Druga shema za opisivanje eksperimenata s dvosmisleno predviđenim ishodima, koja olakšava uvođenje kvantitativne karakteristike izvedivosti događaja, je shema geometrijskih vjerojatnosti, koja, kao i shema slučajeva razmatranih gore, iskorištava ideju jednaka mogućnost ishoda eksperimenta. Kao što je to učinjeno u shemi slučajeva, kvantitativna karakteristika izvedivosti događaja - njegova vjerojatnost - definira se kao vrijednost normalizirana na neki način, proporcionalna zalihi ishoda koji pogoduju provedbi događaja. Neka skup ishoda eksperimenta koji se proučava bude opisan kao skup P točaka nekog "geometrijskog kontinuuma" - svaki ishod odgovara određenoj točki i svaka točka odgovara određenom ishodu. "Geometrijski kontinuum" Q može biti segment na pravoj liniji, luk krivulje koja se može ispraviti na ravnini ili u prostoru, kvadratni skup na ravnini (trokut, pravokutnik, krug, elipsa itd.) ili dio kvadratna ploha, neki volumen u prostoru (poliedar - prizma, piramida, lopta, elipsoid itd.) Događaj je bilo koji kvadratni podskup skupa (dužina, površina, volumen) koji možemo izmjeriti. Uz pretpostavku jednake vjerojatnosti ishoda, nazovimo vjerojatnost događaja A brojem koji je proporcionalan mjeri podskupa A skupa P: geometrijske vjerojatnosti u ovom slučaju bit će između nule - vjerojatnosti nemogućeg događaja i jedan - vrijednosti vjerojatnost pouzdanog događaja4*. Uvjet normalizacije omogućuje vam da pronađete konstantu k - koeficijent proporcionalnosti koji određuje vjerojatnost. Ispada da je jednaka Dakle, u shemi geometrijskih vjerojatnosti, vjerojatnost bilo kojeg događaja definirana je kao omjer mjere podskupa A, koji opisuje događaj, i mjere skupa il, koji opisuje eksperiment kao cjelina: sadržana unutar drugog ne može biti veća od potonje. Kao iu shemi slučajeva, događaji u shemi geometrijskih vjerojatnosti mogu se kombinirati, kombinirati i graditi na njihovoj osnovi suprotnih – u ovom slučaju, općenito govoreći, dobit će se događaji drugačiji od izvornih događaja. Sljedeće svojstvo je vrlo važno. 3. Ako su događaji nespojivi, tada vrijedi posebno načelo komplementarnosti: Ovo svojstvo, koje se obično naziva pravilo zbrajanja vjerojatnosti, očito slijedi iz aditivnosti mjere5*. Zaključno, napominjemo da je vjerojatnost bilo kojeg ishoda u shemi geometrijskih vjerojatnosti uvijek jednaka nuli, kao i vjerojatnost bilo kojeg događaja opisanog „mršavim“ skupom točaka, t.j. skup, čija je mjera (odnosno - duljina, površina, volumen) jednaka nuli. Razmotrimo nekoliko primjera koji ilustriraju izračun vjerojatnosti u shemi geometrijskih vjerojatnosti. Primjer 1. Eksperiment se sastoji u nasumičnom odabiru točke iz segmenta [a, 6|. Pronađite vjerojatnost da odabrana točka leži u lijevoj polovici razmatranog segmenta. 4 Po definiciji, vjerojatnost odabira točke iz bilo kojeg skupa na segmentu je veća od nule, a njihov umnožak je negativan.
Odgovor: 0;25.
4.6. Tijekom borbene obuke, n-ta eskadrila bombardera dobila je zadatak da napadne "neprijateljsko" skladište nafte. Na području skladišta nafte, koje ima oblik pravokutnika sa stranicama od 30 i 50 m, nalaze se četiri okrugla spremnika za naftu promjera 10 m svaki. Nađite vjerojatnost izravnog pogotka naftnih spremnika bombom koja je pogodila teritorij skladišta nafte, ako bomba jednakom vjerojatnošću pogodi bilo koju točku ove baze.
Odgovor: π/15.
