Όπως γνωρίζετε, η εύρεση του ολοκληρώματος μπορεί να είναι μια αρκετά δύσκολη εργασία. Θα ήταν μεγάλη απογοήτευση να αναλάβουμε τον υπολογισμό ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος και να ανακαλύψουμε στο τέλος της διαδρομής ότι αποκλίνει. Επομένως, ενδιαφέρουν μέθοδοι που επιτρέπουν σε κάποιον να βγάλει ένα συμπέρασμα σχετικά με τη σύγκλιση ή την απόκλιση ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος χωρίς σοβαρούς υπολογισμούς για έναν τύπο συναρτήσεων. Το πρώτο και το δεύτερο θεωρήματα σύγκρισης, που θα συζητηθούν παρακάτω, βοηθούν σε μεγάλο βαθμό στη διερεύνηση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων για σύγκλιση.
Έστω f(x)?0. Στη συνέχεια οι συναρτήσεις
αυξάνονται μονότονα με τις μεταβλητές t ή -q (αφού παίρνουμε q > 0, το -q τείνει στο μηδέν από τα αριστερά). Εάν, καθώς αυξάνονται τα ορίσματα, οι συναρτήσεις F 1 (t) και F 2 (-d) παραμένουν δεσμευμένες από πάνω, αυτό σημαίνει ότι τα αντίστοιχα ακατάλληλα ολοκληρώματα συγκλίνουν. Αυτή είναι η βάση του πρώτου θεωρήματος σύγκρισης για ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων.
Έστω ότι πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες για τη συνάρτηση f(x) και g(x) στο x?a:
- 1) 0;f(x);g(x);
- 2) Οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι συνεχείς.
Τότε η σύγκλιση του ολοκληρώματος συνεπάγεται τη σύγκλιση του ολοκληρώματος και η απόκλιση του ολοκληρώματος συνεπάγεται την απόκλιση
Αφού το 0?f(x)?g(x) και οι συναρτήσεις είναι συνεχείς, τότε
Με την υπόθεση, το ολοκλήρωμα συγκλίνει, δηλ. έχει πεπερασμένη τιμή. Επομένως, το ολοκλήρωμα συγκλίνει επίσης.
Τώρα αφήστε το ολοκλήρωμα να αποκλίνει. Ας υποθέσουμε ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει, αλλά τότε το ολοκλήρωμα πρέπει να συγκλίνει, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Η υπόθεση μας είναι λανθασμένη, το ολοκλήρωμα αποκλίνει.
Θεώρημα σύγκρισης για ακατάλληλα ολοκληρώματα 2ου είδους.
Έστω για τις συναρτήσεις f(x) και g(x) στο διάστημα , αυξάνεται απεριόριστα για x>+0. Για αυτό, για x>+0, η ανισότητα<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.
Θεώρημα σύγκρισης για ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους.
Έστω το ολοκλήρωμα να αποκλίνει για τη συνάρτηση f(x) και g(x) στο διάστημα.
Αυτό σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει επίσης στο τμήμα.
Έτσι, αυτό το ολοκλήρωμα αποκλίνει σε ολόκληρο το τμήμα [-1, 1]. Σημειώστε ότι αν αρχίζαμε να υπολογίζουμε αυτό το ολοκλήρωμα, χωρίς να δίνουμε προσοχή στην ασυνέχεια του ολοκληρώματος στο σημείο x = 0, θα παίρναμε λάθος αποτέλεσμα. Πραγματικά,
, κάτι που είναι αδύνατο.
Έτσι, για να μελετήσουμε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα μιας ασυνεχούς συνάρτησης, είναι απαραίτητο να το «σπάσουμε» σε πολλά ολοκληρώματα και να τα διερευνήσουμε.
Εάν το ολοκλήρωμα έχει ασυνέχεια του δεύτερου είδους στο (πεπερασμένο) διάστημα ολοκλήρωσης, μιλάμε για ακατάλληλο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους.
10.2.1 Ορισμός και βασικές ιδιότητες
Ας υποδηλώσουμε το διάστημα ολοκλήρωσης $\left[ a, \, b \right ]$, και οι δύο αυτοί αριθμοί θεωρούνται πεπερασμένοι παρακάτω. Εάν υπάρχει μόνο 1 κενό, μπορεί να είναι είτε στο σημείο $a$, είτε στο σημείο $b$, είτε μέσα στο διάστημα $(a,\,b)$. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση όταν υπάρχει μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους στο σημείο $a$ και το ολοκλήρωμα είναι συνεχές σε άλλα σημεία. Συζητάμε λοιπόν το ολοκλήρωμα
\αρχή(εξίσωση) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(εξίσωση)
όπου $f(x) \rightarrow \infty $ όταν $x \rightarrow a+0$. Όπως και πριν, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να δώσετε νόημα σε αυτή την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε το ολοκλήρωμα
\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Ορισμός. Ας υπάρχει ένα όριο
\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Τότε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους (22) λέγεται ότι συγκλίνει και η τιμή $A$ του εκχωρείται, η ίδια η συνάρτηση $f(x)$ λέγεται ότι μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα $\left[ a, \ , b\right]$.
Εξετάστε το ολοκλήρωμα
\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]
Το ολοκλήρωμα $1/\sqrt(x)$ για $x \rightarrow +0$ έχει ένα άπειρο όριο, οπότε στο σημείο $x=0$ έχει μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους. Ας βάλουμε
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]
Σε αυτή την περίπτωση, το αντιπαράγωγο είναι γνωστό,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\δεξιό βέλος 2 \]
για $\epsilon \rightarrow +0$. Έτσι, το αρχικό ολοκλήρωμα είναι ένα συγκλίνον ακατάλληλο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους και είναι ίσο με 2.
