Цікаво, що багато років тому такий розділ математики, як «геометрія», називали «землемірством». І про те, як знайти периметр та площу, відомо вже давно. Наприклад, кажуть, найпершими обчислювачами цих двох величин є жителі Єгипту. Завдяки таким знанням вони могли зводити відомі сьогодні споруди.

Вміння знаходити площу і периметр може стати в нагоді в повсякденному житті. У побуті дані величини використовуються, коли необхідно пофарбувати, засадити або обробити сад, поклеїти в кімнаті шпалери і т.п.

Периметр

Найчастіше необхідно дізнатися про периметр багатокутників або трикутників. Щоб визначити цю величину, достатньо лише знати довжини всіх сторін, а периметр складає їхню суму. Знайти периметр, якщо відома площа, також можна.

Трикутник

Якщо необхідно знати периметр трикутника, для його обчислення варто застосувати таку формулу P = а + b + с де а, b, с - сторони трикутника. У цьому випадку всі сторони традиційного трикутника на поверхні підсумовуються.

Коло

Периметр кола зазвичай називають довжиною кола. Щоб дізнатися про цю величину, необхідно використовувати формулу: L = π*D = 2*π*r, де L- довжина кола, r - радіус, D - діаметр, а число π, як відомо, приблизно дорівнює 3,14.

Квадрат, ромб

Формули для периметрів квадрата і ромба однакові, тому що і в однієї фігури, і в іншій сторони всі рівні. Оскільки квадрат і ромб мають рівні сторони, їх (сторони) можна позначити однією літерою «а». Виходить, периметр квадрата та ромба дорівнює:

• Р = а + а + а + а або Р = 4а

Прямокутник, паралелограм

У прямокутника та паралелограма протилежні сторони однакові, тому їх можна позначити двома різними літерами «а» та «b». Формула виглядає так:

• Р=а+b+а+b=2а+2b. Двійку можна вивести за дужки і вийде така формула: Р = 2 (а+b)

Трапеція

У трапеції всі сторони різні, тому їх позначають різними літерами латинської абетки. У зв'язку з цим формула для периметра трапеції виглядає так:

• Р = а + b + с + d Тут усі сторони підсумовуються разом.

Площа

Площа - та частина фігури, яка укладена всередині її контуру.

Прямокутник

Щоб обчислити площу прямокутника, необхідно помножити значення однієї сторони (довжини) на значення іншої (ширини). Якщо значення довжини та ширини позначаються літерами «а» та «b», то площа обчислюється за формулою:

• S = а * b

Квадрат

Як уже відомо, сторони квадрата рівні, тому для обчислення площі можна просто взяти одну сторону квадрата:

• S = а * а = a 2

Ромб

Формула знаходження площі ромба має трохи інший вид: S = a * h a , де h a - це довжина висоти ромба, яка проведена до сторони.

Крім того, площу ромба можна дізнатися за формулами:

• S = a 2 *sin α, причому а є стороною фігури, а кут α - кут між сторонами;
• S = 4r 2 /sin α, де r - радіус вписаної в ромб кола, а кут α - кут між сторонами.

Коло

Площа кола також впізнається легко. Для цього можна використати формулу:

• S = πR 2 де R - радіус.

Трапеція

Щоб обчислити площу трапеції, можна скористатися цією формулою:

• S = 1/2*a*b*h, де a, b – основи трапеції, h – висота.

Трикутник

Для знаходження площі трикутника скористайтесь однією з кількох формул:

• S = 1/2*a*b sin α (де а, b – сторони трикутника, а α – кут між ними);
• S = 1/2 a*h (де а – основа трикутника, h – опущена до нього висота);
• S = abc/4R (де a, b, c - сторони трикутника, а R - радіус описаного кола);
• S = p * r (де p - напівпериметр, r - радіус вписаного кола);
• S = √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) (де p - напівпериметр, a, b, c - сторони трикутника).

