uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchidir, Y=ph (X ), φ (x ) monoton va differentsiallanuvchi funksiyadir va ψ (da ) ga teskari funktsiyadir φ (X ).

Bitta tasodifiy argumentning funksiyasini matematik kutish.

Bo'lsin Y=ph (X ) tasodifiy argumentning funksiyasi X , va taqsimot qonunini bilgan holda uning matematik kutilmasini topish talab etiladi X .

1) Agar X diskret tasodifiy o'zgaruvchidir, demak

2) Agar X u holda uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchidir M (Y ) turli usullarda qidirish mumkin. Agar tarqatish zichligi ma'lum bo'lsa g (y ), keyin

21. Ikki tasodifiy argumentning funksiyasi. Diskret mustaqil SV X va Y uchun Z=X+Y funksiyaning taqsimlanishi.(tetr)

Agar X va Y tasodifiy o'zgaruvchilarning har bir juft mumkin bo'lgan qiymatlari tasodifiy o'zgaruvchining bitta mumkin bo'lgan qiymatiga mos keladigan bo'lsa, Z ikkita tasodifiy X va Y argumentlarining funktsiyasi deb ataladi va Z=ph(X,Y) deb yoziladi. Agar X va Y diskret mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsa, u holda Z=X+Y funksiyaning taqsimotini topish uchun Z ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini topish kerak, buning uchun har bir mumkin bo'lgan qiymatni qo'shish kifoya. X dan Y ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlariga; topilgan mumkin bo'lgan Z qiymatlarining ehtimolliklari X va Y qo'shilgan qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotiga teng. Agar X va Y uzluksiz mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsa, u holda Z yig'indisining taqsimlanish zichligi g (z) = X + Y (agar kamida bitta argumentning taqsimot zichligi oraliqda (- oo, oo) bitta formula bilan berilgan bo'lsa) formula bo'yicha yoki ekvivalent formula bilan topilishi mumkin, bu erda f1 va f2 argumentlarning taqsimlanish zichligi; agar argumentlarning mumkin bo'lgan qiymatlari manfiy bo'lmasa, u holda Z=X + Y qiymatlarining g(z) taqsimot zichligi formula yoki ekvivalent formula bilan topiladi. Har ikkala zichlik f1(x) va f2(y) chekli oraliqlarda berilgan holda Z = X + Y qiymatning g(z) zichligini topish uchun birinchi navbatda G(z) taqsimot funksiyasini topish maqsadga muvofiqdir. ) va keyin uni z ga nisbatan farqlang: g(z)=G'(z). Agar X va Y tegishli taqsimot zichliklari f1(x) va f2(y) tomonidan berilgan mustaqil tasodifiy miqdorlar bo'lsa, u holda tasodifiy nuqtaning (X, Y) D mintaqasiga tushish ehtimoli ushbu mintaqadagi qo'sh integralga teng bo'ladi. taqsimot zichliklari mahsulotining: R [( X, Y)cD] = . Diskret mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y taqsimotlar bilan berilgan:

R 0,3 0,7 R 0,6 0,4

Z = X + K tasodifiy miqdorning taqsimlanishini toping. Z=X+Y qiymatining taqsimotini tuzish uchun Z ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini va ularning ehtimolliklarini topish kerak. Mumkin Z qiymatlari har bir mumkin bo'lgan X qiymatining barcha mumkin bo'lgan Y qiymatlari bilan yig'indisidir: Z 1 = 1+2=3; z 2 \u003d 1 + 4 \u003d 5; z 3 \u003d 3 + 2 \u003d 5; z4 = 3+4 = 7. Ushbu mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklarini topamiz. Z=3 bo'lishi uchun X qiymatining x1= l qiymatini va K-qiymati y1=2 qiymatini olishi kifoya. Ushbu taqsimot qonunlaridan kelib chiqqan holda, bu mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklari mos ravishda 0,3 va 0,6 ga teng. X va Y argumentlari mustaqil bo'lganligi sababli, X = 1 va Y = 2 hodisalar mustaqildir va shuning uchun yomg'irni ko'paytirish teoremasiga ko'ra, ularning birgalikda yuzaga kelish ehtimoli (ya'ni, Z = 3 hodisasining ehtimoli) 0,3 ga teng. * 0,6 = 0, o'n sakkiz. Xuddi shunday, biz topamiz:

I B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P (Z = 34-2 = 5) = 0,7 0,6 = 0,42;

P (Z = 3-chi = 7) = 0,7-0,4 = 0,28. Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolliklarini Z = z 2 = 5, Z=z 3 = 5 (0,12+0,42=0,54) qo‘shib, kerakli taqsimotni yozamiz:

Z 3 5 7 ; P 0,18 0,54 0,28. Nazorat: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.

Amalda, ko'p tasodifiy omillar ta'sirida bo'lgan ko'pchilik tasodifiy o'zgaruvchilar ehtimollik taqsimotining normal qonuniga bo'ysunadi. Shuning uchun ehtimollar nazariyasining turli xil qo'llanilishida bu qonun alohida ahamiyatga ega.

$X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi ehtimollik taqsimoti zichligi quyidagi koʻrinishga ega boʻlsa, normal ehtimollik taqsimot qonuniga boʻysunadi.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Sxematik ravishda $f\left(x\right)$ funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan va "Gauss egri chizig'i" nomiga ega. Ushbu grafikning o'ng tomonida evro muomalaga kiritilishidan oldin ham foydalanilgan Germaniyaning 10 Mark banknotasi joylashgan. Agar diqqat bilan qarasangiz, ushbu banknotada Gauss egri chizig'ini va uning kashfiyotchisi, eng buyuk matematik Karl Fridrix Gaussni ko'rishingiz mumkin.

