Mag-ehersisyo. Ang bilang ng mga hit ng mga pares ng mga halaga ng mga random na variable X at Y sa kaukulang mga pagitan ay ibinibigay sa talahanayan. Mula sa mga datos na ito, hanapin ang sample correlation coefficient at ang sample equation ng mga straight regression lines Y sa X at X sa Y .
Desisyon

Halimbawa. Ang probability distribution ng isang two-dimensional random variable (X, Y) ay ibinibigay ng isang table. Hanapin ang mga batas ng pamamahagi ng mga dami ng bahagi X, Y at ang koepisyent ng ugnayan p(X, Y).
I-download ang Solusyon

Mag-ehersisyo. Ang isang dalawang-dimensional na discrete value (X, Y) ay ibinibigay ng isang batas sa pamamahagi. Hanapin ang mga batas sa pamamahagi ng mga bahagi ng X at Y, covariance at koepisyent ng ugnayan.

Hayaang magbigay ng dalawang-dimensional na random variable na $(X,Y)$.

Kahulugan 1

Ang batas sa pamamahagi ng isang dalawang-dimensional na random na variable na $(X,Y)$ ay ang hanay ng mga posibleng pares ng mga numero $(x_i,\ y_j)$ (kung saan ang $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) at ang kanilang probabilidad $p_(ij)$ .

Kadalasan, ang batas sa pamamahagi ng isang dalawang-dimensional na random na variable ay nakasulat sa anyo ng isang talahanayan (Talahanayan 1).

Figure 1. Batas ng pamamahagi ng isang two-dimensional na random variable.

Tandaan natin ngayon teorama sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan.

Teorama 1

Ang posibilidad ng kabuuan ng isang may hangganang bilang ng mga independiyenteng kaganapan $(\ A)_1$, $(\ A)_2$, ... ,$\ (\ A)_n$ ay kinakalkula ng formula:

Gamit ang formula na ito, makakakuha ang isa ng mga batas sa pamamahagi para sa bawat bahagi ng isang dalawang-dimensional na random na variable, iyon ay:

Mula dito ay susundan na ang kabuuan ng lahat ng probabilidad ng isang two-dimensional na sistema ay may sumusunod na anyo:

Isaalang-alang natin nang detalyado (hakbang-hakbang) ang problema na nauugnay sa konsepto ng batas ng pamamahagi ng isang dalawang-dimensional na random na variable.

Halimbawa 1

Ang batas sa pamamahagi ng isang dalawang-dimensional na random na variable ay ibinibigay ng sumusunod na talahanayan:

Figure 2.

Hanapin ang mga batas ng pamamahagi ng mga random na variable $X,\ Y$, $X+Y$ at suriin sa bawat kaso na ang kabuuang kabuuan ng mga probabilidad ay katumbas ng isa.

1. Hanapin muna natin ang distribusyon ng random variable na $X$. Maaaring kunin ng random variable na $X$ ang mga value na $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Upang mahanap ang pamamahagi, gagamitin namin ang Theorem 1.

Hanapin muna natin ang kabuuan ng mga probabilidad $x_1$ gaya ng sumusunod:

Larawan 3

Katulad nito, nakita namin ang $P\left(x_2\right)$ at $P\left(x_3\right)$:

\ \

Larawan 4

1. Hanapin natin ngayon ang distribusyon ng random variable na $Y$. Maaaring kunin ng random variable na $Y$ ang mga value na $x_1=1,$ $x_2=3$, $x_3=4$. Upang mahanap ang pamamahagi, gagamitin namin ang Theorem 1.

Hanapin muna natin ang kabuuan ng mga probabilidad $y_1$ gaya ng sumusunod:

Larawan 5

Katulad nito, nakita namin ang $P\left(y_2\right)$ at $P\left(y_3\right)$:

\ \

Kaya, ang batas ng pamamahagi ng dami na $X$ ay may sumusunod na anyo:

Larawan 6

Suriin natin ang katuparan ng pagkakapantay-pantay ng kabuuang kabuuan ng mga probabilidad:

1. Nananatili itong hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $X+Y$.

Italaga natin ito para sa kaginhawahan sa pamamagitan ng $Z$: $Z=X+Y$.

