Ένα συμβάν είναι το αποτέλεσμα μιας δοκιμής. Τι είναι μια εκδήλωση; Μία μπάλα τραβιέται τυχαία από το δοχείο. Η αφαίρεση μιας μπάλας από μια λάρνακα είναι μια δοκιμή. Η εμφάνιση μιας μπάλας συγκεκριμένου χρώματος είναι ένα γεγονός. Στη θεωρία πιθανοτήτων, ένα γεγονός νοείται ως κάτι για το οποίο, μετά από μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μπορεί να ειπωθεί ένα και μόνο ένα από τα δύο. Ναι, έγινε. Όχι, δεν έγινε. Το πιθανό αποτέλεσμα ενός πειράματος ονομάζεται στοιχειώδες γεγονός και το σύνολο τέτοιων αποτελεσμάτων ονομάζεται απλώς συμβάν.
Τα απρόβλεπτα γεγονότα ονομάζονται τυχαία. Ένα συμβάν ονομάζεται τυχαίο εάν, υπό τις ίδιες συνθήκες, μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Η κύλιση ενός ζαριού θα έχει ως αποτέλεσμα έξι. Έχω λαχείο. Μετά τη δημοσίευση των αποτελεσμάτων της κλήρωσης, το γεγονός που με ενδιαφέρει - το να κερδίσω χίλια ρούβλια, είτε συμβαίνει είτε δεν συμβαίνει. Παράδειγμα.
Δύο γεγονότα που, υπό δεδομένες συνθήκες, μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα ονομάζονται άρθρωση και αυτά που δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα ονομάζονται ασύμβατα. Ένα νόμισμα ρίχνεται. Η εμφάνιση του «θυρεοσήμου» αποκλείει την εμφάνιση της επιγραφής. Τα γεγονότα «εμφανίστηκε ένα οικόσημο» και «εμφανίστηκε μια επιγραφή» είναι ασυμβίβαστα. Παράδειγμα.
Ένα γεγονός που συμβαίνει πάντα ονομάζεται βέβαιο. Ένα γεγονός που δεν μπορεί να συμβεί ονομάζεται αδύνατο. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, μια μπάλα τραβιέται από ένα δοχείο που περιέχει μόνο μαύρες μπάλες. Τότε η εμφάνιση μιας μαύρης μπάλας είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός. η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας είναι ένα αδύνατο γεγονός. Παραδείγματα. ΣΤΟ του χρόνουχιόνι δεν θα πέσει. Όταν ρίχνετε ένα ζάρι, θα εμφανιστεί ένα εφτά. Αυτά είναι ακατόρθωτα γεγονότα. Χιόνι θα πέσει του χρόνου. Η κύλιση της μήτρας θα έχει ως αποτέλεσμα έναν αριθμό μικρότερο από επτά. Καθημερινή ανατολή. Αυτά είναι πραγματικά γεγονότα.
Επίλυση προβλημάτων Για καθένα από τα περιγραφόμενα γεγονότα, προσδιορίστε τι είναι: αδύνατο, βέβαιο ή τυχαίο. 1. Από τους 25 μαθητές της τάξης, δύο γιορτάζουν τα γενέθλιά τους α) 30 Ιανουαρίου; β) 30 Φεβρουαρίου. 2. Ένα εγχειρίδιο λογοτεχνίας ανοίγει τυχαία και η δεύτερη λέξη βρίσκεται στην αριστερή σελίδα. Αυτή η λέξη αρχίζει: α) με το γράμμα "K"? β) με το γράμμα «β».
3. Σήμερα στο Σότσι το βαρόμετρο δείχνει κανονικό Ατμοσφαιρική πίεση. Στην περίπτωση αυτή: α) το νερό στο τηγάνι βρασμένο σε θερμοκρασία 80º C. β) όταν η θερμοκρασία έπεσε στους -5º C, το νερό στη λακκούβα πάγωσε. 4. Ρίξτε δύο ζάρια: α) 3 πόντους στο πρώτο ζάρι και 5 πόντους στο δεύτερο. β) το άθροισμα των σημείων στα δύο ζάρια είναι ίσο με 1. γ) το άθροισμα των πόντων στα δύο ζάρια είναι 13. δ) 3 πόντους και στα δύο ζάρια. ε) το άθροισμα των πόντων σε δύο ζάρια είναι μικρότερο από 15. Επίλυση προβλημάτων
5. Άνοιξες το βιβλίο σε οποιαδήποτε σελίδα και διάβασες το πρώτο ουσιαστικό που συναντούσες. Αποδείχθηκε ότι: α) υπάρχει φωνήεν στην ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης. β) στην ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης υπάρχει το γράμμα "O"· γ) δεν υπάρχουν φωνήεντα στην ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης. δ) η ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης έχει μαλακό σημάδι. Επίλυση προβλήματος
1.1. Μερικές πληροφορίες από τη συνδυαστική
1.1.1. Διαμονή
Εξετάστε τις απλούστερες έννοιες που σχετίζονται με την επιλογή και τη θέση ενός συγκεκριμένου συνόλου αντικειμένων.
Η καταμέτρηση του αριθμού των τρόπων με τους οποίους μπορούν να εκτελεστούν αυτές οι ενέργειες γίνεται συχνά κατά την επίλυση πιθανοτικών προβλημάτων.
Ορισμός. Διαμονή από nστοιχεία από κ (κ ≤n) είναι οποιοδήποτε διατεταγμένο υποσύνολο του κστοιχεία ενός συνόλου που αποτελείται από nδιάφορα στοιχεία.
Παράδειγμα.Οι ακόλουθες ακολουθίες αριθμών είναι διατάξεις 2 στοιχείων από 3 στοιχεία του συνόλου (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Σημειώστε ότι οι τοποθετήσεις διαφέρουν ως προς τη σειρά των συστατικών τους στοιχείων και τη σύνθεσή τους. Οι τοποθετήσεις 12 και 21 περιέχουν τους ίδιους αριθμούς, αλλά η σειρά τους είναι διαφορετική. Επομένως, αυτές οι τοποθετήσεις θεωρούνται διαφορετικές.
Αριθμός διαφορετικών τοποθετήσεων από nστοιχεία από κσυμβολίζεται και υπολογίζεται με τον τύπο:
,
όπου n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(ανάγνωση " nπαραγοντικό).
Ο αριθμός των διψήφιων αριθμών που μπορεί να αποτελείται από τα ψηφία 1, 2, 3, υπό την προϋπόθεση ότι δεν επαναλαμβάνεται κανένα ψηφίο είναι: .
1.1.2. Μεταθέσεις
Ορισμός. Μεταθέσεις από nστοιχεία ονομάζονται τέτοιες τοποθετήσεις από nστοιχεία που διαφέρουν μόνο στη διάταξη των στοιχείων.
Αριθμός μεταθέσεων από nστοιχεία P nυπολογίζεται με τον τύπο: P n=n!
Παράδειγμα.Με πόσους τρόπους μπορούν να παραταχθούν 5 άτομα; Ο αριθμός των τρόπων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταθέσεων 5 στοιχείων, δηλ.
Π 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Ορισμός. Αν μεταξύ nστοιχεία κπανομοιότυπα, τότε η μετάθεση αυτών nστοιχεία λέγεται μετάθεση με επαναλήψεις.
Παράδειγμα.Ας υποθέσουμε ότι ανάμεσα σε 6 βιβλία τα 2 είναι ίδια. Οποιαδήποτε διάταξη όλων των βιβλίων στο ράφι είναι μια μετάθεση με επαναλήψεις.
Ο αριθμός των διαφορετικών μεταθέσεων με επαναλήψεις (εκτός nστοιχεία, μεταξύ των οποίων κταυτόσημο) υπολογίζεται με τον τύπο: .
Στο παράδειγμά μας, ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τακτοποιηθούν τα βιβλία σε ένα ράφι είναι: .
1.1.3. Συνδυασμοί
Ορισμός. Συνδυασμοί από nστοιχεία από κτέτοιες τοποθετήσεις λέγονται nστοιχεία από κ, τα οποία διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο.
Αριθμός διαφορετικών συνδυασμών του nστοιχεία από κσυμβολίζεται και υπολογίζεται με τον τύπο: .
Εξ ορισμού, 0!=1.
Οι συνδυασμοί έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
1.
2.
3.
4.
Παράδειγμα.Υπάρχουν 5 λουλούδια διαφορετικών χρωμάτων. Για ένα μπουκέτο επιλέγονται 3 λουλούδια. Ο αριθμός των διαφορετικών ανθοδεσμών με 3 λουλούδια από τα 5 είναι: .
1.2. τυχαία γεγονότα
1.2.1. Εξελίξεις
Η γνώση της πραγματικότητας στις φυσικές επιστήμες προκύπτει ως αποτέλεσμα δοκιμών (πείραμα, παρατήρηση, εμπειρία).
δοκιμή
ή εμπειρία είναι η εφαρμογή κάποιου συγκεκριμένου συνόλου συνθηκών που μπορούν να αναπαραχθούν αυθαίρετα πολλές φορές.
Τυχαίος
ονομάζεται ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή όχι ως αποτέλεσμα κάποιας δοκιμής (εμπειρίας).
Έτσι, το συμβάν θεωρείται ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής.
Παράδειγμα.Το να πετάξεις ένα κέρμα είναι δοκιμασία. Η εμφάνιση ενός αετού όταν πετάγεται είναι ένα γεγονός.
Τα γεγονότα που παρατηρούμε διαφέρουν ως προς τον βαθμό πιθανότητας εμφάνισής τους και στη φύση της σχέσης τους.
Η εκδήλωση ονομάζεται αξιόπιστος
εάν είναι βέβαιο ότι θα συμβεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής.
Παράδειγμα.Ένας μαθητής που λαμβάνει θετικό ή αρνητικό βαθμό σε μια εξέταση είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός εάν η εξέταση προχωρήσει σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες.
Η εκδήλωση ονομάζεται αδύνατο
εάν δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα αυτής της δοκιμής.
Παράδειγμα.Η εξαγωγή μιας λευκής μπάλας από μια λάρνακα που περιέχει μόνο χρωματιστές (μη λευκές) μπάλες είναι ένα αδύνατο γεγονός. Σημειώστε ότι υπό άλλες συνθήκες του πειράματος, δεν αποκλείεται η εμφάνιση λευκής μπάλας. Έτσι, αυτό το γεγονός είναι αδύνατο μόνο στις συνθήκες της εμπειρίας μας.
Επιπλέον, τα τυχαία συμβάντα θα υποδηλώνονται με μεγάλα λατινικά γράμματα Α, Β, Γ... Ένα σίγουρο γεγονός θα συμβολίζεται με το γράμμα Ω, ένα αδύνατο γεγονός με Ø.
Καλούνται δύο ή περισσότερα συμβάντα εξίσου δυνατό
σε ένα δεδομένο τεστ, εάν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι κανένα από αυτά τα συμβάντα δεν είναι πιο πιθανό ή λιγότερο πιθανό από άλλα.
Παράδειγμα.Με μία ρίψη ενός ζαριού, η εμφάνιση 1, 2, 3, 4, 5 και 6 πόντων είναι όλα εξίσου πιθανά γεγονότα. Υποτίθεται, βέβαια, ότι η μήτρα είναι κατασκευασμένη από ομοιογενές υλικό και έχει σωστή φόρμα.
Τα δύο γεγονότα λέγονται ασύμβατες
σε μια δεδομένη δοκιμή, εάν η εμφάνιση ενός από αυτά αποκλείει την εμφάνιση του άλλου, και άρθρωση
σε διαφορετική περίπτωση.
Παράδειγμα.Το κουτί περιέχει τυπικά και μη τυποποιημένα εξαρτήματα. Ας πάρουμε μια λεπτομέρεια. Η εμφάνιση ενός τυπικού εξαρτήματος αποκλείει την εμφάνιση ενός μη τυποποιημένου εξαρτήματος. Αυτά τα γεγονότα είναι ασύμβατα.
Σχηματίζονται διάφορα γεγονότα πλήρη ομάδα εκδηλώσεων
σε αυτή τη δοκιμή, εάν ως αποτέλεσμα αυτής της δοκιμής συμβεί απαραίτητα τουλάχιστον ένα από αυτά.
Παράδειγμα.Τα συμβάντα από το παράδειγμα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα εξίσου πιθανών και ασυμβίβαστων συμβάντων κατά ζεύγη.
Καλούνται δύο ασύνδετα γεγονότα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων σε μια δεδομένη δοκιμή αντίθετα γεγονότα.
Αν ένα από αυτά συμβολίζεται με ΕΝΑ, τότε το άλλο συνήθως συμβολίζεται με (διαβάζει «όχι ΕΝΑ»).
Παράδειγμα.Το χτύπημα και το χάσιμο με μια βολή σε έναν στόχο είναι αντίθετα γεγονότα.
1.2.2. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας
Πιθανότητα συμβάντος
είναι ένα αριθμητικό μέτρο της πιθανότητας εμφάνισής του.
Εκδήλωση ΑΛΛΑπου ονομάζεται ευνοϊκός
Εκδήλωση ΣΤΟαν όποτε συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑ, συμβαίνει το συμβάν ΣΤΟ.
Εξελίξεις ΑΛΛΑ 1 , ΑΛΛΑ 2 , ..., ΑΛΛΑnμορφή διάγραμμα περίπτωσης
, αν αυτοί:
1) είναι εξίσου δυνατά.
