Εάν πρέπει να αυξήσετε έναν συγκεκριμένο αριθμό σε μια ισχύ, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το . Τώρα θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά ιδιότητες των εξουσιών.
Εκθετικοί αριθμοίανοίγουν μεγάλες δυνατότητες, μας επιτρέπουν να μετατρέψουμε τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση και η πρόσθεση είναι πολύ πιο εύκολη από τον πολλαπλασιασμό.
Για παράδειγμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 16 με το 64. Το γινόμενο πολλαπλασιασμού αυτών των δύο αριθμών είναι 1024. Αλλά το 16 είναι 4x4 και το 64 είναι 4x4x4. Άρα 16 φορές 64=4x4x4x4x4 που είναι επίσης 1024.
Ο αριθμός 16 μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως 2x2x2x2 και το 64 ως 2x2x2x2x2x2, και αν πολλαπλασιάσουμε, παίρνουμε πάλι 1024.
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα. 16=4 2 , ή 2 4 , 64=4 3 , ή 2 6 , ενώ 1024=6 4 =4 5 , ή 2 10 .
Επομένως, το πρόβλημά μας μπορεί να γραφτεί με άλλο τρόπο: 4 2 x4 3 =4 5 ή 2 4 x2 6 =2 10, και κάθε φορά παίρνουμε 1024.
Μπορούμε να λύσουμε μια σειρά από παρόμοια παραδείγματα και να δούμε ότι ο πολλαπλασιασμός των αριθμών με δυνάμεις μειώνεται σε προσθήκη εκθετών, ή εκθέτη, φυσικά, με την προϋπόθεση ότι οι βάσεις των παραγόντων είναι ίσες.
Έτσι, μπορούμε, χωρίς να πολλαπλασιάσουμε, να πούμε αμέσως ότι 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης κατά τη διαίρεση αριθμών με δυνάμεις, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, π.χ ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος. Έτσι, 2 5:2 3 =2 2 , που σε συνηθισμένους αριθμούς ισούται με 32:8=4, δηλαδή 2 2 . Ας συνοψίσουμε:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, όπου m και n είναι ακέραιοι αριθμοί.
Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμών με δυνάμειςδεν είναι πολύ βολικό, γιατί πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε τον αριθμό σε εκθετική μορφή. Δεν είναι δύσκολο να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς 8 και 16 σε αυτή τη μορφή, δηλαδή 2 3 και 2 4, αλλά πώς να το κάνουμε αυτό με τους αριθμούς 7 και 17; Ή τι να κάνετε σε εκείνες τις περιπτώσεις που ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε εκθετική μορφή, αλλά οι βάσεις των εκθετικών εκφράσεων των αριθμών είναι πολύ διαφορετικές. Για παράδειγμα, το 8×9 είναι 2 3 x 3 2, οπότε δεν μπορούμε να αθροίσουμε τους εκθέτες. Ούτε το 2 5 ούτε το 3 5 είναι η απάντηση, ούτε η απάντηση μεταξύ των δύο.
Τότε αξίζει να ασχοληθείτε καθόλου με αυτή τη μέθοδο; Σίγουρα αξίζει τον κόπο. Παρέχει τεράστια πλεονεκτήματα, ειδικά για πολύπλοκους και χρονοβόρους υπολογισμούς.
Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά στην άλγεβρα, και μάλιστα σε όλα τα μαθηματικά, είναι το πτυχίο. Φυσικά, στον 21ο αιώνα, όλοι οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν σε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή, αλλά είναι καλύτερο να μάθετε πώς να το κάνετε μόνοι σας για την ανάπτυξη του εγκεφάλου.
Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τα πιο σημαντικά ζητήματα σχετικά με αυτόν τον ορισμό. Δηλαδή, θα καταλάβουμε τι είναι γενικά και ποιες είναι οι κύριες λειτουργίες του, ποιες ιδιότητες υπάρχουν στα μαθηματικά.
Ας δούμε παραδείγματα για το πώς φαίνεται ο υπολογισμός, ποιοι είναι οι βασικοί τύποι. Θα αναλύσουμε τους κύριους τύπους ποσοτήτων και πώς διαφέρουν από άλλες συναρτήσεις.
Θα καταλάβουμε πώς να λύσουμε διάφορα προβλήματα χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή. Θα δείξουμε με παραδείγματα πώς γίνεται η αύξηση σε μηδενικό βαθμό, παράλογο, αρνητικό κ.λπ.
Ηλεκτρονικός υπολογιστής εκθέσεως
Ποιος είναι ο βαθμός ενός αριθμού
Τι σημαίνει η έκφραση "ανέβασε έναν αριθμό σε δύναμη";
Ο βαθμός n ενός αριθμού α είναι το γινόμενο παραγόντων μεγέθους a n φορές στη σειρά.
Μαθηματικά μοιάζει με αυτό:
a n = a * a * a * …a n .
Για παράδειγμα:
- 2 3 = 2 στο τρίτο βήμα. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 σε βήμα. δύο = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 σε βήμα. τέσσερα = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 σε 5 βήμα. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 σε 4 βήμα. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Παρακάτω είναι ένας πίνακας με τετράγωνα και κύβους από το 1 έως το 10.
Πίνακας βαθμών από 1 έως 10
Παρακάτω είναι τα αποτελέσματα της αύξησης των φυσικών αριθμών σε θετικές δυνάμεις - "από το 1 στο 100".
| Ch-lo | 2η τάξη | 3η τάξη |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Ιδιότητες πτυχίου
Τι είναι χαρακτηριστικό μιας τέτοιας μαθηματικής συνάρτησης; Ας δούμε τις βασικές ιδιότητες.
Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει τα εξής σημάδια χαρακτηριστικά όλων των βαθμών:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a β) m =(a) (b*m) .
Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Από την άλλη πλευρά 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Ομοίως: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Διαφορετικά 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Τι γίνεται αν είναι διαφορετικό; 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι κανόνες λειτουργούν.
Αλλά πώς να είσαι με πρόσθεση και αφαίρεση? Όλα είναι απλά. Πρώτα εκτελείται εκθετική εκτίμηση και μόνο μετά πρόσθεση και αφαίρεση.
Ας δούμε παραδείγματα:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την πρόσθεση, καθώς υπάρχουν ενέργειες σε παρενθέσεις: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Τρόπος παραγωγής υπολογισμούς σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις? Η σειρά είναι η ίδια:
- εάν υπάρχουν αγκύλες, πρέπει να ξεκινήσετε με αυτές.
- μετά εκθεσιμότητα?
- στη συνέχεια εκτελέστε πράξεις πολλαπλασιασμού, διαίρεσης.
- μετά την πρόσθεση, την αφαίρεση.
Υπάρχουν συγκεκριμένες ιδιότητες που δεν είναι χαρακτηριστικές για όλους τους βαθμούς:
- Η ρίζα του ν ου βαθμού από τον αριθμό α στον βαθμό m θα γραφεί ως: a m / n .
- Όταν ανεβάζετε ένα κλάσμα σε δύναμη: τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής του υπόκεινται σε αυτή τη διαδικασία.
- Όταν αυξάνεται το γινόμενο διαφορετικών αριθμών σε μια δύναμη, η έκφραση θα αντιστοιχεί στο γινόμενο αυτών των αριθμών σε μια δεδομένη δύναμη. Δηλαδή: (a * b) n = a n * b n .
- Όταν ανεβάζετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να διαιρέσετε το 1 με έναν αριθμό στο ίδιο βήμα, αλλά με το σύμβολο "+".
- Εάν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι σε αρνητική δύναμη, τότε αυτή η παράσταση θα είναι ίση με το γινόμενο του αριθμητή και τον παρονομαστή σε θετική δύναμη.
- Οποιοσδήποτε αριθμός στη δύναμη του 0 = 1 και στο βήμα. 1 = στον εαυτό του.
Αυτοί οι κανόνες είναι σημαντικοί σε μεμονωμένες περιπτώσεις, θα τους εξετάσουμε λεπτομερέστερα παρακάτω.
Βαθμός με αρνητικό εκθέτη
Τι να κάνουμε με αρνητικό βαθμό, δηλαδή όταν ο δείκτης είναι αρνητικός;
Με βάση τις ιδιότητες 4 και 5(βλ. σημείο παραπάνω) αποδεικνύεται:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Και αντίστροφα:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Κι αν είναι κλάσμα;
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Πτυχίο με φυσικό δείκτη
Εννοείται ως βαθμός με εκθέτες ίσους με ακέραιους αριθμούς.
Πράγματα που πρέπει να θυμάστε:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… κ.λπ.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… κ.λπ.
Επίσης, αν (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…τότε το αποτέλεσμα θα είναι με πρόσημο «+». Εάν ένας αρνητικός αριθμός αυξηθεί σε περιττή ισχύ, τότε το αντίστροφο.
Οι γενικές ιδιότητες και όλα τα ειδικά χαρακτηριστικά που περιγράφονται παραπάνω είναι επίσης χαρακτηριστικά τους.
Κλασματικός βαθμός
Αυτή η προβολή μπορεί να γραφτεί ως σχήμα: A m / n. Διαβάζεται ως: η ρίζα της νης μοίρας του αριθμού Α στη δύναμη του m.
Με έναν κλασματικό δείκτη, μπορείτε να κάνετε τα πάντα: να μειώσετε, να αποσυντεθείτε σε μέρη, να αυξήσετε σε άλλο βαθμό κ.λπ.
Πτυχίο με παράλογο εκθέτη
Έστω α ένας άρρητος αριθμός και Α ˃ 0.
Για να κατανοήσετε την ουσία του πτυχίου με έναν τέτοιο δείκτη, Ας δούμε διάφορες πιθανές περιπτώσεις:
- A \u003d 1. Το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με 1. Επειδή υπάρχει ένα αξίωμα - 1 είναι ίσο με ένα σε όλες τις δυνάμεις.
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 είναι ρητικοί αριθμοί.
- 0˂А˂1.
Στην περίπτωση αυτή, αντίστροφα: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 υπό τις ίδιες συνθήκες όπως στη δεύτερη παράγραφο.
Για παράδειγμα, ο εκθέτης είναι ο αριθμός π.Είναι λογικό.
r 1 - σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με 3.
r 2 - θα είναι ίσο με 4.
Τότε, για Α = 1, 1 π = 1.
A = 2, μετά 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, μετά (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Τέτοιοι βαθμοί χαρακτηρίζονται από όλες τις μαθηματικές πράξεις και συγκεκριμένες ιδιότητες που περιγράφονται παραπάνω.
συμπέρασμα
Ας συνοψίσουμε - σε τι χρησιμεύουν αυτές οι τιμές, ποια είναι τα πλεονεκτήματα τέτοιων λειτουργιών; Φυσικά, πρώτα απ 'όλα, απλοποιούν τη ζωή των μαθηματικών και των προγραμματιστών κατά την επίλυση παραδειγμάτων, καθώς επιτρέπουν την ελαχιστοποίηση των υπολογισμών, τη μείωση αλγορίθμων, τη συστηματοποίηση δεδομένων και πολλά άλλα.
Πού αλλού μπορεί να είναι χρήσιμη αυτή η γνώση; Σε οποιαδήποτε εργασιακή ειδικότητα: ιατρική, φαρμακολογία, οδοντιατρική, κατασκευές, τεχνολογία, μηχανική, σχεδιασμός κ.λπ.
