Ο τύπος μιας ευθείας γραμμής σε ένα γράφημα συνάρτησης. Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις τους

1. Γραμμική κλασματική συνάρτηση και η γραφική παράσταση της

Μια συνάρτηση της μορφής y = P(x) / Q(x), όπου τα P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα, ονομάζεται κλασματική ορθολογική συνάρτηση.

Πιθανώς να είστε ήδη εξοικειωμένοι με την έννοια των ρητών αριθμών. Ομοίως ορθολογικές συναρτήσειςείναι συναρτήσεις που μπορούν να παρασταθούν ως πηλίκο δύο πολυωνύμων.

Αν μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση είναι πηλίκο δύο γραμμικών συναρτήσεων - πολυωνύμων πρώτου βαθμού, δηλ. λειτουργία προβολής

y = (ax + b) / (cx + d), τότε ονομάζεται κλασματική γραμμική.

Σημειώστε ότι στη συνάρτηση y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (διαφορετικά η συνάρτηση γίνεται γραμμική y = ax/d + b/d) και ότι a/c ≠ b/d (διαφορετικά η η συνάρτηση είναι σταθερά). Η γραμμική-κλασματική συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, εκτός από τους x = -d/c. Οι γραφικές παραστάσεις των γραμμικών-κλασματικών συναρτήσεων δεν διαφέρουν σε μορφή από το γράφημα που γνωρίζετε y = 1/x. Καλείται η καμπύλη που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x υπερβολή. Με απεριόριστη αύξηση του x σε απόλυτη τιμή, η συνάρτηση y = 1/x μειώνεται επ' αόριστον σε απόλυτη τιμή και και οι δύο κλάδοι του γραφήματος πλησιάζουν τον άξονα της τετμημένης: ο δεξιός πλησιάζει από πάνω και ο αριστερός από κάτω. Οι γραμμές που προσεγγίζονται από τους κλάδους μιας υπερβολής ονομάζονται της ασύμπτωτοι.

Παράδειγμα 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Απόφαση.

Ας επιλέξουμε το ακέραιο μέρος: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Τώρα είναι εύκολο να δούμε ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x με τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: μετατόπιση κατά 3 μονάδες μονάδας προς τα δεξιά, τέντωμα κατά μήκος του άξονα Oy κατά 7 φορές και μετατόπιση κατά 2 τμήματα μονάδων προς τα πάνω.

Οποιοδήποτε κλάσμα y = (ax + b) / (cx + d) μπορεί να γραφτεί με τον ίδιο τρόπο, επισημαίνοντας το «ολόκληρο μέρος». Συνεπώς, τα γραφήματα όλων των γραμμικών-κλασματικών συναρτήσεων είναι υπερβολές που μετατοπίζονται κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων με διάφορους τρόπους και εκτείνονται κατά μήκος του άξονα Oy.

Για να σχεδιάσουμε ένα γράφημα κάποιας αυθαίρετης γραμμικής-κλασματικής συνάρτησης, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να μετασχηματίσουμε το κλάσμα που ορίζει αυτή τη συνάρτηση. Εφόσον γνωρίζουμε ότι το γράφημα είναι υπερβολή, θα αρκεί να βρούμε τις γραμμές στις οποίες πλησιάζουν οι κλάδοι του - οι ασύμπτωτες υπερβολής x = -d/c και y = a/c.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = (3x + 5)/(2x + 2).

Απόφαση.

Η συνάρτηση δεν έχει οριστεί, για x = -1. Ως εκ τούτου, η γραμμή x = -1 χρησιμεύει ως κατακόρυφη ασύμπτωτη. Για να βρούμε την οριζόντια ασύμπτωτη, ας μάθουμε ποιες προσεγγίζουν οι τιμές της συνάρτησης y(x) όταν το όρισμα x αυξάνεται σε απόλυτη τιμή.

Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ως x → ∞ το κλάσμα τείνει στα 3/2. Επομένως, η οριζόντια ασύμπτωτη είναι η ευθεία γραμμή y = 3/2.

Παράδειγμα 3

Σχεδιάστε τη συνάρτηση y = (2x + 1)/(x + 1).

Απόφαση.

Επιλέγουμε το «ολόκληρο μέρος» του κλάσματος:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Τώρα είναι εύκολο να δούμε ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x με τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: μια μετατόπιση 1 μονάδας προς τα αριστερά, μια συμμετρική απεικόνιση ως προς το Ox και μια μετατόπιση των 2 διαστημάτων μονάδων επάνω κατά μήκος του άξονα Oy.

Τομέας ορισμού D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Εύρος τιμών E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Σημεία τομής με άξονες: c Oy: (0; 1); γ Βόδι: (-1/2; 0). Η συνάρτηση αυξάνεται σε κάθε ένα από τα διαστήματα του τομέα ορισμού.

Απάντηση: εικόνα 1.

2. Κλασματική-ορθολογική συνάρτηση

Θεωρήστε μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση της μορφής y = P(x) / Q(x), όπου τα P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα βαθμού υψηλότερου από το πρώτο.

Παραδείγματα τέτοιων ορθολογικών συναρτήσεων:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ή y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Εάν η συνάρτηση y = P(x) / Q(x) είναι ένα πηλίκο δύο πολυωνύμων βαθμού υψηλότερο από το πρώτο, τότε η γραφική παράσταση της θα είναι, κατά κανόνα, πιο περίπλοκη και μερικές φορές μπορεί να είναι δύσκολο να κατασκευαστεί ακριβώς , με όλες τις λεπτομέρειες. Ωστόσο, συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε τεχνικές παρόμοιες με αυτές που έχουμε ήδη γνωρίσει παραπάνω.

