Ang formula ng isang tuwid na linya sa isang function graph. Mga pangunahing pag-andar sa elementarya, ang kanilang mga katangian at mga graph

1. Linear fractional function at ang graph nito

Ang isang function ng form na y = P(x) / Q(x), kung saan ang P(x) at Q(x) ay polynomials, ay tinatawag na fractional rational function.

Marahil ay pamilyar ka na sa konsepto ng mga rational na numero. Ganun din makatwirang pag-andar ay mga function na maaaring kinakatawan bilang isang quotient ng dalawang polynomial.

Kung ang isang fractional rational function ay isang quotient ng dalawang linear function - polynomials ng unang degree, i.e. tingnan ang function

y = (ax + b) / (cx + d), pagkatapos ito ay tinatawag na fractional linear.

Tandaan na sa function na y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kung hindi man ang function ay magiging linear y = ax/d + b/d) at ang a/c ≠ b/d (kung hindi man ay ang Ang function ay pare-pareho). Ang linear-fractional function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na numero, maliban sa x = -d/c. Ang mga graph ng linear-fractional function ay hindi naiiba sa anyo mula sa graph na alam mo y = 1/x. Ang curve na siyang graph ng function na y = 1/x ay tinatawag hyperbole. Sa walang limitasyong pagtaas sa x sa absolute value, ang function na y = 1/x ay bumababa nang walang katiyakan sa absolute value at ang parehong sangay ng graph ay lumalapit sa abscissa axis: ang kanan ay lumalapit mula sa itaas, at ang kaliwa ay lumalapit mula sa ibaba. Ang mga linyang nilalapitan ng mga sanga ng hyperbola ay tinatawag na nito asymptotes.

Halimbawa 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Desisyon.

Piliin natin ang bahaging integer: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Ngayon ay madaling makita na ang graph ng function na ito ay nakuha mula sa graph ng function na y = 1/x sa pamamagitan ng mga sumusunod na pagbabagong-anyo: shift ng 3 unit segments pakanan, stretch along the Oy axis ng 7 beses at shift by 2 unit segments pataas.

Anumang fraction y = (ax + b) / (cx + d) ay maaaring isulat sa parehong paraan, na i-highlight ang "buong bahagi". Dahil dito, ang mga graph ng lahat ng linear-fractional function ay mga hyperbola na inilipat kasama ang mga coordinate axes sa iba't ibang paraan at nakaunat kasama ang Oy axis.

Upang mag-plot ng isang graph ng ilang arbitrary linear-fractional function, hindi na kailangang baguhin ang fraction na tumutukoy sa function na ito. Dahil alam natin na ang graph ay isang hyperbola, ito ay sapat na upang mahanap ang mga linya kung saan ang mga sanga nito ay lumalapit - ang hyperbola asymptotes x = -d/c at y = a/c.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function na y = (3x + 5)/(2x + 2).

Desisyon.

Ang function ay hindi tinukoy, para sa x = -1. Samakatuwid, ang linyang x = -1 ay nagsisilbing patayong asymptote. Upang mahanap ang pahalang na asymptote, alamin natin kung ano ang lapitan ng mga halaga ng function na y(x) kapag ang argument x ay tumaas sa ganap na halaga.

Upang gawin ito, hinati namin ang numerator at denominator ng fraction sa x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Bilang x → ∞ ang fraction ay may posibilidad na 3/2. Samakatuwid, ang pahalang na asymptote ay ang tuwid na linya y = 3/2.

Halimbawa 3

I-plot ang function na y = (2x + 1)/(x + 1).

Desisyon.

Pinipili namin ang "buong bahagi" ng fraction:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ngayon ay madaling makita na ang graph ng function na ito ay nakuha mula sa graph ng function na y = 1/x sa pamamagitan ng mga sumusunod na pagbabagong-anyo: isang shift ng 1 unit sa kaliwa, isang simetriko display na may kinalaman sa Ox, at isang shift ng 2 unit interval pataas sa kahabaan ng Oy axis.

Domain ng kahulugan D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Saklaw ng mga value E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Mga intersection point na may mga palakol: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Ang function ay tumataas sa bawat isa sa mga pagitan ng domain ng kahulugan.

Sagot: figure 1.

2. Fractional-rational function

Isaalang-alang ang isang fractional rational function ng form na y = P(x) / Q(x), kung saan ang P(x) at Q(x) ay mga polynomial na mas mataas kaysa sa una.

Mga halimbawa ng mga rational function:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Kung ang function na y = P(x) / Q(x) ay isang quotient ng dalawang polynomial na may degree na mas mataas kaysa sa una, kung gayon ang graph nito ay, bilang panuntunan, ay magiging mas kumplikado, at kung minsan ay mahirap itong buuin nang eksakto. , kasama ang lahat ng mga detalye. Gayunpaman, kadalasan ay sapat na upang maglapat ng mga pamamaraan na katulad ng mga nakilala na natin sa itaas.

Hayaang maging wasto ang fraction (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Malinaw, ang graph ng isang fractional rational function ay maaaring makuha bilang kabuuan ng mga graph ng elementary fractions.

Pag-plot ng mga fractional rational function

Isaalang-alang ang ilang mga paraan upang magplano ng isang fractional-rational function.

Halimbawa 4

I-plot ang function na y = 1/x 2 .

Desisyon.

Ginagamit namin ang graph ng function na y \u003d x 2 upang i-plot ang graph y \u003d 1 / x 2 at gamitin ang paraan ng "paghahati" ng mga graph.

Domain D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Saklaw ng mga halaga E(y) = (0; +∞).

Walang mga punto ng intersection sa mga axes. Ang pag-andar ay pantay. Tumataas para sa lahat ng x mula sa pagitan (-∞; 0), bumababa para sa x mula 0 hanggang +∞.

Sagot: figure 2.

Halimbawa 5

I-plot ang function na y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Desisyon.

