Kao što znate, pronalaženje integrala može biti prilično težak zadatak. Bilo bi veliko razočaranje uzeti u obzir izračunavanje nepravilnog integrala i na kraju puta pronaći da on odstupa. Stoga su zanimljive metode koje omogućuju da se izvede zaključak o konvergenciji ili divergenciji nepravilnog integrala bez ozbiljnih proračuna za jednu vrstu funkcije. Prvi i drugi teorem usporedbe, o kojima će biti riječi u nastavku, u velikoj mjeri pomažu u istraživanju nepravilnih integrala za konvergenciju.
Neka je f(x)?0. Zatim funkcije
monotono rastu s varijablama t ili -q (pošto uzimamo q > 0, -q teži nuli s lijeve strane). Ako, kako se argumenti povećavaju, funkcije F 1 (t) i F 2 (-d) ostaju ograničene odozgo, to znači da se odgovarajući nepravilni integrali konvergiraju. To je osnova prvog teorema usporedbe za integrale nenegativnih funkcija.
Neka su sljedeći uvjeti zadovoljeni za funkciju f(x) i g(x) na x?a:
- 1) 0?f(x)?g(x);
- 2) Funkcije f(x) i g(x) su neprekidne.
Tada konvergencija integrala implicira konvergenciju integrala, a divergencija integrala implicira divergenciju
Kako su 0?f(x)?g(x) i funkcije su neprekidne, onda
Po pretpostavci, integral konvergira, tj. ima konačnu vrijednost. Stoga i integral konvergira.
Sada neka se integral divergira. Pretpostavimo da integral konvergira, ali tada integral mora konvergirati, što je u suprotnosti s uvjetom. Naša pretpostavka je pogrešna, integral se razilazi.
Teorem usporedbe za nepravilne integrale 2. vrste.
Neka za funkcije f(x) i g(x) na intervalu , rastu neograničeno za x>+0. Za to, za x>+0, nejednakost<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.
Teorem usporedbe za nepravilne integrale prve vrste.
Neka integral divergira za funkcije f(x) i g(x) na intervalu.
To znači da i integral divergira na segmentu.
Dakle, ovaj integral divergira na cijelom segmentu [-1, 1]. Imajte na umu da ako bismo počeli računati ovaj integral, ne obraćajući pažnju na diskontinuitet integranda u točki x = 0, dobili bismo netočan rezultat. Stvarno,
, što je nemoguće.
Dakle, za proučavanje nepravilnog integrala diskontinuirane funkcije potrebno ga je "razbiti" na nekoliko integrala i istražiti ih.
Ako integrand ima diskontinuitet druge vrste na (konačnom) intervalu integracije, govori se o nepravilnom integralu druge vrste.
10.2.1 Definicija i osnovna svojstva
Označimo interval integracije $\left[ a, \, b \right ]$, a dolje se pretpostavlja da su oba ova broja konačna. Ako postoji samo 1 praznina, to može biti ili u točki $a$, ili u točki $b$, ili unutar intervala $(a,\,b)$. Razmotrimo prvo slučaj kada postoji diskontinuitet druge vrste u točki $a$, a integrand je kontinuiran u drugim točkama. Dakle, raspravljamo o integralu
\begin(jednadžba) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(jednadžba)
gdje je $f(x) \rightarrow \infty $ kada je $x \rightarrow a+0$. Kao i prije, prvo što treba učiniti je dati značenje ovom izrazu. Da biste to učinili, razmotrite integral
\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Definicija. Neka bude granica
\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Tada se kaže da nepravilni integral druge vrste (22) konvergira i pripisuje mu se vrijednost $A$, a za samu funkciju $f(x)$ kaže se da je integrabilna na intervalu $\left[ a, \ , b\desno]$.
Razmotrimo integral
\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]
Integrand $1/\sqrt(x)$ za $x \rightarrow +0$ ima beskonačnu granicu, pa u točki $x=0$ ima diskontinuitet druge vrste. Stavimo
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]
U ovom slučaju, antiderivat je poznat,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2 \]
za $\epsilon \rightarrow +0$. Dakle, izvorni integral je konvergentni nepravilni integral druge vrste i jednak je 2.
