Mga uri ng simpleng fraction at integral mula sa kanila. Pagsasama-sama ng mga simpleng (elementarya) na praksyon

Tulad ng nabanggit ko na, sa integral calculus ay walang maginhawang formula para sa pagsasama ng isang fraction. At samakatuwid, mayroong isang malungkot na kalakaran: mas "magarbong" ang fraction, mas mahirap hanapin ang integral mula dito. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang isa ay kailangang gumamit ng iba't ibang mga trick, na tatalakayin ko ngayon. Maaaring gamitin kaagad ng mga handa na mambabasa talaan ng nilalaman:

• Ang paraan ng subsuming sa ilalim ng sign ng differential para sa mga simpleng fraction

Paraan ng Artipisyal na Pagbabagong Numerator

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng paraan, ang itinuturing na integral ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na pamamaraan, na nagsasaad , ngunit ang solusyon ay mas mahaba.

Halimbawa 2

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Dapat tandaan na dito hindi na gagana ang variable replacement method.

Mahalaga ang atensyon! Ang mga halimbawa No. 1, 2 ay karaniwan at karaniwan. Sa partikular, ang mga naturang integral ay madalas na lumitaw sa kurso ng paglutas ng iba pang mga integral, lalo na, kapag pinagsama ang mga hindi makatwiran na pag-andar (mga ugat).

Ang pamamaraan sa itaas ay gumagana din sa kaso kung ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator ay mas malaki kaysa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator.

Halimbawa 3

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.

Magsimula tayo sa numerator.

Ang algorithm ng pagpili ng numerator ay katulad nito:

1) Sa numerator kailangan kong ayusin , ngunit doon . Anong gagawin? Isinama ko sa mga bracket at i-multiply sa: .

2) Ngayon sinusubukan kong buksan ang mga bracket na ito, ano ang mangyayari? . Hmm ... mas mabuti na, ngunit walang deuce sa simula sa numerator. Anong gagawin? Kailangan mong i-multiply sa:

3) Pagbukas muli ng mga bracket: . At narito ang unang tagumpay! Kailangan pala! Ngunit ang problema ay lumitaw ang isang karagdagang termino. Anong gagawin? Upang hindi magbago ang expression, dapat kong idagdag ang pareho sa aking pagbuo:
. Naging mas madali ang buhay. Posible bang mag-organisa muli sa numerator?

4) Kaya mo. Subukan namin: . Palawakin ang mga bracket ng pangalawang termino:
. Paumanhin, ngunit mayroon talaga ako sa nakaraang hakbang, at hindi . Anong gagawin? Kailangan nating i-multiply ang pangalawang termino sa pamamagitan ng:

5) Muli, para sa pagpapatunay, binubuksan ko ang mga bracket sa ikalawang termino:
. Ngayon ay normal na: nakuha mula sa huling pagbuo ng talata 3! Ngunit muli mayroong isang maliit na "ngunit", isang dagdag na termino ay lumitaw, na nangangahulugan na dapat kong idagdag sa aking expression:

Kung ang lahat ay tapos na nang tama, pagkatapos ay kapag binubuksan ang lahat ng mga bracket, dapat nating makuha ang orihinal na numerator ng integrand. Sinusuri namin:
Mabuti.

kaya:

handa na. Sa huling termino, inilapat ko ang paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng kaugalian.

Kung mahahanap natin ang derivative ng sagot at dalhin ang expression sa isang common denominator, kung gayon ay eksaktong makukuha natin ang orihinal na integrand. Ang itinuturing na paraan ng pagpapalawak sa isang kabuuan ay walang iba kundi ang reverse action upang dalhin ang expression sa isang common denominator.

Ang algorithm ng pagpili ng numerator sa mga naturang halimbawa ay pinakamahusay na ginanap sa isang draft. Sa ilang mga kasanayan, gagana rin ito sa pag-iisip. Naaalala ko ang isang record time nang gumawa ako ng isang seleksyon para sa ika-11 na kapangyarihan, at ang pagpapalawak ng numerator ay tumagal ng halos dalawang linya ng Werd.

