У ряді випадків, для зручності розв'язання задач необхідно використовувати додаткові площини проекцій, перпендикулярні до наявних площин проекцій.
Якщо задані горизонтальна та фронтальна проекції точки, профільна проекція визначається за наступним алгоритмом.
Проводимо лінію проекційного зв'язку перпендикулярну до осі. Oz.
На даній лінії проекційного зв'язку відкладаємо відрізок А 1 А X =А Z А 3 .
Використовуючи це правило, можна будувати проекції точок на додаткові площини проекцій (метод заміни площин).
Нехай дана точка А(А 2 ,А 1 ) та нова додаткова площина проекцій П 4 П 1 . Побудувати А 4 - Проекцію точки Ана П 4 .
Рішення
а) Будуємо лінію перетину площин П 1 і П 4 = x 1,4 ;
b) Через точку Апроводимо лінію проекційного зв'язку x 1,4 .
c) Будуємо проекцію А 4 , використовую рівність відрізків А 2 А X =А 4 А X .
Дві проекції точки А 1 і А 4 лежать на одній лінії проекційного зв'язку перпендикулярного до осі X 1,4 .
Відстань від "нової" проекції точки А 4 до "нової" осі x 1,4 дорівнює відстані від "старої" проекції точки А 2 до "старої" осі x 1,2 .
Конкуруючі точки
Конкуруючими точками називають пару точок, що лежать на одному проєційному промені.
З двох конкуруючих точок видимою є та точка, яка далі розташована від площини проекцій.
Крапки Аі Вназивають горизонтально конкуруючими.
Крапки Зі Dназивають фронтально конкуруючими.
Ввести додаткову площину так, щоб точки Аі Встали конкуруючими.
План вирішення:
1 Будуємо вісь x 1,4 A 1 , B 1 ;
2 Будуємо лінію проекційного зв'язку x 1,4 ;
3 На лінії проекційного зв'язку відкладаємо відрізки A x A 2 = A / x A 4 , B x B 2 = B / x B 4 .
Матеріал для самостійного вивчення Моделювання об'єктів 2d-графіки у графічній системі компас Запуск системи компас та завершення роботи
Система КОМПАС-3D-V8 запускається аналогічно до інших програм. Для запуску системи необхідно вибрати меню \ Пуск\ Все програми\ АСКОН \КОМПАС-3D- V8 та запустити КОМПАС. Можна вибрати вказівником миші на полі робочого стола ярлик програми та двічі клацнути лівою кнопкою миші. Щоб відкрити документ, потрібно натиснути кнопку Відкрити на панелі Стандартна . Щоб розпочати новий документ, натисніть кнопку Створитина панелі Стандартнаабо виконайте команду Файл > Створитиі у діалоговому вікні виберіть тип створюваного документа і натисніть ОК.
Для завершення роботи виберіть меню Файл\Вихід, комбінацію клавіш Alt-F4 або клацнути на кнопці Закрити.
Основні типи документів графічної системи компас
Тип документа, створюваного у системі КОМПАС, залежить від інформації, що зберігається у цьому документі. Кожному типу документа відповідає розширення імені файлу та власна піктограма.
1 Креслення- основний тип графічного документа КОМПАС. Креслення містить графічне зображення виробу в одному або кількох видах, основний напис, рамку. Креслення КОМПАС завжди містить один аркуш заданого користувачем формату. Файл креслення має розширення .cdw.
2 Фрагмент- Допоміжний тип графічного документа в КОМПАС. Фрагмент відрізняється від креслення відсутністю рамки, основного напису та інших об'єктів оформлення конструкторського документа. У фрагментах зберігаються створені типові рішення для подальшого використання інших документах. Файл фрагмента має розширення .frw.
3 текстовий документ(розширення файлу . kdw);
4 Специфікація(розширення файлу . spw);
5 Складання(розширення файлу . a3 d);
6 Деталь- Тривимірне моделювання (розширення файлу . m3 d);
Глава 6. ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНИЙ КРЕСЛЕННЯ
§ 32. Комплексне креслення точки
Щоб побудувати зображення предмета, спочатку зображують окремі елементи у вигляді найпростіших елементів простору. Так, зображуючи геометричне тіло, слід збудувати його вершини, представлені точками; ребра, представлені прямими та кривими лініями; грані, представлені площинами тощо
Правила побудови зображень на кресленнях в інженерній графіці ґрунтуються на методі проекцій. Одне зображення (проекція) геометричного тіла не дозволяє судити про його геометричну форму або форму найпростіших геометричних образів, що становлять це зображення. Таким чином, не можна судити про положення точки у просторі за однією її проекцією; становище її у просторі визначається двома проекціями.
Розглянемо приклад побудови проекції точки А,розташованої у просторі двогранного кута (рис. 60). Одну з площин проекції розташуємо горизонтально, назвемо її горизонтальною площиною проекційі позначимо буквою П 1 .Проекції елементів
простору на ній позначатимемо з індексом 1: А 1, а 1, S 1 ... і називати горизонтальними проекціями(точки, прямий, площині).
