Lagrange'i variatsiooni meetod. Suvaliste konstantide muutmise meetod

Teoreetiline miinimum

Diferentsiaalvõrrandite teoorias on meetod, mis väidab, et sellel on selle teooria jaoks piisavalt kõrge universaalsus.
Me räägime suvalise konstandi muutmise meetodist, mis on rakendatav erinevate diferentsiaalvõrrandi klasside ja nende lahendamiseks.
süsteemid. See on täpselt nii, kui teooria – kui võtta sulgudest välja väidete tõestus – on minimaalne, kuid võimaldab saavutada
olulisi tulemusi, seega keskendutakse peamiselt näidetele.

Meetodi üldidee on üsna lihtne sõnastada. Olgu antud võrrand (võrrandisüsteem) raskesti lahendatav või isegi arusaamatu,
kuidas seda lahendada. Siiski on näha, et kui mõned terminid võrrandist välja jätta, on see lahendatud. Siis nad lahendavad just sellise lihtsustatud
võrrand (süsteem), saada lahend, mis sisaldab teatud arvu suvalisi konstante - sõltuvalt võrrandi järjekorrast (arv
võrrandid süsteemis). Siis eeldatakse, et leitud lahendis olevad konstandid ei ole tegelikult konstandid, leitud lahendus
asendatakse algsesse võrrandisse (süsteemi), saadakse "konstantide" määramiseks diferentsiaalvõrrand (või võrrandisüsteem).
Suvalise konstandi muutmise meetodi rakendamisel erinevatele probleemidele on teatav spetsiifilisus, kuid need on juba detailid, mida
näidatud näidetega.

Vaatleme eraldi kõrgemat järku lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendust, s.o. vormi võrrandid
.
Lineaarse ebahomogeense võrrandi üldlahend on vastava homogeense võrrandi üldlahendi ja konkreetse lahendi summa
antud võrrand. Oletame, et homogeense võrrandi üldlahend on juba leitud, st põhilahenduste süsteem (FSR) on konstrueeritud
. Siis on homogeense võrrandi üldlahend .
On vaja leida mittehomogeense võrrandi konkreetne lahendus. Selleks loetakse konstandid muutujast sõltuvaks.
Järgmiseks peate lahendama võrrandisüsteemi
.
Teooria tagab, et sellel funktsioonide tuletisi algebralisel võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus.
Funktsioonide endi leidmisel integreerimiskonstandid ei paista: otsitakse ju ükskõik millist lahendust.

Vormi esimest järku lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemide lahendamise korral

Algoritm jääb peaaegu muutumatuks. Kõigepealt tuleb leida vastava homogeense võrrandisüsteemi FSR, koostada põhimaatriks
süsteem , mille veerud on FSR-i elemendid. Järgmiseks võrrand
.
Süsteemi lahendades määrame funktsioonid, leides seega algsele süsteemile konkreetse lahenduse
(põhimaatriks korrutatakse leitud funktsiooni veeruga).
Lisame selle vastava homogeensete võrrandite süsteemi üldlahendusse, mis on üles ehitatud juba leitud FSR-i alusel.
Saadakse algse süsteemi üldlahendus.

Näited.

Näide 1 Esimest järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid.

Vaatleme vastavat homogeenset võrrandit (tähistame vajalikku funktsiooni tähisega):
.
Seda võrrandit on lihtne lahendada muutujate eraldamisega:

.
Nüüd esitame algvõrrandi lahendi kujul , kus funktsioon on veel leidmata.
Asendame seda tüüpi lahenduse algsesse võrrandisse:
.
Nagu näete, tühistavad teine ​​ja kolmas termin vasakul küljel üksteist - see on tunnusjoon suvalise konstandi muutmise meetod.

Siin juba - tõepoolest, suvaline konstant. Sellel viisil,
.

Näide 2 Bernoulli võrrand.

Toimime sarnaselt esimese näitega – lahendame võrrandi

muutujate eraldamise meetod. Selgub , seega otsime algvõrrandi lahendust kujul
.
Asendage see funktsioon algsesse võrrandisse:
.
Ja jälle on kärpeid:
.
Siin tuleb meeles pidada, et jagamisel ei läheks lahendus kaotsi. Ja juhtum vastab originaali lahendusele
võrrandid. Pidagem teda meeles. Niisiis,
.
Kirjutame.
See on lahendus. Vastuse kirjutamisel tuleks märkida ka varem leitud lahendus, kuna see ei vasta ühelegi lõppväärtusele
konstandid.