Keling, $f\left(x\right)$ zichlik funksiyamizga qaytaylik va $a,\ (\sigma )^2$ taqsimot parametrlari haqida bir oz tushuntirish beramiz. $a$ parametri tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining tarqalish markazini tavsiflaydi, ya'ni u matematik kutish ma'nosiga ega. $a$ parametri oʻzgarganda va $(\sigma )^2$ parametri oʻzgarmagan boʻlsa, biz $f\left(x\right)$ funksiya grafigining abscissa oʻqi boʻylab siljishini kuzatishimiz mumkin. grafikning o'zi uning shaklini o'zgartirmaydi.

$(\sigma )^2$ parametri dispersiya boʻlib, $f\left(x\right)$ zichlik egri chizigʻining shaklini tavsiflaydi. $(\sigma )^2$ parametrini $a$ parametri oʻzgarmagan holda oʻzgartirganda, zichlik grafigi abtsissa boʻylab siljimasdan turib, shaklini qanday oʻzgartirishini, qisqarishini yoki choʻzilishini kuzatishimiz mumkin.

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining berilgan oraliqga tushish ehtimoli

Ma'lumki, $X$ tasodifiy o'zgaruvchining $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ oralig'iga tushishi ehtimolligi $P\left(\alpha) hisoblanishi mumkin.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Bu yerda $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ funksiyasi Laplas funktsiyasi. Ushbu funktsiyaning qiymatlari dan olingan. $\Phi \left(x\right)$ funksiyasining quyidagi xossalarini qayd etish mumkin.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ya'ni $\Phi \left(x\right)$ funktsiyasi g'alati.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - monoton ravishda ortib borayotgan funksiya.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ chap (x\o'ng)\ )=-0,5$.

$\Phi \left(x\right)$ funksiyasining qiymatlarini hisoblash uchun Excel paketining $f_x$ funksiya ustasidan ham foydalanishingiz mumkin: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\o'ng )-0,5$. Masalan, $x=2$ uchun $\Phi \left(x\right)$ funksiyasining qiymatlarini hisoblaylik.

Oddiy taqsimlangan $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ tasodifiy oʻzgaruvchining $a$ kutilishiga nisbatan simmetrik intervalga tushishi ehtimolligi formula boʻyicha hisoblanishi mumkin.

$$P\left(\left|X-a\o'ng|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Uch sigma qoidasi. Oddiy taqsimlangan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ oraligʻiga tushishi amalda aniq.

1-misol . $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $a=2,\ \sigma =3$ parametrlari bilan normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunadi. $X$ $\left(0,5;1\right)$ intervaliga tushish ehtimolini va $\left|X-a\right| tengsizlik ehtimolini toping.< 0,2$.

Formuladan foydalanish

$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

$P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\or (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ ustidan (3))\o'ng)=\Phi \left(-0,33\o'ng)-\Phi \left(-0,5\o'ng)=\Phi \left(0,5\o'ng)-\Phi \ chap(0,33\o'ng) =0,191-0,129=0,062$.

$$P\left(\left|X-a\o'ng|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

2-misol . Faraz qilaylik, yil davomida ma'lum bir kompaniya aktsiyalarining narxi oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, matematik taxmin 50 shartli pul birligiga teng va standart og'ish 10 ga teng. muhokama qilinayotgan davrning tanlangan kunida aktsiyaning narxi quyidagicha bo'ladi:

a) 70 dan ortiq shartli pul birligi?

b) har bir aksiya uchun 50 dan kammi?

c) har bir aksiya uchun 45 dan 58 gacha shartli pul birligi?

Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ ma'lum bir kompaniya aktsiyalarining narxi bo'lsin. $X$ sharti bo'yicha $a=50$ - matematik kutish, $\sigma =10$ - standart og'ish parametrlari bilan normal taqsimotga bo'ysunadi. Ehtimollik $P\left(\alfa< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\o'ng)=\Phi \left(((\infty -50)\ortiq (10))\o'ng)-\Phi \left(((70-50)\ ustidan (10))\o'ng)=0,5-\Phi \left(2\o'ng)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\ P\chap(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\chap(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Ehtimollar taqsimotining normal qonuni

Mubolag'asiz, uni falsafiy qonun deyish mumkin. Atrofimizdagi dunyoning turli ob'ektlari va jarayonlarini kuzatar ekanmiz, biz ko'pincha biror narsa etarli emasligi va norma mavjudligiga duch kelamiz:


Bu erda asosiy ko'rinish zichlik funktsiyalari normal ehtimollik taqsimoti va men sizni ushbu eng qiziqarli darsga xush kelibsiz.

Qanday misollar keltirish mumkin? Ular shunchaki zulmat. Bu, masalan, odamlarning bo'yi, vazni (va nafaqat), ularning jismoniy kuchi, aqliy qobiliyatlari va boshqalar. "Ommaviy" bor (u yoki bu tarzda) va ikkala yo'nalishda ham og'ishlar mavjud.

Bu jonsiz narsalarning turli xil xususiyatlari (bir xil o'lchamlar, vazn). Bu jarayonlarning tasodifiy davomiyligi, masalan, yuz metrlik poyga vaqti yoki qatronning amberga aylanishi. Fizikadan havo molekulalari esga tushdi: ular orasida sekin ham bor, tez ham bor, lekin ularning aksariyati "standart" tezlikda harakat qiladi.

Keyinchalik, biz markazdan yana bitta standart og'ish bilan chetga chiqamiz va balandlikni hisoblaymiz:

Chizmadagi nuqtalarni belgilash (yashil rang) va biz buning etarli ekanligini ko'ramiz.

Yakuniy bosqichda biz diqqat bilan grafik chizamiz va ayniqsa ehtiyotkorlik bilan aks ettiring qavariqlik / botiqlik! Xo'sh, siz abscissa o'qi ekanligini uzoq vaqt oldin tushungansiz gorizontal asimptota, va buning uchun "ko'tarilish" mutlaqo mumkin emas!

