Ένα άλλο σχήμα για την περιγραφή πειραμάτων με διφορούμενα προβλεπόμενα αποτελέσματα, που καθιστά αρκετά εύκολη την εισαγωγή ενός ποσοτικού χαρακτηριστικού της σκοπιμότητας ενός γεγονότος, είναι το σχήμα των γεωμετρικών πιθανοτήτων, το οποίο, όπως το σχήμα των περιπτώσεων που εξετάστηκαν παραπάνω, εκμεταλλεύεται την ιδέα του την ίση πιθανότητα των αποτελεσμάτων του πειράματος. Ακριβώς όπως έγινε στο σχήμα των περιπτώσεων, το ποσοτικό χαρακτηριστικό της σκοπιμότητας ενός γεγονότος - η πιθανότητα του - ορίζεται ως μια τιμή κανονικοποιημένη κατά κάποιο τρόπο, ανάλογη με το απόθεμα των αποτελεσμάτων που ευνοούν την υλοποίηση του γεγονότος. Αφήστε το σύνολο των αποτελεσμάτων του υπό μελέτη πειράματος να περιγραφεί ως ένα σύνολο σημείων P κάποιου "γεωμετρικού συνεχούς" - κάθε αποτέλεσμα αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο σημείο και κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Το "γεωμετρικό συνεχές" Q μπορεί να είναι ένα τμήμα σε μια ευθεία γραμμή, ένα τόξο μιας διορθώσιμης καμπύλης σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα, ένα σύνολο τετραγωνισμού σε ένα επίπεδο (τρίγωνο, ορθογώνιο, κύκλος, έλλειψη κ.λπ.) ή μέρος μια τετραγωνισμένη επιφάνεια, κάποιος όγκος στο χώρο ( ένα πολύεδρο - ένα πρίσμα, μια πυραμίδα, μια μπάλα, ένα ελλειψοειδές κ.λπ.) Ένα συμβάν είναι οποιοδήποτε υποσύνολο τετραγωνισμού ενός συνόλου (μήκος, εμβαδόν, όγκος) που μπορούμε να μετρήσουμε. Υποθέτοντας την ισοπιθανότητα των αποτελεσμάτων, ας ονομάσουμε την πιθανότητα του γεγονότος Α έναν αριθμό ανάλογο με το μέτρο του υποσυνόλου Α του συνόλου P: Οι γεωμετρικές πιθανότητες σε αυτή την περίπτωση θα είναι μεταξύ μηδέν - η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος, και ενός - το πιθανότητα αξιόπιστου συμβάντος4*. Η συνθήκη κανονικοποίησης σάς επιτρέπει να βρείτε τη σταθερά k - τον συντελεστή αναλογικότητας που καθορίζει την πιθανότητα. Αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με Έτσι, στο σχήμα των γεωμετρικών πιθανοτήτων, η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος ορίζεται ως ο λόγος του μέτρου του υποσυνόλου Α, που περιγράφει το γεγονός, προς το μέτρο του συνόλου il, περιγράφοντας το πείραμα ως ένα σύνολο: που περιέχεται σε ένα άλλο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το τελευταίο. Όπως και στο σχήμα των περιπτώσεων, τα γεγονότα στο σχήμα των γεωμετρικών πιθανοτήτων μπορούν να συνδυαστούν, να συνδυαστούν και να χτιστούν με βάση αντίθετες πιθανότητες - σε αυτήν την περίπτωση, μιλώντας γενικά, θα ληφθούν γεγονότα διαφορετικά από τα αρχικά γεγονότα. Η επόμενη ιδιοκτησία είναι πολύ σημαντική. 3. Εάν τα γεγονότα είναι ασύμβατα, τότε, ειδικότερα, ισχύει η αρχή της συμπληρωματικότητας: Αυτή η ιδιότητα, που συνήθως ονομάζεται κανόνας πρόσθεσης πιθανοτήτων, προκύπτει προφανώς από την προσθετικότητα του μέτρου5*. Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι η πιθανότητα οποιουδήποτε αποτελέσματος στο σχήμα των γεωμετρικών πιθανοτήτων είναι πάντα ίση με μηδέν, καθώς και η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος που περιγράφεται από ένα «κοκαλιάρικο» σύνολο σημείων, δηλ. σύνολο, το μέτρο του οποίου (αντίστοιχα - μήκος, εμβαδόν, όγκος) ισούται με μηδέν. Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα που απεικονίζουν τον υπολογισμό των πιθανοτήτων στο σχήμα των γεωμετρικών πιθανοτήτων. Παράδειγμα 1. Το πείραμα συνίσταται στην τυχαία επιλογή ενός σημείου από το τμήμα [a, 6|. Βρείτε την πιθανότητα το επιλεγμένο σημείο να βρίσκεται στο αριστερό μισό του εξεταζόμενου τμήματος. 4 Εξ ορισμού, η πιθανότητα επιλογής ενός σημείου από οποιοδήποτε σύνολο σε ένα τμήμα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και το γινόμενο τους είναι αρνητικό.
Απάντηση: 0,25.
4.6. Κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης μάχης, η n-th μοίρα βομβαρδιστικών έλαβε το καθήκον να επιτεθεί στην αποθήκη πετρελαίου του «εχθρού». Στο έδαφος της αποθήκης πετρελαίου, που έχει σχήμα ορθογώνιου με πλευρές 30 και 50 m, υπάρχουν τέσσερις στρογγυλές δεξαμενές πετρελαίου με διάμετρο 10 m η καθεμία. Βρείτε την πιθανότητα απευθείας χτυπήματος των δεξαμενών πετρελαίου από μια βόμβα που χτύπησε το έδαφος της αποθήκης πετρελαίου, εάν η βόμβα χτυπήσει οποιοδήποτε σημείο αυτής της βάσης με ίση πιθανότητα.
