Kao što sam već primijetio, u integralnom računu ne postoji prikladna formula za integraciju razlomka. I stoga, postoji tužan trend: što je razlomak "fantastičniji", to je teže iz njega pronaći integral. S tim u vezi, treba pribjeći raznim trikovima, o kojima ću sada govoriti. Pripremljeni čitatelji mogu odmah koristiti sadržaj:
- Metoda podvođenja pod znak diferencijala za jednostavne razlomke
Metoda umjetne transformacije numeratora
Primjer 1
Inače, razmatrani integral se također može riješiti promjenom metode varijable, označavajući , ali će rješenje biti puno duže.
Primjer 2
Pronađite neodređeni integral. Provjeri.
Ovo je "uradi sam" primjer. Treba napomenuti da ovdje metoda zamjene varijable više neće raditi.
Važna pažnja! Primjeri br. 1, 2 su tipični i uobičajeni. Konkretno, takvi integrali često nastaju tijekom rješavanja drugih integrala, posebice pri integraciji iracionalnih funkcija (korijena).
Gornja metoda također radi u slučaju ako je najveća snaga brojnika veća od najveće snage nazivnika.
Primjer 3
Pronađite neodređeni integral. Provjeri.
Počnimo s brojnikom.
Algoritam odabira brojača je otprilike ovako:
1) U brojniku moram organizirati , ali tamo . Što uraditi? Stavljam u zagrade i množim sa: .
2) Sada pokušavam otvoriti ove zagrade, što se događa? . Hmm... već bolje, ali nema dvojke s inicijalno u brojniku. Što uraditi? Trebate pomnožiti sa:
3) Ponovno otvaranje zagrada: . I evo prvog uspjeha! Ispostavilo se potrebno! No, problem je što se pojavio dodatni termin. Što uraditi? Da se izraz ne bi promijenio, moram ga dodati svojoj konstrukciji: 
. Život je postao lakši. Je li moguće ponovno organizirati u brojniku?
4) Možete. Pokušavamo: 
. Proširi zagrade drugog pojma: 
. Žao mi je, ali zapravo sam imao u prethodnom koraku, a ne . Što uraditi? Drugi član moramo pomnožiti sa: 
5) Opet, radi provjere, otvaram zagrade u drugom terminu: 
. Sada je normalno: dobiveno iz završne konstrukcije stavka 3! Ali opet postoji mali "ali", pojavio se dodatni izraz, što znači da moram dodati svom izrazu: 
Ako je sve učinjeno ispravno, tada bi prilikom otvaranja svih zagrada trebali dobiti izvorni brojnik integranda. Provjeravamo:
Dobro.
Tako: 
Spreman. U prošlom mandatu primijenio sam metodu podvođenja funkcije pod diferencijal.
Ako pronađemo derivaciju odgovora i dovedemo izraz do zajedničkog nazivnika, tada ćemo dobiti točno izvorni integrand. Razmatrana metoda proširenja u zbroj nije ništa drugo nego obrnuta radnja da se izraz dovede do zajedničkog nazivnika.
Algoritam odabira brojnika u takvim se primjerima najbolje izvodi na nacrtu. Uz neke vještine, funkcionirat će i mentalno. Sjećam se rekordnog vremena kada sam radio selekciju za 11. potenciju, a proširenje brojila je trajalo gotovo dva retka Werda.
Primjer 4
Pronađite neodređeni integral. Provjeri.
Ovo je "uradi sam" primjer.
Metoda podvođenja pod znak diferencijala za jednostavne razlomke
Prijeđimo na sljedeću vrstu razlomaka.
, , , (koeficijenti i nisu jednaki nuli).
Zapravo, nekoliko slučajeva s arksinusom i arktangensom već je promaknulo u lekciji Metoda promjene varijable u neodređenom integralu. Takvi primjeri rješavaju se tako da se funkcija dovede pod predznak diferencijala, a zatim se integrira pomoću tablice. Evo još nekoliko tipičnih primjera s dugim i visokim logaritmom:
Primjer 5
Primjer 6
Ovdje je preporučljivo pokupiti tablicu integrala i slijediti koje formule i kao dolazi do transformacije. Bilješka, kako i zašto kvadrati su istaknuti u ovim primjerima. Konkretno, u primjeru 6 najprije trebamo nazivnik predstaviti kao 
, zatim podvesti pod znak diferencijala. A sve to morate učiniti kako biste koristili standardnu tabličnu formulu 
.
