Malamang na solusyon ng pigura sa proseso ng pakikipag-ugnay. Geometric na kahulugan ng posibilidad ng isang random na kaganapan

Puna 1.4. Kung kailan g at G- mga segment ng tuwid na linya, ang posibilidad ng isang kaganapan A ay katumbas ng ratio ng mga haba ng mga segment na ito. Kung ang g at G ay mga katawan sa tatlong-dimensional na espasyo, pagkatapos ay ang posibilidad ng isang kaganapan A ay matatagpuan bilang ratio ng mga volume ng mga katawan na ito. Samakatuwid, sa pangkalahatang kaso

saan mes ay ang sukatan ng espasyong isinasaalang-alang.

Puna 1.5. Nalalapat ang geometric na kahulugan ng probabilidad sa mga pagsubok na may walang katapusang bilang ng mga resulta.

Halimbawa 1.13. Dalawang tao ang sumang-ayon na magkita sa isang tiyak na lugar sa pagitan ng 12 at 13 oras, at ang bawat tao na dumating sa pulong ay naghihintay para sa isa pa sa loob ng 20 minuto, ngunit hindi hihigit sa 13.00, pagkatapos nito ay umalis siya. Hanapin ang posibilidad na makilala ang mga taong ito kung ang bawat isa sa kanila ay dumating sa isang random na sandali ng oras, hindi coordinated sa sandali ng pagdating ng isa.

Desisyon. Hayaan ang kaganapan A- naganap ang pagpupulong. Tukuyin ng x- ang oras ng pagdating ng unang tao sa pulong, y- oras ng pagdating ng pangalawang tao. Pagkatapos ang hanay ng lahat ng posibleng resulta ng karanasan ay ang hanay ng lahat ng pares ( x, y), saan x, yО . At ang hanay ng mga kanais-nais na resulta ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay

|x – y| £20 (min).

Pareho sa mga set na ito ay walang katapusan, kaya ang klasikal na kahulugan para sa pagkalkula ng probabilidad ay hindi mailalapat. Gamitin natin ang geometric na kahulugan. Sa fig. Ipinapakita ng 1.2 ang mga hanay ng lahat ng posibleng resulta (square OKMT) at mga kanais-nais na resulta (hexagon OSLMNR). Gamit ang Depinisyon 1.13, nakukuha natin

Kabuuan at produkto ng mga pangyayari. Theorems sa posibilidad ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan

Kahulugan 1.14.Ang kabuuan ng mga pangyayari A at B pangalanan ang kaganapan na binubuo sa hitsura ng hindi bababa sa isa sa mga ito. pagtatalaga: A + B.

Kahulugan 1.15.Produkto ng mga pangyayari A at B tawag sa isang pangyayaring binubuo ng sabay-sabay na paglitaw ng mga pangyayaring ito sa parehong karanasan. pagtatalaga: AB.

Halimbawa 1.14. Mula sa isang deck na may 36 na card, isang card ang iginuhit nang random. Ipakilala natin ang notasyon: A- ang iginuhit na card ay naging isang babae, B- naglabas sila ng card of spades. Maghanap ng mga posibilidad ng mga kaganapan A + B at AB.

Desisyon. Kaganapan A + B nangyayari kung ang iginuhit na card ay mga pala o isang reyna. Nangangahulugan ito na ang kaganapang isinasaalang-alang ay pinapaboran ng 13 resulta (alinman sa 9 na baraha ng mga spade, alinman sa 3 reyna ng isa pang suit) sa 36 na posible. Gamit ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ng isang random na kaganapan, nakukuha namin

Kaganapan AB nangyayari kung ang iginuhit na card ay mga pala at isang reyna. Samakatuwid, ang kaganapan AB pinapaboran lamang ang isang resulta ng karanasan (Queen of Spades) sa 36 na posible. Isinasaalang-alang ang Depinisyon 1.11, nakukuha namin

Puna 1.6. Ang mga kahulugan ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan ay maaaring palawigin sa anumang bilang ng mga kaganapan.

Kapag kinakalkula ang posibilidad ng kabuuan at produkto ng mga kaganapan, maginhawang gamitin ang mga sumusunod na pahayag.

Teorama 1.1. Ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan, kahit na alin, ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng mga kaganapang ito.

P( A+B)=P( A)+P( B).