Απάντηση: π/15.
4.7. Δύο πραγματικοί αριθμοί x και y επιλέγονται τυχαία έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι μικρότερο από 100. Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των τετραγώνων αυτών των αριθμών να είναι μεγαλύτερο από 64;
Απάντηση: 0;36.
4.8. Οι δύο φίλοι συμφώνησαν να συναντηθούν μεταξύ 13:00 και 14:00. Το πρώτο άτομο που φτάνει περιμένει το δεύτερο άτομο για 20 λεπτά και μετά φεύγει. Προσδιορίστε την πιθανότητα να συναντήσετε φίλους εάν οι στιγμές της άφιξής τους στο καθορισμένο χρονικό διάστημα είναι εξίσου πιθανές.
Απάντηση: 5/9.
4.9. Δύο ατμόπλοια πρέπει να έρθουν στην ίδια προβλήτα. Η ώρα άφιξης και των δύο πλοίων είναι εξίσου δυνατή κατά τη διάρκεια της δεδομένης ημέρας. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι ένα από τα ατμόπλοια θα πρέπει να περιμένει να απελευθερωθεί η κουκέτα εάν το πρώτο ατμόπλοιο παραμείνει για μία ώρα και το δεύτερο για δύο ώρες.
Απάντηση: ≈ 0;121.
4.10. Λαμβάνονται τυχαία δύο θετικοί αριθμοί x και y, καθένας από τους οποίους δεν υπερβαίνει τους δύο. Να βρείτε την πιθανότητα το γινόμενο x y να είναι το πολύ ένα και το πηλίκο y/x το πολύ δύο.
Απάντηση: ≈ 0;38.
4.11. Στην περιοχή G που οριοθετείται από το ελλειψοειδές 
, ένα σημείο ορίζεται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα οι συντεταγμένες (x; y; z) αυτού του σημείου να ικανοποιήσουν την ανισότητα x 2 + y 2 + z 2 ≤4;
Απάντηση: 1/3.
4.12. Ένα σημείο ρίχνεται σε ένα ορθογώνιο με κορυφές R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Να βρείτε την πιθανότητα οι συντεταγμένες του να ικανοποιούν τις ανισώσεις 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Απάντηση: 2/3.
4.13. Η περιοχή G οριοθετείται από τον κύκλο x 2 + y 2 = 25, και η περιοχή g οριοθετείται από αυτόν τον κύκλο και την παραβολή 16x - 3y 2 > 0. Βρείτε την πιθανότητα να πέσετε στην περιοχή g.
Απάντηση: ≈ 0;346.
4.14. Λαμβάνονται τυχαία δύο θετικοί αριθμοί x και y, καθένας από τους οποίους δεν υπερβαίνει τον ένα. Να βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα x + y να μην υπερβαίνει το 1 και το γινόμενο x · y να μην είναι μικρότερο από 0,09.
Απάντηση: ≈ 0;198.
Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας
Εργασία 2.Ο σκοπευτής εκτοξεύει μία βολή στον στόχο. Υπολογίστε την πιθανότητα να χτυπήσει τον στόχο.
Απόφαση. Σε αυτό το πείραμα, δύο αποτελέσματα είναι πιθανά: είτε ο σκοπευτής χτύπησε τον στόχο (το συμβάν ΕΝΑ), ή έχασε (εκδήλωση). Εκδηλώσεις ΕΝΑκαι είναι ασύμβατα και αποτελούν μια πλήρη ομάδα. Ωστόσο, στη γενική περίπτωση, δεν είναι γνωστό αν είναι εξίσου δυνατά ή όχι. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση, ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον στατιστικό ορισμό της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος.
Ορισμός 1.12.Σχετική συχνότητα συμβάντων ΕΝΑονομάζεται η αναλογία του αριθμού των δοκιμών στις οποίες το συμβάν ΕΝΑεμφανίστηκε, στον συνολικό αριθμό των δοκιμών που πραγματοποιήθηκαν πράγματι.
Έτσι, η σχετική συχνότητα του συμβάντος ΕΝΑμπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο
που κ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑ, μεγάλοείναι ο συνολικός αριθμός δοκιμών.
Παρατήρηση 1.2.Η κύρια διαφορά στη σχετική συχνότητα του συμβάντος ΕΝΑαπό την κλασική του πιθανότητα έγκειται στο γεγονός ότι η σχετική συχνότητα βρίσκεται πάντα σύμφωνα με τα αποτελέσματα των δοκιμών. Για τον υπολογισμό της κλασικής πιθανότητας, δεν είναι απαραίτητο να ρυθμίσετε ένα πείραμα.
Μακροπρόθεσμες παρατηρήσεις έχουν δείξει ότι εάν μια σειρά πειραμάτων πραγματοποιηθεί υπό ίδιες συνθήκες, σε καθεμία από τις οποίες ο αριθμός των δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος, τότε η σχετική συχνότητα αποκαλύπτει ιδιότητα σταθερότητας. Αυτή η ιδιότητα συνίσταται στο γεγονός ότι σε διαφορετικές σειρές πειραμάτων η σχετική συχνότητα W( ΕΝΑ) αλλάζει ελάχιστα (όσο λιγότερες, τόσο περισσότερες δοκιμές εκτελούνται), κυμαινόμενες γύρω από ένα συγκεκριμένο σταθερό αριθμό.
Οπως και στατιστική πιθανότητα ενός γεγονότοςπάρτε μια σχετική συχνότητα ή έναν αριθμό κοντά σε αυτήν.
Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα 2 σχετικά με τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός συμβάντος ΕΝΑ(ο σκοπευτής θα χτυπήσει τον στόχο). Για να το λύσετε, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε αρκετές σειρές επαρκώς μεγάλου αριθμού βολών στον στόχο στις ίδιες συνθήκες. Αυτό θα σας επιτρέψει να υπολογίσετε τη σχετική συχνότητα και να εκτιμήσετε την πιθανότητα ενός συμβάντος ΕΝΑ.