Ali što gledati, pokušajte sami riješiti primjere br. 7,8, pogotovo jer su prilično kratki:
Primjer 7
Primjer 8
Pronađite neodređeni integral:
Ako možete provjeriti i ove primjere, onda veliko poštovanje predstavlja vaše najbolje vještine razlikovanja.
Metoda odabira punog kvadrata
Integrali oblika, 
(koeficijenti i nisu jednaki nuli) su riješeni metoda odabira punog kvadrata, koji se već pojavio u lekciji Geometrijske transformacije parcele.
Zapravo, takvi se integrali svode na jedan od četiri integrala tablice koje smo upravo razmotrili. A to se postiže pomoću poznatih skraćenih formula za množenje:
Formule se primjenjuju u ovom smjeru, odnosno ideja metode je umjetno organizirati izraze u nazivniku ili , a zatim ih pretvoriti, odnosno, u ili .
Primjer 9
Pronađite neodređeni integral
Ovo je najjednostavniji primjer gdje uz pojam – jedinični koeficijent(a ne neki broj ili minus).
Gledamo nazivnik, ovdje je cijela stvar jasno svedena na slučaj. Počnimo pretvarati nazivnik:
Očito, trebate dodati 4. I tako da se izraz ne promijeni - ista četiri i oduzmite:
Sada možete primijeniti formulu:
Nakon što je konverzija završena STALNO poželjno je izvesti obrnuti potez: sve je u redu, nema grešaka.
Čisti dizajn dotičnog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako: 
Spreman. Dovođenje "slobodne" kompleksne funkcije pod diferencijalni predznak: , u principu, moglo bi se zanemariti
Primjer 10
Pronađite neodređeni integral:
Ovo je primjer za samostalno rješavanje, odgovor je na kraju lekcije.
Primjer 11
Pronađite neodređeni integral:
Što učiniti kada je ispred minus? U ovom slučaju, trebate izvaditi minus iz zagrada i rasporediti pojmove onim redoslijedom koji nam je potreban:. Konstantno("dvostruko" u ovom slučaju) Ne dirajte!
Sada dodajemo jedan u zagrade. Analizirajući izraz, dolazimo do zaključka da nam treba jedan iza zagrade - dodaj:
Evo formule, primijeniti:
STALNO vršimo provjeru nacrta:
, što je trebalo provjeriti.
Čisti dizajn primjera izgleda otprilike ovako: 
Kompliciramo zadatak
Primjer 12
Pronađite neodređeni integral: 
Ovdje, s pojmom, to više nije jedan koeficijent, već "pet".
(1) Ako se nađe konstanta na, tada je odmah vadimo iz zagrada.
(2) Općenito, uvijek je bolje ovu konstantu izvaditi iz integrala, kako ne bi smetala.
(3) Očito je da će se sve svesti na formulu . Potrebno je razumjeti pojam, naime, dobiti "dvojku"
(4) Da,. Dakle, zbrajamo izrazu i oduzimamo isti razlomak.
(5) Sada odaberite cijeli kvadrat. U općem slučaju također je potrebno izračunati , ali ovdje imamo dugu formulu logaritma 
, a radnju nema smisla izvoditi, zašto - postat će jasno malo niže.
(6) Zapravo, možemo primijeniti formulu 
, samo umjesto "x" imamo, što ne negira valjanost tabličnog integrala. Strogo govoreći, jedan korak nedostaje - prije integracije, funkcija je trebala biti dovedena pod diferencijalni predznak: 
, ali, kao što sam više puta primijetio, to se često zanemaruje.
(7) U odgovoru ispod korijena poželjno je otvoriti sve zagrade unatrag:
Komplicirano? To nije najteže u integralnom računu. Iako, razmatrani primjeri nisu toliko komplicirani koliko zahtijevaju dobru tehniku izračuna.
Primjer 13
Pronađite neodređeni integral:
Ovo je "uradi sam" primjer. Odgovor na kraju lekcije.
Postoje integrali s korijenima u nazivniku, koji se uz pomoć zamjene svode na integrale razmatranog tipa, o njima možete pročitati u članku Složeni integrali, ali je namijenjena visoko pripremljenim studentima.