Yechimning elektron dizayni bilan grafikni Excelda qurish oson va men o'zim uchun kutilmaganda ushbu mavzu bo'yicha qisqa video yozib oldim. Lekin birinchi navbatda, normal egri chiziqning shakli va qiymatlariga qarab qanday o'zgarishi haqida gapiraylik.

"a" ni oshirish yoki kamaytirishda (o'zgarmagan "sigma" bilan) grafik o'z shaklini saqlab qoladi va o'ngga / chapga harakat qiladi mos ravishda. Shunday qilib, masalan, funktsiya shaklni olganda va bizning grafik 3 birlik chapga - aynan kelib chiqishiga "harakat qiladi":


Nol matematik kutilgan normal taqsimlangan miqdor mutlaqo tabiiy nom oldi - markazlashtirilgan; uning zichlik funktsiyasi – hatto, va grafik y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

"Sigma" o'zgargan taqdirda (doimiy "a" bilan), grafik "o'z joyida qoladi", lekin shakli o'zgaradi. Kattalashganda, chodirlarini cho'zgan sakkizoyoq kabi pastroq va cho'zilib ketadi. Va aksincha, grafikni kamaytirganda torroq va balandroq bo'ladi- bu "ajablangan sakkizoyoq" bo'lib chiqadi. Ha, soat pasayish Ikki marta "sigma": oldingi diagramma ikki marta torayadi va cho'ziladi:

Hamma narsa to'liq mos keladi grafiklarni geometrik o'zgartirishlar.

Birlik qiymati "sigma" bilan normal taqsimot deyiladi normallashtirilgan, va agar u ham bo'lsa markazlashtirilgan(bizning ishimiz), keyin bunday taqsimot deyiladi standart. U allaqachon duch kelgan oddiyroq zichlik funktsiyasiga ega mahalliy Laplas teoremasi: . Standart tarqatish amaliyotda keng qo'llanilishini topdi va yaqin orada biz uning maqsadini tushunamiz.

Endi filmni tomosha qilaylik:

Ha, to'g'ri - qandaydir tarzda biz soyada qoldik ehtimollikni taqsimlash funksiyasi. Biz uni eslaymiz ta'rifi:
- tasodifiy o'zgaruvchining barcha haqiqiy qiymatlarni "ortiqcha" cheksizgacha "ishlaydigan" o'zgaruvchidan KIROQ qiymat olishi ehtimoli.

Integral ichida odatda boshqa harf ishlatiladi, shunda yozuv bilan "qoplamalar" bo'lmaydi, chunki bu erda har bir qiymat tayinlanadi. noto'g'ri integral , bu ba'zilariga teng raqam oraliqdan.

Deyarli barcha qiymatlarni aniq hisoblash mumkin emas, lekin biz ko'rganimizdek, zamonaviy hisoblash quvvati bilan bu qiyin emas. Demak, funktsiya uchun standart taqsimotning tegishli Excel funktsiyasi odatda bitta argumentni o'z ichiga oladi:

=NORMSDIST(z)

Bir, ikkita - va siz tugatdingiz:

Chizma barchaning amalga oshirilishini aniq ko'rsatadi taqsimot funksiyasi xossalari, va bu erda texnik nuanslardan siz e'tibor berishingiz kerak gorizontal asimptotlar va burilish nuqtasi.

Keling, mavzuning asosiy vazifalaridan birini eslaylik, ya'ni qanday topish mumkinligini aniqlaymiz - oddiy tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli. intervaldan qiymat oladi. Geometrik jihatdan bu ehtimollik tengdir hudud mos keladigan qismdagi normal egri chiziq va x o'qi o'rtasida:

lekin har safar taxminiy qiymatni maydalang asossizdir va shuning uchun undan foydalanish yanada oqilona "oson" formula:
.

! ham eslaydi , nima

Bu erda siz Excel-dan yana foydalanishingiz mumkin, ammo bir nechta muhim "lekin" mavjud: birinchidan, u har doim ham qo'lda emas, ikkinchidan, "tayyor" qiymatlar, ehtimol, o'qituvchidan savollar tug'diradi. Nega?

Men bu haqda oldin bir necha bor gapirganman: bir vaqtlar (va unchalik uzoq emas) oddiy kalkulyator hashamatli edi va ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilishning "qo'lda" usuli hali ham o'quv adabiyotlarida saqlanib qolgan. Uning mohiyati shundan iborat standartlashtirish"alfa" va "beta" qiymatlari, ya'ni standart taqsimotga yechimni kamaytiradi:

Eslatma : funksiyani umumiy holatdan olish osonchiziqli yordamida almashtirishlar. Keyin va:

va almashtirishdan faqat formulaga amal qiladi ixtiyoriy taqsimot qiymatlaridan standart taqsimotning tegishli qiymatlariga o'tish.

Bu nima uchun kerak? Gap shundaki, qadriyatlar ajdodlarimiz tomonidan sinchkovlik bilan hisoblab chiqilgan va terver bo'yicha ko'plab kitoblarda mavjud bo'lgan maxsus jadvalda jamlangan. Ammo biz allaqachon ko'rib chiqqan qadriyatlar jadvali yanada keng tarqalgan Laplas integral teoremasi:

Agar bizning ixtiyorimizda Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvali mavjud bo'lsa , keyin biz uni hal qilamiz:

Kasr qiymatlari an'anaviy ravishda standart jadvalda bo'lgani kabi 4 kasrgacha yaxlitlanadi. Va nazorat qilish uchun 5-modda tartib.

Shuni eslataman , va chalkashmaslik uchun har doim nazorat ostida bo'ling, sizning ko'zingiz oldida NIMA funktsiyasi jadvali.