Domain D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Dito ginamit namin ang pamamaraan ng factoring, reduction at reduction sa isang linear function.

Sagot: figure 3.

Halimbawa 6

I-plot ang function na y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Desisyon.

Ang domain ng kahulugan ay D(y) = R. Dahil ang function ay pantay, ang graph ay simetriko tungkol sa y-axis. Bago mag-plot, muli naming binabago ang expression sa pamamagitan ng pag-highlight ng integer na bahagi:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Tandaan na ang pagpili ng bahagi ng integer sa formula ng isang fractional-rational function ay isa sa mga pangunahing kapag nag-plot ng mga graph.

Kung x → ±∞, pagkatapos ay y → 1, ibig sabihin, ang linyang y = 1 ay isang pahalang na asymptote.

Sagot: figure 4.

Halimbawa 7

Isaalang-alang ang function na y = x/(x 2 + 1) at subukang hanapin nang eksakto ang pinakamalaking halaga nito, i.e. ang pinakamataas na punto sa kanang kalahati ng graph. Upang tumpak na mabuo ang graph na ito, ang kaalaman ngayon ay hindi sapat. Ito ay malinaw na ang aming kurba ay hindi maaaring "umakyat" nang napakataas, dahil ang denominator ay mabilis na nagsisimulang "malampasan" ang numerator. Tingnan natin kung ang halaga ng function ay maaaring katumbas ng 1. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang equation x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ang equation na ito ay walang tunay na ugat. So mali ang assumption natin. Upang mahanap ang pinakamalaking halaga ng function, kailangan mong malaman kung aling pinakamalaking A ang equation A \u003d x / (x 2 + 1) ay magkakaroon ng solusyon. Palitan natin ang orihinal na equation ng isang quadratic: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ang equation na ito ay may solusyon kapag 1 - 4A 2 ≥ 0. Mula dito makikita natin ang pinakamalaking halaga A \u003d 1/2.

Sagot: Figure 5, max y(x) = ½.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi alam kung paano bumuo ng mga function graph?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang linear function ay isang function ng form na y=kx+b, kung saan ang x ay isang independent variable, ang k at b ay anumang mga numero.
Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya.

1. Upang mag-plot ng function graph, kailangan namin ang mga coordinate ng dalawang puntos na kabilang sa graph ng function. Upang mahanap ang mga ito, kailangan mong kumuha ng dalawang mga halaga ng x, palitan ang mga ito sa equation ng function, at kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng y mula sa kanila.

Halimbawa, upang i-plot ang function na y= x+2, maginhawang kunin ang x=0 at x=3, kung gayon ang mga ordinate ng mga puntong ito ay magiging katumbas ng y=2 at y=3. Nakukuha namin ang mga puntos A(0;2) at B(3;3). Ikonekta natin ang mga ito at kunin ang graph ng function na y= x+2:

2. Sa formula na y=kx+b, ang bilang na k ay tinatawag na proportionality coefficient:
kung k>0, ang function na y=kx+b ay tumataas
kung k
Ang coefficient b ay nagpapakita ng shift ng graph ng function kasama ang OY axis:
kung b>0, kung gayon ang graph ng function na y=kx+b ay nakuha mula sa graph ng function na y=kx sa pamamagitan ng paglilipat ng b unit pataas sa kahabaan ng OY axis
kung b
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng mga function y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Tandaan na sa lahat ng mga function na ito ang coefficient k Higit sa zero, at mga function ay dumarami. Bukod dito, mas malaki ang halaga ng k, mas malaki ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa positibong direksyon ng axis ng OX.

Sa lahat ng mga function b=3 - at nakikita namin na ang lahat ng mga graph ay nagsalubong sa OY axis sa punto (0;3)

Ngayon isaalang-alang ang mga graph ng mga function y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Sa pagkakataong ito, sa lahat ng mga function, ang coefficient k mas mababa sa zero at mga tampok bumaba. Ang coefficient b=3, at ang mga graph, tulad ng sa nakaraang kaso, ay tumatawid sa OY axis sa punto (0;3)

Isaalang-alang ang mga graph ng mga function y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Ngayon, sa lahat ng equation ng mga function, ang coefficients k ay katumbas ng 2. At nakakuha kami ng tatlong parallel na linya.

Ngunit ang mga coefficient b ay iba, at ang mga graph na ito ay nagsalubong sa OY axis sa iba't ibang mga punto:
Ang graph ng function na y=2x+3 (b=3) ay tumatawid sa OY axis sa punto (0;3)
Ang graph ng function na y=2x (b=0) ay tumatawid sa OY axis sa punto (0;0) - ang pinanggalingan.
Ang graph ng function na y=2x-3 (b=-3) ay tumatawid sa OY axis sa punto (0;-3)

Kaya, kung alam natin ang mga palatandaan ng mga coefficients k at b, pagkatapos ay maaari nating isipin kaagad kung ano ang hitsura ng graph ng function na y=kx+b.
Kung ang k 0

Kung ang k>0 at b>0, pagkatapos ay ang graph ng function na y=kx+b ay ganito ang hitsura:

Kung ang k>0 at b, pagkatapos ay ang graph ng function na y=kx+b ay ganito ang hitsura:

Kung ang k, kung gayon ang graph ng function na y=kx+b ay ganito ang hitsura:

Kung ang k=0, pagkatapos ay ang function na y=kx+b ay nagiging isang function na y=b at ang graph nito ay mukhang:

Ang mga ordinate ng lahat ng mga punto ng graph ng function na y=b ay katumbas ng b Kung b=0, pagkatapos ay ang graph ng function na y=kx (direktang proporsyonalidad) ay dumadaan sa pinagmulan:

3. Hiwalay, tandaan namin ang graph ng equation x=a. Ang graph ng equation na ito ay isang tuwid na linya na kahanay ng OY axis, lahat ng mga punto ay mayroong abscissa x=a.