Другу площину розташуємо вертикально перед спостерігачем, перпендикулярно до першої, назвемо її вертикальною площиною проекційі позначимо 2 .Проекції елементів простору на ній позначатимемо з індексом 2: А 2 2 і називати фронтальними проекціями(точки, прямий, площині). Лінію перетину площин проекцій назвемо віссю проекцій.
Спроектуємо точку Аортогонально на обидві поверхні проекцій:
АА 1 _|_ П 1 ;AА 1 ^П 1 =A 1;
АА 2 _|_ П 2 ;AА 2 ^П 2 =A 2;
Проєкуючі промені АА 1 та АА 2взаємно перпендикулярні і створюють у просторі проецірующую площину АА 1 АА 2перпендикулярну до обох сторін проекцій. Ця площина перетинає площини проекцій лініями, що проходять через проекції точки А.
Щоб отримати плоский креслення, сумісний горизонтальну площину проекцій П 1з фронтальною площиною П 2 обертанням навколо осі П 2 /П 1 (рис. 61 а). Тоді обидві проекції точки виявляться на одній лінії, перпендикулярній до осі П 2 /П 1 . Пряма А 1 А 2що з'єднує горизонтальну А 1та фронтальну А 2проекції точки, називається вертикальної лінії зв'язку.
Отриманий плоский креслення називається комплексним кресленням.Він є зображенням предмета на кількох суміщених площинах. Комплексне креслення, що складається з двох ортогональних проекцій, пов'язаних між собою, називається двопроекційним. На цьому кресленні горизонтальна та фронтальна проекції точки завжди лежать на одній вертикальній лінії зв'язку.
Дві пов'язані між собою ортогональні проекції точки однозначно визначають її положення щодо площин проекцій. Якщо визначити положення точки ащодо цих площин (рис. 61 б) її висотою h (АА 1 = h)та глибиною f(AA 2 =f ), то цівеличини на комплексному кресленні є як відрізки вертикальної лінії зв'язку. Ця обставина дозволяє легко реконструювати креслення, тобто визначити за кресленням положення точки щодо площин проекцій. Для цього достатньо в точці А 2 креслення відновити перпендикуляр до площини креслення (вважаючи її фронтальною) довжиною, що дорівнює глибині f. Кінець цього перпендикуляра визначить положення точки Ащодо площини креслення.
60.gif
Зображення:
61.gif
Зображення:
7. Запитання для самоперевірки
ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПРОВІРКИ
4. Як називається відстань, що визначає положення точки щодо площини проекцій П 1, П 2?
7. Як побудувати додаткову проекцію точки на площині П 4 _|_ П 2 , П 4 _|_ П 1 , П 5 _|_ П 4?
9. Як можна побудувати комплексне креслення точки за її координатами?
33. Елементи трипроекційного комплексного креслення точки
§ 33. Елементи трипроекційного комплексного креслення точки
Для визначення положення геометричного тіла у просторі та отримання додаткових відомостей на їх зображеннях може виникнути потреба у побудові третьої проекції. Тоді третю площину проекцій мають праворуч від спостерігача перпендикулярно одночасно горизонтальній площині проекцій. П 1та фронтальної площини проекцій П 2 (рис. 62, а). В результаті перетину фронтальної П 2
та профільний П 3
площин проекцій отримуємо нову вісь П 2 /П 3 ,
яка розташовується на комплексному кресленні паралельно до вертикальної лінії зв'язку A 1 A 2(Рис. 62, б).Третя проекція точки А- профільна - виявляється пов'язаною з фронтальною проекцією А 2новою лінією зв'язку, яку називають горизонталь-
Рис. 62
ної. Фронтальна та профільна проекції точки завжди лежать на одній горизонтальній лінії зв'язку. Причому A 1 A 2 _|_ А 2 А 1і А 2 А 3, _| _ П 2/П 3 .
Положення точки у просторі у разі характеризується її широтою- відстанню від неї до профільної площини проекцій П 3 , яке позначимо літерою нар.
Отриманий комплексний креслення точки називається трипроек-ційним.
У трипроекційному кресленні глибина точки АА 2проектується без спотворень на площині П 1 та П 2 (рис. 62, а).Ця обставина дозволяє побудувати третю – фронтальну проекцію точки. Аза її горизонтальною А 1та фронтальній А 2проекціям (рис. 62, в).Для цього через фронтальну проекцію точки необхідно провести горизонтальну лінію зв'язку. A 2 A 3 _|_A 2 A 1 .Потім будь-де на кресленні провести вісь проекцій П 2 /П 3 _|_ А 2 А 3виміряти глибину f точки на горизонтальному
поле проекції та відкласти її по горизонтальній лінії зв'язку від осі проекцій П 2 /П 3 . Отримаємо профільну проекцію А 3точки А.
Таким чином, на комплексному кресленні, що складається з трьох ортогональних проекцій точки, дві проекції знаходяться на одній лінії зв'язку; лінії зв'язку перпендикулярні до відповідних осей проекцій; Дві проекції точки цілком визначають положення її третьої проекції.
Необхідно відзначити, що на комплексних кресленнях, як правило, не обмежують площини проекцій та положення їх задають осями (рис. 62, в). У тих випадках, коли умовами завдання цього не вимагають.
ється, проекції точок можуть бути дані без зображення осей (рис. 63, а, б).Така система називається безосновою. Лінії зв'язку можуть проводитися з розривом (рис. 63, б).
