Tulad ng alam mo, ang paghahanap ng integral ay maaaring maging isang mahirap na gawain. Ito ay magiging isang malaking pagkabigo upang kunin ang pagkalkula ng isang hindi wastong integral at malaman sa dulo ng landas na ito ay nag-iiba. Samakatuwid, ang mga pamamaraan ay kawili-wili na nagpapahintulot sa isa na gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa convergence o divergence ng isang hindi wastong integral na walang seryosong mga kalkulasyon para sa isang uri ng mga function. Ang una at pangalawang teorema ng paghahambing, na tatalakayin sa ibaba, ay nakakatulong sa malaking lawak upang siyasatin ang mga hindi wastong integral para sa convergence.
Hayaan ang f(x)?0. Pagkatapos ang mga pag-andar
monotonically tumataas na may mga variable t o -q (dahil kinuha namin ang q > 0, -q ay may posibilidad na zero mula sa kaliwa). Kung, habang tumataas ang mga argumento, ang mga function na F 1 (t) at F 2 (-d) ay mananatiling may hangganan mula sa itaas, nangangahulugan ito na ang mga katumbas na hindi wastong integral ay nagtatagpo. Ito ang batayan ng unang teorema ng paghahambing para sa mga integral ng mga di-negatibong pag-andar.
Hayaang matugunan ang mga sumusunod na kondisyon para sa function na f(x) at g(x) sa x?a:
- 1) 0?f(x)?g(x);
- 2) Ang mga function na f(x) at g(x) ay tuloy-tuloy.
Pagkatapos ay ang convergence ng integral ay nagpapahiwatig ng convergence ng integral, at ang divergence ng integral ay nagpapahiwatig ng divergence
Dahil ang 0?f(x)?g(x) at ang mga function ay tuloy-tuloy, kung gayon
Sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang integral ay nagtatagpo, ibig sabihin, may hangganan ang halaga. Samakatuwid, ang integral ay nagtatagpo rin.
Ngayon hayaan ang integral diverge. Ipagpalagay na ang integral ay nagtatagpo, ngunit ang integral ay dapat magtagpo, na sumasalungat sa kondisyon. Ang aming palagay ay mali, ang integral ay diverges.
Teorama ng paghahambing para sa mga hindi wastong integral ng ika-2 uri.
Hayaan para sa mga function na f(x) at g(x) sa pagitan , tumaas nang walang katiyakan para sa x>+0. Para dito, para sa x>+0, ang hindi pagkakapantay-pantay<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.
Teorama ng paghahambing para sa mga hindi wastong integral ng unang uri.
Hayaang maghiwalay ang integral para sa function na f(x) at g(x) sa pagitan.
Nangangahulugan ito na ang integral ay nag-iiba din sa segment.
Kaya, ang integral na ito ay nag-iiba sa buong segment [-1, 1]. Tandaan na kung sinimulan nating kalkulahin ang integral na ito, nang hindi binibigyang pansin ang discontinuity ng integrand sa puntong x = 0, makakakuha tayo ng hindi tamang resulta. Talaga,
, na imposible.
Kaya, upang pag-aralan ang hindi wastong integral ng isang di-tuloy na pag-andar, kinakailangan na "hatiin" ito sa ilang mga integral at siyasatin ang mga ito.
Kung ang integrand ay may discontinuity ng pangalawang uri sa (finite) interval ng integration, ang isa ay nagsasalita ng hindi wastong integral ng pangalawang uri.
10.2.1 Kahulugan at mga pangunahing katangian
Tukuyin natin ang pagitan ng pagsasama $\left[ a, \, b \right ]$, ang parehong mga numerong ito ay ipinapalagay na may hangganan sa ibaba. Kung mayroon lamang 1 gap, maaari itong alinman sa puntong $a$, o sa puntong $b$, o sa loob ng pagitan na $(a,\,b)$. Isaalang-alang muna natin ang kaso kapag mayroong isang discontinuity ng pangalawang uri sa puntong $a$, at ang integrand ay tuloy-tuloy sa ibang mga punto. Kaya tinatalakay natin ang integral
\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)
kung saan $f(x) \rightarrow \infty $ kapag $x \rightarrow a+0$. Gaya ng dati, ang unang dapat gawin ay bigyan ng kahulugan ang ekspresyong ito. Upang gawin ito, isaalang-alang ang integral
\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Kahulugan. Magkaroon ng limitasyon
\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Pagkatapos ang hindi wastong integral ng pangalawang uri (22) ay sinasabing nagtatagpo at ang halagang $A$ ay itinalaga dito, ang function na $f(x)$ mismo ay sinasabing maisasama sa pagitan na $\left[ a, \ , b\right]$.
