Είδη απλών κλασμάτων και ολοκληρώματα από αυτά. Ολοκλήρωση απλών (στοιχειωδών) κλασμάτων

Όπως έχω ήδη σημειώσει, στον ολοκληρωτικό λογισμό δεν υπάρχει βολικός τύπος για την ολοκλήρωση ενός κλάσματος. Και επομένως, υπάρχει μια θλιβερή τάση: όσο πιο «φανταχτερό» είναι το κλάσμα, τόσο πιο δύσκολο είναι να βρεις το ολοκλήρωμα από αυτό. Από αυτή την άποψη, πρέπει να καταφύγει κανείς σε διάφορα κόλπα, τα οποία θα συζητήσω τώρα. Οι προετοιμασμένοι αναγνώστες μπορούν να χρησιμοποιήσουν αμέσως πίνακας περιεχομένων:

• Η μέθοδος υπαγωγής στο πρόσημο του διαφορικού για απλά κλάσματα

Μέθοδος τεχνητού μετασχηματισμού αριθμητή

Παράδειγμα 1

Παρεμπιπτόντως, το θεωρούμενο ολοκλήρωμα μπορεί επίσης να λυθεί με την αλλαγή της μεθόδου μεταβλητής, που δηλώνει , αλλά η λύση θα είναι πολύ μεγαλύτερη.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Κάντε έναν έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Θα πρέπει να σημειωθεί ότι εδώ η μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής δεν θα λειτουργεί πλέον.

Σημαντική προσοχή! Τα παραδείγματα Νο. 1, 2 είναι τυπικά και κοινά. Συγκεκριμένα, τέτοια ολοκληρώματα προκύπτουν συχνά κατά την επίλυση άλλων ολοκληρωμάτων, ιδίως κατά την ολοκλήρωση παράλογων συναρτήσεων (ρίζες).

Η παραπάνω μέθοδος λειτουργεί και στην περίπτωση αν η μεγαλύτερη ισχύς του αριθμητή είναι μεγαλύτερη από την υψηλότερη ισχύ του παρονομαστή.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Κάντε έναν έλεγχο.

Ας ξεκινήσουμε με τον αριθμητή.

Ο αλγόριθμος επιλογής αριθμητή είναι κάπως έτσι:

1) Στον αριθμητή πρέπει να οργανώσω , αλλά εκεί . Τι να κάνω? Περικλείω σε αγκύλες και πολλαπλασιάζω με: .

2) Τώρα προσπαθώ να ανοίξω αυτές τις αγκύλες, τι συμβαίνει; . Χμ... ήδη καλύτερα, αλλά δεν υπάρχει δυάδα με αρχικά στον αριθμητή. Τι να κάνω? Πρέπει να πολλαπλασιάσετε με:

3) Ανοίγοντας ξανά τις αγκύλες: . Και ιδού η πρώτη επιτυχία! Αναγκαίο αποδείχθηκε! Αλλά το πρόβλημα είναι ότι εμφανίστηκε ένας επιπλέον όρος. Τι να κάνω? Για να μην αλλάξει η έκφραση, πρέπει να προσθέσω το ίδιο στην κατασκευή μου:
. Η ζωή έχει γίνει πιο εύκολη. Υπάρχει δυνατότητα οργάνωσης ξανά στον αριθμητή;

4) Μπορείτε. Προσπαθούμε: . Αναπτύξτε τις αγκύλες του δεύτερου όρου:
. Συγγνώμη, αλλά στην πραγματικότητα είχα στο προηγούμενο βήμα, και όχι . Τι να κάνω? Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον δεύτερο όρο με:

5) Και πάλι, για επαλήθευση, ανοίγω τις αγκύλες στον δεύτερο όρο:
. Τώρα είναι φυσιολογικό: προέρχεται από την τελική κατασκευή της παραγράφου 3! Αλλά και πάλι υπάρχει ένα μικρό "αλλά", εμφανίστηκε ένας επιπλέον όρος, που σημαίνει ότι πρέπει να προσθέσω στην έκφρασή μου:

Εάν όλα γίνονται σωστά, τότε όταν ανοίγουμε όλες τις αγκύλες, θα πρέπει να πάρουμε τον αρχικό αριθμητή του ολοκληρωτή. Ελέγχουμε:
Καλός.

Ετσι:

Ετοιμος. Στον τελευταίο όρο, εφάρμοσα τη μέθοδο εισαγωγής της συνάρτησης κάτω από το διαφορικό.

Αν βρούμε την παράγωγο της απάντησης και φέρουμε την έκφραση σε κοινό παρονομαστή, τότε παίρνουμε ακριβώς το αρχικό ολοκλήρωμα. Η εξεταζόμενη μέθοδος επέκτασης σε ένα άθροισμα δεν είναι τίποτα άλλο από την αντίστροφη ενέργεια για να φέρει την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή.