Στο προηγούμενο άρθρο, μιλήσαμε για το τι είναι τα μονώνυμα. Σε αυτό το υλικό, θα αναλύσουμε πώς να λύσουμε παραδείγματα και προβλήματα στα οποία χρησιμοποιούνται. Εδώ θα εξετάσουμε τέτοιες ενέργειες όπως αφαίρεση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση μονωνύμων και ανύψωσή τους σε δύναμη με φυσικό εκθέτη. Θα δείξουμε πώς ορίζονται τέτοιες λειτουργίες, θα αναφέρουμε τους βασικούς κανόνες για την εφαρμογή τους και ποιο θα πρέπει να είναι το αποτέλεσμα. Όλες οι θεωρητικές διατάξεις, ως συνήθως, θα επεξηγηθούν με παραδείγματα προβλημάτων με περιγραφές λύσεων.
Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με την τυπική σημείωση μονοωνύμων, επομένως, παρουσιάζουμε όλες τις εκφράσεις που θα χρησιμοποιηθούν στο άρθρο σε τυπική μορφή. Εάν αρχικά έχουν ρυθμιστεί διαφορετικά, συνιστάται να τα φέρετε πρώτα σε μια γενικά αποδεκτή μορφή.
Κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης μονωνύμων
Οι απλούστερες πράξεις που μπορούν να γίνουν με μονώνυμα είναι η αφαίρεση και η πρόσθεση. Στη γενική περίπτωση, το αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών θα είναι ένα πολυώνυμο (ένα μονώνυμο είναι δυνατό σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις).
Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε μονώνυμα, καταγράφουμε πρώτα το αντίστοιχο άθροισμα και τη διαφορά στη γενικά αποδεκτή μορφή και μετά απλοποιούμε την έκφραση που προκύπτει. Αν υπάρχουν παρόμοιοι όροι, πρέπει να δοθούν, να ανοίξουν οι αγκύλες. Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 1
Κατάσταση:προσθέστε τα μονώνυμα − 3 · x και 2, 72 · x 3 · y 5 · z.
Απόφαση
Ας γράψουμε το άθροισμα των αρχικών εκφράσεων. Προσθέστε παρενθέσεις και βάλτε ένα σύμβολο συν ανάμεσά τους. Θα λάβουμε τα εξής:
(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)
Όταν επεκτείνουμε τις αγκύλες, παίρνουμε - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Αυτό είναι ένα πολυώνυμο, γραμμένο σε τυπική μορφή, το οποίο θα είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης αυτών των μονοωνύμων.
Απάντηση:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .
Εάν έχουμε τρεις, τέσσερις ή περισσότερους όρους, εκτελούμε αυτήν την ενέργεια με τον ίδιο τρόπο.
Παράδειγμα 2
Κατάσταση:εκτελέστε τις δοσμένες πράξεις με πολυώνυμα με τη σωστή σειρά
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Απόφαση
Ας ξεκινήσουμε ανοίγοντας παρενθέσεις.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Βλέπουμε ότι η έκφραση που προκύπτει μπορεί να απλοποιηθεί με μείωση παρόμοιων όρων:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Έχουμε ένα πολυώνυμο, το οποίο θα είναι το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας.
Απάντηση: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Κατ' αρχήν μπορούμε να κάνουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση δύο μονωνύμων, με κάποιους περιορισμούς, ώστε να καταλήξουμε σε μονώνυμα. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να τηρηθούν ορισμένες προϋποθέσεις σχετικά με τους όρους και τα αφαιρούμενα μονοώνυμα. Θα περιγράψουμε πώς γίνεται αυτό σε ξεχωριστό άρθρο.
Κανόνες πολλαπλασιασμού μονοωνύμων
Η ενέργεια πολλαπλασιασμού δεν επιβάλλει περιορισμούς στους πολλαπλασιαστές. Τα μονώνυμα που πρόκειται να πολλαπλασιαστούν δεν πρέπει να πληρούν πρόσθετες προϋποθέσεις προκειμένου το αποτέλεσμα να είναι μονώνυμο.
Για να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό μονωνύμων, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:
- Ηχογραφήστε σωστά το κομμάτι.
- Αναπτύξτε τις αγκύλες στην έκφραση που προκύπτει.
- Ομαδοποιήστε, εάν είναι δυνατόν, παράγοντες με τις ίδιες μεταβλητές και αριθμητικούς παράγοντες ξεχωριστά.
- Εκτελέστε τις απαραίτητες ενέργειες με αριθμούς και εφαρμόστε την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις στους υπόλοιπους συντελεστές.
Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη.
Παράδειγμα 3
Κατάσταση:πολλαπλασιάστε τα μονώνυμα 2 · x 4 · y · z και - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .
Απόφαση
Ας ξεκινήσουμε με τη σύνθεση του έργου.
Ανοίγοντας τις αγκύλες σε αυτό και παίρνουμε τα εξής:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς στις πρώτες αγκύλες και να εφαρμόσουμε την ιδιότητα power στη δεύτερη. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τα εξής:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Απάντηση: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Αν έχουμε τρία ή περισσότερα πολυώνυμα στη συνθήκη, τα πολλαπλασιάζουμε χρησιμοποιώντας ακριβώς τον ίδιο αλγόριθμο. Θα εξετάσουμε το ζήτημα του πολλαπλασιασμού των μονωνύμων με περισσότερες λεπτομέρειες σε ξεχωριστό υλικό.
Κανόνες για την ανύψωση ενός μονωνύμου σε δύναμη
Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο ενός ορισμένου αριθμού πανομοιότυπων παραγόντων ονομάζεται βαθμός με φυσικό εκθέτη. Ο αριθμός τους υποδεικνύεται από τον αριθμό στο ευρετήριο. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, η αύξηση ενός μονωνύμου σε δύναμη ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του υποδεικνυόμενου αριθμού πανομοιότυπων μονωνύμων. Ας δούμε πώς γίνεται.
Παράδειγμα 4
Κατάσταση:σηκώστε το μονώνυμο − 2 · a · b 4 στη δύναμη του 3 .
Απόφαση
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την εκθετικότητα με πολλαπλασιασμό 3 μονοωνύμων − 2 · a · b 4 . Ας γράψουμε και πάρουμε την επιθυμητή απάντηση:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12
Απάντηση:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .
Τι γίνεται όμως όταν το πτυχίο έχει μεγάλο εκθέτη; Η καταγραφή μεγάλου αριθμού πολλαπλασιαστών δεν είναι βολική. Στη συνέχεια, για να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα, πρέπει να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες του βαθμού, δηλαδή την ιδιότητα του βαθμού του προϊόντος και την ιδιότητα του βαθμού στον βαθμό.
Ας λύσουμε το πρόβλημα που αναφέραμε παραπάνω με τον υποδεικνυόμενο τρόπο.
Παράδειγμα 5
Κατάσταση:σηκώστε − 2 · a · b 4 στην τρίτη δύναμη.
Απόφαση
Γνωρίζοντας την ιδιότητα του πτυχίου στο πτυχίο, μπορούμε να προχωρήσουμε σε μια έκφραση της ακόλουθης μορφής:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .
Μετά από αυτό, ανεβάζουμε στην ισχύ - 2 και εφαρμόζουμε την ιδιότητα εκθέτη:
(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .
Απάντηση:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Αφιερώσαμε επίσης ένα ξεχωριστό άρθρο στην ανάδειξη ενός μονωνύμου σε μια εξουσία.
Κανόνες για τη διαίρεση μονοωνύμων
Η τελευταία ενέργεια με μονώνυμα που θα αναλύσουμε σε αυτό το υλικό είναι η διαίρεση ενός μονωνύμου με ένα μονώνυμο. Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να λάβουμε ένα ορθολογικό (αλγεβρικό) κλάσμα (σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατό να ληφθεί ένα μονώνυμο). Ας διευκρινίσουμε αμέσως ότι η διαίρεση με το μηδέν μονώνυμο δεν ορίζεται, αφού η διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται.
Για να πραγματοποιήσουμε διαίρεση, πρέπει να γράψουμε τα υποδεικνυόμενα μονώνυμα με τη μορφή κλάσματος και να τα μειώσουμε, αν είναι δυνατόν.
Παράδειγμα 6
Κατάσταση:διαιρέστε το μονώνυμο − 9 x 4 y 3 z 7 με − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .
Απόφαση
Ας ξεκινήσουμε γράφοντας τα μονώνυμα σε μορφή κλάσματος.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί. Αφού το κάνουμε αυτό, παίρνουμε:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Απάντηση:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Οι συνθήκες υπό τις οποίες, ως αποτέλεσμα της διαίρεσης μονωνύμων, παίρνουμε ένα μονώνυμα δίνονται σε ξεχωριστό άρθρο.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την 7η τάξη
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Yu.N. Makarycheva Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο A.G. Μόρντκοβιτς
Σκοπός του μαθήματος: μάθετε πώς να εκτελείτε πράξεις με δυνάμεις ενός αριθμού.
Αρχικά, ας θυμηθούμε την έννοια της "δύναμης ενός αριθμού". Μια έκφραση όπως $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $a^n$.
Το αντίστροφο ισχύει επίσης: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Αυτή η ισότητα ονομάζεται «καταγραφή του βαθμού ως γινόμενο». Θα μας βοηθήσει να καθορίσουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε τις δυνάμεις.
Θυμάμαι:
ένα- η βάση του πτυχίου.
n- εκθέτης.
Αν ένα n=1, που σημαίνει τον αριθμό έναλαμβάνονται μία φορά και αντίστοιχα: $a^n= 1$.
Αν ένα n=0, τότε $a^0= 1$.
Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να μάθουμε όταν εξοικειωθούμε με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων.
κανόνες πολλαπλασιασμού
α) Αν πολλαπλασιαστούν οι δυνάμεις με την ίδια βάση.Στο $a^n * a^m$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Το σχήμα δείχνει ότι ο αριθμός έναέχουν πάρει n+mφορές, τότε $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Παράδειγμα.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Αυτή η ιδιότητα είναι βολική στη χρήση για την απλοποίηση της εργασίας κατά την αύξηση ενός αριθμού σε μεγάλη ισχύ.
Παράδειγμα.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
β) Αν οι δυνάμεις πολλαπλασιαστούν με διαφορετική βάση, αλλά τον ίδιο εκθέτη.
Στο $a^n * b^n$, γράφουμε τις δυνάμεις ως γινόμενο: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Αν ανταλλάξουμε τους παράγοντες και μετρήσουμε τα ζεύγη που προκύπτουν, παίρνουμε: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Άρα $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Παράδειγμα.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
κανόνες διαίρεσης
α) Η βάση του βαθμού είναι ίδια, οι εκθέτες είναι διαφορετικοί.Εξετάστε τη διαίρεση ενός βαθμού με έναν μεγαλύτερο εκθέτη διαιρώντας έναν βαθμό με έναν μικρότερο εκθέτη.
Άρα, είναι απαραίτητο $\frac(a^n)(a^m)$, που n>m.
Γράφουμε τους βαθμούς ως κλάσμα:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Για ευκολία γράφουμε τη διαίρεση ως απλό κλάσμα.Τώρα ας μειώσουμε το κλάσμα.
Αποδεικνύεται: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Που σημαίνει, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Αυτή η ιδιότητα θα σας βοηθήσει να εξηγήσετε την κατάσταση με την αύξηση ενός αριθμού σε δύναμη μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι n=m, τότε $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Παραδείγματα.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
β) Άλλες οι βάσεις του βαθμού, οι δείκτες ίδιοι.
Ας υποθέσουμε ότι χρειάζεστε $\frac(a^n)(b^n)$. Γράφουμε τις δυνάμεις των αριθμών ως κλάσμα:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Ας φανταστούμε για ευκολία.