2) είναι ασυμβίβαστα κατά ζεύγη.
3) σχηματίστε μια πλήρη ομάδα.
Στο σχήμα των περιπτώσεων (και μόνο σε αυτό το σχήμα) λαμβάνει χώρα ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας Π(ΕΝΑ) οι εξελίξεις ΑΛΛΑ. Εδώ, καθένα από τα συμβάντα που ανήκουν στην επιλεγμένη πλήρη ομάδα εξίσου δυνατών και ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη ονομάζεται περίπτωση.
Αν ένα nείναι ο αριθμός όλων των περιπτώσεων στο σύστημα, και Μ- τον αριθμό των περιπτώσεων που ευνοούν την εκδήλωση ΑΛΛΑ, έπειτα πιθανότητα συμβάντος
ΑΛΛΑορίζεται από την ισότητα:
Από τον ορισμό της πιθανότητας προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
1. Πιθανότητα σίγουρο γεγονόςισούται με ένα.
Πράγματι, εάν ένα γεγονός είναι βέβαιο, τότε κάθε εμφάνιση στο σχήμα των περιστατικών ευνοεί το γεγονός. Σε αυτήν την περίπτωση Μ = nκαι ως εκ τούτου 
2. Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν.
Πράγματι, εάν το γεγονός είναι αδύνατο, τότε καμία από τις περιπτώσεις από το σύστημα των υποθέσεων δεν ευνοεί το γεγονός. Να γιατί Μ=0 και επομένως, 
Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος είναι ένας θετικός αριθμός μεταξύ μηδέν και ενός.
Πράγματι, ένα τυχαίο γεγονός ευνοείται μόνο από ένα μέρος του συνολικός αριθμόςπεριπτώσεις στο διάγραμμα περίπτωσης. Επομένως 0<Μ<n, που σημαίνει 0<Μ/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Άρα, η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος ικανοποιεί τις ανισότητες
0 ≤ Π(ΕΝΑ) ≤ 1.
Προς το παρόν, οι ιδιότητες της πιθανότητας ορίζονται με τη μορφή αξιωμάτων που διατυπώνονται από τον Α.Ν. Κολμογκόροφ.
Ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα του κλασικού ορισμού της πιθανότητας είναι η δυνατότητα να υπολογιστεί άμεσα η πιθανότητα ενός γεγονότος, δηλ. χωρίς να καταφεύγουν σε πειράματα, τα οποία αντικαθίστανται από λογικούς συλλογισμούς.
Προβλήματα άμεσου υπολογισμού πιθανοτήτων
Εργασία 1.1. Ποια είναι η πιθανότητα να λάβετε ζυγό αριθμό πόντων (γεγονός Α) σε μία ζαριά ενός ζαριού;
Λύση. Εξετάστε τα γεγονότα ΑΛΛΑΕγώ- εγκατέλειψε Εγώσημεία, Εγώ= 1, 2, …, 6. Προφανώς, αυτά τα γεγονότα αποτελούν ένα πρότυπο περιπτώσεων. Στη συνέχεια, ο αριθμός όλων των περιπτώσεων n= 6. Ζυγός αριθμός πόντων ευνοείται από τις περιπτώσεις ΑΛΛΑ 2 , ΑΛΛΑ 4 , ΑΛΛΑ 6, δηλ. Μ= 3. Τότε 
.
Εργασία 1.2. Ένα δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Οι μπάλες αναμειγνύονται καλά και στη συνέχεια βγάζουμε 1 μπάλα τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα η τραβηγμένη μπάλα να είναι λευκή;
Λύση. Υπάρχουν συνολικά 15 περιπτώσεις, που αποτελούν το μοτίβο των περιπτώσεων. Και το αναμενόμενο γεγονός ΑΛΛΑ- η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας ευνοείται από 5 από αυτούς, επομένως 
.
Εργασία 1.3. Το παιδί παίζει με έξι γράμματα της αλφαβήτου: Α, Α, Ε, Κ, Π, Τ. Βρείτε την πιθανότητα να μπορεί να προσθέσει τυχαία τη λέξη ΜΕΤΑΦΟΡΑ (γεγονός Α).
Λύση. Η απόφαση περιπλέκεται από το γεγονός ότι μεταξύ των γραμμάτων υπάρχουν τα ίδια - δύο γράμματα "Α". Επομένως, ο αριθμός όλων των πιθανών περιπτώσεων σε αυτή τη δοκιμή είναι ίσος με τον αριθμό των μεταθέσεων με επαναλήψεις 6 γραμμάτων:
.
Αυτές οι περιπτώσεις είναι εξίσου πιθανές, ασύμβατες κατά ζεύγη και αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, δηλ. σχηματίστε ένα διάγραμμα περίπτωσης. Μόνο μια ευκαιρία ευνοεί το γεγονός ΑΛΛΑ. Να γιατί
.
Εργασία 1.4. Η Τάνια και η Βάνια συμφώνησαν να γιορτάσουν την Πρωτοχρονιά σε μια παρέα 10 ατόμων. Και οι δύο ήθελαν πολύ να καθίσουν ο ένας δίπλα στον άλλο. Ποια είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί η επιθυμία τους αν συνηθίζεται να μοιράζουν θέσεις στους φίλους τους με κλήρωση;
Λύση. Σημειώστε με ΑΛΛΑεκδήλωση "εκπλήρωση της επιθυμίας της Τάνιας και της Βάνιας." 10 άτομα μπορούν να καθίσουν σε ένα τραπέζι των 10! διαφορετικοί τρόποι. Πόσα από αυτά n= 10! είναι εξίσου πιθανοί τρόποι ευνοϊκοί για την Τάνια και τη Βάνια; Η Τάνια και η Βάνια, καθισμένες δίπλα δίπλα, μπορούν να πάρουν 20 διαφορετικές θέσεις. Ταυτόχρονα, οκτώ φίλοι τους μπορούν να καθίσουν στο τραπέζι 8! διαφορετικούς τρόπους, έτσι Μ= 20∙8!. Συνεπώς, 
.
Εργασία 1.5. Μια ομάδα 5 γυναικών και 20 ανδρών επιλέγει τρεις αντιπροσώπους. Υποθέτοντας ότι καθένας από τους παρόντες είναι εξίσου πιθανό να επιλεγεί, βρείτε την πιθανότητα να επιλεγούν δύο γυναίκες και ένας άνδρας.
Λύση. Ο συνολικός αριθμός των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων του τεστ είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να επιλεγούν τρεις εκπρόσωποι από 25 άτομα, δηλ. . Ας υπολογίσουμε τώρα τον αριθμό των ευνοϊκών περιπτώσεων, δηλ. πόσες φορές συμβαίνει το συμβάν ενδιαφέροντος. Ο άνδρας εκπρόσωπος μπορεί να επιλεγεί με είκοσι τρόπους. Ταυτόχρονα, οι υπόλοιποι δύο εκπρόσωποι πρέπει να είναι γυναίκες και μπορείτε να επιλέξετε δύο γυναίκες από τις πέντε. Συνεπώς, . Να γιατί
.
Πρόβλημα 1.6.Τέσσερις μπάλες διασκορπίζονται τυχαία σε τέσσερις τρύπες, κάθε μπάλα πέφτει σε μια ή την άλλη τρύπα με την ίδια πιθανότητα και ανεξάρτητα από τις άλλες (δεν υπάρχουν εμπόδια για να μπουν πολλές μπάλες στην ίδια τρύπα). Βρείτε την πιθανότητα ότι θα υπάρχουν τρεις μπάλες σε μία από τις τρύπες, η μία - στην άλλη, και καμία μπάλα στις άλλες δύο τρύπες.
Λύση. Συνολικός αριθμός περιπτώσεων n=4 4 . Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορεί να επιλεγεί μία τρύπα, όπου θα υπάρχουν τρεις μπάλες, . Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορείτε να επιλέξετε την τρύπα όπου θα υπάρχει μία μπάλα, . Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορείτε να επιλέξετε τρεις μπάλες από τέσσερις μπάλες για να τις βάλετε στην πρώτη τρύπα, . Ο συνολικός αριθμός των ευνοϊκών υποθέσεων . Πιθανότητα συμβάντος: 
Πρόβλημα 1.7.Υπάρχουν 10 ίδιες μπάλες στο κουτί, σημειωμένες με τους αριθμούς 1, 2, ..., 10. Έξι μπάλες κληρώνονται για τύχη. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ των εξαγόμενων σφαιρών να υπάρχει: α) η μπάλα Νο. 1; β) μπάλες #1 και #2.
Λύση. α) Ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του τεστ είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να συρθούν έξι μπάλες από τις δέκα, δηλ.
Ας βρούμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν το γεγονός που μας ενδιαφέρει: ανάμεσα στις έξι επιλεγμένες μπάλες υπάρχει η μπάλα νούμερο 1 και, κατά συνέπεια, οι υπόλοιπες πέντε μπάλες έχουν διαφορετικούς αριθμούς. Ο αριθμός τέτοιων αποτελεσμάτων είναι προφανώς ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να επιλεγούν πέντε μπάλες από τις υπόλοιπες εννέα, δηλ.
Η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων που ευνοούν το υπό εξέταση γεγονός προς τον συνολικό αριθμό των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων:
β) Ο αριθμός των αποτελεσμάτων που ευνοούν το γεγονός που μας ενδιαφέρει (μεταξύ των επιλεγμένων μπάλες υπάρχουν οι μπάλες Νο. 1 και Νο. 2, επομένως, τέσσερις μπάλες έχουν διαφορετικούς αριθμούς) είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να γίνουν τέσσερις μπάλες εξάγεται από τα υπόλοιπα οκτώ, δηλ. Επιθυμητή πιθανότητα 
1.2.3. Στατιστική Πιθανότητα
Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας χρησιμοποιείται όταν τα αποτελέσματα ενός πειράματος δεν είναι εξίσου πιθανά.
Σχετική συχνότητα συμβάντων
ΑΛΛΑορίζεται από την ισότητα:
,
όπου Μείναι ο αριθμός των δοκιμών στις οποίες το συμβάν ΑΛΛΑέχει έρθει nείναι ο συνολικός αριθμός των δοκιμών που πραγματοποιήθηκαν.
Ο J. Bernoulli απέδειξε ότι με μια απεριόριστη αύξηση του αριθμού των πειραμάτων, η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος πρακτικά θα διαφέρει αυθαίρετα από κάποιο σταθερό αριθμό. Αποδείχθηκε ότι αυτός ο σταθερός αριθμός είναι η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός. Επομένως, φυσικά, η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος με αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών ονομάζεται στατιστική πιθανότητα, σε αντίθεση με την προηγουμένως εισαγόμενη πιθανότητα.
Παράδειγμα 1.8. Πώς μπορείτε να προσεγγίσετε τον αριθμό των ψαριών σε μια λίμνη;
Αφήστε στη λίμνη Χψάρι. Ρίχνουμε το δίκτυο και, ας πούμε, βρίσκουμε σε αυτό nψάρι. Σημειώνουμε το καθένα από αυτά και το αφήνουμε πίσω. Λίγες μέρες μετά, στον ίδιο καιρό και στο ίδιο μέρος, ρίξαμε το ίδιο δίχτυ. Ας υποθέσουμε ότι βρίσκουμε m ψάρια σε αυτό, μεταξύ των οποίων κμε την ένδειξη. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑ- "Τα ψάρια που αλιεύονται φέρουν ετικέτα." Τότε εξ ορισμού της σχετικής συχνότητας .
Αν όμως στη λίμνη Χψάρι και το απελευθερώσαμε nμε ετικέτα, τότε .
Επειδή R * (ΑΛΛΑ) » R(ΑΛΛΑ), έπειτα .
1.2.4. Λειτουργίες σε εκδηλώσεις. Θεώρημα πρόσθεσης
άθροισμα, ή μια ένωση, πολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα συμβάντα (στην ίδια δοκιμή).
Αθροισμα ΑΛΛΑ 1 + ΑΛΛΑ 2 + … + ΑΛΛΑnσυμβολίζεται ως εξής: 
ή 
.
Παράδειγμα. Ρίχνονται δύο ζάρια. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑαποτελείται από κύλιση 4 σημείων σε 1 ζάρι, και το γεγονός ΣΤΟ- σε ρολό 5 πόντων σε άλλο ζάρι. Εξελίξεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟάρθρωση. Επομένως η εκδήλωση ΑΛΛΑ +ΣΤΟαποτελείται από κύλιση 4 σημείων στην πρώτη μήτρα ή 5 πόντους στη δεύτερη μήτρα ή 4 πόντους στην πρώτη μήτρα και 5 πόντους στη δεύτερη μήτρα ταυτόχρονα.
Παράδειγμα.Εκδήλωση ΑΛΛΑ– νίκη σε 1 δάνειο, διοργάνωση ΣΤΟ- κερδίστε σε 2 δάνεια. Στη συνέχεια η εκδήλωση Α+Β- κερδίζοντας τουλάχιστον ένα δάνειο (πιθανώς δύο ταυτόχρονα).
δουλειάή η τομή πολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση όλων αυτών των γεγονότων (στην ίδια δοκιμή).
Δουλειά ΣΤΟεκδηλώσεις ΑΛΛΑ 1 , ΑΛΛΑ 2 , …, ΑΛΛΑnσυμβολίζεται ως εξής:
.