4.7. Dva realna broja x i y biraju se nasumce tako da zbroj njihovih kvadrata bude manji od 100. Kolika je vjerojatnost da je zbroj kvadrata tih brojeva veći od 64?
Odgovor: 0;36.
4.8. Dvojica prijatelja dogovorili su se da će se naći između 13:00 i 14:00 sati. Prva osoba koja stigne čeka drugu osobu 20 minuta, a zatim odlazi. Odredite vjerojatnost susreta s prijateljima ako su trenuci njihova dolaska u navedenom vremenskom intervalu jednako vjerojatni.
Odgovor: 5/9.
4.9. Na isti mol moraju doći dva parobroda. Vrijeme dolaska oba broda jednako je moguće tijekom zadanog dana. Odredite vjerojatnost da će jedan od parobroda morati čekati da se vez pusti ako prvi parobrod ostane jedan sat, a drugi dva sata.
Odgovor: ≈ 0;121.
4.10. Dva pozitivna broja x i y uzimaju se nasumično, od kojih svaki ne prelazi dva. Nađite vjerojatnost da je proizvod x y najviše jedan, a kvocijent y/x najviše dva.
Odgovor: ≈ 0;38.
4.11. U području G ograničenom elipsoidom 
, točka je nasumično fiksirana. Kolika je vjerojatnost da će koordinate (x; y; z) ove točke zadovoljiti nejednakost x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
Odgovor: 1/3.
4.12. Točka je bačena u pravokutnik s vrhovima R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Odrediti vjerojatnost da će njegove koordinate zadovoljiti nejednakosti 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Odgovor: 2/3.
4.13. Područje G ograničeno je kružnicom x 2 + y 2 = 25, a područje g omeđeno je ovom kružnicom i parabolom 16x - 3y 2 > 0. Nađite vjerojatnost pada u područje g.
Odgovor: ≈ 0;346.
4.14. Dva pozitivna broja x i y uzimaju se nasumično, od kojih svaki ne prelazi jedan. Nađite vjerojatnost da zbroj x + y ne prelazi 1, a umnožak x · y nije manji od 0,09.
Odgovor: ≈ 0;198.
Statistička definicija vjerojatnosti
Zadatak 2. Strijelac ispaljuje jedan hitac u metu. Procijenite vjerojatnost da će pogoditi metu.
Odluka. U ovom eksperimentu moguća su dva ishoda: ili je strijelac pogodio metu (događaj A), ili je propustio (događaj). Događaji A te su nespojive i čine cjelovitu skupinu. Međutim, u općem slučaju nije poznato jesu li jednako mogući ili ne. Stoga se u ovom slučaju ne može koristiti klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događaja. Problem možete riješiti pomoću statističke definicije vjerojatnosti slučajnog događaja.
Definicija 1.12. Relativna učestalost događaja A naziva se omjerom broja ispitivanja u kojima se događaj A na ukupan broj stvarno provedenih testova.
Dakle, relativna učestalost događaja A može se izračunati po formuli
gdje k– broj pojavljivanja događaja A, l je ukupan broj pokušaja.
Napomena 1.2. Glavna razlika u relativnoj učestalosti događaja A od njegove klasične vjerojatnosti leži u činjenici da se relativna frekvencija uvijek nalazi prema rezultatima ispitivanja. Za izračunavanje klasične vjerojatnosti nije potrebno postaviti eksperiment.
Dugoročna promatranja su pokazala da ako se niz eksperimenata provede pod identičnim uvjetima, u svakom od kojih je broj testova dovoljno velik, tada relativna učestalost otkriva svojstvo stabilnosti. Ovo svojstvo sastoji se u činjenici da je u različitim serijama eksperimenata relativna frekvencija W( A) se malo mijenja (što manje, to se više testova provodi), fluktuirajući oko određenog konstantnog broja.
Kao statistička vjerojatnost događaja uzeti relativnu frekvenciju ili joj blizak broj.
Vratimo se na problem 2 o izračunavanju vjerojatnosti događaja A(strijelac će pogoditi metu). Da bi se to riješilo, potrebno je provesti nekoliko serija dovoljno velikog broja hitaca u metu u istim uvjetima. To će vam omogućiti da izračunate relativnu učestalost i procijenite vjerojatnost događaja A.