Паралелограм

Для обчислення площі даної фігури необхідно підставити значення одну з формул:

• S = a*b*sin α (де а, b - основи паралелограма, α - кут між сторонами);
• S = a*h a (де a – сторона паралелограма, h a – це висота паралелограма, яка опущена до сторони а);
• S = 1/2 *d*D* sin α (де d та D - діагоналі паралелограма, α - кут між ними).

Прямокутника – P = 2*a + 2*b = 2*3 + 2*6 = 6 + 12 = 18. У цьому периметр співпав за значенням із площею фігури.

КвадратЗавдання: знайдіть периметр квадрата, якщо його площа дорівнює 9.Рішення: за формулою площі квадрата S = a^2, звідси знайдіть довжину сторони a = 3. Периметр дорівнює сумі довжин усіх сторін, отже, P = 4*a = 4*3 = 12.

Трикутник Завдання: дано довільний ABC, площа якого дорівнює 14. Знайдіть периметр трикутника, якщо проведена з вершини B ділить основу трикутника на відрізки завдовжки 3 і 4 см. Рішення: за формулою площа трикутника – це половина добутку основи на , тобто. S = ½ * AC * BE. Периметр дорівнює сумі довжин усіх сторін. Довжину сторони AC знайдіть, склавши довжини AE та EC, AC = 3 + 4 = 7. Знайдіть висоту трикутника BE = S*2/AC = 14*2/7 = 4. Розгляньте прямокутний трикутник ABE. Знаючи AE і BE, можна знайти гіпотенузу за формулою Піфагора AB^2 = AE^2 + BE^2, AB = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5. Розгляньте прямокутний трикутник BEC. За формулою Піфагора BC^2 = BE^2 + EC^2, BC = √(4^2 + 4^2) = 4*√2. Тепер довжини всіх сторін трикутника. Знайдіть периметр їх суми P = AB + BC + AC = 5 + 4*√2 + 7 = 12 + 4*√2 = 4*(3+√2).

ОкружністьЗавдання: відомо, що площа кола дорівнює 16*π, знайдіть її периметр.Рішення: запишіть формулу площі кола S = π*r^2. Знайдіть радіус кола r = √(S/π) = √16 = 4. За формулою периметр P = 2*π*r = 2*π*4 = 8*π. Якщо прийняти, що π = 3.14, то P = 8 * 3.14 = 25.12.

Джерела:

• площа дорівнює периметру

Усі ми колись у школі починаємо вивчати периметр прямокутника. Тож давайте згадаємо, як же його обчислити і взагалі що таке периметр?

Слово "периметр" походить від двох грецьких слів: "peri", яке означає "навколо", "біля" і "metron", яке означає "міряти", "вимірювати". Тобто. периметр, у перекладі з грецької означає "вимір навколо".

Інструкція

Друге визначення звучатиме так: периметр прямокутника - це подвоєна сума його довжини та ширини.

Відео на тему

Корисна порада

Площа прямокутника – це твір його довжини на ширину. Пеметр – сума всіх сторін.

Джерела:

Окружність є геометричною фігурою, утвореною з безлічі точок, які віддалені від центру колана рівну відстань. Виходячи з відомих про коладаних, існують 2 що випливають один з одного формули визначення її площі.

Вам знадобиться

• Значення константи π (рівно 3.14);
• Розмір діаметра/радіуса кола.

Інструкція

Відео на тему

Квадрат – красива та проста плоска геометрична фігура. Це прямокутник із рівними сторонами. Як же знайти периметр квадратаякщо відома довжина його сторони?

Інструкція

Насамперед, згадати, що периметрє ні що інше як сума геометричної фігури. Розглядається нами чотири сторони. Понад те, по , всі ці сторони рівні між .
З цих передумов проста для знаходження периметра квадрата – периметр квадратадовжині сторони квадрата, помноженої на чотири:
Р = 4а, де а - Довжина сторони квадрата.

Відео на тему

Порада 6: Як знайти площі трикутника та прямокутника

Трикутник і прямокутник – дві найпростіші плоскі геометричні фігури в Евклідовій геометрії. Усередині периметрів, утворених сторонами цих багатокутників, укладено деяку ділянку площини, площу якого можна визначити багатьма способами. Вибір способу у кожному конкретному випадку залежатиме від відомих параметрів фігур.