Το μειονέκτημα του στατιστικού ορισμού είναι η ασάφεια της στατιστικής πιθανότητας. Για παράδειγμα, αν W( ΕΝΑ)»0,4, τότε ως η πιθανότητα του γεγονότος ΕΝΑμπορείτε να πάρετε 0,4 και 0,39 και 0,41.
Παρατήρηση 1.3.Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας υπερνικά το δεύτερο μειονέκτημα του κλασικού ορισμού της πιθανότητας.
Ας υπάρχουν φιγούρες στο αεροπλάνο σολκαι σολ, και σολÌ σολ(Εικ. 1.1).
|
Παρατήρηση 1.4.Σε περίπτωση που σολκαι σολ- ευθύγραμμα τμήματα, η πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑισούται με τον λόγο των μηκών αυτών των τμημάτων. Αν ένα σολκαι σολείναι σώματα σε τρισδιάστατο χώρο, τότε η πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑβρίσκεται ως ο λόγος των όγκων αυτών των σωμάτων. Επομένως, στη γενική περίπτωση που mesείναι η μέτρηση του υπό εξέταση χώρου. Παρατήρηση 1.5.Ο γεωμετρικός ορισμός της πιθανότητας ισχύει για δοκιμές με άπειρο αριθμό αποτελεσμάτων. Παράδειγμα 1.13.Δύο άτομα συμφώνησαν να συναντηθούν σε ένα συγκεκριμένο μέρος μεταξύ 12 και 13 ωρών, και κάθε άτομο που ήρθε στη συνάντηση περιμένει το άλλο για 20 λεπτά, αλλά όχι περισσότερο από τις 13:00, μετά την οποία φεύγει. Βρείτε την πιθανότητα να συναντήσετε αυτά τα άτομα εάν το καθένα από αυτά φτάσει σε μια τυχαία χρονική στιγμή, που δεν συντονίζεται με τη στιγμή άφιξης του άλλου. Απόφαση.Αφήστε το γεγονός ΕΝΑ- η συνάντηση πραγματοποιήθηκε. Σημειώστε με Χ- την ώρα άφιξης του πρώτου ατόμου στη συνάντηση, y- ώρα άφιξης του δεύτερου ατόμου. Τότε το σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων της εμπειρίας είναι το σύνολο όλων των ζευγών ( Χ, y), που Χ, yО . Και το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων καθορίζεται από την ανισότητα |Χ – y| 20 £ (λεπτά). Και τα δύο αυτά σύνολα είναι άπειρα, επομένως ο κλασικός ορισμός για τον υπολογισμό της πιθανότητας δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Ας χρησιμοποιήσουμε τον γεωμετρικό ορισμό. Στο σχ. Το 1.2 δείχνει τα σύνολα όλων των πιθανών αποτελεσμάτων (τετράγωνο ΟΚΜΤ) και ευνοϊκά αποτελέσματα (εξάγωνο OSLMNR). Χρησιμοποιώντας τον ορισμό 1.13, παίρνουμε Άθροισμα και προϊόν γεγονότων. Θεωρήματα για την πιθανότητα του αθροίσματος και του γινομένου των γεγονότων Ορισμός 1.14.Το άθροισμα των γεγονότων Ακαι σιονομάστε το γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά. Ονομασία: ΕΝΑ + σι. Ορισμός 1.15.Το προϊόν των γεγονότων Ακαι σικαλέστε ένα γεγονός που συνίσταται στην ταυτόχρονη εμφάνιση αυτών των γεγονότων στην ίδια εμπειρία. Ονομασία: ΑΒ. Παράδειγμα 1.14.Από μια τράπουλα 36 φύλλων, ένα φύλλο τραβιέται τυχαία. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία: ΕΝΑ- η τραβηγμένη κάρτα αποδείχθηκε κυρία, σι- έβγαλαν μια κάρτα με μπαστούνια. Βρείτε τις πιθανότητες γεγονότων ΕΝΑ + σικαι ΑΒ. Απόφαση. Εκδήλωση ΕΝΑ + σισυμβαίνει εάν το τραβηγμένο φύλλο είναι μπαστούνι ή βασίλισσα. Αυτό σημαίνει ότι το υπό εξέταση γεγονός ευνοείται από 13 αποτελέσματα (οποιοδήποτε από τα 9 φύλλα μπαστούνι, οποιαδήποτε από τις 3 βασίλισσες ενός άλλου χρώματος) από τα 36 πιθανά. Χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος, παίρνουμε Εκδήλωση ΑΒεμφανίζεται εάν το τραβηγμένο φύλλο είναι μπαστούνι και βασίλισσα. Ως εκ τούτου, η εκδήλωση ΑΒευνοεί μόνο ένα αποτέλεσμα της εμπειρίας (Queen of Spades) από τα 36 πιθανά. Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό 1.11, λαμβάνουμε Παρατήρηση 1.6.Οι ορισμοί του αθροίσματος και του γινομένου των γεγονότων μπορούν να επεκταθούν σε οποιοδήποτε αριθμό γεγονότων. Κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας του αθροίσματος και του γινομένου των γεγονότων, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθες δηλώσεις. Θεώρημα 1.1.Η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο ασύμβατα γεγονότα, ανεξάρτητα από το ένα, ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων Π( ΕΝΑ+σι)=P( ΕΝΑ)+P( σι). Συμπέρασμα 1.1.Η πιθανότητα εμφάνισης ενός από πολλά ασύμβατα συμβάντα κατά ζεύγη, ανεξάρτητα από το ένα, ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων Π( ΕΝΑ 1 +ΕΝΑ 2 +…+A n)=P( ΕΝΑ 1)+P( ΕΝΑ 2)+…+P( A n). Συμπέρασμα 1.2.Το άθροισμα των πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 ,…, A n, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα, ισούται με ένα Π( ΕΝΑ 1)+P( ΕΝΑ 2)+…+P( A n)=1. Συμπέρασμα 1.3.