Nedostatak statističke definicije je dvosmislenost statističke vjerojatnosti. Na primjer, ako W( A)»0,4, zatim kao vjerojatnost događaja A možete uzeti 0,4, 0,39 i 0,41.
Napomena 1.3. Statistička definicija vjerojatnosti nadilazi drugi nedostatak klasične definicije vjerojatnosti.
Neka u avionu budu figure G i g, i gÌ G(slika 1.1).
|
Napomena 1.4. U slučaju kada g i G- ravni segmenti, vjerojatnost događaja A jednak je omjeru duljina ovih odsječaka. Ako je a g i G su tijela u trodimenzionalnom prostoru, onda vjerojatnost događaja A nalazi se kao omjer volumena ovih tijela. Stoga, u općem slučaju gdje mes je metrika prostora koji se razmatra. Napomena 1.5. Geometrijska definicija vjerojatnosti primjenjuje se na pokuse s beskonačnim brojem ishoda. Primjer 1.13. Dvije osobe su se dogovorile da se nađu na određenom mjestu između 12 i 13 sati, a svaka osoba koja je došla na sastanak čeka drugu 20 minuta, ali ne duže od 13 sati, nakon čega odlazi. Nađite vjerojatnost susreta s tim osobama ako svaka od njih dođe u slučajnom trenutku, koji nije usklađen s trenutkom dolaska druge osobe. Odluka. Neka događaj A- sastanak je održan. Označiti sa x- vrijeme dolaska prve osobe na sastanak, y- vrijeme dolaska druge osobe. Tada je skup svih mogućih ishoda iskustva skup svih parova ( x, y), gdje x, y O . A skup povoljnih ishoda određen je nejednakošću |x – y| £20 (min). Oba ova skupa su beskonačna, pa se klasična definicija za izračunavanje vjerojatnosti ne može primijeniti. Poslužimo se geometrijskom definicijom. Na sl. 1.2 prikazuje skupove svih mogućih ishoda (kvadrat OKMT) i povoljni ishodi (šesterokut OSLMNR). Koristeći definiciju 1.13, dobivamo Zbroj i proizvod događaja. Teoremi o vjerojatnosti zbroja i umnoška događaja Definicija 1.14.Zbroj događaja A i B imenovati događaj koji se sastoji u pojavi barem jednog od njih. Oznaka: A + B. Definicija 1.15.Proizvod događaja A i B nazovite događaj koji se sastoji u istovremenom javljanju tih događaja u istom iskustvu. Oznaka: AB. Primjer 1.14. Iz špila od 36 karata izvlači se jedna karta nasumce. Uvedemo oznaku: A- ispala je izvučena karta dama, B- izvadili su kartu pikova. Pronađite vjerojatnosti događaja A + B i AB. Odluka. Događaj A + B događa se ako je izvučena karta pikova ili dama. To znači da događaju koji se razmatra favorizira 13 ishoda (bilo koji od 9 pikovih karata, bilo koja od 3 dame druge boje) od 36 mogućih. Koristeći klasičnu definiciju vjerojatnosti slučajnog događaja, dobivamo Događaj AB javlja se ako je izvučena karta pikova i dama. Stoga je događaj AB favorizira samo jedan ishod iskustva (Pikova dama) od 36 mogućih. Uzimajući u obzir definiciju 1.11, dobivamo Napomena 1.6. Definicije zbroja i proizvoda događaja mogu se proširiti na bilo koji broj događaja. Prilikom izračunavanja vjerojatnosti zbroja i umnoška događaja zgodno je koristiti sljedeće tvrdnje. Teorem 1.1. Vjerojatnost pojave jednog od dva nespojiva događaja, bez obzira koji, jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja P( A+B)=P( A)+P( B). Korolar 1.1. Vjerojatnost pojave jednog od nekoliko događaja nespojivih u paru, bez obzira koji, jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja P( A 1 +A 2 +…+A n)=P( A 1)+P( A 2)+…+P( A n). Korolar 1.2. Zbroj vjerojatnosti događaja koji nisu spojeni u parovima A 1 , A 2 ,…, A n, tvoreći potpunu grupu, jednako je jedan P( A 1)+P( A 2)+…+P( A n)=1. Korolar 1.3. Vjerojatnost suprotnog događaja Slučajni događaj definiran