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των κλασμάτων, χωρίζουμε ένα μεγάλο κλάσμα σε γινόμενο μικρών, παίρνουμε.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Αντίστοιχα: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Παράδειγμα.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά στην άλγεβρα, και μάλιστα σε όλα τα μαθηματικά, είναι το πτυχίο. Φυσικά, στον 21ο αιώνα, όλοι οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν σε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή, αλλά είναι καλύτερο να μάθετε πώς να το κάνετε μόνοι σας για την ανάπτυξη του εγκεφάλου.
Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τα πιο σημαντικά ζητήματα σχετικά με αυτόν τον ορισμό. Δηλαδή, θα καταλάβουμε τι είναι γενικά και ποιες είναι οι κύριες λειτουργίες του, ποιες ιδιότητες υπάρχουν στα μαθηματικά.
Ας δούμε παραδείγματα για το πώς φαίνεται ο υπολογισμός, ποιοι είναι οι βασικοί τύποι. Θα αναλύσουμε τους κύριους τύπους ποσοτήτων και πώς διαφέρουν από άλλες συναρτήσεις.
Θα καταλάβουμε πώς να λύσουμε διάφορα προβλήματα χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή. Θα δείξουμε με παραδείγματα πώς γίνεται η αύξηση σε μηδενικό βαθμό, παράλογο, αρνητικό κ.λπ.
Ηλεκτρονικός υπολογιστής εκθέσεως
Ποιος είναι ο βαθμός ενός αριθμού
Τι σημαίνει η έκφραση "ανέβασε έναν αριθμό σε δύναμη";
Ο βαθμός n ενός αριθμού α είναι το γινόμενο παραγόντων μεγέθους a n φορές στη σειρά.
Μαθηματικά μοιάζει με αυτό:
a n = a * a * a * …a n .
Για παράδειγμα:
- 2 3 = 2 στο τρίτο βήμα. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 σε βήμα. δύο = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 σε βήμα. τέσσερα = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 σε 5 βήμα. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 σε 4 βήμα. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Παρακάτω είναι ένας πίνακας με τετράγωνα και κύβους από το 1 έως το 10.
Πίνακας βαθμών από 1 έως 10
Παρακάτω είναι τα αποτελέσματα της αύξησης των φυσικών αριθμών σε θετικές δυνάμεις - "από το 1 στο 100".
| Ch-lo | 2η τάξη | 3η τάξη |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Ιδιότητες πτυχίου
Τι είναι χαρακτηριστικό μιας τέτοιας μαθηματικής συνάρτησης; Ας δούμε τις βασικές ιδιότητες.
Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει τα εξής σημάδια χαρακτηριστικά όλων των βαθμών:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a β) m =(a) (b*m) .
Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Από την άλλη πλευρά 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Ομοίως: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Διαφορετικά 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Τι γίνεται αν είναι διαφορετικό; 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι κανόνες λειτουργούν.
Αλλά πώς να είσαι με πρόσθεση και αφαίρεση? Όλα είναι απλά. Πρώτα εκτελείται εκθετική εκτίμηση και μόνο μετά πρόσθεση και αφαίρεση.
Ας δούμε παραδείγματα:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την πρόσθεση, καθώς υπάρχουν ενέργειες σε παρενθέσεις: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Τρόπος παραγωγής υπολογισμούς σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις? Η σειρά είναι η ίδια:
- εάν υπάρχουν αγκύλες, πρέπει να ξεκινήσετε με αυτές.
- μετά εκθεσιμότητα?
- στη συνέχεια εκτελέστε πράξεις πολλαπλασιασμού, διαίρεσης.
- μετά την πρόσθεση, την αφαίρεση.
Υπάρχουν συγκεκριμένες ιδιότητες που δεν είναι χαρακτηριστικές για όλους τους βαθμούς:
- Η ρίζα του ν ου βαθμού από τον αριθμό α στον βαθμό m θα γραφεί ως: a m / n .
- Όταν ανεβάζετε ένα κλάσμα σε δύναμη: τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής του υπόκεινται σε αυτή τη διαδικασία.
- Όταν αυξάνεται το γινόμενο διαφορετικών αριθμών σε μια δύναμη, η έκφραση θα αντιστοιχεί στο γινόμενο αυτών των αριθμών σε μια δεδομένη δύναμη. Δηλαδή: (a * b) n = a n * b n .
- Όταν ανεβάζετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να διαιρέσετε το 1 με έναν αριθμό στο ίδιο βήμα, αλλά με το σύμβολο "+".
- Εάν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι σε αρνητική δύναμη, τότε αυτή η παράσταση θα είναι ίση με το γινόμενο του αριθμητή και τον παρονομαστή σε θετική δύναμη.
- Οποιοσδήποτε αριθμός στη δύναμη του 0 = 1 και στο βήμα. 1 = στον εαυτό του.
Αυτοί οι κανόνες είναι σημαντικοί σε μεμονωμένες περιπτώσεις, θα τους εξετάσουμε λεπτομερέστερα παρακάτω.
Βαθμός με αρνητικό εκθέτη
Τι να κάνουμε με αρνητικό βαθμό, δηλαδή όταν ο δείκτης είναι αρνητικός;
Με βάση τις ιδιότητες 4 και 5(βλ. σημείο παραπάνω) αποδεικνύεται:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Και αντίστροφα:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Κι αν είναι κλάσμα;
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Πτυχίο με φυσικό δείκτη
Εννοείται ως βαθμός με εκθέτες ίσους με ακέραιους αριθμούς.
Πράγματα που πρέπει να θυμάστε:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… κ.λπ.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… κ.λπ.
Επίσης, αν (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…τότε το αποτέλεσμα θα είναι με πρόσημο «+». Εάν ένας αρνητικός αριθμός αυξηθεί σε περιττή ισχύ, τότε το αντίστροφο.
Οι γενικές ιδιότητες και όλα τα ειδικά χαρακτηριστικά που περιγράφονται παραπάνω είναι επίσης χαρακτηριστικά τους.
Κλασματικός βαθμός
Αυτή η προβολή μπορεί να γραφτεί ως σχήμα: A m / n. Διαβάζεται ως: η ρίζα της νης μοίρας του αριθμού Α στη δύναμη του m.
Με έναν κλασματικό δείκτη, μπορείτε να κάνετε τα πάντα: να μειώσετε, να αποσυντεθείτε σε μέρη, να αυξήσετε σε άλλο βαθμό κ.λπ.
Πτυχίο με παράλογο εκθέτη
Έστω α ένας άρρητος αριθμός και Α ˃ 0.
Για να κατανοήσετε την ουσία του πτυχίου με έναν τέτοιο δείκτη, Ας δούμε διάφορες πιθανές περιπτώσεις:
- A \u003d 1. Το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με 1. Επειδή υπάρχει ένα αξίωμα - 1 είναι ίσο με ένα σε όλες τις δυνάμεις.
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 είναι ρητικοί αριθμοί.
- 0˂А˂1.
Στην περίπτωση αυτή, αντίστροφα: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 υπό τις ίδιες συνθήκες όπως στη δεύτερη παράγραφο.
Για παράδειγμα, ο εκθέτης είναι ο αριθμός π.Είναι λογικό.
r 1 - σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με 3.
r 2 - θα είναι ίσο με 4.
Τότε, για Α = 1, 1 π = 1.
A = 2, μετά 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, μετά (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Τέτοιοι βαθμοί χαρακτηρίζονται από όλες τις μαθηματικές πράξεις και συγκεκριμένες ιδιότητες που περιγράφονται παραπάνω.
συμπέρασμα
Συνοψίζοντας - σε τι χρησιμεύουν αυτές οι τιμές, ποια είναι τα πλεονεκτήματα τέτοιων λειτουργιών; Φυσικά, πρώτα απ 'όλα, απλοποιούν τη ζωή των μαθηματικών και των προγραμματιστών κατά την επίλυση παραδειγμάτων, καθώς επιτρέπουν την ελαχιστοποίηση των υπολογισμών, τη μείωση αλγορίθμων, τη συστηματοποίηση δεδομένων και πολλά άλλα.
Πού αλλού μπορεί να είναι χρήσιμη αυτή η γνώση; Σε οποιαδήποτε εργασιακή ειδικότητα: ιατρική, φαρμακολογία, οδοντιατρική, κατασκευές, τεχνολογία, μηχανική, σχεδιασμός κ.λπ.
Εκφράσεις, μετατροπή έκφρασης
Εκφράσεις δύναμης (εκφράσεις με δυνάμεις) και ο μετασχηματισμός τους
Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για τη μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις. Αρχικά, θα επικεντρωθούμε στους μετασχηματισμούς που εκτελούνται με εκφράσεις οποιουδήποτε είδους, συμπεριλαμβανομένων εκφράσεων ισχύος, όπως ανοίγματα αγκύλων, μείωση παρόμοιων όρων. Και στη συνέχεια θα αναλύσουμε τους μετασχηματισμούς που είναι εγγενείς ειδικά σε εκφράσεις με βαθμούς: εργασία με τη βάση και τον εκθέτη, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών κ.λπ.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Τι είναι οι εκφράσεις ισχύος;
Ο όρος "εκφράσεις ισχύος" πρακτικά δεν βρίσκεται στα σχολικά εγχειρίδια μαθηματικών, αλλά εμφανίζεται συχνά σε συλλογές εργασιών, ειδικά σχεδιασμένες για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση και την OGE, για παράδειγμα,. Μετά την ανάλυση εργασιών στις οποίες απαιτείται η εκτέλεση οποιωνδήποτε ενεργειών με εκφράσεις ισχύος, γίνεται σαφές ότι οι εκφράσεις ισχύος νοούνται ως εκφράσεις που περιέχουν βαθμούς στις καταχωρίσεις τους. Επομένως, για τον εαυτό σας, μπορείτε να πάρετε τον ακόλουθο ορισμό:
Ορισμός.
Εκφράσεις δύναμηςείναι εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις.
Ας φέρουμε παραδείγματα εκφράσεων δύναμης. Επιπλέον, θα τις αναπαραστήσουμε ανάλογα με το πώς λαμβάνει χώρα η ανάπτυξη απόψεων από μια μοίρα με φυσικό δείκτη σε μια μοίρα με πραγματικό δείκτη.
Όπως γνωρίζετε, πρώτα υπάρχει μια γνωριμία με το βαθμό ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη, σε αυτό το στάδιο οι πρώτες απλούστερες εκφράσεις ισχύος του τύπου 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 κ.λπ.
Λίγο αργότερα, μελετάται η ισχύς ενός αριθμού με ακέραιο εκθέτη, η οποία οδηγεί στην εμφάνιση εκφράσεων ισχύος με αρνητικές ακέραιες δυνάμεις, όπως οι εξής: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 + c 2 .
Στις ανώτερες τάξεις επιστρέφουν ξανά στα πτυχία. Εκεί, εισάγεται ένας βαθμός με λογικό εκθέτη, ο οποίος οδηγεί στην εμφάνιση των αντίστοιχων εκφράσεων ισχύος: 
, 
και τα λοιπά. Τέλος, βαθμοί με παράλογους εκθέτες και εκφράσεις που τους περιέχουν θεωρούνται: , .
Το θέμα δεν περιορίζεται στις παρατιθέμενες εκφράσεις ισχύος: περαιτέρω η μεταβλητή διεισδύει στον εκθέτη και υπάρχουν, για παράδειγμα, τέτοιες εκφράσεις 2 x 2 +1 ή 
. Και αφού εξοικειωθείτε, αρχίζουν να εμφανίζονται εκφράσεις με δυνάμεις και λογάριθμους, για παράδειγμα, x 2 lgx −5 x lgx.