62.gif
Зображення:
63.gif
Зображення:
34. Положення точки у просторі тривимірного кута
§ 34. Положення точки у просторі тривимірного кута
Розташування проекцій точок на комплексному кресленні залежить від положення точки просторі тривимірного кута. Розглянемо деякі випадки:
- точка розташована у просторі (див. рис. 62). У цьому випадку вона має глибину, висоту та широту;
- точка розташована на площині проекцій П 1- вона немає висоти, П 2 - немає глибини, Пз - немає широти;
- точка розташована на осі проекцій, П 2 /П 1 не має глибини та висоти, П 2 /П 3 - не має глибини та широти та П 1 /П 3 не має висоти та широти.
35. Конкуруючі точки
§ 35. Конкуруючі точки
Дві точки у просторі можуть бути розташовані по-різному. В окремому випадку вони можуть бути розташовані так, що їх проекції на якій-небудь площині проекцій збігаються. Такі точки називаються конкуруючими.На рис. 64, анаведено комплексне креслення точок Аі Ст.Вони розташовані так, що їх проекції збігаються на площині П 1 [А 1 = = В 1].Такі точки називаються горизонтально конкуруючими.Якщо проекції точок A і Взбігаються на площині
П 2(Рис. 64, б),вони називаються фронтально конкуруючими.І якщо проекції точок Аі Взбігаються на площині П 3 [А 3 == B 3 ] (Рис. 64, в), вони називаються профільно конкуруючими.
По конкуруючим точках визначають видимість на кресленні. У горизонтально конкуруючих точок буде видима та, у якої більша висота, у фронтально конкуруючих - та, у якої більша глибина, і у профільно конкуруючих - та, у якої більша широта.
64.gif
Зображення:
36. Заміна площин проекцій
§ 36. Заміна площин проекцій
Властивості трипроекційного креслення точки дозволяють по горизонтальній та фронтальній її проекціях будувати третю інші площини проекцій, введені замість заданих.
На рис. 65, апоказані крапка Ата її проекції - горизонтальна А 1та фронтальна 2 .За умовами завдання необхідно провести заміну площин П 2 . Нову площину проекції позначимо П 4 і розташуємо перпендикулярно П 1 .На перетині площин П 1та П 4 отримаємо нову вісь П 1 /П 4 .
Нова проекція точки А 4буде розташована на
лінії зв'язку, що проходить через точку А 1і перпендикулярно до осі П 1 /П 4 .
Оскільки нова площина П 4замінює фронтальну площину проекції П 2 , висота точки Азображується однаково в натуральну величину і на площині П 2 і на площині П 4 .
Ця обставина дозволяє визначити положення проекції A 4 ,у системі площин П 1 _|_ П 4(Рис. 65, б)на комплексному кресленні. Для цього достатньо виміряти висоту точки на замінній плоско-
сті проекції П 2 відкласти її на новій лінії зв'язку від нової осі проекцій - і нова проекція точки А 4буде збудовано.
Якщо нову площину проекцій ввести замість горизонтальної площини проекцій, тобто П 4 _|_ П 2 (рис. 66, а),тоді в новій системі площин нова проекція точки перебуватиме на одній лінії зв'язку з фронтальною проекцією, причому А 2 А 4 _|_.У цьому випадку глибина точки однакова і на площині П 1 ,і на площині П 4 .На цій підставі будують А 4(Рис. 66, б)на лінії зв'язку А 2 А 4на такій відстані від нової осі П 1 /П 4 на якій А 1знаходиться від осі П 2/П 1 .
Як зазначалося, побудова нових додаткових проекцій завжди пов'язані з конкретними завданнями. Надалі буде розглянуто ряд метричних та позиційних завдань, які вирішуються із застосуванням методу заміни площин проекцій. У завданнях, де запровадження однієї додаткової площини не дасть бажаного результату, вводять ще одну додаткову площину, яку позначають П 5 . Її мають перпендикулярно вже введеній площині П 4 (Рис. 67, а), тобто П 5 П 4 і виробляють побудову, аналогічне раніше розглянутим. Тепер відстані вимірюють на другий з основних площин проекцій, що заміняється (на рис. 67, бна площині П 1)та відкладають їх на новій лінії зв'язку А 4 А 5від нової осі проекцій П5/П4. У новій системі площин П 4 П 5 отримують новий двопроекційний креслення, що складається з ортогональних проекцій А 4та А 5 , пов'язаних лінією зв'язку
Поверхні багатогранників, як відомо, обмежені плоскими фігурами. Отже, точки, задані на поверхні багатогранника хоча б однією проекцією, є певними точками. Те саме відноситься до поверхонь інших геометричних тіл: циліндра, конуса, кулі та тора, обмежених кривими поверхнями.
Умовимося зображати видимі точки, що лежать на поверхні тіла, кружками, невидимі точки - зачорненими кружками (крапками); видимі лінії зображатимемо суцільними, а невидимі — штриховими лініями.
Нехай задана горизонтальна проекція А точки А, що лежить на поверхні прямої трикутної призми (рис. 162, а).