Έστω το κλάσμα σωστό (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Προφανώς, η γραφική παράσταση μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης μπορεί να ληφθεί ως το άθροισμα των γραφημάτων στοιχειωδών κλασμάτων.

Σχεδίαση κλασματικών ορθολογικών συναρτήσεων

Εξετάστε διάφορους τρόπους για να σχεδιάσετε μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση.

Παράδειγμα 4

Σχεδιάστε τη συνάρτηση y = 1/x 2 .

Απόφαση.

Χρησιμοποιούμε το γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2 για να σχεδιάσουμε το γράφημα y \u003d 1 / x 2 και χρησιμοποιούμε τη μέθοδο "διαίρεσης" των γραφημάτων.

Τομέας D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Εύρος τιμών E(y) = (0; +∞).

Δεν υπάρχουν σημεία τομής με τους άξονες. Η λειτουργία είναι ομοιόμορφη. Αυξάνεται για όλα τα x από το διάστημα (-∞; 0), μειώνεται για x από 0 σε +∞.

Απάντηση: εικόνα 2.

Παράδειγμα 5

Σχεδιάστε τη συνάρτηση y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Απόφαση.

Τομέας D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την τεχνική της παραγοντοποίησης, της αναγωγής και της αναγωγής σε γραμμική συνάρτηση.

Απάντηση: εικόνα 3.

Παράδειγμα 6

Σχεδιάστε τη συνάρτηση y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Απόφαση.

Το πεδίο ορισμού είναι D(y) = R. Εφόσον η συνάρτηση είναι άρτια, το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα y. Πριν σχεδιάσουμε, μετασχηματίζουμε ξανά την έκφραση επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Σημειώστε ότι η επιλογή του ακέραιου μέρους στον τύπο μιας κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης είναι μία από τις κύριες κατά τη σχεδίαση γραφημάτων.

Αν x → ±∞, τότε y → 1, δηλ. η ευθεία y = 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη.

Απάντηση: εικόνα 4.

Παράδειγμα 7

Θεωρήστε τη συνάρτηση y = x/(x 2 + 1) και προσπαθήστε να βρείτε ακριβώς τη μεγαλύτερη τιμή της, δηλ. το υψηλότερο σημείο στο δεξί μισό του γραφήματος. Για την ακριβή κατασκευή αυτού του γραφήματος, η σημερινή γνώση δεν είναι αρκετή. Είναι προφανές ότι η καμπύλη μας δεν μπορεί να «σκαρφαλώσει» πολύ ψηλά, αφού ο παρονομαστής αρχίζει γρήγορα να «προσπερνάει» τον αριθμητή. Ας δούμε αν η τιμή της συνάρτησης μπορεί να είναι ίση με 1. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να λύσετε την εξίσωση x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Αυτή η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Άρα η υπόθεσή μας είναι λάθος. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης, πρέπει να μάθετε για ποιο μεγαλύτερο A θα έχει λύση η εξίσωση A \u003d x / (x 2 + 1). Ας αντικαταστήσουμε την αρχική εξίσωση με μια τετραγωνική: Ax 2 - x + A \u003d 0. Αυτή η εξίσωση έχει λύση όταν 1 - 4A 2 ≥ 0. Από εδώ βρίσκουμε τη μεγαλύτερη τιμή A \u003d 1/2.

Απάντηση: Εικόνα 5, max y(x) = ½.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να δημιουργήσετε γραφήματα συναρτήσεων;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Μια γραμμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής y=kx+b, όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, k και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

1. Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης,χρειαζόμαστε τις συντεταγμένες δύο σημείων που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να τα βρείτε, πρέπει να πάρετε δύο τιμές x, να τις αντικαταστήσετε στην εξίσωση της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές y από αυτές.

Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y= x+2, είναι βολικό να πάρουμε x=0 και x=3, τότε οι τεταγμένες αυτών των σημείων θα είναι ίσες με y=2 και y=3. Παίρνουμε τους βαθμούς Α(0;2) και Β(3;3). Ας τα συνδέσουμε και πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= x+2:

2. Στον τύπο y=kx+b, ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας:
αν k>0, τότε η συνάρτηση y=kx+b αυξάνεται
αν κ
Ο συντελεστής b δείχνει τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατά μήκος του άξονα OY:
αν b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx μετατοπίζοντας b μονάδες προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα OY
αν β
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Σημειώστε ότι σε όλες αυτές τις συναρτήσεις ο συντελεστής k Πάνω απο το μηδέν,και λειτουργίες είναι αυξανόμενη.Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του k, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX.

Σε όλες τις συναρτήσεις b=3 - και βλέπουμε ότι όλα τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Τώρα εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y=-2x+3. y=- ½ x+3; y=-x+3

Αυτή τη φορά, σε όλες τις συναρτήσεις, ο συντελεστής k λιγότερο από το μηδένκαι χαρακτηριστικά μείωση.Ο συντελεστής b=3 και οι γραφικές παραστάσεις, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, διασχίζουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Θεωρήστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Τώρα, σε όλες τις εξισώσεις των συναρτήσεων, οι συντελεστές k είναι ίσοι με 2. Και πήραμε τρεις παράλληλες ευθείες.