Ο αλγόριθμος επιλογής αριθμητή σε τέτοια παραδείγματα εκτελείται καλύτερα σε προσχέδιο. Με κάποιες δεξιότητες, θα λειτουργήσει και διανοητικά. Θυμάμαι έναν χρόνο ρεκόρ όταν έκανα μια επιλογή για την 11η δύναμη, και η επέκταση του αριθμητή πήρε σχεδόν δύο γραμμές Werd.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Κάντε έναν έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου".

Η μέθοδος υπαγωγής στο πρόσημο του διαφορικού για απλά κλάσματα

Ας περάσουμε στον επόμενο τύπο κλασμάτων.
, , , (οι συντελεστές και δεν είναι ίσοι με μηδέν).

Μάλιστα, στο μάθημα έχουν ήδη γλιστρήσει μια-δυο περιπτώσεις με arcsine και arctangent Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα. Τέτοια παραδείγματα επιλύονται φέρνοντας τη συνάρτηση κάτω από το πρόσημο του διαφορικού και στη συνέχεια ολοκληρώνοντας χρησιμοποιώντας τον πίνακα. Ακολουθούν μερικά πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα με μακρύ και υψηλό λογάριθμο:

Παράδειγμα 5

Παράδειγμα 6

Εδώ είναι σκόπιμο να σηκώσετε έναν πίνακα ολοκληρωμάτων και να ακολουθήσετε ποιους τύπους και όπως καιπραγματοποιείται μεταμόρφωση. Σημείωση, πώς και γιατίΤα τετράγωνα επισημαίνονται σε αυτά τα παραδείγματα. Συγκεκριμένα, στο Παράδειγμα 6, πρέπει πρώτα να αναπαραστήσουμε τον παρονομαστή ως , μετά φέρτε κάτω από το σύμβολο του διαφορικού. Και πρέπει να τα κάνετε όλα αυτά για να χρησιμοποιήσετε τον τυπικό τύπο πίνακα .

Αλλά τι να κοιτάξετε, προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παραδείγματα Νο. 7,8, ειδικά επειδή είναι αρκετά σύντομα:

Παράδειγμα 7

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Εάν μπορείτε επίσης να ελέγξετε αυτά τα παραδείγματα, τότε ο μεγάλος σεβασμός είναι οι δεξιότητες διαφοροποίησής σας στην καλύτερη περίπτωση.

Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Ολοκληρώματα της μορφής, (συντελεστές και δεν είναι ίσοι με μηδέν) λύνονται μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου, που έχει ήδη εμφανιστεί στο μάθημα Μετασχηματισμοί Γεωμετρικών Οικόπεδων.

Στην πραγματικότητα, τέτοια ολοκληρώματα μειώνονται σε ένα από τα τέσσερα ολοκληρώματα πίνακα που μόλις εξετάσαμε. Και αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τους γνωστούς συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού:

Οι τύποι εφαρμόζονται προς αυτή την κατεύθυνση, δηλαδή, η ιδέα της μεθόδου είναι να οργανώνει τεχνητά εκφράσεις στον παρονομαστή ή και στη συνέχεια να τις μετατρέπει, αντίστοιχα, σε ή .

Παράδειγμα 9

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι το απλούστερο παράδειγμα όπου με τον όρο - συντελεστής μονάδας(και όχι κάποιο νούμερο ή μείον).

Κοιτάμε τον παρονομαστή, εδώ το όλο θέμα ανάγεται σαφώς στην υπόθεση. Ας αρχίσουμε να μετατρέπουμε τον παρονομαστή:

Προφανώς, πρέπει να προσθέσετε 4. Και για να μην αλλάξει η έκφραση - τα ίδια τέσσερα και αφαιρέστε:

Τώρα μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο:

Αφού ολοκληρωθεί η μετατροπή ΠΑΝΤΑείναι επιθυμητό να εκτελέσετε μια αντίστροφη κίνηση: όλα είναι καλά, δεν υπάρχουν σφάλματα.

Ο καθαρός σχεδιασμός του εν λόγω παραδείγματος θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

Ετοιμος. Η εισαγωγή μιας "ελεύθερης" μιγαδικής συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο: , κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να παραμεληθεί

Παράδειγμα 10

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως, η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 11

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Τι να κάνετε όταν υπάρχει ένα μείον μπροστά; Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να βγάλετε το μείον από παρενθέσεις και να τακτοποιήσετε τους όρους με τη σειρά που χρειαζόμαστε:. Συνεχής(«διπλό» σε αυτή την περίπτωση) μην αγγίζετε!

Τώρα προσθέτουμε ένα σε παρένθεση. Αναλύοντας την έκφραση, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι χρειαζόμαστε ένα πίσω από την αγκύλη - προσθέστε:

Εδώ είναι ο τύπος, εφαρμόστε:

ΠΑΝΤΑκάνουμε έλεγχο στο προσχέδιο:
, το οποίο επρόκειτο να επαληθευτεί.