Una, hanapin natin kung anong mga halaga ang maaaring kunin ng dami na ito. Upang gawin ito, idaragdag namin nang magkapares ang mga halaga ng $X$ at $Y$. Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Ngayon, itinatapon ang mga katugmang halaga, nakuha namin na ang random variable na $X+Y$ ay maaaring kunin ang mga halaga $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Una, hanapin natin ang $P(z_1)$. Dahil ang halaga ng $z_1$ ay iisa, ito ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Larawan 7

Ang lahat ng mga probabilidad ay matatagpuan pareho, maliban sa $P(z_4)$:

Hanapin natin ngayon ang $P(z_4)$ gaya ng sumusunod:

Larawan 8

Samakatuwid, ang batas sa pamamahagi para sa $Z$ ay may sumusunod na anyo:

Larawan 9

Suriin natin ang katuparan ng pagkakapantay-pantay ng kabuuang kabuuan ng mga probabilidad:

Kahulugan. Kung ang dalawang random na variable ay ibinigay sa parehong espasyo ng elementarya na mga kaganapan X at Y, tapos sabi nila binigay na dalawang-dimensional na random na variable (X,Y) .

Halimbawa. Tinatatak ng makina ang mga tile na bakal. Kinokontrol ang haba X at lapad Y. − dalawang-dimensional na TK.

SW X at Y may sariling mga function sa pamamahagi at iba pang mga katangian.

Kahulugan. Ang distribution function ng isang two-dimensional random variable (X, Y) ay tinatawag na function.

Kahulugan. Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete two-dimensional random variable (X, Y) tinatawag na mesa

Para sa isang dalawang-dimensional na discrete SW .

Ari-arian :

2) kung , kung gayon ; kung , kung gayon ;

4) − function ng pamamahagi X;

− function ng pamamahagi Y.

Ang posibilidad ng pagpindot sa mga halaga ng dalawang-dimensional na SW sa parihaba:

Kahulugan. 2D na random na variable (X,Y) tinawag tuloy-tuloy kung ang function ng pamamahagi nito ay tuloy-tuloy at mayroon kahit saan (maliban sa isang limitadong bilang ng mga kurba) isang tuluy-tuloy na pinaghalong partial derivative ng ika-2 order .

Kahulugan. Ang density ng joint probability distribution ng two-dimensional na tuloy-tuloy na SW ay tinatawag na function.

Tapos obviously .

Halimbawa 1 Ang two-dimensional na tuloy-tuloy na SW ay ibinibigay ng distribution function

Pagkatapos ang density ng pamamahagi ay may anyo

Halimbawa 2 Ang dalawang-dimensional na tuloy-tuloy na SW ay ibinibigay ng density ng pamamahagi

Hanapin natin ang function ng pamamahagi nito:

Ari-arian :

3) para sa anumang lugar.

Hayaang malaman ang joint distribution density. Pagkatapos ang density ng pamamahagi ng bawat isa sa mga bahagi ng dalawang-dimensional na SW ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Halimbawa 2 (ipinagpatuloy).

Ang mga density ng pamamahagi ng dalawang-dimensional na bahagi ng SW ay tinatawag ng ilang mga may-akda nasa gilid mga density ng pamamahagi ng posibilidad .

Mga kondisyong batas ng pamamahagi ng mga bahagi ng sistema ng discrete RV.

May kondisyong posibilidad , kung saan .

Kondisyon na batas sa pamamahagi ng bahagi X sa:

Katulad din para sa , kung saan .

Gumawa tayo ng conditional distribution law X sa Y= 2.

Tapos yung conditional distribution law

Kahulugan. Ang conditional distribution density ng X component sa isang ibinigay na halaga Y=y tinatawag na .