Αλλά οι συντελεστές b είναι διαφορετικοί και αυτά τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY σε διαφορετικά σημεία:
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x+3 (b=3) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0;3)
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x (b=0) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0;0) - την αρχή.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x-3 (b=-3) διασχίζει τον άξονα OY στο σημείο (0;-3)

Άρα, αν γνωρίζουμε τα πρόσημα των συντελεστών k και b, τότε μπορούμε αμέσως να φανταστούμε πώς μοιάζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b.
Αν ένα k 0

Αν ένα k>0 και b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν ένα k>0 και β, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν ένα k, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν ένα k=0, τότε η συνάρτηση y=kx+b μετατρέπεται σε συνάρτηση y=b και η γραφική παράσταση της μοιάζει με:

Οι τεταγμένες όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=b ισούνται με b Αν b=0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx (ευθεία αναλογικότητα) διέρχεται από την αρχή:

3. Ξεχωριστά σημειώνουμε τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x=a.Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα OY, της οποίας όλα τα σημεία έχουν τετμημένη x=a.

Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της εξίσωσης x=3 μοιάζει με αυτό:
Προσοχή!Η εξίσωση x=a δεν είναι συνάρτηση, αφού μια τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε διαφορετικές τιμές της συνάρτησης, η οποία δεν αντιστοιχεί στον ορισμό της συνάρτησης.

4. Συνθήκη για παραλληλισμό δύο ευθειών:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι παράλληλη με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 =k 2

5. Η προϋπόθεση για δύο ευθείες να είναι κάθετες:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι κάθετη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 *k 2 =-1 ή k 1 =-1/k 2

6. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=kx+b με τους άξονες συντεταγμένων.

με άξονα ΟΥ. Η τετμημένη κάθε σημείου που ανήκει στον άξονα ΟΥ ισούται με μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OY, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν αντί του x στην εξίσωση της συνάρτησης. Παίρνουμε y=b. Δηλαδή το σημείο τομής με τον άξονα OY έχει συντεταγμένες (0;b).

Με τον άξονα x: Η τεταγμένη οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στον άξονα x είναι μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OX, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν αντί του y στην εξίσωση της συνάρτησης. Παίρνουμε 0=kx+b. Επομένως x=-b/k. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OX έχει συντεταγμένες (-b / k; 0):

Ας δούμε πώς να εξερευνήσετε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας ένα γράφημα. Αποδεικνύεται ότι κοιτάζοντας το γράφημα, μπορείτε να μάθετε όλα όσα μας ενδιαφέρουν, δηλαδή:

• εύρος λειτουργίας
• εύρος λειτουργίας
• συνάρτηση μηδενικά
• περιόδους αύξησης και μείωσης
• υψηλά και χαμηλά σημεία
• η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα.

Ας διευκρινίσουμε την ορολογία:

Τετμημένηείναι η οριζόντια συντεταγμένη του σημείου.
Τεταγμένη- κάθετη συντεταγμένη.
τετμημένη- ο οριζόντιος άξονας, που συνήθως ονομάζεται άξονας.
Άξονας Υ- κατακόρυφος άξονας ή άξονας.

Διαφωνίαείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή από την οποία εξαρτώνται οι τιμές της συνάρτησης. Τις περισσότερες φορές υποδεικνύεται.
Με άλλα λόγια, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε , αντικαθιστούμε στον τύπο συνάρτησης και παίρνουμε .

Τομέασυναρτήσεις - το σύνολο αυτών (και μόνο αυτών) των τιμών του ορίσματος για το οποίο υπάρχει η συνάρτηση.
Συμβολίζεται: ή .

Στο σχήμα μας, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα τμήμα. Σε αυτό το τμήμα σχεδιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Μόνο εδώ υπάρχει αυτή η λειτουργία.

Εύρος λειτουργιώνείναι το σύνολο των τιμών που παίρνει η μεταβλητή. Στο σχήμα μας, αυτό είναι ένα τμήμα - από τη χαμηλότερη στην υψηλότερη τιμή.

Συναρτήσεις μηδενικά- σημεία όπου η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν, δηλ. Στο σχήμα μας, αυτά είναι τα σημεία και .

Οι τιμές των συναρτήσεων είναι θετικέςπου . Στο σχήμα μας, αυτά είναι τα διαστήματα και .
Οι τιμές των συναρτήσεων είναι αρνητικέςπου . Έχουμε αυτό το διάστημα (ή διάστημα) από έως.

Οι πιο σημαντικές έννοιες - αυξανόμενες και φθίνουσες συναρτήσειςσε κάποιο σετ. Ως σύνολο, μπορείτε να πάρετε ένα τμήμα, ένα διάστημα, μια ένωση διαστημάτων ή ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Λειτουργία αυξάνει

Με άλλα λόγια, όσο περισσότερα , τόσο περισσότερα, δηλαδή το γράφημα πηγαίνει δεξιά και πάνω.

Λειτουργία μειώνεταιστο σύνολο αν για κανένα και ανήκει στο σύνολο η ανισότητα συνεπάγεται την ανισότητα .

Για μια φθίνουσα συνάρτηση, μια μεγαλύτερη τιμή αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή. Το γράφημα πηγαίνει δεξιά και κάτω.

Στο σχήμα μας, η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα και μειώνεται στα διαστήματα και .

Ας ορίσουμε τι είναι μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης.

Μέγιστο σημείο- αυτό είναι ένα εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού, έτσι ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μεγαλύτερη από ό,τι σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά σε αυτό.
Με άλλα λόγια, το μέγιστο σημείο είναι ένα τέτοιο σημείο, η τιμή της συνάρτησης στην οποία περισσότεροπαρά σε γειτονικές. Αυτός είναι ένας τοπικός "λόφος" στο γράφημα.

Στο σχήμα μας - το μέγιστο σημείο.

Χαμηλό σημείο- ένα εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού, τέτοιο ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μικρότερη από ό,τι σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά σε αυτό.
Δηλαδή, το ελάχιστο σημείο είναι τέτοιο ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μικρότερη από ό,τι σε γειτονικές. Στο γράφημα, αυτή είναι μια τοπική «τρύπα».