Ο καθαρός σχεδιασμός του παραδείγματος μοιάζει με αυτό:

Περιπλέκουμε το έργο

Παράδειγμα 12

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Εδώ, με τον όρο, δεν είναι πια ένας ενιαίος συντελεστής, αλλά ένα «πέντε».

(1) Αν βρεθεί σταθερά στο, τότε τη βγάζουμε αμέσως από αγκύλες.

(2) Γενικά, είναι πάντα καλύτερο να βγάλουμε αυτή τη σταθερά από το ολοκλήρωμα, ώστε να μην μπαίνει εμπόδιο.

(3) Είναι προφανές ότι όλα θα περιοριστούν στον τύπο . Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τον όρο, δηλαδή, να λάβουμε ένα "δύο"

(4) Ναι, . Έτσι, προσθέτουμε στην έκφραση και αφαιρούμε το ίδιο κλάσμα.

(5) Τώρα επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο. Στη γενική περίπτωση, είναι επίσης απαραίτητο να υπολογίσουμε , αλλά εδώ έχουμε έναν μακρύ τύπο λογάριθμου , και η δράση δεν έχει νόημα να εκτελεστεί, γιατί - θα γίνει σαφές λίγο χαμηλότερα.

(6) Στην πραγματικότητα, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο , μόνο αντί για «x» έχουμε, το οποίο δεν αναιρεί την εγκυρότητα του πίνακα ολοκληρώματος. Αυστηρά μιλώντας, λείπει ένα βήμα - πριν από την ενσωμάτωση, η συνάρτηση θα έπρεπε να είχε τεθεί κάτω από το διαφορικό πρόσημο: , αλλά, όπως έχω επανειλημμένα σημειώσει, αυτό συχνά παραμελείται.

(7) Στην απάντηση κάτω από τη ρίζα, είναι επιθυμητό να ανοίξετε όλες τις αγκύλες πίσω:

Περίπλοκος? Αυτό δεν είναι το πιο δύσκολο στον ολοκληρωτικό λογισμό. Αν και τα παραδείγματα που εξετάζονται δεν είναι τόσο περίπλοκα όσο απαιτούν καλή τεχνική υπολογισμού.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Απαντήστε στο τέλος του μαθήματος.

Υπάρχουν ολοκληρώματα με ρίζες στον παρονομαστή, τα οποία, με τη βοήθεια αντικατάστασης, μειώνονται σε ολοκληρώματα του εξεταζόμενου τύπου, μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο άρθρο Μιγαδικά ολοκληρώματα, αλλά έχει σχεδιαστεί για πολύ προετοιμασμένους μαθητές.

Φέρνοντας τον αριθμητή κάτω από το πρόσημο του διαφορικού

Αυτό είναι το τελευταίο μέρος του μαθήματος, ωστόσο, τα ολοκληρώματα αυτού του τύπου είναι αρκετά συνηθισμένα! Αν έχει συσσωρευτεί η κούραση, ίσως είναι καλύτερα να διαβάσετε αύριο; ;)

Τα ολοκληρώματα που θα εξετάσουμε είναι παρόμοια με τα ολοκληρώματα της προηγούμενης παραγράφου, έχουν τη μορφή: ή (οι συντελεστές , και δεν είναι ίσοι με μηδέν).

Δηλαδή έχουμε γραμμική συνάρτηση στον αριθμητή. Πώς να λύσετε τέτοια ολοκληρώματα;

Το κλάσμα λέγεται σωστόςαν η μεγαλύτερη ισχύς του αριθμητή είναι μικρότερη από την υψηλότερη ισχύ του παρονομαστή. Το ολοκλήρωμα ενός ορθού ρητού κλάσματος έχει τη μορφή:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ο τύπος για την ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων εξαρτάται από τις ρίζες του πολυωνύμου στον παρονομαστή. Αν το πολυώνυμο $ax^2+bx+c $ έχει:

1. Μόνο σύνθετες ρίζες, τότε είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα πλήρες τετράγωνο από αυτό: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Διαφορετικές πραγματικές ρίζες $ x_1 $ και $ x_2 $, τότε πρέπει να επεκτείνετε το ολοκλήρωμα και να βρείτε τους αόριστους συντελεστές $ A $ και $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Μία πολλαπλή ρίζα $ x_1 $, στη συνέχεια επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα και βρίσκουμε τους αόριστους συντελεστές $ A $ και $ B $ για αυτόν τον τύπο: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Αν το κλάσμα είναι λανθασμένος, δηλαδή, ο υψηλότερος βαθμός στον αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον υψηλότερο βαθμό του παρονομαστή, τότε πρώτα πρέπει να μειωθεί σε σωστόςμυαλό διαιρώντας το πολυώνυμο από τον αριθμητή με το πολυώνυμο από τον παρονομαστή. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος για την ολοκλήρωση ενός ορθολογικού κλάσματος είναι:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1

