Formula ravne linije na grafu funkcije. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi

1. Linearna frakcijska funkcija i njezin graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se razlomkom racionalnom funkcijom.

Vjerojatno ste već upoznati s konceptom racionalnih brojeva. Slično racionalne funkcije su funkcije koje se mogu predstaviti kao kvocijent dvaju polinoma.

Ako je razlomka racionalna funkcija kvocijent dviju linearnih funkcija – polinoma prvog stupnja, t.j. funkcija pregleda

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijskim linearnim.

Imajte na umu da u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače funkcija je konstanta). Linearno-frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve, osim za x = -d/c. Grafovi linearno-frakcijskih funkcija ne razlikuju se oblikom od grafa za koji znate y = 1/x. Zove se krivulja koja je graf funkcije y = 1/x hiperbola. Uz neograničeno povećanje apsolutne vrijednosti x, funkcija y = 1/x neograničeno se smanjuje u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa približavaju se osi apscise: desna se približava odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se prilaze grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.

Primjer 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Odluka.

Odaberimo cijeli broj: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Sada je lako vidjeti da se graf ove funkcije dobiva iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomak za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanje duž osi Oy 7 puta i pomak za 2 segmenta jedinice gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na isti način, naglašavajući "cijeli dio". Posljedično, grafovi svih linearno-frakcijskih funkcija su hiperbole pomaknute duž koordinatnih osi na različite načine i razvučene duž osi Oy.

Za crtanje grafa neke proizvoljne linearno-razlomačke funkcije uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira ovu funkciju. Budući da znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći linije kojima se približavaju njegove grane - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2

Pronađite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Odluka.

Funkcija nije definirana, za x = -1. Dakle, pravac x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, otkrijmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada se argument x poveća u apsolutnoj vrijednosti.

Da bismo to učinili, podijelimo brojnik i nazivnik razlomka s x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞ razlomak teži 3/2. Dakle, horizontalna asimptota je pravac y = 3/2.

Primjer 3

Nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Odluka.

Odabiremo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da se graf ove funkcije dobiva iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomak od 1 jedinice ulijevo, simetričan prikaz u odnosu na Ox i pomak od 2 jedinična intervala prema gore duž osi Oy.

Područje definicije D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Točke sjecišta s osovinama: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom od intervala domene definicije.

Odgovor: slika 1.

2. Razlomka-racionalna funkcija

Razmotrimo razlomku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ili y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako je funkcija y = P(x) / Q(x) kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti složeniji i ponekad ga može biti teško točno izgraditi , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno primijeniti tehnike slične onima s kojima smo se već susreli gore.

Neka je razlomak pravilan (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očito se graf razlomke racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.

Iscrtavanje frakcijskih racionalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko načina za crtanje frakcijsko-racionalne funkcije.

Primjer 4

Nacrtajte funkciju y = 1/x 2 .

Odluka.

Koristimo graf funkcije y \u003d x 2 za crtanje grafa y = 1 / x 2 i koristimo metodu "podjele" grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema točaka sjecišta s osovinama. Funkcija je ujednačena. Povećava se za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x s 0 na +∞.

Odgovor: slika 2.

Primjer 5

Nacrtajte funkciju y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Odluka.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku ​​faktoringa, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: slika 3.

Primjer 6

Nacrtajte funkciju y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Odluka.

Područje definicije je D(y) = R. Budući da je funkcija parna, graf je simetričan u odnosu na y-os. Prije crtanja, ponovo transformiramo izraz naglašavajući cijeli broj:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Imajte na umu da je odabir cjelobrojnog dijela u formuli razlomačke racionalne funkcije jedan od glavnih pri crtanju grafova.

Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: slika 4.

Primjer 7

Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo pronaći točno njezinu najveću vrijednost, t.j. najviša točka na desnoj polovici grafa. Za točnu izgradnju ovog grafikona današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "popeti" jako visoko, budući da nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da biste to učinili, morate riješiti jednadžbu x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Ova jednadžba nema pravih korijena. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. Da biste pronašli najveću vrijednost funkcije, morate saznati za koje će najveće A jednadžba A \u003d x / (x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 - x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 - 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveću vrijednost A \u003d 1/2.

Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako izgraditi grafove funkcija?
Za pomoć učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Graf linearne funkcije je ravna linija.

1. Za crtanje grafa funkcije, potrebne su nam koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i iz njih izračunati odgovarajuće y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije y= x+2, prikladno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate ovih točaka biti jednake y=2 i y=3. Dobivamo točke A(0;2) i B(3;3). Spojimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k naziva se faktor proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako je k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž osi OY:
ako je b>0, tada se graf funkcije y=kx+b dobiva iz grafa funkcije y=kx pomicanjem b jedinica prema gore duž osi OY
ako b
Na donjoj slici prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent k Iznad nule, a funkcije su povećavajući.Štoviše, što je veća vrijednost k, to je veći kut nagiba ravne u pozitivnom smjeru osi OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku os OY u točki (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i značajke smanjenje. Koeficijent b=3, a grafovi, kao i u prethodnom slučaju, prelaze os OY u točki (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada, u svim jednadžbama funkcija, koeficijenti k su jednaki 2. I dobili smo tri paralelna pravca.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim točkama:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) prelazi os OY u točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) siječe os OY u točki (0;0) - ishodištu.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) prelazi os OY u točki (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
Ako je a k 0

Ako je a k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako je a k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako je a k, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako je a k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih točaka grafa funkcije y=b jednake su b If b=0, tada graf funkcije y=kx (izravna proporcionalnost) prolazi kroz ishodište:

3. Zasebno bilježimo graf jednadžbe x=a. Graf ove jednadžbe je ravna linija paralelna s osi OY, čije sve točke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x=a nije funkcija, jer jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uvjet za paralelnost dva prava:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 paralelan je s grafom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uvjet da dvije ravne linije budu okomite:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 okomit je na graf funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Točke sjecišta grafa funkcije y=kx+b s koordinatnim osi.

s OY osi. Apscisa bilo koje točke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka s osi OY, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobivamo y=b. To jest, točka presjeka s osi OY ima koordinate (0; b).

S x-osi: ordinata bilo koje točke koja pripada osi x je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka s osi OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobivamo 0=kx+b. Stoga je x=-b/k. Odnosno, točka presjeka s osi OX ima koordinate (-b / k; 0):

Pogledajmo kako istražiti funkciju pomoću grafa. Ispada da gledajući graf možete saznati sve što nas zanima, naime:

• opseg funkcije
• raspon funkcija
• nule funkcije
• razdoblja porasta i smanjenja
• visoke i niske točke
• najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu.

Pojasnimo terminologiju:

Apscisa je horizontalna koordinata točke.
Ordinat- vertikalna koordinata.
apscisa- horizontalna os, najčešće nazvana os.
Y-os- okomita os, odnosno os.

Argument je nezavisna varijabla o kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće naznačeno.
Drugim riječima, sami biramo , zamjenjujemo u formulu funkcije i dobivamo .

Domena funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenta za koje funkcija postoji.
Označeno: ili .

Na našoj slici domena funkcije je segment. Na tom segmentu je nacrtan graf funkcije. Samo ovdje ova funkcija postoji.

Raspon funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici, ovo je segment - od najniže do najveće vrijednosti.

Nule funkcije- točke u kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli, tj. Na našoj slici, to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici, to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Imamo ovaj interval (ili interval) od do.

Najvažniji koncepti - rastuća i opadajuća funkcija na nekom setu. Kao skup možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijeli brojevni pravac.

Funkcija povećava

Drugim riječima, što više , to više , odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija smanjuje se na skupu ako za bilo koji i koji pripadaju skupu nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju, veća vrijednost odgovara manjoj vrijednosti. Grafikon ide desno i dolje.

Na našoj slici, funkcija raste na intervalu i opada na intervalima i .

Definirajmo što je maksimalne i minimalne točke funkcije.

Maksimalni bod- ovo je unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, maksimalna točka je takva točka, vrijednost funkcije u kojoj više nego u susjednim. Ovo je lokalno "brdo" na grafikonu.

Na našoj slici - maksimalna točka.