Corollary 1.1. Ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa ilang magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan, kahit alin man, ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

P( A 1 +A 2 +…+Isang n)=P( A 1)+P( A 2)+…+P( Isang n).

Corollary 1.2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan A 1 , A 2 ,…, Isang n, na bumubuo ng isang kumpletong grupo, ay katumbas ng isa

P( A 1)+P( A 2)+…+P( Isang n)=1.

Corollary 1.3. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan

Ang isang random na kaganapan ay tinukoy bilang isang kaganapan na, bilang isang resulta ng karanasan, ay maaaring o hindi maaaring mangyari. Kung kapag kinakalkula ang posibilidad ng isang kaganapan, walang ibang mga paghihigpit (maliban sa mga pang-eksperimentong kundisyon) ang ipinataw, kung gayon ang gayong posibilidad ay tinatawag na walang kondisyon. Kung ang iba pang mga karagdagang kondisyon ay ipinataw, kung gayon ang posibilidad ng kaganapan ay tinatawag na kondisyon.

Kahulugan 1.16.Kondisyon na maaaring mangyari P B(A) (o P( A|B)) ay tinatawag na posibilidad ng isang kaganapan A, kinakalkula sa ilalim ng pagpapalagay na ang kaganapan B nangyari na.

Gamit ang konsepto ng conditional probability, nagbibigay kami ng kahulugan ng pagsasarili ng mga kaganapan na naiiba sa ibinigay na naunang.

Kahulugan 1.17. Ang Kaganapan A ay independiyente sa kaganapan B kung ang pagkakapantay-pantay

Sa mga praktikal na katanungan, upang matukoy ang pagsasarili ng mga kaganapang ito, ang isa ay bihirang bumaling sa pagsuri sa katuparan ng mga pagkakapantay-pantay (1.3) at (1.4) para sa kanila. Kadalasan para dito gumagamit sila ng mga intuitive na pagsasaalang-alang batay sa karanasan.

Kahulugan 1.18. Ilang mga kaganapan ang tinatawag pairwise independent kung ang bawat isa sa kanila ay independyente.

Kahulugan 1.19. Ilang mga kaganapan ang tinatawag sama-samang independyente kung sila ay magkapares na independyente at ang bawat kaganapan at lahat ng posibleng produkto ng iba ay independyente.

Teorama 1.2. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng dalawang kaganapan ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa palagay na ang unang kaganapan ay naganap na.

Depende sa pagpili ng pagkakasunod-sunod ng mga kaganapan, ang Theorem 1.2 ay maaaring isulat bilang

P( AB) = P( A)P A(B)

P( AB) = P( B)P B(A).

Corollary 1.4. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng ilang mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng posibilidad ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng mga kondisyon na probabilidad ng lahat ng iba pa, at ang posibilidad ng bawat kasunod na kaganapan ay kinakalkula sa pag-aakala na ang lahat ng nakaraang mga kaganapan ay lumitaw na.

Sa kasong ito, ang pagkakasunud-sunod kung saan matatagpuan ang mga kaganapan ay maaaring mapili sa anumang pagkakasunud-sunod.

Halimbawa 1.15. Ang isang urn ay naglalaman ng 6 na puti at 3 itim na bola. Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa urn hanggang lumitaw ang isang itim. Hanapin ang posibilidad na ang ikaapat na withdrawal ay kailangang isagawa kung ang mga bola ay hindi ibinalik sa urn.

Desisyon. Sa eksperimento na isinasaalang-alang, kinakailangang isagawa ang ikaapat na pag-alis kung ang unang tatlong bola ay naging puti. Tukuyin ng A i isang kaganapan na i-Ang paglabas ng puting bola ay lilitaw ( i= 1, 2, 3). Ang problema ay upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan A 1 A 2 A 3 . Dahil ang mga iginuhit na bola ay hindi bumalik, ang mga kaganapan A 1 , A 2 at A 3 ay umaasa (bawat nakaraan ay nakakaapekto sa posibilidad ng susunod). Upang kalkulahin ang posibilidad, ginagamit namin ang Corollary 1.4 at ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ng isang random na kaganapan, lalo na.

Corollary 1.5. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng dalawang independiyenteng mga kaganapan ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad

P( AB)=P( A)P( B).