Näide 3 Kõrgemat järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid.

Märgime kohe, et seda võrrandit saab lahendada lihtsamalt, kuid meetodit on mugav sellel näidata. Kuigi mõned eelised
suvalise konstandi muutmise meetodil on see ka selles näites.
Niisiis, peate alustama vastava homogeense võrrandi FSR-ist. Tuletage meelde, et FSR-i leidmiseks on omadus
võrrand
.
Seega homogeense võrrandi üldlahend
.
Siin sisalduvaid konstante tuleb muuta. Süsteemi koostamine

Loeng 44. Teist järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Suvaliste konstantide muutmise meetod. Teist järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid konstantsete koefitsientidega. (spetsiaalne parem pool).

Sotsiaalsed transformatsioonid. Riik ja kirik.

Bolševike sotsiaalpoliitikat dikteeris suuresti nende klassikäsitlus. 10. novembri 1917. aasta määrusega kaotati mõisasüsteem, kaotati revolutsioonieelsed auastmed, tiitlid ja autasud. Kohtunike valimine on kehtestatud; viidi läbi tsiviilriikide sekulariseerimine. Kehtestatud tasuta haridus ja arstiabi (määrus 31.10.1918). Naiste õigused võrdsustati meestega (16. ja 18. detsembri 1917. a määrused). Abielu dekreediga kehtestati tsiviilabielu institutsioon.

Rahvakomissaride Nõukogu 20. jaanuari 1918 määrusega eraldati kirik riigist ja haridussüsteemist. Suur osa kiriku varadest konfiskeeriti. Moskva ja kogu Venemaa patriarh Tihhon (valitud 5. novembril 1917) tekitas 19. jaanuaril 1918 nõukogude võimu ja kutsus üles võitlema bolševike vastu.

Vaatleme lineaarset ebahomogeenset teist järku võrrandit

Sellise võrrandi üldlahenduse struktuur määratakse järgmise teoreemiga:

1. teoreem. Mittehomogeense võrrandi (1) üldlahend on esitatud selle võrrandi mõne konkreetse lahendi ja vastava homogeense võrrandi üldlahendi summana

Tõestus. Peame tõestama, et summa

on võrrandi (1) üldlahend. Tõestame esmalt, et funktsioon (3) on võrrandi (1) lahend.

Asendades summa võrrandiga (1) selle asemel juures, saab

Kuna võrrandile (2) on lahendus, on esimestes sulgudes olev avaldis identselt võrdne nulliga. Kuna võrrandile (1) on lahendus, on teistes sulgudes olev avaldis võrdne f(x). Seetõttu on võrdsus (4) identiteet. Seega on teoreemi esimene osa tõestatud.

Tõestame teist väidet: avaldis (3) on üldine võrrandi (1) lahendus. Peame tõestama, et selles avaldises sisalduvad suvalised konstandid saab valida nii, et algtingimused on täidetud:

olgu numbrid millised tahes x 0, y 0 ja (kui ainult x 0 võeti funktsioonide piirkonnast a 1, a 2 ja f(x) pidev).

Märgates, et on võimalik esitada kujul . Siis, lähtudes tingimustest (5), on meil

Lahendame selle süsteemi ja leiame Alates 1 ja Alates 2. Kirjutame süsteemi ümber järgmiselt:

Pange tähele, et selle süsteemi determinant on funktsioonide Wronsky determinant 1 ja kell 2 punktis x=x 0. Kuna need funktsioonid on eeldusel lineaarselt sõltumatud, ei ole Wronsky determinant võrdne nulliga; seega on süsteemil (6) kindel lahendus Alates 1 ja Alates 2, st. selliseid väärtusi on Alates 1 ja Alates 2, mille puhul valem (3) määrab võrrandi (1) lahendi, mis vastab antud algtingimustele. Q.E.D.

Pöördume üldise meetodi poole ebahomogeense võrrandi konkreetsete lahenduste leidmiseks.