Στο σχήμα μας - το ελάχιστο σημείο.

Το σημείο είναι το όριο. Δεν είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού και επομένως δεν ταιριάζει με τον ορισμό ενός μέγιστου σημείου. Άλλωστε, δεν έχει γείτονες στα αριστερά. Με τον ίδιο τρόπο, δεν μπορεί να υπάρχει ελάχιστο σημείο στο διάγραμμά μας.

Ο μέγιστος και ο ελάχιστος βαθμός καλούνται συλλογικά ακραία σημεία της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι και .

Αλλά τι γίνεται αν χρειαστεί να βρείτε, για παράδειγμα, ελάχιστη λειτουργίαστο κόψιμο; Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση είναι: επειδή ελάχιστη λειτουργίαείναι η τιμή του στο ελάχιστο σημείο.

Ομοίως, το μέγιστο της συνάρτησής μας είναι . Φτάνεται στο σημείο.

Μπορούμε να πούμε ότι τα άκρα της συνάρτησης είναι ίσα με και .

Μερικές φορές σε εργασίες πρέπει να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησηςσε ένα δεδομένο τμήμα. Δεν συμπίπτουν απαραίτητα με ακρότητες.

Στην περίπτωσή μας μικρότερη τιμή συνάρτησηςστο διάστημα είναι ίσο και συμπίπτει με το ελάχιστο της συνάρτησης. Αλλά η μεγαλύτερη τιμή του σε αυτό το τμήμα ισούται με . Φτάνεται στο αριστερό άκρο του τμήματος.

Σε κάθε περίπτωση, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα επιτυγχάνονται είτε στα άκρα είτε στα άκρα του τμήματος.

Οι βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι εγγενείς ιδιότητές τους και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι ένα από τα βασικά της μαθηματικής γνώσης, παρόμοια σε σημασία με τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις αποτελούν τη βάση, υποστήριξη για τη μελέτη όλων των θεωρητικών ζητημάτων.

Το παρακάτω άρθρο παρέχει βασικό υλικό για το θέμα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Θα εισαγάγουμε όρους, θα τους δώσουμε ορισμούς. Ας μελετήσουμε λεπτομερώς κάθε τύπο στοιχειωδών συναρτήσεων και ας αναλύσουμε τις ιδιότητές τους.

Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ορισμός 1

• σταθερή συνάρτηση (σταθερή);
• ρίζα του nου βαθμού?
• λειτουργία ισχύος?
• εκθετικη συναρτηση;
• λογαριθμική συνάρτηση;
• τριγωνομετρικές συναρτήσεις;
• αδελφικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Μια σταθερή συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο: y = C (το C είναι κάποιος πραγματικός αριθμός) και έχει επίσης ένα όνομα: σταθερά. Αυτή η συνάρτηση καθορίζει εάν οποιαδήποτε πραγματική τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x αντιστοιχεί στην ίδια τιμή της μεταβλητής y – την τιμή C .

Η γραφική παράσταση μιας σταθεράς είναι μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη στον άξονα x και διέρχεται από ένα σημείο που έχει συντεταγμένες (0, C). Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε γραφήματα σταθερών συναρτήσεων y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (σημειώνονται με μαύρο, κόκκινο και μπλε χρώμα στο σχέδιο, αντίστοιχα).

Ορισμός 2

Αυτή η στοιχειώδης συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο y = x n (το n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από ένα).

Ας εξετάσουμε δύο παραλλαγές της συνάρτησης.

1. Ρίζα του ν΄ βαθμού, το n είναι ζυγός αριθμός

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε το σχέδιο, το οποίο δείχνει τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων: y = x, y = x 4 και y = x 8 . Αυτές οι λειτουργίες είναι χρωματικά κωδικοποιημένες: μαύρο, κόκκινο και μπλε, αντίστοιχα.

Παρόμοια προβολή των γραφημάτων της συνάρτησης ζυγού βαθμού για άλλες τιμές ​​του δείκτη.

Ορισμός 3

Ιδιότητες της συνάρτησης ρίζα του ν ου βαθμού, το n είναι ζυγός αριθμός

• το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών [ 0 , + ∞) ;
• όταν x = 0 , η συνάρτηση y = x n έχει τιμή ίση με μηδέν.
• αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε ζυγή ούτε περιττή).
• εύρος: [ 0 , + ∞) ;
• Αυτή η συνάρτηση y = x n με ζυγούς εκθέτες της ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
• η συνάρτηση έχει κυρτότητα με κατεύθυνση προς τα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού.
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• η γραφική παράσταση της συνάρτησης για άρτιο n διέρχεται από τα σημεία (0 ; 0) και (1 ; 1) .

1. Ρίζα του nου βαθμού, το n είναι περιττός αριθμός

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y = x 3, y = x 5 και x 9 . Στο σχέδιο, υποδεικνύονται με χρώματα: μαύρο, κόκκινο και μπλε χρώματα των καμπυλών, αντίστοιχα.

Άλλες περιττές τιμές του εκθέτη της ρίζας της συνάρτησης y = x n θα δώσουν ένα γράφημα παρόμοιας μορφής.

Ορισμός 4

Ιδιότητες της συνάρτησης ρίζα του ν ου βαθμού, το n είναι περιττός αριθμός

• Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• Αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.
• το εύρος τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• η συνάρτηση y = x n με περιττούς εκθέτες της ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
• η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο διάστημα (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα στο διάστημα [ 0 , + ∞) ;
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0 ; 0) ;
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• η γραφική παράσταση της συνάρτησης για περιττό n διέρχεται από τα σημεία (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) και (1 ; 1) .