Παράδειγμα.Εξελίξεις ΑΛΛΑκαι ΣΤΟσυνίστανται στην επιτυχή διέλευση των γύρων Ι και ΙΙ, αντίστοιχα, κατά την εισαγωγή στο ινστιτούτο. Στη συνέχεια η εκδήλωση ΑΛΛΑ×Βσυνίσταται στην επιτυχή ολοκλήρωση και των δύο γύρων.
Οι έννοιες του αθροίσματος και του γινομένου των γεγονότων έχουν σαφή γεωμετρική ερμηνεία. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑυπάρχει ένα χτύπημα ενός σημείου στην περιοχή ΑΛΛΑ, και την εκδήλωση ΣΤΟ- χτύπημα σε σημείο στην περιοχή ΣΤΟ. Στη συνέχεια η εκδήλωση Α+Βυπάρχει ένα χτύπημα ενός σημείου στην ένωση αυτών των περιοχών (Εικ. 2.1), και το συμβάν ΑΛΛΑΣΤΟυπάρχει ένα χτύπημα ενός σημείου στη διασταύρωση αυτών των περιοχών (Εικ. 2.2).
Ρύζι. 2.1 Εικ. 2.2
Θεώρημα. Αν τα γεγονότα A i(Εγώ = 1, 2, …, n) είναι ασυμβίβαστα κατά ζεύγη, τότε η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: 
.
Αφήνω ΑΛΛΑκαι Ā
– αντίθετα γεγονότα, δηλ. Α + α= Ω, όπου Ω είναι ένα ορισμένο γεγονός. Από το θεώρημα της πρόσθεσης προκύπτει ότι
P(Ω) = R(ΑΛΛΑ) + R(Ā
) = 1, επομένως
R(Ā
) = 1 – R(ΑΛΛΑ).
Αν τα γεγονότα ΑΛΛΑ 1 και ΑΛΛΑΤα 2 είναι κοινά, τότε η πιθανότητα του αθροίσματος δύο κοινών γεγονότων είναι ίση με:
R(ΑΛΛΑ 1 + ΑΛΛΑ 2) = R(ΑΛΛΑ 1) + R(ΑΛΛΑ 2) – P( ΑΛΛΑ 1× ΑΛΛΑ 2).
Τα θεωρήματα πρόσθεσης πιθανοτήτων καθιστούν δυνατή τη μετάβαση από τον άμεσο υπολογισμό των πιθανοτήτων στον προσδιορισμό των πιθανοτήτων εμφάνισης πολύπλοκων γεγονότων.
Εργασία 1.8. Ο σκοπευτής εκτοξεύει μία βολή στον στόχο. Πιθανότητα νοκ άουτ 10 πόντων (γεγονός ΑΛΛΑ), 9 βαθμοί (γεγονός ΣΤΟ) και 8 βαθμοί (γεγονός ΑΠΟ) ισούνται με 0,11, αντίστοιχα. 0,23; 0,17. Βρείτε την πιθανότητα με μία βολή ο σουτέρ να σημειώσει λιγότερους από 8 πόντους (γεγονός ρε).
Λύση. Ας προχωρήσουμε στο αντίθετο γεγονός - με ένα σουτ, ο σουτέρ θα νοκ άουτ τουλάχιστον 8 πόντους. Το συμβάν συμβαίνει εάν ΑΛΛΑή ΣΤΟ, ή ΑΠΟ, δηλ. . Από τα γεγονότα Α, Β, ΑΠΟείναι κατά ζεύγη ασυνεπείς, τότε, από το θεώρημα πρόσθεσης,
, όπου .
Εργασία 1.9. Από την ομάδα της ταξιαρχίας που αποτελείται από 6 άνδρες και 4 γυναίκες επιλέγονται δύο άτομα για το συνδικαλιστικό συνέδριο. Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον μία γυναίκα μεταξύ των επιλεγμένων (το συμβάν ΑΛΛΑ).
Λύση. Αν συμβεί κάποιο γεγονός ΑΛΛΑ, τότε αναγκαστικά θα συμβεί ένα από τα ακόλουθα ασύμβατα συμβάντα: ΣΤΟ- "Επιλέγονται ένας άντρας και μια γυναίκα" ΑΠΟ«Επιλέχθηκαν δύο γυναίκες». Επομένως, μπορούμε να γράψουμε: Α=Β+Γ. Βρείτε την πιθανότητα γεγονότων ΣΤΟκαι ΑΠΟ. Δύο άτομα στα 10 μπορούν να επιλεγούν με τρόπους. Δύο γυναίκες στις 4 μπορούν να επιλεγούν με τρόπους. Το αρσενικό και το θηλυκό μπορούν να επιλεγούν με τρόπους 6×4. Επειτα . Από τα γεγονότα ΣΤΟκαι ΑΠΟείναι ασυνεπείς, λοιπόν, από το θεώρημα πρόσθεσης,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Πρόβλημα 1.10.Υπάρχουν 15 σχολικά βιβλία τυχαία τοποθετημένα σε ένα ράφι στη βιβλιοθήκη, πέντε από τα οποία είναι δεμένα. Ο βιβλιοθηκάριος παίρνει τυχαία τρία σχολικά βιβλία. Βρείτε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα από τα εγχειρίδια που έχουν ληφθεί θα είναι δεμένο (γεγονός ΑΛΛΑ).
Λύση. Πρώτος τρόπος. Η απαίτηση - τουλάχιστον ένα από τα τρία δεμένα εγχειρίδια που λαμβάνονται - θα εκπληρωθεί εάν συμβεί κάποιο από τα ακόλουθα τρία ασύμβατα συμβάντα: ΣΤΟ- 1 βιβλιοδετημένο βιβλίο ΑΠΟ- δύο δεμένα σχολικά βιβλία ρε- Τρία βιβλιοδετημένα βιβλία.
Εκδήλωση που μας ενδιαφέρει ΑΛΛΑμπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα γεγονότων: Α=Β+Γ+Δ. Με το θεώρημα της πρόσθεσης,
Ρ(Α) = Ρ(Β) + Ρ(Γ) + Ρ(Δ). (2.1)
Βρείτε την πιθανότητα γεγονότων ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥκαι ρε(δείτε συνδυαστικά σχήματα): 
Αντιπροσωπεύοντας αυτές τις πιθανότητες στην ισότητα (2.1), λαμβάνουμε τελικά
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Ο δεύτερος τρόπος. Εκδήλωση ΑΛΛΑ(τουλάχιστον ένα από τα τρία εγχειρίδια που έχουν ληφθεί έχει δεσμευτικό) και Ā
(κανένα από τα σχολικά βιβλία που έχουν ληφθεί δεν έχει δεσμευτικό) είναι αντίθετα, επομένως P(A) + P(Ā) = 1 (το άθροισμα των πιθανοτήτων δύο αντίθετων γεγονότων είναι ίσο με 1). Από εδώ Ρ(Α) = 1 – Ρ(α).Πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν Ā
(κανένα από τα σχολικά εγχειρίδια δεν είναι δεμένο)
Επιθυμητή πιθανότητα
Ρ(Α) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Πιθανότητα υπό όρους. Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων
Πιθανότητα υπό όρους P(B/ΑΛΛΑ) είναι η πιθανότητα του γεγονότος Β, που υπολογίζεται με την παραδοχή ότι το γεγονός Α έχει ήδη συμβεί.
Θεώρημα. Η πιθανότητα της από κοινού εμφάνισης δύο γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων ενός από αυτά με την υπό όρους πιθανότητα του άλλου, υπολογιζόμενη με την υπόθεση ότι το πρώτο γεγονός έχει ήδη συμβεί:
Ρ(Α∙Β) = Ρ(Α)∙P( ΣΤΟ/ΑΛΛΑ). (2.2)
Δύο γεγονότα ονομάζονται ανεξάρτητα αν η εμφάνιση ενός από αυτά δεν αλλάζει την πιθανότητα να συμβεί και του άλλου, δηλ.
Ρ(Α) = Ρ(Α/Β) ή P(B) = P(B/ΑΛΛΑ). (2.3)
Αν τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟείναι ανεξάρτητες, τότε οι τύποι (2.2) και (2.3) συνεπάγονται
Ρ(Α∙Β) = Ρ(Α)∙P(B). (2.4)
Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής, δηλ. αν ισχύει η ισότητα (2.4) για δύο γεγονότα, τότε αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Πράγματι, οι τύποι (2.4) και (2.2) υπονοούν
Ρ(Α∙Β) = Ρ(Α)∙P(B) = Ρ(Α) × P(B/ΑΛΛΑ), όπου Ρ(Α) = P(B/ΑΛΛΑ).
Ο τύπος (2.2) μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων ΑΛΛΑ 1 , ΑΛΛΑ 2 ,…,A n:
Ρ(Α 1 ∙ΑΛΛΑ 2 ∙…∙A n)=Ρ(Α 1)∙Ρ(Α 2 /ΑΛΛΑ 1)∙Ρ(Α 3 /ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑ 2)∙…∙Τηγάνι/ΑΛΛΑ 1 ΑΛΛΑ 2 …A n -1).
Εργασία 1.11. Από ένα δοχείο που περιέχει 5 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες, σχεδιάζονται δύο μπάλες στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές (γεγονός ΑΛΛΑ).
Λύση. Σκεφτείτε τα γεγονότα: ΣΤΟ- Η πρώτη μπάλα που κληρώθηκε είναι λευκή. ΑΠΟ– η δεύτερη κληρωμένη μπάλα είναι λευκή. Επειτα Α = π.Χ.
Η εμπειρία μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:
1) με επιστροφή: μετά τη στερέωση του χρώματος, η τραβηγμένη μπάλα επιστρέφει στην τεφροδόχο. Στην προκειμένη περίπτωση τα γεγονότα ΣΤΟκαι ΑΠΟανεξάρτητος:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) χωρίς αντικατάσταση: η τραβηγμένη μπάλα αφήνεται στην άκρη. Στην προκειμένη περίπτωση τα γεγονότα ΣΤΟκαι ΑΠΟεξαρτώμενος:
P(A) = P(B)∙P(C/ΣΤΟ).
Για μια εκδήλωση ΣΤΟοι συνθήκες είναι οι ίδιες και για ΑΠΟη κατάσταση έχει αλλάξει. Συνέβη ΣΤΟ, οπότε έχουν μείνει 14 μπάλες στην λάρνακα, 4 από τις οποίες είναι λευκές.
Ετσι, .
Εργασία 1.12. Από τους 50 λαμπτήρες, οι 3 είναι μη τυποποιημένοι. Βρείτε την πιθανότητα δύο λαμπτήρες που λαμβάνονται ταυτόχρονα να είναι μη τυπικοί.
Λύση. Σκεφτείτε τα γεγονότα: ΑΛΛΑ- ο πρώτος λαμπτήρας είναι μη τυποποιημένος, ΣΤΟ- ο δεύτερος λαμπτήρας είναι μη τυποποιημένος, ΑΠΟ- και οι δύο λαμπτήρες είναι μη τυποποιημένοι. Είναι ξεκάθαρο ότι Γ = Α∙ΣΤΟ. Εκδήλωση ΑΛΛΑευνοούν 3 περιπτώσεις από τις 50 πιθανές, δηλ. Ρ(Α) = 3/50. Αν η εκδήλωση ΑΛΛΑέχει ήδη συμβεί, το γεγονός ΣΤΟευνοούν δύο περιπτώσεις από τις 49 πιθανές, δηλ. P(B/ΑΛΛΑ) = 2/49. Συνεπώς,
.
Εργασία 1.13. Δύο αθλητές πυροβολούν ανεξάρτητα στον ίδιο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσει τον στόχο του πρώτου αθλητή είναι 0,7 και ο δεύτερος είναι 0,8. Ποια είναι η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος;
Λύση. Ο στόχος θα χτυπηθεί αν τον χτυπήσει είτε ο πρώτος σκοπευτής είτε ο δεύτερος είτε και οι δύο, δηλ. θα συμβεί ένα γεγονός Α+Β, όπου η εκδήλωση ΑΛΛΑσυνίσταται στο χτύπημα του στόχου από τον πρώτο αθλητή, και το γεγονός ΣΤΟ- δεύτερο. Επειτα
Ρ(Α+ΣΤΟ)=Ρ(Α)+P(B)–Ρ(Α∙ΣΤΟ)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Πρόβλημα 1.14.Υπάρχουν έξι εγχειρίδια για τη θεωρία των πιθανοτήτων στο αναγνωστήριο, τρία από τα οποία είναι δεμένα. Ο βιβλιοθηκάριος πήρε δύο σχολικά βιβλία τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να είναι δεμένα δύο σχολικά βιβλία.
Λύση. Ας εισαγάγουμε τη σημειογραφία των γεγονότων :ΕΝΑ– το πρώτο εγχειρίδιο που ελήφθη έχει δεσμευτικό, ΣΤΟ- Το δεύτερο σχολικό βιβλίο είναι δεμένο. Η πιθανότητα το πρώτο σχολικό βιβλίο να έχει δεσμευτικό,
Ρ(Α) = 3/6 = 1/2.
Η πιθανότητα να είναι δεμένο το δεύτερο σχολικό βιβλίο, δεδομένου ότι το πρώτο βιβλίο που πάρθηκε ήταν δεμένο, δηλ. υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος ΣΤΟ, είναι αυτό: P(B/ΑΛΛΑ) = 2/5.