Ας εξετάσουμε την παραλλαγή όταν υπάρχει ασυνέχεια του δεύτερου είδους του ολοκληρώματος στο ανώτερο όριο του διαστήματος ολοκλήρωσης. Αυτή η περίπτωση μπορεί να μειωθεί στην προηγούμενη αλλάζοντας τη μεταβλητή $x=-t$ και στη συνέχεια αναδιατάσσοντας τα όρια ολοκλήρωσης.
Ας εξετάσουμε την περίπτωση όταν το ολοκλήρωμα έχει μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους μέσα στο διάστημα ολοκλήρωσης, στο σημείο $c \in (a,\,b)$. Σε αυτή την περίπτωση, το αρχικό ολοκλήρωμα
\αρχή(εξίσωση) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(εξίσωση)
παρουσιάζεται ως άθροισμα
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Ορισμός. Εάν και τα δύο ολοκληρώματα $I_1, \, I_2$ συγκλίνουν, τότε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα (23) ονομάζεται συγκλίνον και του αποδίδεται τιμή ίση με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων $I_1, \, I_2$, τη συνάρτηση $f(x) Το $ ονομάζεται integrable στο διάστημα $\left [a, \, b\right]$. Εάν τουλάχιστον ένα από τα ολοκληρώματα $I_1,\, I_2$ είναι αποκλίνον, το ακατάλληλο ολοκλήρωμα (23) λέγεται ότι είναι αποκλίνον.
Τα συγκλίνοντα ακατάλληλα ολοκληρώματα του 2ου είδους έχουν όλες τις τυπικές ιδιότητες των συνηθισμένων ορισμένων ολοκληρωμάτων.
1. Εάν τα $f(x)$, $g(x)$ μπορούν να ενσωματωθούν στο διάστημα $\left[ a, \,b \right ]$, τότε το άθροισμά τους $f(x)+g(x)$ είναι μπορεί επίσης να ενσωματωθεί σε αυτό το διάστημα, και \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( β)ζ (x)dx. \] 2. Εάν η $f(x)$ μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, τότε για οποιαδήποτε σταθερά $C$ η συνάρτηση $C\cdot f(x)$ είναι επίσης ενσωματώσιμο σε αυτό το διάστημα , και \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Εάν το $f(x)$ είναι ενσωματώσιμο στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$ και $f(x)>0$ σε αυτό το διάστημα, τότε \[ \int _a^( β ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Εάν το $f(x)$ είναι ενσωματώσιμο στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, τότε για οποιοδήποτε $c\in (a, \,b)$ τα ολοκληρώματα \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] επίσης συγκλίνουν και \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (προσθετικότητα του ολοκληρώματος στο διάστημα).
Εξετάστε το ολοκλήρωμα \αρχή(εξίσωση) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(εξίσωση) Εάν $k>0$, το ολοκλήρωμα τείνει σε $\infty$ ως $x \rightarrow +0$, οπότε το ολοκλήρωμα είναι ακατάλληλο του δεύτερου είδους. Εισάγουμε τη συνάρτηση \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] Στην περίπτωση αυτή, το αντιπαράγωγο είναι γνωστό, έτσι ώστε \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] για $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] για $k = 1$. Λαμβάνοντας υπόψη τη συμπεριφορά για $\epsilon \rightarrow +0$, συμπεραίνουμε ότι το ολοκλήρωμα (20) συγκλίνει για $k
10.2.2 Κριτήρια σύγκλισης ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 2ου είδους
Θεώρημα (το πρώτο σημάδι σύγκρισης). Έστω τα $f(x)$, $g(x)$ συνεχόμενα για $x\in (a,\,b)$ και $0 1. Αν το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)g(x) Το dx \] συγκλίνει, τότε το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx συγκλίνει επίσης. \] 2. Εάν το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx \] αποκλίνει, τότε το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)g(x)dx αποκλίνει επίσης. \]
Θεώρημα (το δεύτερο σημάδι σύγκρισης). Έστω $f(x)$, $g(x)$ συνεχές και θετικό για $x\in (a,\,b)$ και ας υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο
\[ \theta = \lim_(x \δεξιό βέλος a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Μετά τα ολοκληρώματα
\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]
συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.
Εξετάστε το ολοκλήρωμα
\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
Το ολοκλήρωμα είναι μια θετική συνάρτηση στο διάστημα ολοκλήρωσης, το ολοκλήρωμα τείνει σε $\infty$ ως $x \rightarrow +0$, επομένως το ολοκλήρωμα μας είναι ακατάλληλο δεύτερου είδους. Επιπλέον, για $x \rightarrow +0$ έχουμε: αν $g(x)=1/x$, τότε
\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]
Εφαρμόζοντας το δεύτερο κριτήριο σύγκρισης, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το ολοκλήρωμα μας συγκλίνει ή αποκλίνει ταυτόχρονα με το ολοκλήρωμα
\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]
Όπως φαίνεται στο προηγούμενο παράδειγμα, αυτό το ολοκλήρωμα αποκλίνει ($k=1$). Επομένως, το αρχικό ολοκλήρωμα αποκλίνει επίσης.
Υπολογίστε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα ή καθορίστε τη σύγκλιση (απόκλιση).
1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]