Έτσι, καταλάβαμε το ερώτημα τι είναι οι εκφράσεις δύναμης. Στη συνέχεια, θα μάθουμε πώς να τα μεταμορφώνουμε.
Οι κύριοι τύποι μετασχηματισμών των εκφράσεων δύναμης
Με τις εκφράσεις ισχύος, μπορείτε να εκτελέσετε οποιονδήποτε από τους βασικούς μετασχηματισμούς ταυτότητας των εκφράσεων. Για παράδειγμα, μπορείτε να επεκτείνετε αγκύλες, να αντικαταστήσετε αριθμητικές εκφράσεις με τις τιμές τους, να προσθέσετε όρους όπως και ούτω καθεξής. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε την αποδεκτή διαδικασία για την εκτέλεση ενεργειών. Ας δώσουμε παραδείγματα.
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης ισχύος 2 3 ·(4 2 −12) .
Σύμφωνα με τη σειρά των ενεργειών, εκτελούμε πρώτα τις ενέργειες σε αγκύλες. Εκεί, πρώτον, αντικαθιστούμε την ισχύ του 4 2 με την τιμή του 16 (δείτε αν χρειάζεται) και δεύτερον, υπολογίζουμε τη διαφορά 16−12=4 . Εχουμε 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.
Στην παράσταση που προκύπτει, αντικαθιστούμε την ισχύ του 2 3 με την τιμή του 8 , μετά την οποία υπολογίζουμε το γινόμενο 8·4=32 . Αυτή είναι η επιθυμητή τιμή.
Ετσι, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.
2 3 (4 2 −12)=32 .
Απλοποιήστε τις εκφράσεις ισχύος 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Προφανώς, αυτή η έκφραση περιέχει παρόμοιους όρους 3 · a 4 · b − 7 και 2 · a 4 · b − 7 , και μπορούμε να τους μειώσουμε: .
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1 .
Εκφράστε μια έκφραση με δυνάμεις ως προϊόν.
Για να ανταπεξέλθετε στην εργασία, επιτρέπεται η αναπαράσταση του αριθμού 9 ως δύναμη του 3 2 και η επακόλουθη χρήση του συντομευμένου τύπου πολλαπλασιασμού, η διαφορά των τετραγώνων: 
Υπάρχει επίσης ένας αριθμός πανομοιότυπων μετασχηματισμών που είναι εγγενείς στις εκφράσεις ισχύος. Στη συνέχεια, θα τα αναλύσουμε.
Εργασία με βάση και εκθέτη
Υπάρχουν βαθμοί, στη βάση ή/και δείκτη των οποίων δεν είναι απλώς αριθμοί ή μεταβλητές, αλλά ορισμένες εκφράσεις. Για παράδειγμα, ας γράψουμε (2+0,3 7) 5−3,7 και (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .
Όταν εργάζεστε με τέτοιες εκφράσεις, είναι δυνατό να αντικαταστήσετε τόσο την έκφραση στη βάση του βαθμού όσο και την έκφραση στον δείκτη με μια πανομοιότυπη ίση έκφραση στο DPV των μεταβλητών του. Με άλλα λόγια, σύμφωνα με τους γνωστούς μας κανόνες, μπορούμε να μετατρέψουμε χωριστά τη βάση του βαθμού και ξεχωριστά - τον δείκτη. Είναι σαφές ότι ως αποτέλεσμα αυτού του μετασχηματισμού, λαμβάνεται μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη με την αρχική.
Τέτοιοι μετασχηματισμοί μας επιτρέπουν να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις με δυνάμεις ή να πετύχουμε άλλους στόχους που χρειαζόμαστε. Για παράδειγμα, στην έκφραση ισχύος (2+0,3 7) 5−3,7 που αναφέρθηκε παραπάνω, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις με αριθμούς στη βάση και τον εκθέτη, που θα σας επιτρέψουν να μεταβείτε στην ισχύ του 4,1 1,3. Και αφού ανοίξουμε τις αγκύλες και φέρουμε παρόμοιους όρους στη βάση του βαθμού (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) παίρνουμε μια έκφραση ισχύος μιας απλούστερης μορφής 2·(x+1 ) .
Χρήση Ιδιοτήτων Power
Ένα από τα βασικά εργαλεία για τον μετασχηματισμό των εκφράσεων με δυνάμεις είναι οι ισότητες, οι αντανακλάσεις. Ας θυμηθούμε τα κυριότερα. Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς a και b και αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς r και s, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύος:
- a r a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (α β) r = a r b r ;
- (α:β) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r s .
Σημειώστε ότι για φυσικούς, ακέραιους και θετικούς εκθέτες, οι περιορισμοί στους αριθμούς a και b μπορεί να μην είναι τόσο αυστηροί. Για παράδειγμα, για τους φυσικούς αριθμούς m και n, η ισότητα a m ·a n =a m+n ισχύει όχι μόνο για θετικούς a , αλλά και για αρνητικούς και για a=0 .
Στο σχολείο, η κύρια προσοχή στη μεταμόρφωση των εκφράσεων δύναμης εστιάζεται ακριβώς στην ικανότητα επιλογής της κατάλληλης ιδιότητας και σωστής εφαρμογής της. Σε αυτή την περίπτωση, οι βάσεις των βαθμών είναι συνήθως θετικές, γεγονός που σας επιτρέπει να χρησιμοποιείτε τις ιδιότητες των μοιρών χωρίς περιορισμούς. Το ίδιο ισχύει και για τον μετασχηματισμό των εκφράσεων που περιέχουν μεταβλητές στις βάσεις των βαθμών - το εύρος των αποδεκτών τιμών των μεταβλητών είναι συνήθως τέτοιο ώστε οι βάσεις λαμβάνουν μόνο θετικές τιμές σε αυτό, γεγονός που σας επιτρέπει να χρησιμοποιείτε ελεύθερα τις ιδιότητες των βαθμών. Γενικά, πρέπει να αναρωτιέστε συνεχώς εάν είναι δυνατόν να εφαρμόσετε κάποια ιδιότητα βαθμών σε αυτήν την περίπτωση, επειδή η ανακριβής χρήση των ιδιοτήτων μπορεί να οδηγήσει σε στένωση του ODZ και άλλα προβλήματα. Αυτά τα σημεία συζητούνται λεπτομερώς και με παραδείγματα στο άρθρο μετασχηματισμός εκφράσεων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών. Εδώ περιοριζόμαστε σε μερικά απλά παραδείγματα.
Να εκφράσετε την παράσταση a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ως δύναμη με βάση a .
Πρώτον, μετασχηματίζουμε τον δεύτερο παράγοντα (a 2) −3 με την ιδιότητα της αύξησης μιας ισχύος σε μια ισχύ: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχική έκφραση ισχύος θα πάρει τη μορφή a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Προφανώς, μένει να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με την ίδια βάση, έχουμε
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.
Οι ιδιότητες ισχύος χρησιμοποιούνται κατά τη μετατροπή των εκφράσεων ισχύος τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά.
Βρείτε την τιμή της έκφρασης δύναμης.
Η ισότητα (a·b) r =a r ·b r, που εφαρμόζεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, σας επιτρέπει να μεταβείτε από την αρχική έκφραση στο γινόμενο της φόρμας και πέρα. Και όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, οι δείκτες αθροίζονται: 
.
Ήταν δυνατό να πραγματοποιηθεί ο μετασχηματισμός της αρχικής έκφρασης με άλλο τρόπο: 
.
Δίνεται μια έκφραση ισχύος a 1,5 −a 0,5 −6 , εισάγετε μια νέα μεταβλητή t=a 0,5 .
Ο βαθμός a 1,5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως 0,5 3 και περαιτέρω με βάση την ιδιότητα του βαθμού στον βαθμό (a r) s =a r s που εφαρμόζεται από δεξιά προς τα αριστερά, μετατρέψτε τον στη μορφή (a 0,5) 3 . Ετσι, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Τώρα είναι εύκολο να εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή t=a 0,5 , παίρνουμε t 3 −t−6 .
Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις
Οι εκφράσεις ισχύος μπορούν να περιέχουν κλάσματα με δυνάμεις ή να αντιπροσωπεύουν τέτοια κλάσματα. Οποιοσδήποτε από τους βασικούς μετασχηματισμούς κλασμάτων που είναι εγγενείς σε κλάσματα οποιουδήποτε είδους είναι πλήρως εφαρμόσιμος σε τέτοια κλάσματα. Δηλαδή, κλάσματα που περιέχουν μοίρες μπορούν να ανάγονται, να ανάγονται σε νέο παρονομαστή, να λειτουργούν χωριστά με τον αριθμητή τους και χωριστά με τον παρονομαστή κ.λπ. Για να επεξηγήσετε τις παραπάνω λέξεις, εξετάστε τις λύσεις πολλών παραδειγμάτων.
Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος 
.
Αυτή η έκφραση δύναμης είναι ένα κλάσμα. Ας δουλέψουμε με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του. Στον αριθμητή, ανοίγουμε τις αγκύλες και απλοποιούμε την έκφραση που προκύπτει μετά από αυτό χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων και στον παρονομαστή παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους: 
Και αλλάζουμε επίσης το πρόσημο του παρονομαστή τοποθετώντας ένα μείον μπροστά από το κλάσμα: 
.
.
Η αναγωγή των κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις σε έναν νέο παρονομαστή πραγματοποιείται παρόμοια με την αναγωγή των ορθολογικών κλασμάτων σε έναν νέο παρονομαστή. Ταυτόχρονα, βρίσκεται επίσης ένας πρόσθετος παράγοντας και ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με αυτόν. Κατά την εκτέλεση αυτής της ενέργειας, αξίζει να θυμάστε ότι η αναγωγή σε νέο παρονομαστή μπορεί να οδηγήσει σε περιορισμό του DPV. Για να μην συμβεί αυτό, είναι απαραίτητο ο πρόσθετος παράγοντας να μην εξαφανίζεται για καμία τιμή των μεταβλητών από τις μεταβλητές ODZ για την αρχική έκφραση.
Φέρτε τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή: α) στον παρονομαστή α, β) 
στον παρονομαστή.
α) Σε αυτή την περίπτωση, είναι αρκετά εύκολο να καταλάβουμε ποιος πρόσθετος παράγοντας βοηθά στην επίτευξη του επιθυμητού αποτελέσματος. Αυτός είναι ένας πολλαπλασιαστής a 0,3, αφού a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Σημειώστε ότι στο εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής a (αυτό είναι το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών), ο βαθμός a 0,3 δεν εξαφανίζεται, επομένως, έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος από αυτόν τον πρόσθετο παράγοντα: 
β) Κοιτάζοντας πιο προσεκτικά τον παρονομαστή, διαπιστώνουμε ότι 
και πολλαπλασιάζοντας αυτή την έκφραση με θα δώσει το άθροισμα των κύβων και, δηλαδή, . Και αυτός είναι ο νέος παρονομαστής στον οποίο πρέπει να φέρουμε το αρχικό κλάσμα.
Βρήκαμε λοιπόν έναν επιπλέον παράγοντα. Η έκφραση δεν εξαφανίζεται στο εύρος των αποδεκτών τιμών των μεταβλητών x και y, επομένως, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτήν: 
ένα) 
, β) 
.
Δεν υπάρχει επίσης τίποτα νέο στη μείωση των κλασμάτων που περιέχουν μοίρες: ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντιπροσωπεύονται ως ορισμένος αριθμός παραγόντων και οι ίδιοι συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή μειώνονται.