Isaalang-alang ang integral
\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]
Ang integrand $1/\sqrt(x)$ para sa $x \rightarrow +0$ ay may walang katapusang limitasyon, kaya sa puntong $x=0$ ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Ilagay natin
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]
Sa kasong ito, ang antiderivative ay kilala,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2 \]
para sa $\epsilon \rightarrow +0$. Kaya, ang orihinal na integral ay isang convergent na hindi wastong integral ng pangalawang uri, at ito ay katumbas ng 2.
Isaalang-alang natin ang variant kapag may discontinuity ng pangalawang uri ng integrand sa itaas na limitasyon ng integration interval. Ang kasong ito ay maaaring bawasan sa nauna sa pamamagitan ng pagbabago ng variable na $x=-t$ at pagkatapos ay muling ayusin ang mga limitasyon ng pagsasama.
Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang integrand ay may discontinuity ng pangalawang uri sa loob ng integration interval, sa puntong $c \in (a,\,b)$. Sa kasong ito, ang orihinal na integral
\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)
ipinakita bilang isang kabuuan
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Kahulugan. Kung ang parehong integral na $I_1, \, I_2$ ay nagtatagpo, kung gayon ang hindi wastong integral (23) ay tinatawag na convergent at ito ay itinalaga ng isang halaga na katumbas ng kabuuan ng mga integral na $I_1, \, I_2$, ang function na $f(x) Ang $ ay tinatawag na integrable sa pagitan na $\left [a, \, b\right]$. Kung hindi bababa sa isa sa mga integral na $I_1,\, I_2$ ay divergent, ang hindi wastong integral (23) ay sinasabing divergent.
Ang mga converging improper integral ng ika-2 uri ay mayroong lahat ng karaniwang katangian ng mga ordinaryong tiyak na integral.
1. Kung ang $f(x)$, $g(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \,b \right ]$, kung gayon ang kanilang sum $f(x)+g(x)$ ay maisasama rin sa interval na ito, at \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, b \right ]$, kung gayon para sa anumang pare-parehong $C$ ang function na $C\cdot f(x)$ ay din integrable sa interval na ito , at \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, b \right ]$ at $f(x)>0$ sa interval na ito, kung gayon ang \[ \int _a^( b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, b \right ]$, kung gayon para sa alinmang $c\in (a, \,b)$ ang mga integral \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] ay nagtatagpo rin, at \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (additivity ng integral sa pagitan).
Isaalang-alang ang integral \begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation) Kung $k>0$, ang integrand ay may posibilidad na $\infty$ bilang $x \rightarrow +0$, kaya ang integral ay hindi wasto sa pangalawang uri. Ipinakilala namin ang pag-andar \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] Sa kasong ito, ang antiderivative ay kilala, kaya na \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] para sa $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] para sa $k = 1$. Isinasaalang-alang ang pag-uugali para sa $\epsilon \rightarrow +0$, napagpasyahan namin na ang integral (20) ay nagtatagpo para sa $k
10.2.2 Pamantayan para sa convergence ng mga hindi wastong integral ng ikalawang uri
Theorem (ang unang tanda ng paghahambing). Hayaang maging tuluy-tuloy ang $f(x)$, $g(x)$ para sa $x\in (a,\,b)$, at $0 1. Kung ang integral na \[ \int _a^(b)g(x) Ang dx \] ay nagtatagpo, pagkatapos ay ang integral na \[ \int _a^(b)f(x)dx ay nagtatagpo rin. \] 2. Kung ang integral na \[ \int _a^(b)f(x)dx \] ay naghihiwalay, ang integral na \[ \int _a^(b)g(x)dx ay naghihiwalay din. \]
Theorem (ang pangalawang tanda ng paghahambing). Hayaang maging tuluy-tuloy at positibo ang $f(x)$, $g(x)$ para sa $x\in (a,\,b)$, at magkaroon ng hangganang limitasyon
\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Pagkatapos ay ang mga integral
\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]
magkasabay o mag-diverge.
Isaalang-alang ang integral
\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
Ang integrand ay isang positibong function sa integration interval, ang integrand ay may posibilidad na $\infty$ bilang $x \rightarrow +0$, kaya ang aming integral ay hindi wasto sa pangalawang uri. Dagdag pa, para sa $x \rightarrow +0$ mayroon kami: kung $g(x)=1/x$, kung gayon
\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]
Sa paglalapat ng pangalawang criterion ng paghahambing, nakukuha natin ang konklusyon na ang ating integral ay nagtatagpo o nag-iiba nang sabay-sabay sa integral.
\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]
Gaya ng ipinakita sa nakaraang halimbawa, ang integral na ito ay nag-iiba ($k=1$). Samakatuwid, ang orihinal na integral ay nag-iiba din.
Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang convergence nito (divergence).
1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]