Katulad nito: .

Kahulugan. may kondisyon mathematical naghihintay para sa discrete SW Y at ay tinatawag na , kung saan − tingnan sa itaas.

Kaya naman, .

Para sa tuloy-tuloy SW Y .

Malinaw na isang function ng argumento X. Ang function na ito ay tinatawag na regression function Y sa X .

Katulad na tinukoy x-on-y regression function : .

Theorem 5. (Sa distribution function ng mga independiyenteng RV)

SW X at Y

Bunga. Patuloy na SW X at Y ay malaya kung at kung .

Sa halimbawa 1 na may . Samakatuwid, ang SW X at Y malaya.

Mga de-numerong katangian ng mga bahagi ng isang dalawang-dimensional na random na variable

Para sa discrete CB:

Para sa tuluy-tuloy na SW: .

Ang dispersion at standard deviation para sa lahat ng SW ay tinutukoy ng parehong mga formula na alam natin:

Kahulugan. Tinatawag ang punto scattering center dalawang-dimensional na TK.

Kahulugan. Covariance (sandali ng ugnayan) Tinatawag si NE

Para sa discrete SW: .

Para sa tuluy-tuloy na SW: .

Formula para sa pagkalkula: .

Para sa mga independiyenteng CB.

Ang abala ng katangian ay ang sukat nito (ang parisukat ng yunit ng pagsukat ng mga bahagi). Ang sumusunod na dami ay libre mula sa pagkukulang na ito.

Kahulugan. Koepisyent ng ugnayan SW X at Y tinawag

Para sa mga independiyenteng CB.

Para sa anumang pares ng SW . Ito ay kilala na kung at kung , saan .

Kahulugan. SW X at Y tinawag walang kaugnayan , kung .

Relasyon sa pagitan ng ugnayan at pag-asa ng SW:

− kung CB X at Y nakakaugnay, i.e. , pagkatapos sila ay umaasa; ang kabaligtaran ay hindi totoo;

− kung CB X at Y independyente, kung gayon ; ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Puna 1. Kung ang SW X at Y ipinamahagi ayon sa normal na batas at , pagkatapos sila ay independyente.

Puna 2. Praktikal na halaga bilang isang sukatan ng pag-asa ay makatwiran lamang kapag ang magkasanib na pamamahagi ng pares ay normal o humigit-kumulang normal. Para sa arbitrary SW X at Y maaari kang makarating sa isang maling konklusyon, i.e. maaaring kahit na X at Y nauugnay sa isang mahigpit na relasyon sa pagganap.

Puna 3. Sa mathematical statistics, ang correlation ay isang probabilistic (statistical) dependence sa pagitan ng mga quantity na, sa pangkalahatan, ay walang strictly functional character. Ang pag-asa sa ugnayan ay nangyayari kapag ang isa sa mga dami ay nakadepende hindi lamang sa ibinigay na segundo, kundi pati na rin sa isang bilang ng mga random na salik, o kapag kabilang sa mga kondisyon kung saan nakasalalay ang isa o ang iba pang dami, may mga kundisyon na karaniwan sa kanilang dalawa.

Halimbawa 4 Para sa SW X at Y mula sa halimbawa 3 hanapin .

Desisyon.

Halimbawa 5 Ibinibigay ang joint distribution density ng two-dimensional SW.

Ang isang nakaayos na pares (X , Y) ng mga random na variable X at Y ay tinatawag na dalawang-dimensional na random na variable, o isang random na vector ng isang dalawang-dimensional na espasyo. Ang dalawang-dimensional na random variable (X,Y) ay tinatawag ding sistema ng mga random na variable na X at Y. Ang hanay ng lahat ng posibleng halaga ng isang discrete random variable na may kanilang mga probabilities ay tinatawag na distribution law ng random variable na ito. Ang isang discrete two-dimensional random variable (X, Y) ay itinuturing na ibinigay kung ang batas ng pamamahagi nito ay kilala:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Pagtatalaga ng serbisyo. Gamit ang serbisyo, ayon sa ibinigay na batas sa pamamahagi, mahahanap mo ang:

• serye ng pamamahagi X at Y, inaasahan sa matematika M[X], M[Y], variance D[X], D[Y];
• covariance cov(x,y), correlation coefficient r x,y , conditional distribution series X, conditional expectation M;

Pagtuturo. Tukuyin ang dimensyon ng probability distribution matrix (bilang ng mga row at column) at ang anyo nito. Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file.