Βρείτε το ολοκλήρωμα ενός ορθολογικού κλάσματος: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Απόφαση

Το κλάσμα είναι κανονικό και το πολυώνυμο έχει μόνο μιγαδικές ρίζες. Επομένως, επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Συμπτύσσουμε το πλήρες τετράγωνο και αθροίζουμε κάτω από το διαφορικό πρόσημο $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των ολοκληρωμάτων, παίρνουμε: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. Θα δώσουμε μια λεπτομερή λύση. Θα μπορείτε να εξοικειωθείτε με την πρόοδο του υπολογισμού και να συλλέξετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε μια πίστωση από τον δάσκαλο εγκαίρως!

Απάντηση

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Παράδειγμα 2

Ενσωμάτωση ορθολογικών κλασμάτων: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Απόφαση

Λύστε την τετραγωνική εξίσωση: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Ας γράψουμε τις ρίζες: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Λαμβάνοντας υπόψη τις λαμβανόμενες ρίζες, μετατρέπουμε το ολοκλήρωμα: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Εκτελούμε την επέκταση ενός λογικού κλάσματος: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Εξισώστε τους αριθμητές και βρείτε τους συντελεστές $ A $ και $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \αρχή(περιπτώσεις) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(περιπτώσεις) $$ $$ \αρχή (περιπτώσεις) Α = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end (περιπτώσεις) $$ Αντικαθιστούμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στο ολοκλήρωμα και το λύνουμε: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Απάντηση

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Δίνεται η παραγωγή τύπων για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων από τα απλούστερα, στοιχειώδη, κλάσματα τεσσάρων τύπων. Πιο πολύπλοκα ολοκληρώματα, από κλάσματα του τέταρτου τύπου, υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής. Εξετάζεται ένα παράδειγμα ολοκλήρωσης ενός κλάσματος του τέταρτου τύπου.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων
Μέθοδοι υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων

Όπως είναι γνωστό, οποιαδήποτε ορθολογική συνάρτηση κάποιας μεταβλητής x μπορεί να αποσυντεθεί σε πολυώνυμο και απλά, στοιχειώδη, κλάσματα. Υπάρχουν τέσσερις τύποι απλών κλασμάτων:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Εδώ τα a, A, B, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί. Εξίσωση x 2+bx+c=0δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Ολοκλήρωση κλασμάτων των δύο πρώτων τύπων

Η ολοκλήρωση των δύο πρώτων κλασμάτων γίνεται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων:
,
, n ≠ - 1 .

1. Ολοκλήρωση κλάσματος πρώτου τύπου

Ένα κλάσμα του πρώτου τύπου με αντικατάσταση t = x - a ανάγεται σε ολοκλήρωμα πίνακα:
.

2. Ολοκλήρωση κλάσματος δεύτερου τύπου

Ένα κλάσμα του δεύτερου τύπου ανάγεται σε ένα ολοκλήρωμα πίνακα με την ίδια αντικατάσταση t \u003d x - a:

.

3. Ενσωμάτωση κλάσματος τρίτου τύπου

Θεωρήστε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τρίτου τύπου:
.
Θα το υπολογίσουμε σε δύο βήματα.

3.1. Βήμα 1. Επιλέξτε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή

Επιλέγουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή του κλάσματος. Σημειώστε: u = x 2+bx+c. Διαφοροποιώ: u′ = 2 x + β. Τότε
;
.
Αλλά
.
Παραλείψαμε το σύμβολο modulo επειδή .

Τότε:
,
που
.

3.2. Βήμα 2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα με A = 0, B=1

Τώρα υπολογίζουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα:
.

Φέρνουμε τον παρονομαστή του κλάσματος στο άθροισμα των τετραγώνων:
,
που .
Πιστεύουμε ότι η εξίσωση x 2+bx+c=0δεν έχει ρίζες. Ετσι .

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση
,
.
.

Ετσι,
.

Έτσι, βρήκαμε ένα ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τρίτου τύπου:

,
που .

4. Ολοκλήρωση κλάσματος τέταρτου τύπου

Και τέλος, θεωρήστε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τέταρτου τύπου:
.
Το υπολογίζουμε σε τρία βήματα.

4.1) Επιλέγουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή:
.

4.2) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα
.

4.3) Υπολογίστε ολοκληρώματα
,
χρησιμοποιώντας τη φόρμουλα cast:
.

4.1. Βήμα 1. Εξαγωγή της παραγώγου του παρονομαστή στον αριθμητή

Επιλέγουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή, όπως κάναμε στο . Συμβολίστε u = x 2+bx+c. Διαφοροποιώ: u′ = 2 x + β. Τότε
.

.
Αλλά
.

Τέλος έχουμε:
.

4.2. Βήμα 2. Υπολογισμός του ολοκληρώματος με n = 1

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα
.
Ο υπολογισμός του καθορίζεται στο .