Η επιθυμητή πιθανότητα να έχουν δεσμευτικό και τα δύο σχολικά βιβλία, σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού για τις πιθανότητες γεγονότων, είναι ίση με
P(AB) = Ρ(Α) ∙ P(B/ΑΛΛΑ)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Πρόβλημα 1.15.Το κατάστημα απασχολεί 7 άνδρες και 3 γυναίκες. Τρία άτομα επιλέχθηκαν τυχαία σύμφωνα με τον αριθμό προσωπικού. Βρείτε την πιθανότητα όλα τα επιλεγμένα άτομα να είναι άνδρες.
Λύση. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία των γεγονότων: ΕΝΑ- πρώτος επιλεγμένος άνδρας ΣΤΟ- ο δεύτερος επιλεγμένος άνδρας, ΑΠΟ -ο τρίτος επιλεγμένος άντρας. Η πιθανότητα να επιλεγεί πρώτος ένας άνδρας Ρ(Α) = 7/10.
Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας άνδρας δεύτερος, με την προϋπόθεση ότι έχει ήδη επιλεγεί ένας άνδρας πρώτος, δηλ. υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος ΣΤΟΕπόμενο : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας άνδρας τρίτος, με την προϋπόθεση ότι έχουν ήδη επιλεγεί δύο άνδρες, δηλ. υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΠΟείναι: P(C/ΑΒ) = 5/8.
Η επιθυμητή πιθανότητα και τα τρία επιλεγμένα άτομα να είναι άνδρες, P(ABC) = P(A) P(B/ΑΛΛΑ) P(C/ΑΒ) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.
1.2.6. Τύπος συνολικής πιθανότητας και τύπος Bayes
Αφήνω σι 1 , σι 2 ,…, B nείναι συμβάντα ασύμβατα κατά ζεύγη (υποθέσεις) και ΑΛΛΑ- ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί μόνο σε συνδυασμό με ένα από αυτά.
Ενημερώστε μας επίσης Р(B i) και Ρ(Α/B i) (Εγώ = 1, 2, …, n).
Υπό αυτές τις συνθήκες, οι τύποι είναι έγκυροι: 
(2.5)
(2.6)
Ο τύπος (2.5) ονομάζεται τύπος συνολικής πιθανότητας
. Υπολογίζει την πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ(πλήρης πιθανότητα).
Ο τύπος (2.6) ονομάζεται Φόρμουλα Bayes
. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε εκ νέου τις πιθανότητες των υποθέσεων εάν το συμβάν ΑΛΛΑσυνέβη.
Κατά τη σύνταξη παραδειγμάτων, είναι βολικό να θεωρηθεί ότι οι υποθέσεις αποτελούν μια πλήρη ομάδα.
Εργασία 1.16. Το καλάθι περιέχει μήλα από τέσσερα δέντρα της ίδιας ποικιλίας. Από το πρώτο - 15% όλων των μήλων, από το δεύτερο - 35%, από το τρίτο - 20%, από το τέταρτο - 30%. Τα ώριμα μήλα είναι αντίστοιχα 99%, 97%, 98%, 95%.
α) Ποια είναι η πιθανότητα ένα μήλο που επιλέγεται τυχαία να είναι ώριμο; ΑΛΛΑ).
β) Με την προϋπόθεση ότι ένα μήλο που ελήφθη τυχαία αποδείχθηκε ώριμο, υπολογίστε την πιθανότητα να είναι από το πρώτο δέντρο.
Λύση. α) Έχουμε 4 υποθέσεις:
B 1 - ένα μήλο που λαμβάνεται τυχαία λαμβάνεται από το 1ο δέντρο.
B 2 - ένα μήλο που λαμβάνεται τυχαία λαμβάνεται από το 2ο δέντρο.
B 3 - ένα μήλο που λαμβάνεται τυχαία λαμβάνεται από το 3ο δέντρο.
Β 4 - ένα μήλο που λαμβάνεται τυχαία λαμβάνεται από το 4ο δέντρο.
Οι πιθανότητες τους σύμφωνα με την συνθήκη: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Πιθανότητες γεγονότος υπό όρους ΑΛΛΑ:
Ρ(Α/σι 1) = 0,99; Ρ(Α/σι 2) = 0,97; Ρ(Α/σι 3) = 0,98; Ρ(Α/σι 4) = 0,95.
Η πιθανότητα ένα μήλο που επιλέγεται τυχαία να είναι ώριμο βρίσκεται από τον τύπο συνολικής πιθανότητας:
Ρ(Α)=P(B 1)∙Ρ(Α/σι 1)+P(B 2)∙Ρ(Α/σι 2)+P(B 3)∙Ρ(Α/σι 3)+P(B 4)∙Ρ(Α/σι 4)=0,969.
β) Ο τύπος Bayes για την περίπτωσή μας έχει τη μορφή: 
.
Πρόβλημα 1.17.Μια άσπρη μπάλα πέφτει σε μια λάρνακα που περιέχει δύο μπάλες, μετά την οποία σύρεται μια μπάλα τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα η συρμένη μπάλα να είναι λευκή, εάν όλες οι πιθανές υποθέσεις σχετικά με την αρχική σύνθεση των σφαιρών (κατά χρώμα) είναι εξίσου δυνατές.
Λύση. Σημειώστε με ΑΛΛΑεκδήλωση - κληρώνεται μια λευκή μπάλα. Οι ακόλουθες υποθέσεις (υποθέσεις) σχετικά με την αρχική σύνθεση των σφαιρών είναι πιθανές: Β1όχι άσπρες μπάλες ΣΤΟ 2- μία λευκή μπάλα ΣΤΙΣ 3- δύο άσπρες μπάλες.
Εφόσον υπάρχουν τρεις συνολικά υποθέσεις και το άθροισμα των πιθανοτήτων των υποθέσεων είναι 1 (καθώς αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων), τότε η πιθανότητα καθεμίας από τις υποθέσεις είναι 1/3, δηλ.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Η υπό όρους πιθανότητα να κληρωθεί μια λευκή μπάλα, δεδομένου ότι δεν υπήρχαν άσπρες μπάλες στην τεφροδόχο αρχικά, Ρ(Α/σι 1)=1/3. Η υπό όρους πιθανότητα να κληρωθεί μια λευκή μπάλα, δεδομένου ότι η λάρνακα περιείχε αρχικά μια λευκή μπάλα, Ρ(Α/σι 2)=2/3. Η υπό όρους πιθανότητα να κληρωθεί μια λευκή μπάλα, δεδομένου ότι η λάρνακα περιείχε αρχικά δύο λευκές μπάλες. Ρ(Α/σι 3)=3/ 3=1.
Η επιθυμητή πιθανότητα να τραβηχτεί μια λευκή μπάλα βρίσκεται από τον τύπο συνολικής πιθανότητας:
R(ΑΛΛΑ)=P(B 1)∙Ρ(Α/σι 1)+P(B 2)∙Ρ(Α/σι 2)+P(B 3)∙Ρ(Α/σι 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Εργασία 1.18. Δύο μηχανές παράγουν τα ίδια μέρη που τροφοδοτούνται σε έναν κοινό μεταφορέα. Η απόδοση του πρώτου μηχανήματος είναι διπλάσια από του δεύτερου. Το πρώτο μηχάνημα παράγει κατά μέσο όρο το 60% των εξαρτημάτων εξαιρετικής ποιότητας και το δεύτερο - 84%. Το εξάρτημα που ελήφθη τυχαία από τη γραμμή συναρμολόγησης αποδείχθηκε εξαιρετικής ποιότητας. Βρείτε την πιθανότητα ότι αυτό το είδος παρήχθη από την πρώτη μηχανή.
Λύση. Σημειώστε με ΑΛΛΑη εκδήλωση είναι ένα αντικείμενο εξαιρετικής ποιότητας. Δύο υποθέσεις μπορούν να γίνουν: Β1- το εξάρτημα παράγεται από το πρώτο μηχάνημα και (καθώς το πρώτο μηχάνημα παράγει διπλάσια εξαρτήματα από το δεύτερο) Ρ(Α/σι 1) = 2/3; σι 2 - το εξάρτημα κατασκευάστηκε από τη δεύτερη μηχανή και P(B 2) = 1/3.
Η υπό όρους πιθανότητα ότι το εξάρτημα θα είναι άριστης ποιότητας εάν παράγεται από το πρώτο μηχάνημα, Ρ(Α/σι 1)=0,6.
Η υπό όρους πιθανότητα ότι το εξάρτημα θα είναι άριστης ποιότητας εάν παράγεται από τη δεύτερη μηχανή, Ρ(Α/σι 1)=0,84.
Η πιθανότητα ότι ένα τυχαία επιλεγμένο μέρος θα είναι εξαιρετικής ποιότητας, σύμφωνα με τον τύπο συνολικής πιθανότητας, είναι ίση με
Ρ(Α)=P(B 1) ∙Ρ(Α/σι 1)+P(B 2) ∙Ρ(Α/σι 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Η επιθυμητή πιθανότητα να παράγεται το εξαιρετικό μέρος που λαμβάνεται από το πρώτο αυτόματο, σύμφωνα με τον τύπο Bayes, είναι ίση με
Εργασία 1.19. Υπάρχουν τρεις παρτίδες εξαρτημάτων με 20 μέρη η καθεμία. Ο αριθμός των τυπικών εξαρτημάτων στην πρώτη, δεύτερη και τρίτη παρτίδα είναι 20, 15 και 10, αντίστοιχα. Ένα εξάρτημα που αποδείχθηκε στάνταρ εξήχθη τυχαία από την επιλεγμένη παρτίδα. Τα εξαρτήματα επιστρέφονται στην παρτίδα και ένα μέρος αφαιρείται τυχαία από την ίδια παρτίδα για δεύτερη φορά, η οποία επίσης αποδεικνύεται ότι είναι στάνταρ. Βρείτε την πιθανότητα τα εξαρτήματα να έχουν ληφθεί από την τρίτη παρτίδα.
Λύση. Σημειώστε με ΑΛΛΑσυμβάν - σε καθεμία από τις δύο δοκιμές (με επιστροφή), ανακτήθηκε ένα τυπικό τμήμα. Τρεις υποθέσεις μπορούν να γίνουν: σι 1 - τα μέρη αφαιρούνται από την πρώτη παρτίδα, ΣΤΟ 2
– τα μέρη λαμβάνονται από τη δεύτερη παρτίδα, ΣΤΟ 3 - τα μέρη αφαιρούνται από την τρίτη παρτίδα.
Οι λεπτομέρειες λήφθηκαν τυχαία από την παρτίδα που ελήφθη, επομένως οι πιθανότητες των υποθέσεων είναι οι ίδιες: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Βρείτε την υπό όρους πιθανότητα Ρ(Α/σι 1), δηλ. την πιθανότητα δύο τυπικών εξαρτημάτων να τραβηχτούν διαδοχικά από την πρώτη παρτίδα. Αυτό το γεγονός είναι αξιόπιστο, γιατί. στην πρώτη παρτίδα, όλα τα εξαρτήματα είναι στάνταρ, έτσι Ρ(Α/σι 1) = 1.
Βρείτε την υπό όρους πιθανότητα Ρ(Α/σι 2), δηλ. η πιθανότητα ότι δύο τυπικά μέρη θα εξαχθούν διαδοχικά (με επιστροφή) από τη δεύτερη παρτίδα: Ρ(Α/σι 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Βρείτε την υπό όρους πιθανότητα Ρ(Α/σι 3), δηλ. η πιθανότητα δύο τυπικών εξαρτημάτων να αφαιρεθούν διαδοχικά (με επιστροφή) από την τρίτη παρτίδα: Ρ(Α/σι 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Η επιθυμητή πιθανότητα ότι και τα δύο εξαγόμενα τυπικά μέρη λαμβάνονται από την τρίτη παρτίδα, σύμφωνα με τον τύπο Bayes, είναι ίση με 
1.2.7. Επαναληπτικές δοκιμές
Εάν πραγματοποιηθούν πολλές δοκιμές, και η πιθανότητα ενός συμβάντος ΑΛΛΑσε κάθε δοκιμή δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα άλλων δοκιμών, τότε καλούνται τέτοιες δοκιμές ανεξάρτητο σε σχέση με το γεγονός Α.Σε διαφορετικές ανεξάρτητες δοκιμές, η εκδήλωση ΑΛΛΑμπορεί να έχει είτε διαφορετικές πιθανότητες είτε την ίδια πιθανότητα. Θα εξετάσουμε περαιτέρω μόνο τέτοιες ανεξάρτητες δοκιμές στις οποίες το γεγονός ΑΛΛΑέχει την ίδια πιθανότητα.
