Метод варіації лагранжу. Метод варіації довільних постійних

Теоретичний мінімум

Теоретично диференціальних рівнянь існує метод, що претендує на досить високий для цієї теорії ступінь універсальності.
Йдеться про метод варіації довільної постійної, що застосовується до вирішення різних класів диференціальних рівнянь та їх
систем. Це саме той випадок, коли теорія – якщо вивести за дужки докази тверджень – мінімальна, але дозволяє досягати
значних результатів, тому основний акцент буде зроблено на прикладах.

Загальну ідею способу сформулювати досить легко. Нехай задане рівняння (систему рівнянь) вирішити складно чи взагалі незрозуміло,
як її вирішувати. Однак видно, що при виключенні з рівняння деяких доданків воно вирішується. Тоді вирішують саме таке спрощене
рівняння (систему), одержують рішення, що містить кілька довільних констант - залежно від порядку рівняння (кількості)
рівнянь у системі). Потім вважають, що константи у знайденому рішенні насправді константами не є, знайдене рішення
підставляється у вихідне рівняння (систему), виходить диференціальне рівняння (або система рівнянь) визначення "констант".
Існує певна специфіка у застосуванні методу варіації довільної постійної до різних завдань, але це вже зокрема, які будуть
показані на прикладах.

Окремо розглянемо рішення лінійних неоднорідних рівнянь вищих систем, тобто. рівнянь виду
.
Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння та приватного рішення
даного рівняння. Припустимо, що загальне рішення однорідного рівняння вже знайдено, а саме побудовано фундаментальну систему рішень (ФСР)
. Тоді загальне рішення однорідного рівняння дорівнює.
Потрібно знайти будь-яке окреме рішення неоднорідного рівняння. Для цього константи вважаються залежними від змінної.
Далі потрібно вирішити систему рівнянь
.
Теорія гарантує, що ця система алгебраїчних рівнянь щодо похідних від функцій має єдине рішення.
При знаходженні самих функцій константи інтегрування не виникають: адже шукається будь-яке одне рішення.

У разі розв'язання систем лінійних неоднорідних рівнянь першого порядку виду

алгоритм майже змінюється. Спочатку потрібно знайти ФСР відповідної однорідної системи рівнянь, скласти фундаментальну матрицю
системи , стовпці якої є елементи ФСР. Далі складається рівняння
.
Вирішуючи систему, визначаємо функції , знаходячи таким чином приватне рішення вихідної системи
(фундаментальна матриця множиться на стовпець знайдених функцій).
Додаємо його до загального розв'язання відповідної системи однорідних рівнянь, що будується на основі вже знайденої ФСР.
Виходить загальне рішення вихідної системи.

приклади.

приклад 1. Лінійні неоднорідні рівняння першого порядку.

Розглянемо відповідне однорідне рівняння (шукану функцію позначимо):
.
Це рівняння легко вирішується шляхом поділу змінних:

.
А тепер представимо рішення вихідного рівняння у вигляді , де функцію ще потрібно знайти.
Підставляємо такий вид рішення у вихідне рівняння:
.
Як видно, другий і третій доданок у лівій частині взаємно знищуються - це характерна рисаметоду варіації довільної постійної.

Ось тут уже – справді, довільна постійна. Таким чином,
.

приклад 2. Рівняння Бернуллі.

Діємо аналогічно до першого прикладу - вирішуємо рівняння

шляхом поділу змінних. Вийде , тому рішення вихідного рівняння шукаємо у вигляді
.
Підставляємо цю функцію у вихідне рівняння:
.
І знову відбуваються скорочення:
.
Тут потрібно не забути переконатися, що при розподілі на не втрачається рішення. А випадку відповідає рішення вихідного
рівняння. Запам'ятаємо його. Отже,
.
Запишемо.
Це є рішення. При записі відповіді слід також вказати знайдене раніше рішення, тому що йому не відповідає жодне кінцеве значення
константи.

Приклад 3. Лінійні неоднорідні рівняння вищих порядків.

Відразу зауважимо, що це рівняння можна вирішити і простіше, але на ньому зручно показати метод. Хоча деякі переваги
метод варіації довільної постійної і в цьому прикладі є.
Отже, треба починати з ФСР відповідного однорідного рівняння. Нагадаємо, що для знаходження ФСР складається характеристичне
рівняння
.
Таким чином, загальне вирішення однорідного рівняння
.
Константи, що входять сюди, і належить варіювати. Складаємо сист

Лекція 44. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних постійних. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами. (спеціальна права частина).