TBegin-->TEnd-->
Як видно з креслення, передня і задня основи призми паралельні фронтальній площині проекцій П 2 і проектуються на неї без спотворення, нижня бічна грань призми паралельна горизонтальній площині проекцій П 1 і також проектується без спотворення. Бічні ребра призми є фронтально-проецирующими прямими, тому фронтальну площину проекцій П 2 вони проектуються як точок.
Оскільки проекція А1. зображена світлим кружком, то точка А - видима і, отже, знаходиться на правій бічній грані призми. Ця грань є фронтально-проецуючою площиною, і фронтальна проекція А2 точки повинна співпадати з фронтальною проекцією площини, що з'явилася прямою лінією.
Провівши постійну пряму k 123 знаходимо третю проекцію А 3 точки А. При проектуванні на профільну площину проекцій точка А буде невидимою, тому точка А 3 зображена зачорненим кружком. Завдання точки фронтальної проекцією 2 є невизначеним, так як воно не визначає відстані точки від передньої основи призми.
Побудуємо ізометричну проекцію призми та точки А (рис. 162, б). Побудова зручно розпочати з передньої основи призми. Будуємо трикутник основи за розмірами, взятими з комплексного креслення; по осі у" відкладаємо розмір ребра призми. Аксонометричне зображення А" точки А будуємо за допомогою координатної ламаної, обведеної на обох кресленнях подвійною тонкою лінією.
Нехай задана фронтальна проекція З точки 2, що лежить на поверхні правильної чотирикутної піраміди, заданої двома основними проекціями (рис. 163, а). Потрібно збудувати три проекції точки С.
З фронтальної проекції видно, що вершина піраміди знаходиться вище за квадратну основу піраміди. При цьому всі чотири бічні грані будуть видимими при проектуванні на горизонтальну площину проекцій П 1 . При проектуванні на фронтальну площину проекцій П 2 видимою буде передня грань піраміди. Оскільки проекція 2 зображена на кресленні світлим кружком, то точка З видима і належить передній грані піраміди. Для побудови горизонтальної проекції 1 проводимо через точку 2 допоміжну пряму D 2 Е 2 паралельну лінії основи піраміди. Знаходимо її горизонтальну проекцію D 1 E 1 і на ній точку С 1. За наявності третьої проекції піраміди горизонтальну проекцію точки С 1 знаходимо більш просто: знайшовши профільну проекцію С 3 по двох проекціях будуємо третю за допомогою горизонтальної і горизонтально-вертикальної ліній зв'язку. Хід побудови показано на кресленні стрілками.
TBegin--> 
TEnd-->
Побудуємо диметричну проекцію піраміди та точки С (рис. 163, б). Будуємо основу піраміди; для цього через точку О, взяту на осі r, проводимо осі х і у; по осі х" відкладаємо дійсні розміри основи, а по осі у" - зменшені вдвічі. Через отримані точки проводимо прямі, паралельні до осей х" і у". По осі z" відкладаємо висоту піраміди; отриману точку з'єднуємо з точками основи, враховуючи видимість ребер. Для побудови точки З користуємося координатною ламаною, обведеною на кресленнях подвійною тонкою лінією. Для перевірки точності рішення проводимо через знайдену точку С пряму D"E", парале осі х". Її довжина повинна дорівнювати довжині прямої D 2 E 2 (або D 1 E 1).
ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ.
ОРТОГОНАЛЬНА СИСТЕМА ДВОХ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ.
Сутність методу ортогонального проектування полягає в тому, що предмет проектується на дві взаємно перпендикулярні площині променями, ортогональними (перпендикулярними) до цих площин.
Одну з площин проекцій H розташовують горизонтально, а другу V вертикально. Площина H називають горизонтальною площиною проекцій, V - фронтальною. Площини H і V нескінченні та непрозорі. Лінія перетину площин проекцій називається віссю координат і позначається OX. Площини проекцій ділять простір на чотири двогранні кути - чверті.
Розглядаючи ортогональні проекції, припускають, що спостерігач знаходиться в першій чверті на великій відстані від площин проекцій. Так як ці площини непрозорі, то видимими для спостерігача будуть ті точки, лінії і фігури, які розташовані в межах тієї ж першої чверті.
При побудові проекцій слід пам'ятати, що ортогональною проекцією точкина площину називається основа перпендикуляра, опущеного з цієї точкина цю площину.
На малюнку показано точку Ата її ортогональні проекції а 1і а 2 .
Крапку а 1називають горизонтальною проекцієюточки А,точку а 2- її фронтальною проекцією. Кожна з них є основою перпендикуляра, опущеного з точки Авідповідно на площині Hі V.
Можна довести, що проекції точкизавжди розташовані на прямих, перпендікулярних осіОХ і перетинають цю вісьв одній і тій же точці.Справді, проєціруючі промені Аа 1і Аа 2визначають площину, перпендикулярну площинам проекцій та лінії їх перетину. ОХ.Ця площина перетинає Hі Vза прямим а 1 аxі а 1 аx, які утворюють із віссю OXі один з одним прямі кути з вершиною в точці аx.
Справедливе і протилежне, тобто. якщо на площинах проекцій дані точкиa 1 і a 2 , розташовані на прямих, що перетинаютьвісь OXу цій точці під прямим кутом,то вони є деякими проекціямиточки А.Ця точка визначається перетином перпендикулярів, відновлених з точок a 1 і a 2 до площин Hі V.