Javob foiz sifatida ko'rsatilishi kerak, shuning uchun hisoblangan ehtimollik 100 ga ko'paytirilishi va natijani mazmunli sharh bilan ta'minlashi kerak:

- 5 dan 70 m gacha bo'lgan parvoz bilan qobiqlarning taxminan 15,87% tushadi.

Biz o'zimiz mashq qilamiz:

3-misol

Zavodda ishlab chiqarilgan podshipniklarning diametri 1,5 sm kutish va 0,04 sm standart og'ish bilan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir.Tasodifiy olingan podshipnikning o'lchami 1,4 dan 1,6 sm gacha bo'lishi ehtimolini toping.

Namuna yechimida va quyida men Laplas funktsiyasidan eng keng tarqalgan variant sifatida foydalanaman. Aytgancha, e'tibor bering, so'zlarga ko'ra, bu erda siz intervalning uchlarini ko'rib chiqishga kiritishingiz mumkin. Biroq, bu tanqidiy emas.

Va bu misolda biz alohida holatni uchratdik - oraliq matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lganda. Bunday holatda, u ko'rinishda yozilishi mumkin va Laplas funktsiyasining g'alatiligidan foydalanib, ishchi formulani soddalashtirish mumkin:

Delta parametri chaqiriladi og'ish matematik kutishdan, va qo'shaloq tengsizlik yordamida "qadoqlash" mumkin modul:

tasodifiy miqdor qiymatining matematik kutilganidan kamroq chetga chiqish ehtimoli.

Xo'sh, bir qatorga mos keladigan yechim :)
tasodifiy olingan rulmanning diametri 1,5 sm dan 0,1 sm dan ko'p bo'lmagan farq qilish ehtimoli.

Ushbu vazifaning natijasi birlikka yaqin bo'lib chiqdi, lekin men yanada ishonchlilikni xohlayman - aniqrog'i, diametri bo'lgan chegaralarni bilish. deyarli hamma podshipniklar. Buning uchun biron bir mezon bormi? Mavjud! Degan savolga javob beriladi

uch sigma qoidasi

Uning mohiyati shundan iborat amaliy jihatdan ishonchli normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan qiymat olishi haqiqatdir .

Haqiqatan ham, kutilganidan chetga chiqish ehtimoli quyidagilardan kamroq:
yoki 99,73%

"Rulmanlar" bo'yicha - bu diametri 1,38 dan 1,62 sm gacha bo'lgan 9973 dona va faqat 27 ta "substandart" nusxa.

Amaliy tadqiqotlarda "uch sigma" qoidasi odatda teskari yo'nalishda qo'llaniladi: agar statistik jihatdan deyarli barcha qiymatlar ekanligini aniqladi o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchi 6 ta standart og'ish oralig'iga to'g'ri keladi, keyin bu qiymat oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi deb ishonish uchun yaxshi sabablar mavjud. Tekshirish nazariya yordamida amalga oshiriladi statistik farazlar.

Biz Sovet Ittifoqining og'ir vazifalarini hal qilishda davom etamiz:

4-misol

Tarozi xatosining tasodifiy qiymati nol matematik kutish va 3 gramm standart og'ish bilan normal qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyingi tortishning mutlaq qiymatda 5 grammdan oshmagan xato bilan o'tkazilishi ehtimolini toping.

Qaror juda oddiy. Shartiga ko'ra, va biz keyingi tortishda darhol qayd etamiz (biror narsa yoki kimdir) 9 gramm aniqlik bilan deyarli 100% natijaga erishamiz. Ammo muammoda formula bo'yicha torroq og'ish bor :

- keyingi tortishning 5 grammdan ortiq bo'lmagan xato bilan o'tkazilishi ehtimoli.

Javob:

Yechilgan muammo bir ko'rinishda o'xshash muammodan tubdan farq qiladi. 3-misol haqida dars yagona taqsimlash. Xatolik yuz berdi yaxlitlash o'lchov natijalari, bu erda biz o'lchovlarning tasodifiy xatosi haqida gapiramiz. Bunday xatolar qurilmaning o'zi texnik xususiyatlari tufayli yuzaga keladi. (ruxsat etilgan xatolar diapazoni, qoida tariqasida, uning pasportida ko'rsatilgan), shuningdek, eksperimentatorning aybi bilan - masalan, "ko'z bilan" biz bir xil tarozi o'qidan ko'rsatkichlarni olamiz.

Boshqalar orasida, shuningdek, deb atalmish bor tizimli o'lchash xatolar. Bu allaqachon tasodifiy qurilmaning noto'g'ri o'rnatilishi yoki ishlashi tufayli yuzaga keladigan xatolar. Shunday qilib, masalan, tartibga solinmagan pol tarozilari doimiy ravishda kilogrammni "qo'shishi" mumkin va sotuvchi xaridorlarni muntazam ravishda kam vaznga ega. Yoki tizimli ravishda emas, chunki siz qisqacha o'zgartirishingiz mumkin. Biroq, har qanday holatda, bunday xato tasodifiy bo'lmaydi va uning kutilishi noldan farq qiladi.

…Men zudlik bilan savdo bo'yicha trening kursini ishlab chiqyapman =)

Keling, muammoni o'zimiz hal qilaylik:

5-misol

Rolik diametri tasodifiy normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir, uning standart og'ishi mm. Matematik kutilmaga nisbatan simmetrik oraliq uzunligini toping, unda boncuk diametrining uzunligi ehtimollik bilan tushadi.

5-band* dizayn tartibi yordamlashmoq. E'tibor bering, bu erda matematik kutish ma'lum emas, lekin bu muammoni hal qilishga hech qanday xalaqit bermaydi.