Соціальні перетворення. Держава та церква.

Соціальна політика більшовиків багато в чому диктувалась їх класовим підходом.Декретом від 10 листопада 1917 р. знищено станову систему, скасовано дореволюційні чини, титули та нагороди. Встановлено виборність суддів; проведено секуляризацію цивільних станів. Встановлено безплатну освіту та медичне обслуговування (декрет від 31 жовтня 1918 р.). Жінки зрівнювалися у правах із чоловіками (декрети від 16 та 18 грудня 1917 р.). Декрет про шлюб вводив інститут громадянського шлюбу.

Декретом РНК від 20 січня 1918 року церква відокремлена від держави та від системи освіти. Більшість церковного майна конфісковано. Патріарх Московський і всієї Русі Тихон (обраний 5 листопада 1917 року) 19 січня 1918 року анафемі зрадив Радянську владу і закликав до боротьби проти більшовиків.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку

Структура загального розв'язання такого рівняння визначається такою теоремою:

Теорема 1.Загальне рішення неоднорідного рівняння (1) подається як сума якогось приватного вирішення цього рівняння та загального рішення відповідного однорідного рівняння

Доведення. Потрібно довести, що сума

Існує загальне рішення рівняння (1). Доведемо спочатку, що функція (3) є рішенням рівняння (1).

Підставляючи суму в рівняння (1) замість у, матимемо

Оскільки є рішення рівняння (2), то вираз, що стоїть у перших дужках, тотожно дорівнює нулю. Оскільки є рішення рівняння (1), то вираз, що стоїть у других дужках, дорівнює f(x). Отже, рівність (4) є тотожністю. Отже, перша частина теореми доведена.

Доведемо друге твердження: вираз (3) є загальнерозв'язання рівняння (1). Ми повинні довести, що довільні постійні, що входять до цього виразу, можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови:

які б не були числа х 0 , y 0і (аби х 0було взято з тієї галузі, де функції а 1 , а 2і f(x)безперервні).

Помітивши, що можна уявити у формі . Тоді на підставі умов (5) матимемо

Вирішимо цю систему і визначимо З 1і З 2. Перепишемо систему у вигляді:

Зауважимо, що визначник цієї системи є визначником Вронського для функцій у 1і у 2у точці х = х 0. Оскільки ці функції за умовою лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю; отже система (6) має певне рішення З 1і З 2, тобто. існують такі значення З 1і З 2, При яких формула (3) визначає рішення рівняння (1), що відповідає даним початковим умовам. Що й потрібно було довести.

Перейдемо загальному методу знаходження приватних рішень неоднорідного рівняння.

Напишемо загальне рішення однорідного рівняння (2)

Шукатимемо приватне рішення неоднорідного рівняння (1) у формі (7), розглядаючи З 1і З 2як деякі поки невідомі функції від х.

Продиференціюємо рівність (7):

Підберемо потрібні функції З 1і З 2так, щоб виконувалася рівність

Якщо врахувати цю додаткову умову, то перша похідна набуде вигляду

Диференціюючи тепер цей вираз, знайдемо:

Підставляючи в рівняння (1), отримаємо

Вирази, що стоять у перших двох дужках, звертаються в нуль, оскільки y 1і y 2- Вирішення однорідного рівняння. Отже, остання рівність набуває вигляду

Таким чином, функція (7) буде вирішенням неоднорідного рівняння (1) у тому випадку, якщо функції З 1і З 2задовольняють рівнянням (8) та (9). Складемо систему рівнянь із рівнянь (8) та (9).

Оскільки визначником цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежних рішень y 1і y 2рівняння (2), він не дорівнює нулю. Отже, вирішуючи систему, ми знайдемо як певні функції від х:

Вирішуючи цю систему, знайдемо, звідки в результаті інтегрування отримуємо. Далі підставимо знайдені функції формулу , отримуємо загальне рішення неоднорідного рівняння , де - довільні постійні.

Метод варіації довільної постійної, або метод Лагранжа - ще один спосіб розв'язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку та рівняння Бернуллі.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку – це рівняння виду y'+p(x)y=q(x). Якщо правій частині стоїть нуль: y'+p(x)y=0, це — лінійне одноріднерівняння 1-го порядку. Відповідно, рівняння з ненульовою правою частиною, y'+p(x)y=q(x), неодноріднелінійне рівняння 1-го порядку.