Зауважимо, що становище площин проекцій у просторі може бути іншим. Наприклад, обидві площини, будучи взаємно перпендикулярними, можуть бути вертикальними.
Щоб отримати плоский креслення, що складається із зазначених вище проекцій, площина Hпоєднують обертанням навколо осі OXз площиною Vяк показано стрілками на малюнку. В результаті передня напівплощина Hбуде поєднана з нижньою напівплощиною V, а задня напівплощина H- З верхньою напівплощиною V.
Проекційне креслення, на якому площини проекцій з усім тим, що на них зображено, суміщені певним чином одна з одною, називається епюром(Від франц. Еpure - креслення). На малюнку показано епюр точки А.
При такому способі суміщення площин Hі Vпроекції a 1 і a 2 виявляться розташованими на одному перпендикулярі до осі OX. При цьому відстань a 1 a x — від горизонтальної проекції точки до осі OX Адо площини V, а відстань a 2 a x — від фронтальної проекції точки до осі OXдорівнює відстані від самої точки Адо площини H.
Прямі лінії, що з'єднують різні проекції точки на епюрі, умовимося називати лініями проекційного зв'язку.
Положення проекцій точок на епюрі залежить від того, в якій чверті знаходиться ця точка. Так, якщо точка Врозташована в другій чверті, то після суміщення площин обидві проекції виявляться лежачими над віссю OX.
Якщо точка Ззнаходиться в третій чверті, то її горизонтальна проекція після суміщення площин виявиться над віссю, а фронтальна - під віссю OX. Нарешті, якщо точка Dрозташована у четвертій чверті, то обидві проекції її опиняться під віссю OX. На малюнку показані точки Мі N, що лежить на площині проекції. При такому положенні точка збігається з однією зі своїх проекцій, інша ж проекція її виявляється лежачою на осі OX. Ця особливість відображена і в позначенні: біля проекції, з якою збігається сама точка, пишеться велика літера без індексу.
Слід зазначити і випадок, коли обидві проекції точки збігаються. Так буде, якщо точка знаходиться у другій чи четвертій чверті на однаковій відстані від площин проекцій. Обидві проекції поєднуються з точкою, якщо остання розташована на осі OX.
ОРТОГОНАЛЬНА СИСТЕМА ТРИХ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ.
Вище було показано, що дві проекції точки визначають її положення у просторі. Оскільки кожна фігура чи тіло є сукупність точок, можна стверджувати, як і дві ортогональні проекції предмета (за наявності буквених позначень) цілком визначають його форму.
Однак у практиці зображення будівельних конструкцій, машин та різних інженерних споруд виникає потреба у створенні додаткових проекцій. Вчиняють так з єдиною метою — зробити проекційне креслення більш ясним, легкочитаним.
Модель трьох площин проекцій показано малюнку. Третя площина, перпендикулярна та Hі V, позначається літерою Wі називається профільний.
Проекції точок на цю площину також іменуватимуться профільними, а позначають їх великими літерами або цифрами з індексом 3 (aз,bз,cз, ...1з, 2з, 33...).
Площини проекцій, попарно перетинаючи, визначають три осі: ПроX, ПроYі ПроZ, які можна як систему прямокутних декартових координат у просторі з початком у точці О. Система знаків, зазначена малюнку, відповідає «правої системі» координат.
Три площини проекцій ділять простір на вісім тригранних кутів – це так звані октанти. Нумерація октантів дано малюнку.
Для отримання епюру площині Hі Wобертають, як показано на малюнку, до суміщення з площиною V. В результаті обертання передня напівплощина Hвиявляється суміщеною з нижньою напівплощиною V, а задня напівплощина H- З верхньою напівплощиною V. При повороті на 90 ° навколо осі ПроZпередня півплощина Wпоєднається з правою напівплощиною V, а задня напівплощина W- з лівою напівплощиною V.
Остаточний вигляд всіх суміщених площин проекцій дано малюнку. На цьому кресленні осі ПроXі ПроZ, що лежать у не рухомій площині V, зображені лише один раз, а вісь ПроYпоказано двічі. Пояснюється це тим, що, обертаючись із площиною H, вісь ПроYна епюрі поєднується з віссю ПроZ, а обертаючись разом із площиною W, ця ж вісь поєднується з віссю ПроX.
Надалі при позначенні осей на епюрі негативні півосі (- ПроX, — ПроY, — ПроZ) вказуватись не будуть.
ТРИ КООРДИНАТИ І ТРИ ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ І ЇЇ РАДІУСА-ВЕКТОРА.
Координатами називають числа, якіставлять у відповідність точці для визначенняня її положення у просторі або наповерхні.
У тривимірному просторі положення точки встановлюють за допомогою прямокутних декартових координат х, уі z.
Координату хназивають абсцисою, у— ординатоюі z — аплікати.Абсцисса хвизначає відстань від цієї точки до площини W, ордината у -до площини Vта аплікату z - до площини H. Прийнявши для відліку координат точки систему, показану малюнку, складемо таблицю знаків координат переважають у всіх восьми октантах. Будь-яка точка простору А,задана координатами, позначатиметься так: A(х, у,z).