Dovođenje brojnika pod znak diferencijala
Ovo je završni dio lekcije, međutim, integrali ovog tipa su prilično česti! Ako se umor nakupio, možda je bolje sutra čitati? ;)
Integrali koje ćemo razmatrati slični su integralima iz prethodnog stavka, imaju oblik: ili 
(koeficijenti , i nisu jednaki nuli).
To jest, imamo linearnu funkciju u brojniku. Kako riješiti takve integrale?
Razlomak se zove ispravan ako je najveći stepen brojnika manji od najvećeg stepena nazivnika. Integral pravilnog racionalnog razlomka ima oblik:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Formula za integraciju racionalnih razlomaka ovisi o korijenima polinoma u nazivniku. Ako polinom $ ax^2+bx+c $ ima:
- Samo složeni korijeni, tada je potrebno iz njega odabrati cijeli kvadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
- Različiti realni korijeni $ x_1 $ i $ x_2 $, tada trebate proširiti integral i pronaći neodređene koeficijente $ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Jedan višestruki korijen $ x_1 $, zatim proširimo integral i pronađemo neodređene koeficijente $ A $ i $ B $ za ovu formulu: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Ako je razlomak krivo, to jest, najviši stupanj u brojniku je veći ili jednak najvišem stupnju nazivnika, tada se prvo mora svesti na ispravan umu dijeljenjem polinoma od brojnika s polinomom od nazivnika. U ovom slučaju, formula za integraciju racionalnog razlomka je:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Primjeri rješenja
| Primjer 1 |
| Pronađite integral racionalnog razlomka: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Odluka |
|
Razlomak je pravilan i polinom ima samo kompleksne korijene. Stoga odabiremo cijeli kvadrat: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Sažimamo puni kvadrat i zbrajamo pod znakom diferencijala $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Koristeći tablicu integrala, dobivamo: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom izračuna i prikupiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete kredit od učitelja! |
| Odgovor |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| Primjer 2 |
| Integrirajte racionalne razlomke: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Odluka |
|
Riješite kvadratnu jednadžbu: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Zapišimo korijene: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Uzimajući u obzir dobivene korijene, transformiramo integral: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Provodimo proširenje racionalnog razlomka: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Izjednačite brojnike i pronađite koeficijente $ A $ i $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(slučajevi) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(slučajevi) $$ $$ \begin(slučajevi) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(slučajevi) $$ Pronađene koeficijente zamjenjujemo u integral i rješavamo: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Odgovor |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
Dano je izvođenje formula za izračunavanje integrala iz najjednostavnijih, elementarnih, razlomaka četiri vrste. Složeniji integrali, iz razlomaka četvrte vrste, izračunavaju se pomoću formule redukcije. Razmatran je primjer integracije razlomka četvrte vrste.
SadržajVidi također: Tablica neodređenih integrala
Metode izračunavanja neodređenih integrala
Kao što je poznato, svaka racionalna funkcija neke varijable x može se razložiti na polinom i jednostavne, elementarne, razlomke. Postoje četiri vrste jednostavnih razlomaka:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ovdje su a, A, B, b, c realni brojevi. Jednadžba x 2+bx+c=0 nema pravih korijena.
Integracija razlomaka prva dva tipa
Integracija prva dva razlomka vrši se pomoću sljedećih formula iz tablice integrala:
,
, n ≠ - 1
.
1. Integracija razlomka prve vrste
Razlomak prvog tipa zamjenom t = x - a svodi se na tablični integral:
.
2. Integracija razlomka druge vrste
Dio druge vrste svodi se na tablični integral istom zamjenom t \u003d x - a:
.
3. Integracija razlomka trećeg tipa
Razmotrimo integral razlomka treće vrste:
.
Izračunat ćemo ga u dva koraka.
3.1. Korak 1. Odaberite derivaciju nazivnika u brojniku
Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku razlomka. Označimo: u = x 2+bx+c. Razlikovati: u′ = 2 x + b. Zatim
;
.
Ali
.
Izostavili smo znak modulo jer .
Zatim:
,
gdje
.
3.2. Korak 2. Izračunajte integral s A = 0, B=1
Sada izračunavamo preostali integral:
.
Nazivnik razlomka dovodimo do zbroja kvadrata:
,
gdje .
Vjerujemo da je jednadžba x 2+bx+c=0 nema korijena. dakle .
Napravimo zamjenu
,
.
.
Tako,
.
Tako smo pronašli integral razlomka treće vrste:
,
gdje .