Halimbawa, ang graph ng equation x=3 ay ganito ang hitsura:
Pansin! Ang equation na x=a ay hindi isang function, dahil ang isang value ng argument ay tumutugma sa iba't ibang value ng function, na hindi tumutugma sa kahulugan ng function.

4. Kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:

Ang graph ng function y=k 1 x+b 1 ay parallel sa graph ng function y=k 2 x+b 2 kung k 1 =k 2

5. Ang kundisyon para sa dalawang tuwid na linya ay patayo:

Ang graph ng function na y=k 1 x+b 1 ay patayo sa graph ng function na y=k 2 x+b 2 kung k 1 *k 2 =-1 o k 1 =-1/k 2

6. Mga intersection point ng graph ng function na y=kx+b na may mga coordinate axes.

na may OY axis. Ang abscissa ng anumang puntong kabilang sa OY axis ay katumbas ng zero. Samakatuwid, upang mahanap ang punto ng intersection sa OY axis, kailangan mong palitan ang zero sa halip na x sa equation ng function. Nakukuha natin ang y=b. Ibig sabihin, ang punto ng intersection sa OY axis ay may mga coordinate (0;b).

Gamit ang x-axis: Ang ordinate ng anumang puntong kabilang sa x-axis ay zero. Samakatuwid, upang mahanap ang punto ng intersection sa OX axis, kailangan mong palitan ang zero sa halip na y sa equation ng function. Nakukuha namin ang 0=kx+b. Kaya naman x=-b/k. Iyon ay, ang punto ng intersection sa OX axis ay may mga coordinate (-b / k; 0):

Tingnan natin kung paano galugarin ang isang function gamit ang isang graph. Lumalabas na ang pagtingin sa graph, maaari mong malaman ang lahat ng bagay na interesado sa amin, lalo na:

• saklaw ng function
• saklaw ng pag-andar
• mga function na zero
• mga panahon ng pagtaas at pagbaba
• mataas at mababang puntos
• ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.

Linawin natin ang terminolohiya:

Abscissa ay ang pahalang na coordinate ng punto.
Mag-orden- patayong coordinate.
abscissa- ang pahalang na axis, kadalasang tinatawag na axis.
Y-axis- vertical axis, o axis.

Pangangatwiran ay isang malayang variable kung saan nakasalalay ang mga halaga ng function. Kadalasang ipinahiwatig.
Sa madaling salita, tayo mismo ang pumili , pumalit sa formula ng function at makakuha ng .

Domain function - ang hanay ng mga (at ang mga lamang) na halaga ng argumento kung saan umiiral ang function.
Tinutukoy: o .

Sa aming figure, ang domain ng function ay isang segment. Sa segment na ito iginuhit ang graph ng function. Dito lang umiiral ang function na ito.

Saklaw ng pag-andar ay ang hanay ng mga halaga na kinukuha ng variable. Sa aming figure, ito ay isang segment - mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamataas na halaga.

Mga function na zero- mga punto kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero, ibig sabihin. Sa aming figure, ito ang mga punto at .

Ang mga halaga ng pag-andar ay positibo saan . Sa aming figure, ito ang mga pagitan at .
Ang mga halaga ng pag-andar ay negatibo saan . Mayroon kaming ganitong interval (o interval) mula hanggang.

Ang pinakamahalagang konsepto - pagtaas at pagbaba ng mga function sa ilang set. Bilang isang set, maaari kang kumuha ng segment, interval, unyon ng interval, o buong number line.

Function nadadagdagan

Sa madaling salita, mas marami , mas marami , ibig sabihin, ang graph ay papunta sa kanan at pataas.

Function bumababa sa set kung para sa alinman at kabilang sa set ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay .

Para sa isang bumababa na function, ang isang mas malaking halaga ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga. Pakanan at pababa ang graph.

Sa aming figure, ang function ay tumataas sa pagitan at bumababa sa pagitan at .

Tukuyin natin kung ano ang maximum at minimum na puntos ng function.

Pinakamataas na punto- ito ay isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Sa madaling salita, ang pinakamataas na punto ay tulad ng isang punto, ang halaga ng function kung saan higit pa kaysa sa mga kapitbahay. Ito ay isang lokal na "burol" sa tsart.

Sa aming figure - ang pinakamataas na punto.

Mababang punto- isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Iyon ay, ang pinakamababang punto ay tulad na ang halaga ng pag-andar sa loob nito ay mas mababa kaysa sa mga kalapit. Sa graph, ito ay isang lokal na "butas".

Sa aming figure - ang pinakamababang punto.

Ang punto ay ang hangganan. Ito ay hindi isang panloob na punto ng domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi akma sa kahulugan ng isang pinakamataas na punto. Kung tutuusin, wala siyang kapitbahay sa kaliwa. Sa parehong paraan, maaaring walang pinakamababang punto sa aming tsart.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay sama-samang tinatawag matinding mga punto ng pag-andar. Sa aming kaso, ito ay at .

Ngunit paano kung kailangan mong hanapin, halimbawa, minimum na function sa hiwa? Sa kasong ito, ang sagot ay: kasi minimum na function ay ang halaga nito sa pinakamababang punto.

Katulad nito, ang maximum ng aming function ay . Ito ay naabot sa punto.

Masasabi nating ang extrema ng function ay katumbas ng at .

Minsan sa mga gawain kailangan mong hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang partikular na segment. Ang mga ito ay hindi kinakailangang nag-tutugma sa mga sukdulan.

Sa kaso natin pinakamaliit na halaga ng pag-andar sa pagitan ay katumbas at tumutugma sa pinakamababa ng function. Ngunit ang pinakamalaking halaga nito sa segment na ito ay katumbas ng . Naabot ito sa kaliwang dulo ng segment.

Sa anumang kaso, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tuluy-tuloy na pag-andar sa isang segment ay nakakamit alinman sa mga extremum point o sa mga dulo ng segment.

Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ang kanilang mga likas na katangian at ang kaukulang mga graph ay isa sa mga pangunahing kaalaman sa matematika, na katulad ng kahalagahan sa talahanayan ng pagpaparami. Ang mga pag-andar ng elementarya ay ang batayan, suporta para sa pag-aaral ng lahat ng mga teoretikal na isyu.

Ang artikulo sa ibaba ay nagbibigay ng pangunahing materyal sa paksa ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya. Ipapasok namin ang mga termino, bigyan sila ng mga kahulugan; Pag-aralan natin nang detalyado ang bawat uri ng elementarya na pag-andar at pag-aralan ang kanilang mga katangian.

Ang mga sumusunod na uri ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay nakikilala:

Kahulugan 1

• pare-pareho ang pag-andar (pare-pareho);
• ugat ng nth degree;
• function ng kapangyarihan;
• exponential function;
• logarithmic function;
• trigonometriko function;
• fraternal trigonometriko function.

Ang isang pare-parehong pag-andar ay tinutukoy ng formula: y = C (C ay ilang tunay na numero) at mayroon ding pangalan: pare-pareho. Tinutukoy ng function na ito kung ang anumang tunay na halaga ng independent variable x ay tumutugma sa parehong halaga ng variable y – ang halaga C .

Ang graph ng isang pare-pareho ay isang tuwid na linya na parallel sa x-axis at dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (0, C). Para sa kalinawan, nagpapakita kami ng mga graph ng pare-parehong pag-andar y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (minarkahan ng itim, pula at asul sa pagguhit, ayon sa pagkakabanggit).

Kahulugan 2

Ang elementarya na function na ito ay tinukoy ng formula na y = x n (n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa).

Isaalang-alang natin ang dalawang variation ng function.

1. Ang ugat ng nth degree, n ay isang even na numero

Para sa kalinawan, ipinapahiwatig namin ang pagguhit, na nagpapakita ng mga graph ng naturang mga pag-andar: y = x , y = x 4 at y = x 8 . Ang mga function na ito ay color-coded: itim, pula at asul, ayon sa pagkakabanggit.

Ang isang katulad na pagtingin sa mga graph ng function ng isang pantay na antas para sa iba pang mga halaga ng indicator.

Kahulugan 3

Properties ng function root ng nth degree, n ay isang even number

• ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng lahat ng hindi negatibong tunay na numero [ 0 , + ∞) ;
• kapag x = 0 , ang function y = x n ay may halaga na katumbas ng zero;
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kahit na o kakaiba);
• saklaw: [ 0 , + ∞);
• itong function na y = x n na may pantay na mga exponent ng root ay tumataas sa buong domain ng kahulugan;
• ang function ay may convexity na may paitaas na direksyon sa buong domain ng kahulugan;
• walang mga inflection point;
• walang mga asymptotes;
• ang graph ng function para sa even n ay dumadaan sa mga puntos (0 ; 0) at (1 ; 1) .

1. Ang ugat ng nth degree, n ay isang kakaibang numero

Ang ganitong function ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang mga graph ng mga function y = x 3 , y = x 5 at x 9 . Sa pagguhit, ang mga ito ay ipinahiwatig ng mga kulay: itim, pula at asul na mga kulay ng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit.

Ang iba pang mga kakaibang halaga ng exponent ng root ng function na y = x n ay magbibigay ng graph ng isang katulad na anyo.

Kahulugan 4

Properties ng function root ng nth degree, n ay isang kakaibang numero

• ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero;
• kakaiba ang function na ito;
• ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero;
• ang function na y = x n na may mga kakaibang exponents ng root ay tumataas sa buong domain ng kahulugan;
• ang function ay may concavity sa interval (- ∞ ; 0 ] at convexity sa interval [ 0 , + ∞) ;
• ang inflection point ay may mga coordinate (0 ; 0);
• walang mga asymptotes;
• ang graph ng function para sa odd n ay dumadaan sa mga puntos (- 1 ; - 1), (0 ; 0) at (1 ; 1) .

Pag-andar ng kapangyarihan

Kahulugan 5

Ang power function ay tinukoy ng formula y = x a .

Ang uri ng mga graph at katangian ng function ay depende sa halaga ng exponent.

• kapag ang isang power function ay may integer exponent a, ang anyo ng graph ng power function at ang mga katangian nito ay depende sa kung ang exponent ay even o odd, at kung ano ang sign na mayroon ang exponent. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga espesyal na kaso na ito nang mas detalyado sa ibaba;
• ang exponent ay maaaring fractional o hindi makatwiran - depende dito, ang uri ng mga graph at ang mga katangian ng function ay nag-iiba din. Susuriin namin ang mga espesyal na kaso sa pamamagitan ng pagtatakda ng ilang kundisyon: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• maaaring magkaroon ng zero exponent ang power function, susuriin din namin ang kasong ito nang mas detalyado sa ibaba.

Suriin natin ang power function y = x a kapag ang a ay isang kakaibang positibong numero, halimbawa, a = 1 , 3 , 5 …

Para sa kalinawan, ipinapahiwatig namin ang mga graph ng naturang mga function ng kapangyarihan: y = x (itim na kulay ng graph), y = x 3 (asul na kulay ng tsart), y = x 5 (pulang kulay ng graph), y = x 7 (berdeng graph). Kapag a = 1 , nakakakuha tayo ng linear function na y = x .

Kahulugan 6

Mga katangian ng isang power function kapag ang exponent ay isang kakaibang positibo

• ang function ay tumataas para sa x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ang function ay convex para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] at malukong para sa x ∈ [ 0 ; + ∞) (hindi kasama ang linear function);
• ang inflection point ay may mga coordinate (0 ; 0) (hindi kasama ang linear function);
• walang mga asymptotes;
• function passing points: (- 1 ; - 1), (0 ; 0), (1 ; 1) .

Suriin natin ang power function y = x a kapag ang a ay isang kahit na positibong numero, halimbawa, a = 2 , 4 , 6 ...