Μείωσε το κλάσμα: α) 
, β).
α) Πρώτον, ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να μειωθούν κατά τους αριθμούς 30 και 45, που ισούται με 15. Επίσης, προφανώς, μπορείτε να μειώσετε κατά x 0,5 +1 και κατά 
. Εδώ είναι τι έχουμε: 
β) Στην περίπτωση αυτή, οι ίδιοι παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή δεν είναι άμεσα ορατοί. Για να τα αποκτήσετε, πρέπει να εκτελέσετε προκαταρκτικούς μετασχηματισμούς. Σε αυτή την περίπτωση, συνίστανται στην αποσύνθεση του παρονομαστή σε παράγοντες σύμφωνα με τον τύπο διαφοράς των τετραγώνων: 
ένα) 
σι) 
.
Η αναγωγή των κλασμάτων σε νέο παρονομαστή και η αναγωγή των κλασμάτων χρησιμοποιείται κυρίως για την εκτέλεση πράξεων σε κλάσματα. Οι ενέργειες εκτελούνται σύμφωνα με γνωστούς κανόνες. Κατά την πρόσθεση (αφαίρεση) κλασμάτων, μειώνονται σε έναν κοινό παρονομαστή, μετά τον οποίο προστίθενται (αφαιρούνται) οι αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών. Η διαίρεση με ένα κλάσμα πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφό του.
Ακολούθησε τα βήματα 
.
Αρχικά αφαιρούμε τα κλάσματα σε αγκύλες. Για να γίνει αυτό, τα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή, που είναι 
, μετά αφαιρέστε τους αριθμητές: 
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα: 
Προφανώς, είναι δυνατή μια μείωση κατά την ισχύ x 1/2, μετά την οποία έχουμε 
.
Μπορείτε επίσης να απλοποιήσετε την έκφραση ισχύος στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων: 
.
Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος 
.
Προφανώς, αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά (x 2,7 +1) 2, αυτό δίνει το κλάσμα 
. Είναι σαφές ότι κάτι άλλο πρέπει να γίνει με τις δυνάμεις του x. Για να γίνει αυτό, μετατρέπουμε το κλάσμα που προκύπτει σε γινόμενο. Αυτό μας δίνει την ευκαιρία να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της διαίρεσης δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις: 
. Και στο τέλος της διαδικασίας περνάμε από το τελευταίο γινόμενο στο κλάσμα.
.
Και προσθέτουμε ότι είναι δυνατό και σε πολλές περιπτώσεις επιθυμητό να μεταφέρουμε παράγοντες με αρνητικούς εκθέτες από τον αριθμητή στον παρονομαστή ή από τον παρονομαστή στον αριθμητή αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη. Τέτοιοι μετασχηματισμοί συχνά απλοποιούν περαιτέρω ενέργειες. Για παράδειγμα, μια έκφραση ισχύος μπορεί να αντικατασταθεί με.
Μετατροπή εκφράσεων με ρίζες και δυνάμεις
Συχνά σε εκφράσεις στις οποίες απαιτούνται ορισμένοι μετασχηματισμοί, μαζί με μοίρες με κλασματικούς εκθέτες, υπάρχουν και ρίζες. Για να μετατρέψετε μια τέτοια έκφραση στην επιθυμητή μορφή, στις περισσότερες περιπτώσεις αρκεί να πάτε μόνο στις ρίζες ή μόνο στις δυνάμεις. Επειδή όμως είναι πιο βολικό να δουλεύεις με μοίρες, συνήθως μετακινούνται από ρίζες σε μοίρες. Ωστόσο, συνιστάται να πραγματοποιήσετε μια τέτοια μετάβαση όταν το ODZ των μεταβλητών για την αρχική έκφραση σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε τις ρίζες με μοίρες χωρίς να χρειάζεται να έχετε πρόσβαση στη μονάδα ή να χωρίσετε το ODZ σε πολλά διαστήματα (το συζητήσαμε λεπτομερώς στο άρθρο, η μετάβαση από τις ρίζες στις δυνάμεις και αντίστροφα Μετά την εξοικείωση με το βαθμό με λογικό εκθέτη εισάγεται ένας βαθμός με παράλογο δείκτη, ο οποίος καθιστά δυνατό να μιλήσουμε για βαθμό με αυθαίρετο πραγματικό δείκτη.Σε αυτό το στάδιο, το το σχολείο αρχίζει να σπουδάζει εκθετικη συναρτηση, το οποίο δίνεται αναλυτικά από το βαθμό, στη βάση του οποίου υπάρχει ένας αριθμός, και στον δείκτη - μια μεταβλητή. Ερχόμαστε λοιπόν αντιμέτωποι με εκθετικές εκφράσεις που περιέχουν αριθμούς στη βάση του βαθμού, και στον εκθέτη - εκφράσεις με μεταβλητές, και φυσικά προκύπτει η ανάγκη να πραγματοποιηθούν μετασχηματισμοί τέτοιων παραστάσεων.
Πρέπει να ειπωθεί ότι ο μετασχηματισμός των εκφράσεων του υποδεικνυόμενου τύπου συνήθως πρέπει να εκτελείται κατά την επίλυση εκθετικές εξισώσειςκαι εκθετικές ανισότητες, και αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι αρκετά απλοί. Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων, βασίζονται στις ιδιότητες του πτυχίου και στοχεύουν κυρίως στην εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής στο μέλλον. Η εξίσωση θα μας επιτρέψει να τα αποδείξουμε 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Πρώτον, οι εκθέτες, στους εκθέτες των οποίων βρίσκεται το άθροισμα κάποιας μεταβλητής (ή έκφρασης με μεταβλητές) και ενός αριθμού, αντικαθίστανται από γινόμενα. Αυτό ισχύει για τον πρώτο και τον τελευταίο όρο της έκφρασης στην αριστερή πλευρά:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Στη συνέχεια, και τα δύο μέρη της ισότητας διαιρούνται με την έκφραση 7 2 x , η οποία παίρνει μόνο θετικές τιμές στο ODV της μεταβλητής x για την αρχική εξίσωση (αυτή είναι μια τυπική τεχνική για την επίλυση εξισώσεων αυτού του είδους, δεν είμαστε μιλώντας για αυτό τώρα, οπότε επικεντρωθείτε σε μεταγενέστερους μετασχηματισμούς εκφράσεων με δυνάμεις ): 
Τώρα τα κλάσματα με δυνάμεις ακυρώνονται, πράγμα που δίνει 
.
Τέλος, ο λόγος των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες αντικαθίσταται από δυνάμεις των λόγων, που οδηγεί στην εξίσωση 
, που ισοδυναμεί με 
. Οι μετασχηματισμοί που πραγματοποιήθηκαν μας επιτρέπουν να εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή, η οποία μειώνει τη λύση της αρχικής εκθετικής εξίσωσης στη λύση της τετραγωνικής εξίσωσης
Ενότητες:Μαθηματικά
Τύπος μαθήματος:μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης
Στόχοι:
Εξοπλισμός:υπολογιστής, προβολέας πολυμέσων, διαδραστικός πίνακας, παρουσίαση «Πτυχίων» για προφορική μέτρηση, κάρτες εργασιών, φυλλάδια.
Πλάνο μαθήματος:
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτική στιγμή
Παρουσίαση του θέματος και των στόχων του μαθήματος.
Στα προηγούμενα μαθήματα, ανακαλύψατε τον υπέροχο κόσμο των βαθμών, μάθατε πώς να πολλαπλασιάζετε και να διαιρείτε μοίρες και να τις ανεβάζετε σε δύναμη. Σήμερα πρέπει να εμπεδώσουμε τις αποκτηθείσες γνώσεις λύνοντας παραδείγματα.
II. Επανάληψη των κανόνων(προφορικά)
- Δώστε τον ορισμό του πτυχίου με φυσικό δείκτη; (με τη δύναμη του αριθμού έναμε φυσικό εκθέτη μεγαλύτερο από 1 ονομάζεται γινόμενο nπολλαπλασιαστές, καθένας από τους οποίους ισούται με ένα.)
- Πώς να πολλαπλασιάσετε δύο δυνάμεις; (Για να πολλαπλασιάσετε δυνάμεις με την ίδια βάση, πρέπει να αφήσετε τη βάση ίδια και να προσθέσετε τους εκθέτες.)
- Πώς να διαιρέσετε το πτυχίο ανά πτυχίο; (Για να διαιρέσετε δυνάμεις με την ίδια βάση, πρέπει να αφήσετε τη βάση ίδια και να αφαιρέσετε τους εκθέτες.)
- Πώς να αυξήσετε ένα προϊόν σε ισχύ; (Για να αυξήσετε ένα προϊόν σε μια ισχύ, πρέπει να αυξήσετε κάθε παράγοντα σε αυτήν την ισχύ)
- Πώς να ανεβάσετε ένα πτυχίο σε ένα πτυχίο; (Για να αυξήσετε μια ισχύ σε μια ισχύ, πρέπει να αφήσετε τη βάση ίδια και να πολλαπλασιάσετε τους εκθέτες)
- για τα μάτια
- για το λαιμό
- για τα χέρια
- για τον κορμό
- για τα πόδια
III. Λεκτική καταμέτρηση(με πολυμέσα)
IV. Αναφορά ιστορίας
Όλα τα προβλήματα προέρχονται από τον πάπυρο του Αχμές, που γράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ. μι. που σχετίζονται με την πρακτική της δόμησης, οριοθέτησης οικοπέδων κλπ. Οι εργασίες ομαδοποιούνται ανά θέμα. Ως επί το πλείστον, πρόκειται για εργασίες εύρεσης των περιοχών ενός τριγώνου, τετράπλευρων και κύκλου, διάφορες πράξεις με ακέραιους και κλάσματα, αναλογική διαίρεση, εύρεση αναλογιών, υπάρχει επίσης αύξηση σε διαφορετικούς βαθμούς, επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού με ένα άγνωστο.
Δεν υπάρχει καμία απολύτως εξήγηση ή καμία απόδειξη. Το επιθυμητό αποτέλεσμα είτε δίνεται απευθείας, είτε δίνεται ένας σύντομος αλγόριθμος για τον υπολογισμό του. Αυτή η μέθοδος παρουσίασης, τυπική της επιστήμης των χωρών της αρχαίας Ανατολής, υποδηλώνει ότι τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν εκεί μέσω γενικεύσεων και εικασιών που δεν σχημάτισαν καμία γενική θεωρία. Ωστόσο, υπάρχει μια σειρά από στοιχεία στον πάπυρο ότι οι Αιγύπτιοι μαθηματικοί μπόρεσαν να εξάγουν ρίζες και να ανεβάσουν σε μια δύναμη, να λύσουν εξισώσεις και μάλιστα κατείχαν τα βασικά στοιχεία της άλγεβρας.
V. Εργασία μαυροπίνακα
Βρείτε την αξία της έκφρασης με ορθολογικό τρόπο:
Υπολογίστε την τιμή της παράστασης:
VI. Λεπτό φυσικής αγωγής
VII. Επίλυση προβλήματος(με διαδραστική οθόνη πίνακα)
Είναι η ρίζα της εξίσωσης θετικός αριθμός;
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Τύποι δυνάμεων και ριζών.
Τύποι ισχύοςχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.
Αριθμός ντοείναι ένα n-η δύναμη ενός αριθμού έναπότε:
Λειτουργίες με εξουσίες.