Λειτουργία ισχύος

Ορισμός 5

Η συνάρτηση ισχύος ορίζεται από τον τύπο y = x a .

Ο τύπος των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης εξαρτώνται από την τιμή του εκθέτη.

• όταν μια συνάρτηση ισχύος έχει έναν ακέραιο εκθέτη α, τότε η μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ισχύος και οι ιδιότητές της εξαρτώνται από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός, καθώς και από το πρόσημο που έχει ο εκθέτης. Ας εξετάσουμε όλες αυτές τις ειδικές περιπτώσεις με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
• ο εκθέτης μπορεί να είναι κλασματικός ή παράλογος - ανάλογα με αυτό, ο τύπος των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης ποικίλλουν επίσης. Θα αναλύσουμε ειδικές περιπτώσεις θέτοντας αρκετές προϋποθέσεις: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• μια συνάρτηση ισχύος μπορεί να έχει μηδενικό εκθέτη, θα αναλύσουμε επίσης αυτή την περίπτωση λεπτομερέστερα παρακάτω.

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν το a είναι ένας περιττός θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 1 , 3 , 5 …

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x (μαύρο χρώμα του γραφήματος), y = x 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 5 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος), y = x 7 (πράσινο γράφημα). Όταν a = 1 , παίρνουμε μια γραμμική συνάρτηση y = x .

Ορισμός 6

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός θετικός

• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κοίλη για x ∈ [ 0 ; + ∞) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης);
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0 ; 0) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν το a είναι ένας άρτιος θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 2 , 4 , 6 ...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y \u003d x 2 (μαύρο χρώμα του γραφήματος), y = x 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 8 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). Όταν a = 2, παίρνουμε μια τετραγωνική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια τετραγωνική παραβολή.

Ορισμός 7

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος θετικός:

• τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• φθίνουσα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων εκθετικής συνάρτησης y = x a όταν το a είναι περιττός αρνητικός αριθμός: y = x - 9 (μαύρο χρώμα του γραφήματος). y = x - 5 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 3 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). y = x - 1 (πράσινο γράφημα). Όταν a \u003d - 1, παίρνουμε μια αντίστροφη αναλογικότητα, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια υπερβολή.

Ορισμός 8

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός αρνητικός:

Όταν x \u003d 0, έχουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ για ένα \u003d - 1, - 3, - 5, .... Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη.

• εύρος: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ (- ∞ ; 0) και κοίλη για x ∈ (0 ; + ∞) ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 όταν a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι άρτιος αρνητικός αριθμός: y = x - 8 (διάγραμμα σε μαύρο) y = x - 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 2 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Ορισμός 9

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος:

• τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Όταν x \u003d 0, έχουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ για ένα \u003d - 2, - 4, - 6, .... Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη.

• η συνάρτηση είναι άρτια επειδή y (- x) = y (x) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; 0) και μειώνεται για x ∈ 0 ; +∞ ;
• η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• η οριζόντια ασύμπτωτη είναι ευθεία y = 0 γιατί:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 όταν a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Από την αρχή, δώστε προσοχή στην ακόλουθη πτυχή: στην περίπτωση που το a είναι ένα θετικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, ορισμένοι συγγραφείς λαμβάνουν το διάστημα - ∞ ως πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης ισχύος. + ∞ , ορίζοντας ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Αυτή τη στιγμή, οι συγγραφείς πολλών εκπαιδευτικών δημοσιεύσεων σχετικά με την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος, όπου ο εκθέτης είναι ένα κλάσμα με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Επιπλέον, θα τηρήσουμε ακριβώς μια τέτοια θέση: παίρνουμε το σύνολο [ 0 ; +∞) . Σύσταση για μαθητές: μάθετε την άποψη του δασκάλου σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Ας ρίξουμε λοιπόν μια ματιά στη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν ο εκθέτης είναι ρητός ή άρρητος αριθμός με την προϋπόθεση ότι το 0< a < 1 .

Ας δείξουμε με γραφήματα τις συναρτήσεις ισχύος y = x a όταν a = 11 12 (διάγραμμα με μαύρο χρώμα). a = 5 7 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). a = 1 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος). a = 2 5 (πράσινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές του εκθέτη a (υποθέτοντας 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ορισμός 10

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος στο 0< a < 1:

• εύρος: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (0 ; + ∞) ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a όταν ο εκθέτης είναι ένας μη ακέραιος ρητός ή άρρητος αριθμός με την προϋπόθεση ότι a > 1 .

Παρουσιάζουμε τα γραφήματα της συνάρτησης ισχύος y \u003d x a υπό δεδομένες συνθήκες χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες συναρτήσεις ως παράδειγμα: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο γραφήματα, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές του εκθέτη a υπό την προϋπόθεση a > 1 θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος.

Ορισμός 11

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος για > 1:

• τομέας ορισμού: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• εύρος: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ (0 ; + ∞) (όταν 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημεία επιτυχίας συνάρτησης: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Εφιστούμε την προσοχή σας!Όταν το a είναι ένα αρνητικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, στα έργα ορισμένων συγγραφέων υπάρχει η άποψη ότι το πεδίο ορισμού σε αυτή την περίπτωση είναι το διάστημα - ∞. 0 ∪ (0 ; + ∞) με την προϋπόθεση ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Προς το παρόν, οι συγγραφείς εκπαιδευτικού υλικού για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος με έναν εκθέτη με τη μορφή κλάσματος με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Επιπλέον, τηρούμε ακριβώς μια τέτοια άποψη: παίρνουμε το σύνολο (0 ; + ∞) ως το πεδίο των συναρτήσεων ισχύος με κλασματικούς αρνητικούς εκθέτες. Πρόταση για μαθητές: Ξεκαθαρίστε το όραμα του δασκάλου σας σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Συνεχίζουμε το θέμα και αναλύουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a παρέχεται: - 1< a < 0 .