Halimbawa #1. Ang isang dalawang-dimensional na discrete random variable ay may talahanayan ng pamamahagi:

Desisyon. Nahanap namin ang halaga q mula sa kondisyon na Σp ij = 1
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + … + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91+q = 1. Saan ang q = 0.09

Gamit ang formula ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), hanapin ang serye ng pamamahagi X.

covariance cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 210.02 + 0.02 3 30 0.08 + 4 30 0.01 + 1 40 0.03 + 2 40 0.11 + 3 40 0.05 + 4 40 0.09 - 25.2 2.59 = -0.068
Koepisyent ng ugnayan rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

Halimbawa 2 . Ang data ng pagpoproseso ng istatistika ng impormasyon tungkol sa dalawang tagapagpahiwatig X at Y ay makikita sa talahanayan ng ugnayan. Kailangan:

1. isulat ang serye ng pamamahagi para sa X at Y at kalkulahin ang mga sample na paraan at sample na mga standard deviations para sa kanila;
2. sumulat ng conditional distribution series Y/x at kalkulahin ang conditional averages Y/x;
3. graphical na ilarawan ang pag-asa ng mga conditional na average na Y/x sa mga halaga ng X;
4. kalkulahin ang sample correlation coefficient Y sa X;
5. sumulat ng isang sample na direktang regression equation;
6. kumakatawan sa geometrical na data ng talahanayan ng ugnayan at bumuo ng isang linya ng pagbabalik.

May kundisyon na inaasahan M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Conditional variance D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Kondisyon na batas sa pamamahagi X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
May kundisyon na inaasahan M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Conditional variance D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Batas sa pamamahagi ng kondisyon X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
May kundisyon na inaasahan M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Conditional variance D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Batas sa pamamahagi ng kondisyon X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
May kundisyon na inaasahan M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Conditional variance D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Batas sa pamamahagi ng kondisyon X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
May kundisyon na inaasahan M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Conditional variance D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Batas sa pamamahagi ng kondisyon Y.
Batas sa pamamahagi ng kondisyon Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
May kundisyon na inaasahan M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Conditional variance D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Kondisyon na batas sa pamamahagi Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
May kundisyon na inaasahan M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Conditional variance D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Batas sa pamamahagi ng kondisyon Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
May kundisyon na inaasahan M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Conditional variance D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Batas sa pamamahagi ng kondisyon Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
May kundisyon na inaasahan M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Conditional variance D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Batas sa pamamahagi ng kondisyon Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
May kundisyon na inaasahan M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Conditional variance D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Batas sa pamamahagi ng may kundisyon Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
May kundisyon na inaasahan M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Conditional variance D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
covariance.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 1 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
Kung ang mga random na variable ay independyente, kung gayon ang kanilang covariance ay zero. Sa aming kaso cov(X,Y) ≠ 0.
Koepisyent ng ugnayan.


Ang linear regression equation mula y hanggang x ay:

Ang linear regression equation mula sa x hanggang y ay:

Hanapin ang mga kinakailangang numerical na katangian.
Ang ibig sabihin ng sample ay:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
pagpapakalat:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
Saan natin nakukuha ang mga karaniwang paglihis:
σ x = 9.99 at σ y = 4.9
at covariance:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 1 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
Tukuyin natin ang koepisyent ng ugnayan:


Isulat natin ang mga equation ng mga linya ng regression y(x):

at pagkalkula, nakukuha namin:
yx = 0.38x + 9.14
Isulat natin ang mga equation ng regression lines x(y):

at pagkalkula, nakukuha namin:
x y = 1.59 y + 2.15
Kung bubuo tayo ng mga puntos na tinukoy ng talahanayan at ng mga linya ng regression, makikita natin na ang parehong mga linya ay dumadaan sa puntong may mga coordinate (42.3; 25.3) at ang mga punto ay matatagpuan malapit sa mga linya ng regression.
Kahalagahan ng koepisyent ng ugnayan.