Kirjutame homogeense võrrandi (2) üldlahendi

Otsime mittehomogeense võrrandi (1) konkreetset lahendit kujul (7), võttes arvesse Alates 1 ja Alates 2 kui mõned seni tundmatud funktsioonid X.

Eristagem võrdsust (7):

Valime soovitud funktsioonid Alates 1 ja Alates 2 nii et võrdsus

Kui seda lisatingimust arvesse võtta, saab esimene tuletis vormi

Nüüd seda väljendit eristades leiame:

Asendades võrrandi (1), saame

Kahes esimeses sulus olevad väljendid kaovad, sest y 1 ja y2 on homogeense võrrandi lahendid. Seetõttu võtab viimane võrdsus kuju

Seega on funktsioon (7) mittehomogeense võrrandi (1) lahendus, kui funktsioonid Alates 1 ja Alates 2 rahuldada võrrandid (8) ja (9). Koostame võrranditest (8) ja (9) võrrandisüsteemi.

Kuna selle süsteemi determinant on Vronski determinant lineaarselt sõltumatute lahenduste jaoks y 1 ja y2 võrrand (2), siis ei ole see võrdne nulliga. Seetõttu leiame süsteemi lahendamisel mõlemad teatud funktsioonid X:

Seda süsteemi lahendades leiame , kust integreerimise tulemusena saame . Järgmisena asendame leitud funktsioonid valemiga , saame ebahomogeense võrrandi üldlahenduse, kus on suvalised konstandid.

Suvalise konstandi muutmise meetod ehk Lagrange'i meetod on veel üks viis esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite ja Bernoulli võrrandi lahendamiseks.

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid on võrrandid kujul y’+p(x)y=q(x). Kui parem pool on null: y’+p(x)y=0, siis on see lineaarne homogeenne 1. järku võrrand. Seega võrrand nullist erineva parema küljega y’+p(x)y=q(x), — heterogeenne 1. järku lineaarvõrrand.

Suvalise konstantse variatsiooni meetod (Lagrange'i meetod) koosneb järgmisest:

1) Otsime üldlahendust homogeensele võrrandile y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Üldlahenduses ei loeta C-d konstandiks, vaid funktsiooniks x: C=C(x). Leiame üldlahenduse (y*)' tuletise ja asendame saadud avaldise y* ja (y*)' algtingimusega. Saadud võrrandist leiame funktsiooni С(x).

3) Homogeenvõrrandi üldlahenduses asendame C asemel leitud avaldise C (x).

Vaatleme näiteid suvalise konstandi muutmise meetodi kohta. Võtame samad ülesanded, mis aastal, võrdleme lahenduse kulgu ja veendume, et saadud vastused on samad.

1) y'=3x-y/x

Kirjutame võrrandi ümber standardkujul (erinevalt Bernoulli meetodist, kus tähistust vajasime ainult selleks, et näha, et võrrand on lineaarne).

y'+y/x=3x (I). Nüüd läheme plaanipäraselt.

1) Lahendame homogeense võrrandi y’+y/x=0. See on eraldatav muutuja võrrand. Esindab y’=dy/dx, asenda: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Korrutame mõlemad võrrandi osad dx-ga ja jagame xy≠0-ga: dy/y=-dx/x. Integreerime:

2) Saadud homogeense võrrandi üldlahendis käsitleme С mitte konstandi, vaid x funktsioonina: С=С(x). Siit

Saadud avaldised asendatakse tingimusega (I):

Integreerime võrrandi mõlemad pooled:

siin C on juba mingi uus konstant.

3) Homogeense võrrandi y \u003d C / x üldlahenduses, kus arvestasime C \u003d C (x), st y \u003d C (x) / x, asendame C (x) asemel leitud avaldis x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x või y=x²+C/x. Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Vastus: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Siin on võrrand juba standardkujul kirjutatud, pole vaja teisendada.

1) Lahendame homogeense lineaarvõrrandi y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integreerime:

Mugavama tähistuse saamiseks võtame astendaja C astmesse uue C-na:

See teisendus tehti tuletise leidmise mugavamaks muutmiseks.