Va imtihon topshirig'i, men materialni birlashtirishni tavsiya qilaman:

6-misol

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uning parametrlari (matematik kutish) va (standart og'ish) bilan beriladi. Majburiy:

a) ehtimollik zichligini yozing va uning grafigini sxematik tasvirlang;
b) intervaldan qiymat olish ehtimolini toping ;
c) modulning dan ko'p bo'lmagan chetga chiqish ehtimolini toping;
d) "uch sigma" qoidasini qo'llagan holda, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini toping.

Bunday muammolar hamma joyda taklif qilinadi va ko'p yillik amaliyot davomida men ulardan yuzlab va yuzlab muammolarni hal qilishga muvaffaq bo'ldim. Qo'lda chizish va qog'oz jadvallardan foydalanishni mashq qiling;)

Xo'sh, men murakkablikning ortishi misolini tahlil qilaman:

7-misol

Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega . Toping, matematik kutilma, dispersiya, taqsimot funksiyasi, chizma zichligi va taqsimot funksiyalari, toping.

Qaror: avvalo, shart tasodifiy miqdorning tabiati haqida hech narsa aytmasligiga e'tibor bering. O'z-o'zidan, ko'rgazma ishtirokchisining mavjudligi hech narsani anglatmaydi: bu, masalan, bo'lishi mumkin. ko'rgazmali yoki umuman o'zboshimchalik bilan uzluksiz taqsimlash. Va shuning uchun taqsimotning "normalligi" hali ham isbotlanishi kerak:

Funktsiyadan beri da belgilanadi har qanday haqiqiy qiymat va uni shaklga qisqartirish mumkin , keyin tasodifiy miqdor normal qonun bo'yicha taqsimlanadi.

taqdim etamiz. Buning uchun to'liq kvadratni tanlang va tashkil qilish uch qavatli fraktsiya:


Ko'rsatkichni asl shakliga qaytargan holda tekshirishni amalga oshirganingizga ishonch hosil qiling:

biz ko'rmoqchi bo'lgan narsamiz.

Shunday qilib:
- yoqilgan kuch qoidasi"chimchilash". Va bu erda siz darhol aniq raqamli xususiyatlarni yozishingiz mumkin:

Endi parametr qiymatini topamiz. Oddiy taqsimot ko'paytmasi va ko'rinishiga ega bo'lganligi sababli, u holda:
, undan biz ifodalaymiz va funktsiyamizga almashtiramiz:
, shundan so'ng biz yana bir bor ko'zimiz bilan yozuvni ko'rib chiqamiz va natijada olingan funktsiya shaklga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz .

Keling, zichlikni chizamiz:

va taqsimot funksiyasining grafigi :

Agar qo'lda Excel va hatto oddiy kalkulyator bo'lmasa, oxirgi jadval osongina qo'lda tuziladi! Ushbu nuqtada taqsimlash funktsiyasi qiymatni oladi va mana

1-misol Oddiy taqsimlangan uzluksiz SWning matematik kutilishi XM(X) = 6 va standart og'ish s( X) = 2.

Toping: 1) CB qiymatlariga tegish ehtimoli X oraliqda (2; 9);

3) ga nisbatan simmetrik interval a X ehtimollik bilan g = 0,9642.

Qaror. 1) CB qiymatlariga erishish ehtimolini toping X oraliqda (2; 9).

Laplas funksiyasining qiymatlari stoldan olingan. F(–) funksiyaning g‘alatilik xossasi X) = – F( X).

2) Ehtimollikni aniqlang

Sifatida a = M(X) = 6 va s = s( X) = 2, keyin

3) ga nisbatan simmetrik intervalni toping a, bu SW qiymatlarini o'z ichiga oladi X ehtimollik bilan g = 0,9642.

Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvalidan biz d = 4.2 ni topamiz. Keyin interval -4,2 ga teng< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

2-misol Tasodifiy qiymat T(soat) - qurilmaning ish vaqti eksponensial taqsimotga ega. Agar ushbu turdagi qurilmalarning o'rtacha nosozliksiz ishlash vaqti 400 soat bo'lsa, qurilma kamida 600 soat ta'mirsiz ishlash ehtimolini toping.

Qaror. M(T) = 400 soat, shuning uchun (1.46) formula bo'yicha, chunki eksponensial taqsimot uchun keyin
0,2233.

3-misol Tasodifiy qiymat X oraliqda bir xilda taqsimlanadi [ a, b]. Tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini toping X segment uchun
, butunlay segment ichida joylashgan [ a, b].

Qaror. Keling, formuladan foydalanamiz ehtimollik zichligi qayerda

.

Shunday qilib

4-misol Elektr poyezdlari qat'iy ravishda jadvalga muvofiq interval bilan ishlaydi
20 daqiqa. Platformaga yaqinlashayotgan yo‘lovchining navbatdagi elektropoyezdni 10 daqiqadan ko‘proq kutish ehtimolini, shuningdek, o‘rtacha kutish vaqtini toping.

Qaror. X– elektr poyezdining kutish vaqti (min.), zichlikka ega bo‘lgan bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor sifatida ko‘rib chiqilishi mumkin:

va bu elektr poezdning o'rtacha kutish vaqti.

5-misol Mashina butalar ishlab chiqaradi. Agar og'ish bo'lsa, yeng yaxshi hisoblanadi X uning diametri dizayn o'lchamidan mutlaq qiymatda 1 mm dan kam. Tasodifiy o'zgaruvchi deb faraz qilish X odatda standart og'ish s = 0,5 mm va matematik kutish bilan taqsimlanadi a= 0, 100 ta ishlab chiqarilganlar orasida qancha mos burmalar bo'lishini, shuningdek, dizayn o'lchamidan og'ish kamida 0,4 mm va 0,8 mm dan oshmasligi ehtimolini toping.