Corollary 1.6. Ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng ilang mga kaganapan na independiyente sa pinagsama-samang ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad.

P( A 1 A 2 …Isang n)=P( A 1)P( A 2)…P( Isang n).

Halimbawa 1.16. Lutasin ang problema mula sa halimbawa 1.15, sa pag-aakalang pagkatapos ng bawat pag-alis ay ibabalik ang mga bola sa urn.

Desisyon. Tulad ng dati (Halimbawa 1.15), kailangan nating hanapin ang P( A 1 A 2 A 3). Gayunpaman, mga kaganapan A 1 , A 2 at A 3 ay independyente sa pinagsama-samang, dahil ang komposisyon ng urn ay pareho para sa bawat pag-alis at, samakatuwid, ang resulta ng isang pagsubok ay hindi nakakaapekto sa iba. Samakatuwid, upang kalkulahin ang posibilidad, ginagamit namin ang Corollary 1.6 at Definition 1.11 ng probabilidad ng isang random na kaganapan, lalo na.

P( A 1 A 2 A 3)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)= = .

Teorama 1.3. Ang posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang walang posibilidad ng magkasanib na pangyayari.

Puna 1.7. Kapag gumagamit ng formula (1.5), dapat isaisip na ang mga kaganapan A at B maaaring umaasa o malaya.

Halimbawa 1.17. Dalawang bumaril ang nagpaputok ng tig-iisang putok sa target. Ito ay kilala na ang posibilidad na matamaan ang target para sa isa sa mga shooters ay 0.6, at para sa isa pa - 0.7. Hanapin ang posibilidad na

a) parehong bumaril ang tumama sa target (kaganapan D);

b) isa lamang sa mga bumaril ang tatama sa target (event E);

c) hindi bababa sa isa sa mga shooters ang tamaan ang target (ang kaganapan F).

Desisyon. Ipakilala natin ang notasyon: A- ang unang tagabaril ay tumama sa target, B Tinamaan ng pangalawang tagabaril ang target. Sa pamamagitan ng kondisyon P( A) = 0.6 at P( B) = 0.7. Sasagutin natin ang mga tanong.

a) Kaganapan D mangyayari kung may pangyayari AB. Dahil ang mga pangyayari A at B ay independyente, kung gayon, isinasaalang-alang ang Corollary 1.5, nakukuha namin

P( D) = P( AB) = P( A)P( B) = 0.6×0.7 = 0.42.

b) Kaganapan E mangyayari kung ang isa sa mga pangyayari ay nangyari A o B. Ang mga kaganapang ito ay hindi magkatugma, at ang mga kaganapan A() at B() ay independyente, samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1.1, Corollaries 1.3 at 1.5, mayroon kaming

P( E) = P( A+ B) = P( A) + P( B) =

P( A)P() + P()P( B) = 0.6×0.3 + 0.4×0.7 = 0.46.

c) Kaganapan F magaganap kung mangyari man lang ang isa sa mga pangyayari A o B. Ibinahagi ang mga kaganapang ito. Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1.3, mayroon tayo

P( F) = P( A+B) = P( A) + P( B) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88.

Tandaan na ang posibilidad ng isang kaganapan F maaaring iba ang kalkulasyon. Namely

P( F) = P( A+ B + AB) = P( A) + P( B) + P( AB) = 0,88

P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0.4×0.3 = 0.88.

Formula ng Kabuuang Probability. Mga formula ng Bayes

Hayaan ang kaganapan A maaaring mangyari kung ang isa sa mga hindi tugmang kaganapan ay nangyari B 1 , B 2 ,…, B n, na bumubuo ng isang kumpletong grupo. Dahil hindi alam nang maaga kung alin sa mga kaganapang ito ang magaganap, tinawag ang mga ito mga hypotheses.

Tantyahin ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap A bago ang eksperimento, maaari mong gamitin ang sumusunod na pahayag.

Teorama 1.4. Probability ng Kaganapan A, na maaaring mangyari lamang kung mangyari ang isa sa mga hindi tugmang kaganapan B 1 , B 2 ,…, B n, na bumubuo ng isang kumpletong grupo, ay katumbas ng

Formula (1.6) ay tinatawag kabuuang mga pormula ng posibilidad.