4.3. Βήμα 3. Παραγωγή του τύπου αναγωγής

Τώρα εξετάστε το ολοκλήρωμα
.

Φέρνουμε το τετράγωνο τριώνυμο στο άθροισμα των τετραγώνων:
.
Εδώ .
Κάνουμε αντικατάσταση.
.
.

Εκτελούμε μετασχηματισμούς και ενσωματώνουμε ανά εξαρτήματα.




.

Πολλαπλασιάστε με 2 (n - 1):
.
Επιστρέφουμε στο x και I n .
,
;
;
.

Έτσι, για το I n έχουμε τον τύπο αναγωγής:
.
Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο διαδοχικά, ανάγουμε το ολοκλήρωμα I n σε I 1 .

Παράδειγμα

Υπολογισμός Ολοκληρώματος

1. Επιλέγουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή.
;
;


.
Εδώ
.

2. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα του απλούστερου κλάσματος.

.

3. Εφαρμόζουμε τον τύπο μείωσης:

για το αναπόσπαστο .
Στην περίπτωσή μας b = 1 , γ = 1 , 4 c - b 2 = 3. Γράφουμε αυτόν τον τύπο για n = 2 και n = 3 :
;
.
Από εδώ

.

Τέλος έχουμε:

.
Βρίσκουμε τον συντελεστή στο .
.

Δείτε επίσης:

Το υλικό που παρουσιάζεται σε αυτό το θέμα βασίζεται στις πληροφορίες που παρουσιάζονται στο θέμα "Ορθολογικά κλάσματα. Αποσύνθεση λογικών κλασμάτων σε στοιχειώδη (απλά) κλάσματα". Σας συμβουλεύω ανεπιφύλακτα να περιηγηθείτε τουλάχιστον σε αυτό το θέμα πριν προχωρήσετε στην ανάγνωση αυτού του υλικού. Επιπλέον, θα χρειαστούμε έναν πίνακα αόριστων ολοκληρωμάτων.

Επιτρέψτε μου να σας θυμίσω δύο όρους. Συζητήθηκαν στο σχετικό θέμα, οπότε εδώ θα περιοριστώ σε μια σύντομη διατύπωση.

Ο λόγος δύο πολυωνύμων $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ονομάζεται ορθολογική συνάρτηση ή ρητό κλάσμα. Το ορθολογικό κλάσμα λέγεται σωστόςαν $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется λανθασμένος.

Τα στοιχειώδη (απλά) ορθολογικά κλάσματα είναι ρητά κλάσματα τεσσάρων τύπων:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Σημείωση (επιθυμητή για την καλύτερη κατανόηση του κειμένου): εμφάνιση/απόκρυψη

Γιατί είναι απαραίτητη η συνθήκη $p^2-4q;< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Για παράδειγμα, για την έκφραση $x^2+5x+10$ παίρνουμε: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Από $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Παρεμπιπτόντως, για αυτόν τον έλεγχο δεν είναι απαραίτητο ο συντελεστής μπροστά από $x^2$ να ισούται με 1. Για παράδειγμα, για $5x^2+7x-3=0$ παίρνουμε: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Από $D > 0$, η έκφραση $5x^2+7x-3$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί.

Μπορούν να βρεθούν παραδείγματα ορθολογικών κλασμάτων (κανονικά και ακατάλληλα), καθώς και παραδείγματα αποσύνθεσης ενός λογικού κλάσματος σε στοιχειώδη. Εδώ μας ενδιαφέρουν μόνο τα ζητήματα της ένταξής τους. Ας ξεκινήσουμε με την ολοκλήρωση των στοιχειωδών κλασμάτων. Έτσι, καθένας από τους τέσσερις τύπους των παραπάνω στοιχειωδών κλασμάτων είναι εύκολο να ενσωματωθεί χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι κατά την ολοκλήρωση κλασμάτων του τύπου (2) και (4) υποτίθεται ότι $n=2,3,4,\ldots$. Οι τύποι (3) και (4) απαιτούν τη συνθήκη $p^2-4q< 0$.

\αρχή(εξίσωση) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(εξίσωση) \αρχή(εξίσωση) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(εξίσωση) \αρχή(εξίσωση) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(εξίσωση)

Για $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ γίνεται η αντικατάσταση $t=x+\frac(p)(2)$, μετά την οποία το ολοκλήρωμα που προκύπτει είναι χωριστεί στα δύο. Το πρώτο θα υπολογιστεί εισάγοντάς το κάτω από το διαφορικό πρόσημο και το δεύτερο θα μοιάζει με $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Αυτό το ολοκλήρωμα λαμβάνεται χρησιμοποιώντας τη σχέση επανάληψης

\αρχή(εξίσωση) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(εξίσωση)

Ο υπολογισμός ενός τέτοιου ολοκληρώματος αναλύεται στο παράδειγμα Νο. 7 (βλ. τρίτο μέρος).