je kao događaj koji se, kao rezultat iskustva, može, ali i ne mora dogoditi. Ako se prilikom izračunavanja vjerojatnosti događaja ne nameću nikakva druga ograničenja (osim eksperimentalnih uvjeta), tada se takva vjerojatnost naziva bezuvjetnom. Ako se nametnu drugi dodatni uvjeti, tada se vjerojatnost događaja naziva uvjetnom. Definicija 1.16.Uvjetna vjerojatnost P B(A) (ili P( A|B)) naziva se vjerojatnost događaja A, izračunato pod pretpostavkom da je događaj B već se dogodilo. Koristeći koncept uvjetne vjerojatnosti, dajemo definiciju neovisnosti događaja koja se razlikuje od ranije dane. Definicija 1.17. Događaj A je neovisan o događaju B ako je jednakost U praktičnim pitanjima, da bi se utvrdila neovisnost ovih događaja, rijetko se okreće provjeravanju ispunjenja jednakosti (1.3) i (1.4) za njih. Obično za to koriste intuitivna razmatranja temeljena na iskustvu. Definicija 1.18. Poziva se nekoliko događaja neovisno u paru ako su svaka dva od njih neovisna. Definicija 1.19. Poziva se nekoliko događaja kolektivno neovisni ako su po parovima neovisni i svaki događaj i svi mogući proizvodi ostalih neovisni. Teorem 1.2. Vjerojatnost zajedničkog nastupa dvaju događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog, izračunatom pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio. Ovisno o izboru slijeda događaja, Teorem 1.2 može se zapisati kao P( AB) = P( A)P A(B) P( AB) = P( B)P B(A). Korolar 1.4. Vjerojatnost zajedničkog nastupa više događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnim vjerojatnostima svih ostalih, a vjerojatnost svakog sljedećeg događaja izračunava se uz pretpostavku da su se svi prethodni događaji već pojavili U ovom slučaju, redoslijed u kojem se događaji nalaze može se odabrati bilo kojim redoslijedom. Primjer 1.15. Urna sadrži 6 bijelih i 3 crne kuglice. Jedna kuglica se nasumce izvlači iz urne dok se ne pojavi crna. Nađite vjerojatnost da će se morati provesti četvrto vađenje ako se kuglice ne vrate u urnu. Odluka. U pokusu koji se razmatra potrebno je provesti četvrto uklanjanje ako se prve tri kuglice pokažu bijele. Označiti sa A i događaj koji i-to izvlačenje bijele kuglice pojavit će se ( i= 1, 2, 3). Problem je pronaći vjerojatnost događaja A 1 A 2 A 3 . Budući da se izvučene lopte ne vraćaju natrag, događaji A 1 , A 2 i A 3 su ovisni (svaki prethodni utječe na mogućnost sljedećeg). Da bismo izračunali vjerojatnost, koristimo Corollary 1.4 i klasičnu definiciju vjerojatnosti slučajnog događaja, tj. Korolar 1.5. Vjerojatnost zajedničkog nastupa dvaju neovisnih događaja jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti P( AB)=P( A)P( B). Korolar 1.6. Vjerojatnost zajedničkog nastupa više događaja koji su u zbroju neovisni jednaka je umnošku njihovih vjerojatnosti P( A 1 A 2 …A n)=P( A 1)P( A 2)…P( A n). Primjer 1.16. Riješite problem iz primjera 1.15, uz pretpostavku da se nakon svakog vađenja kuglice vraćaju natrag u urnu. Odluka. Kao i prije (Primjer 1.15), moramo pronaći P( A 1 A 2 A 3). Međutim, događaji A 1 , A 2 i A 3 su neovisne u zbiru, budući da sastav urne je isti za svako vađenje i stoga rezultat jednog testa ne utječe na ostale. Stoga, za izračunavanje vjerojatnosti, koristimo korolar 1.6 i definiciju 1.11 vjerojatnosti slučajnog događaja, tj. P( A 1 A 2 A 3)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)= = . Teorem 1.3. Vjerojatnost pojave barem jednog od dva zajednička događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihovog zajedničkog nastupa