Niska točka- unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
To jest, minimalna točka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u susjednim. Na grafikonu je ovo lokalna "rupa".

Na našoj slici - minimalna točka.

Poanta je granica. To nije unutarnja točka domene definicije i stoga ne odgovara definiciji maksimalne točke. Uostalom, ona nema susjeda s lijeve strane. Na isti način, ne može postojati minimalna točka na našem grafikonu.

Maksimalne i minimalne točke nazivaju se zajednički ekstremne točke funkcije. U našem slučaju, ovo je i .

Ali što ako trebate pronaći npr. minimalna funkcija na rezu? U ovom slučaju, odgovor je: jer minimalna funkcija je njegova vrijednost u minimalnoj točki.

Slično, maksimum naše funkcije je . Doseže se u točki .

Možemo reći da su ekstremi funkcije jednaki i .

Ponekad u zadacima morate pronaći najveća i najmanja vrijednost funkcije na zadanom segmentu. Ne podudaraju se nužno s ekstremima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na intervalu jednak je i podudara se s minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu jednaka je . Dostiže se na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveća i najmanja vrijednost kontinuirane funkcije na segmentu postižu se ili na ekstremnim točkama ili na krajevima segmenta.

Osnovne elementarne funkcije, njihova inherentna svojstva i pripadajući grafovi jedna su od osnova matematičkog znanja, po važnosti slična tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova, potpora za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Članak u nastavku donosi ključni materijal na temu osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Proučimo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija i analizirajmo njihova svojstva.

Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Definicija 1

• stalna funkcija (konstantna);
• korijen n-tog stupnja;
• funkcija snage;
• eksponencijalna funkcija;
• logaritamska funkcija;
• trigonometrijske funkcije;
• bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija definirana je formulom: y = C (C je neki realni broj) i također ima naziv: konstanta. Ova funkcija određuje odgovara li bilo koja realna vrijednost nezavisne varijable x istoj vrijednosti varijable y – vrijednosti C.

Graf konstante je ravna crta koja je paralelna s osi x i prolazi kroz točku koja ima koordinate (0, C). Radi preglednosti prikazujemo grafove konstantnih funkcija y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (na crtežu su označene crnom, crvenom i plavom bojom).

Definicija 2

Ova elementarna funkcija definirana je formulom y = x n (n je prirodni broj veći od jedan).

Razmotrimo dvije varijacije funkcije.

1. Korijen n-tog stupnja, n je paran broj

Radi jasnoće navodimo crtež koji prikazuje grafikone takvih funkcija: y = x , y = x 4 i y = x 8 . Ove su funkcije označene bojama: crna, crvena i plava.

Sličan pogled na grafove funkcije parnog stupnja za druge vrijednosti indikatora.

Definicija 3

Svojstva korijena funkcije n-tog stupnja, n je paran broj

• domena definicije je skup svih nenegativnih realnih brojeva [ 0 , + ∞) ;
• kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni parna ni neparna);
• raspon: [ 0 , + ∞) ;
• ova funkcija y = x n s parnim eksponentima korijena raste u cijeloj domeni definicije;
• funkcija ima konveksnost sa smjerom prema gore u cijeloj domeni definicije;
• nema pregibnih točaka;
• nema asimptota;
• graf funkcije za parni n prolazi kroz točke (0 ; 0) i (1 ; 1) .

1. Korijen n-tog stupnja, n je neparan broj

Takva je funkcija definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crna, crvena i plava boja krivulja, redom.

Druge neparne vrijednosti eksponenta korijena funkcije y = x n dat će graf sličnog oblika.

Definicija 4

Svojstva korijena funkcije n-tog stupnja, n je neparan broj

• domena definicije je skup svih realnih brojeva;
• ova funkcija je neparna;
• raspon vrijednosti je skup svih realnih brojeva;
• funkcija y = x n s neparnim eksponentima korijena raste u cijeloj domeni definicije;
• funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞) ;
• točka prijevoja ima koordinate (0 ; 0) ;
• nema asimptota;
• graf funkcije za neparan n prolazi kroz točke (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) i (1 ; 1) .

Funkcija snage

Definicija 5

Funkcija snage definirana je formulom y = x a .