Πιθανότητα αντίθετου γεγονότος Ένα τυχαίο συμβάν ορίστηκε ως ένα γεγονός που, ως αποτέλεσμα εμπειρίας, μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Εάν κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός συμβάντος δεν επιβάλλονται άλλοι περιορισμοί (εκτός από τις πειραματικές συνθήκες), τότε μια τέτοια πιθανότητα ονομάζεται άνευ όρων. Εάν επιβληθούν άλλες πρόσθετες προϋποθέσεις, τότε η πιθανότητα του γεγονότος ονομάζεται υπό όρους. Ορισμός 1.16.Πιθανότητα υπό όρουςΠ σι(ΕΝΑ) (ή P( ΕΝΑ|σι)) ονομάζεται πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑ, υπολογίζεται με την παραδοχή ότι το γεγονός σιέχει ήδη συμβεί. Χρησιμοποιώντας την έννοια της υπό όρους πιθανότητας, δίνουμε έναν ορισμό της ανεξαρτησίας των γεγονότων που διαφέρει από αυτόν που δόθηκε προηγουμένως. Ορισμός 1.17. Το συμβάν Α είναι ανεξάρτητο από το γεγονός Βαν η ισότητα Σε πρακτικά ερωτήματα, για να προσδιοριστεί η ανεξαρτησία αυτών των γεγονότων, σπάνια στρέφεται κανείς στον έλεγχο της εκπλήρωσης των ισοτήτων (1.3) και (1.4) για αυτά. Συνήθως για αυτό χρησιμοποιούν διαισθητικές σκέψεις που βασίζονται στην εμπειρία. Ορισμός 1.18.Καλούνται διάφορα γεγονότα κατά ζεύγη ανεξάρτητηαν κάθε δύο από αυτά είναι ανεξάρτητα. Ορισμός 1.19.Καλούνται διάφορα γεγονότα συλλογικά ανεξάρτητηαν είναι ανεξάρτητα ανά ζεύγη και κάθε γεγονός και όλα τα πιθανά προϊόντα των άλλων είναι ανεξάρτητα. Θεώρημα 1.2.Η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης δύο γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο της πιθανότητας ενός από αυτά με την υπό όρους πιθανότητα του άλλου, υπολογιζόμενη με την υπόθεση ότι το πρώτο γεγονός έχει ήδη συμβεί. Ανάλογα με την επιλογή της ακολουθίας γεγονότων, το Θεώρημα 1.2 μπορεί να γραφτεί ως Π( ΑΒ) = P( ΕΝΑ)Π ΕΝΑ(σι) Π( ΑΒ) = P( σι)Π σι(ΕΝΑ). Συμπέρασμα 1.4.Η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης πολλών γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο της πιθανότητας ενός από αυτά με τις πιθανότητες υπό όρους όλων των άλλων, και η πιθανότητα κάθε επόμενου γεγονότος υπολογίζεται με την υπόθεση ότι όλα τα προηγούμενα γεγονότα έχουν ήδη εμφανιστεί Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά με την οποία βρίσκονται τα γεγονότα μπορεί να επιλεγεί με οποιαδήποτε σειρά. Παράδειγμα 1.15.Ένα δοχείο περιέχει 6 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. Μια μπάλα τραβιέται τυχαία από τη λάρνακα μέχρι να εμφανιστεί μια μαύρη. Βρείτε την πιθανότητα ότι η τέταρτη απόσυρση θα πρέπει να πραγματοποιηθεί εάν οι μπάλες δεν επιστραφούν στο δοχείο. Απόφαση.Στο υπό εξέταση πείραμα, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η τέταρτη αφαίρεση εάν οι πρώτες τρεις μπάλες αποδειχθούν λευκές. Σημειώστε με Ολα συμπεριλαμβάνονταιένα γεγονός που Εγώ-θα εμφανιστεί μια άσπρη μπάλα που τραβήξτε ( Εγώ= 1, 2, 3). Το πρόβλημα είναι να βρεθεί η πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 ΕΝΑ 3 . Δεδομένου ότι οι κληρωμένες μπάλες δεν επιστρέφουν πίσω, τα γεγονότα ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 και ΕΝΑ 3 εξαρτώνται (κάθε προηγούμενο επηρεάζει την πιθανότητα του επόμενου). Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα, χρησιμοποιούμε το συμπέρασμα 1.4 και τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος, δηλαδή Συμπέρασμα 1.5.Η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης δύο ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους Π( ΑΒ)=P( ΕΝΑ)Π( σι). Συμπέρασμα 1.6.Η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης πολλών γεγονότων που είναι ανεξάρτητα στο σύνολο είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους Π( ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 …A n)=P( ΕΝΑ 1)P( ΕΝΑ 2)…P( A n). Παράδειγμα 1.16.Λύστε το πρόβλημα από το παράδειγμα 1.15, υποθέτοντας ότι μετά από κάθε αφαίρεση οι μπάλες επιστρέφουν πίσω στο δοχείο. Απόφαση.Όπως και πριν (Παράδειγμα 1.15), πρέπει να βρούμε το P( ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 ΕΝΑ 3). Ωστόσο, γεγονότα ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 και ΕΝΑ 3 είναι ανεξάρτητα συνολικά, αφού η σύνθεση του δοχείου είναι η ίδια για κάθε αφαίρεση και, επομένως, το αποτέλεσμα μιας μόνο δοκιμής δεν επηρεάζει τις άλλες. Επομένως, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα, χρησιμοποιούμε το συμπέρασμα 1.6 και τον ορισμό 1.11 της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος, δηλαδή Π( ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 ΕΝΑ 3)=P( ΕΝΑ 1)P( ΕΝΑ 2) P( ΕΝΑ 3)= = . Θεώρημα 1.3.Η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο κοινά γεγονότα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα κοινής εμφάνισής τους