Ακολουθεί ένα σχέδιο γραφημάτων των παρακάτω συναρτήσεων: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (μαύρες, κόκκινες, μπλε, πράσινες γραμμές, αντίστοιχα ).

Ορισμός 12

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος στο - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• εύρος: y ∈ 0 ; +∞ ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων ισχύος y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο χρώμα των καμπυλών, αντίστοιχα).

Ορισμός 13

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος για α< - 1:

• τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν α< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ 0; +∞ ;
• η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ 0; +∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• οριζόντια ασύμπτωτη - ευθεία γραμμή y = 0 ;
• σημείο διέλευσης συνάρτησης: (1 ; 1) .

Όταν a \u003d 0 και x ≠ 0, παίρνουμε τη συνάρτηση y \u003d x 0 \u003d 1, η οποία καθορίζει την ευθεία από την οποία εξαιρείται το σημείο (0; 1) (συμφωνήσαμε ότι η παράσταση 0 0 δεν θα είναι δεδομένης οποιασδήποτε αξίας).

Η εκθετική συνάρτηση έχει τη μορφή y = a x, όπου a > 0 και a ≠ 1, και η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης φαίνεται διαφορετική με βάση την τιμή της βάσης a. Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις.

Αρχικά, ας αναλύσουμε την κατάσταση όταν η βάση της εκθετικής συνάρτησης έχει τιμή από μηδέν έως ένα (0< a < 1) . Ενδεικτικό παράδειγμα είναι τα γραφήματα των συναρτήσεων για a = 1 2 (μπλε χρώμα της καμπύλης) και a = 5 6 (κόκκινο χρώμα της καμπύλης).

Τα γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης θα έχουν παρόμοια μορφή για άλλες τιμές της βάσης, με την προϋπόθεση ότι 0< a < 1 .

Ορισμός 14

Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

• εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μικρότερη από ένα μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• η οριζόντια ασύμπτωτη είναι η ευθεία y = 0 με τη μεταβλητή x να τείνει στο + ∞ ;

Τώρα εξετάστε την περίπτωση όταν η βάση της εκθετικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία (a > 1).

Ας δείξουμε αυτήν την ειδική περίπτωση με τη γραφική παράσταση των εκθετικών συναρτήσεων y = 3 2 x (μπλε χρώμα της καμπύλης) και y = e x (κόκκινο χρώμα της γραφικής παράστασης).

Άλλες τιμές της βάσης, μεγαλύτερες από μία, θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος της εκθετικής συνάρτησης.

Ορισμός 15

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

• Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
• εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• Μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μεγαλύτερη από μία αυξάνεται για x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• οριζόντια ασύμπτωτη - ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει προς - ∞ ;
• σημείο διέλευσης συνάρτησης: (0 ; 1) .

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη μορφή y = log a (x) , όπου a > 0 , a ≠ 1 .

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικές τιμές του ορίσματος: για x ∈ 0 ; +∞ .

Η γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης έχει διαφορετική μορφή, με βάση την τιμή της βάσης α.

Σκεφτείτε πρώτα την κατάσταση όταν 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Άλλες τιμές της βάσης, όχι μεγαλύτερες από μία, θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος.

Ορισμός 16

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

• τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; +∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο + ∞.
• εύρος: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• λογαριθμική
• η συνάρτηση είναι κοίλη για x ∈ 0; +∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας αναλύσουμε τώρα μια ειδική περίπτωση όταν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από ένα: a > 1 . Στο παρακάτω σχέδιο, υπάρχουν γραφήματα των λογαριθμικών συναρτήσεων y = log 3 2 x και y = ln x (μπλε και κόκκινο χρώμα των γραφημάτων, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές της βάσης μεγαλύτερες από μία θα δώσουν παρόμοια άποψη του γραφήματος.

Ορισμός 17

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

• τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; +∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν σε - ∞.
• εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ (το σύνολο των πραγματικών αριθμών).
• Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
• η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ 0; +∞ ;
• η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ 0; +∞ ;
• δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
• σημείο διέλευσης συνάρτησης: (1 ; 0) .

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Ας αναλύσουμε τις ιδιότητες καθενός από αυτά και τα αντίστοιχα γραφήματα.

Γενικά, όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της περιοδικότητας, δηλ. όταν οι τιμές των συναρτήσεων επαναλαμβάνονται για διαφορετικές τιμές του ορίσματος που διαφέρουν μεταξύ τους κατά την τιμή της περιόδου f (x + T) = f (x) (T είναι η περίοδος). Έτσι, το στοιχείο "ελάχιστη θετική περίοδος" προστίθεται στη λίστα των ιδιοτήτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιπλέον, θα υποδείξουμε τέτοιες τιμές του ορίσματος για τις οποίες η αντίστοιχη συνάρτηση εξαφανίζεται.

1. Ημιτονοειδής συνάρτηση: y = sin(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται ημιτονοειδές κύμα.

Ορισμός 18

Ιδιότητες της ημιτονοειδούς συνάρτησης:

• πεδίο ορισμού: ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π k , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• η ημιτονοειδής συνάρτηση έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία π 2 + 2 π · k ; 1 και τοπικά ελάχιστα στα σημεία - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι κοίλη όταν x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. συνημιτονική συνάρτηση: y=cos(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνημιτονικό κύμα.