4. Integracija razlomka četvrte vrste
I na kraju, razmotrite integral razlomka četvrte vrste:
.
Izračunavamo ga u tri koraka.
4.1) Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku:
.
4.2) Izračunaj integral
.
4.3) Izračunaj integrale
,
koristeći formulu cast:
.
4.1. Korak 1. Izdvajanje derivacije nazivnika u brojnik
Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku, kao što smo to učinili u . Označimo u = x 2+bx+c. Razlikovati: u′ = 2 x + b. Zatim
.
.
Ali
.
Konačno imamo:
.
4.2. Korak 2. Izračunavanje integrala s n = 1
Računamo integral
.
Njegov izračun je naveden u .
4.3. Korak 3. Izvođenje formule redukcije
Sada razmotrite integral
.
Kvadratni trinom dovodimo do zbroja kvadrata:
.
ovdje .
Radimo zamjenu.
.
.
Izvodimo transformacije i integraciju po dijelovima.
.
Pomnožiti sa 2 (n - 1):
.
Vraćamo se na x i I n .
,
;
;
.
Dakle, za I n dobili smo formulu redukcije:
.
Primjenjujući ovu formulu sukcesivno, smanjujemo integral I n na I 1
.
Primjer
Izračunaj integral
1.
Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku.
;
;
.
Ovdje
.
2.
Računamo integral najjednostavnijeg razlomka.
.
3.
Primjenjujemo formulu redukcije:
za integral .
U našem slučaju b = 1
, c = 1
,
4 c - b 2 = 3. Zapisujemo ovu formulu za n = 2
i n = 3
:
;
.
Odavde
.
Konačno imamo:
.
Nalazimo koeficijent na .
.
Materijal predstavljen u ovoj temi temelji se na informacijama iznesenim u temi "Racionalni razlomci. Razlaganje racionalnih razlomaka na elementarne (jednostavne) razlomke". Savjetujem vam da barem prijeđete kroz ovu temu prije nego što nastavite s čitanjem ovog materijala. Osim toga, trebat će nam tablica neodređenih integrala.
Dopustite mi da vas podsjetim na nekoliko pojmova. O njima se raspravljalo u relevantnoj temi, pa ću se ovdje ograničiti na kratku formulaciju.
Omjer dvaju polinoma $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Racionalni razlomak se zove ispravan ako je $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется krivo.
Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci su racionalni razlomci četiri vrste:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Napomena (poželjno za bolje razumijevanje teksta): prikaži\sakrij
Zašto je uvjet $p^2-4q neophodan?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Na primjer, za izraz $x^2+5x+10$ dobivamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Budući da je $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Inače, za ovu provjeru nije potrebno da koeficijent ispred $x^2$ bude jednak 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ dobivamo: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Budući da je $D > 0$, izraz $5x^2+7x-3$ je faktoriziran.
Mogu se pronaći primjeri racionalnih razlomaka (pravilnih i nepravilnih), kao i primjeri razlaganja racionalnog razlomka na elementarne. Ovdje nas zanimaju samo pitanja njihove integracije. Počnimo s integracijom elementarnih razlomaka. Dakle, svaki od četiri tipa gornjih elementarnih razlomaka lako je integrirati koristeći formule u nastavku. Podsjetim da se pri integraciji razlomaka tipa (2) i (4) pretpostavlja $n=2,3,4,\ldots$. Formule (3) i (4) zahtijevaju uvjet $p^2-4q< 0$.
\begin(jednadžba) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednadžba)
Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ vrši se zamjena $t=x+\frac(p)(2)$, nakon čega je rezultirajući integral podijeliti na dvoje. Prvi će se izračunati umetanjem ispod predznaka diferencijala, a drugi će izgledati kao $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se uzima pomoću rekurentne relacije
\begin(jednadžba) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\u N \end (jednadžba)
Izračun takvog integrala analiziran je u primjeru br. 7 (vidi treći dio).
Shema za izračunavanje integrala iz racionalnih funkcija (racionalnih razlomaka):
- Ako je integrand elementaran, primijenimo formule (1)-(4).
- Ako integrand nije elementaran, onda ga predstavite kao zbroj elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte pomoću formula (1)-(4).