Vrsta grafova i svojstva funkcije ovise o vrijednosti eksponenta.

• kada funkcija stepena ima cjelobrojni eksponent a, tada oblik grafa funkcije stepena i njezina svojstva ovise o tome je li eksponent paran ili neparan, te koji predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
• eksponent može biti razlomačan ili iracionalan - ovisno o tome, vrsta grafova i svojstva funkcije također variraju. Analizirat ćemo posebne slučajeve postavljanjem nekoliko uvjeta: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• funkcija stepena može imati nulti eksponent, u nastavku ćemo također detaljnije analizirati ovaj slučaj.

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1 , 3 , 5 ...

Radi jasnoće navodimo grafove takvih funkcija snage: y = x (crna boja grafikona), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (zeleni graf). Kada je a = 1 , dobivamo linearnu funkciju y = x .

Definicija 6

Svojstva potencijske funkcije kada je eksponent neparan pozitivan

• funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija je konveksna za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavna za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
• točka infleksije ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
• nema asimptota;
• prolazne točke funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2 , 4 , 6 ...

Radi jasnoće navodimo grafikone takvih funkcija snage: y \u003d x 2 (crna boja grafikona), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafikona). Kada je a = 2, dobivamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak pozitivan:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• smanjenje za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nema pregibnih točaka;
• nema asimptota;
• prolazne točke funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafova eksponencijalne funkcije y = x a kada je a neparan negativan broj: y = x - 9 (crna boja grafikona); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (zeleni graf). Kada je \u003d - 1, dobivamo inverznu proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije snage kada je eksponent neparan negativan:

Kada je x \u003d 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, budući da je lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ za a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

• raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija je konveksna za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nema pregibnih točaka;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• prolazne točke funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafova funkcije snage y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafikon u crnoj boji); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafikona).

Definicija 9

Svojstva funkcije snage kada je eksponent čak negativan:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x \u003d 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, budući da je lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ za a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

• funkcija je parna jer je y (- x) = y (x) ;
• funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; 0), a opada za x ∈ 0 ; +∞ ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nema pregibnih točaka;
• horizontalna asimptota je ravna linija y = 0 jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• prolazne točke funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pozornost na sljedeći aspekt: ​​u slučaju kada je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao područje definicije ove funkcije stupnja; + ∞ , uvjetujući da je eksponent a nesvodljivi razlomak. Trenutno, autori mnogih obrazovnih publikacija o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Nadalje, pridržavat ćemo se upravo takvog stava: uzimamo skup [ 0 ; +∞) . Preporuka za učenike: na ovom mjestu saznajte stajalište učitelja kako biste izbjegli nesuglasice.

Pa pogledajmo funkciju snage y = x a kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj pod uvjetom da je 0< a < 1 .

Ilustrirajmo grafovima funkcije snaga y = x a kada je a = 11 12 (grafikon u crnoj boji); a = 5 7 (crvena boja grafikona); a = 1 3 (plava boja grafikona); a = 2 5 (zelena boja grafikona).

Ostale vrijednosti eksponenta a (uz pretpostavku 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

• raspon: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija raste za x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nema pregibnih točaka;
• nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je eksponent necijeli racionalan ili iracionalan broj pod uvjetom da je a > 1 .

Ilustriramo grafove funkcije snage y = x a pod zadanim uvjetima na primjeru takvih funkcija: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena boja grafikona, redom) .

Druge vrijednosti eksponenta a pod uvjetom a > 1 dat će sličan prikaz grafa.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

• domena definicije: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• raspon: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni neparna ni parna);
• funkcija raste za x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nema pregibnih točaka;
• nema asimptota;
• prolazne točke funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Skrećemo vam pozornost! Kada je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji stav da je domena definicije u ovom slučaju interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) s tim da je eksponent a nesvodljivi razlomak. Trenutno, autori edukativnog materijala o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Nadalje, držimo se upravo takvog gledišta: skup (0 ; + ∞) uzimamo kao domenu funkcija stepena s razlomkom negativnih eksponenta. Prijedlog za učenike: U ovom trenutku razjasnite viziju svog učitelja kako biste izbjegli neslaganje.