Інструкція

Застосовуйте для знаходження площі трикутника одну з формул, що використовують тригонометричні , якщо відомі величини одного або кількох кутів у . Наприклад, при відомій величині кута (α) і довжинам сторін, його складових (В і С), площа (S) можна за формулою S=В*С*sin(α)/2. А при величинах всіх кутів (α, β і γ) та довжині однієї сторони на додачу (А) можна використовувати формулу S=А²*sin(β)*sin(γ)/(2*sin(α)). Якщо крім усіх кутів відомий (R) описаного кола, то скористайтесь формулою S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).

Якщо величини кутів не відомі, то знаходження площі трикутника можна використовувати без тригонометричних функцій. Наприклад, якщо (Н), проведена зі сторони, якій також відома (А), то скористайтеся формулою S=А*H/2. А якщо дані довжини кожної зі сторін (А, В та С), то спочатку знайдіть півпериметр p=(А+В+С)/2, а потім обчисліть площу трикутника за формулою S=√(p*(p-А)* (p-B) * (p-C)). Якщо крім (А, В і С) відомий радіус (R) описаного кола, то застосовуйте формулу S = A * B * C / (4 * R).

Для знаходження площі прямокутника теж можна використовувати тригонометричні функції - наприклад, якщо відома довжина його діагоналі (С) і величина кута, який вона з однієї зі сторін (α). У цьому випадку скористайтесь формулою S=C²*sin(α)*cos(α). А якщо відомі довжини діагоналей (С) та величина кута, який вони становлять (α), то застосовуйте формулу S=С²*sin(α)/2.

При вирішенні необхідно взяти до уваги, що вирішити задачу про знаходження площі прямокутника тільки з довжини його сторін не можна.

У цьому неважко переконатися. Нехай периметр прямокутника дорівнюватиме 20 см. Це буде правильно, якщо його сторони 1 і 9, 2 і 8, 3 і 7 см. Всі ці три прямокутники матимуть однаковий периметр, що дорівнює двадцяти сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 так само як і (2 + 8) * 2 = 20 см.
Як видно, ми можемо підібрати нескінченна кількість варіантіврозмірів сторін прямокутника, периметр якого дорівнюватиме заданому значенню.

Площа прямокутників із заданим периметром 20 см, але з різними сторонами буде різною. Для наведеного прикладу – 9, 16 та 21 квадратних сантиметрів відповідно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Як бачимо, варіантів площі фігури при заданому периметрі – нескінченна кількість.

Зауваження для допитливих. У випадку прямокутника, у якого заданий периметр, максимальну площу матиме квадрат.

Таким чином, для того, щоб обчислити площу прямокутника з його периметра, потрібно обов'язково знати співвідношення його сторін, або довжину однієї з них. Єдиною фігурою, яка має однозначну залежність своєї площі від периметра, є коло. Тільки для колаі можливе рішення.

У цьому уроці:

• Завдання 4. Зміна довжини сторін за збереження площі прямокутника

Завдання 1. Знайти сторони прямокутника із площі

Периметр прямокутника дорівнює 32 см, а сума площ квадратів, побудованих на кожній з його сторін - 260 квадратних сантиметрів. Знайдіть сторони прямокутника.
Рішення.

2(x+y)=32
Відповідно до умови завдання, сума площ квадратів побудованих на кожній з його сторін (квадратів, відповідно, чотири) дорівнюватиме
2x2+2y2=260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 = 9
x 2 = 7
Тепер візьмемо до уваги, що виходячи з того, що x+y=16 (див. вище) при x=9, y=7 і навпаки, якщо x=7, то y=9
Відповідь: Сторони прямокутника дорівнюють 7 і 9 сантиметрам.