Метод варіації довільної постійної (метод Лагранжа) полягає в наступному:

1) Шукаємо загальне рішення однорідного рівняння y'+p(x)y=0: y=y*.

2) У загальному рішенні З вважаємо не константою, а функцією від іксу: С = С (x). Знаходимо похідну загального рішення (y*)' та в початкову умову підставляємо отриманий вираз для y* та (y*)’. З отриманого рівняння знаходимо функцію (x).

3) У загальне рішення однорідного рівняння замість З підставляємо знайдений вираз С(x).

Розглянемо приклади на спосіб варіації довільної постійної. Візьмемо ті самі завдання, що й у порівняємо хід рішення і переконаємося, що отримані відповіді збігаються.

1) y'=3x-y/x

Перепишемо рівняння у стандартному вигляді (на відміну від методу Бернуллі, де форма запису нам потрібна була лише для того, щоб побачити, що рівняння – лінійне).

y'+y/x=3x (I). Тепер діємо за планом.

1) Вирішуємо однорідне рівняння y'+y/x=0. Це рівняння з змінними, що розділяються. Представляємо y'=dy/dx, підставляємо: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обидві частини рівняння множимо на dx та ділимо на xy≠0: dy/y=-dx/x. Інтегруємо:

2) В отриманому загальному рішенні однорідного рівняння вважатимемо С не константою, а функцією від x: С=С(x). Звідси

Отримані вирази підставляємо за умови (I):

Інтегруємо обидві частини рівняння:

тут З - вже деяка нова константа.

3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C/x, де ми вважали С=С(x), тобто y=C(x)/x, замість С(x) підставляємо знайдений вираз x³+C: y=(x³ +C)/x або y=x²+C/x. Отримали таку саму відповідь, як і при вирішенні методом Бернуллі.

Відповідь: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Тут рівняння вже записано у стандартному вигляді, перетворювати не треба.

1) Вирішуємо однорідне лінійне рівняння y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Інтегруємо:

Щоб отримати більш зручну форму запису, експоненту в ступеня С приймемо за нову:

Це перетворення виконали, щоб зручніше знаходити похідну.

2) В отриманому загальному рішенні лінійного однорідного рівняння вважаємо С не константою, а функцією від x: С = С (x). За цієї умови

Отримані вирази y та y’ підставляємо за умови:

Помножимо обидві частини рівняння на

Інтегруємо обидві частини рівняння за формулою інтегрування частинами, отримуємо:

Тут уже не функція, а звичайна константа.

3) У загальне рішення однорідного рівняння

підставляємо знайдену функцію С(x):

Отримали таку саму відповідь, як і при вирішенні методом Бернуллі.

Метод варіації довільної постійної застосовний і для вирішення.

y'x+y=-xy².

Наводимо рівняння до стандартного вигляду: y'+y/x=-y² (II).

1) Вирішуємо однорідне рівняння y'+y/x=0. dy/dx=-y/x. Множимо обидві частини рівняння на dx і ділимо на y: dy/y=-dx/x. Тепер інтегруємо:

Підставляємо отримані висловлювання за умови (II):

Спрощуємо:

Отримали рівняння з змінними, що розділяються, відносно С і x:

Тут С вже звичайна константа. У процесі інтегрування писали замість (x) просто З, щоб не перевантажувати запис. А наприкінці повернулися до С(x), щоб не плутати С(x) із новою С.

3) У загальне рішення однорідного рівняння y=C(x)/x підставляємо знайдену функцію С(x):

Отримали таку саму відповідь, що і при вирішенні способом Бернуллі.

Приклади для самоперевірки:

1. Перепишемо рівняння у стандартному вигляді: y'-2y = x.

1) Вирішуємо однорідне рівняння y'-2y = 0. y'=dy/dx, звідси dy/dx=2y, множимо обидві частини рівняння на dx, ділимо на y та інтегруємо:

Звідси знаходимо y:

Вирази для y і y’ підставляємо в умову (для стислості живитимемо С замість С(x) і С′ замість C"(x)):

Для знаходження інтеграла у правій частині застосовуємо формулу інтегрування частинами:

Тепер підставляємо u, du та v у формулу:

Тут З = const.

3) Тепер підставляємо у вирішення однорідного

Розглянуто спосіб розв'язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами шляхом варіації постійних Лагранжа. Метод Лагранжа також застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння.

Зміст

Див. також:

Метод Лагранжа (варіація постійних)

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами довільного n-го порядку:
(1) .
Метод варіації постійної, розглянутий нами рівняння першого порядку , також застосуємо й у рівнянь вищих порядків.