Αφήστε το να παραχθεί Πανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες ένα γεγονός ΑΛΛΑμπορεί να εμφανιστεί ή όχι. Ας υποθέσουμε ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑσε κάθε δοκιμή είναι το ίδιο, δηλαδή ίσο με R.Επομένως, η πιθανότητα μη εμφάνισης του γεγονότος ΑΛΛΑσε κάθε δοκιμή είναι επίσης σταθερή και ίση με 1- R.Ένα τέτοιο πιθανό σχήμα ονομάζεται Σχέδιο Bernoulli. Ας θέσουμε στον εαυτό μας το καθήκον να υπολογίσουμε την πιθανότητα αυτό ΠΔοκιμές εκδηλώσεων Bernoulli ΑΛΛΑθα πραγματοποιηθεί ακριβώς κμια φορά ( κ- ο αριθμός των επιτυχιών) και, ως εκ τούτου, δεν θα πραγματοποιηθεί Π-μια φορά. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι δεν απαιτείται η εκδήλωση ΑΛΛΑεπαναλαμβάνεται ακριβώς κφορές με μια συγκεκριμένη σειρά. Δηλώστε την επιθυμητή πιθανότητα R p (k).
Για παράδειγμα, το σύμβολο R 5 (3) σημαίνει την πιθανότητα ότι σε πέντε δοκιμές το συμβάν θα εμφανιστεί ακριβώς 3 φορές και, επομένως, δεν θα συμβεί 2 φορές.
Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το λεγόμενο φόρμουλες Bernoulli,που μοιάζει με: 
.
Πρόβλημα 1.20.Η πιθανότητα ότι η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας κατά τη διάρκεια μιας ημέρας δεν θα υπερβεί τον καθορισμένο κανόνα είναι ίση με R=0,75. Βρείτε την πιθανότητα τις επόμενες 6 ημέρες η κατανάλωση ρεύματος για 4 ημέρες να μην ξεπεράσει το κανονικό.
Λύση.Η πιθανότητα κανονικής κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας κατά τη διάρκεια καθεμιάς από τις 6 ημέρες είναι σταθερή και ίση με R=0,75. Επομένως, η πιθανότητα υπερβολικής δαπάνης ηλεκτρικής ενέργειας κάθε μέρα είναι επίσης σταθερή και ίση με q= 1–R=1–0,75=0,25.
Η επιθυμητή πιθανότητα σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli είναι ίση με
.
Εργασία 1.21. Δύο ίσοι σκακιστές παίζουν σκάκι. Τι είναι πιο πιθανό: να κερδίσετε δύο παιχνίδια στα τέσσερα ή τρία παιχνίδια στα έξι (δεν λαμβάνονται υπόψη οι ισοπαλίες);
Λύση. Ίσοι σκακιστές παίζουν, άρα η πιθανότητα νίκης R= 1/2, εξ ου και η πιθανότητα να χάσει qισούται επίσης με 1/2. Επειδή σε όλα τα παιχνίδια η πιθανότητα νίκης είναι σταθερή και δεν έχει σημασία σε ποια σειρά κερδίζονται τα παιχνίδια, τότε ισχύει ο τύπος Bernoulli.
Βρείτε την πιθανότητα να κερδηθούν δύο παιχνίδια στα τέσσερα:
Βρείτε την πιθανότητα να κερδηθούν τρία από τα έξι παιχνίδια:
Επειδή Π 4 (2) > Π 6 (3), είναι πιο πιθανό να κερδίσει δύο παιχνίδια στα τέσσερα παρά τρία στα έξι.
Ωστόσο, μπορεί κανείς να δει ότι χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli για μεγάλες τιμές nείναι μάλλον δύσκολο, καθώς ο τύπος απαιτεί την εκτέλεση πράξεων σε τεράστιους αριθμούς και επομένως συσσωρεύονται σφάλματα στη διαδικασία των υπολογισμών. ως αποτέλεσμα, το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να διαφέρει σημαντικά από το αληθινό.
Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, υπάρχουν αρκετά οριακά θεωρήματα που χρησιμοποιούνται για την περίπτωση μεγάλου αριθμού δοκιμών.
1. Θεώρημα Poisson
Κατά τη διεξαγωγή μεγάλου αριθμού δοκιμών σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli (με n=> ∞) και με μικρό αριθμό ευνοϊκών αποτελεσμάτων κ(υποθέτοντας ότι η πιθανότητα επιτυχίας Πμικρό), ο τύπος Bernoulli προσεγγίζει τον τύπο Poisson 
.
Παράδειγμα 1.22.Η πιθανότητα γάμου στην παραγωγή μιας μονάδας παραγωγής από την επιχείρηση είναι ίση με Π=0,001. Ποια είναι η πιθανότητα στην παραγωγή 5000 μονάδων προϊόντων να υπάρχουν λιγότερα από 4 ελαττωματικά (γεγονός ΑΛΛΑ Λύση. Επειδή nείναι μεγάλο, χρησιμοποιούμε το τοπικό θεώρημα Laplace: 
Υπολογίζω Χ:
Λειτουργία 
είναι άρτιος, επομένως φ(–1,67) = φ(1,67).
Σύμφωνα με τον πίνακα του Παραρτήματος Α.1, βρίσκουμε φ(1,67) = 0,0989.
Επιθυμητή πιθανότητα Π 2400 (1400) = 0,0989.
3. Ολοκληρωτικό θεώρημα Laplace
Αν η πιθανότητα Rεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑσε κάθε δοκιμή σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli είναι σταθερή και διαφορετική από το μηδέν και ένα, τότε με μεγάλο αριθμό δοκιμών n, πιθανότητα R p (k 1 , κ 2) εμφάνιση συμβάντος ΕΝΑσε αυτές τις δοκιμές κ 1 έως κ 2 φορές περίπου ίσο
R σελ(κ 1 , κ 2) = Φ ( Χ"") – Φ ( Χ"), όπου 
είναι η συνάρτηση Laplace,
Το οριστικό ολοκλήρωμα στη συνάρτηση Laplace δεν υπολογίζεται στην κλάση των αναλυτικών συναρτήσεων, επομένως ο Πίνακας 1 χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του. Ρήτρα 2, που δίνεται στο παράρτημα.
Παράδειγμα 1.24.Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε κάθε μία από τις εκατό ανεξάρτητες δοκιμές είναι σταθερή και ίση με Π= 0,8. Βρείτε την πιθανότητα να συμβεί το συμβάν: α) τουλάχιστον 75 φορές και το πολύ 90 φορές. β) τουλάχιστον 75 φορές. γ) όχι περισσότερες από 74 φορές.
Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε το ολοκληρωτικό θεώρημα του Laplace:
R σελ(κ 1 , κ 2) = Φ ( Χ"") – Φ( Χ"), όπου Ф( Χ) είναι η συνάρτηση Laplace,
α) Κατά συνθήκη n = 100, Π = 0,8, q = 0,2, κ 1 = 75, κ 2 = 90. Υπολογίστε Χ""και Χ" :
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η συνάρτηση Laplace είναι περιττή, δηλ. ΦΑ(- Χ) = – F( Χ), παίρνουμε
Π 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Σύμφωνα με τον πίνακα Σ.2. βρείτε εφαρμογές:
F(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Επιθυμητή πιθανότητα
Π 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
β) Η απαίτηση να συμβεί το συμβάν τουλάχιστον 75 φορές σημαίνει ότι ο αριθμός των περιστατικών του συμβάντος μπορεί να είναι ίσος με 75, ή 76, ..., ή 100. Έτσι, στην περίπτωση που εξετάζουμε, θα πρέπει να γίνει αποδεκτή κ 1 = 75, κ 2 = 100. Τότε 
.
Σύμφωνα με τον πίνακα Σ.2. εφαρμογές, βρίσκουμε Ф (1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Επιθυμητή πιθανότητα
Π 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
γ) Γεγονός - " ΑΛΛΑεμφανίστηκε τουλάχιστον 75 φορές" και " ΑΛΛΑεμφανίστηκαν όχι περισσότερες από 74 φορές” είναι αντίθετες, επομένως το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων είναι 1. Επομένως, η επιθυμητή πιθανότητα
Π 100 (0;74) = 1 – Π 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Απλά όχι στον διαδικτυακό μεταφραστή.
Η Χρυσή Πύλη είναι ένα σύμβολο του Κιέβου, ένα από τα παλαιότερα δείγματα αρχιτεκτονικής που έχει επιβιώσει μέχρι την εποχή μας. Οι χρυσές πύλες του Κιέβου χτίστηκαν υπό τον διάσημο πρίγκιπα του Κιέβου Γιαροσλάβ τον Σοφό το 1164. Αρχικά ονομάζονταν Νότια και αποτελούσαν μέρος του συστήματος των αμυντικών οχυρώσεων της πόλης, πρακτικά δεν διέφεραν από τις άλλες πύλες φρουράς της πόλης. Ήταν οι Νότιες Πύλες που ο πρώτος Ρώσος Μητροπολίτης Ιλαρίων ονόμασε «Μέγα» στο «Κήρυγμα περί Νόμου και Χάριτος». Μετά την κατασκευή της μεγαλοπρεπούς Αγίας Σοφίας, οι «Μεγάλη» πύλη έγιναν η κύρια χερσαία είσοδος του Κιέβου από τη νοτιοδυτική πλευρά. Συνειδητοποιώντας τη σημασία τους, ο Γιαροσλάβ ο Σοφός διέταξε να χτιστεί μια μικρή εκκλησία του Ευαγγελισμού της Θεοτόκου πάνω από τις πύλες για να αποτίσει φόρο τιμής στη χριστιανική θρησκεία που κυριαρχούσε στην πόλη και στη Ρωσία. Από εκείνη την εποχή, όλες οι ρωσικές πηγές χρονικού άρχισαν να αποκαλούν τις Νότιες Πύλες του Κιέβου Χρυσές Πύλες. Το πλάτος της πύλης ήταν 7,5 μέτρα, το ύψος του περάσματος ήταν 12 μέτρα και το μήκος ήταν περίπου 25 μέτρα.
le sport ce n "est pas seulement des cours de gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l "ecole, tu fais du sport.
Η θεωρία πιθανοτήτων, όπως κάθε κλάδος των μαθηματικών, λειτουργεί με ένα συγκεκριμένο εύρος εννοιών. Οι περισσότερες από τις έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων ορίζονται, αλλά μερικές λαμβάνονται ως πρωτεύουσες, όχι καθορισμένες, όπως στη γεωμετρία ένα σημείο, μια ευθεία, ένα επίπεδο. Η κύρια έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι ένα γεγονός. Ένα γεγονός είναι κάτι για το οποίο, μετά από ένα ορισμένο χρονικό σημείο, μπορεί να ειπωθεί ένα και μόνο από τα δύο:
- · Ναι, έγινε.
- · Όχι, δεν έγινε.
Για παράδειγμα, έχω λαχείο. Μετά τη δημοσίευση των αποτελεσμάτων της κλήρωσης, το γεγονός που με ενδιαφέρει - κερδίζοντας χίλια ρούβλια είτε συμβαίνει είτε δεν συμβαίνει. Οποιοδήποτε συμβάν προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής (ή εμπειρίας). Κάτω από τη δοκιμή (ή την εμπειρία) κατανοήστε τις συνθήκες ως αποτέλεσμα των οποίων συμβαίνει ένα γεγονός. Για παράδειγμα, η ρίψη ενός κέρματος είναι μια δοκιμή και η εμφάνιση ενός «εθνόσημου» σε αυτό είναι ένα γεγονός. Το συμβάν συνήθως υποδηλώνεται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: A, B, C, .... Τα γεγονότα στον υλικό κόσμο μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες - βέβαια, αδύνατα και τυχαία.
Ένα συγκεκριμένο γεγονός είναι αυτό που είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι συμβαίνει. Συμβολίζεται με το γράμμα W. Έτσι, δεν είναι αξιόπιστοι περισσότεροι από έξι πόντοι κατά τη ρίψη ενός συνηθισμένου ζαριού, η εμφάνιση λευκής μπάλας όταν τραβιέται από μια λάρνακα που περιέχει μόνο λευκές μπάλες κ.λπ.
Ένα αδύνατο γεγονός είναι ένα γεγονός που είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι δεν θα συμβεί. Υποδηλώνεται με το γράμμα Ε. Παραδείγματα αδύνατων γεγονότων είναι το τράβηγμα περισσότερων από τεσσάρων άσων από μια συνηθισμένη τράπουλα, η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας από μια λάρνακα που περιέχει μόνο άσπρες και μαύρες μπάλες κ.λπ.
Ένα τυχαίο συμβάν είναι ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή όχι ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής. Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ασυμβίβαστα αν η εμφάνιση του ενός αποκλείει την πιθανότητα να συμβεί και του άλλου. Άρα η εμφάνιση οποιουδήποτε πιθανού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ζαριού (γεγονός Α) δεν συνάδει με την εμφάνιση ενός άλλου αριθμού (γεγονός Β). Η κύλιση ζυγού αριθμού πόντων δεν είναι συμβατή με την κύλιση περιττού αριθμού. Αντίθετα, ένας ζυγός αριθμός σημείων (γεγονός Α) και ένας αριθμός σημείων που διαιρούνται με τρία (γεγονός Β) δεν θα είναι ασύμβατοι, επειδή η απώλεια έξι σημείων σημαίνει την εμφάνιση και των δύο γεγονότων Α και γεγονότος Β, άρα η εμφάνιση ενός από αυτά δεν αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. Οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν σε συμβάντα. Η ένωση δύο γεγονότων C=AUB είναι ένα γεγονός C που συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από αυτά τα γεγονότα Α και Β. Η τομή δύο γεγονότων D=A?? Το Β είναι ένα γεγονός που συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα Α και Β.