Halimbawa 4

Hanapin ang hindi tiyak na integral. Magpatakbo ng tseke.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Ang paraan ng subsuming sa ilalim ng sign ng differential para sa mga simpleng fraction

Lumipat tayo sa susunod na uri ng mga fraction.
, , , (ang mga coefficient at hindi katumbas ng zero).

Sa katunayan, ang ilang mga kaso na may arcsine at arctangent ay nadulas na sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral. Ang ganitong mga halimbawa ay malulutas sa pamamagitan ng pagdadala ng function sa ilalim ng tanda ng kaugalian at pagkatapos ay pagsasama-sama gamit ang talahanayan. Narito ang ilang mas karaniwang mga halimbawa na may mahaba at mataas na logarithm:

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Dito ipinapayong kunin ang isang talahanayan ng mga integral at sundin kung anong mga formula at bilang nagaganap ang pagbabago. Tandaan, Paano at bakit ang mga parisukat ay naka-highlight sa mga halimbawang ito. Sa partikular, sa Halimbawa 6, kailangan muna nating katawanin ang denominator bilang , pagkatapos ay dalhin sa ilalim ng tanda ng kaugalian. At kailangan mong gawin ang lahat ng ito upang magamit ang karaniwang formula ng tabular .

Ngunit kung ano ang titingnan, subukang lutasin ang mga halimbawa No. 7,8 sa iyong sarili, lalo na dahil ang mga ito ay medyo maikli:

Halimbawa 7

Halimbawa 8

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Kung maaari mo ring suriin ang mga halimbawang ito, kung gayon ang malaking paggalang ay ang iyong mga kasanayan sa pagkakaiba-iba sa kanilang pinakamahusay.

Buong parisukat na paraan ng pagpili

Mga integral ng anyo, (mga coefficient at hindi katumbas ng zero) ay nalutas buong parisukat na paraan ng pagpili, na lumabas na sa aralin Mga Pagbabagong Geometric Plot.

Sa katunayan, ang mga naturang integral ay bumababa sa isa sa apat na mga integral ng talahanayan na kakakonsidera lang namin. At ito ay nakakamit gamit ang pamilyar na pinaikling mga formula ng pagpaparami:

Inilapat ang mga formula sa direksyong ito, iyon ay, ang ideya ng pamamaraan ay ang artipisyal na pag-aayos ng mga expression sa denominator o , at pagkatapos ay i-convert ang mga ito, ayon sa pagkakabanggit, sa o .

Halimbawa 9

Hanapin ang hindi tiyak na integral

Ito ang pinakasimpleng halimbawa kung saan na may term - unit coefficient(at hindi ilang numero o minus).

Tinitingnan namin ang denominator, dito ang buong bagay ay malinaw na nabawasan sa kaso. Simulan nating i-convert ang denominator:

Malinaw, kailangan mong magdagdag ng 4. At upang ang expression ay hindi magbago - ang parehong apat at ibawas:

Ngayon ay maaari mong ilapat ang formula:

Pagkatapos ng conversion ay tapos na LAGI ito ay kanais-nais na magsagawa ng isang reverse move: lahat ay maayos, walang mga error.

Ang malinis na disenyo ng halimbawang pinag-uusapan ay dapat magmukhang ganito:

handa na. Ang pagdadala ng isang "libre" na kumplikadong function sa ilalim ng differential sign: , sa prinsipyo, ay maaaring mapabayaan

Halimbawa 10

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Halimbawa 11

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ano ang gagawin kapag may minus sa harap? Sa kasong ito, kailangan mong alisin ang minus sa mga bracket at ayusin ang mga tuntunin sa pagkakasunud-sunod na kailangan namin:. pare-pareho("doble" sa kasong ito) Bawal hawakan!

Ngayon ay nagdaragdag kami ng isa sa mga panaklong. Pag-aralan ang expression, dumating kami sa konklusyon na kailangan namin ng isa sa likod ng bracket - idagdag:

Narito ang formula, ilapat:

LAGI nagsasagawa kami ng pagsusuri sa draft:
, na dapat i-verify.