Gornji algoritam za integraciju racionalnih razlomaka ima neospornu prednost - univerzalan je. Oni. Koristeći ovaj algoritam, može se integrirati bilo koji racionalni razlomak. Zato se gotovo sve zamjene varijabli u neodređenom integralu (Eulerove, Čebiševljeve zamjene, univerzalna trigonometrijska zamjena) rade na način da nakon te zamjene dobijemo racionalni razlomak ispod intervala. I primijeniti algoritam na to. Analizirat ćemo izravnu primjenu ovog algoritma na primjerima, nakon što napravimo malu bilješku.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
U principu, ovaj integral je lako dobiti bez mehaničke primjene formule. Ako iz predznaka integrala uzmemo konstantu $7$ i uzmemo u obzir da je $dx=d(x+9)$, dobivamo:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Za detaljnije informacije preporučam pogledati temu. Detaljno objašnjava kako se takvi integrali rješavaju. Inače, formula se dokazuje istim transformacijama koje su primijenjene u ovom paragrafu pri rješavanju "ručno".
2) Opet, postoje dva načina: primijeniti gotovu formulu ili bez nje. Ako primijenite formulu, morate uzeti u obzir da će se koeficijent ispred $x$ (broj 4) morati ukloniti. Da bismo to učinili, jednostavno izvadimo četiri od njih u zagradama:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$
Sada je vrijeme da primijenite formulu:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\lijevo(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Možete i bez upotrebe formule. Čak i bez stavljanja konstantnih 4$ iz zagrada. Ako uzmemo u obzir da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dobivamo:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Detaljna objašnjenja o pronalaženju takvih integrala data su u temi "Integracija supstitucijom (uvođenje pod predznakom diferencijala)" .
3) Moramo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste bili sigurni da je ovo doista elementarni razlomak trećeg tipa, morate provjeriti uvjet $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Riješimo isti primjer, ali bez upotrebe gotove formule. Pokušajmo izolirati derivaciju nazivnika u brojniku. Što to znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. To je izraz $2x+10$ koji moramo izolirati u brojniku. Do sada brojnik sadrži samo $4x+7$ , ali to ne traje dugo. Primijenite sljedeću transformaciju na brojnik:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -trinaest. $$
Sada se u brojniku pojavio traženi izraz $2x+10$. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Razbijmo integrand na dva. Pa, i, sukladno tome, sam integral je također "podijeljen":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Razgovarajmo prvo o prvom integralu, t.j. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Budući da je $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada se diferencijal nazivnika nalazi u brojniku integranda. Ukratko, umjesto toga izraza $( 2x+10)dx$ zapisujemo $d(x^2+10x+34)$.
Recimo sada nekoliko riječi o drugom integralu. Izdvojimo puni kvadrat u nazivniku: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Osim toga, uzimamo u obzir $dx=d(x+5)$. Sada se zbroj integrala koji smo ranije dobili može se prepisati u malo drugačijem obliku:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ devet). $$
Ako izvršimo promjenu $u=x^2+10x+34$ u prvom integralu, tada će ona poprimiti oblik $\int\frac(du)(u)$ i uzima se jednostavnom primjenom druge formule iz . Što se tiče drugog integrala, za njega je izvediva zamjena $u=x+5$, nakon čega ima oblik $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo je najčišća voda, jedanaesta formula iz tablice neodređenih integrala. Dakle, vraćajući se na zbroj integrala, imat ćemo:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Dobili smo isti odgovor kao i pri primjeni formule, što, zapravo, i ne čudi. Općenito, formula se dokazuje istim metodama koje smo koristili za pronalaženje ovog integrala. Vjerujem da bi pažljivi čitatelj ovdje mogao imati jedno pitanje, stoga ću ga formulirati:
Pitanje 1
Ako drugu formulu iz tablice neodređenih integrala primijenimo na integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, dobivamo sljedeće:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Zašto je modul nedostajao u rješenju?
Odgovor na pitanje broj 1
Pitanje je potpuno legitimno. Modul je nedostajao samo zato što je izraz $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. To je vrlo lako pokazati na nekoliko načina. Na primjer, budući da je $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, tada je $(x+5)^2+9 > 0$ . Moguće je suditi na drugačiji način, bez odabira cijelog kvadrata. Budući da je $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (ako je ovaj logički lanac iznenađujući, savjetujem vam da pogledate grafičku metodu za rješavanje kvadratnih nejednadžbi). U svakom slučaju, budući da je $x^2+10x+34 > 0$, onda je $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tj. umjesto modula možete koristiti normalne zagrade.