Παρατήρηση 1.7.Όταν χρησιμοποιείτε τον τύπο (1.5), πρέπει να έχετε υπόψη σας ότι τα γεγονότα ΕΝΑκαι σιμπορεί να είναι είτε εξαρτημένη είτε ανεξάρτητη. Παράδειγμα 1.17.Δύο σκοπευτές έριξαν από μία βολή στον στόχο. Είναι γνωστό ότι η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος για έναν από τους σκοπευτές είναι 0,6 και για τον άλλο - 0,7. Βρείτε την πιθανότητα ότι α) και οι δύο σκοπευτές πέτυχαν το στόχο (γεγονός ρε); β) μόνο ένας από τους σκοπευτές θα χτυπήσει τον στόχο (γεγονός μι); γ) τουλάχιστον ένας από τους σκοπευτές θα χτυπήσει τον στόχο (το συμβάν φά). Απόφαση.Ας εισάγουμε τη σημειογραφία: ΕΝΑ- ο πρώτος σκοπευτής χτύπησε τον στόχο, σιΟ δεύτερος σκοπευτής χτύπησε τον στόχο. Με συνθήκη P( ΕΝΑ) = 0,6 και P( σι) = 0,7. Θα απαντήσουμε στις ερωτήσεις. α) Εκδήλωση ρεθα συμβεί εάν συμβεί ένα γεγονός ΑΒ. Γιατί τα γεγονότα ΕΝΑκαι σιείναι ανεξάρτητες, τότε, λαμβάνοντας υπόψη το συμπέρασμα 1.5, λαμβάνουμε Π( ρε) = P( ΑΒ) = P( ΕΝΑ)Π( σι) = 0,6×0,7 = 0,42. β) Γεγονός μισυμβαίνει εάν συμβεί ένα από τα γεγονότα ΕΝΑή σι. Αυτά τα γεγονότα είναι ασύμβατα, και τα γεγονότα ΕΝΑ() και σι() είναι ανεξάρτητες, επομένως, από το Θεώρημα 1.1, Συμπεράσματα 1.3 και 1.5, έχουμε Π( μι) = P( ΕΝΑ+ σι) = P( ΕΝΑ) + P( σι) = Π( ΕΝΑ)P() + P()P( σι) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. γ) Γεγονός φάθα συμβεί εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα ΕΝΑή σι. Αυτά τα συμβάντα κοινοποιούνται. Επομένως, από το Θεώρημα 1.3, έχουμε Π( φά) = P( ΕΝΑ+σι) = P( ΕΝΑ) + P( σι) - Π( ΑΒ) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Σημειώστε ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος φάθα μπορούσε να είχε υπολογιστεί διαφορετικά. Και συγκεκριμένα Π( φά) = P( ΕΝΑ+ σι + ΑΒ) = P( ΕΝΑ) + P( σι) + P( ΑΒ) = 0,88 Π( φά) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0,4×0,3 = 0,88. Τύπος Συνολικών Πιθανοτήτων. Φόρμουλες Bayes Αφήστε το γεγονός ΕΝΑμπορεί να προκύψει εάν συμβεί ένα από τα ασύμβατα συμβάντα σι 1 , σι 2 ,…, B n, σχηματίζοντας μια ολοκληρωμένη ομάδα. Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποια από αυτά τα γεγονότα θα συμβούν, καλούνται υποθέσεις. Υπολογίστε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑπριν από το πείραμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη πρόταση. Θεώρημα 1.4.Πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑ, το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο εάν συμβεί ένα από τα ασύμβατα συμβάντα σι 1 , σι 2 ,…, B n, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα, ισούται με
Ο τύπος (1.6) ονομάζεται τύπους συνολικών πιθανοτήτων. Παράδειγμα 1.18.Για να περάσουν τις εξετάσεις, οι μαθητές έπρεπε να προετοιμάσουν 30 ερωτήσεις. Από 25 μαθητές, 10 ετοίμασαν όλες τις ερωτήσεις, 8 - 25 ερωτήσεις, 5 - 20 ερωτήσεις και 2 - 15 ερωτήσεις. Βρείτε την πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος μαθητής να απαντήσει στην ερώτηση. Απόφαση.Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: ΕΝΑ- ένα συμβάν που συνίσταται στο γεγονός ότι ένας μαθητής που κλήθηκε τυχαία απάντησε στην ερώτηση που τέθηκε, σι 1 - ο μαθητής που καλείται τυχαία γνωρίζει τις απαντήσεις σε όλες τις ερωτήσεις, σι 2 - ο μαθητής που καλείται τυχαία γνωρίζει τις απαντήσεις σε 25 ερωτήσεις, σι 3 - Ο μαθητής που καλείται τυχαία γνωρίζει τις απαντήσεις σε 20 ερωτήσεις και σι 4 - Ο μαθητής που καλείται τυχαία γνωρίζει τις απαντήσεις σε 15 ερωτήσεις. Σημειώστε ότι τα γεγονότα σι 1 ,σι 2 ,σι 3 και σι 4 είναι ασύμβατα, σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα και το συμβάν ΕΝΑμπορεί να συμβεί εάν συμβεί ένα από αυτά τα συμβάντα. Επομένως, για να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑμπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο συνολικής πιθανότητας (1.6): Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, οι πιθανότητες των υποθέσεων είναι γνωστές Π( σι 1) = , P( σι 2) = , P( σι 3) = , P( σι 4) = και πιθανότητες υπό όρους (πιθανότητες για τους μαθητές από καθεμία από τις τέσσερις ομάδες να απαντήσουν στην ερώτηση) 1, = , = , = . Ετσι, Π( ΕΝΑ) = ×1 + × + × + × = . Ας υποθέσουμε ότι έχει γίνει μια δοκιμή, ως αποτέλεσμα της οποίας έχει συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑ, και ποια από τις εκδηλώσεις B i (Εγώ =1, 2,…, n) που συνέβη δεν είναι γνωστό στον ερευνητή. Για να υπολογίσετε τις πιθανότητες των υποθέσεων αφού γίνει γνωστό το αποτέλεσμα του τεστ, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε Φόρμουλες Bayes