Qaror. Keling, formuladan foydalanamiz () d = 1 da, s = 0,5 va a = 0.

Bundan kelib chiqadiki, 100 tadan taxminan 95 tasi mos keladi.

Dizayn o'lchamidan og'ish kamida 0,4 mm va 0,8 mm dan oshmasligi ehtimolini topish uchun biz (1.54) formuladan foydalanamiz.

da a= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Funktsiya qiymatlari F( x) jadvaldan topilgan.

Vazifa variantlari

VARIANT 1

X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

F(x M(X), dispersiya D(XX), moda M 0 (X); 3) ehtimollik P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Vazifa 2. Otuvchilarning har biri nishonga bir martadan o'q uzadi. Birinchi, ikkinchi va uchinchi o'qlarning bitta o'q bilan nishonga tegish ehtimoli mos ravishda 0,8; 0,6 va 0,9. Uchun
CB X- belgilangan sharoitlarda nishonga urishlarning umumiy soni, tarqatish seriyasini tuzing va toping F(x), M(X), s( X) va D(X).

Vazifa 3. Har qanday hodisaning yuzaga kelish ehtimoli LEKIN har bir tajribada 0,6 ga teng. Bu talab qilinadi: 1) diskretning taqsimot qatorini qurish CB X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN to'rtta mustaqil tajribada; 2) 80 ta mustaqil tajribalar seriyasida ushbu hodisa kamida 60 marta sodir bo'lish ehtimolini baholang.

Muammo 4. Diskret CB X bir qator taqsimotlar bilan berilgan:

x i	–2	–1
pi	0,05	0,10	0,15	?	0,15	0,20	0,10

Tarqatish seriyasini toping CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) va D(Y).

Vazifa 5. Uzluksiz CB X

Toping: a) taqsimot zichligi f(x); b) M(x); ichida) d) uchta mustaqil sinovda bo'lish ehtimoli CB X intervalga tegishli qiymatlarni ikki marta oladi

Vazifa 6. Funksiya berilgan

A CB X. Topmoq F(x), M(X) va D(X). Grafik yaratish F(x).

Vazifa 7. Berilgan M(X) = 14 va s( X SW X. Topmoq:

1) ehtimollik ;

2) ehtimollik ;

3) ga nisbatan simmetrik a CB X ehtimollik bilan g = 0,8385.

Vazifa 8. Sekundomerning shkalasi 0,2 s bo'linish qiymatiga ega. Ortga hisoblash eng yaqin butun bo'linish uchun eng yaqin tomonga yaxlitlash bilan amalga oshiriladi. Ushbu shartlar ostida o'qish xatosini bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor deb hisoblash mumkin.

Bu sekundomerdan a) 0,05 s dan kam xatolik bilan vaqtni hisoblashda foydalanish ehtimolini toping; b) 0,01 s dan kam bo'lmagan va 0,05 s dan ortiq bo'lmagan.

VARIANT 2

Masala 1. Diskret tasodifiy miqdor X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i	–2	–1
pi	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Toping: 1) taqsimot funksiyasi F(x); 2) sonli xarakteristikalar: matematik kutish M(X), dispersiya D(X), standart og'ish s( X), moda M 0 (X); 3) ehtimollik P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Masala 2. Lotereyada 100 ta chipta bor, ulardan 10 tasi yutuq. Kimdir 4 ta chipta sotib oladi. Uchun SV X- sotib olinadiganlar orasida yutuqli chiptalar soni, tarqatish seriyasini tuzing va toping F(x), M(X), s( X).

Vazifa 3. Hisobotlar bir-biridan mustaqil tuziladi. Har bir hisobotda xato qilish ehtimoli 0,3 ga teng. Majburiy: 1) tarqatish seriyasini qurish CBX- tuzilgan to'rttasi orasida xatosi bo'lgan hisobotlar soni; hisoblash M(X), D(X) va s( X); 2) 50 ta hisobot xatosi bo'lgan 20 ta hisobotga teng bo'lish ehtimolini baholang.

Masala 4. Ma'lumki, diskret CB X faqat ikkita qiymatni qabul qilishi mumkin x 1 = -2 va x 2 = 3 va uning matematik kutilishi M(X) = 1,5. Tarqatish seriyasini kompilyatsiya qilish CB X va C.B. Z= Toping F(z) va s( Z).

Vazifa 5. Uzluksiz CB X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

f(x); 2) M(x) va D(X);
3) 4) uchta mustaqil sinovda bo'lish ehtimoli CB X(1; 4) intervalga tegishli qiymatni aynan bir marta qabul qiladi.

Vazifa 6. Funksiya berilgan

Parametr qiymatini aniqlang A, bu funktsiya ba'zi bir uzluksiz ehtimollik taqsimot zichligini belgilaydi CB X. Topmoq F(x), M(X), D(X). Grafik yaratish F(x).

Vazifa 7. Berilgan M(X) = 12 va s( X SW X. Topmoq:

1) ehtimollik ;

2) ehtimollik ;

3) ga nisbatan simmetrik a qiymatlar tushadigan interval CB X ehtimollik bilan g = 0,4515.

Masala 8. Ba'zi detallarning tasodifiy o'lchash xatosi s = 20 mm parametrli normal qonunga bo'ysunadi. Quyidagi ehtimollikni toping: a) qism absolyut qiymatda 22 mm dan oshmagan xato bilan o'lchangan; b) bajarilgan ikkita o'lchovning hech birida xatolik mutlaq qiymatda 22 mm dan oshmaydi.

VARIANT 3

Masala 1. Diskret tasodifiy miqdor X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i
pi	0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Toping: 1) taqsimot funksiyasi F(x); 2) sonli xarakteristikalar: matematik kutish M(X), dispersiya D(X), standart og'ish s( X), moda M 0 (X); 3) ehtimollik P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(x).