Halimbawa 1.18. Upang makapasa sa pagsusulit, ang mga mag-aaral ay kailangang maghanda ng 30 katanungan. Sa 25 mag-aaral, 10 ang naghanda ng lahat ng tanong, 8 - 25 tanong, 5 - 20 tanong at 2 - 15 tanong. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na napiling mag-aaral ay sasagot sa ibinigay na tanong.

Desisyon. Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: A- isang kaganapan na binubuo ng katotohanan na sinagot ng isang random na tinatawag na mag-aaral ang tanong na ibinibigay, B 1 - ang random na tinatawag na mag-aaral ay alam ang mga sagot sa lahat ng mga tanong, B 2 - ang random na tinatawag na mag-aaral ay alam ang mga sagot sa 25 tanong, B 3 - ang random na tinatawag na mag-aaral ay alam ang mga sagot sa 20 tanong at B 4 - ang random na tinatawag na mag-aaral ay alam ang mga sagot sa 15 tanong. Tandaan na ang mga pangyayari B 1 ,B 2 ,B 3 at B 4 ay hindi magkatugma, bumuo ng isang kumpletong grupo, at ang kaganapan A maaaring mangyari kung mangyari ang isa sa mga kaganapang ito. Samakatuwid, upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan A maaari nating gamitin ang kabuuang probability formula (1.6):

Ayon sa kondisyon ng problema, alam ang mga probabilidad ng mga hypotheses

P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) =

at conditional probabilities (mga probabilidad para sa mga mag-aaral ng bawat isa sa apat na grupo na sagutin ang tanong)

1, = , = , = .

kaya,

P( A) = ×1 + × + × + × = .

Ipagpalagay na ang isang pagsubok ay isinagawa, bilang isang resulta kung saan ang isang kaganapan ay naganap A, at alin sa mga pangyayari B i (i =1, 2,…, n) naganap ay hindi alam ng mananaliksik. Upang matantya ang mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos malaman ang resulta ng pagsusulit, maaari mong gamitin Mga formula ng Bayes

Dito P( A) ay kinakalkula ng kabuuang pormula ng posibilidad (1.6).

Halimbawa 1.19. Sa isang partikular na pabrika, ang makina I ay gumagawa ng 40% ng lahat ng output, at ang makina II ay gumagawa ng 60%. Sa karaniwan, 9 sa 1,000 unit na ginawa ng machine I ang may depekto, at ang machine II ay may 4 sa 500 na depektong unit. Ano ang posibilidad na ito ay ginawa ng makina II?

Desisyon. Ipakilala natin ang notasyon: A- isang kaganapan na binubuo sa katotohanan na ang isang yunit ng produksyon, na pinili nang random mula sa isang pang-araw-araw na produksyon, ay naging isang depekto, B i- isang yunit ng produksyon, pinili nang random, ay ginawa ng isang makina i(i= I, II). Mga kaganapan B 1 at B 2 ay hindi tugma at bumubuo ng isang kumpletong grupo, at ang kaganapan A maaari lamang mangyari bilang resulta ng paglitaw ng isa sa mga kaganapang ito. Ito ay kilala na ang kaganapan A nangyari (isang random na napiling yunit ng produksyon ay naging isang depekto). Alin sa mga pangyayari B 1 o B 2 sa parehong oras, ito ay hindi kilala, dahil hindi alam kung saan sa dalawang makina ginawa ang napiling item. Pagtatantya ng posibilidad ng isang hypothesis B 2 ay maaaring isagawa gamit ang Bayes formula (1.7):

kung saan ang posibilidad ng random na pagpili ng isang may sira na produkto ay kinakalkula ng kabuuang probability formula (1.6):

Isinasaalang-alang na, ayon sa kondisyon ng problema

P( B 1) = 0.40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008,

Pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng pagsubok

Sa mga aktibidad na pang-agham at praktikal, patuloy na kinakailangan na magsagawa ng paulit-ulit na mga pagsubok sa ilalim ng mga katulad na kondisyon. Bilang isang patakaran, ang mga resulta ng mga nakaraang pagsubok ay hindi nakakaapekto sa mga kasunod. Ang pinakasimpleng uri ng naturang mga pagsubok ay napakahalaga, kapag sa bawat isa sa mga pagsubok ay may ilang kaganapan A maaaring lumitaw na may parehong posibilidad, at ang posibilidad na ito ay nananatiling pareho, anuman ang mga resulta ng mga nauna o kasunod na mga pagsubok. Ang ganitong uri ng pagsubok ay unang ginalugad ni Jacob Bernoulli at samakatuwid ay tinawag Bernoulli scheme.