Para sa kalinawan, ipinapahiwatig namin ang mga graph ng naturang mga function ng kapangyarihan: y \u003d x 2 (itim na kulay ng graph), y = x 4 (asul na kulay ng graph), y = x 8 (pulang kulay ng graph). Kapag a = 2, nakakakuha tayo ng quadratic function na ang graph ay isang quadratic parabola.

Kahulugan 7

Mga katangian ng isang power function kapag positibo ang exponent:

• domain ng kahulugan: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• bumababa para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• ang function ay malukong para sa x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• walang mga inflection point;
• walang mga asymptotes;
• function passing points: (- 1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1) .

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga halimbawa ng mga exponential function graph y = x a kapag ang a ay isang kakaibang negatibong numero: y = x - 9 (itim na kulay ng tsart); y = x - 5 (asul na kulay ng tsart); y = x - 3 (pulang kulay ng tsart); y = x - 1 (berdeng graph). Kapag ang isang \u003d - 1, nakakakuha tayo ng inverse proportionality, ang graph kung saan ay isang hyperbola.

Kahulugan 8

Mga katangian ng power function kapag ang exponent ay kakaibang negatibo:

Kapag x \u003d 0, nakakakuha kami ng discontinuity ng pangalawang uri, dahil lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ para sa isang \u003d - 1, - 3, - 5, .... Kaya, ang tuwid na linya x = 0 ay isang patayong asymptote;

• saklaw: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• kakaiba ang function dahil y (- x) = - y (x) ;
• ang function ay bumababa para sa x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• ang function ay convex para sa x ∈ (- ∞ ; 0) at malukong para sa x ∈ (0 ; + ∞) ;
• walang mga inflection point;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kapag a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• function passing points: (- 1 ; - 1), (1 ; 1) .

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga halimbawa ng power function graphs y = x a kapag ang a ay isang kahit na negatibong numero: y = x - 8 (chart sa itim); y = x - 4 (asul na kulay ng graph); y = x - 2 (pulang kulay ng graph).

Kahulugan 9

Mga katangian ng power function kapag negatibo ang exponent:

• domain ng kahulugan: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kapag x \u003d 0, nakakakuha kami ng discontinuity ng pangalawang uri, dahil lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ para sa isang \u003d - 2, - 4, - 6, .... Kaya, ang tuwid na linya x = 0 ay isang patayong asymptote;

• ang function ay kahit na dahil y (- x) = y (x) ;
• ang function ay tumataas para sa x ∈ (- ∞ ; 0) at bumababa para sa x ∈ 0 ; +∞ ;
• ang function ay malukong para sa x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• walang mga inflection point;
• ang pahalang na asymptote ay isang tuwid na linya y = 0 dahil:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kapag a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• function passing points: (- 1 ; 1), (1 ; 1) .

Sa simula pa lang, bigyang-pansin ang sumusunod na aspeto: sa kaso kapag ang a ay isang positibong fraction na may kakaibang denominator, kinuha ng ilang may-akda ang pagitan - ∞ bilang domain ng kahulugan ng power function na ito; + ∞ , na nagtatakda na ang exponent a ay isang hindi mababawasang bahagi. Sa ngayon, ang mga may-akda ng maraming mga publikasyong pang-edukasyon sa algebra at ang simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan, kung saan ang exponent ay isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Dagdag pa, susundin namin ang ganoong posisyon: kinukuha namin ang set [ 0 ; +∞) . Rekomendasyon para sa mga mag-aaral: alamin ang pananaw ng guro sa puntong ito upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo.

Kaya tingnan natin ang power function y = x a kapag ang exponent ay isang rational o irrational na numero sa kondisyon na 0< a < 1 .

Ilarawan natin sa mga graph ang mga function ng kapangyarihan y = x a kapag a = 11 12 (chart sa itim); a = 5 7 (pulang kulay ng graph); a = 1 3 (asul na kulay ng tsart); a = 2 5 (berdeng kulay ng graph).

Iba pang mga halaga ng exponent a (ipagpalagay na 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Kahulugan 10

Mga katangian ng power function sa 0< a < 1:

• saklaw: y ∈ [ 0 ; +∞);
• ang function ay tumataas para sa x ∈ [ 0 ; +∞);
• ang function ay may convexity para sa x ∈ (0 ; + ∞) ;
• walang mga inflection point;
• walang mga asymptotes;

Suriin natin ang power function y = x a kapag ang exponent ay isang non-integer na rational o irrational na numero sa kondisyon na a > 1 .

Inilalarawan namin ang mga graph ng power function y \u003d x a sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon gamit ang mga sumusunod na function bilang halimbawa: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (itim, pula, asul, berde mga graph, ayon sa pagkakabanggit).

Ang iba pang mga halaga ng exponent a sa ilalim ng kundisyon a > 1 ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph.

Kahulugan 11

Mga katangian ng power function para sa isang > 1:

• domain ng kahulugan: x ∈ [ 0 ; +∞);
• saklaw: y ∈ [ 0 ; +∞);
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
• ang function ay tumataas para sa x ∈ [ 0 ; +∞);
• ang function ay malukong para sa x ∈ (0 ; + ∞) (kapag 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• walang mga inflection point;
• walang mga asymptotes;
• function passing points: (0 ; 0), (1 ; 1) .

Kung ang a ay isang negatibong bahagi na may kakaibang denominator, sa mga gawa ng ilang mga may-akda ay may pananaw na ang domain ng kahulugan sa kasong ito ay ang pagitan - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) na may proviso na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Sa ngayon, ang mga may-akda ng mga materyal na pang-edukasyon sa algebra at ang simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Dagdag pa rito, sinusunod namin ang ganoong pananaw: kinukuha namin ang set (0 ; + ∞) bilang domain ng power functions na may fractional negative exponents. Mungkahi para sa mga mag-aaral: Linawin ang pananaw ng iyong guro sa puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Ipinagpapatuloy namin ang paksa at sinusuri ang pag-andar ng kapangyarihan y = x a ibinigay: - 1< a < 0 .