Ayon sa talahanayan ng Mag-aaral na may antas ng kahalagahan α=0.05 at antas ng kalayaan k=100-m-1 = 98 makikita natin ang t crit:
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
kung saan ang m = 1 ay ang bilang ng mga paliwanag na variable.
Kung ang t obs > t ay kritikal, kung gayon ang nakuhang halaga ng koepisyent ng ugnayan ay kinikilala bilang makabuluhan (ang null hypothesis na nagsasaad na ang koepisyent ng ugnayan ay katumbas ng zero ay tinanggihan).
Dahil t obl > t crit, tinatanggihan namin ang hypothesis na ang correlation coefficient ay katumbas ng 0. Sa madaling salita, ang koepisyent ng ugnayan ay makabuluhan sa istatistika.

Mag-ehersisyo. Ang bilang ng mga hit ng mga pares ng mga halaga ng mga random na variable X at Y sa kaukulang mga pagitan ay ibinibigay sa talahanayan. Mula sa mga datos na ito, hanapin ang sample correlation coefficient at ang sample equation ng mga straight regression lines Y sa X at X sa Y .
Desisyon

Halimbawa. Ang probability distribution ng isang two-dimensional random variable (X, Y) ay ibinibigay ng isang table. Hanapin ang mga batas ng pamamahagi ng mga dami ng bahagi X, Y at ang koepisyent ng ugnayan p(X, Y).
I-download ang Solusyon

Mag-ehersisyo. Ang isang dalawang-dimensional na discrete value (X, Y) ay ibinibigay ng isang batas sa pamamahagi. Hanapin ang mga batas sa pamamahagi ng mga bahagi ng X at Y, covariance at koepisyent ng ugnayan.

Kahulugan 2.7. ay isang pares ng mga random na numero (X, Y), o isang punto sa coordinate plane (Larawan 2.11).

kanin. 2.11.

Ang dalawang-dimensional na random na variable ay isang espesyal na kaso ng isang multidimensional na random variable, o random na vector.

Kahulugan 2.8. Random na vector - ito ba ay isang random na function?,(/) na may isang tiyak na hanay ng mga posibleng halaga ng argumento t, na ang halaga para sa anumang halaga t ay isang random na variable.

Ang isang dalawang-dimensional na random na variable ay tinatawag na tuloy-tuloy kung ang mga coordinate nito ay tuluy-tuloy, at discrete kung ang mga coordinate nito ay discrete.

Upang itakda ang batas ng pamamahagi ng dalawang-dimensional na random na mga variable ay nangangahulugang magtatag ng isang sulat sa pagitan ng mga posibleng halaga nito at ang posibilidad ng mga halagang ito. Ayon sa mga paraan ng pagtatakda, ang mga random na variable ay nahahati sa tuloy-tuloy at discrete, bagama't may mga pangkalahatang paraan upang itakda ang batas sa pamamahagi ng anumang RV.

Discrete two-dimensional random variable

Ang discrete two-dimensional random variable ay tinukoy gamit ang distribution table (Talahanayan 2.1).

Talahanayan 2.1

Talaan ng alokasyon (pinagsamang alokasyon) CB ( X, U)

Ang mga elemento ng talahanayan ay tinukoy ng formula

Mga katangian ng elemento ng talahanayan ng pamamahagi:

Ang pamamahagi sa bawat coordinate ay tinatawag one-dimensional o marginal:

R 1> = P(X =.d,) - marginal distribution ng SW X;

p^2) = P(Y= y,)- marginal distribution ng SV U.