Bernoulli scheme. Hayaan itong mabuo n mga independyenteng pagsubok sa ilalim ng mga katulad na kundisyon (o ang parehong eksperimento ay isinasagawa n beses), sa bawat isa kung saan ang kaganapan A maaaring lumitaw o hindi. Sa kasong ito, ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan A sa bawat pagsubok ay pareho at pantay p. Samakatuwid, ang posibilidad ng hindi paglitaw ng kaganapan A sa bawat indibidwal na pagsubok ay pare-pareho din at katumbas ng q= 1 - p.

Ang posibilidad na sa ilalim ng mga kundisyong ito ay isang kaganapan A ay magkatotoo nang eksakto k beses (at, samakatuwid, ay hindi maisasakatuparan n – k beses) ay mahahanap ng Bernoulli formula

Sa kasong ito, ang pagkakasunud-sunod ng paglitaw ng kaganapan A sa ipinahiwatig n Ang mga pagsusulit ay maaaring maging arbitrary.

Halimbawa 1.20. Ang posibilidad na ang isang customer ay mangangailangan ng size 41 na sapatos ay 0.2. Hanapin ang posibilidad na sa unang 5 mamimili ng sapatos na ganito ang laki ay kakailanganin: a) isa; b) kahit isa; c) hindi bababa sa tatlo; d) higit sa isa at mas mababa sa apat.

Desisyon. Sa halimbawang ito, ang parehong karanasan (pagpili ng sapatos) ay ginaganap nang 5 beses, at ang posibilidad ng kaganapan ay A- Ang mga sapatos ng ika-41 na laki ay pinili - ito ay pare-pareho at katumbas ng 0.2. Bilang karagdagan, ang resulta ng bawat indibidwal na pagsubok ay hindi nakakaapekto sa iba pang mga eksperimento, dahil. ang mga mamimili ay pumili ng mga sapatos nang nakapag-iisa sa bawat isa. Samakatuwid, mayroon kaming isang pagkakasunud-sunod ng mga pagsubok na isinagawa ayon sa Bernoulli scheme, kung saan n = 5, p = 0,2, q= 0.8. Upang masagot ang mga tanong na ibinigay, kinakailangan upang kalkulahin ang mga probabilidad P 5 ( k). Gumagamit kami ng formula (1.8).

a) P 5 (1) = = 0.4096;

b) P 5 ( k³ 1) = 1 - P 5 ( k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232;

c) P 5 ( k³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0.5792;

d) P 5 (1< k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256.

Ang paggamit ng Bernoulli formula (1.32) para sa malalaking halaga ng n at m ay nagdudulot ng malaking kahirapan, dahil ito ay nagsasangkot ng masalimuot na mga kalkulasyon. Kaya, sa n = 200, m = 116, p = 0.72, ang Bernoulli formula ay nasa anyong P 200 (116) = (0.72) 116 (0.28) 84 . Halos imposibleng kalkulahin ang resulta. Ang pagkalkula ng P n (m) ay nagdudulot din ng mga paghihirap para sa maliliit na halaga ng p (q). May pangangailangan na makahanap ng tinatayang mga formula para sa pagkalkula ng P n (m), na nagbibigay ng kinakailangang katumpakan. Ang ganitong mga pormula ay nagbibigay sa amin ng mga teorema ng limitasyon; naglalaman ang mga ito ng tinatawag na mga asymptotic formula, na, para sa malalaking halaga ng pagsubok, ay nagbibigay ng arbitraryong maliit na kamag-anak na error. Isaalang-alang ang tatlong limit theorems na naglalaman ng asymptotic formula para sa pagkalkula ng binomial probability P n (m) bilang n.

Teorama 1.5. Kung ang bilang ng mga pagsubok ay tumaas nang walang katiyakan (n) at ang posibilidad na p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay bumababa nang walang katiyakan (p), ngunit sa paraang ang kanilang produkto pr ay isang pare-parehong halaga (pr = a = const) , kung gayon ang posibilidad na P n (m) ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay ng limitasyon

Ang expression (1.9) ay tinatawag na asymptotic Poisson formula.