Σχέδιο για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων από ορθολογικές συναρτήσεις (ορθολογικά κλάσματα):

1. Εάν το ολοκλήρωμα είναι στοιχειώδες, τότε εφαρμόστε τους τύπους (1)-(4).
2. Εάν το ολοκλήρωμα δεν είναι στοιχειώδες, τότε αντιπροσωπεύστε το ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων και στη συνέχεια ολοκληρώστε χρησιμοποιώντας τους τύπους (1)-(4).

Ο παραπάνω αλγόριθμος για την ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων έχει ένα αναμφισβήτητο πλεονέκτημα - είναι καθολικός. Εκείνοι. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο, μπορεί κανείς να ενσωματώσει όποιοςορθολογικό κλάσμα. Γι' αυτό σχεδόν όλες οι αντικαταστάσεις μεταβλητών στο αόριστο ολοκλήρωμα (αντικαταστάσεις Euler, Chebyshev, καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση) γίνονται με τέτοιο τρόπο ώστε μετά από αυτή την αντικατάσταση να έχουμε ένα λογικό κλάσμα κάτω από το διάστημα. Και εφαρμόστε τον αλγόριθμο σε αυτό. Θα αναλύσουμε την άμεση εφαρμογή αυτού του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας παραδείγματα, αφού κάνουμε μια μικρή σημείωση.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Κατ 'αρχήν, αυτό το ολοκλήρωμα είναι εύκολο να ληφθεί χωρίς μηχανική εφαρμογή του τύπου. Εάν αφαιρέσουμε τη σταθερά $7$ από το πρόσημο του ολοκληρώματος και λάβουμε υπόψη ότι $dx=d(x+9)$, τότε παίρνουμε:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Για λεπτομερείς πληροφορίες προτείνω να δείτε το θέμα. Εξηγεί λεπτομερώς πώς λύνονται τέτοια ολοκληρώματα. Παρεμπιπτόντως, ο τύπος αποδεικνύεται από τους ίδιους μετασχηματισμούς που εφαρμόστηκαν σε αυτήν την παράγραφο κατά την επίλυση "χειροκίνητα".

2) Και πάλι, υπάρχουν δύο τρόποι: να εφαρμόσετε μια έτοιμη φόρμουλα ή να κάνετε χωρίς αυτήν. Εάν εφαρμόσετε τον τύπο, τότε θα πρέπει να λάβετε υπόψη ότι ο συντελεστής μπροστά από $x$ (ο αριθμός 4) θα πρέπει να αφαιρεθεί. Για να το κάνουμε αυτό, απλώς βγάζουμε τα τέσσερα από αυτά σε αγκύλες:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Τώρα ήρθε η ώρα να εφαρμόσετε τον τύπο:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\αριστερά(x+\frac(19)(4) \δεξιά)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Μπορείτε να το κάνετε χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο. Και ακόμη και χωρίς να βάλετε το σταθερό $4$ εκτός παρενθέσεων. Αν λάβουμε υπόψη ότι $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, τότε παίρνουμε:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Λεπτομερείς εξηγήσεις για την εύρεση τέτοιων ολοκληρωμάτων δίνονται στο θέμα "Ολοκλήρωση με αντικατάσταση (εισαγωγή κάτω από το διαφορικό πρόσημο)" .

3) Πρέπει να ενσωματώσουμε το κλάσμα $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Αυτό το κλάσμα έχει τη δομή $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, όπου $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ωστόσο, για να βεβαιωθείτε ότι αυτό είναι πράγματι ένα στοιχειώδες κλάσμα του τρίτου τύπου, πρέπει να ελέγξετε τη συνθήκη $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ας λύσουμε το ίδιο παράδειγμα, χωρίς όμως να χρησιμοποιήσουμε τον έτοιμο τύπο. Ας προσπαθήσουμε να απομονώσουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή. Τι σημαίνει αυτό? Γνωρίζουμε ότι $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Είναι η έκφραση $2x+10$ που πρέπει να απομονώσουμε στον αριθμητή. Μέχρι στιγμής, ο αριθμητής περιέχει μόνο $4x+7$ , αλλά δεν είναι για πολύ. Εφαρμόστε τον ακόλουθο μετασχηματισμό στον αριθμητή:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -δεκατρείς. $$

Τώρα η απαιτούμενη έκφραση $2x+10$ εμφανίστηκε στον αριθμητή. Και το ολοκλήρωμα μας μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Ας σπάσουμε το ολοκλήρωμα στα δύο. Λοιπόν, και, κατά συνέπεια, το ίδιο το ολοκλήρωμα είναι επίσης "χωρισμένο":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \δεξιά)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Ας μιλήσουμε πρώτα για το πρώτο ολοκλήρωμα, δηλ. περίπου $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Εφόσον $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, τότε η διαφορά του παρονομαστή βρίσκεται στον αριθμητή του ολοκληρώματος. Εν ολίγοις, αντί της έκφρασης $( 2x+10)dx$ γράφουμε $d(x^2+10x+34)$.