1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, οι δείκτες τους αθροίζονται:
2. Στη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση αφαιρούνται οι δείκτες τους:
3. Ο βαθμός του γινομένου 2 ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων:
(abc…) n = a n b n c n…
4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των βαθμών του μερίσματος και του διαιρέτη:
5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:
Κάθε τύπος παραπάνω είναι σωστός στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.
Επεμβάσεις με ρίζες.
1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:
2. Η ρίζα του λόγου είναι ίση με την αναλογία του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:
3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον αριθμό της ρίζας σε αυτήν την ισχύ:
4. Αν αυξήσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ανέβασε σε nΗ ισχύς είναι ένας αριθμός ρίζας, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
5. Αν μειώσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nρίζα ταυτόχρονα nου βαθμού από τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
Ο βαθμός ενός ορισμένου αριθμού με έναν μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τον βαθμό του ίδιου αριθμού με εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:
Τύπος είμαι :a n = a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ > n, αλλά και στο Μ 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Στη φόρμουλα είμαι :a n = a m - nέγινε δίκαιη στο m=n, χρειάζεστε την παρουσία του μηδενικού βαθμού.
Η ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.
Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό έναεώς ένα βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα n-ο βαθμός από Μη δύναμη αυτού του αριθμού ένα:
Τύποι πτυχίων.
6. ένα - n = - διαίρεση πτυχίων.
7. - διαίρεση πτυχίων.
8. a 1/n = ;
Πτυχία Κανόνα Δράσης με Πτυχία
1. Ο βαθμός του γινομένου δύο ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων (με τον ίδιο δείκτη):
(abc…) n = a n b n c n…
Παράδειγμα 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Παράδειγμα 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3
Στην πράξη, ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι πιο σημαντικός:
a n b n c n … = (abc…) n
εκείνοι. το γινόμενο των ίδιων δυνάμεων πολλών ποσοτήτων είναι ίσο με την ίδια ισχύ του γινομένου αυτών των μεγεθών.
Παράδειγμα 3 
Παράδειγμα 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a · + b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2
2. Ο βαθμός του πηλίκου (κλάσματος) ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης του ίδιου βαθμού του διαιρετέου με τον ίδιο βαθμό του διαιρέτη:
Παράδειγμα 5 
Παράδειγμα 6 
Αντίστροφος μετασχηματισμός:. Παράδειγμα 7 
. Παράδειγμα 8 
.
3. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, προστίθενται οι εκθέτες:
Παράδειγμα 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Παράδειγμα 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .
4. Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος
Παράδειγμα 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Παράδειγμα 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.
5. Κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:
Παράδειγμα 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Παράδειγμα 14 
www.maths.yfa1.ru
Πτυχία και Ρίζες
Λειτουργίες με δυνάμεις και ρίζες. Πτυχίο με αρνητικό ,
μηδενικό και κλασματικό δείκτης. Για εκφράσεις που δεν βγάζουν νόημα.
Λειτουργίες με εξουσίες.
1. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, αθροίζονται οι δείκτες τους:
είμαι · a n = a m + n .
2. Κατά τη διαίρεση μοιρών με την ίδια βάση, τους δείκτες τους αφαιρεθεί .
3. Ο βαθμός του γινομένου δύο ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων.
4. Ο βαθμός του λόγου (κλάσμα) είναι ίσος με τον λόγο των βαθμών του μερίσματος (αριθμητής) και του διαιρέτη (παρονομαστής):
(α/β) n = a n / b n .
5. Κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι δείκτες τους πολλαπλασιάζονται:
Όλοι οι παραπάνω τύποι διαβάζονται και εκτελούνται και προς τις δύο κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Επεμβάσεις με ρίζες. Σε όλους τους παρακάτω τύπους, το σύμβολο σημαίνει αριθμητική ρίζα(η ριζοσπαστική έκφραση είναι θετική).
1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:
2. Η ρίζα του λόγου είναι ίση με την αναλογία των ριζών του μερίσματος και του διαιρέτη:
3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε μια δύναμη, αρκεί να αυξήσετε σε αυτή τη δύναμη αριθμός ρίζας:
4. Εάν αυξήσετε το βαθμό της ρίζας κατά m φορές και ταυτόχρονα αυξήσετε τον αριθμό της ρίζας στον m -ο βαθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
5. Εάν μειώσετε τον βαθμό της ρίζας κατά m φορές και ταυτόχρονα εξαγάγετε τη ρίζα του m-ου βαθμού από τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:
Επέκταση της έννοιας του πτυχίου. Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει πτυχία μόνο με φυσικό δείκτη. αλλά οι επιχειρήσεις με δυνάμεις και ρίζες μπορούν επίσης να οδηγήσουν σε αρνητικός, μηδένκαι κλασματικόςδείκτες. Όλοι αυτοί οι εκθέτες απαιτούν έναν πρόσθετο ορισμό.
Βαθμός με αρνητικό εκθέτη. Ο βαθμός ενός ορισμένου αριθμού με αρνητικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τον βαθμό του ίδιου αριθμού με εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του αρνητικού εκθέτη:
Τώρα η φόρμουλα είμαι : a n = a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ, περισσότερο από n, αλλά και στο Μ, λιγότερο από n .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ένα 4: ένα 7 = α 4 - 7 = α - 3 .
Αν θέλουμε τη φόρμουλα είμαι : a n = είμαι - nήταν δίκαιος στο m = n, χρειαζόμαστε έναν ορισμό του μηδενικού βαθμού.
Βαθμός με μηδενικό εκθέτη. Ο βαθμός οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι 1.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Βαθμός με κλασματικό εκθέτη. Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό a στην ισχύ m / n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του nου βαθμού από τη mth δύναμη αυτού του αριθμού a:
Για εκφράσεις που δεν βγάζουν νόημα. Υπάρχουν αρκετές τέτοιες εκφράσεις.
που ένα ≠ 0 , δεν υπάρχει.
Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι Χείναι ένας ορισμένος αριθμός, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης, έχουμε: ένα = 0· Χ, δηλ. ένα= 0, που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη: ένα ≠ 0
- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.
Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι αυτή η έκφραση είναι ίση με κάποιον αριθμό Χ, τότε σύμφωνα με τον ορισμό της πράξης διαίρεσης έχουμε: 0 = 0 Χ. Αλλά αυτή η ισότητα ισχύει οποιονδήποτε αριθμό x, που έπρεπε να αποδειχθεί.
0 0 - οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ.
Λύση. Εξετάστε τρεις κύριες περιπτώσεις:
1) Χ = 0 – αυτή η τιμή δεν ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση
2) πότε Χ> 0 παίρνουμε: x / x= 1, δηλ. 1 = 1, από όπου ακολουθεί,
τι Χ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ; αλλά λαμβάνοντας υπόψη ότι
η περίπτωσή μας Χ> 0 , η απάντηση είναι Χ > 0 ;
ιδιότητες βαθμού
Σας υπενθυμίζουμε ότι σε αυτό το μάθημα καταλαβαίνουμε ιδιότητες βαθμούμε φυσικούς δείκτες και μηδέν. Τα πτυχία με ορθολογικούς δείκτες και οι ιδιότητές τους θα συζητηθούν στα μαθήματα για την 8η τάξη.
Ένας εκθέτης με φυσικό εκθέτη έχει πολλές σημαντικές ιδιότητες που σας επιτρέπουν να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σε παραδείγματα εκθέτη.
Ακίνητο #1
Προϊόν των δυνάμεων
Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες προστίθενται.
a m a n \u003d a m + n, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.
Αυτή η ιδιότητα των δυνάμεων επηρεάζει επίσης το γινόμενο τριών ή περισσότερων δυνάμεων.
- Απλοποιήστε την έκφραση.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Παρουσιάστε ως πτυχίο.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Παρουσιάστε ως πτυχίο.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Γράψε το πηλίκο ως δύναμη
(2β) 5: (2β) 3 = (2β) 5 − 3 = (2β) 2 - Υπολογίζω.
Λάβετε υπόψη ότι στην υποδεικνυόμενη ιδιότητα επρόκειτο μόνο για πολλαπλασιασμό δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις.. Δεν ισχύει για την προσθήκη τους.
Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε το άθροισμα (3 3 + 3 2) με 3 5 . Αυτό είναι κατανοητό αν
υπολογίστε (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 και 3 5 = 243
Ακίνητο #2
Ιδιωτικά πτυχία
Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, η βάση παραμένει αμετάβλητη και ο εκθέτης του διαιρέτη αφαιρείται από τον εκθέτη του μερίσματος.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των μερικών μοιρών.
3 8: t = 3 4
Απάντηση: t = 3 4 = 81
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Νο. 1 και Νο. 2, μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε εκφράσεις και να εκτελέσετε υπολογισμούς.
Παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Παράδειγμα. Βρείτε την τιμή μιας παράστασης χρησιμοποιώντας ιδιότητες βαθμού.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Λάβετε υπόψη ότι η ιδιοκτησία 2 αφορούσε μόνο την κατανομή εξουσιών με τις ίδιες βάσεις.
Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε τη διαφορά (4 3 −4 2) με 4 1 . Αυτό είναι κατανοητό αν υπολογίσετε (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 και 4 1 = 4
Ακίνητο #3
Εκθεσιμότητα
Όταν ανεβάζουμε μια ισχύ σε μια ισχύ, η βάση της ισχύος παραμένει αμετάβλητη και οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.
(a n) m \u003d a n m, όπου "a" είναι οποιοσδήποτε αριθμός και "m", "n" είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.
(α 4) 6 = α 4 6 = α 24
Με την ιδιότητα της εκθέσεωςΕίναι γνωστό ότι οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται όταν αυξάνονται σε μια ισχύ, που σημαίνει:
Ιδιότητες 4
Πτυχίο προϊόντος
Όταν αυξάνεται η ισχύς στην ισχύ ενός προϊόντος, κάθε παράγοντας αυξάνεται σε αυτήν την ισχύ και τα αποτελέσματα πολλαπλασιάζονται.
(α β) n \u003d a n b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητικοί αριθμοί. Το "n" είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.
- Παράδειγμα 1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2 - Παράδειγμα 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6 - Παράδειγμα. Υπολογίζω.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000 - Παράδειγμα. Υπολογίζω.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1 - Παράδειγμα. Εκφράστε την έκφραση ως μερικές δυνάμεις.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Σημειώστε ότι η ιδιότητα Νο. 4, όπως και άλλες ιδιότητες πτυχίων, εφαρμόζεται επίσης με αντίστροφη σειρά.
(a n b n)= (a b) n
Δηλαδή, για να πολλαπλασιάσετε μοίρες με τους ίδιους εκθέτες, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις και να αφήσετε τον εκθέτη αμετάβλητο.
Σε πιο σύνθετα παραδείγματα, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση πρέπει να εκτελεστούν σε δυνάμεις με διαφορετικές βάσεις και διαφορετικούς εκθέτες. Σε αυτή την περίπτωση, σας συμβουλεύουμε να κάνετε τα εξής.
Για παράδειγμα, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Παράδειγμα εκθέσεως δεκαδικού κλάσματος.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Ιδιότητες 5
Δύναμη του πηλίκου (κλάσματα)
Για να αυξήσετε ένα πηλίκο σε μια δύναμη, μπορείτε να αυξήσετε το μέρισμα και τον διαιρέτη ξεχωριστά σε αυτήν την ισχύ και να διαιρέσετε το πρώτο αποτέλεσμα με το δεύτερο.
(α: β) n \u003d a n: b n, όπου "a", "b" είναι οποιοιδήποτε ρητικοί αριθμοί, b ≠ 0, n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.