Narito ang isang drawing ng mga graph ng mga sumusunod na function: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (itim, pula, asul, berdeng mga linya, ayon sa pagkakabanggit ).

Kahulugan 12

Mga katangian ng power function sa - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kapag - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• saklaw: y ∈ 0 ; +∞ ;
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
• walang mga inflection point;

Ang drawing sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng power functions y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (itim, pula, asul, berdeng mga kulay ng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit).

Kahulugan 13

Mga katangian ng power function para sa a< - 1:

• domain ng kahulugan: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kapag a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• saklaw: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
• ang function ay bumababa para sa x ∈ 0; +∞ ;
• ang function ay malukong para sa x ∈ 0; +∞ ;
• walang mga inflection point;
• pahalang na asymptote - tuwid na linya y = 0 ;
• function passing point: (1 ; 1) .

Kapag ang isang \u003d 0 at x ≠ 0, nakukuha namin ang function na y \u003d x 0 \u003d 1, na tumutukoy sa tuwid na linya kung saan ang punto (0; 1) ay hindi kasama (napagkasunduan namin na ang expression 0 0 ay hindi magiging binigyan ng anumang halaga).

Ang exponential function ay may form y = a x , kung saan ang a > 0 at a ≠ 1 , at ang graph ng function na ito ay mukhang iba batay sa halaga ng base a . Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso.

Una, suriin natin ang sitwasyon kapag ang base ng exponential function ay may halaga mula sa zero hanggang isa (0< a < 1) . Ang isang mapaglarawang halimbawa ay ang mga graph ng mga function para sa a = 1 2 (asul na kulay ng curve) at a = 5 6 (pulang kulay ng curve).

Ang mga graph ng exponential function ay magkakaroon ng katulad na anyo para sa iba pang mga halaga ng base, sa kondisyon na 0< a < 1 .

Kahulugan 14

Mga katangian ng isang exponential function kapag ang base ay mas mababa sa isa:

• saklaw: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
• isang exponential function na ang base ay mas mababa sa isa ay bumababa sa buong domain ng kahulugan;
• walang mga inflection point;
• ang pahalang na asymptote ay ang tuwid na linya y = 0 na may variable na x na may posibilidad na + ∞ ;

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang base ng exponential function ay mas malaki kaysa sa isa (a > 1).

Ilarawan natin ang espesyal na kaso na ito sa graph ng mga exponential function na y = 3 2 x (asul na kulay ng curve) at y = e x (pulang kulay ng graph).

Ang iba pang mga halaga ng base, na higit sa isa, ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph ng exponential function.

Kahulugan 15

Mga katangian ng exponential function kapag ang base ay mas malaki sa isa:

• ang domain ng kahulugan ay ang buong hanay ng mga tunay na numero;
• saklaw: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
• isang exponential function na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay tumataas para sa x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ang function ay malukong para sa x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• walang mga inflection point;
• pahalang na asymptote - tuwid na linya y = 0 na may variable na x na tumutukoy sa - ∞ ;
• function passing point: (0 ; 1) .

Ang logarithmic function ay may anyo na y = log a (x) , kung saan a > 0 , a ≠ 1 .

Ang ganitong function ay tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng argumento: para sa x ∈ 0 ; +∞ .

Ang graph ng logarithmic function ay may ibang anyo, batay sa halaga ng base a.

Isaalang-alang muna ang sitwasyon kapag 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Ang iba pang mga halaga ng base, na hindi hihigit sa isa, ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph.

Kahulugan 16

Mga katangian ng isang logarithmic function kapag ang base ay mas mababa sa isa:

• domain ng kahulugan: x ∈ 0 ; +∞ . Dahil ang x ay may posibilidad na zero mula sa kanan, ang mga halaga ng function ay may posibilidad na + ∞;
• saklaw: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
• logarithmic
• ang function ay malukong para sa x ∈ 0; +∞ ;
• walang mga inflection point;
• walang mga asymptotes;

Ngayon suriin natin ang isang espesyal na kaso kapag ang base ng logarithmic function ay mas malaki kaysa sa isa: a > 1 . Sa drawing sa ibaba, mayroong mga graph ng logarithmic functions y = log 3 2 x at y = ln x (asul at pulang kulay ng mga graph, ayon sa pagkakabanggit).

Ang iba pang mga halaga ng base na higit sa isa ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph.

Kahulugan 17

Mga katangian ng isang logarithmic function kapag ang base ay mas malaki sa isa:

• domain ng kahulugan: x ∈ 0 ; +∞ . Dahil ang x ay may posibilidad na zero mula sa kanan, ang mga halaga ng function ay may posibilidad na - ∞;
• saklaw: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ang buong hanay ng mga tunay na numero);
• ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
• ang logarithmic function ay tumataas para sa x ∈ 0; +∞ ;
• ang function ay may convexity para sa x ∈ 0; +∞ ;
• walang mga inflection point;
• walang mga asymptotes;
• function passing point: (1 ; 0) .

Ang mga function ng trigonometric ay sine, cosine, tangent at cotangent. Suriin natin ang mga katangian ng bawat isa sa kanila at ang kaukulang mga graph.

Sa pangkalahatan, ang lahat ng trigonometriko function ay nailalarawan sa pamamagitan ng pag-aari ng periodicity, i.e. kapag ang mga halaga ng mga function ay paulit-ulit para sa iba't ibang mga halaga ng argumento na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng halaga ng panahon f (x + T) = f (x) (T ang panahon). Kaya, ang item na "hindi bababa sa positibong panahon" ay idinagdag sa listahan ng mga katangian ng trigonometriko function. Bilang karagdagan, ipahiwatig namin ang mga naturang halaga ng argumento kung saan nawawala ang kaukulang function.