Sve točke primjera br. 1 su riješene, ostaje samo zapisati odgovor.
Odgovor:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Primjer #2
Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Na prvi pogled, integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ vrlo je sličan elementarnom razlomku trećeg tipa, t.j. na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Čini se da je jedina razlika koeficijent $3$ ispred $x^2$, ali neće trebati dugo da se koeficijent ukloni (izvan zagrada). Međutim, ova sličnost je očita. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ uvjet $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Naš koeficijent ispred $x^2$ nije jednak jedan, pa provjerite uvjet $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, pa se izraz $3x^2-5x-2$ može faktorizirati. A to znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak treće vrste, te se odnosi na integral $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ formula nije dopuštena.
Pa, ako zadani racionalni razlomak nije elementaran, onda se mora predstaviti kao zbroj elementarnih razlomaka, a zatim integrirati. Ukratko, iskoristite prednost staze. Kako razložiti racionalni razlomak na elementarne je detaljno napisano. Počnimo s faktoringom nazivnika:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3\cdot\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2). $$
Subinternu frakciju predstavljamo u sljedećem obliku:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Sada proširimo razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ u elementarne:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\desno). $$
Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dva standardna načina: metoda neodređenih koeficijenata i metoda zamjene parcijalnih vrijednosti. Primijenimo metodu supstitucije djelomične vrijednosti zamjenom $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\lijevo(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\lijevo (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Budući da su koeficijenti pronađeni, ostaje samo zapisati gotovu ekspanziju:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
U principu, možete ostaviti ovaj unos, ali volim točniju verziju:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Vraćajući se na izvorni integral, u njega zamjenjujemo rezultirajuću ekspanziju. Zatim integral podijelimo na dva i na svaki primijenimo formulu. Radije bih odmah izvadio konstante izvan predznaka integrala:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Odgovor: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Primjer #3
Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Moramo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Brojnik je polinom drugog stupnja, a nazivnik je polinom trećeg stupnja. Budući da je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku, t.j. 2 dolara< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Moramo samo razbiti dati integral na tri i primijeniti formulu na svaki. Radije bih odmah izvadio konstante izvan predznaka integrala:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Odgovor: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Nastavak analize primjera ove teme nalazi se u drugom dijelu.
Prisjetite se toga djelomično racionalno nazivaju se funkcije oblika $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), pri čemu je $$ u općem slučaju omjer dvaju polinoma %%P_n(x)%% i % %Q_m(x)% %.
Ako %%m > n \geq 0%%, tada se naziva racionalni razlomak ispravan, inače je netočno. Koristeći pravilo dijeljenja polinoma, nepravilan racionalni razlomak se može predstaviti kao zbroj polinoma %%P_(n - m)%% stupnja %%n - m%% i nekog pravilnog razlomka, t.j. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ gdje je stupanj %%l% % polinoma %%P_l(x)%% manji je od stupnja %%n%% polinoma %%Q_n(x)%%.
Dakle, neodređeni integral racionalne funkcije može se predstaviti kao zbroj neodređenih integrala polinoma i pravilnog racionalnog razlomka.
Integrali jednostavnih racionalnih razlomaka
Postoje četiri vrste pravilnih racionalnih razlomaka, koji se klasificiraju kao najjednostavniji racionalni razlomci:
- %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
- %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,
gdje je %%k > 1%% cijeli broj, a %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Izračunavanje neodređenih integrala iz razlomaka prva dva tipa
Izračunavanje neodređenih integrala razlomaka prva dva tipa je jednostavno: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(niz) $$
Izračunavanje neodređenih integrala iz razlomaka trećeg tipa
Prvo transformiramo razlomak treće vrste odabirom cijelog kvadrata u nazivniku: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ budući da %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, što ćemo označiti kao %%a^2%%. Zamjenom također %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, transformiramo nazivnik i zapisujemo integral razlomka trećeg tipa u obliku $$ \begin (niz)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(niz) $$
Koristeći linearnost neodređenog integrala, zadnji integral predstavljamo kao zbroj dvaju i u prvi od njih uvodimo %%t%% pod diferencijalnim predznakom: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\desno))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \lijevo| t^2 + a^2\desno| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$
Vraćajući se na izvornu varijablu %%x%%, završavamo s $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \lijevo| x^2 + px + q\desno| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ gdje je %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.
Izračunavanje integrala tipa 4 je teško, pa nije obrađeno u ovom kolegiju.