Задача 2. Знайти сторони прямокутника із периметра

Периметр прямокутника 26 см, а сума площ квадратів, побудованих на двох його суміжних сторонах, дорівнює 89 кв. див. Знайдіть сторони прямокутника.
Рішення.
Позначимо сторони прямокутника як x та y.
Тоді периметр прямокутника дорівнює:
2(x+y)=26
Сума площ квадратів побудованих на кожній з його сторін (квадратів, відповідно, два і це квадрати ширини і висоти, оскільки сторони суміжні) дорівнюватиме
x 2 + y 2 = 89
Вирішуємо отриману систему рівнянь. З першого рівняння виводимо, що
x+y=13
y=13-y
Тепер виконуємо підстановку на друге рівняння, замінюючи x його еквівалентом.
(13-y) 2 + y 2 = 89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Вирішуємо отримане квадратне рівняння.
D=676-640=36
x 1 = 5
x 2 = 8
Тепер візьмемо до уваги, що виходячи з того, що x+y=13 (див. вище) при x=5, y=8 і навпаки, якщо x=8, то y=5
Відповідь: 5 та 8 см

Завдання 3. Знайти площу прямокутника із пропорції його сторін

Знайти площу прямокутника якщо його периметр дорівнює 26 см, а сторони пропорційні як 2 до 3.

Рішення.
Позначимо сторони прямокутника через коефіцієнт пропорційності x.
Звідки довжина однієї сторони дорівнюватиме 2x, інший - 3х.

Тоді:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Тепер, виходячи з отриманих даних, визначимо площу прямокутника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2

Завдання 4. Зміна довжини сторін за збереження площі прямокутника

Довжина прямокутника збільшено на 25%. На скільки відсотків треба зменшити ширину, щоб її площа не змінилася?

Рішення.
Площа прямокутника дорівнює
S = ab

У нашому випадку один із множників збільшився на 25%, що означає a 2 = 1,25a. Таким чином, нова площа прямокутника повинна дорівнювати
S 2 = 1,25ab

Таким чином, для того, щоб повернути площу прямокутника до початкового значення, то
S 2 = S/1.25
S 2 = 1,25ab/1.25

Оскільки новий розмір а змінювати не можна, то
S 2 = (1,25a) b/1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким чином, величину другої сторони потрібно зменшити на (1 – 0,8) * 100% = 20%

Відповідь: ширину необхідно зменшити на 20%.

Для того, щоб знаходити периметр і площу прямокутника, потрібно знати формули та головне - вміти застосовувати їхдля вирішення завдань – адже вони бувають різної складності.

Дуже часто при вирішенні завдань легкого рівня достатньо знати основні формули і вирішити їх, просто підставляючи потрібні значення.

Якщо завдання складніше і за умови немає даних потрібних для формули, потрібно їх знаходити за допомогою інших алгебраїчних дій.

У цьому випадку можна навести наступний приклад

потрібно знайти площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 120 см, а сторони відносяться як 2 до 3

спочатку складаємо рівняння, щоб знайти сторони, використовуючи при цьому формулу периметра ( P=2(а+b)):

2*(2х+3Х)=120 вирішуємо його, х=12 означає сторони рівні 24 см і 36 см і тепер підставляємо значення у формулу площі S=abта знаходимо її S=24*36=864 см.кв.

Площа прямокутника дорівнює добутку довжини та ширини та обчислюється за формулою a*b, де а та b -сторони прямокутника. Периметр прямокутника дорівнює сумі всіх сторін і обчислюється за формулою a+b+a+b.

Знаходження площі прямокутника - помножимо довжину прямокутника з його ширину.

Знаходження периметра прямокутника (сума довжин всіх сторін) - простим додаванням довжин всіх сторін, або до довжини поздовжньої сторони прямокутника, додаємо довжину поперечної та отриману суму множимо на два.

Якщо уявити, що ваш город прямокутної форми і вам необхідно ділянку обкласти парканом, то напевно перед вами виникне питання, а якою довжиною буде паркан, щоб правильно розрахувати витрати будматеріалів. Ви складете довжини сторін огорожі та знайдете ПЕРИМЕТР. Якщо поставте питання, яку кількість землі потрібно перекопати на цій ділянці, то доведеться шукати ПЛОЩУ, а для цього потрібно буде перемножити довжину на ширину ділянки, адже як відомо у прямокутника протилежні сторони попарно рівні. Не варто забувати, що квадрат також прямокутник, щоб знайти периметр квадрата, потрібно довжину помножити на 4, а площа - довжину сторони помножити на себе.