1. Sine function: y = sin(x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag na sine wave.

Kahulugan 18

Mga katangian ng pag-andar ng sine:

• domain ng kahulugan: ang buong hanay ng mga tunay na numero x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• nawawala ang function kapag x = π k , kung saan ang k ∈ Z (Z ang set ng integers);
• ang function ay tumataas para sa x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z at bumababa para sa x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• ang function ng sine ay may lokal na maxima sa mga puntong π 2 + 2 π · k ; 1 at lokal na minima sa mga puntos - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• ang function ng sine ay malukong kapag x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z at matambok kapag x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• walang asymptotes.

1. function ng cosine: y=cos(x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag na cosine wave.

Kahulugan 19

Mga katangian ng cosine function:

• domain ng kahulugan: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ang pinakamaliit na positibong panahon: T \u003d 2 π;
• saklaw: y ∈ - 1 ; isa ;
• ang function na ito ay pantay, dahil y (- x) = y (x) ;
• ang function ay tumataas para sa x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z at bumababa para sa x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• ang cosine function ay may lokal na maxima sa mga puntos na 2 π · k ; 1 , k ∈ Z at lokal na minima sa mga puntos na π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• ang cosine function ay malukong kapag x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z at matambok kapag x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• Ang mga inflection point ay may mga coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• walang asymptotes.

1. Tangent function: y = t g (x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag tangentoid.

Kahulugan 20

Mga katangian ng tangent function:

• domain ng kahulugan: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , kung saan ang k ∈ Z (Z ay ang hanay ng mga integer);
• Ang pag-uugali ng tangent function sa hangganan ng domain ng kahulugan lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Kaya, ang mga linyang x = π 2 + π · k k ∈ Z ay mga patayong asymptotes;
• nawawala ang function kapag x = π k para sa k ∈ Z (Z ang set ng integers);
• saklaw: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
• ang function ay tumataas sa - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• ang padaplis function ay malukong para sa x ∈ [ π · k ; π 2 + π k), k ∈ Z at matambok para sa x ∈ (- π 2 + π k ;π k ] , k ∈ Z ;
• Ang mga inflection point ay may mga coordinate π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Cotangent function: y = c t g (x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag na cotangentoid. .

Kahulugan 21

Mga katangian ng cotangent function:

• domain ng kahulugan: x ∈ (π k ; π + π k) , kung saan k ∈ Z (Z ang set ng integers);

Pag-uugali ng cotangent function sa hangganan ng domain ng kahulugan lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Kaya, ang mga linyang x = π k k ∈ Z ay mga patayong asymptotes;

• ang pinakamaliit na positibong panahon: T \u003d π;
• nawawala ang function kapag x = π 2 + π k para sa k ∈ Z (Z ang set ng integers);
• saklaw: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
• ang function ay bumababa para sa x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• ang cotangent function ay malukong para sa x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z at matambok para sa x ∈ [ - π 2 + π k ; π k), k ∈ Z ;
• Ang mga inflection point ay may mga coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• walang mga pahilig at pahalang na asymptotes.

Ang inverse trigonometriko function ay ang arcsine, arccosine, arctangent, at arccotangent. Kadalasan, dahil sa pagkakaroon ng prefix na "arc" sa pangalan, ang mga inverse trigonometric function ay tinatawag na arc function. .

1. Arcsine function: y = a r c sin (x)

Kahulugan 22

Mga katangian ng arcsine function:

• kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
• ang arcsine function ay malukong para sa x ∈ 0; 1 at convexity para sa x ∈ - 1 ; 0;
• Ang mga inflection point ay may mga coordinate (0 ; 0), ito rin ang zero ng function;
• walang asymptotes.

1. Arccosine function: y = a r c cos (x)

Kahulugan 23

Mga katangian ng pag-andar ng Arccosine:

• domain ng kahulugan: x ∈ - 1 ; isa ;
• saklaw: y ∈ 0 ; π;
• ang function na ito ay may pangkalahatang anyo (ni kahit na o kakaiba);
• ang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan;
• ang arccosine function ay malukong para sa x ∈ - 1 ; 0 at convexity para sa x ∈ 0 ; isa ;
• Ang mga inflection point ay may mga coordinate 0 ; π2;
• walang asymptotes.

1. Arctangent function: y = a r c t g (x)

Kahulugan 24

Mga katangian ng pag-andar ng Arctangent:

• domain ng kahulugan: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• saklaw: y ∈ - π 2 ; π2;
• kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
• ang pag-andar ay tumataas sa buong domain ng kahulugan;
• ang arctangent function ay malukong para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] at matambok para sa x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• ang inflection point ay may mga coordinate (0; 0), ito rin ang zero ng function;
• Ang mga pahalang na asymptote ay mga tuwid na linya y = - π 2 para sa x → - ∞ at y = π 2 para sa x → + ∞ (ang mga asymptotes sa figure ay mga berdeng linya).

1. Arc cotangent function: y = a r c c t g (x)

Kahulugan 25

Mga katangian ng pag-andar ng arc cotangent:

• domain ng kahulugan: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• saklaw: y ∈ (0 ; π);
• ang function na ito ay isang pangkalahatang uri;
• ang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan;
• ang arc cotangent function ay malukong para sa x ∈ [ 0 ; + ∞) at convexity para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• ang inflection point ay may mga coordinate 0; π2;
• Ang mga pahalang na asymptotes ay mga tuwid na linya y = π sa x → - ∞ (berdeng linya sa drawing) at y = 0 sa x → + ∞.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kapag naunawaan mo na talaga kung ano ang isang function (maaaring kailangan mong basahin ang aralin nang higit sa isang beses), magagawa mong lutasin ang mga problema sa mga function nang may higit na kumpiyansa.

Sa araling ito, susuriin natin kung paano lutasin ang mga pangunahing uri ng mga problema sa function at mga function graph.