Εδώ P( ΕΝΑ) υπολογίζεται από τον τύπο συνολικής πιθανότητας (1.6). Παράδειγμα 1.19.Σε ένα συγκεκριμένο εργοστάσιο, η μηχανή Ι παράγει το 40% της συνολικής παραγωγής και η μηχανή ΙΙ παράγει το 60%. Κατά μέσο όρο, 9 από τις 1.000 μονάδες που παράγονται από τη μηχανή I είναι ελαττωματικές και η μηχανή II έχει 4 στις 500 ελαττωματικές μονάδες. Ποια είναι η πιθανότητα να παρήχθη από τη μηχανή II; Απόφαση.Ας εισάγουμε τη σημειογραφία: ΕΝΑ- ένα συμβάν που συνίσταται στο γεγονός ότι μια μονάδα παραγωγής, που επιλέχθηκε τυχαία από μια ημερήσια παραγωγή, αποδείχθηκε ελάττωμα, B i- μια μονάδα παραγωγής, που επιλέγεται τυχαία, γίνεται από μηχανή Εγώ(Εγώ= I, II). Εκδηλώσεις σι 1 και σι 2 είναι ασύμβατα και αποτελούν μια πλήρη ομάδα, και το συμβάν ΕΝΑμπορεί να συμβεί μόνο ως αποτέλεσμα της εμφάνισης ενός από αυτά τα συμβάντα. Είναι γνωστό ότι η εκδήλωση ΕΝΑσυνέβη (μια τυχαία επιλεγμένη μονάδα παραγωγής αποδείχθηκε ελάττωμα). Ποιο από τα γεγονότα σι 1 ή σι 2 την ίδια στιγμή, είναι άγνωστο, γιατί δεν είναι γνωστό σε ποια από τις δύο μηχανές κατασκευάστηκε το επιλεγμένο αντικείμενο. Εκτίμηση της πιθανότητας μιας υπόθεσης σι 2 μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes (1.7): όπου η πιθανότητα τυχαίας επιλογής ενός ελαττωματικού προϊόντος υπολογίζεται από τον τύπο συνολικής πιθανότητας (1.6): Λαμβάνοντας υπόψη ότι, σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος Π( σι 1) = 0,40, P( σι 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Σε επιστημονικές και πρακτικές δραστηριότητες, είναι συνεχώς απαραίτητο να πραγματοποιούνται επαναλαμβανόμενες δοκιμές υπό παρόμοιες συνθήκες. Κατά κανόνα, τα αποτελέσματα προηγούμενων δοκιμών δεν επηρεάζουν τα επόμενα. Ο απλούστερος τύπος τέτοιων δοκιμών είναι πολύ σημαντικός, όταν σε κάθε ένα από τα τεστ κάποιο συμβάν ΕΝΑμπορεί να εμφανίζεται με την ίδια πιθανότητα και αυτή η πιθανότητα παραμένει η ίδια, ανεξάρτητα από τα αποτελέσματα προηγούμενων ή επόμενων δοκιμών. Αυτός ο τύπος δοκιμής εξερευνήθηκε για πρώτη φορά από τον Jacob Bernoulli και γι' αυτό ονομάζεται Σχέδια Bernoulli. Σχέδιο Bernoulli.Αφήστε το να παραχθεί nανεξάρτητες δοκιμές υπό παρόμοιες συνθήκες (ή διεξάγεται το ίδιο πείραμα nφορές), σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση ΕΝΑμπορεί να εμφανιστεί ή όχι. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι το ίδιο και ίσο Π. Επομένως, η πιθανότητα μη εμφάνισης του γεγονότος ΕΝΑσε κάθε επιμέρους τεστ είναι επίσης σταθερή και ίση με q= 1 - Π. Η πιθανότητα ότι υπό αυτές τις συνθήκες ένα γεγονός ΕΝΑθα πραγματοποιηθεί ακριβώς κφορές (και, επομένως, δεν θα πραγματοποιηθεί n – κφορές) μπορεί να βρεθεί από Φόρμουλα Bernoulli
Σε αυτή την περίπτωση, η σειρά εμφάνισης του γεγονότος ΕΝΑστο καθορισμένο nοι δοκιμές μπορεί να είναι αυθαίρετες. Παράδειγμα 1.20.Η πιθανότητα ένας πελάτης να ζητήσει παπούτσια μεγέθους 41 είναι 0,2. Βρείτε την πιθανότητα ότι από τους 5 πρώτους αγοραστές θα χρειαστούν παπούτσια αυτού του μεγέθους: α) ένα; β) τουλάχιστον ένα. γ) τουλάχιστον τρία· δ) περισσότερα από ένα και λιγότερα από τέσσερα. Απόφαση.Σε αυτό το παράδειγμα, η ίδια εμπειρία (επιλογή παπουτσιών) εκτελείται 5 φορές και η πιθανότητα του συμβάντος είναι ΕΝΑ- επιλέγονται παπούτσια του 41ου μεγέθους - είναι σταθερό και ίσο με 0,2. Επιπλέον, το αποτέλεσμα κάθε μεμονωμένης δοκιμής δεν επηρεάζει άλλα πειράματα, γιατί. οι αγοραστές επιλέγουν παπούτσια ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. Επομένως, έχουμε μια ακολουθία δοκιμών που πραγματοποιήθηκαν σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli, στην οποία n = 5, Π = 0,2, q= 0,8. Για να απαντηθούν τα ερωτήματα που τίθενται, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι πιθανότητες P 5 ( κ). Χρησιμοποιούμε τον τύπο (1.8). α) P 5 (1) = = 0,4096; β) Ρ 5 ( κ³ 1) = 1 - P 5 ( κ < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; γ) Ρ 5 ( κ³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0,5792; δ) P 