Nastavljamo s temom i analiziramo funkciju snage y = x a pod uvjetom: - 1< a < 0 .

Ovdje je crtež grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (crne, crvene, plave, zelene linije, redom ).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon: y ∈ 0 ; +∞ ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni neparna ni parna);
• nema pregibnih točaka;

Donji crtež prikazuje grafove funkcija snaga y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelena boja krivulja, redom).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

• domena definicije: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni neparna ni parna);
• funkcija je opadajuća za x ∈ 0; +∞ ;
• funkcija je konkavna za x ∈ 0; +∞ ;
• nema pregibnih točaka;
• horizontalna asimptota - pravac y = 0 ;
• prolazna točka funkcije: (1 ; 1) .

Kada je \u003d 0 i x ≠ 0, dobivamo funkciju y \u003d x 0 \u003d 1, koja određuje ravnu liniju iz koje je točka (0; 1) isključena (složili smo se da izraz 0 0 neće biti s obzirom na bilo koju vrijednost).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x , gdje je a > 0 i a ≠ 1 , a graf ove funkcije izgleda drugačije na temelju vrijednosti baze a . Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, analizirajmo situaciju kada baza eksponencijalne funkcije ima vrijednost od nule do jedan (0< a < 1) . Ilustrativan primjer su grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krivulje) i a = 5 6 (crvena boja krivulje).

Grafovi eksponencijalne funkcije imat će sličan oblik za druge vrijednosti baze, pod uvjetom da je 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni neparna ni parna);
• eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan opada u cijeloj domeni definicije;
• nema pregibnih točaka;
• horizontalna asimptota je pravac y = 0 s varijablom x koja teži + ∞ ;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrirajmo ovaj poseban slučaj grafom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krivulje) i y = e x (crvena boja grafa).

Druge vrijednosti baze, veće od jedan, dat će sličan prikaz grafa eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

• domena definicije je cijeli skup realnih brojeva;
• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni neparna ni parna);
• eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste za x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funkcija je konkavna za x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• nema pregibnih točaka;
• horizontalna asimptota - ravna crta y = 0 s varijablom x koji teži - ∞ ;
• prolazna točka funkcije: (0 ; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x) , gdje je a > 0 , a ≠ 1 .

Takva je funkcija definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta: za x ∈ 0 ; +∞ .

Graf logaritamske funkcije ima drugačiji oblik, na temelju vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge vrijednosti baze, ne veće od jedan, dat će sličan prikaz grafa.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

• domena definicije: x ∈ 0 ; +∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže + ∞;
• raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni neparna ni parna);
• logaritamski
• funkcija je konkavna za x ∈ 0; +∞ ;
• nema pregibnih točaka;
• nema asimptota;

Sada analizirajmo poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Na donjem crtežu nalaze se grafovi logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafova, redom).

Druge vrijednosti baze veće od jedan će dati sličan prikaz grafa.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

• domena definicije: x ∈ 0 ; +∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞;
• raspon: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije ni neparna ni parna);
• logaritamska funkcija raste za x ∈ 0; +∞ ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ 0; +∞ ;
• nema pregibnih točaka;
• nema asimptota;
• prolazna točka funkcije: (1 ; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Analizirajmo svojstva svakog od njih i odgovarajuće grafove.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, t.j. kada se vrijednosti funkcija ponavljaju za različite vrijednosti argumenta koji se međusobno razlikuju po vrijednosti razdoblja f (x + T) = f (x) (T je period). Tako se na popis svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka "najmanje pozitivno razdoblje". Osim toga, naznačit ćemo takve vrijednosti argumenta za koje odgovarajuća funkcija nestaje.

1. Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

• domena definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funkcija nestaje kada je x = π k , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• funkcija raste za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z i opadajući za x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• sinusna funkcija ima lokalne maksimume u točkama π 2 + 2 π · k ; 1 i lokalni minimumi u točkama - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• sinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• nema asimptota.