Ang malinis na disenyo ng halimbawa ay mukhang ganito:

Ginagawa naming kumplikado ang gawain

Halimbawa 12

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Dito, kasama ang termino, ito ay hindi na isang solong koepisyent, ngunit isang "lima".

(1) Kung ang isang pare-pareho ay matatagpuan sa, pagkatapos ay agad naming alisin ito sa mga bracket.

(2) Sa pangkalahatan, palaging mas mainam na alisin ang pare-parehong ito sa integral, upang hindi ito makahadlang.

(3) Malinaw na ang lahat ay mababawasan sa formula . Kinakailangang maunawaan ang termino, ibig sabihin, upang makakuha ng "dalawa"

(4) Oo, . Kaya, idinaragdag namin ang expression, at ibawas ang parehong fraction.

(5) Ngayon pumili ng isang buong parisukat. Sa pangkalahatang kaso, kinakailangan ding kalkulahin , ngunit narito mayroon tayong mahabang logarithm formula , at ang aksyon ay hindi makatuwirang gawin, bakit - magiging malinaw ito nang kaunti.

(6) Sa totoo lang, maaari nating ilapat ang formula , sa halip na "x" lamang ang mayroon tayo, na hindi nagpapawalang-bisa sa bisa ng integral na tabular. Sa mahigpit na pagsasalita, isang hakbang ang nawawala - bago ang pagsasama, ang function ay dapat na dinala sa ilalim ng differential sign: , ngunit, tulad ng paulit-ulit kong nabanggit, ito ay madalas na napapabayaan.

(7) Sa sagot sa ilalim ng ugat, kanais-nais na buksan ang lahat ng mga bracket pabalik:

Magulo? Hindi ito ang pinakamahirap sa integral calculus. Bagaman, ang mga halimbawang isinasaalang-alang ay hindi gaanong kumplikado dahil nangangailangan sila ng mahusay na pamamaraan ng pagkalkula.

Halimbawa 13

Hanapin ang hindi tiyak na integral:

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Sagutin sa pagtatapos ng aralin.

Mayroong mga integral na may mga ugat sa denominator, na, sa tulong ng isang kapalit, ay nabawasan sa mga integral ng itinuturing na uri, maaari mong basahin ang tungkol sa mga ito sa artikulo Mga kumplikadong integral, ngunit ito ay idinisenyo para sa mga mag-aaral na lubos na handa.

Dinadala ang numerator sa ilalim ng tanda ng kaugalian

Ito ang huling bahagi ng aralin, gayunpaman, ang mga integral ng ganitong uri ay karaniwan! Kung naipon ang pagod, mas mabuting magbasa bukas? ;)

Ang mga integral na isasaalang-alang natin ay katulad ng mga integral ng nakaraang talata, mayroon silang anyo: o (ang mga coefficient , at hindi katumbas ng zero).

Ibig sabihin, mayroon tayong linear function sa numerator. Paano malutas ang mga naturang integral?

Ang fraction ay tinatawag tama kung ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator ay mas mababa kaysa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator. Ang integral ng isang wastong rational fraction ay may anyo:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ang formula para sa pagsasama ng mga rational fraction ay nakasalalay sa mga ugat ng polynomial sa denominator. Kung ang polynomial na $ ax^2+bx+c $ ay mayroong:

1. Mga kumplikadong ugat lamang, pagkatapos ay kinakailangan na pumili ng isang buong parisukat mula dito: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Iba't ibang tunay na ugat $ x_1 $ at $ x_2 $, pagkatapos ay kailangan mong palawakin ang integral at hanapin ang mga hindi tiyak na coefficient $ A $ at $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Isang multiple root $ x_1 $, pagkatapos ay palawakin namin ang integral at hanapin ang hindi tiyak na coefficients $ A $ at $ B $ para sa formula na ito: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kung ang fraction ay mali, iyon ay, ang pinakamataas na antas sa numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng pinakamataas na antas ng denominator, pagkatapos ay dapat itong bawasan muna sa tama isip sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial mula sa numerator ng polynomial mula sa denominator. Sa kasong ito, ang formula para sa pagsasama ng isang rational fraction ay:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1