Υπενθυμίζουμε ότι ένα πηλίκο μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Ως εκ τούτου, θα σταθούμε στο θέμα της αύξησης ενός κλάσματος σε μια ισχύ με περισσότερες λεπτομέρειες στην επόμενη σελίδα.
Στο κανάλι youtube του ιστότοπού μας για να ενημερωθείτε για όλα τα νέα μαθήματα βίντεο.
Αρχικά, ας θυμηθούμε τους βασικούς τύπους των βαθμών και τις ιδιότητές τους.
Προϊόν ενός αριθμού ένασυμβαίνει στον εαυτό του n φορές, μπορούμε να γράψουμε αυτή την έκφραση ως a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις- Αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις (ή εκθέτες), και η βάση είναι ένας αριθμός.
Παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:
Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι η βάση, είναι πάντα στο κάτω μέρος και η μεταβλητή Χβαθμό ή μέτρο.
Ας δώσουμε περισσότερα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Τώρα ας δούμε πώς λύνονται οι εκθετικές εξισώσεις;
Ας πάρουμε μια απλή εξίσωση:
2 x = 2 3
Ένα τέτοιο παράδειγμα μπορεί να λυθεί ακόμα και στο μυαλό. Φαίνεται ότι x=3. Εξάλλου, για να είναι ίσες η αριστερή και η δεξιά πλευρά, πρέπει να βάλετε τον αριθμό 3 αντί για x.
Ας δούμε τώρα πώς πρέπει να ληφθεί αυτή η απόφαση:
2 x = 2 3
x = 3
Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, αφαιρέσαμε ίδιους λόγους(δηλαδή αποσπάσματα) και σημείωσε ό,τι απέμεινε, αυτά είναι μοίρες. Πήραμε την απάντηση που ψάχναμε.
Τώρα ας συνοψίσουμε τη λύση μας.
Αλγόριθμος για την επίλυση της εκθετικής εξίσωσης:
1. Χρειάζεται έλεγχος το ίδιοείτε οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.
2. Αφού οι βάσεις είναι ίδιες, εξισώνωβαθμό και λύστε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.
Τώρα ας λύσουμε μερικά παραδείγματα:
Ας ξεκινήσουμε απλά.
Οι βάσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά είναι ίσες με τον αριθμό 2, που σημαίνει ότι μπορούμε να απορρίψουμε τη βάση και να εξισώσουμε τις μοίρες τους.
x+2=4 Έχει βγει η απλούστερη εξίσωση.
x=4 - 2
x=2
Απάντηση: x=2
Στο παρακάτω παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτές είναι 3 και 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Αρχικά, μεταφέρουμε τα εννέα στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:
Τώρα πρέπει να φτιάξετε τις ίδιες βάσεις. Γνωρίζουμε ότι 9=3 2 . Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ισχύος (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Παίρνουμε 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 τώρα είναι σαφές ότι οι βάσεις στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά είναι ίδιες και ίσες με τρεις, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να τις απορρίψουμε και να εξισώσουμε τις μοίρες.
3x=2x+16 πήρε την απλούστερη εξίσωση
3x - 2x=16
x=16
Απάντηση: x=16.
Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Πρώτα απ 'όλα, κοιτάμε τις βάσεις, οι βάσεις είναι διαφορετικές δύο και τέσσερις. Και πρέπει να είμαστε ίδιοι. Μετασχηματίζουμε το τετραπλό σύμφωνα με τον τύπο (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Και χρησιμοποιούμε επίσης έναν τύπο a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Προσθέστε στην εξίσωση:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Μας παρεμβαίνουν όμως άλλοι αριθμοί 10 και 24. Τι να τους κάνουμε; Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι στην αριστερή πλευρά επαναλαμβάνουμε 2 2x, εδώ είναι η απάντηση - μπορούμε να βάλουμε 2 2x εκτός παρενθέσεων:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Ας υπολογίσουμε την έκφραση σε αγκύλες:
2 4 - 10 = 16 - 10 = 6
Διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το 6:
Φανταστείτε 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 βάσεις είναι ίδιες, πετάξτε τις και εξισώστε τις μοίρες.
Το 2x \u003d 2 αποδείχθηκε η απλούστερη εξίσωση. Το διαιρούμε με το 2, παίρνουμε
x = 1
Απάντηση: x = 1.
Ας λύσουμε την εξίσωση:
9 x - 12*3 x +27= 0
Ας μεταμορφώσουμε:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Παίρνουμε την εξίσωση:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Οι βάσεις μας είναι ίδιες, ίσες με τρεις Σε αυτό το παράδειγμα, είναι σαφές ότι η πρώτη τριάδα έχει βαθμό διπλάσια (2x) από τη δεύτερη (μόλις x). Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να αποφασίσετε μέθοδος αντικατάστασης. Ο αριθμός με το μικρότερο πτυχίο αντικαθίσταται από:
Στη συνέχεια 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Αντικαθιστούμε όλες τις μοίρες με x στην εξίσωση με t:
t2 - 12t+27 = 0
Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Επιλύουμε μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Επιστροφή στη Μεταβλητή Χ.
Παίρνουμε το t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Αυτό είναι,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο, από το t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Απάντηση: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Στον ιστότοπο μπορείτε στην ενότητα ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΠΟΦΑΣΙΣΤΕ να κάνετε ερωτήσεις που σας ενδιαφέρουν, σίγουρα θα σας απαντήσουμε.
Εγγραφείτε σε μια ομάδα
Ας εξετάσουμε το θέμα του μετασχηματισμού εκφράσεων με δυνάμεις, αλλά πρώτα θα σταθούμε σε έναν αριθμό μετασχηματισμών που μπορούν να πραγματοποιηθούν με οποιεσδήποτε εκφράσεις, συμπεριλαμβανομένων των δυνάμεων. Θα μάθουμε πώς να ανοίγουμε αγκύλες, να δίνουμε παρόμοιους όρους, να δουλεύουμε με τη βάση και τον εκθέτη, να χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των δυνάμεων.
Τι είναι οι εκφράσεις ισχύος;
Στο μάθημα του σχολείου, λίγοι άνθρωποι χρησιμοποιούν τη φράση "εκφράσεις εξουσίας", αλλά αυτός ο όρος βρίσκεται συνεχώς σε συλλογές για την προετοιμασία για τις εξετάσεις. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η φράση υποδηλώνει εκφράσεις που περιέχουν βαθμούς στις καταχωρίσεις τους. Αυτό θα αντικατοπτρίσουμε στον ορισμό μας.
Ορισμός 1
Έκφραση δύναμηςείναι μια έκφραση που περιέχει δυνάμεις.
Δίνουμε πολλά παραδείγματα εκφράσεων δύναμης, ξεκινώντας με βαθμό με φυσικό εκθέτη και τελειώνοντας με βαθμό με πραγματικό εκθέτη.
Οι απλούστερες εκφράσεις ισχύος μπορούν να θεωρηθούν δυνάμεις ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Καθώς και δυνάμεις με μηδενικό εκθέτη: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Και δυνάμεις με αρνητικές ακέραιες δυνάμεις: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
Είναι λίγο πιο δύσκολο να δουλέψεις με βαθμό που έχει λογικούς και παράλογους εκθέτες: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Ο δείκτης μπορεί να είναι μια μεταβλητή 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ή ένας λογάριθμος x 2 l g x − 5 x l g x.
Έχουμε ασχοληθεί με το ερώτημα τι είναι οι εκφράσεις δύναμης. Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά στη μεταμόρφωσή τους.
Οι κύριοι τύποι μετασχηματισμών των εκφράσεων δύναμης
Πρώτα απ 'όλα, θα εξετάσουμε τους βασικούς μετασχηματισμούς ταυτότητας των εκφράσεων που μπορούν να εκτελεστούν με εκφράσεις ισχύος.
Παράδειγμα 1
Υπολογισμός τιμής έκφρασης ισχύος 2 3 (4 2 − 12).
Απόφαση
Θα πραγματοποιήσουμε όλους τους μετασχηματισμούς σύμφωνα με τη σειρά των ενεργειών. Σε αυτή την περίπτωση, θα ξεκινήσουμε εκτελώντας τις ενέργειες σε αγκύλες: θα αντικαταστήσουμε το βαθμό με μια ψηφιακή τιμή και θα υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των δύο αριθμών. Εχουμε 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Μένει να αντικαταστήσουμε το πτυχίο 2 3 το νόημά του 8 και υπολογίστε το γινόμενο 8 4 = 32. Εδώ είναι η απάντησή μας.
Απάντηση: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
Παράδειγμα 2
Απλοποιήστε την έκφραση με δυνάμεις 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Απόφαση
Η έκφραση που μας δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος περιέχει παρόμοιους όρους, τους οποίους μπορούμε να φέρουμε: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Απάντηση: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
Παράδειγμα 3
Εκφράστε μια παράσταση με δυνάμεις 9 - b 3 · π - 1 2 ως γινόμενο.
Απόφαση
Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό 9 ως δύναμη 3 2 και εφαρμόστε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Απάντηση: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
Και τώρα ας προχωρήσουμε στην ανάλυση των πανομοιότυπων μετασχηματισμών που μπορούν να εφαρμοστούν ειδικά σε εκφράσεις ισχύος.
Εργασία με βάση και εκθέτη
Ο βαθμός στη βάση ή τον εκθέτη μπορεί να έχει αριθμούς, μεταβλητές και μερικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7και . Είναι δύσκολο να δουλέψεις με τέτοιους δίσκους. Είναι πολύ πιο εύκολο να αντικαταστήσετε την έκφραση στη βάση του βαθμού ή την έκφραση στον εκθέτη με μια πανομοιότυπα ίση έκφραση.
Οι μετασχηματισμοί του βαθμού και του δείκτη πραγματοποιούνται σύμφωνα με τους γνωστούς σε εμάς κανόνες χωριστά ο ένας από τον άλλο. Το πιο σημαντικό είναι ότι ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, προκύπτει μια έκφραση που είναι πανομοιότυπη με την αρχική.
Ο σκοπός των μετασχηματισμών είναι η απλοποίηση της αρχικής έκφρασης ή η απόκτηση λύσης στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα που δώσαμε παραπάνω, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις για να μεταβείτε στον βαθμό 4 , 1 1 , 3 . Ανοίγοντας τις αγκύλες, μπορούμε να φέρουμε παρόμοιους όρους στη βάση του βαθμού (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)και λάβετε μια έκφραση δύναμης μιας απλούστερης μορφής a 2 (x + 1).
Χρήση Ιδιοτήτων Power
Οι ιδιότητες των μοιρών, γραμμένες ως ισότητες, είναι ένα από τα κύρια εργαλεία μετασχηματισμού εκφράσεων με μοίρες. Παραθέτουμε εδώ τα κυριότερα, λαμβάνοντας υπόψη αυτό ένακαι σιείναι τυχόν θετικοί αριθμοί, και rκαι μικρό- αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί:
Ορισμός 2
- a r a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (α β) r = a r b r ;
- (α: β) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r s .
Σε περιπτώσεις που έχουμε να κάνουμε με φυσικούς, ακέραιους, θετικούς εκθέτες, οι περιορισμοί στους αριθμούς a και b μπορεί να είναι πολύ λιγότερο αυστηροί. Έτσι, για παράδειγμα, αν λάβουμε υπόψη την ισότητα a m a n = a m + n, που Μκαι nείναι φυσικοί αριθμοί, τότε θα ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές του a, τόσο θετικές όσο και αρνητικές, καθώς και για a = 0.