Βαθμός 5 Εισαγωγή στις πιθανότητες (4 ώρες)
(ανάπτυξη 4 μαθημάτων για αυτό το θέμα)
μαθησιακούς στόχους : - Εισαγωγή του ορισμού ενός τυχαίου, αξιόπιστου και αδύνατου γεγονότος.
Οδηγήστε τις πρώτες ιδέες για την επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων: χρησιμοποιώντας ένα δέντρο επιλογών και χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού.
εκπαιδευτικός στόχος: ανάπτυξη της νοοτροπίας των μαθητών.
Αναπτυξιακός στόχος : ανάπτυξη της χωρικής φαντασίας, βελτίωση της ικανότητας εργασίας με χάρακα.
Αξιόπιστα, αδύνατα και τυχαία συμβάντα (2 ώρες)
Συνδυαστικές εργασίες (2 ώρες)
Αξιόπιστα, ακατόρθωτα και τυχαία γεγονότα.
Πρώτο μάθημα
Εξοπλισμός μαθήματος: ζάρια, κέρμα, τάβλι.
Η ζωή μας αποτελείται σε μεγάλο βαθμό από ατυχήματα. Υπάρχει μια τέτοια επιστήμη "Θεωρία Πιθανοτήτων". Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα του, είναι δυνατό να περιγραφούν πολλά φαινόμενα και καταστάσεις.
Ακόμη και ο πρωτόγονος ηγέτης κατάλαβε ότι δώδεκα κυνηγοί είχαν μεγαλύτερη «πιθανότητα» να χτυπήσουν έναν βίσονα με ένα δόρυ από έναν. Επομένως κυνηγούσαν συλλογικά τότε.
Τέτοιοι αρχαίοι διοικητές όπως ο Μέγας Αλέξανδρος ή ο Ντμίτρι Ντονσκόι, προετοιμαζόμενοι για μάχη, βασίστηκαν όχι μόνο στη γενναιότητα και την ικανότητα των πολεμιστών, αλλά και στην τύχη.
Πολλοί άνθρωποι αγαπούν τα μαθηματικά για τις αιώνιες αλήθειες δύο φορές το δύο είναι πάντα τέσσερα, το άθροισμα των ζυγών αριθμών είναι άρτιο, το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των διπλανών πλευρών του κ.λπ. Σε όποιο πρόβλημα λύσετε, όλοι παίρνουν η ίδια απάντηση - απλά πρέπει να μην κάνετε λάθη στην απόφαση.
Η πραγματική ζωή δεν είναι τόσο απλή και ξεκάθαρη. Τα αποτελέσματα πολλών γεγονότων δεν μπορούν να προβλεφθούν εκ των προτέρων. Είναι αδύνατο, για παράδειγμα, να πούμε με βεβαιότητα σε ποια πλευρά θα προσγειωθεί ένα πεταμένο νόμισμα, πότε θα πέσει το πρώτο χιόνι του χρόνου ή πόσοι άνθρωποι στην πόλη θα θέλουν να τηλεφωνήσουν μέσα στην επόμενη ώρα. Τέτοια απρόβλεπτα γεγονότα λέγονται τυχαίος .
Ωστόσο, η υπόθεση έχει και τους δικούς της νόμους, οι οποίοι αρχίζουν να εκδηλώνονται με επανειλημμένες επαναλήψεις τυχαίων φαινομένων. Εάν ρίξετε ένα νόμισμα 1000 φορές, τότε ο «αετός» θα πέσει έξω περίπου τις μισές φορές, κάτι που δεν μπορεί να ειπωθεί για δύο ή και δέκα πετάξεις. «Περίπου» δεν σημαίνει το μισό. Αυτό, κατά κανόνα, μπορεί να ισχύει ή όχι. Ο νόμος γενικά δεν δηλώνει τίποτα με βεβαιότητα, αλλά δίνει έναν ορισμένο βαθμό βεβαιότητας ότι θα συμβεί κάποιο τυχαίο γεγονός. Τέτοιες κανονικότητες μελετώνται από έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών - Θεωρία πιθανοτήτων . Με τη βοήθειά του, μπορείτε να προβλέψετε με μεγαλύτερη σιγουριά (αλλά ακόμα δεν είστε σίγουροι) τόσο την ημερομηνία της πρώτης χιονόπτωσης όσο και τον αριθμό των τηλεφωνικών κλήσεων.
Η θεωρία των πιθανοτήτων είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την καθημερινότητά μας. Αυτό μας δίνει μια θαυμάσια ευκαιρία να καθιερώσουμε πολλούς πιθανολογικούς νόμους εμπειρικά, επαναλαμβάνοντας επανειλημμένα τυχαία πειράματα. Τα υλικά για αυτά τα πειράματα θα είναι συνήθως ένα συνηθισμένο νόμισμα, ένα ζάρι, ένα σετ ντόμινο, τάβλι, ρουλέτα ή ακόμα και μια τράπουλα. Κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία σχετίζεται με παιχνίδια με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Γεγονός είναι ότι η περίπτωση εδώ εμφανίζεται με την πιο συχνή μορφή. Και οι πρώτες πιθανολογικές εργασίες συνδέονταν με την αξιολόγηση των πιθανοτήτων των παικτών να κερδίσουν.
Η σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων έχει απομακρυνθεί από τον τζόγο, αλλά τα στηρίγματα τους εξακολουθούν να είναι η απλούστερη και πιο αξιόπιστη πηγή τύχης. Με την εξάσκηση με μια ρόδα ρουλέτας και ένα ζάρι, θα μάθετε πώς να υπολογίζετε την πιθανότητα τυχαίων γεγονότων σε πραγματικές καταστάσεις, που θα σας επιτρέψουν να αξιολογήσετε τις πιθανότητες επιτυχίας σας, να δοκιμάσετε υποθέσεις και να λάβετε βέλτιστες αποφάσεις όχι μόνο σε παιχνίδια και λοταρίες .
Όταν λύνετε πιθανολογικά προβλήματα, να είστε πολύ προσεκτικοί, προσπαθήστε να δικαιολογήσετε κάθε βήμα, γιατί κανένας άλλος τομέας των μαθηματικών δεν περιέχει τέτοιο αριθμό παραδόξων. Όπως η θεωρία πιθανοτήτων. Και ίσως η κύρια εξήγηση για αυτό είναι η σύνδεσή του με τον πραγματικό κόσμο στον οποίο ζούμε.
Σε πολλά παιχνίδια, χρησιμοποιείται ένα ζάρι, το οποίο έχει διαφορετικό αριθμό πόντων από 1 έως 6 σε κάθε πλευρά. Ο παίκτης ρίχνει το ζάρι, κοιτάζει πόσοι πόντους έπεσαν έξω (στην πλευρά που βρίσκεται από πάνω) και κάνει ο κατάλληλος αριθμός κινήσεων: 1,2,3 ,4,5 ή 6. Η ρίψη ενός ζαριού μπορεί να θεωρηθεί εμπειρία, πείραμα, δοκιμή και το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να θεωρηθεί γεγονός. Οι άνθρωποι συνήθως ενδιαφέρονται πολύ να μαντέψουν την έναρξη ενός γεγονότος, να προβλέψουν την έκβασή του. Τι προβλέψεις μπορούν να κάνουν όταν ρίχνονται ένα ζάρι; Πρώτη πρόβλεψη: θα πέσει ένας από τους αριθμούς 1,2,3,4,5 ή 6. Πιστεύετε ότι το προβλεπόμενο γεγονός θα έρθει ή όχι; Φυσικά και θα έρθει σίγουρα. Ένα γεγονός που είναι βέβαιο ότι θα συμβεί σε μια δεδομένη εμπειρία ονομάζεται αξιόπιστο συμβάν.
Δεύτερη πρόβλεψη : θα πέσει ο αριθμός 7. Πιστεύετε ότι θα έρθει το προβλεπόμενο γεγονός ή όχι; Φυσικά και δεν θα γίνει, είναι απλά αδύνατο. Ένα γεγονός που δεν μπορεί να συμβεί σε ένα δεδομένο πείραμα ονομάζεται αδύνατο γεγονός.
Τρίτη Πρόβλεψη : θα πέσει ο αριθμός 1. Πιστεύετε ότι θα έρθει το προβλεπόμενο γεγονός ή όχι; Δεν είμαστε σε θέση να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση με απόλυτη βεβαιότητα, καθώς το προβλεπόμενο γεγονός μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί ή όχι σε μια δεδομένη εμπειρία ονομάζεται τυχαίο συμβάν.
Ασκηση : περιγράψτε τα γεγονότα που συζητούνται στις παρακάτω εργασίες. Ως βέβαιο, αδύνατο ή τυχαίο.
Πετάμε ένα κέρμα. Εμφανίστηκε το εθνόσημο. (τυχαίος)
Ο κυνηγός πυροβόλησε τον λύκο και χτύπησε. (τυχαίος)
Ο μαθητής πηγαίνει βόλτα κάθε απόγευμα. Σε μια βόλτα του, τη Δευτέρα, συνάντησε τρεις γνωστούς του. (τυχαίος)
Ας πραγματοποιήσουμε νοερά το εξής πείραμα: γυρίστε ένα ποτήρι νερό ανάποδα. Εάν αυτό το πείραμα δεν πραγματοποιηθεί στο διάστημα, αλλά στο σπίτι ή σε μια τάξη, τότε θα χυθεί νερό. (αυθεντικός)
Τρεις πυροβολισμοί στο στόχο. Υπήρχαν πέντε χτυπήματα» (αδύνατον)
Πετάμε την πέτρα ψηλά. Η πέτρα παραμένει αιωρούμενη στον αέρα. (αδύνατο)
Τα γράμματα της λέξης "ανταγωνισμός" αναδιατάσσονται τυχαία. Λάβετε τη λέξη «αναχροϊσμός». (αδύνατο)
№959. Η Πέτυα σκέφτηκε έναν φυσικό αριθμό. Η εκδήλωση έχει ως εξής:
α) συλλαμβάνεται ζυγός αριθμός. (τυχαία) β) συλλαμβάνεται ένας περιττός αριθμός. (τυχαίος)
γ) συλλαμβάνεται ένας αριθμός που δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός. (αδύνατο)
δ) συλλαμβάνεται αριθμός που είναι άρτιος ή μονός. (αυθεντικός)
№ 961. Η Petya και η Tolya συγκρίνουν τα γενέθλιά τους. Η εκδήλωση έχει ως εξής:
α) τα γενέθλιά τους δεν ταιριάζουν· (τυχαία) β) τα γενέθλιά τους είναι τα ίδια. (τυχαίος)
δ) και τα δύο γενέθλια πέφτουν σε αργίες - Πρωτοχρονιά (1η Ιανουαρίου) και Ημέρα Ανεξαρτησίας της Ρωσίας (12 Ιουνίου). (τυχαίος)
№ 962. Όταν παίζετε τάβλι, χρησιμοποιούνται δύο ζάρια. Ο αριθμός των κινήσεων που κάνει ένας συμμετέχων στο παιχνίδι καθορίζεται προσθέτοντας τους αριθμούς στις δύο όψεις του ζαριού που έχουν πέσει έξω και εάν πέσει ένα "διπλό" (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), τότε ο αριθμός των κινήσεων διπλασιάζεται. Ρίχνεις τα ζάρια και υπολογίζεις πόσες κινήσεις πρέπει να κάνεις. Η εκδήλωση έχει ως εξής:
α) πρέπει να κάνετε μια κίνηση. β) πρέπει να κάνετε 7 κινήσεις.
γ) πρέπει να κάνετε 24 κινήσεις. δ) πρέπει να κάνετε 13 κινήσεις.
α) - αδύνατο (1 κίνηση μπορεί να γίνει αν πέσει ο συνδυασμός 1 + 0, αλλά δεν υπάρχει ο αριθμός 0 στα ζάρια).
β) - τυχαία (αν πέσει 1 + 6 ή 2 + 5).
γ) - τυχαία (αν πέσει έξω ο συνδυασμός 6 +6).
δ) - αδύνατο (δεν υπάρχουν συνδυασμοί αριθμών από το 1 έως το 6, το άθροισμα των οποίων είναι 13· αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να ληφθεί ακόμη και όταν κυλήσει ένα "διπλό", επειδή είναι περιττό).