Mula sa pagkakapantay-pantay ng limitasyon (1.9) para sa malaking n at maliit na p ay sumusunod sa tinatayang Poisson formula

Ang formula (1.10) ay ginagamit kapag ang posibilidad na p = const ng tagumpay ay napakaliit, ibig sabihin, ang tagumpay mismo (ang hitsura ng kaganapan A) ay isang bihirang kaganapan (halimbawa, nanalo ng kotse na may tiket sa lottery), ngunit ang bilang ng mga pagsubok n ay malaki, ang average na bilang ng mga tagumpay pr = a bahagyang. Ang tinatayang formula (1.10) ay karaniwang ginagamit kapag n 50, at pr 10.

Ang formula ni Poisson ay nakakahanap ng aplikasyon sa teorya ng pagpila.

Ang isang stream ng mga kaganapan ay isang pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan na nagaganap sa mga random na oras (halimbawa, isang stream ng mga bisita sa isang hairdresser, isang stream ng mga tawag sa isang exchange ng telepono, isang stream ng mga pagkabigo ng elemento, isang stream ng mga subscriber na inihatid, atbp.).

Ang daloy ng mga kaganapan, na may mga katangian ng stationarity, ordinariness at kawalan ng mga kahihinatnan, ay tinatawag na pinakasimpleng (Poisson) na daloy.

Nangangahulugan ang stationarity property na ang posibilidad ng paglitaw ng k mga kaganapan sa isang agwat ng oras ng haba ay nakasalalay lamang sa haba nito (ibig sabihin, hindi nakasalalay sa pinagmulan nito). Dahil dito, ang average na bilang ng mga kaganapan na lumilitaw sa bawat yunit ng oras, ang tinatawag na intensity ng daloy, ay isang pare-parehong halaga: ( t) = .

Ang pag-aari ng ordinaryong ay nangangahulugan na ang kaganapan ay hindi lilitaw sa mga grupo, ngunit isa-isa. Sa madaling salita, ang posibilidad na magkaroon ng higit sa isang pangyayari sa loob ng maliit na yugto ng panahon t ay napakaliit kumpara sa posibilidad na mangyari ang isang pangyayari lamang (halimbawa, ang daloy ng mga bangka na papalapit sa pier ay karaniwan).

Ang pag-aari ng kawalan ng kahihinatnan ay nangangahulugan na ang posibilidad ng paglitaw k ng mga kaganapan sa anumang agwat ng oras ng haba ay hindi nakasalalay sa kung gaano karaming mga kaganapan ang lumitaw sa anumang iba pang segment na hindi sumasalubong dito (sinasabi nila: ang "hinaharap" ng ang daloy ay hindi nakasalalay sa "nakaraan", halimbawa, ang daloy ng mga tao, kasama sa supermarket).

Mapapatunayan na ang posibilidad ng paglitaw ng m mga kaganapan ng pinakasimpleng daloy sa isang oras ng tagal t ay tinutukoy ng Poisson formula.

Gamitin ang Bernoulli formula para sa malalaking halaga n mahirap sapat, dahil sa kasong ito, ang isa ay kailangang magsagawa ng mga operasyon sa malalaking numero. Maaaring gawing simple ang mga kalkulasyon gamit ang mga factorial table o gamit ang mga teknikal na paraan (calculator, computer). Ngunit sa kasong ito, ang mga error ay naipon sa proseso ng pagkalkula. Samakatuwid, ang huling resulta ay maaaring mag-iba nang malaki mula sa tunay. Kailangang mag-apply tinatayang (asymptotic) mga formula.

Puna 1.8. Function g(x) ay tinatawag asymptotic approximation ng function f(x), kung.

Teorama 1.6. (Lokal na Moivre-Laplace theorem) Kung ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba sa 0 at 1, at ang bilang ng mga independiyenteng pagsubok ay sapat na malaki, pagkatapos ay ang posibilidad na ang kaganapan A lalabas sa n mga pagsubok na isinagawa ayon sa Bernoulli scheme, eksakto k beses, humigit-kumulang katumbas (mas tumpak, mas n)

Ang graph ng function ay may form na ipinapakita sa Fig. 1.3.