Hanapin ang integral ng isang rational fraction: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Desisyon

Ang fraction ay regular at ang polynomial ay may mga kumplikadong ugat lamang. Samakatuwid, pumili kami ng isang buong parisukat: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ I-collapse namin ang buong square at sum sa ilalim ng differential sign $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Gamit ang talahanayan ng mga integral, nakukuha namin: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Kung hindi mo malutas ang iyong problema, ipadala ito sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong maging pamilyar sa pag-usad ng pagkalkula at makakalap ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyong makakuha ng kredito mula sa guro sa napapanahong paraan!

Sagot

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Halimbawa 2

Isama ang mga rational fraction: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Desisyon

Lutasin ang quadratic equation: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Isulat natin ang mga ugat: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Isinasaalang-alang ang nakuha na mga ugat, binabago namin ang integral: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Ginagawa namin ang pagpapalawak ng isang rational fraction: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ I-equate ang mga numerator at hanapin ang mga coefficient na $ A $ at $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A ​​​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Pinapalitan namin ang mga nakitang coefficient sa integral at nilulutas ito: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Sagot

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Ang derivation ng mga formula para sa pagkalkula ng mga integral mula sa pinakasimpleng, elementarya, mga fraction ng apat na uri ay ibinigay. Ang mga mas kumplikadong integral, mula sa mga fraction ng ikaapat na uri, ay kinakalkula gamit ang formula ng pagbabawas. Ang isang halimbawa ng pagsasama ng isang bahagi ng ikaapat na uri ay isinasaalang-alang.

Nilalaman

Tingnan din: Talaan ng mga hindi tiyak na integral
Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral

Gaya ng nalalaman, anumang rational function ng ilang variable x ay maaaring mabulok sa isang polynomial at simple, elementarya, mga fraction. May apat na uri ng simpleng fraction:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Narito ang a, A, B, b, c ay mga tunay na numero. Equation x 2+bx+c=0 walang tunay na ugat.

Pagsasama-sama ng mga fraction ng unang dalawang uri

Ang pagsasama-sama ng unang dalawang fraction ay ginagawa gamit ang mga sumusunod na formula mula sa talahanayan ng mga integral:
,
, n ≠ - 1 .

1. Pagsasama-sama ng isang fraction ng unang uri

Ang isang bahagi ng unang uri sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x - a ay binabawasan sa isang integral ng talahanayan:
.

2. Pagsasama-sama ng isang fraction ng pangalawang uri

Ang isang bahagi ng pangalawang uri ay nabawasan sa isang talahanayan na integral sa pamamagitan ng parehong pagpapalit t \u003d x - a:

.

3. Pagsasama-sama ng isang bahagi ng ikatlong uri

Isaalang-alang ang integral ng isang fraction ng ikatlong uri:
.
Kakalkulahin namin ito sa dalawang hakbang.

3.1. Hakbang 1. Piliin ang derivative ng denominator sa numerator

Pinipili namin ang derivative ng denominator sa numerator ng fraction. Ipahiwatig: u = x 2+bx+c. Ibahin ang pagkakaiba: u′ = 2 x + b. Pagkatapos
;
.
Pero
.
Inalis namin ang modulo sign dahil .

Pagkatapos:
,
saan
.

3.2. Hakbang 2. Kalkulahin ang integral na may A = 0, B=1

Ngayon kinakalkula namin ang natitirang integral:
.

Dinadala namin ang denominator ng fraction sa kabuuan ng mga parisukat:
,
saan .
Naniniwala kami na ang equation x 2+bx+c=0 walang ugat. Kaya .

Gumawa tayo ng substitution
,
.
.

Kaya,
.

Kaya, natagpuan namin ang isang integral ng isang bahagi ng ikatlong uri:

,
saan .

4. Pagsasama-sama ng isang bahagi ng ikaapat na uri

At sa wakas, isaalang-alang ang integral ng isang bahagi ng ikaapat na uri:
.
Kinakalkula namin ito sa tatlong hakbang.