Якщо х = 5, y = 4 і z = 6, то запис набуде наступного вигляду А(5, 4, 6). Ця точка А,всі координати якої позитивні, перебуває у першому октанті
Координати точки Ає разом з тим і координатами її радіусу-вектора
ОАпо відношенню до початку координат. Якщо i, j, k- одиничні вектори, спрямовані відповідно вздовж координатних осей х, у,z(малюнок), то
ОА =ПроA x i+ОАyj + ОАzk , де ОА Х, ОА У, ОА гкоординати вектора ОА
Побудову зображення самої точки та її проекцій на просторовій моделі (малюнок) рекомендується здійснювати за допомогою координатного прямокутного паралелепіпеда. Насамперед на осях координат від точки Провідкладають відрізки, відповідно рівні 5, 4 та 6одиницям довжини. На цих відрізках (Проa x , Проa y , Проa z ), як на ребрах, будують прямокутний паралелепіпед. Вершина його, протилежна початку координат, і визначатиме задану точку А.Легко помітити, що для визначення точки Адостатньо побудувати лише три ребра паралелепіпеда, наприклад Проa x , a x a 1 і a 1 Аабо Проa y , a y a 1 і a 1 Aі т. д. Ці ребра утворюють координатну ламану лінію, довжина кожної ланки якої визначається відповідною координатою точки.
Однак побудова паралелепіпеда дозволяє визначити не лише точку А,але й усі три її ортогональні проекції.
Променями, що проектують точку на площині H, V, Wє ті три ребра паралелепіпеда, які перетинаються в точці А.
Кожна з ортогональних проекцій точки А,будучи розташованою на площині, визначається лише двома координатами.
Так, горизонтальна проекція a 1 визначається координатами хі у,фронтальна проекція a 2 - координатами х іz, профільна проекція a 3 — координатами уі z. Але дві будь-які проекції визначаються трьома координатами. Ось чому завдання точки двома проекціями рівносильне завдання точки трьома координатами.
На епюрі (малюнок), де всі площини проекцій суміщені, проекції a 1 і a 2 опиняться на одному перпендикулярі до осі ПроX, а проекції a 2 і a 3 — на одному перпендикулярі до осі OZ.
Щодо проекцій a 1 і a 3 , то й вони пов'язані прямими a 1 a yі a 3 a y , перпендикулярні осі ПроY. Але оскільки ця вісь на епюрі займає два положення, то відрізок a 1 a yне може бути продовженням відрізка a 3 a y .
Побудова проекцій точки А (5, 4, 6)на епюрі по заданим координатамвиконують у такій послідовності: насамперед на осі абсцис від початку координат відкладають відрізок Проa x = х(у нашому випадку х =5), потім через точку a xпроводять перпендикуляр до осі ПроX, на якому з урахуванням знаків відкладаємо відрізки a x a 1 = у(отримуємо a 1 ) і a x a 2 = z(отримуємо a 2 ). Залишається побудувати профільну проекцію точки a 3 . Оскільки профільна та фронтальна проекції точки повинні бути розташовані на одному перпендикулярі до осі OZ , то через a 3 проводять пряму a 2 a z ^ OZ.
Зрештою, виникає останнє питання: на якій відстані від осі ПроZповинна бути a 3 ?
Розглядаючи координатний паралелепіпед (див. малюнок), ребра якого a z a 3 = O a y = a x a 1 = yукладаємо, що шукана відстань a z a 3 одно у.Відрізок a z a 3 відкладають праворуч від осі ОZ, якщо у>0, і вліво, якщо у
Простежимо за тим, які зміни відбудуться на епюрі, коли точка почне змінювати своє становище у просторі.
Нехай, наприклад, точка А (5, 4, 6)буде переміщатися по прямій, перпендикулярній площині V. При такому русі змінюватиметься лише одна координата у,показує відстань від точки до площини V. Постійними залишатимуться координати х іz , а проекція точки, яка визначається цими координатами, тобто. a 2 не змінить свого становища.
Щодо проекцій a 1 і a 3 , то перша почне наближатися до осі ПроX, друга - до осі ПроZ. На малюнках новому положенню точки відповідають позначення a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). У той момент, коли точка опиниться на площині V(y = 0), дві з трьох проекцій ( a 1 2 і a 3 2 ) лежатимуть на осях.
Перемістившись із Iоктанта в II, точка почне віддалятися від площини V, координата устане негативною, її абсолютна величина зростатиме. Горизонтальна проекція цієї точки, будучи розташованою на задній півплощині H, на епюрі виявиться вище осі ПроX, а профільна проекція, перебуваючи на задній півплощині W, на епюрі буде ліворуч від осі ПроZ. Як завжди, відрізок a za 3 3 = у.
На наступних епюрах ми не позначатимемо літерами точки перетину координатних осей з лініями проекційного зв'язку. Це певною мірою спростить креслення.
Надалі зустрінуться епюри без координатних осей. Так роблять на практиці при зображенні предметів, коли істотно тільки саме зображаєня предмета, а не його положенняплощ проекцій.