Napomena 1.7. Pri korištenju formule (1.5) treba imati na umu da događaji A i B mogu biti ovisni ili neovisni. Primjer 1.17. Dva strijelca su ispalila po jedan hitac u metu. Poznato je da je vjerojatnost pogađanja mete za jednog od strijelaca 0,6, a za drugoga - 0,7. Pronađite vjerojatnost da a) oba strijelca su pogodila metu (događaj D); b) samo će jedan od strijelaca pogoditi metu (događaj E); c) barem će jedan od strijelaca pogoditi metu (događaj F). Odluka. Uvedemo oznaku: A- prvi strijelac je pogodio metu, B Drugi strijelac je pogodio metu. Po uvjetu P( A) = 0,6 i P( B) = 0,7. Odgovorit ćemo na pitanja. a) Događaj D dogodit će se ako se dogodi neki događaj AB. Jer događaji A i B su neovisni, onda, uzimajući u obzir korolar 1.5, dobivamo P( D) = P( AB) = P( A)P( B) = 0,6×0,7 = 0,42. b) Događaj E događa ako se dogodi jedan od događaja A ili B. Ovi događaji su nespojivi, a događaji A() i B() su neovisni, dakle, prema teoremu 1.1, posljedicama 1.3 i 1.5, imamo P( E) = P( A+ B) = P( A) + P( B) = P( A)P() + P()P( B) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. c) Događaj F dogodit će se ako se dogodi barem jedan od događaja A ili B. Ovi događaji se dijele. Stoga, prema teoremu 1.3, imamo P( F) = P( A+B) = P( A) + P( B) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Imajte na umu da je vjerojatnost događaja F moglo se drugačije izračunati. Naime P( F) = P( A+ B + AB) = P( A) + P( B) + P( AB) = 0,88 P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0,4×0,3 = 0,88. Formula ukupne vjerojatnosti. Bayesove formule Neka događaj A može se dogoditi ako se dogodi jedan od nespojivih događaja B 1 , B 2 ,…, B n, čineći kompletnu grupu. Budući da se unaprijed ne zna koji će se od ovih događaja dogoditi, oni se nazivaju hipoteze. Procijenite vjerojatnost da će se događaj dogoditi A prije eksperimenta, možete koristiti sljedeću izjavu. Teorem 1.4. Vjerojatnost događaja A, što se može dogoditi samo ako se dogodi jedan od nespojivih događaja B 1 , B 2 ,…, B n, tvoreći kompletnu grupu, jednako je
Formula (1.6) se zove formule ukupne vjerojatnosti. Primjer 1.18. Za polaganje ispita studenti su morali pripremiti 30 pitanja. Od 25 učenika, 10 je pripremilo sva pitanja, 8 - 25 pitanja, 5 - 20 pitanja i 2 - 15 pitanja. Pronađite vjerojatnost da će slučajno odabrani učenik odgovoriti na zadano pitanje. Odluka. Uvedemo sljedeću notaciju: A- događaj koji se sastoji u činjenici da je nasumično pozvani učenik odgovorio na postavljeno pitanje, B 1 - nasumično pozvani učenik zna odgovore na sva pitanja, B 2 - nasumično pozvani učenik zna odgovore na 25 pitanja, B 3 - nasumično pozvani učenik zna odgovore na 20 pitanja i B 4 - nasumično pozvani učenik zna odgovore na 15 pitanja. Imajte na umu da događaji B 1 ,B 2 ,B 3 i B 4 su nespojive, čine kompletnu grupu i događaj A može se dogoditi ako se dogodi jedan od ovih događaja. Stoga, za izračunavanje vjerojatnosti događaja A možemo koristiti formulu ukupne vjerojatnosti (1.6): Prema uvjetu zadatka poznate su vjerojatnosti hipoteza P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) = i uvjetne vjerojatnosti (vjerojatnosti da učenici svake od četiri grupe odgovore na pitanje) 1, = , = , = . Tako, P( A) = ×1 + × + × + × = . Pretpostavimo da je izvršeno ispitivanje uslijed kojeg se dogodio događaj A, i koji od događaja B i (i =1, 2,…, n) dogodio nije poznat istraživaču. Za procjenu vjerojatnosti hipoteza nakon što rezultat testa postane poznat, možete koristiti Bayesove formule