Ορισμός 19

Ιδιότητες της συνημίτονος:

• τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• η μικρότερη θετική περίοδος: T \u003d 2 π.
• εύρος: y ∈ - 1 ; ένας ;
• αυτή η συνάρτηση είναι άρτια, αφού y (- x) = y (x) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• η συνημίτονο έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία 2 π · k ; 1 , k ∈ Z και τοπικά ελάχιστα στα σημεία π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• η συνημίτονο είναι κοίλη όταν x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. Συνάρτηση εφαπτομένης: y = t g (x)

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης καλείται εφαπτομενοειδής.

Ορισμός 20

Ιδιότητες της εφαπτομένης συνάρτησης:

• τομέας ορισμού: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών);
• Η συμπεριφορά της εφαπτομένης συνάρτησης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π 2 + π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.
• η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
• εύρος: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται στο - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• η συνάρτηση εφαπτομένης είναι κοίλη για x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z και κυρτό για x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π k. 0 , k ∈ Z ;

1. Συνεφαπτομένη συνάρτηση: y = c t g (x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνεφαπτοειδές. .

Ορισμός 21

Ιδιότητες της συνεπαπτομένης συνάρτησης:

• πεδίο ορισμού: x ∈ (π k ; π + π k) , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων);

Συμπεριφορά της συνεπαπτομένης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.

• η μικρότερη θετική περίοδος: T \u003d π.
• η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π 2 + π k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
• εύρος: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• η συνεπαπτομένη είναι κοίλη για x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z και κυρτή για x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ) , k ∈ Z ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• δεν υπάρχουν πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες.

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το τόξο, η αρκοσίνη, η τοξοεφαπτομένη και η τοξοεφαπτομένη. Συχνά, λόγω της παρουσίας του προθέματος "τόξο" στο όνομα, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ονομάζονται συναρτήσεις τόξου. .

1. Συνάρτηση Arcsine: y = a r c sin (x)

Ορισμός 22

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση τόξου είναι κοίλη για x ∈ 0; 1 και κυρτότητα για x ∈ - 1 ; 0;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες (0 ; 0), είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. Λειτουργία αρκκοζίνης: y = a r c cos (x)

Ορισμός 23

Ιδιότητες λειτουργίας αρκκοζίνης:

• τομέας ορισμού: x ∈ - 1 ; ένας ;
• εύρος: y ∈ 0 ; π;
• αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής (ούτε ζυγή ούτε περιττή).
• η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
• η συνάρτηση αρκοσίνης είναι κοίλη για x ∈ - 1 ; 0 και κυρτότητα για x ∈ 0 ; ένας ;
• Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες 0 . π2;
• δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

1. Συνάρτηση Arctagent: y = a r c t g (x)

Ορισμός 24

Ιδιότητες συνάρτησης Arctangent:

• τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• εύρος: y ∈ - π 2 ; π2;
• αυτή η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x) ;
• η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
• η συνάρτηση του τόξου είναι κοίλη για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κυρτή για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0), είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
• Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = - π 2 για x → - ∞ και y = π 2 για x → + ∞ (οι ασύμπτωτες στο σχήμα είναι πράσινες γραμμές).

1. Λειτουργία συμεφαπτομένης τόξου: y = a r c c t g (x)

Ορισμός 25

Ιδιότητες λειτουργίας συμεφαπτομένης τόξου:

• τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• εύρος: y ∈ (0 ; π) ;
• Αυτή η συνάρτηση είναι γενικού τύπου.
• η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
• η συνάρτηση συνεφαπτομένης τόξου είναι κοίλη για x ∈ [ 0 ; + ∞) και κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες 0 . π2;
• Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = π στο x → - ∞ (πράσινη γραμμή στο σχέδιο) και y = 0 στο x → + ∞.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Μόλις καταλάβετε πραγματικά τι είναι μια συνάρτηση (ίσως χρειαστεί να διαβάσετε το μάθημα περισσότερες από μία φορές), θα μπορείτε να λύσετε προβλήματα με συναρτήσεις με περισσότερη σιγουριά.

Σε αυτό το μάθημα, θα αναλύσουμε τον τρόπο επίλυσης των κύριων τύπων προβλημάτων συναρτήσεων και γραφημάτων συναρτήσεων.

Πώς να πάρετε την τιμή μιας συνάρτησης

Ας εξετάσουμε το έργο. Η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο " y \u003d 2x - 1"

1. Υπολογισμός " y" Πότε" x \u003d 15 "
2. Βρείτε την τιμή " x", στην οποία η τιμή " y "είναι ίση με" −19 ".

Για να υπολογίσετε " y"Με" x \u003d 15"Αρκεί να αντικαταστήσετε την απαιτούμενη αριθμητική τιμή στη συνάρτηση αντί για "x".

Η καταχώρηση λύσης μοιάζει με αυτό:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Για να βρείτε το " x"Σύμφωνα με το γνωστό" y", είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε μια αριθμητική τιμή αντί για "y" στον τύπο της συνάρτησης.

Δηλαδή, τώρα, αντίθετα, για αναζήτηση για " x"Αντικαθιστούμε στη συνάρτηση" y \u003d 2x - 1 "Αντί για" y ", τον αριθμό" −19".

−19 = 2x − 1

Λάβαμε μια γραμμική εξίσωση με άγνωστο "x", η οποία λύνεται σύμφωνα με τους κανόνες επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.

Θυμάμαι!

Μην ξεχνάτε τον κανόνα μεταφοράς στις εξισώσεις.