1. kosinusna funkcija: y=cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• najmanji pozitivni period: T \u003d 2 π;
• raspon: y ∈ - 1 ; jedan ;
• ova funkcija je parna, budući da je y (- x) = y (x) ;
• funkcija raste za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z i opadajući za x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u točkama 2 π · k ; 1 , k ∈ Z i lokalni minimumi u točkama π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• kosinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• točke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• nema asimptota.

1. Tangentna funkcija: y = t g (x)

Graf ove funkcije se zove tangentoid.

Definicija 20

Svojstva tangentne funkcije:

• područje definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• Ponašanje tangentne funkcije na granici područja definicije lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, pravci x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
• funkcija nestaje kada je x = π k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija raste na - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• tangentna funkcija je konkavna za x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π k ; π k ], k ∈ Z ;
• točke pregiba imaju koordinate π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Kotangentna funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangensne funkcije:

• domena definicije: x ∈ (π k ; π + π k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje kotangensne funkcije na granici područja definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, pravci x = π k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

• najmanji pozitivni period: T \u003d π;
• funkcija nestaje kada je x = π 2 + π k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• kotangensna funkcija je konkavna za x ∈ (π k ; π 2 + π k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• točke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• nema kosih i horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Često se, zbog prisutnosti prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju lučne funkcije. .

1. Arksus funkcija: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva arcsinusne funkcije:

• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• arcsinusna funkcija je konkavna za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0;
• točke pregiba imaju koordinate (0 ; 0) , također je nula funkcije;
• nema asimptota.

1. Arkozinus funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva arkosinusne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - 1 ; jedan ;
• raspon: y ∈ 0 ; π;
• ova funkcija je općeg oblika (ni parna ni neparna);
• funkcija se smanjuje na cijeloj domeni definicije;
• arkosinusna funkcija je konkavna za x ∈ - 1 ; 0 i konveksnost za x ∈ 0 ; jedan ;
• točke pregiba imaju koordinate 0 ; π2;
• nema asimptota.

1. Arktangentna funkcija: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva arktangentne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• raspon: y ∈ - π 2 ; π2;
• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija se povećava u cijeloj domeni definicije;
• arktangentna funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksna za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• točka infleksije ima koordinate (0; 0), ona je također nula funkcije;
• horizontalne asimptote su ravne linije y = - π 2 za x → - ∞ i y = π 2 za x → + ∞ (asimptote na slici su zelene linije).

1. Kotangentna funkcija luka: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva funkcije kotangensa luka:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• raspon: y ∈ (0 ; π) ;
• ova je funkcija općeg tipa;
• funkcija se smanjuje na cijeloj domeni definicije;
• funkcija kotangensa luka je konkavna za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• točka prijevoja ima koordinate 0 ; π2;
• horizontalne asimptote su ravne linije y = π na x → - ∞ (zelena crta na crtežu) i y = 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nakon što stvarno shvatite što je funkcija (možda ćete morati pročitati lekciju više puta), moći ćete s više samopouzdanja rješavati probleme s funkcijama.

U ovoj lekciji analizirat ćemo kako riješiti glavne vrste funkcijskih problema i grafove funkcija.

Kako dobiti vrijednost funkcije

Razmotrimo zadatak. Funkcija je dana formulom " y \u003d 2x - 1"

1. Izračunajte " y"Kada" x \u003d 15 "
2. Pronađite vrijednost "x", na kojoj je vrijednost "y" jednaka" −19".

Da biste izračunali " y"S" x \u003d 15"Dovoljno je zamijeniti potrebnu brojčanu vrijednost u funkciju umjesto "x".

Unos rješenja izgleda ovako:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Da biste pronašli " x"Prema poznatom" y", potrebno je u formuli funkcije zamijeniti brojčanu vrijednost umjesto "y".

To jest, sada, naprotiv, za traženje " x"Zamjenjujemo u funkciji" y \u003d 2x - 1 "Umjesto" y ", broj" −19".

−19 = 2x − 1

Dobili smo linearnu jednadžbu s nepoznatim "x" koja se rješava prema pravilima rješavanja linearnih jednadžbi.

Zapamtiti!

Ne zaboravite na pravilo prijenosa u jednadžbama.