Ας πούμε τώρα λίγα λόγια για το δεύτερο ολοκλήρωμα. Ας ξεχωρίσουμε το πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Επιπλέον, λαμβάνουμε υπόψη $dx=d(x+5)$. Τώρα το άθροισμα των ολοκληρωμάτων που λάβαμε νωρίτερα μπορεί να ξαναγραφτεί με μια ελαφρώς διαφορετική μορφή:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ εννέα). $$

Αν κάνουμε την αλλαγή $u=x^2+10x+34$ στο πρώτο ολοκλήρωμα, τότε θα έχει τη μορφή $\int\frac(du)(u)$ και λαμβάνεται εφαρμόζοντας απλώς τον δεύτερο τύπο από το . Όσο για το δεύτερο ολοκλήρωμα, η αντικατάσταση $u=x+5$ είναι εφικτή γι' αυτό, μετά την οποία παίρνει τη μορφή $\int\frac(du)(u^2+9)$. Αυτό είναι το πιο καθαρό νερό, ο ενδέκατος τύπος από τον πίνακα των αόριστων ολοκληρωμάτων. Άρα, επιστρέφοντας στο άθροισμα των ολοκληρωμάτων, θα έχουμε:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Λάβαμε την ίδια απάντηση με την εφαρμογή του τύπου , κάτι που στην πραγματικότητα δεν προκαλεί έκπληξη. Γενικά, ο τύπος αποδεικνύεται με τις ίδιες μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για να βρούμε αυτό το ολοκλήρωμα. Πιστεύω ότι ένας προσεκτικός αναγνώστης μπορεί να έχει μια ερώτηση εδώ, επομένως θα τη διατυπώσω:

Ερώτηση 1

Αν εφαρμόσουμε τον δεύτερο τύπο από τον πίνακα των αόριστων ολοκληρωμάτων στο ολοκλήρωμα $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, τότε έχουμε το εξής:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Γιατί έλειπε η ενότητα από τη λύση;

Απάντηση στην ερώτηση #1

Το ερώτημα είναι απολύτως εύλογο. Ο συντελεστής έλειπε μόνο επειδή η έκφραση $x^2+10x+34$ για οποιοδήποτε $x\σε R$ είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Αυτό είναι αρκετά εύκολο να φανεί με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, αφού $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ και $(x+5)^2 ≥ 0$, τότε $(x+5)^2+9 > 0$ . Είναι δυνατόν να κρίνουμε με διαφορετικό τρόπο, χωρίς να συνεπάγεται η επιλογή ενός πλήρους τετραγώνου. Από $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ για οποιοδήποτε $x\σε R$ (αν αυτή η λογική αλυσίδα σας προκαλεί έκπληξη, σας συμβουλεύω να δείτε τη γραφική μέθοδο για την επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων). Σε κάθε περίπτωση, αφού $x^2+10x+34 > 0$, τότε $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, π.χ. μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικές αγκύλες αντί για μονάδα.

Όλα τα σημεία του παραδείγματος Νο. 1 έχουν λυθεί, μένει μόνο να γράψουμε την απάντηση.

Απάντηση:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Παράδειγμα #2

Βρείτε το ολοκλήρωμα $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Με την πρώτη ματιά, το ολοκλήρωμα $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ μοιάζει πολύ με ένα στοιχειώδες κλάσμα του τρίτου τύπου, δηλ. σε $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Φαίνεται ότι η μόνη διαφορά είναι ο συντελεστής $3$ μπροστά από $x^2$, αλλά δεν θα αργήσει να αφαιρεθεί ο συντελεστής (εκτός παρένθεσης). Ωστόσο, αυτή η ομοιότητα είναι εμφανής. Για το κλάσμα $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ η συνθήκη $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Ο συντελεστής μας μπροστά από $x^2$ δεν είναι ίσος με ένα, επομένως ελέγξτε τη συνθήκη $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, επομένως η έκφραση $3x^2-5x-2$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί. Και αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ δεν είναι στοιχειώδες κλάσμα του τρίτου τύπου και ισχύει για το ολοκλήρωμα $\int\frac(7x+12)( Ο τύπος 3x^2- 5x-2)dx$ δεν επιτρέπεται.