5 (1< κ < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. Η χρήση του τύπου Bernoulli (1.32) για μεγάλες τιμές των n και m προκαλεί μεγάλες δυσκολίες, καθώς αυτό περιλαμβάνει δυσκίνητους υπολογισμούς. Έτσι, σε n = 200, m = 116, p = 0,72, ο τύπος Bernoulli παίρνει τη μορφή P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Είναι σχεδόν αδύνατο να υπολογιστεί το αποτέλεσμα. Ο υπολογισμός του P n (m) προκαλεί επίσης δυσκολίες για μικρές τιμές του p (q). Υπάρχει ανάγκη να βρεθούν κατά προσέγγιση τύποι για τον υπολογισμό του P n (m), παρέχοντας την απαραίτητη ακρίβεια. Τέτοιοι τύποι μας δίνουν οριακά θεωρήματα. περιέχουν τους λεγόμενους ασυμπτωτικούς τύπους, οι οποίοι, για μεγάλες τιμές δοκιμής, δίνουν ένα αυθαίρετα μικρό σχετικό σφάλμα. Θεωρήστε τρία οριακά θεωρήματα που περιέχουν ασυμπτωτικούς τύπους για τον υπολογισμό της διωνυμικής πιθανότητας P n (m) ως n. Θεώρημα 1.5.Εάν ο αριθμός των δοκιμών αυξάνεται επ 'αόριστον (n) και η πιθανότητα p της εμφάνισης του γεγονότος A σε κάθε δοκιμή μειώνεται επ 'αόριστον (p), αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε το γινόμενο τους pr να είναι σταθερή τιμή (pr = a = const) , τότε η πιθανότητα P n (m) ικανοποιεί την οριακή ισότητα Η έκφραση (1.9) ονομάζεται ασυμπτωτικός τύπος Poisson. Από την οριακή ισότητα (1,9) για μεγάλο n και μικρό p ακολουθεί ο κατά προσέγγιση τύπος Poisson Ο τύπος (1.10) χρησιμοποιείται όταν η πιθανότητα p = const επιτυχίας είναι εξαιρετικά μικρή, δηλαδή η ίδια η επιτυχία (η εμφάνιση του συμβάντος Α) είναι ένα σπάνιο γεγονός (για παράδειγμα, η νίκη ενός αυτοκινήτου με ένα λαχείο), αλλά ο αριθμός των δοκιμών Το n είναι μεγάλο, ο μέσος αριθμός επιτυχιών pr = a ελαφρώς. Ο κατά προσέγγιση τύπος (1.10) χρησιμοποιείται συνήθως όταν n 50 και pr 10. Ο τύπος του Poisson βρίσκει εφαρμογή στη θεωρία ουρών. Μια ροή γεγονότων είναι μια ακολουθία γεγονότων που συμβαίνουν σε τυχαίες στιγμές (για παράδειγμα, μια ροή επισκεπτών σε ένα κομμωτήριο, μια ροή κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, μια ροή αστοχιών στοιχείων, μια ροή συνδρομητών που εξυπηρετούνται κ.λπ.). Η ροή των γεγονότων, που έχει τις ιδιότητες της σταθερότητας, της κανονικότητας και της απουσίας συνεπειών, ονομάζεται απλούστερη ροή (Poisson). Η ιδιότητα σταθερότητας σημαίνει ότι η πιθανότητα εμφάνισης k συμβάντων σε ένα χρονικό διάστημα μήκους εξαρτάται μόνο από το μήκος του (δηλαδή, δεν εξαρτάται από την προέλευσή του). Κατά συνέπεια, ο μέσος αριθμός γεγονότων που εμφανίζονται ανά μονάδα χρόνου, η λεγόμενη ένταση ροής, είναι μια σταθερή τιμή: ( t) = . Η ιδιότητα του συνηθισμένου σημαίνει ότι το συμβάν δεν εμφανίζεται σε ομάδες, αλλά ένα προς ένα. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα εμφάνισης περισσότερων του ενός γεγονότων για μια μικρή χρονική περίοδο t είναι αμελητέα μικρή σε σύγκριση με την πιθανότητα εμφάνισης μόνο ενός γεγονότος (για παράδειγμα, η ροή των σκαφών που πλησιάζουν την προβλήτα είναι συνηθισμένη). Η ιδιότητα της απουσίας συνέπειας σημαίνει ότι η πιθανότητα εμφάνισης k των γεγονότων σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα μήκους δεν εξαρτάται από το πόσα γεγονότα εμφανίστηκαν σε οποιοδήποτε άλλο τμήμα που δεν τέμνεται με αυτό (λένε: το "μέλλον" του η ροή δεν εξαρτάται από το «παρελθόν», για παράδειγμα, τη ροή των ανθρώπων, που περιλαμβάνονται στο σούπερ μάρκετ). Μπορεί να αποδειχθεί ότι η πιθανότητα εμφάνισης m συμβάντων της απλούστερης ροής σε χρόνο διάρκειας t προσδιορίζεται από τον τύπο Poisson. Χρησιμοποιήστε τον τύπο Bernoulli για μεγάλες τιμές nαρκετά δύσκολο, γιατί Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος πρέπει να εκτελέσει πράξεις σε τεράστιους αριθμούς. Μπορείτε να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας παραγοντικούς πίνακες ή χρησιμοποιώντας τεχνικά μέσα (αριθμομηχανή, υπολογιστής). Αλλά σε αυτή την περίπτωση, τα σφάλματα συσσωρεύονται στη διαδικασία υπολογισμού. Επομένως, το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να διαφέρει σημαντικά από το αληθινό. Υπάρχει ανάγκη υποβολής αίτησης κατά προσέγγιση (ασυμπτωτικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι. Παρατήρηση 1.8.