4.1) Pinipili namin ang derivative ng denominator sa numerator:
.

4.2) Kalkulahin ang integral
.

4.3) Kalkulahin ang mga integral
,
gamit ang cast formula:
.

4.1. Hakbang 1. Pagkuha ng derivative ng denominator sa numerator

Pinipili namin ang derivative ng denominator sa numerator, tulad ng ginawa namin sa . Ipahiwatig ang u = x 2+bx+c. Ibahin ang pagkakaiba: u′ = 2 x + b. Pagkatapos
.

.
Pero
.

Sa wakas mayroon kaming:
.

4.2. Hakbang 2. Pagkalkula ng integral na may n = 1

Kinakalkula namin ang integral
.
Ang pagkalkula nito ay itinakda sa .

4.3. Hakbang 3. Pagkuha ng formula ng pagbabawas

Ngayon isaalang-alang ang integral
.

Dinadala namin ang square trinomial sa kabuuan ng mga parisukat:
.
Dito .
Gumagawa kami ng pagpapalit.
.
.

Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo at pinagsama ayon sa mga bahagi.




.

Multiply sa 2(n - 1):
.
Bumalik kami sa x at ako n .
,
;
;
.

Kaya, para sa I n nakuha namin ang formula ng pagbawas:
.
Sa sunud-sunod na paglalapat ng pormula na ito, binabawasan namin ang integral I n sa I 1 .

Halimbawa

Kalkulahin ang Integral

1. Pinipili namin ang derivative ng denominator sa numerator.
;
;


.
Dito
.

2. Kinakalkula namin ang integral ng pinakasimpleng fraction.

.

3. Inilapat namin ang formula ng pagbabawas:

para sa integral.
Sa aming kaso b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Isinulat namin ang formula na ito para sa n = 2 at n = 3 :
;
.
Mula rito

.

Sa wakas mayroon kaming:

.
Nahanap namin ang coefficient sa .
.

Tingnan din:

Ang materyal na ipinakita sa paksang ito ay batay sa impormasyong ipinakita sa paksang "Rational fractions. Decomposition of rational fractions into elementary (simple) fractions". Masidhi kong ipinapayo sa iyo na suriin ang paksang ito bago magpatuloy sa pagbabasa ng materyal na ito. Bilang karagdagan, kakailanganin namin ang isang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang ilang termino. Sila ay tinalakay sa may-katuturang paksa, kaya dito ko limitahan ang aking sarili sa isang maikling pagbabalangkas.

Ang ratio ng dalawang polynomial na $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ay tinatawag na rational function o rational fraction. Ang rational fraction ay tinatawag tama kung $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется mali.

Ang elementarya (pinakasimpleng) rational fraction ay mga rational fraction ng apat na uri:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Tandaan (kanais-nais para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teksto): ipakita\itago

Bakit kailangan ang kondisyong $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Halimbawa, para sa expression na $x^2+5x+10$ nakukuha namin ang: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Dahil $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa pagsusuring ito ay hindi kinakailangan na ang koepisyent sa harap ng $x^2$ ay katumbas ng 1. Halimbawa, para sa $5x^2+7x-3=0$ makuha natin ang: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Dahil $D > 0$, ang expression na $5x^2+7x-3$ ay factorizable.

Ang mga halimbawa ng rational fraction (regular at hindi wasto), pati na rin ang mga halimbawa ng decomposition ng rational fraction sa elementarya, ay matatagpuan. Dito lamang kami interesado sa mga katanungan ng kanilang pagsasama. Magsimula tayo sa pagsasama ng mga elementary fraction. Kaya, ang bawat isa sa apat na uri ng mga elementary fraction sa itaas ay madaling isama gamit ang mga formula sa ibaba. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na kapag ang pagsasama ng mga fraction ng uri (2) at (4) $n=2,3,4,\ldots$ ay ipinapalagay. Ang mga formula (3) at (4) ay nangangailangan ng kundisyon $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)

Para sa $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ ang kapalit na $t=x+\frac(p)(2)$ ay ginawa, pagkatapos ay ang resultang integral ay nahati sa dalawa. Ang una ay kakalkulahin sa pamamagitan ng pagpasok nito sa ilalim ng differential sign, at ang pangalawa ay magmumukhang $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ang integral na ito ay kinuha gamit ang recurrence relation

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)

Ang pagkalkula ng naturang integral ay sinusuri sa halimbawa No. 7 (tingnan ang ikatlong bahagi).