Prilikom prijenosa s lijeve strane jednadžbe na desnu (i obrnuto), slovo ili broj mijenja predznak u suprotan.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Kao i kod rješavanja linearne jednadžbe, da bismo pronašli nepoznanicu, sada moramo množiti i lijevo i desno na "−1" za promjenu predznaka.

-2x = 18 | (−1)
2x = −18

Sada podijelimo i lijevu i desnu stranu s "2" da pronađemo "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Kako provjeriti je li jednakost istinita za funkciju

Razmotrimo zadatak. Funkcija je dana formulom "f(x) = 2 − 5x".

Je li jednakost "f(−2) = −18" istinita?

Da biste provjerili je li jednakost istinita, trebate zamijeniti brojčanu vrijednost "x = −2" u funkciju " f (x) \u003d 2 - 5x" i usporediti s onim što se događa u izračunima.

Važno!

Kada zamijenite negativan broj za "x", svakako ga stavite u zagrade.

Nije u redu

Ispravno

Uz pomoć proračuna dobili smo "f(−2) = 12".

To znači da "f(−2) = −18" za funkciju "f(x) = 2 − 5x" nije valjana jednakost.

Kako provjeriti pripada li točka grafu funkcije

Razmotrimo funkciju " y \u003d x 2 −5x + 6"

Potrebno je utvrditi pripada li točka s koordinatama (1; 2) grafu ove funkcije.

Za ovaj zadatak nije potrebno crtati zadanu funkciju.

Zapamtiti!

Da bi se utvrdilo pripada li točka funkciji, dovoljno je u funkciju zamijeniti njezine koordinate (koordinata duž osi "Ox" umjesto "x" i koordinata duž osi "Oy" umjesto "y").

Ako ovo uspije istinska jednakost, pa točka pripada funkciji.

Vratimo se našem zadatku. Zamijenite u funkciji "y \u003d x 2 - 5x + 6" koordinate točke (1; 2).

Umjesto " x"Zamjenjujemo" 1". Umjesto " y"Zamjena" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (točno)

Dobili smo točnu jednakost, što znači da točka s koordinatama (1; 2) pripada zadanoj funkciji.

Sada provjerimo točku s koordinatama (0; 1) . Pripada li joj
funkcije "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

Umjesto "x", zamijenimo "0". Umjesto " y"Zamjena" 1».

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (pogrešno)

U ovom slučaju nismo dobili ispravnu jednakost. To znači da točka s koordinatama (0; 1) ne pripada funkciji " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Kako dobiti koordinate funkcijske točke

Iz bilo kojeg grafa funkcije možete uzeti koordinate točke. Zatim morate osigurati da se prilikom zamjene koordinata u formuli funkcije dobije točna jednakost.

Razmotrimo funkciju "y(x) = −2x + 1". Već smo izgradili njegov raspored u prethodnoj lekciji.

Pronađimo na grafu funkcije " y (x) \u003d -2x + 1", što je jednako " y" za x = 2.

Da biste to učinili, od vrijednosti " 2"Na osi" Ox", Nacrtajte okomicu na graf funkcije. Iz točke presjeka okomice i grafa funkcije nacrtajte drugu okomicu na os "Oy".

Rezultirajuća vrijednost " −3"Na osi" Oy"I bit će željena vrijednost" y».

Uvjerimo se da smo ispravno uzeli koordinate točke za x = 2
u funkciji "y(x) = −2x + 1".

Da bismo to učinili, zamjenjujemo x \u003d 2 u formulu funkcije "y (x) \u003d -2x + 1". Ako ispravno nacrtamo okomicu, također bismo trebali završiti s y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Prilikom računanja dobili smo i y = −3.

To znači da smo ispravno primili koordinate iz grafa funkcije.

Važno!

Obavezno provjerite sve koordinate točke iz grafa funkcije zamjenom vrijednosti "x" u funkciju.

Prilikom zamjene numeričke vrijednosti "x"u funkciju, rezultat bi trebao biti ista vrijednost" y", koju ste dobili na grafikonu.

Prilikom dobivanja koordinata točaka iz grafa funkcije velika je vjerojatnost da ćete pogriješiti, jer crtanje okomice na osi izvodi se "na oko".

Samo zamjena vrijednosti u formulu funkcije daje točne rezultate.