Ovdje P( A) izračunava se formulom ukupne vjerojatnosti (1.6). Primjer 1.19. U određenoj tvornici stroj I proizvodi 40% ukupne proizvodnje, a stroj II proizvodi 60%. U prosjeku, 9 od 1000 jedinica proizvedenih u stroju I je neispravno, a stroj II ima 4 od 500 neispravnih jedinica. Kolika je vjerojatnost da ga je proizveo stroj II? Odluka. Uvedemo oznaku: A- događaj koji se sastoji u činjenici da se jedinica proizvodnje, nasumično odabrana iz dnevne proizvodnje, pokazala kao nedostatak, B i- jedinicu proizvodnje, nasumično odabranu, izrađuje stroj i(i= I, II). Događaji B 1 i B 2 su nespojive i čine kompletnu grupu i događaj A može nastati samo kao posljedica nastanka jednog od ovih događaja. Poznato je da je događaj A dogodilo (ispostavilo se da je nasumično odabrana jedinica proizvodnje kvar). Koji od događaja B 1 ili B 2 u isto vrijeme, nepoznato je, jer nije poznato na kojem je od dva stroja izrađen odabrani predmet. Procjena vjerojatnosti hipoteze B 2 može se izvesti korištenjem Bayesove formule (1.7): gdje se vjerojatnost slučajnog odabira neispravnog proizvoda izračunava formulom ukupne vjerojatnosti (1.6): S obzirom na to, prema stanju problema P( B 1) = 0,40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Slijed neovisnih ispitivanja U znanstvenim i praktičnim aktivnostima stalno je potrebno provoditi ponovljena ispitivanja u sličnim uvjetima. Rezultati prethodnih ispitivanja u pravilu ne utječu na sljedeća. Najjednostavniji tip takvih testova je vrlo važan, kada u svakom od testova neki događaj A mogu se pojaviti s istom vjerojatnošću, a ta vjerojatnost ostaje ista, bez obzira na rezultate prethodnih ili naknadnih testova. Ovu vrstu testa prvi je istražio Jacob Bernoulli i stoga se zove Bernoullijeve sheme. Bernoullijeva shema. Neka se proizvodi n neovisna ispitivanja u sličnim uvjetima (ili se provodi isti eksperiment n puta), u svakom od kojih je događaj A može se pojaviti ili ne mora. U ovom slučaju, vjerojatnost nastanka događaja A u svakom pokusu je isti i jednak str. Dakle, vjerojatnost nepostojanja događaja A u svakom pojedinom testu također je konstantan i jednak q= 1 - str. Vjerojatnost da pod tim uvjetima neki događaj A točno će se ostvariti k puta (i stoga se neće realizirati n – k puta) može se pronaći po Bernoullijeva formula
U ovom slučaju, redoslijed nastanka događaja A u naznačenom n testovi mogu biti proizvoljni. Primjer 1.20. Vjerojatnost da će kupac zahtijevati cipele veličine 41 je 0,2. Pronađite vjerojatnost da će od prvih 5 kupaca cipele ove veličine biti potrebne: a) jedna; b) najmanje jedan; c) najmanje tri; d) više od jedan i manje od četiri. Odluka. U ovom se primjeru isto iskustvo (odabir cipela) izvodi 5 puta, a vjerojatnost događaja je A- biraju se cipele 41. veličine - konstantna je i jednaka 0,2. Osim toga, rezultat svakog pojedinog testa ne utječe na druge pokuse, jer. kupci biraju cipele neovisno jedan o drugom. Stoga imamo slijed ispitivanja provedenih prema Bernoullijevoj shemi, u kojoj n = 5, str = 0,2, q= 0,8. Za odgovor na postavljena pitanja potrebno je izračunati vjerojatnosti P 5 ( k). Koristimo formulu (1.8). a) P 5 (1) = = 0,4096; b) P 5 ( k³ 1) = 1 - P 5 ( k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; c) P 5 ( k³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0,5792; d) P 5 (1< k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. Korištenje