2) Saadud lineaarse homogeense võrrandi üldlahendis käsitleme С mitte konstandiks, vaid funktsiooniks x: С=С(x). Sellel tingimusel

Saadud avaldised y ja y' asendatakse tingimusega:

Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga

Integreerime võrrandi mõlemad osad, kasutades osade kaupa integreerimise valemit, saame:

Siin pole C enam funktsioon, vaid tavaline konstant.

3) Homogeenvõrrandi üldlahendisse

asendame leitud funktsiooni С(x):

Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Lahendamisel on rakendatav ka suvalise konstandi muutmise meetod.

y’x+y=-xy².

Toome võrrandi standardkujule: y’+y/x=-y² (II).

1) Lahendame homogeense võrrandi y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Korrutage võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagage y-ga: dy/y=-dx/x. Nüüd integreerime:

Asendame saadud avaldised tingimusega (II):

Lihtsustamine:

Saime võrrandi C ja x jaoks eraldatavate muutujatega:

Siin on C juba tavaline konstant. Integreerimise käigus kirjutasime C(x) asemel lihtsalt C, et mitte tähistust üle koormata. Ja lõpus pöördusime tagasi C(x) juurde, et mitte segi ajada C(x) uue C-ga.

3) Asendame leitud funktsiooni С(x) homogeense võrrandi y=C(x)/x üldlahendiga:

Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Näited enesetesti jaoks:

1. Kirjutame võrrandi ümber standardkujul: y'-2y=x.

1) Lahendame homogeense võrrandi y'-2y=0. y’=dy/dx, seega dy/dx=2y, korrutage võrrandi mõlemad pooled dx-ga, jagage y-ga ja integreerige:

Siit leiame y:

Asendame y- ja y-avaldised tingimusesse (lühiduse huvides söödame C asemel C (x) ja C' asemel C "(x)):

Paremal küljel oleva integraali leidmiseks kasutame osade kaupa integreerimise valemit:

Nüüd asendame valemis u, du ja v:

Siin C = konst.

3) Nüüd asendame homogeense lahusega

Vaadeldakse meetodit konstantsete koefitsientidega kõrgema järgu lineaarsete ebahomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks Lagrange'i konstantide muutmise meetodil. Lagrange'i meetodit saab kasutada ka mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamisel, kui on teada homogeense võrrandi lahenduste põhisüsteem.

Sisu

Vaata ka:

Lagrange'i meetod (konstantide variatsioon)

Vaatleme lineaarset ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit suvalise n-ndat järku konstantsete koefitsientidega:
(1) .
Konstantse variatsiooni meetod, mida me käsitlesime esimest järku võrrandi puhul, on rakendatav ka kõrgema järgu võrrandite puhul.

Lahendus viiakse läbi kahes etapis. Esimeses etapis jätame parema külje kõrvale ja lahendame homogeense võrrandi. Selle tulemusena saame lahenduse, mis sisaldab n suvalist konstanti. Teises etapis muudame konstante. See tähendab, et me leiame, et need konstandid on sõltumatu muutuja x funktsioonid ja leiame nende funktsioonide kuju.

Kuigi me käsitleme siin konstantsete koefitsientidega võrrandeid, kuid Lagrange'i meetod on rakendatav ka mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamisel. Selleks peab aga olema teada homogeense võrrandi põhilahenduste süsteem.

1. samm. Homogeense võrrandi lahendamine

Nagu ka esimest järku võrrandite puhul, otsime esmalt homogeense võrrandi üldlahendust, võrdsustades parempoolse ebahomogeense osa nulliga:
(2) .
Sellise võrrandi üldlahend on järgmine:
(3) .
Siin on suvalised konstandid; - n lineaarselt sõltumatut homogeense võrrandi (2) lahendit, mis moodustavad selle võrrandi põhilahenduste süsteemi.

Etapp 2. Konstantide varieerimine – konstantide asendamine funktsioonidega

Teises etapis käsitleme konstantide varieerumist. Teisisõnu, me asendame konstandid sõltumatu muutuja x funktsioonidega:
.
See tähendab, et me otsime algsele võrrandile (1) lahendust järgmisel kujul:
(4) .