Μπορείτε να εφαρμόσετε τις ιδιότητες των βαθμών χωρίς περιορισμούς σε περιπτώσεις όπου οι βάσεις των βαθμών είναι θετικές ή περιέχουν μεταβλητές των οποίων το εύρος αποδεκτών τιμών είναι τέτοιο ώστε οι βάσεις να λαμβάνουν μόνο θετικές τιμές σε αυτό. Μάλιστα, στα πλαίσια του σχολικού προγράμματος στα μαθηματικά, καθήκον του μαθητή είναι να επιλέξει την κατάλληλη ιδιότητα και να την εφαρμόσει σωστά.
Κατά την προετοιμασία για εισαγωγή στα πανεπιστήμια, ενδέχεται να υπάρξουν εργασίες στις οποίες η ανακριβής εφαρμογή των ιδιοτήτων θα οδηγήσει σε περιορισμό του ODZ και άλλες δυσκολίες με τη λύση. Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε μόνο δύο τέτοιες περιπτώσεις. Περισσότερες πληροφορίες για το θέμα μπορείτε να βρείτε στο θέμα «Μετασχηματισμός παραστάσεων με χρήση ιδιοτήτων εκθέτη».
Παράδειγμα 4
Αντιπροσωπεύστε την έκφραση α 2, 5 (α 2) - 3: α - 5, 5ως πτυχίο με βάση ένα.
Απόφαση
Αρχικά, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα εκθέσεως και μετατρέπουμε τον δεύτερο παράγοντα χρησιμοποιώντας την (α 2) − 3. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης των δυνάμεων με την ίδια βάση:
a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = α 2 .
Απάντηση: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
Ο μετασχηματισμός των εκφράσεων ισχύος σύμφωνα με την ιδιότητα των μοιρών μπορεί να γίνει τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και προς την αντίθετη κατεύθυνση.
Παράδειγμα 5
Βρείτε την τιμή της έκφρασης δύναμης 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Απόφαση
Αν εφαρμόσουμε την ισότητα (α β) r = a r b r, από δεξιά προς τα αριστερά, τότε παίρνουμε ένα γινόμενο της μορφής 3 7 1 3 21 2 3 και μετά 21 1 3 21 2 3 . Ας προσθέσουμε τους εκθέτες όταν πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κάνετε μετασχηματισμούς:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Απάντηση: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Παράδειγμα 6
Δίνεται μια έκφραση δύναμης a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, εισάγετε μια νέα μεταβλητή t = a 0, 5.
Απόφαση
Φανταστείτε το πτυχίο ένα 1, 5όπως και α 0, 5 3. Χρήση της ιδιότητας πτυχίου σε βαθμό (a r) s = a r sαπό δεξιά προς τα αριστερά και πάρτε (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Στην έκφραση που προκύπτει, μπορείτε εύκολα να εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή t = a 0, 5: πάρε t 3 − t − 6.
Απάντηση: t 3 − t − 6 .
Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν δυνάμεις
Συνήθως ασχολούμαστε με δύο παραλλαγές εκφράσεων ισχύος με κλάσματα: η έκφραση είναι ένα κλάσμα με βαθμό ή περιέχει ένα τέτοιο κλάσμα. Όλοι οι βασικοί μετασχηματισμοί κλασμάτων είναι εφαρμόσιμοι σε τέτοιες εκφράσεις χωρίς περιορισμούς. Μπορούν να μειωθούν, να μεταφερθούν σε νέο παρονομαστή, να εργαστούν χωριστά με τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Ας το επεξηγήσουμε αυτό με παραδείγματα.
Παράδειγμα 7
Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
Απόφαση
Έχουμε να κάνουμε με ένα κλάσμα, άρα θα πραγματοποιήσουμε μετασχηματισμούς και στον αριθμητή και στον παρονομαστή:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Βάλτε ένα μείον μπροστά από το κλάσμα για να αλλάξετε το πρόσημο του παρονομαστή: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Απάντηση: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Τα κλάσματα που περιέχουν δυνάμεις ανάγονται σε νέο παρονομαστή με τον ίδιο τρόπο όπως τα ρητά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα και να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν. Είναι απαραίτητο να επιλέξετε έναν πρόσθετο παράγοντα με τέτοιο τρόπο ώστε να μην εξαφανίζεται για καμία τιμή των μεταβλητών από τις μεταβλητές ODZ για την αρχική έκφραση.
Παράδειγμα 8
Φέρτε τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή: α) a + 1 a 0, 7 στον παρονομαστή ένα, β) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 στον παρονομαστή x + 8 y 1 2 .
Απόφαση
α) Επιλέγουμε έναν παράγοντα που θα μας επιτρέψει να μειώσουμε σε νέο παρονομαστή. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,επομένως ως πρόσθετο παράγοντα παίρνουμε α 0, 3. Το εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής α περιλαμβάνει το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών. Σε αυτόν τον τομέα το πτυχίο α 0, 3δεν πάει στο μηδέν.
Ας πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με α 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
β) Προσοχή στον παρονομαστή:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Πολλαπλασιάστε αυτήν την παράσταση με x 1 3 + 2 · y 1 6 , παίρνουμε το άθροισμα των κύβων x 1 3 και 2 · y 1 6 , δηλ. x + 8 · y 1 2 . Αυτός είναι ο νέος μας παρονομαστής, στον οποίο πρέπει να φέρουμε το αρχικό κλάσμα.
Βρήκαμε λοιπόν έναν επιπλέον παράγοντα x 1 3 + 2 · y 1 6 . Στο εύρος των αποδεκτών τιμών των μεταβλητών Χκαι yη παράσταση x 1 3 + 2 y 1 6 δεν εξαφανίζεται, οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτήν:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Απάντηση:α) α + 1 α 0, 7 = α + 1 α 0, 3 α, β) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .
Παράδειγμα 9
Μειώστε το κλάσμα: α) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, β) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Απόφαση
α) Χρησιμοποιήστε τον μεγαλύτερο κοινό παρονομαστή (GCD) με τον οποίο μπορούν να μειωθούν ο αριθμητής και ο παρονομαστής. Για τους αριθμούς 30 και 45, αυτό είναι 15. Μπορούμε επίσης να μειώσουμε x 0, 5 + 1και σε x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
Παίρνουμε:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
β) Εδώ η παρουσία πανομοιότυπων παραγόντων δεν είναι εμφανής. Θα πρέπει να εκτελέσετε μερικούς μετασχηματισμούς για να λάβετε τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, επεκτείνουμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Απάντηση:α) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , β) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Οι κύριες πράξεις με κλάσματα περιλαμβάνουν αναγωγή σε νέο παρονομαστή και αναγωγή κλασμάτων. Και οι δύο ενέργειες εκτελούνται σύμφωνα με έναν αριθμό κανόνων. Κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων, τα κλάσματα αρχικά ανάγεται σε έναν κοινό παρονομαστή, μετά τον οποίο οι ενέργειες (πρόσθεση ή αφαίρεση) εκτελούνται με αριθμητές. Ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Το αποτέλεσμα των ενεργειών μας είναι ένα νέο κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το γινόμενο των αριθμητών και ο παρονομαστής είναι το γινόμενο των παρονομαστών.
Παράδειγμα 10
Εκτελέστε τα βήματα x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Απόφαση
Ας ξεκινήσουμε αφαιρώντας τα κλάσματα που βρίσκονται σε αγκύλες. Ας τα φέρουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Ας αφαιρέσουμε τους αριθμητές:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Ας μειώσουμε κατά ένα βαθμό x 1 2, παίρνουμε 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
Επιπλέον, μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση ισχύος στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων: τετράγωνα: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
Απάντηση: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Παράδειγμα 11
Απλοποιήστε την έκφραση ισχύος x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Απόφαση
Μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα κατά (x 2 , 7 + 1) 2. Παίρνουμε ένα κλάσμα x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Ας συνεχίσουμε τους μετασχηματισμούς x δυνάμεων x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα διαίρεσης ισχύος με τις ίδιες βάσεις: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Περνάμε από το τελευταίο γινόμενο στο κλάσμα x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Απάντηση: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να μεταφέρετε πολλαπλασιαστές με αρνητικούς εκθέτες από τον αριθμητή στον παρονομαστή και αντίστροφα αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη. Αυτή η ενέργεια απλοποιεί την περαιτέρω απόφαση. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα: η έκφραση ισχύος (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 μπορεί να αντικατασταθεί από x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Μετατροπή εκφράσεων με ρίζες και δυνάμεις
Στις εργασίες, υπάρχουν εκφράσεις ισχύος που περιέχουν όχι μόνο μοίρες με κλασματικούς εκθέτες, αλλά και ρίζες. Είναι επιθυμητό να περιοριστούν τέτοιες εκφράσεις μόνο σε ρίζες ή μόνο σε εξουσίες. Η μετάβαση σε πτυχία είναι προτιμότερη, αφού είναι πιο εύκολη η εργασία μαζί τους. Μια τέτοια μετάβαση είναι ιδιαίτερα πλεονεκτική όταν το DPV των μεταβλητών για την αρχική έκφραση σάς επιτρέπει να αντικαταστήσετε τις ρίζες με δυνάμεις χωρίς να χρειάζεται να έχετε πρόσβαση στο συντελεστή ή να χωρίσετε το DPV σε πολλά διαστήματα.
Παράδειγμα 12
Εκφράστε την έκφραση x 1 9 x x 3 6 ως δύναμη.
Απόφαση
Έγκυρο εύρος μεταβλητής Χκαθορίζεται από δύο ανισότητες x ≥ 0και x · x 3 ≥ 0 , που ορίζουν το σύνολο [ 0 , + ∞) .
Σε αυτό το σύνολο, έχουμε το δικαίωμα να μετακινηθούμε από τις ρίζες στις δυνάμεις:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών, απλοποιούμε την προκύπτουσα έκφραση ισχύος.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Απάντηση: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Μετατροπή δυνάμεων με μεταβλητές στον εκθέτη
Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι αρκετά απλός να γίνουν αν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητες του βαθμού. Για παράδειγμα, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το γινόμενο του βαθμού, ως προς τον οποίο βρίσκεται το άθροισμα κάποιας μεταβλητής και ενός αριθμού. Στην αριστερή πλευρά, αυτό μπορεί να γίνει με τον πρώτο και τον τελευταίο όρο στην αριστερή πλευρά της έκφρασης:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
Τώρα ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 7 2 x. Αυτή η έκφραση στο ODZ της μεταβλητής x παίρνει μόνο θετικές τιμές:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Ας μειώσουμε τα κλάσματα με δυνάμεις, παίρνουμε: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Τέλος, ο λόγος των δυνάμεων με τους ίδιους εκθέτες αντικαθίσταται από δυνάμεις λόγων, που οδηγεί στην εξίσωση 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , που ισοδυναμεί με 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή t = 5 7 x , η οποία ανάγει τη λύση της αρχικής εκθετικής εξίσωσης στη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .
Μετατροπή εκφράσεων με δυνάμεις και λογάριθμους
Εκφράσεις που περιέχουν δυνάμεις και λογάριθμους βρίσκονται επίσης στα προβλήματα. Παραδείγματα τέτοιων εκφράσεων είναι: 1 4 1 - 5 log 2 3 ή log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Ο μετασχηματισμός τέτοιων εκφράσεων πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τις παραπάνω προσεγγίσεις και ιδιότητες των λογαρίθμων, τις οποίες έχουμε αναλύσει λεπτομερώς στο θέμα «Μετασχηματισμός λογαριθμικών παραστάσεων».
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