Λειτουργία σολ(Χ) λέγονται ασυμπτωτική προσέγγιση της συνάρτησης f(Χ), αν. Θεώρημα 1.6. (Τοπικό θεώρημα Moivre-Laplace) Αν η πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και διαφορετική από το 0 και το 1, και ο αριθμός των ανεξάρτητων δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος, τότε η πιθανότητα ότι το συμβάν ΕΝΑθα εμφανιστεί σε nδοκιμές που πραγματοποιήθηκαν σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli, ακριβώς κφορές, περίπου ίσες (όσο πιο ακριβείς, τόσο περισσότερες n) Το γράφημα της συνάρτησης έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 1.3. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι: α) η συνάρτηση φ(x) είναι άρτια, δηλ. φ(-x) = φ(x); Για λειτουργία ι(Χ) καταρτίζονται πίνακες τιμών για Χ³ 0. Για Χ< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция ι(Χ) είναι άρτιος. Θεώρημα 1.7. (Ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace) Αν η πιθανότητα ΠΕκδήλωση ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και διαφορετική από το 0 και το 1, τότε η πιθανότητα P n(κ 1 , κ 2) ότι η εκδήλωση ΕΝΑθα εμφανιστεί σε nδοκιμές που πραγματοποιήθηκαν σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli, από κ 1 έως κ 2 φορές, περίπου ίσο Εδώ z 1 και z 2 ορίζονται στο (1.14). Παράδειγμα 1.21.Η βλάστηση των σπόρων υπολογίζεται με πιθανότητα 0,85. Βρείτε την πιθανότητα ότι από 500 σπόρους που έχουν σπαρθεί θα φυτρώσουν: α) 425 σπόροι. β) από 425 έως 450 σπόρους. Απόφαση.Εδώ, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, υπάρχει μια ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών που πραγματοποιήθηκαν σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli (πείραμα - φύτευση ενός σπόρου, γεγονός ΕΝΑ- φύτρωσε σπόρος n = 500, Π = 0,85, q= 0,15. Επειδή ο αριθμός των δοκιμών είναι μεγάλος ( n> 100), χρησιμοποιούμε τους ασυμπτωτικούς τύπους (1.10) και (1.13) για να υπολογίσουμε τις απαιτούμενες πιθανότητες. β) »F(3.13)–F(0)»0.49. Εάν ο αριθμός των δοκιμών n, που πραγματοποιείται σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli, είναι μεγάλο, και η πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑσε καθένα από αυτά είναι μικρό ( Π£ 0,1), τότε ο ασυμπτωτικός τύπος του Laplace είναι ακατάλληλος. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιήστε ασυμπτωτικός τύπος Poisson
όπου l = np. Παράδειγμα 1.22.Το κατάστημα έλαβε 1.000 μπουκάλια μεταλλικό νερό. Η πιθανότητα να σπάσει ένα μπουκάλι κατά τη μεταφορά είναι 0,003. Βρείτε την πιθανότητα να παραλάβει το κατάστημα σπασμένα μπουκάλια: α) ακριβώς 2; β) λιγότερο από 2; γ) τουλάχιστον ένα. Απόφαση.Σε αυτό το πρόβλημα, υπάρχει μια ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών που πραγματοποιούνται σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli (πείραμα - έλεγχος ακεραιότητας ενός μπουκαλιού, συμβάν ΕΝΑ- το μπουκάλι είναι σπασμένο n = 1000, Π = 0,003, q= 0,997. Επειδή ο αριθμός των δοκιμών είναι μεγάλος ( n> 100), και η πιθανότητα Πμικρό ( Π < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что μεγάλο=3. α) = 4,5 μι-3 » 0,224; β) P 1000 ( κ < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4μι-3 » 0,199; γ) P 1000 ( κ³ 1) = 1 - P 1000 ( κ < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - μι-3 » 0,95. Τα τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα Moivre–Laplace είναι συμπεράσματα ενός γενικότερου θεώρημα κεντρικού ορίου. Πολλές συνεχείς τυχαίες μεταβλητές έχουν κανονικόςδιανομή. Αυτή η περίσταση καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από το γεγονός ότι το άθροισμα ενός μεγάλου αριθμού τυχαίων μεταβλητών με πολύ διαφορετικούς νόμους κατανομής οδηγεί στην κανονική κατανομή αυτού του αθροίσματος. Θεώρημα . Εάν μια τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα ενός πολύ μεγάλου αριθμού αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, η επίδραση καθεμίας από τις οποίες είναι αμελητέα σε ολόκληρο το άθροισμα, τότε έχει κατανομή κοντά στο κανονικό . Το θεώρημα του κεντρικού ορίου έχει μεγάλη πρακτική σημασία. Ας υποθέσουμε ότι καθορίζεται κάποιος οικονομικός δείκτης, για παράδειγμα, η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας στην πόλη για το έτος. Η αξία της συνολικής κατανάλωσης είναι το άθροισμα της κατανάλωσης ενέργειας από μεμονωμένους καταναλωτές, το οποίο έχει τυχαίες τιμές με διαφορετικές κατανομές. Το θεώρημα δηλώνει ότι σε αυτή την περίπτωση, όποια και αν είναι η κατανομή των επιμέρους συστατικών, η κατανομή της προκύπτουσας κατανάλωσης θα είναι κοντά στο κανονικό. |