Kui asendame (4) väärtusega (1), saame ühe diferentsiaalvõrrandi n funktsiooni jaoks. Sel juhul saame need funktsioonid ühendada täiendavate võrranditega. Siis saad n võrrandit, millest saad määrata n funktsiooni. Täiendavaid võrrandeid saab kirjutada mitmel viisil. Kuid me teeme seda nii, et lahendusel oleks kõige lihtsam vorm. Selleks tuleb diferentseerimisel võrdsustada funktsioonide tuletisi sisaldavad terminid nulliga. Näitame seda.

Pakutud lahendi (4) asendamiseks algse võrrandiga (1) peame leidma kujul (4) kirjutatud funktsiooni esimese n järgu tuletised. Eristage (4), rakendades summa ja korrutise eristamise reegleid:
.
Rühmitame liikmed. Esiteks kirjutame välja terminid tuletistega ja seejärel terminid tuletistega:

.
Esitame funktsioonidele esimese tingimuse:
(5.1) .
Siis on esimese tuletise avaldis suhtes lihtsam vorm:
(6.1) .

Samamoodi leiame teise tuletise:

.
Funktsioonidele kehtestame teise tingimuse:
(5.2) .
Siis
(6.2) .
Ja nii edasi. Lisatingimustel võrdsustame funktsioonide tuletisi sisaldavad terminid nulliga.

Seega, kui valime funktsioonide jaoks järgmised lisavõrrandid:
(5.k) ,
siis on esimesed tuletised kõige lihtsamal kujul:
(6.k) .
siin .

Leiame n-nda tuletise:
(6.n)
.

Asendame algsesse võrrandisse (1):
(1) ;






.
Arvestame, et kõik funktsioonid vastavad võrrandile (2):
.
Siis annab termineid sisaldavate liikmete summa nulli. Selle tulemusena saame:
(7) .

Selle tulemusena saime tuletiste jaoks lineaarsete võrrandite süsteemi:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Seda süsteemi lahendades leiame tuletistele avaldised x funktsioonidena. Integreerides saame:
.
Siin on konstandid, mis ei sõltu enam x-st. Asendades (4), saame algvõrrandi üldlahendi.

Pange tähele, et me ei kasutanud tuletisinstrumentide väärtuste määramiseks kunagi tõsiasja, et koefitsiendid a i on konstantsed. Sellepärast Lagrange'i meetodit saab kasutada mis tahes lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendamiseks, kui on teada homogeense võrrandi (2) lahendite põhisüsteem.

Näited

Lahendage võrrandeid konstantide muutmise meetodil (Lagrange).


Näidete lahendus >>>

Vaata ka: Esimest järku võrrandite lahendamine konstantse variatsiooni meetodil (Lagrange)
Kõrgemat järku võrrandite lahendamine Bernoulli meetodil
Konstantsete koefitsientidega lineaarsete ebahomogeensete kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandite lahendamine lineaarse asendusega

Suvaliste konstantide muutmise meetod

Meetod suvaliste konstantide muutmiseks lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahenduse koostamiseks

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

seisneb suvaliste konstantide muutmises c küldotsuses

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

vastav homogeenne võrrand

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

abifunktsioonide juurde c k (t) , mille tuletised rahuldavad lineaarset algebralist süsteemi

Süsteemi (1) determinant on funktsioonide Wronski z 1 ,z 2 ,...,z n , mis tagab selle ainulaadse lahendatavuse suhtes .

Kui antiderivaadid võetakse integratsioonikonstantide fikseeritud väärtustel, siis funktsioon

on algse lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahendus. Mittehomogeense võrrandi integreerimine vastava homogeense võrrandi üldlahenduse juuresolekul taandatakse seega kvadratuurideks.

Meetod suvaliste konstantide muutmiseks lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemi lahenduste koostamiseks vektori normaalkujul

seisneb konkreetse lahenduse (1) konstrueerimises kujul

kus Z(t) on vastava maatriksina kirjutatud homogeense võrrandi lahendite aluseks ja suvaliste konstantide vektori asendanud vektorfunktsioon , on defineeritud seosega . Soovitud konkreetne lahendus (null algväärtusega t = t 0-l on vorm

Konstantsete koefitsientidega süsteemi puhul on viimast avaldist lihtsustatud:

Maatriks Z(t)Z– 1 (τ) helistas Cauchy maatriks operaator L = A(t) .