Рішення виконується у два етапи. На першому етапі ми відкидаємо праву частину та вирішуємо однорідне рівняння. В результаті отримуємо рішення, що містить довільних n постійних. На другому етапі ми варіюємо постійні. Тобто ми вважаємо, що ці постійні є функціями від незалежної змінної x та знаходимо вигляд цих функцій.

Хоча ми тут розглядаємо рівняння із постійними коефіцієнтами, але метод Лагранжа також застосовний і для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь. Для цього, однак, має бути відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння.

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Як і у випадку рівнянь першого порядку, ми шукаємо загальне рішення однорідного рівняння, прирівнюючи праву неоднорідну частину до нуля:
(2) .
Загальне рішення такого рівняння має вигляд:
(3) .
Тут – довільні постійні; - n лінійно незалежних розв'язків однорідного рівняння (2), що утворюють фундаментальну систему розв'язків цього рівняння.

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

На другому етапі ми займемося варіацією постійних. Іншими словами, ми замінимо постійні на функції від незалежної змінної x:
.
Тобто ми шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у такому вигляді:
(4) .

Якщо ми підставимо (4) (1), то отримаємо одне диференціальне рівняння для n функцій . У цьому ми можемо пов'язати ці функції додатковими рівняннями. Тоді вийде n рівнянь, у тому числі можна визначити n функцій . Додаткові рівняння можна скласти у різний спосіб. Але ми це зробимо так, щоб рішення мало найпростіший вигляд. Для цього, при диференціюванні, необхідно прирівнювати до нуля члени, що містять похідні від функцій. Продемонструємо це.

Щоб підставити передбачуване рішення (4) у вихідне рівняння (1), потрібно знайти похідні перших n порядків від функції, записаної як (4). Диференціюємо (4), застосовуючи правила диференціювання суми та добутку:
.
Згрупуємо члени. Спочатку випишемо члени з похідними від , а потім члени з похідними від :

.
Накладемо на функції першу умову:
(5.1) .
Тоді вираз для першої похідної буде мати більш простий вигляд:
(6.1) .

Тим самим способом знаходимо другу похідну:

.
Накладемо на функції друга умова:
(5.2) .
Тоді
(6.2) .
І так далі. У додаткових умовах ми прирівнюємо члени, що містять похідні функції до нуля.

Таким чином, якщо вибрати наступні додаткові рівняння для функцій:
(5.k) ,
то перші похідних по матимуть найпростіший вид:
(6.k) .
Тут.

Знаходимо n-ю похідну:
(6.n)
.

Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1) ;






.
Врахуємо, що всі функції відповідають рівнянню (2):
.
Тоді сума членів, які містять дають нуль. У результаті отримуємо:
(7) .

В результаті ми отримали систему лінійних рівнянь для похідних:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Вирішуючи цю систему, знаходимо вирази похідних як функції від x . Інтегруючи, отримаємо:
.
Тут вже не залежать від x постійні. Підставляючи (4), отримуємо загальне рішення вихідного рівняння.

Зауважимо, що визначення величин похідних ми ніде не використовували той факт, що коефіцієнти a i є постійними. Тому метод Лагранжа застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння (2).

Приклади

Вирішити рівняння методом варіації постійних (лагранж).


Рішення прикладів > > >

Див. також: Вирішення рівнянь першого порядку методом варіації постійної (Лагранжа)
Вирішення рівнянь вищих порядків методом Бернуллі
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами лінійної підстановки

Метод варіації довільних постійних

Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

полягає у заміні довільних постійних c kу загальному рішенні

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

відповідного однорідного рівняння

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

на допоміжні функції c k (t) , похідні яких задовольняють лінійній алгебраїчній системі

Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z 1 ,z 2 ,...,z n що забезпечує її однозначну розв'язність щодо .

Якщо - первинні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція

є рішенням вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівняння за наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться, в такий спосіб, до квадратур .

Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язків системи лінійних диференціальних рівнянь у векторній нормальній формі

полягає у побудові приватного рішення (1) у вигляді

де Z(t) - базис розв'язків відповідного однорідного рівняння, записаний у вигляді матриці, а векторна функція, що замінила вектор довільних постійних, визначена співвідношенням. Шукане приватне рішення (з нульовими початковими значеннями при t = t 0 має вигляд

Для системи з постійними коефіцієнтами останній вираз спрощується:

Матриця Z(t)Z− 1 (τ)називається матрицею Кошіоператора L = A(t) .