Razmotrimo varijantu kada postoji diskontinuitet druge vrste integranda na gornjoj granici intervala integracije. Ovaj se slučaj može svesti na prethodni promjenom varijable $x=-t$ i zatim preuređivanjem granica integracije.
Razmotrimo slučaj kada integrand ima diskontinuitet druge vrste unutar integracijskog intervala, u točki $c \in (a,\,b)$. U ovom slučaju, izvorni integral
\begin(jednadžba) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(jednadžba)
prikazano kao zbroj
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Definicija. Ako se oba integrala $I_1, \, I_2$ konvergiraju, tada se nepravilni integral (23) naziva konvergentnim i dodjeljuje mu se vrijednost jednaka zbroju integrala $I_1, \, I_2$, funkciji $f(x) $ se naziva integrabilnim na intervalu $\left [a, \, b\right]$. Ako je barem jedan od integrala $I_1,\, I_2$ divergentan, kaže se da je nepravilni integral (23) divergentan.
Konvergirajući nepravilni integrali 2. vrste imaju sva standardna svojstva običnih određenih integrala.
1. Ako su $f(x)$, $g(x)$ integrabilni na intervalu $\left[ a, \,b \right ]$, tada je njihov zbroj $f(x)+g(x)$ također integribilan na ovom intervalu, i \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Ako je $f(x)$ integrabilno na intervalu $\left[ a, \, b \right ]$, tada je za bilo koju konstantu $C$ funkcija $C\cdot f(x)$ također integrabilan na ovom intervalu , i \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Ako je $f(x)$ integrabilno na intervalu $\left[ a, \, b \right ]$ i $f(x)>0$ na ovom intervalu, tada je \[ \int _a^( b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Ako je $f(x)$ integrabilno na intervalu $\left[ a, \, b \right ]$, tada su za bilo koje $c\in (a, \,b)$ integrali \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] također konvergiraju, i \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (aditivnost integrala po intervalu).
Razmotrimo integral \begin(jednadžba) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(jednadžba) Ako je $k>0$, integrand teži $\infty$ kao $x \rightarrow +0$, pa je integral nepravilan druge vrste. Predstavljamo funkciju \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] U ovom slučaju antiderivat je poznat, tako da \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] za $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] za $k = 1$. Uzimajući u obzir ponašanje za $\epsilon \rightarrow +0$, zaključujemo da integral (20) konvergira za $k
10.2.2 Kriteriji za konvergenciju nepravilnih integrala 2. vrste
Teorem (prvi znak usporedbe). Neka su $f(x)$, $g(x)$ neprekidni za $x\in (a,\,b)$ i $0 1. Ako je integral \[ \int _a^(b)g(x) dx \] konvergira, tada konvergira i integral \[ \int _a^(b)f(x)dx. \] 2. Ako se integral \[ \int _a^(b)f(x)dx \] divergira, tada se divergira i integral \[ \int _a^(b)g(x)dx. \]
Teorem (drugi znak usporedbe). Neka su $f(x)$, $g(x)$ kontinuirani i pozitivni za $x\in (a,\,b)$ i neka postoji konačna granica
\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Zatim integrali
\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]
konvergiraju ili razilaze u isto vrijeme.
Razmotrimo integral
\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
Integrand je pozitivna funkcija na intervalu integracije, integrand teži $\infty$ kao $x \rightarrow +0$, tako da je naš integral nepravilan druge vrste. Nadalje, za $x \rightarrow +0$ imamo: ako je $g(x)=1/x$, tada
\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]
Primjenom drugog kriterija usporedbe dolazimo do zaključka da naš integral konvergira ili divergira istovremeno s integralom
\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]
Kao što je prikazano u prethodnom primjeru, ovaj integral divergira ($k=1$). Stoga se i izvorni integral divergira.
Izračunajte nepravilni integral ili ustanovite njegovu konvergenciju (divergenciju).
1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]