Scheme para sa pagkalkula ng mga integral mula sa mga rational function (mga rational fraction):

1. Kung elementary ang integrand, ilapat ang mga formula (1)-(4).
2. Kung ang integrand ay hindi elementarya, pagkatapos ay i-represent ito bilang kabuuan ng elementary fractions, at pagkatapos ay pagsamahin gamit ang mga formula (1)-(4).

Ang algorithm sa itaas para sa pagsasama ng mga rational fraction ay may hindi maikakaila na kalamangan - ito ay pangkalahatan. Yung. Gamit ang algorithm na ito, maaaring isama ng isa anuman rational fraction. Iyon ang dahilan kung bakit halos lahat ng mga pagpapalit ng mga variable sa hindi tiyak na integral (Euler, Chebyshev substitutions, universal trigonometric substitution) ay ginagawa sa paraang pagkatapos ng kapalit na ito ay nakakakuha tayo ng rational fraction sa ilalim ng interval. At ilapat ang algorithm dito. Susuriin namin ang direktang aplikasyon ng algorithm na ito gamit ang mga halimbawa, pagkatapos gumawa ng isang maliit na tala.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Sa prinsipyo, ang integral na ito ay madaling makuha nang walang mekanikal na aplikasyon ng formula. Kung kukunin natin ang pare-parehong $7$ mula sa integral sign at isasaalang-alang na $dx=d(x+9)$, pagkatapos ay makukuha natin:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Para sa detalyadong impormasyon, inirerekumenda kong tingnan ang paksa. Ipinapaliwanag nito nang detalyado kung paano nalulutas ang mga naturang integral. Sa pamamagitan ng paraan, ang formula ay pinatunayan ng parehong mga pagbabagong inilapat sa talatang ito kapag nilutas ang "manu-mano".

2) Muli, mayroong dalawang paraan: mag-apply ng isang handa na formula o gawin nang wala ito. Kung ilalapat mo ang formula, dapat mong isaalang-alang na ang coefficient sa harap ng $x$ (ang numero 4) ay kailangang alisin. Upang gawin ito, kinuha lang namin ang apat sa mga ito sa mga bracket:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\kaliwa(x+\frac(19)(4)\kanan)^8). $$

Ngayon ay oras na upang ilapat ang formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\kaliwa(x+\frac(19)(4) \kanan)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Magagawa mo nang hindi gumagamit ng formula. At kahit na hindi inilalagay ang pare-parehong $4 sa mga bracket. Kung isasaalang-alang natin na $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, pagkatapos ay makukuha natin:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Ang mga detalyadong paliwanag sa paghahanap ng mga naturang integral ay ibinibigay sa paksang "Pagsasama sa pamamagitan ng pagpapalit (pagpapakilala sa ilalim ng palatandaan ng kaugalian)" .

3) Kailangan nating isama ang fraction na $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ang fraction na ito ay may istraktura na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kung saan $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Gayunpaman, upang matiyak na isa nga itong elementarya na bahagi ng ikatlong uri, kailangan mong suriin ang kundisyon $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Lutasin natin ang parehong halimbawa, ngunit nang hindi ginagamit ang handa na pormula. Subukan nating ihiwalay ang derivative ng denominator sa numerator. Anong ibig sabihin nito? Alam natin na $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Ito ang expression na $2x+10$ na kailangan nating ihiwalay sa numerator. Sa ngayon, ang numerator ay naglalaman lamang ng $4x+7$ , ngunit hindi ito nagtagal. Ilapat ang sumusunod na pagbabago sa numerator:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -labing tatlo. $$

Ngayon ang kinakailangang expression na $2x+10$ ay lumitaw sa numerator. At ang ating integral ay maaaring muling isulat gaya ng sumusunod:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Hatiin natin ang integrand sa dalawa. Well, at, nang naaayon, ang integral mismo ay "nahati" din:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Pag-usapan muna natin ang unang integral, i.e. tungkol sa $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Dahil $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, kung gayon ang denominator differential ay matatagpuan sa numerator ng integrand. Sa madaling salita, sa halip ng expression na $( 2x+10)dx$ isinusulat namin ang $d(x^2+10x+34)$.