Bernoullijeve formule (1.32) za velike vrijednosti n i m uzrokuje velike poteškoće, jer to uključuje glomazne izračune. Dakle, kod n = 200, m = 116, p = 0,72, Bernoullijeva formula ima oblik P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Gotovo je nemoguće izračunati rezultat. Proračun P n (m) također uzrokuje poteškoće za male vrijednosti p (q). Potrebno je pronaći približne formule za izračun P n (m), osiguravajući potrebnu točnost. Takve formule daju nam granične teoreme; sadrže takozvane asimptotske formule, koje za velike testne vrijednosti daju proizvoljno malu relativnu pogrešku. Razmotrimo tri granična teorema koji sadrže asimptotske formule za izračunavanje binomne vjerojatnosti P n (m) kao n. Teorem 1.5. Ako se broj pokušaja neograničeno povećava (n) i vjerojatnost p pojave događaja A u svakom pokusu neograničeno smanjuje (p), ali na način da je njihov umnožak pr konstantna vrijednost (pr = a = const) , tada vjerojatnost P n (m) zadovoljava graničnu jednakost Izraz (1.9) naziva se asimptotska Poissonova formula. Iz granične jednakosti (1.9) za veliki n i mali p slijedi približna Poissonova formula Formula (1.10) se koristi kada je vjerojatnost p = const uspjeha iznimno mala, tj. sam uspjeh (pojava događaja A) je rijedak događaj (na primjer, dobitak automobila s srećkom), ali broj pokušaja n je velik, prosječan broj uspjeha pr = a neznatno. Približna formula (1.10) se obično koristi kada je n 50, a pr 10. Poissonova formula nalazi primjenu u teoriji čekanja. Slijed događaja je slijed događaja koji se dešavaju u nasumično vrijeme (na primjer, tok posjetitelja u frizerskom salonu, tok poziva na telefonskoj centrali, tok kvarova elemenata, tok usluženih pretplatnika itd.). Tijek događaja, koji ima svojstva stacionarnosti, običnosti i odsutnosti posljedica, naziva se najjednostavniji (Poissonov) tok. Svojstvo stacionarnosti znači da vjerojatnost pojave k događaja u vremenskom intervalu duljine ovisi samo o njegovoj duljini (tj. ne ovisi o njegovom ishodištu). Posljedično, prosječan broj događaja koji se pojavljuju u jedinici vremena, tzv. intenzitet protoka, je stalna vrijednost: ( t) = . Svojstvo običnih znači da se događaj ne pojavljuje u skupinama, već jedan po jedan. Drugim riječima, vjerojatnost pojave više od jednog događaja za mali vremenski period t je zanemarivo mala u usporedbi s vjerojatnošću pojave samo jednog događaja (primjerice, tok čamaca koji se približava molu je običan). Svojstvo odsutnosti posljedice znači da vjerojatnost pojave k događaja u bilo kojem vremenskom intervalu duljine ne ovisi o tome koliko se događaja pojavilo na bilo kojem drugom segmentu koji se s njim ne siječe (kažu: "budućnost" protok ne ovisi o "prošlosti", na primjer, protok ljudi, uključenih u supermarket). Može se dokazati da je vjerojatnost pojave m događaja najjednostavnijeg toka u vremenu trajanja t određena Poissonovom formulom. Koristite Bernoullijevu formulu za velike vrijednosti n dovoljno teško, jer u ovom slučaju, potrebno je izvršiti operacije na ogromnim brojevima. Izračuni se mogu pojednostaviti korištenjem faktorskih tablica ili pomoću tehničkih sredstava (kalkulator, računalo). Ali u ovom slučaju greške se nakupljaju u procesu izračuna. Stoga se konačni rezultat može značajno razlikovati od pravog. Postoji potreba za prijavom približan (asimptotski) formule. Napomena 1.8. Funkcija g(x) se zovu asimptotska aproksimacija funkcije f(x), ako. Teorem 1.6. (Lokalni Moivre-Laplaceov