Площини проекцій у разі визначені з точністю лише до паралельного перенесення (малюнок). Їх зазвичай переміщають паралельно самим собі з таким розрахунком, щоб усі точки предмета опинилися над площиною Hі перед площиною V. Оскільки положення осі X 12 виявляється невизначеним, то освіту епюра в цьому випадку не потрібно пов'язувати з обертанням площин навколо координатної осі. При переході до епюру площині Hі Vпоєднують так, щоб різнименні проекції точок були розташовані на вертикальних прямих.
Безвісний епюр точок А та В(малюнок) невизначає їх положення у просторі,але дозволяє судити про їх відносне орієнтування.Так, відрізок Δx характеризує зміщення точки Апо відношенню до точки Ву напрямку, паралельному площинам H і V. Іншими словами, Δx вказує, наскільки точка Арозташована ліворуч від точки Ст.Відносне зміщення точки в напрямку, перпендикулярному площині V визначається відрізком Δy, тобто точка А внашому прикладі ближче до спостерігача, ніж точка В,на відстань, що дорівнює Δy.
Нарешті, відрізок Δz показує перевищення точки Анад точкою Ст.
Прибічники безвісного вивчення курсу накреслювальної геометрії справедливо вказують, що з вирішенні багатьох завдань можна обходитися без осей координат. Однак повну відмову від них не можна визнати за доцільне. Накреслювальна геометрія покликана підготувати майбутнього інженера як грамотного виконання креслень, до рішення різних технічних завдань, серед яких останнє місце займають завдання просторової статики і механіки. А для цього необхідно виховувати вміння орієнтувати той чи інший предмет щодо декартових осей координат. Зазначені навички будуть необхідні і при вивченні таких розділів накреслювальної геометрії, як перспектива та аксонометрія. Тому на низці епюрів цієї книги ми зберігаємо зображення координатних осей. Такі креслення визначають як форму предмета, а й його розташування щодо площин проекцій.
Проеціювання точки на три площині проекцій координатного кута починають з отримання її зображення на площині H - горизонтальній площині проекцій. Для цього через точку А (рис. 4.12 а) проводять проецірующий промінь перпендикулярно площині H.
На малюнку перпендикуляр до площини Н паралельний осі Oz. Точку перетину променя з площиною Н (точку а) вибирають довільно. Відрізок Аа визначає, на якій відстані знаходиться точка А від площини Н, вказуючи тим самим положення точки А на малюнку по відношенню до площин проекцій. Точка є прямокутною проекцією точки А на площину Н і називається горизонтальною проекцією точки А (рис. 4.12, а).
Для отримання зображення точки А на площині V (рис. 4.12,б) через точку А проводять проєкуючий промінь перпендикулярно до фронтальної площини проекцій V. На малюнку перпендикуляр до площини V паралельний осі Оу. На площині Н відстань від точки А до площини V зобразиться відрізком аа х, паралельним осі Оу та перпендикулярним осі Ох. Якщо уявити, що проецирующий промінь і його зображення проводять одночасно в напрямку площини V, то коли зображення променя перетне вісь Ох в точці а х, промінь перетне площину V в точці а". Провівши з точки а х в площині V перпендикуляр до осі Ох , Який є зображенням проецирующего променя Аа на площині V, у перетині з проецирующим променем отримують точку а". Точка а є фронтальною проекцією точки А, тобто її зображенням на площині V.
Зображення точки А на профільній площині проекцій (рис. 4.12, в) будують за допомогою проекуючого променя, перпендикулярного площині W. На малюнку перпендикуляр до площини W паралельний осі Ох. Проецирующий промінь від точки А до площини W на площині Н зобразиться відрізком аа у паралельним осі Ох і перпендикулярним осі Оу. З точки Оу паралельно осі Oz і перпендикулярно осі Оу будують зображення проецирующего променя аА і в перетині з проецирующим променем отримують точку а". Точка а" є профільною проекцією точки А, тобто зображення точки А на площині W.
Точку а" можна побудувати, провівши від точки а" відрізок а"а z (зображення проецирующего променя Аа" на площині V) паралельно осі Ох, а від точки а z - відрізок а"а z паралельно осі Оу до перетину з проецирующим променем.
Отримавши три проекції точки на площинах проекцій, координатний кут розгортають в одну площину, як показано на рис. 4.11 б, разом з проекціями точки А і проектують променів, а точку А і проецірующие промені Аа, Аа" і Аа" прибирають. Краї суміщених площин проекцій не проводять, а проводять лише осі проекцій Oz, Оу та Ох, Оу 1 (рис. 4.13).
Аналіз ортогонального креслення точки показує, що три відстані - Аа", Аа і Аа" (рис. 4.12, в), що характеризують положення точки А в просторі, можна визначити, відкинувши сам об'єкт проектування - точку А на розгорнутому в одну площину координатному вугіллі (Рис. 4.13). Відрізки а"а z , аа y та Оа х рівні Аа" як протилежні сторони відповідних прямокутників (рис. 4.12,в та 4.13). Вони визначають відстань, де знаходиться точка А від профільної площини проекцій. Відрізки а"а х, а"а у1 та Оа у рівні відрізку Аа, визначають відстань від точки А до горизонтальної площини проекцій, відрізки аа х, а"а z та Оа y 1 рівні відрізку Аа", що визначає відстань від точки А до передньої поверхні проекцій.