Ngayon sabihin natin ang ilang mga salita tungkol sa pangalawang integral. Isa-isahin natin ang buong parisukat sa denominator: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin ang $dx=d(x+5)$. Ngayon ang kabuuan ng mga integral na nakuha namin kanina ay maaaring muling isulat sa isang bahagyang naiibang anyo:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ siyam). $$

Kung gagawin natin ang pagbabago $u=x^2+10x+34$ sa unang integral, kukuha ito ng anyong $\int\frac(du)(u)$ at kukunin sa pamamagitan lamang ng paglalapat ng pangalawang formula mula sa . Tulad ng para sa pangalawang integral, ang kapalit na $u=x+5$ ay magagawa para dito, pagkatapos nito ay kinuha ang form na $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ito ang pinakadalisay na tubig, ang ikalabing-isang formula mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Kaya, bumalik sa kabuuan ng mga integral, magkakaroon tayo ng:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng kapag nag-aaplay ng formula , na, sa katunayan, ay hindi nakakagulat. Sa pangkalahatan, ang formula ay pinatunayan ng parehong mga pamamaraan na ginamit namin upang mahanap ang integral na ito. Naniniwala ako na ang isang matulungin na mambabasa ay maaaring magkaroon ng isang katanungan dito, samakatuwid ay bubuuin ko ito:

Tanong #1

Kung ilalapat natin ang pangalawang formula mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral sa integral na $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Bakit nawawala ang module sa solusyon?

Sagot sa tanong #1

Ang tanong ay ganap na lehitimo. Nawala lang ang modulus dahil ang expression na $x^2+10x+34$ para sa anumang $x\in R$ ay mas malaki sa zero. Ito ay medyo madaling ipakita sa maraming paraan. Halimbawa, dahil $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ at $(x+5)^2 ≥ 0$, pagkatapos ay $(x+5)^2+9 > 0$ . Posibleng humatol sa ibang paraan, nang hindi kinasasangkutan ng pagpili ng isang buong parisukat. Mula noong $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para sa anumang $x\in R$ (kung nakakagulat ang lohikal na chain na ito, ipinapayo ko sa iyo na tingnan ang graphical na paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat). Sa anumang kaso, dahil $x^2+10x+34 > 0$, pagkatapos ay $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. maaari kang gumamit ng mga normal na bracket sa halip na isang module.

Ang lahat ng mga punto ng halimbawa No. 1 ay nalutas, ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Halimbawa #2

Hanapin ang integral na $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Sa unang sulyap, ang integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ay halos kapareho sa elementary fraction ng ikatlong uri, i.e. hanggang $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Mukhang ang pagkakaiba lang ay ang coefficient na $3$ sa harap ng $x^2$, ngunit hindi magtatagal upang alisin ang coefficient (wala sa mga bracket). Gayunpaman, ang pagkakatulad na ito ay maliwanag. Para sa fraction na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ang kundisyon $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Ang aming coefficient sa harap ng $x^2$ ay hindi katumbas ng isa, kaya suriin ang kundisyon $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, kaya ang expression na $3x^2-5x-2$ ay maaaring i-factorize. At nangangahulugan ito na ang fraction na $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ay hindi elementarya fraction ng ikatlong uri, at nalalapat sa integral $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ formula ay hindi pinapayagan.