2-masala. Balandlikka sakrash musobaqalarida mamlakatimiz yoshlar terma jamoasiga kiritilgan uch nafar sportchidan biri 0,9 ehtimol bilan, ikkinchisi 0,8 ehtimol bilan, uchinchisi esa 0,6 ehtimollik bilan malakali startlardan o‘tishi mumkin. Uchun CB X- musobaqaning keyingi bosqichiga o'tadigan, taqsimot seriyasini tuzadigan va topadigan terma jamoa sportchilari soni. M(X), s( X).

Vazifa 3. Nishonga bir qator mustaqil o'q uziladi. Har bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. Majburiy: 1) tarqatish seriyasini qurish CBX- uchta zarba bilan zarbalar soni; 2) 100 ta zarba bilan kamida 90 ta zarba bo'lish ehtimolini hisoblang.

Masala 4. Diskret tasodifiy miqdor X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i	–3	–2	–1
pi	0,1	0,2	0,3	0,2	?

Seriya va taqsimot funksiyasini toping CB Y = 2X + 1, M(Y) va D(Y).

Vazifa 5. Uzluksiz CB X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

Toping: 1) tarqalish zichligi f(x); 2) M(x) va D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB X aniq ikki marta intervalga tegishli qiymatlarni oladi (-2,3; 1,5).

Vazifa 6. Funksiya berilgan

Parametr qiymatini aniqlang A, bu funktsiya ba'zi bir uzluksiz ehtimollik taqsimot zichligini belgilaydi CB X. Topmoq F(x), va M(X). Grafik yaratish F(x).

Vazifa 7. Berilgan M(X) = 13 va s( X SW X. Topmoq:

1) ehtimollik ;

2) ehtimollik ;

3) ga nisbatan simmetrik a qiymatlar tushadigan interval CB X ehtimollik bilan g = 0,9973.

Muammo 8. Ma'lumki, televizorni ta'mirlash vaqti tasodifiy o'zgaruvchidir X, eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi, televizorni ta'mirlashning o'rtacha vaqti esa ikki hafta. Ustaxonaga olib kelingan televizorni ta'mirlashga: a) 10 kundan kam vaqt ketishi ehtimolini toping; b) 9-12 kun.

VARIANT 4

Masala 1. Diskret tasodifiy miqdor X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i	–10	–5
pi	0,1	0,1	0,4	0,1	0,3

Toping: 1) taqsimot funksiyasi F(x); 2) sonli xarakteristikalar: matematik kutish M(X), dispersiya D(X), standart og'ish s( X), moda M 0 (X); 3) ehtimollik P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Vazifa 2. Xizmatchi turli xonalardan 5 xil kalitlarga ega. U tasodifan kalitni olib, xonalardan birining eshigini ochishga harakat qiladi. Diskret uchun CB X- eshikni ochishga urinishlar soni (tasdiqlangan kalit ikkinchi marta ishlatilmaydi) tarqatish seriyasini yarating va toping F(x) va M(X).

Masala 3. Har bir detal uchun standart ish qismidan berilgan aniqlik parametrlari bilan detalni tayyorlash ehtimoli 0,8 ga teng.

Majburiy: 1) tarqatish seriyasini qurish CB X- beshta standart blankadan tayyorlanadigan aniqlik xususiyatlariga ega qismlar soni; 2) 90 ta ish qismidan berilgan aniqlik xususiyatlariga ega 70 ta detal ishlab chiqarish ehtimolini hisoblang.

CB X va Y:

x i
pi	?	0,5	0,2

y i
pi	0,6	?

Tarqatish seriyasini tuzing C.B. Z = Y – X. Topmoq M(Z) va D(Z).

Vazifa 5. Uzluksiz CB X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

Toping: 1) tarqalish zichligi f(x); 2) M(x); 3) CB X intervalga tegishli qiymatlarni aniq uch marta oladi

Vazifa 6. Funksiya berilgan

Parametr qiymatini aniqlang A, bu funktsiya ba'zi bir uzluksiz ehtimollik taqsimot zichligini belgilaydi CB X. Topmoq F(x), M(X) va D(X). Grafik yaratish F(x).

Vazifa 7. Berilgan M(X) = 16 va s( X) = 2 normal taqsimlangan uzluksiz SW X. Topmoq:

1) ehtimollik ;

2) ehtimollik ;

3) ga nisbatan simmetrik a qiymatlar tushadigan interval CB X ehtimollik bilan g = 0,9281.

Muammo 8. Voyaga etgan erkakning bo'yi SV X, parametrlar bilan oddiy qonun bo'yicha taqsimlanadi a\u003d 175 sm va s \u003d 10 sm. Tasodifiy tanlangan erkakning bo'yi bo'lish ehtimolini toping: a) 180 sm dan kam; b) kamida 170 sm va 175 sm dan oshmasligi kerak.

VARIANT 5

Masala 1. Diskret tasodifiy miqdor X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i
pi	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Toping: 1) taqsimot funksiyasi F(x); 2) sonli xarakteristikalar: matematik kutish M(X), dispersiya D(X), standart og'ish s( X), moda M 0 (X); 3) ehtimollik P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Masala 2. Nishon aylana va ikkita konsentrik halqadan iborat. Aylanaga urish 6 ballga, 2-ringga urish 4 ballga, 3-ringga urish esa ikki ballga teng. Doira va halqalarni 2 va 3 ga urish ehtimoli mos ravishda 0,2 ga teng; 0,3 va 0,5. Diskret uchun SV X- uchta urish natijasida to'plangan ballar yig'indisi, taqsimot qatorini tuzing va toping F(x), M(X), s( X).