Κατά τη μεταφορά από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης προς τα δεξιά (και αντίστροφα), το γράμμα ή ο αριθμός αλλάζει πρόσημο σε απεναντι απο.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Όπως και με την επίλυση μιας γραμμικής εξίσωσης, για να βρούμε το άγνωστο, τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και η αριστερή και η δεξιά πλευράσε "−1" για να αλλάξετε το πρόσημο.

-2x = 18 | (−1)
2x = −18

Τώρα ας διαιρέσουμε και την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με το "2" για να βρούμε το "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Πώς να ελέγξετε αν ισχύει η ισότητα για μια συνάρτηση

Ας εξετάσουμε το έργο. Η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο "f(x) = 2 − 5x".

Είναι αληθής η ισότητα "f(−2) = −18";

Για να ελέγξετε αν η ισότητα είναι αληθής, πρέπει να αντικαταστήσετε την αριθμητική τιμή "x = −2" στη συνάρτηση " f (x) \u003d 2 - 5x"Και να συγκρίνετε με αυτό που συμβαίνει στους υπολογισμούς.

Σπουδαίος!

Όταν αντικαθιστάτε έναν αρνητικό αριθμό με το "x", φροντίστε να τον περικλείσετε σε αγκύλες.

Δεν είναι σωστό

Σωστά

Με τη βοήθεια των υπολογισμών, πήραμε "f(−2) = 12".

Αυτό σημαίνει ότι το "f(−2) = −18" για τη συνάρτηση "f(x) = 2 − 5x" δεν είναι έγκυρη ισότητα.

Πώς να ελέγξετε εάν ένα σημείο ανήκει σε ένα γράφημα μιας συνάρτησης

Θεωρήστε τη συνάρτηση " y \u003d x 2 −5x + 6"

Απαιτείται να διαπιστωθεί εάν το σημείο με συντεταγμένες (1; 2) ανήκει στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης.

Για αυτήν την εργασία, δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε μια δεδομένη συνάρτηση.

Θυμάμαι!

Για να προσδιορίσετε εάν ένα σημείο ανήκει σε μια συνάρτηση, αρκεί να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του στη συνάρτηση (συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα "Ox" αντί για "x" και η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα "Oy" αντί για "y").

Αν αυτό πετύχει αληθινή ισότητα, άρα το σημείο ανήκει στη συνάρτηση.

Ας επιστρέψουμε στο έργο μας. Αντικαταστήστε στη συνάρτηση "y \u003d x 2 - 5x + 6" τις συντεταγμένες του σημείου (1; 2).

Αντί για "x"Αντικαθιστούμε" 1". Αντί για " y"Αντικατάστατο" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (σωστό)

Λάβαμε τη σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι το σημείο με συντεταγμένες (1; 2) ανήκει στη δεδομένη συνάρτηση.

Τώρα ας ελέγξουμε το σημείο με συντεταγμένες (0; 1) . Ανήκει
συναρτήσεις "y \u003d x 2 - 5x + 6";

Αντί για "x", ας αντικαταστήσουμε το "0". Αντί για " y"Αντικατάστατο" 1».

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (λάθος)

Σε αυτή την περίπτωση, δεν πετύχαμε τη σωστή ισότητα. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο με συντεταγμένες (0; 1) δεν ανήκει στη συνάρτηση " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Πώς να λάβετε συντεταγμένες σημείων συνάρτησης

Από οποιοδήποτε γράφημα συνάρτησης, μπορείτε να πάρετε τις συντεταγμένες ενός σημείου. Στη συνέχεια, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι κατά την αντικατάσταση των συντεταγμένων στον τύπο της συνάρτησης, προκύπτει η σωστή ισότητα.

Θεωρήστε τη συνάρτηση "y(x) = −2x + 1". Έχουμε ήδη φτιάξει το πρόγραμμά του στο προηγούμενο μάθημα.

Ας βρούμε στο γράφημα της συνάρτησης " y (x) \u003d -2x + 1", που ισούται με" y" Για x \u003d 2.

Για να το κάνετε αυτό, από την τιμή " 2"Στον άξονα" Ox", Σχεδιάστε μια κάθετη στο γράφημα της συνάρτησης. Από το σημείο τομής της κάθετου και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης να σχεδιάσετε μια άλλη κάθετο στον άξονα «Ου».

Η προκύπτουσα τιμή " −3"Στον άξονα" Oy"Και θα είναι η επιθυμητή τιμή" y».

Ας βεβαιωθούμε ότι πήραμε σωστά τις συντεταγμένες του σημείου για x = 2
στη συνάρτηση «y(x) = −2x + 1».

Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε το x \u003d 2 στον τύπο της συνάρτησης "y (x) \u003d -2x + 1". Αν σχεδιάσουμε σωστά την κάθετο, θα πρέπει επίσης να καταλήξουμε σε y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Κατά τον υπολογισμό, πήραμε επίσης y = −3.

Αυτό σημαίνει ότι λάβαμε σωστά τις συντεταγμένες από το γράφημα της συνάρτησης.

Σπουδαίος!

Φροντίστε να ελέγξετε όλες τις συντεταγμένες του σημείου από το γράφημα συνάρτησης αντικαθιστώντας τις τιμές του "x" στη συνάρτηση.

Όταν αντικαθιστάτε την αριθμητική τιμή "x" στη συνάρτηση, το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι η ίδια τιμή "y", που λάβατε στο γράφημα.

Όταν λαμβάνετε τις συντεταγμένες των σημείων από το γράφημα της συνάρτησης, είναι πολύ πιθανό να κάνετε λάθος, επειδή η σχεδίαση κάθετου στους άξονες εκτελείται «με το μάτι».

Μόνο η αντικατάσταση τιμών σε έναν τύπο συνάρτησης δίνει ακριβή αποτελέσματα.