Ελεγξε τον εαυτό σου. (υπαγόρευση μαθηματικών)
1) Υποδείξτε ποια από τα παρακάτω γεγονότα είναι αδύνατα, ποια είναι βέβαια, ποια είναι τυχαία:
Ισόπαλος θα λήξει ο ποδοσφαιρικός αγώνας «Σπάρτακ» – «Ντιναμό». (τυχαίος)
Θα κερδίσετε συμμετέχοντας στην κλήρωση win-win (αυθεντική)
Χιόνι θα πέσει τα μεσάνυχτα και ο ήλιος θα λάμψει 24 ώρες αργότερα. (αδύνατο)
Αύριο θα γίνει τεστ μαθηματικών. (τυχαίος)
Θα εκλεγείτε Πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών. (αδύνατο)
Θα εκλεγείς πρόεδρος της Ρωσίας. (τυχαίος)
2) Αγοράσατε τηλεόραση σε κατάστημα, για την οποία ο κατασκευαστής δίνει δύο χρόνια εγγύηση. Ποια από τα παρακάτω γεγονότα είναι αδύνατα, ποια τυχαία, ποια είναι βέβαια:
Η τηλεόραση δεν θα σπάσει μέσα σε ένα χρόνο. (τυχαίος)
Η τηλεόραση δεν θα σπάσει για δύο χρόνια. (τυχαίος)
Μέσα σε δύο χρόνια, δεν θα χρειαστεί να πληρώσετε για επισκευές τηλεόρασης. (αυθεντικός)
Η τηλεόραση θα σπάσει τον τρίτο χρόνο. (τυχαίος)
3) Ένα λεωφορείο που μεταφέρει 15 επιβάτες έχει 10 στάσεις να κάνει. Ποια από τα παρακάτω γεγονότα είναι αδύνατα, ποια τυχαία, ποια είναι βέβαια:
Όλοι οι επιβάτες θα κατεβαίνουν από το λεωφορείο σε διαφορετικές στάσεις. (αδύνατο)
Όλοι οι επιβάτες θα κατέβουν στην ίδια στάση. (τυχαίος)
Σε κάθε στάση κάποιος θα κατέβει. (τυχαίος)
Θα υπάρξει μια στάση στην οποία δεν θα κατέβει κανείς. (τυχαίος)
Σε όλες τις στάσεις θα κατέβουν ζυγός αριθμός επιβατών. (αδύνατο)
Σε όλες τις στάσεις, θα κατέβουν μονός αριθμός επιβατών. (αδύνατο)
Εργασία για το σπίτι : 53 Νο. 960, 963, 965 (επινοήστε μόνοι σας δύο αξιόπιστα, τυχαία και αδύνατα γεγονότα).
Δεύτερο μάθημα.
Έλεγχος εργασιών για το σπίτι. (προφορικά)
α) Εξηγήστε τι είναι βέβαια, τυχαία και αδύνατα γεγονότα.
β) Να αναφέρετε ποιο από τα παρακάτω γεγονότα είναι βέβαιο, ποιο αδύνατο, ποιο είναι τυχαίο:
Δεν θα υπάρξουν καλοκαιρινές διακοπές. (αδύνατο)
Το σάντουιτς θα πέσει με το βούτυρο προς τα κάτω. (τυχαίος)
Η σχολική χρονιά θα τελειώσει τελικά. (αυθεντικός)
Θα με ρωτήσουν αύριο στην τάξη. (τυχαίος)
Σήμερα συναντώ μια μαύρη γάτα. (τυχαίος)
№ 960. Ανοίξατε αυτό το εγχειρίδιο σε οποιαδήποτε σελίδα και διαλέξατε το πρώτο ουσιαστικό που συναντήσατε. Η εκδήλωση έχει ως εξής:
α) υπάρχει φωνήεν στην ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης. ((αυθεντικός)
β) στην ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης υπάρχει το γράμμα «ο». (τυχαίος)
γ) δεν υπάρχουν φωνήεντα στην ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης. (αδύνατο)
δ) υπάρχει ένα απαλό πρόσημο στην ορθογραφία της επιλεγμένης λέξης. (τυχαίος)
№ 963. Παίζεις πάλι τάβλι. Περιγράψτε το ακόλουθο συμβάν:
α) ο παίκτης δεν πρέπει να κάνει περισσότερες από δύο κινήσεις. (αδύνατο - με τον συνδυασμό των μικρότερων αριθμών 1 + 1, ο παίκτης κάνει 4 κινήσεις, ο συνδυασμός 1 + 2 δίνει 3 κινήσεις, όλοι οι άλλοι συνδυασμοί δίνουν περισσότερες από 3 κινήσεις)
β) ο παίκτης πρέπει να κάνει περισσότερες από δύο κινήσεις. (αξιόπιστο - οποιοσδήποτε συνδυασμός δίνει 3 ή περισσότερες κινήσεις)
γ) ο παίκτης δεν πρέπει να κάνει περισσότερες από 24 κινήσεις. (αξιόπιστο - ο συνδυασμός των μεγαλύτερων αριθμών 6 + 6 δίνει 24 κινήσεις και όλοι οι υπόλοιποι - λιγότερο από 24 κινήσεις)
δ) ο παίκτης πρέπει να κάνει διψήφιο αριθμό κινήσεων. (τυχαία - για παράδειγμα, ένας συνδυασμός 2 + 3 δίνει έναν μονοψήφιο αριθμό κινήσεων: 5 και η πτώση δύο τεσσάρων δίνει έναν διψήφιο αριθμό κινήσεων)
2. Επίλυση προβλημάτων.
№ 964. Υπάρχουν 10 μπάλες σε μια τσάντα: 3 μπλε, 3 λευκές και 4 κόκκινες. Περιγράψτε το ακόλουθο συμβάν:
α) 4 μπάλες βγαίνουν από τη σακούλα και όλες είναι μπλε. (αδύνατο)
β) 4 μπάλες βγαίνουν από τη σακούλα και είναι όλες κόκκινες. (τυχαίος)
γ) 4 μπάλες βγήκαν από την τσάντα και όλες ήταν διαφορετικών χρωμάτων. (αδύνατο)
δ) 4 μπάλες βγαίνουν από την τσάντα και δεν υπάρχει μαύρη μπάλα ανάμεσά τους. (αυθεντικός)
Εργασία 1 . Το κουτί περιέχει 10 κόκκινα, 1 πράσινο και 2 μπλε στυλό. Δύο αντικείμενα λαμβάνονται τυχαία από το κουτί. Ποια από τα παρακάτω γεγονότα είναι αδύνατα, ποια τυχαία, ποια είναι βέβαια:
α) αφαιρούνται δύο κόκκινες λαβές (τυχαία)
β) δύο πράσινες λαβές έχουν αφαιρεθεί. (αδύνατο)
γ) δύο μπλε λαβές έχουν αφαιρεθεί. (τυχαίος)
δ) οι λαβές δύο διαφορετικών χρωμάτων έχουν αφαιρεθεί. (τυχαίος)
ε) βγαίνουν δύο λαβές. (αυθεντικός)
ε) Βγαίνουν δύο μολύβια. (αδύνατο)
Εργασία 2. Ο Γουίνι το Αρκουδάκι, το Γουρουνάκι και όλοι - όλοι - όλοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να γιορτάσουν τα γενέθλιά τους. Με ποιον αριθμό από όλα - όλα - όλα είναι αξιόπιστη η εκδήλωση "Winnie the Pooh and Piglet θα καθίσουν δίπλα δίπλα" και με ποιον - τυχαίο;
(αν υπάρχει μόνο 1 από όλα - όλα - όλα, τότε το συμβάν είναι αξιόπιστο, αν είναι περισσότερο από 1, τότε είναι τυχαίο).
Εργασία 3. Από 100 λαχεία φιλανθρωπίας, 20 κερδισμένα Πόσα εισιτήρια πρέπει να αγοράσετε για να κάνετε την εκδήλωση "δεν κερδίζετε τίποτα" αδύνατη;
Εργασία 4. Υπάρχουν 10 αγόρια και 20 κορίτσια στην τάξη. Ποια από τα παρακάτω γεγονότα είναι αδύνατα για μια τέτοια τάξη, ποια είναι τυχαία, ποια είναι σίγουρα
Υπάρχουν δύο άτομα στην τάξη που γεννήθηκαν σε διαφορετικούς μήνες. (τυχαίος)
Υπάρχουν δύο άτομα στην τάξη που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. (αυθεντικός)
Υπάρχουν δύο αγόρια στην τάξη που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. (τυχαίος)
Υπάρχουν δύο κορίτσια στην τάξη που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. (αυθεντικός)
Όλα τα αγόρια γεννήθηκαν σε διαφορετικούς μήνες. (αυθεντικός)
Όλα τα κορίτσια γεννήθηκαν σε διαφορετικούς μήνες. (τυχαίος)
Υπάρχει ένα αγόρι και ένα κορίτσι που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. (τυχαίος)
Υπάρχει ένα αγόρι και ένα κορίτσι που γεννήθηκαν σε διαφορετικούς μήνες. (τυχαίος)
Εργασία 5. Υπάρχουν 3 κόκκινες, 3 κίτρινες, 3 πράσινες μπάλες σε ένα κουτί. Σχεδιάστε 4 μπάλες στην τύχη. Σκεφτείτε το γεγονός «Ανάμεσα στις συρμένες μπάλες θα υπάρχουν μπάλες ακριβώς Μ χρωμάτων». Για κάθε M από το 1 έως το 4, προσδιορίστε ποιο συμβάν είναι - αδύνατο, βέβαιο ή τυχαίο και συμπληρώστε τον πίνακα:
Ανεξάρτητη εργασία.
Εγώεπιλογή
α) τα γενέθλια του φίλου σας είναι μικρότερα από 32·
γ) αύριο θα γίνει τεστ μαθηματικών.
δ) Του χρόνου, το πρώτο χιόνι στη Μόσχα θα πέσει την Κυριακή.
Ρίξτε ένα ζάρι. Περιγράψτε το γεγονός:
α) ο κύβος, έχοντας πέσει, θα σταθεί στην άκρη του.
β) ένας από τους αριθμούς θα πέσει έξω: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
γ) ο αριθμός 6 θα πέσει έξω.
δ) θα εμφανιστεί ένας αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 7.
Ένα κουτί περιέχει 3 κόκκινες, 3 κίτρινες και 3 πράσινες μπάλες. Περιγράψτε το γεγονός:
α) όλες οι τραβηγμένες μπάλες είναι του ίδιου χρώματος.
β) όλες οι τραβηγμένες μπάλες διαφορετικών χρωμάτων.
γ) ανάμεσα στις συρόμενες μπάλες υπάρχουν μπάλες διαφορετικών χρωμάτων.
γ) ανάμεσα στις συρόμενες μπάλες υπάρχει μια κόκκινη, κίτρινη και πράσινη μπάλα.
IIεπιλογή
Περιγράψτε το εν λόγω συμβάν ως βέβαιο, αδύνατο ή τυχαίο:
α) ένα σάντουιτς που έχει πέσει από το τραπέζι θα πέσει στο πάτωμα, με το βούτυρο προς τα κάτω.
β) χιόνι θα πέσει στη Μόσχα τα μεσάνυχτα και σε 24 ώρες ο ήλιος θα λάμψει.
γ) κερδίζετε συμμετέχοντας σε μια κλήρωση win-win.
δ) του χρόνου τον Μάιο θα ακουστεί η πρώτη ανοιξιάτικη βροντή.
Όλοι οι διψήφιοι αριθμοί είναι γραμμένοι στις κάρτες. Μία κάρτα επιλέγεται τυχαία. Περιγράψτε το γεγονός:
α) η κάρτα αποδείχθηκε μηδέν.
β) υπάρχει ένας αριθμός στην κάρτα που είναι πολλαπλάσιος του 5.
γ) υπάρχει ένας αριθμός στην κάρτα που είναι πολλαπλάσιος του 100.
δ) η κάρτα περιέχει αριθμό μεγαλύτερο από 9 και μικρότερο από 100.
Το κουτί περιέχει 10 κόκκινα, 1 πράσινο και 2 μπλε στυλό. Δύο αντικείμενα λαμβάνονται τυχαία από το κουτί. Περιγράψτε το γεγονός:
α) δύο μπλε λαβές έχουν αφαιρεθεί.
β) δύο κόκκινες λαβές έχουν αφαιρεθεί.
γ) δύο πράσινες λαβές έχουν αφαιρεθεί.
δ) αφαιρούνται οι πράσινες και οι μαύρες λαβές.
Εργασία για το σπίτι: 1). Καταλήξτε σε δύο αξιόπιστα, τυχαία και αδύνατα συμβάντα.
2). Μια εργασία . Υπάρχουν 3 κόκκινες, 3 κίτρινες, 3 πράσινες μπάλες σε ένα κουτί. Σχεδιάζουμε Ν μπάλες τυχαία. Σκεφτείτε το γεγονός "μεταξύ των συρμένων μπάλων θα υπάρχουν μπάλες ακριβώς τριών χρωμάτων." Για κάθε N από το 1 έως το 9, προσδιορίστε ποιο συμβάν είναι - αδύνατο, βέβαιο ή τυχαίο και συμπληρώστε τον πίνακα:
συνδυαστικές εργασίες.
Πρώτο μάθημα
Έλεγχος εργασιών για το σπίτι. (προφορικά)
α) Ελέγχουμε τα προβλήματα που ανέδειξαν οι μαθητές.
β) πρόσθετη εργασία.
Διαβάζω ένα απόσπασμα από το βιβλίο του V. Levshin «Τρεις μέρες στο Karlikanii».
«Πρώτα, υπό τους ήχους ενός ομαλού βαλς, οι αριθμοί σχημάτισαν μια ομάδα: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Στη συνέχεια, οι νεαροί σκέιτερ άρχισαν να αλλάζουν θέσεις, σχηματίζοντας όλο και περισσότερες νέες ομάδες: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 κ.λπ.
Αυτό συνεχίστηκε έως ότου οι skaters επέστρεψαν στην αρχική τους θέση.
Πόσες φορές έχουν αλλάξει θέσεις;
Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε πώς να λύνουμε τέτοια προβλήματα. Καλούνται συνδυαστική.
3. Εκμάθηση νέου υλικού.
Εργασία 1. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν από τους αριθμούς 1, 2, 3;
Λύση: 11, 12, 13
31, 32, 33. Μόνο 9 αριθμοί.
Κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, απαριθμήσαμε όλες τις πιθανές επιλογές ή, όπως συνήθως λένε σε αυτές τις περιπτώσεις. Όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί. Επομένως, τέτοιες εργασίες καλούνται συνδυαστική. Είναι αρκετά συνηθισμένο να υπολογίζουμε πιθανές (ή αδύνατες) επιλογές στη ζωή, επομένως είναι χρήσιμο να εξοικειωθείτε με συνδυαστικά προβλήματα.
№ 967. Αρκετές χώρες αποφάσισαν να χρησιμοποιήσουν για τις εθνικές τους σημαίες σύμβολα με τη μορφή τριών οριζόντιων λωρίδων ίδιου πλάτους σε διαφορετικά χρώματα - λευκό, μπλε, κόκκινο. Πόσες χώρες μπορούν να χρησιμοποιήσουν τέτοια σύμβολα, με την προϋπόθεση ότι κάθε χώρα έχει τη δική της σημαία;
Λύση. Ας υποθέσουμε ότι η πρώτη λωρίδα είναι λευκή. Στη συνέχεια, η δεύτερη λωρίδα μπορεί να είναι μπλε ή κόκκινη και η τρίτη λωρίδα, αντίστοιχα, κόκκινη ή μπλε. Αποδείχτηκαν δύο επιλογές: λευκό, μπλε, κόκκινο ή λευκό, κόκκινο, μπλε.
Τώρα αφήστε την πρώτη λωρίδα να είναι μπλε, τότε πάλι θα έχουμε δύο επιλογές: λευκό, κόκκινο, μπλε ή μπλε, κόκκινο, λευκό.
Αφήστε την πρώτη λωρίδα να είναι κόκκινη και μετά άλλες δύο επιλογές: κόκκινο, λευκό, μπλε ή κόκκινο, μπλε, λευκό.
Υπάρχουν 6 πιθανές επιλογές συνολικά. Αυτή η σημαία μπορεί να χρησιμοποιηθεί από 6 χώρες.
Έτσι, κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, αναζητούσαμε έναν τρόπο να απαριθμήσουμε πιθανές επιλογές. Σε πολλές περιπτώσεις, αποδεικνύεται χρήσιμο να δημιουργήσετε μια εικόνα - ένα σχήμα για την απαρίθμηση επιλογών. Αυτό, πρώτον, είναι οπτικό και δεύτερον, μας επιτρέπει να λάβουμε τα πάντα υπόψη, να μην χάσουμε τίποτα.
Αυτό το σχήμα ονομάζεται επίσης δέντρο πιθανών επιλογών.
Εξώφυλλο
Δεύτερη λωρίδα
τρίτη λωρίδα
Έλαβε συνδυασμό
№ 968. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1, 2, 4, 6, 8;
Λύση. Για διψήφιους αριθμούς που μας ενδιαφέρουν, η πρώτη θέση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα ψηφία, εκτός από το 0. Εάν βάλουμε τον αριθμό 2 στην πρώτη θέση, τότε οποιοδήποτε από τα ψηφία που δίνονται μπορεί να είναι στη δεύτερη θέση. Θα υπάρχουν πέντε διψήφιοι αριθμοί: 2.,22, 24, 26, 28. Ομοίως, θα υπάρχουν πέντε διψήφιοι αριθμοί με το πρώτο ψηφίο 4, πέντε διψήφιοι αριθμοί με το πρώτο ψηφίο 6 και πέντε διψήφιοι αριθμοί αριθμοί με πρώτο ψηφίο 8.
Απάντηση: Υπάρχουν 20 αριθμοί συνολικά.
Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο με πιθανές επιλογές για την επίλυση αυτού του προβλήματος.
Διψήφιοι
Πρώτο ψηφίο
Δεύτερο ψηφίο
Λήφθηκαν αριθμοί
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Λύστε τα παρακάτω προβλήματα κατασκευάζοντας ένα δέντρο πιθανών επιλογών.
№ 971. Η ηγεσία μιας συγκεκριμένης χώρας αποφάσισε να κάνει την εθνική της σημαία ως εξής: σε ένα μονόχρωμο ορθογώνιο φόντο, ένας κύκλος διαφορετικού χρώματος τοποθετείται σε μια από τις γωνίες. Αποφασίστηκε να επιλέξουμε χρώματα από τρία πιθανά: κόκκινο, κίτρινο, πράσινο. Πόσες παραλλαγές αυτής της σημαίας
υπάρχει? Το σχήμα δείχνει μερικές από τις πιθανές επιλογές.
Απάντηση: 24 επιλογές.
№ 973. α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1,3, 5,; (27 αριθμοί)
β) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1,3, 5, με την προϋπόθεση ότι οι αριθμοί δεν πρέπει να επαναληφθούν; (6 αριθμοί)
№ 979. Οι σύγχρονοι πενταθλητές διαγωνίζονται για δύο ημέρες σε πέντε αθλήματα: άλμα επίδειξης, ξιφασκία, κολύμβηση, σκοποβολή και τρέξιμο.
α) Πόσες επιλογές υπάρχουν για τη σειρά επιτυχίας των τύπων διαγωνισμού; (120 επιλογές)
β) Πόσες επιλογές υπάρχουν για τη σειρά επιτυχίας των αγώνων του διαγωνισμού, αν είναι γνωστό ότι η τελευταία διοργάνωση πρέπει να είναι τρέξιμο; (24 επιλογές)
γ) Πόσες επιλογές υπάρχουν για τη σειρά επιτυχίας των τύπων αγώνων, αν είναι γνωστό ότι ο τελευταίος τύπος πρέπει να είναι τρέξιμο και ο πρώτος - άλμα επίδειξης; (6 επιλογές)
№ 981. Δύο δοχεία περιέχουν πέντε μπάλες η καθεμία σε πέντε διαφορετικά χρώματα: λευκό, μπλε, κόκκινο, κίτρινο, πράσινο. Μια μπάλα τραβιέται από κάθε δοχείο τη φορά.
α) πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί συρμένων σφαιρών υπάρχουν (συνδυασμοί όπως "λευκό-κόκκινο" και "κόκκινο-λευκό" θεωρούνται ίδιοι);
(15 συνδυασμοί)
β) Πόσοι συνδυασμοί υπάρχουν στους οποίους οι σχεδιασμένες μπάλες είναι του ίδιου χρώματος;
(5 συνδυασμοί)
γ) πόσοι συνδυασμοί υπάρχουν στους οποίους οι ζωγραφισμένες μπάλες είναι διαφορετικών χρωμάτων;
(15 - 5 = 10 συνδυασμοί)
Εργασία για το σπίτι: 54, Νο. 969, 972, καταλήξαμε σε ένα συνδυαστικό πρόβλημα.
№ 969. Αρκετές χώρες αποφάσισαν να χρησιμοποιήσουν σύμβολα με τη μορφή τριών κάθετων λωρίδων ίδιου πλάτους σε διαφορετικά χρώματα για την εθνική τους σημαία: πράσινο, μαύρο, κίτρινο. Πόσες χώρες μπορούν να χρησιμοποιήσουν τέτοια σύμβολα, με την προϋπόθεση ότι κάθε χώρα έχει τη δική της σημαία;
№ 972. α) Πόσοι διψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν από τους αριθμούς 1, 3, 5, 7, 9;
β) Πόσοι διψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1, 3, 5, 7, 9, με την προϋπόθεση ότι οι αριθμοί δεν πρέπει να επαναλαμβάνονται;
Δεύτερο μάθημα
Έλεγχος εργασιών για το σπίτι. α) Αρ. 969 και Νο. 972α) και Νο. 972β) - δημιουργήστε ένα δέντρο πιθανών επιλογών στον πίνακα.
β) ελέγξτε προφορικά τις μεταγλωττισμένες εργασίες.
Επίλυση προβλήματος.
Έτσι, πριν από αυτό, μάθαμε πώς να λύνουμε συνδυαστικά προβλήματα χρησιμοποιώντας ένα δέντρο επιλογών. Είναι αυτός ένας καλός τρόπος; Μάλλον ναι, αλλά πολύ δυσκίνητο. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το οικιακό πρόβλημα Νο. 972 με διαφορετικό τρόπο. Ποιος μπορεί να μαντέψει πώς μπορεί να γίνει αυτό;
Απάντηση: Για καθένα από τα πέντε χρώματα μπλουζάκια, υπάρχουν 4 χρώματα σορτς. Σύνολο: 4 * 5 = 20 επιλογές.
№ 980. Τα δοχεία περιέχουν πέντε μπάλες η καθεμία σε πέντε διαφορετικά χρώματα: λευκό, μπλε, κόκκινο, κίτρινο, πράσινο. Μια μπάλα τραβιέται από κάθε δοχείο τη φορά. Περιγράψτε το ακόλουθο συμβάν ως βέβαιο, τυχαίο ή αδύνατο:
α) τραβηγμένες μπάλες διαφορετικών χρωμάτων. (τυχαίος)
β) τραβηγμένες μπάλες του ίδιου χρώματος. (τυχαίος)
γ) σχεδιάζονται ασπρόμαυρες μπάλες. (αδύνατο)
δ) βγαίνουν δύο μπάλες και οι δύο χρωματίζονται σε ένα από τα ακόλουθα χρώματα: λευκό, μπλε, κόκκινο, κίτρινο, πράσινο. (αυθεντικός)
№ 982. Μια ομάδα τουριστών σχεδιάζει να κάνει ένα ταξίδι κατά μήκος της διαδρομής Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Από το Antonovo στο Borisovo μπορείτε να κατεβείτε με σχεδία στο ποτάμι ή να περπατήσετε. Από το Μπορίσοβο στο Βλάσοβο μπορείτε να περπατήσετε ή να κάνετε ποδήλατο. Από το Βλάσοβο μέχρι το Γρίμποβο μπορείτε να κολυμπήσετε κατά μήκος του ποταμού, να κάνετε ποδήλατο ή να περπατήσετε. Πόσες επιλογές πεζοπορίας μπορούν να επιλέξουν οι τουρίστες; Πόσες επιλογές πεζοπορίας μπορούν να επιλέξουν οι τουρίστες, με την προϋπόθεση ότι τουλάχιστον ένα από τα τμήματα της διαδρομής πρέπει να χρησιμοποιεί ποδήλατο;
(12 επιλογές διαδρομής, 8 από αυτές με ποδήλατα)
Ανεξάρτητη εργασία.
1 επιλογή
α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς: 0, 1, 3, 5, 7;
β) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς: 0, 1, 3, 5, 7, με την προϋπόθεση ότι οι αριθμοί δεν πρέπει να επαναλαμβάνονται;
Ο Άθως, ο Πόρθος και ο Αράμης έχουν μόνο ένα σπαθί, ένα στιλέτο και ένα πιστόλι.
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να οπλιστούν οι σωματοφύλακες;
β) Πόσες επιλογές όπλων υπάρχουν εάν ο Aramis πρέπει να κρατήσει ένα σπαθί;
γ) Πόσες επιλογές όπλων υπάρχουν εάν ο Αράμης έπρεπε να έχει σπαθί και ο Πόρθος να έχει πιστόλι;
Κάπου ο Θεός έστειλε ένα κομμάτι τυρί σε ένα κοράκι, καθώς και τυρί, λουκάνικα, άσπρο και μαύρο ψωμί. Σκαρφαλωμένο σε ένα έλατο, ένα κοράκι επρόκειτο να πάρει πρωινό, αλλά το σκέφτηκε: με πόσους τρόπους μπορούν να παρασκευαστούν σάντουιτς από αυτά τα προϊόντα;
Επιλογή 2
α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς: 0, 2, 4, 6, 8;
β) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς: 0, 2, 4, 6, 8, με την προϋπόθεση ότι οι αριθμοί δεν πρέπει να επαναλαμβάνονται;
Ο κόμης Monte Cristo αποφάσισε να χαρίσει στην Princess Hyde σκουλαρίκια, ένα κολιέ και ένα βραχιόλι. Κάθε κόσμημα πρέπει να περιέχει έναν από τους παρακάτω τύπους πολύτιμων λίθων: διαμάντια, ρουμπίνια ή γρανάτες.
α) Πόσοι συνδυασμοί κοσμημάτων πολύτιμων λίθων υπάρχουν;
β) Πόσες επιλογές κοσμημάτων υπάρχουν αν τα σκουλαρίκια πρέπει να είναι διαμάντια;
γ) Πόσες επιλογές κοσμημάτων υπάρχουν αν τα σκουλαρίκια πρέπει να είναι διαμάντι και το βραχιόλι γρανάτη;
Για πρωινό, μπορείτε να επιλέξετε ένα τσουρέκι, σάντουιτς ή μελόψωμο με καφέ ή κεφίρ. Πόσες επιλογές πρωινού μπορείτε να κάνετε;
Εργασία για το σπίτι : Νο. 974, 975. (με τη σύνταξη ενός δέντρου επιλογών και χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού)
№ 974 . α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν από τους αριθμούς 0, 2, 4;
β) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 0, 2, 4, με την προϋπόθεση ότι οι αριθμοί δεν πρέπει να επαναλαμβάνονται;
№ 975 . α) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1.3, 5.7;
β) Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1.3, 5.7 που παρέχονται. Ποιοι αριθμοί δεν πρέπει να επαναληφθούν;
Οι αριθμοί προβλημάτων λαμβάνονται από το σχολικό βιβλίο
«Μαθηματικά-5», Ι.Ι. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