Λοιπόν, αν το δεδομένο ορθολογικό κλάσμα δεν είναι στοιχειώδες, τότε πρέπει να αναπαρασταθεί ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων και στη συνέχεια να ολοκληρωθεί. Εν ολίγοις, μονοπάτι επωφεληθείτε από . Ο τρόπος αποσύνθεσης ενός ορθολογικού κλάσματος σε στοιχειώδη γράφεται λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε συνυπολογίζοντας τον παρονομαστή:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \αρχή(στοίχιση) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(ευθυγραμμισμένο)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Αντιπροσωπεύουμε το υποεσωτερικό κλάσμα με την ακόλουθη μορφή:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Τώρα ας επεκτείνουμε το κλάσμα $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ σε στοιχειώδη:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\αριστερά(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\δεξιά). $$

Για να βρείτε τους συντελεστές $A$ και $B$ υπάρχουν δύο τυπικοί τρόποι: η μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών και η μέθοδος αντικατάστασης μερικών τιμών. Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης μερικής τιμής αντικαθιστώντας το $x=2$ και μετά το $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\αριστερά (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Δεδομένου ότι έχουν βρεθεί οι συντελεστές, μένει μόνο να σημειωθεί η τελική επέκταση:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Κατ 'αρχήν, μπορείτε να αφήσετε αυτήν την καταχώρηση, αλλά μου αρέσει μια πιο ακριβής έκδοση:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Επιστρέφοντας στο αρχικό ολοκλήρωμα, αντικαθιστούμε την προκύπτουσα επέκταση σε αυτό. Στη συνέχεια χωρίζουμε το ολοκλήρωμα στα δύο και εφαρμόζουμε τον τύπο σε καθένα. Προτιμώ να αφαιρέσω αμέσως τις σταθερές εκτός του ολοκληρώματος:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Απάντηση: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Παράδειγμα #3

Βρείτε το ολοκλήρωμα $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Πρέπει να ενσωματώσουμε το κλάσμα $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Ο αριθμητής είναι πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού και ο παρονομαστής είναι ένα πολυώνυμο του τρίτου βαθμού. Εφόσον ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου στον παρονομαστή, δηλ. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Απλώς πρέπει να σπάσουμε το δεδομένο ολοκλήρωμα σε τρία και να εφαρμόσουμε τον τύπο σε καθένα. Προτιμώ να αφαιρέσω αμέσως τις σταθερές εκτός του ολοκληρώματος:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Απάντηση: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Η συνέχεια της ανάλυσης παραδειγμάτων αυτού του θέματος βρίσκεται στο δεύτερο μέρος.

Θυμηθείτε ότι κλασματικά ορθολογικήονομάζονται συναρτήσεις της μορφής $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), η $$ στη γενική περίπτωση είναι ο λόγος δύο πολυωνύμων %%P_n(x)%% και % %Q_m(x)% %.

Αν %%m > n \geq 0%%, τότε καλείται ένα ορθολογικό κλάσμα σωστός, διαφορετικά είναι λάθος. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της πολυωνυμικής διαίρεσης, ένα ακατάλληλο ορθολογικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ενός πολυωνύμου %%P_(n - m)%% του βαθμού %%n - m%% και κάποιου κατάλληλου κλάσματος, δηλ. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ όπου ο βαθμός είναι %%l% Το % του πολυωνύμου %%P_l(x)%% είναι μικρότερο από το βαθμό %%n%% του πολυωνύμου %%Q_n(x)%%.

Έτσι, το αόριστο ολοκλήρωμα μιας ορθολογικής συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των αόριστων ολοκληρωμάτων ενός πολυωνύμου και ενός ορθού ορθολογικού κλάσματος.

Ολοκληρώματα απλών ρητά κλασμάτων

Υπάρχουν τέσσερις τύποι ορθών ορθολογικών κλασμάτων, τα οποία ταξινομούνται ως τα απλούστερα ρητά κλάσματα:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

όπου %%k > 1%% είναι ακέραιος και %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Υπολογισμός αόριστων ολοκληρωμάτων από κλάσματα των δύο πρώτων τύπων

Ο υπολογισμός αόριστων ολοκληρωμάτων των κλασμάτων των δύο πρώτων τύπων είναι εύκολος: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(πίνακας) $$

Υπολογισμός αόριστων ολοκληρωμάτων από κλάσματα τρίτου τύπου

Πρώτα μετασχηματίζουμε το κλάσμα του τρίτου τύπου επιλέγοντας το πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ από %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, το οποίο θα συμβολίσουμε ως %%a^2%%. Αντικαθιστώντας επίσης %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, μετατρέπουμε τον παρονομαστή και γράφουμε το ολοκλήρωμα ενός κλάσματος του τρίτου τύπου με τη μορφή $$ \begin (πίνακας)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(πίνακας) $$

Χρησιμοποιώντας τη γραμμικότητα του αόριστου ολοκληρώματος, αντιπροσωπεύουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα ως άθροισμα δύο και στο πρώτο από αυτά εισάγουμε %%t%% κάτω από το διαφορικό πρόσημο: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (Στο + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \αριστερά| t^2 + a^2\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή %%x%%, καταλήγουμε σε $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \n \αριστερά| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ όπου %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος τύπου 4 είναι δύσκολος, επομένως δεν καλύπτεται σε αυτό το μάθημα.