Paano makuha ang halaga ng isang function

Isaalang-alang natin ang gawain. Ang function ay ibinibigay ng formula " y \u003d 2x - 1"

1. Kalkulahin ang " y"Kailan" x \u003d 15 "
2. Hanapin ang value na " x", Kung saan ang value na " y "ay katumbas ng" −19 ".

Upang makalkula ang " y"With" x \u003d 15"Ito ay sapat na upang palitan ang kinakailangang numerical value sa function sa halip na" x".

Ang entry ng solusyon ay ganito:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Upang mahanap ang " x"Ayon sa kilalang" y", Kinakailangang palitan ang isang numerical na halaga sa halip na" y "sa formula ng function.

Iyon ay, ngayon, sa kabaligtaran, upang maghanap para sa " x"Papalitan namin sa function" y \u003d 2x - 1 "Sa halip na" y ", ang numero" −19".

−19 = 2x − 1

Nakakuha kami ng isang linear na equation na may hindi kilalang "x", na nalutas ayon sa mga patakaran para sa paglutas ng mga linear equation.

Tandaan!

Huwag kalimutan ang tungkol sa panuntunan sa paglipat sa mga equation.

Kapag naglilipat mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan (at vice versa), ang titik o numero ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Tulad ng paglutas ng isang linear equation, upang mahanap ang hindi alam, ngayon kailangan nating mag-multiply magkabilang kaliwa at kanang bahagi sa "−1" para baguhin ang sign.

-2x = 18 | (−1)
2x = −18

Ngayon, hatiin natin ang kaliwa at kanang bahagi ng "2" upang mahanap ang "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Paano suriin kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa isang function

Isaalang-alang natin ang gawain. Ang function ay ibinibigay ng formula na "f(x) = 2 − 5x".

Totoo ba ang pagkakapantay-pantay na "f(−2) = −18"?

Upang masuri kung totoo ang pagkakapantay-pantay, kailangan mong palitan ang numerical value na “x = −2" sa function na " f (x) \u003d 2 - 5x"At ihambing sa kung ano ang nangyayari sa mga kalkulasyon.

Mahalaga!

Kapag pinalitan mo ang isang negatibong numero para sa "x", tiyaking ilakip ito sa mga bracket.

Hindi tama

Tama

Sa tulong ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang "f(−2) = 12".

Nangangahulugan ito na ang "f(−2) = −18" para sa function na "f(x) = 2 − 5x" ay hindi wastong pagkakapantay-pantay.

Paano suriin kung ang isang punto ay kabilang sa isang graph ng isang function

Isaalang-alang ang function na " y \u003d x 2 −5x + 6"

Kinakailangang malaman kung ang puntong may mga coordinate (1; 2) ay kabilang sa graph ng function na ito.

Para sa gawaing ito, hindi na kailangang mag-plot ng isang naibigay na function.

Tandaan!

Upang matukoy kung ang isang punto ay kabilang sa isang function, sapat na upang palitan ang mga coordinate nito sa function (coordinate kasama ang axis "Ox" sa halip na "x" at ang coordinate kasama ang axis "Oy" sa halip na "y").

Kung ito ay gagana tunay na pagkakapantay-pantay, kaya ang punto ay kabilang sa function.

Balik tayo sa ating gawain. Palitan sa function na "y \u003d x 2 - 5x + 6" ang mga coordinate ng punto (1; 2).

Sa halip na " x"Pinapalitan namin" 1". Sa halip na " y"Kapalit" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (tama)

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang punto na may mga coordinate (1; 2) ay kabilang sa ibinigay na function.

Ngayon suriin natin ang punto gamit ang mga coordinate (0; 1) . Nabibilang ba siya
mga function na "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

Sa halip na "x", palitan natin ang "0". Sa halip na " y"Kapalit" 1».

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (mali)

Sa kasong ito, hindi namin nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na ang punto na may mga coordinate (0; 1) ay hindi kabilang sa function na " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Paano makakuha ng mga coordinate ng function point

Mula sa anumang function graph, maaari mong kunin ang mga coordinate ng isang punto. Pagkatapos ay kailangan mong tiyakin na kapag pinapalitan ang mga coordinate sa formula ng function, ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Isaalang-alang ang function na "y(x) = −2x + 1". Nagawa na natin ang iskedyul nito sa nakaraang aralin.

Hanapin natin sa graph ng function na " y (x) \u003d -2x + 1", na katumbas ng" y"Para sa x \u003d 2.

Upang gawin ito, mula sa halagang " 2"Sa axis" Ox", Gumuhit ng patayo sa graph ng function. Mula sa punto ng intersection ng patayo at ang graph ng function, gumuhit ng isa pang patayo sa axis na "Oy".

Ang resultang halaga " −3"Sa axis" Oy"At ang magiging nais na halaga" y».

Siguraduhin natin na nakuha natin nang tama ang mga coordinate ng punto para sa x = 2
sa function na "y(x) = −2x + 1".

Upang gawin ito, pinapalitan namin ang x \u003d 2 sa formula ng function na "y (x) \u003d -2x + 1". Kung iguguhit natin nang tama ang perpendicular, dapat din tayong magtapos sa y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Kapag nagkalkula, nakuha din namin ang y = −3.

Nangangahulugan ito na tama naming natanggap ang mga coordinate mula sa graph ng function.

Mahalaga!

Siguraduhing suriin ang lahat ng mga coordinate ng punto mula sa function graph sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng "x" sa function.

Kapag pinapalitan ang numeric na halaga na "x" sa function, ang resulta ay dapat na parehong halaga" y", na nakuha mo sa tsart.

Kapag kumukuha ng mga coordinate ng mga puntos mula sa graph ng function, malaki ang posibilidad na magkamali ka, dahil Ang pagguhit ng isang patayo sa mga palakol ay isinasagawa "sa pamamagitan ng mata".

Ang pagpapalit lamang ng mga halaga sa isang formula ng function ay nagbibigay ng tumpak na mga resulta.