Well, kung ang ibinigay na rational fraction ay hindi elementarya, dapat itong irepresenta bilang kabuuan ng elementary fractions, at pagkatapos ay isinama. Sa madaling salita, sinasamantala ng trail ang . Kung paano mabulok ang isang rational fraction sa elementarya ay nakasulat nang detalyado. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-factor ng denominator:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Kinakatawan namin ang subinternal na fraction sa sumusunod na anyo:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)). $$

Ngayon, palawakin natin ang fraction na $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ sa elementarya:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\kanan))(\left(x+ \frac(1)(3)\kanan)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\kanan). $$

Upang mahanap ang mga coefficient na $A$ at $B$ mayroong dalawang karaniwang paraan: ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient at ang paraan ng pagpapalit ng mga partial na halaga. Ilapat natin ang paraan ng pagpapalit ng bahagyang halaga sa pamamagitan ng pagpapalit ng $x=2$ at pagkatapos ay $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\kaliwa(2+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Dahil natagpuan ang mga koepisyent, nananatili lamang na isulat ang natapos na pagpapalawak:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Sa prinsipyo, maaari mong iwanan ang entry na ito, ngunit gusto ko ang isang mas tumpak na bersyon:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Pagbabalik sa orihinal na integral, pinapalitan namin ang nagresultang pagpapalawak dito. Pagkatapos ay hinati namin ang integral sa dalawa, at ilapat ang formula sa bawat isa. Mas gusto kong agad na alisin ang mga constant sa labas ng integral sign:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Sagot: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\kanan| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Halimbawa #3

Hanapin ang integral na $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Kailangan nating isama ang fraction na $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Ang numerator ay isang polynomial ng pangalawang degree, at ang denominator ay isang polynomial ng ikatlong degree. Dahil ang antas ng polynomial sa numerator ay mas mababa kaysa sa antas ng polynomial sa denominator, i.e. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Kailangan lang nating hatiin ang ibinigay na integral sa tatlo, at ilapat ang formula sa bawat isa. Mas gusto kong agad na alisin ang mga constant sa labas ng integral sign:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Sagot: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Ang pagpapatuloy ng pagsusuri ng mga halimbawa ng paksang ito ay matatagpuan sa ikalawang bahagi.

Tandaan mo yan fractionally rational ay tinatawag na mga function ng anyong $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ sa pangkalahatang kaso ay ang ratio ng dalawang polynomial %%P_n(x)%% at % %Q_m(x)% %.

Kung %%m > n \geq 0%%, kung gayon ang isang rational fraction ay tinatawag tama, kung hindi, ito ay hindi tama. Gamit ang polynomial division rule, ang isang hindi wastong rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang polynomial %%P_(n - m)%% ng degree %%n - m%% at ilang proper fraction, i.e. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ kung saan ang degree ay %%l% % ng polynomial %%P_l(x)%% ay mas mababa sa degree na %%n%% ng polynomial %%Q_n(x)%%.

Kaya, ang hindi tiyak na integral ng isang rational function ay maaaring katawanin bilang ang kabuuan ng mga hindi tiyak na integral ng isang polynomial at ng isang wastong rational fraction.

Mga integral ng simpleng rational fraction

Mayroong apat na uri ng wastong rational fraction, na inuri bilang ang pinakasimpleng rational fraction:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

kung saan ang %%k > 1%% ay isang integer at %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral mula sa mga fraction ng unang dalawang uri

Ang pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral ng mga fraction ng unang dalawang uri ay madali: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$

Pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral mula sa mga fraction ng ikatlong uri

Una naming binabago ang fraction ng ikatlong uri sa pamamagitan ng pagpili sa buong parisukat sa denominator: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ mula noong %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, na tutukuyin namin bilang %%a^2%%. Pinapalitan din ang %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, binabago namin ang denominator at isinusulat ang integral ng isang fraction ng ikatlong uri sa anyong $$ \begin (array)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(array) $$

Gamit ang linearity ng indefinite integral, kinakatawan namin ang huling integral bilang kabuuan ng dalawa at sa una ay ipinakilala namin ang %%t%% sa ilalim ng differential sign: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (Sa + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\kanan| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Pagbabalik sa orihinal na variable na %%x%%, napupunta tayo sa $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \kaliwa| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ kung saan %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Ang pagkalkula ng uri 4 integral ay mahirap, kaya hindi ito saklaw sa kursong ito.