Згадаймо шкільний курс математики. Так периметр прямокутника знаходиться за формулою суми двох його сторін, помножених на 2. Тобто Р=2*(а+b), де а і b це сторони прямокутника. Площа відповідно знаходиться за допомогою формули S=a*b, де a і b також є його сторонами.

Якщо не вдаватися до глибоких подробиць, то знайти площу і периметр геометричної фігури прямокутник дуже просто. Позначимо сторони такого прямокутника латинськими літерами: a, b, c та d. Нехай a = c – це довжина прямокутника, а b і d – це ширина прямокутника.

Площа прямокутника:

Периметр прямокутника:

S = a + b + c + d



Периметр прямокутника – це довжини всіх його сторін. Виходячи з того, що у цієї фігури чотири сторони, або дві пари, при цьому протилежні сторони рівні одна одній, можна зробити висновок, що доречно скласти значення двох різновеликих сторін і помножити отримане значення на дві.

Площа знаходиться також просто: ми просто перемножуємо різні сторони.

Площа обчислюється при множенні довгої сторони прямокутника із короткою. А периметр-це (довжина сторона + кор. сторона) * 2

Можна піти самим простим шляхомзнаходження площі прямокутника. А саме, помножити довжину прямокутника (як правило, це a) на ширину прямокутника (як правило, це B). А ось периметр шукаємо за допомогою додавання всіх сторін, або, простіше кажучи: 2a+2b

Прямокутникце геометрична фігура, а саме чотирикутник, який має всі кути прямі. Виходить, що протилежні сторони дорівнюють одна одній.



Периметр прямокутникаце сума довжин всіх сторін прямокутника, або сума довжини та ширини, помножена на 2.

Периметрце довжина всіх сторін прямокутника, він вимірюється в одиницях довжини: див, мм, м, дм, км.

P=AB+CD+AD+BC або P=2*(AB+AD).

Площавимірюється квадратними одиницями довжини: м2, см2, дм2 та позначається латинською літерою S.

Для визначення площі прямокутника необхідно довжину прямокутника помножити з його ширину.

Площа прямокутника розраховується шляхом множення його довжини на ширину отриманого добутку і буде площа.

Периметр прямокутника знаходиться шляхом підсумовування довжини та ширини, отриману суму потрібно ще помножити на два, це буде шуканий периметр.

Якщо у прямокутника задані дві протилежні сторони, то все просто перемножуємо їх і отримуємо площу, складаємо та подвоюємо та отримуємо периметр. Проте найчастіше в підручниках задають найрізноманітніший - бік і периметр, бік і площу, бік і діагональ. Як чинити в цих випадках.

Ось це ідеальне завдання.

Можуть бути задані сторона та діагональ. У цьому випадку знаходимо другу сторону по теоремі Піфагора - як другий катет у трикутнику, де гіпотенуза діагональ прямокутника.

У результаті ми маємо ось які формули для знаходження периметра прямокутника:



А якщо по простому перетворити ці ж формули, то виходять формули для знаходження площі в усіх випадках:

Урок та презентація на тему: "Периметр та площа прямокутника"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 3 класу
Тренажер для 3 класу "Правила та вправи з математики"
Електронний навчальний посібник для 3 класу "Математика за 10 хвилин"

Що таке прямокутник та квадрат

Прямокутник- Це чотирикутник, у якого всі кути прямі. Отже, протилежні сторони рівні одне одному.

Квадрат- Це прямокутник, у якого рівні і сторони, і кути. Його називають правильним чотирикутником.

Чотирикутники, у тому числі прямокутники та квадрати, позначаються 4 літерами – вершинами. Для позначення вершин використовують латинські літери: A, B, C, D...

приклад.