Vazifa 3. Avtomatik chiziq iborat n bir xil turdagi mustaqil mashinalar. Har bir mashina uchun smenada mashina sozlashni talab qilish ehtimoli 0,3 ga teng. Majburiy: 1) tarqatish seriyasini qurish CB X- smenada sozlashni talab qiladigan mashinalar soni, agar n= 4; 2) har bir smenada 20 ta mashina sozlashni talab qilish ehtimolini hisoblang, agar n = 100.

Masala 4. Diskretlarni birgalikda taqsimlash CB X va Y jadval tomonidan berilgan:

Y X
	0,20	0,15	0,10
	0,30	0,20	0,05

Tarqatish qonunini tuzing C.B. Z = Y + X. Topmoq M(Z) va D(Z).

Vazifa 5. Uzluksiz CB X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan

Toping: 1) tarqalish zichligi f(x); 2) M(x) va D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB X(3; 9) intervalga tegishli qiymatlarni ikki marta oladi.

Vazifa 6. Funksiya berilgan

Parametr qiymatini aniqlang A, bu funktsiya ba'zi bir uzluksiz ehtimollik taqsimot zichligini belgilaydi CB X. Topmoq F(x), M(X). Grafik yaratish F(x).

Vazifa 7. Berilgan M(X) = 10 va s( X) = 4 normal taqsimlangan uzluksiz SW X. Topmoq:

1) ehtimollik ;

2) ehtimollik ;

3) ga nisbatan simmetrik a qiymatlar tushadigan interval CB X ehtimollik bilan g = 0,5161.

Masala 8. Elektr soatining daqiqa yelkasi har daqiqa oxirida sakrab turadi. Tasodifiy qiymat X- Tabloda ko'rsatilgan vaqt va haqiqiy vaqt o'rtasidagi farq bir xil taqsimotga ega. Vaqtning qaysidir nuqtasida soat haqiqiy vaqtdan farq qiladigan vaqtni ko'rsatishi ehtimolligini toping: a) 10 s dan kam bo'lmagan va 25 s dan ko'p bo'lmagan; b) kamida 25 s.

VARIANT 6

Masala 1. Diskret tasodifiy miqdor X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i	–5	–3	–1
pi	0,2	0,2	0,1	0,4	0,1

Toping: 1) taqsimot funksiyasi F(x); 2) sonli xarakteristikalar: matematik kutish M(X), dispersiya D(X), standart og'ish s( X), moda M 0 (X); 3) ehtimollik P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

2-topshiriq. Guruhda 12 nafar talaba, ulardan 5 nafari yotoqxonada yashaydi. Roʻyxatdan tasodifiy 4 nafar talaba tanlab olinadi. Uchun SV X- saralanadiganlar orasidan yotoqxonada yashovchi talabalar soni, taqsimot seriyasini tuzing va toping F(x), M(X) va D(X).

Muammo 3. Eskirgan uskunada bir xil turdagi qismlarni ishlab chiqarishda har bir qism 0,1 ehtimollik bilan nuqsonli bo'lishi mumkin. Syujetni taqsimlash seriyasi CB X< 3);
4) to'rtta mustaqil sinovda bo'lish ehtimoli CB X(1; 3) intervalga tegishli qiymatlarni ikki marta oladi.

Vazifa 6. Funksiya berilgan

Parametr qiymatini aniqlang A, bu funktsiya ba'zi bir uzluksiz ehtimollik taqsimot zichligini belgilaydi CB X. Topmoq F(x), M(X) va D(X). Grafik yaratish F(x).

Vazifa 7. Berilgan M(X) = 11 va s( X) = 3 normal taqsimlangan uzluksiz SW X. Topmoq:

1) ehtimollik ;

2) ehtimollik ;

3) ga nisbatan simmetrik a qiymatlar tushadigan interval CB X ehtimollik bilan g = 0,9973.

Vazifa 8. Ushbu markadagi televizorning ishlash muddati parametrlar bilan oddiy qonunga muvofiq taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir. a= 12 yil va s = 2 yil. Televizorning ta'mirsiz ishlash ehtimolini toping: a) 9 yildan 12 yilgacha;
b) kamida 10 yil.

VARIANT 7

Masala 1. Diskret tasodifiy miqdor X (CB X) taqsimot qatori bilan berilgan:

x i
pi	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

Toping: 1) taqsimot funksiyasi F(x); 2) sonli xarakteristikalar: matematik kutish M(X), dispersiya D(X), standart og'ish s( X), moda M 0 (X); 3) ehtimollik P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Vazifa 2. Ishchi 4 ta mustaqil ishlaydigan mashinaga xizmat qiladi. Bir soat ichida mashinaning birinchi mashina uchun ishchining e'tiborini talab qilmasligi ehtimoli 0,7; ikkinchisi uchun - 0,75; uchinchisi uchun - 0,8; to'rtinchisi uchun - 0,9. Diskret uchun SV X- bir soat davomida ishchining e'tiborini talab qilmaydigan mashinalar soni, tarqatish seriyasini tuzing va toping F(x), M(X) va D(X).

Vazifa 3. Mavjud n mustaqil ishlaydigan mashinalar. Syujetni taqsimlash seriyasi CB X- ma'lum bir vaqtda ishlaydigan mashinalar soni, agar n= 6 va mashinaning ma'lum bir vaqtda ishlashi ehtimoli 0,9 ga teng; hisoblash M(X) va D(X). ega bo'lgan kompaniya ehtimolini baholang n= 180 va har bir mashina uchun ish ehtimoli 0,98, hozirda ishlaydigan mashinalar soni kamida 170 bo'ladi.

Masala 4. Mustaqil diskretlarning taqsimot qonunlari CB X va Y:

x i
pi	0,3	?	0,5

y i	–2	–1
pi	?	0,4

Tarqatish seriyasini tuzing C.B. Z = XY+ 2. Toping M(Z) va D(Z).