Відрізки Оа х, Оа у і Оа z розташовані на осях проекцій, є графічним виразом розмірів координат X, Y і Z точки А. Координати точки позначають з індексом відповідної літери. Вимірявши величину цих відрізків, можна визначити положення точки у просторі, тобто встановити координати точки.
На епюрі відрізки а"а х і аа х розташовуються як одна лінія, перпендикулярна до осі Ох а відрізки а"а z та a"a z - до осі Оz. Ці лінії називаються лініями проекційного зв'язку. Вони перетинають осі проекцій у точках а х і а z відповідно Лінія проекційного зв'язку, що з'єднує горизонтальну проекцію точки А з профільною, виявилася "розрізаною" у точці а у.
Дві проекції однієї і тієї ж точки завжди розташовуються на одній лінії проекційного зв'язку перпендикулярної до осі проекцій.
Для представлення положення точки у просторі достатньо двох її проекцій та заданого початку координат (точка) На рис. 4.14 б дві проекції точки повністю визначають її положення в просторі За цими двома проекціями можна побудувати профільну проекцію точки А. Тому в подальшому, якщо не буде необхідності в профільній проекції, епюри будуть побудовані на двох площинах проекцій: V і Н.
Рис. 4.14. Рис. 4.15.
Розглянемо кілька прикладів побудови та читання креслення точки.
приклад 1.Визначення координат точки J заданої на епюрі двома проекціями (рис. 4.14). Вимірюються три відрізки: відрізок Ов Х (координата X), відрізок b Х b (координата Y) і відрізок b Х b" (координата Z). Координати записують у наступному рядку: X, Y і Z, після літерного позначення точки, наприклад , В20;30;15.
Приклад 2. Побудова точки за заданими координатами. Точка З задана координатами С30; 10; 40. На осі Ох (рис. 4.15) знаходять точку з х, у якій лінія проекційного зв'язку перетинає вісь проекцій. Для цього по осі Ох від початку координат (точка) відкладають координату X (розмір 30) і отримують точку з х. Через цю точку перпендикулярно осі Ох проводять лінію проекційного зв'язку і від точки вниз відкладають координату У (розмір 10), отримують точку з горизонтальну проекцію точки С. Вгору від точки с х по лінії проекційного зв'язку відкладають координату Z (розмір 40), отримують точку с" - фронтальну проекцію точки С.
Приклад 3. Побудова профільної проекції точки за заданими проекціями. Задані проекції точки D - d і d". Через точку проводять осі проекцій Oz, Oy і Оу 1 (рис. 4.16, а). Для побудови профільної проекції точки D відточки d" проводять лінію проекційного зв'язку, перпендикулярну осі Oz, і продовжують її праворуч за вісь Oz. На цій лінії розташовуватиметься профільна проекція точки D. Вона перебуватиме на такій відстані від осі Oz, на якій горизонтальна проекція точки d розташовується: від осі Ох, тобто на відстані dd x . Відрізки d z d" і dd x однакові, так як визначають одну і ту ж відстань - відстань від точки D до фронтальної площини проекцій. Ця відстань є координатою точки D.
Графічно відрізок d z d" будують перенесенням відрізка dd x з горизонтальної площини проекцій на профільну. Для цього проводять лінію проекційного зв'язку паралельно осі Ох, отримують на осі Оу точку d y (рис. 4.16,б). Потім переносять розмір відрізка Od y на вісь Оу 1 , провівши з точки Про дугу радіусом, рівним відрізку Od y до перетину з віссю Оу 1 (рис. 4.16,б), отримують точку dy 1. Цю точку можна побудувати і як показано на рис.4.16, в, провівши пряму під кутом 45° до осі Оу з точки d y. З точки d y1 проводять лінію проекційного зв'язку паралельно осі Oz і на ній відкладають відрізок, рівний відрізку d"d x одержують точку d".
Перенесення величини відрізка d x d на профільну площину проекцій можна здійснити за допомогою постійного прямого креслення (рис. 4.16, г). У цьому випадку лінію проекційного зв'язку dd y проводять через горизонтальну проекцію точки паралельно осі Оу 1 до перетину з постійною прямою, а потім паралельно осі Оу до перетину з продовженням лінії проекційного зв'язку d"d z .
Окремі випадки розташування точок щодо площин проекцій
Положення точки щодо площини проекцій визначається відповідною координатою, тобто величиною відрізка лінії проекційного зв'язку від осі Ох до відповідної проекції. На рис. 4.17 координата У точки А визначається відрізком аа х - відстань від точки А до площини V. Координата Z точки А визначається відрізком а"а х - відстань від точки А до площини Н. Якщо одна з координат дорівнює нулю, то точка розташована на площині проекцій Координата Z точки В дорівнює нулю, точка знаходиться в площині Н. Її фронтальна проекція знаходиться на осі Ох і збігається з точкою b х. Координата У точки С дорівнює нулю, точка розташовується на площині V, її горизонтальна проекція знаходиться на осі Ох і збігається з точкою з х.
Отже, якщо точка знаходиться на площині проекцій, одна з проекцій цієї точки лежить на осі проекцій.
На рис. 4.17 координати Z та Y точки D дорівнюють нулю, отже, точка D знаходиться на осі проекцій Ох та дві її проекції збігаються.