teorem) Ako je vjerojatnost str pojava događaja A u svakom pokusu je konstantan i različit od 0 i 1, a broj neovisnih pokušaja je dovoljno velik, tada je vjerojatnost da će događaj A pojavit će se u n ispitivanja provedena prema Bernoullijevoj shemi, točno k puta, približno jednako (što je točnije, to više n) Grafikon funkcije ima oblik prikazan na sl. 1.3. Treba uzeti u obzir da: a) funkcija φ(x) je parna, tj. φ(-x) = φ(x); Za funkciju j(x) sastavljaju se tablice vrijednosti za x³ 0. Za x< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(x) je paran. Teorem 1.7. (Moivre-Laplaceov integralni teorem) Ako je vjerojatnost str događaj A u svakom pokusu je konstantna i različita od 0 i 1, tada je vjerojatnost P n(k 1 , k 2) da je događaj A pojavit će se u n ispitivanja provedena prema Bernoullijevoj shemi, od k 1 do k 2 puta, približno jednako Ovdje z 1 i z 2 definirani su u (1.14). Primjer 1.21. Klijavost sjemena procjenjuje se s vjerojatnošću od 0,85. Nađite vjerojatnost da će od 500 posijanih sjemenki niknuti: a) 425 sjemenki; b) od 425 do 450 sjemenki. Odluka. Ovdje, kao iu prethodnom primjeru, postoji niz neovisnih testova koji se provode prema Bernoullijevoj shemi (pokus - sadnja jednog sjemena, događaj A- proklijalo je sjeme n = 500, str = 0,85, q= 0,15. Budući da je broj pokusa velik ( n> 100), koristimo asimptotske formule (1.10) i (1.13) za izračunavanje traženih vjerojatnosti. b) »F(3,13)–F(0)»0,49. Ako je broj pokusa n, provedena prema Bernoullijevoj shemi, velika je, a vjerojatnost str pojava događaja A u svakom od njih je mali ( str£ 0,1), tada je Laplaceova asimptotska formula neprikladna. U ovom slučaju koristite asimptotska Poissonova formula
gdje je l = np. Primjer 1.22. Trgovina je dobila 1000 boca mineralne vode. Vjerojatnost da će se boca razbiti tijekom transporta je 0,003. Nađite vjerojatnost da će trgovina primiti razbijene boce: a) točno 2; b) manje od 2; c) najmanje jedan. Odluka. U ovom problemu postoji niz neovisnih testova koji se provode prema Bernoullijevoj shemi (eksperiment - provjera integriteta jedne boce, događaj A- boca je razbijena n = 1000, str = 0,003, q= 0,997. Jer broj pokusa je velik ( n> 100), i vjerojatnost str mali ( str < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l=3. a) = 4,5 e-3 » 0,224; b) P 1000 ( k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0,199; c) P 1000 ( k³ 1) = 1 - P 1000 ( k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0,95. Lokalni i integralni Moivre–Laplaceovi teoremi posljedica su općenitijeg središnji granični teorem. Mnoge kontinuirane slučajne varijable imaju normalan distribucija. Ova okolnost uvelike je određena činjenicom da zbrajanje velikog broja slučajnih varijabli s vrlo različitim zakonima raspodjele dovodi do normalne raspodjele tog zbroja. Teorema . Ako je slučajna varijabla zbroj vrlo velikog broja međusobno neovisnih slučajnih varijabli, od kojih je utjecaj svake od njih zanemariv na cijeli zbroj, tada ima distribuciju blisku normalnoj . Središnji granični teorem od velike je praktične važnosti. Pretpostavimo da je određen neki ekonomski pokazatelj, na primjer, potrošnja električne energije u gradu za godinu. Vrijednost ukupne potrošnje je zbroj potrošnje energije pojedinih potrošača, koji ima slučajne vrijednosti s različitim distribucijama. Teorem kaže da će u ovom slučaju, bez obzira na raspodjelu pojedinačnih komponenti, raspodjela rezultirajuće potrošnje biti blizu normalne. |