Dapat itong isaalang-alang na:

a) ang function na φ(x) ay pantay, ibig sabihin, φ(-x) = φ(x);

Para sa function j(x) ang mga talahanayan ng mga halaga ay pinagsama-sama para sa x³ 0. Para sa x< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(x) ay pantay.

Teorama 1.7. (Moivre-Laplace integral theorem) Kung ang posibilidad p kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba mula sa 0 at 1, pagkatapos ay ang posibilidad na P n(k 1 , k 2) na ang kaganapan A lalabas sa n mga pagsubok na isinagawa ayon sa Bernoulli scheme, mula sa k 1 hanggang k 2 beses, humigit-kumulang katumbas

Dito z 1 at z 2 ay tinukoy sa (1.14).

Halimbawa 1.21. Ang pagtubo ng binhi ay tinatantya na may posibilidad na 0.85. Hanapin ang posibilidad na sa 500 na inihasik na binhi ay may sisibol: a) 425 na binhi; b) mula 425 hanggang 450 na buto.

Desisyon. Dito, tulad ng sa nakaraang halimbawa, mayroong isang pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng pagsubok na isinagawa ayon sa Bernoulli scheme (eksperimento - pagtatanim ng isang buto, kaganapan A- sumibol ang buto n = 500, p = 0,85, q= 0.15. Dahil ang bilang ng mga pagsubok ay malaki ( n> 100), ginagamit namin ang mga asymptotic na formula (1.10) at (1.13) upang kalkulahin ang mga kinakailangang probabilidad.

b) »F(3.13)–F(0)»0.49.

Kung ang bilang ng mga pagsubok n, na isinasagawa ayon sa Bernoulli scheme, ay malaki, at ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A sa bawat isa sa kanila ay maliit ( p£ 0,1), kung gayon ang asymptotic formula ng Laplace ay hindi angkop. Sa kasong ito, gamitin asymptotic Poisson formula

kung saan l = np.

Halimbawa 1.22. Nakatanggap ang tindahan ng 1,000 bote ng mineral water. Ang posibilidad na masira ang isang bote sa pagpapadala ay 0.003. Hanapin ang posibilidad na ang tindahan ay makakatanggap ng mga basag na bote: a) eksaktong 2; b) mas mababa sa 2; c) kahit isa.

Desisyon. Sa problemang ito, mayroong isang pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng pagsubok na isinagawa ayon sa Bernoulli scheme (eksperimento - pagsuri sa isang bote para sa integridad, kaganapan A- nabasag ang bote n = 1000, p = 0,003, q= 0.997. kasi ang bilang ng mga pagsubok ay malaki ( n> 100), at ang posibilidad p maliit ( p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l=3.

a) = 4.5 e-3 » 0.224;

b) P 1000 ( k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0.199;

c) P 1000 ( k³ 1) = 1 - P 1000 ( k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0.95.

Ang lokal at integral na Moivre–Laplace theorems ay mga corollaries ng isang mas pangkalahatan Central limit theorem. Maraming tuluy-tuloy na random na variable ang mayroon normal pamamahagi. Ang sitwasyong ito ay higit na tinutukoy ng katotohanan na ang pagbubuo ng isang malaking bilang ng mga random na variable na may napakakaibang mga batas sa pamamahagi ay humahantong sa normal na distribusyon ng kabuuan na ito.

Teorama . Kung ang isang random na variable ay ang kabuuan ng isang napakalaking bilang ng magkaparehong independiyenteng mga random na variable, ang impluwensya ng bawat isa ay bale-wala sa buong kabuuan, kung gayon ito ay may distribusyon na malapit sa normal. .

Ang central limit theorem ay may malaking praktikal na kahalagahan.

Ipagpalagay na ang ilang tagapagpahiwatig ng ekonomiya ay tinutukoy, halimbawa, pagkonsumo ng kuryente sa lungsod para sa taon. Ang halaga ng kabuuang pagkonsumo ay ang kabuuan ng pagkonsumo ng enerhiya ng mga indibidwal na mamimili, na may mga random na halaga na may iba't ibang mga pamamahagi. Ang teorama ay nagsasaad na sa kasong ito, anuman ang pamamahagi ng mga indibidwal na bahagi, ang pamamahagi ng resultang pagkonsumo ay magiging malapit sa normal.