Читається так: чотирикутник ABCD; квадрат EFGH.

Що таке периметр прямокутника? Формула розрахунку периметра

Периметр прямокутника– це сума довжин всіх сторін прямокутника або сума довжини та ширини, помножена на 2.

Периметр позначається латинською літерою P. Оскільки периметр - це довжина всіх сторін прямокутника, він периметр записується в одиницях довжини: мм, див, м, дм, км.

Наприклад, периметр прямокутника АВСD позначається як P ABCD , де А, У, З, D - це вершини прямокутника.

Запишемо формулу периметра чотирикутника ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

приклад.
Заданий прямокутник ABCD зі сторонами: AB=СD=5 см та AD=BC=3 см.
Визначимо P ABCD.

Рішення:
1. Намалюємо прямокутник ABCD із вихідними даними.
2. Напишемо формулу для розрахунку периметра даного прямокутника:

P ABCD = 2* (AB + BС)

P ABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Відповідь: P ABCD = 16 див.

Формула розрахунку периметра квадрата

Ми маємо формулу для визначення периметра прямокутника.

P ABCD = 2* (AB + BC)

Застосуємо її визначення периметра квадрата. Враховуючи, що всі сторони квадрата рівні, отримуємо:

P ABCD = 4 * AB

приклад.
Заданий квадрат ABCD зі стороною, що дорівнює 6 см. Визначимо периметр квадрата.

Рішення.
1. Намалюємо квадрат ABCD із вихідними даними.

2. Згадаймо формулу розрахунку периметра квадрата:

P ABCD = 4 * AB

3. Підставимо у формулу наші дані:

P ABCD = 4*6 см = 24 см

Відповідь: P ABCD = 24 см.

Завдання на знаходження периметра прямокутника

1. Виміряй ширину та довжину прямокутників. Визнач їх периметр.

2. Намалюй прямокутник ABCD зі сторонами 4 см та 6 см. Визнач периметр прямокутника.

3. Намалюй квадрат СЕОМ зі стороною 5 см. Визнач периметр квадрата.

Де використовується розрахунок периметра прямокутника?

1. Задано ділянку землі, її потрібно обнести парканом. Якою довжиною буде паркан?

У цьому завдання необхідно точно розрахувати периметр ділянки, щоб купити зайвий матеріал для будівництва паркану.

2. Батьки вирішили зробити ремонт у дитячій кімнаті. Необхідно знати периметр кімнати та її площу, щоб правильно розрахувати кількість шпалер.
Визнач довжину та ширину кімнати, в якій ти живеш. Визнач периметр своєї кімнати.

Що таке площа прямокутника?

Площа- Це числова характеристика фігури. Площа вимірюється квадратними одиницями довжини: см 2 , м 2 , дм 2 та ін (сантиметр у квадраті, метр у квадраті, дециметр у квадраті тощо)
У обчисленнях позначається латинською літерою S.

Для визначення площі прямокутника необхідно довжину прямокутника помножити з його ширину.
Площа прямокутника обчислюється множенням довжини АК ширину КМ. Запишемо це як формули.

S AKMO = AK * KM

приклад.
Чому дорівнює площа прямокутника AKMO, якщо його сторони дорівнюють 7 см і 2 см?

S AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .

Відповідь: 14 см 2 .

Формула обчислення площі квадрата

Площа квадрата можна визначити, помноживши бік саму себе.

приклад.
У цьому прикладі площа квадрата обчислюється множенням сторони AB на ширину BC, але оскільки вони рівні, виходить множення сторони AB на AB.

SАВСО = AB * BC = AB * AB

приклад.
Визнач площа квадрата AKMO зі стороною 8 см.

S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2

Відповідь: 64 см 2 .

Завдання на знаходження площі прямокутника та квадрата

1. Задано прямокутник зі сторонами 20 мм та 60 мм. Обчисли його площу. Запиши відповідь у квадратних сантиметрах.

2. Була куплена дачна ділянка розміром 20 м на 30 м. Визнач площу дачної ділянки, відповідь запиши у квадратних сантиметрах