Komunikasyon ng magkasanib na pamamahagi ng CB X at Y, na ibinigay ng hanay ng mga probabilidad [p () ), i = 1,..., n,j = 1,..., t(talahanayan ng pamamahagi), at marginal distribution.

Katulad din para sa SV U p- 2)= X p, g

Suliranin 2.14. Ibinigay:

Patuloy na 2D random variable

/(X, y)dxdy- elemento ng probabilidad para sa isang two-dimensional random variable (X, Y) - probabilidad ng pagtama ng random variable (X, Y) sa isang parihaba na may mga gilid cbc, dy sa dx, dy -* 0:

f(x, y) - density ng pamamahagi dalawang-dimensional na random na variable (X, Y). Gawain /(x, y) nagbibigay kami ng kumpletong impormasyon tungkol sa pamamahagi ng isang dalawang-dimensional na random na variable.

Ang mga marginal distribution ay tinukoy bilang mga sumusunod: para sa X - ayon sa density ng distribution ng CB X/,(x); sa Y- Densidad ng pamamahagi ng SV f>(y).

Ang pagtatakda ng batas sa pamamahagi ng isang two-dimensional na random na variable ng distribution function

Ang isang unibersal na paraan upang tukuyin ang batas sa pamamahagi para sa isang discrete o tuluy-tuloy na dalawang-dimensional na random na variable ay ang distribution function F(x, y).

Kahulugan 2.9. Distribution function F(x, y)- posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng mga kaganapan (Xy), i.e. F(x0,y n) = = P(X y), itinapon sa coordinate plane, nahulog sa isang walang katapusang quadrant na may vertex sa puntong M(x 0, ikaw i)(sa may kulay na lugar sa Fig. 2.12).

kanin. 2.12. Ilustrasyon ng function ng pamamahagi F( x, y)

Mga Katangian ng Function F(x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
• 3) F(x, y)- hindi bumababa sa bawat argumento;
• 4) F(x, y) - tuloy-tuloy na kaliwa at ibaba;
• 5) pagkakapare-pareho ng mga pamamahagi:

F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - marginal distribution over Y F( oo, y) = F 2 (y). Koneksyon /(x, y) kasama F(x, y):

Relasyon sa pagitan ng joint density at marginal density. Dana f(x, y). Nakukuha namin ang marginal distribution density f(x),f 2 (y)".

Ang kaso ng mga independiyenteng coordinate ng isang dalawang-dimensional na random na variable

Kahulugan 2.10. SW X at Yindependent(nc) kung ang anumang mga kaganapang nauugnay sa bawat isa sa mga RV na ito ay independyente. Mula sa kahulugan ng nc CB ito ay sumusunod:

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Para pala sa mga independent SW X at Y natapos at

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Patunayan natin yan para sa mga independent SW X at Y2) 3). patunay, a) Hayaan ang 2), ibig sabihin,

sa parehong oras F(x,y) = f J f(u,v)dudv, kung saan ito sumusunod 3);

b) hayaan ang 3 na humawak ngayon, pagkatapos

mga. totoo 2).

Isaalang-alang natin ang mga gawain.

Suliranin 2.15. Ang pamamahagi ay ibinibigay ng sumusunod na talahanayan:

Bumubuo kami ng mga marginal distribution:

Nakukuha namin P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0.1485 => SV X at mga Dependent.

Pag-andar ng pamamahagi:

Suliranin 2.16. Ang pamamahagi ay ibinibigay ng sumusunod na talahanayan:

Nakukuha namin P tl = 0.2 0.3 = 0.06; P 12 \u003d 0.2? 0.7 = 0.14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0.8 0.7 = 0.56 => SW X at Y nz.

Suliranin 2.17. Dana /(x, y) = 1/st exp| -0.5(d "+ 2xy + 5d/ 2)]. Hanapin oh) at /Ay)-

Desisyon

(kalkulahin ang iyong sarili).