Harjutus. Juhuslike muutujate X ja Y väärtuspaaride tabamuste arv vastavates intervallides on toodud tabelis. Nende andmete põhjal leidke valimi korrelatsioonikordaja ja sirge regressioonisirgete Y valimivõrrandid X-l ja X-il Y .
Otsus

Näide. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) tõenäosusjaotus on antud tabeli abil. Leia komponentsuuruste X, Y ja korrelatsioonikordaja p(X, Y) jaotuse seadused.
Laadige lahendus alla

Harjutus. Kahemõõtmeline diskreetne väärtus (X, Y) antakse jaotusseadusega. Leia X ja Y komponentide jaotusseadused, kovariatsioon ja korrelatsioonikordaja.

Olgu antud kahemõõtmeline juhuslik suurus $(X,Y)$.

Definitsioon 1

Kahemõõtmelise juhusliku muutuja $(X,Y)$ jaotusseadus on võimalike arvupaaride hulk $(x_i,\ y_j)$ (kus $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) ja nende tõenäosused $p_(ij)$ .

Kõige sagedamini on kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseadus kirjutatud tabeli kujul (tabel 1).

Joonis 1. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotuse seadus.

Tuletame nüüd meelde teoreem sõltumatute sündmuste tõenäosuste liitmise kohta.

1. teoreem

Lõpliku arvu sõltumatute sündmuste $(\ A)_1$, $(\ A)_2$, ... ,$\ (\ A)_n$ summa tõenäosus arvutatakse valemiga:

Selle valemi abil on võimalik saada jaotusseadused kahemõõtmelise juhusliku muutuja iga komponendi kohta, st:

Siit järeldub, et kahemõõtmelise süsteemi kõigi tõenäosuste summal on järgmine kuju:

Vaatleme üksikasjalikult (samm-sammult) probleemi, mis on seotud kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseaduse mõistega.

Näide 1

Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseadus on toodud järgmises tabelis:

Joonis 2.

Leidke juhuslike suuruste $X,\ Y$, $X+Y$ jaotuse seadused ja kontrollige igal juhul, et tõenäosuste summa on võrdne ühega.

1. Leiame esmalt juhusliku suuruse $X$ jaotuse. Juhusliku muutuja $X$ väärtused võivad olla $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Jaotuse leidmiseks kasutame teoreemi 1.

Leiame esmalt tõenäosuste summa $x_1$ järgmiselt:

Joonis 3

Samamoodi leiame $P\left(x_2\right)$ ja $P\left(x_3\right)$:

\ \

Joonis 4

1. Leiame nüüd juhusliku suuruse $Y$ jaotuse. Juhusliku muutuja $Y$ väärtused võivad olla $x_1=1,$ $x_2=3$, $x_3=4$. Jaotuse leidmiseks kasutame teoreemi 1.

Leiame esmalt tõenäosuste summa $y_1$ järgmiselt:

Joonis 5

Samamoodi leiame $P\left(y_2\right)$ ja $P\left(y_3\right)$:

\ \

Seega on suuruse $X$ jaotusseadusel järgmine vorm:

Joonis 6

Kontrollime tõenäosuste kogusumma võrdsuse täitumist:

1. Jääb üle leida juhusliku suuruse $X+Y$ jaotuse seadus.

Määrake see mugavuse huvides $Z$ kaudu: $Z=X+Y$.

Kõigepealt uurime, milliseid väärtusi see kogus võib võtta. Selleks liidame paarikaupa väärtused $X$ ja $Y$. Saame järgmised väärtused: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Kui nüüd sobitatud väärtused kõrvale jätta, saame, et juhuslik muutuja $X+Y$ võib võtta väärtused $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Esiteks leiame $P(z_1)$. Kuna $z_1$ väärtus on üksik, leitakse see järgmiselt:

Joonis 7

Kõik tõenäosused leitakse sarnaselt, välja arvatud $P(z_4)$:

Leiame nüüd $P(z_4)$ järgmiselt:

Joonis 8

Seetõttu on $Z$ levitamisseadusel järgmine vorm:

Joonis 9

Kontrollime tõenäosuste kogusumma võrdsuse täitumist:

Definitsioon. Kui elementaarsündmuste samal ruumil on antud kaks juhuslikku muutujat X ja jah siis öeldakse, et on antud kahemõõtmeline juhuslik suurus (X,Y) .

Näide. Masin tembeldab terasplaate. Pikkus kontrollitud X ja laius Y. − kahemõõtmeline SW.

SW X ja Y neil on oma jaotusfunktsioonid ja muud omadused.

Definitsioon. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) jaotusfunktsioon nimetatakse funktsiooniks.

Definitsioon. Diskreetse kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, jah) nimetatakse lauaks

Kahemõõtmelise diskreetse SW jaoks.

Omadused:

2) kui , siis ; kui siis ;

4) − jaotusfunktsioon X;

− jaotusfunktsioon Y.

Ristküliku kahemõõtmelise SW väärtuste tabamise tõenäosus:

Definitsioon. 2D juhuslik suurus (X,Y) helistas pidev kui selle jaotusfunktsioon on pidev sees ja sellel on kõikjal (välja arvatud piiratud arv kõveraid) pidev teist järku segatud osatuletis .

Definitsioon. Kahemõõtmelise pideva SW ühise tõenäosusjaotuse tihedus nimetatakse funktsiooniks.

Siis ilmselgelt .

Näide 1 Kahemõõtmeline pidev SW on antud jaotusfunktsiooniga

Siis on jaotustihedusel vorm

Näide 2 Kahemõõtmeline pidev SW on antud jaotustihedusega

Leiame selle jaotusfunktsiooni:

Omadused:

3) mis tahes ala jaoks.

Olgu liigeste jaotustihedus teada. Seejärel leitakse kahemõõtmelise SW iga komponendi jaotustihedus järgmiselt:

Näide 2 (jätkub).

Kahemõõtmeliste SW komponentide jaotustihedusi nimetavad mõned autorid marginaalne tõenäosusjaotuse tihedus .

Diskreetse RV süsteemi komponentide jaotuse tingimuslikud seadused.

Tingimuslik tõenäosus , kus .

Komponendi tingimuslik jaotusseadus X aadressil:

Samamoodi , kus .

Teeme tingimusliku jaotuse seaduse X juures Y= 2.

Siis tingimusliku jaotuse seadus

Definitsioon. X-komponendi tingimuslik jaotustihedus antud väärtuses Y=y kutsus .

Samamoodi: .

Definitsioon. tingimuslik matemaatilised ootan diskreetset SW Y-d at nimetatakse , kus − vt eespool.

Seega,.

Sest pidev SW Y .

Ilmselgelt on see argumendi funktsioon X. Seda funktsiooni nimetatakse regressioonifunktsioon Y X-l .

Sarnaselt määratletud x-on-y regressioonifunktsioon : .

Teoreem 5. (Sõltumatute RV-de jaotusfunktsiooni kohta)

SW X ja Y

Tagajärg. Pidev SW X ja Y on sõltumatud siis ja ainult siis, kui .

Näites 1 koos . Seetõttu on SW X ja Y sõltumatu.

Kahemõõtmelise juhusliku suuruse komponentide arvkarakteristikud

Diskreetse CB jaoks:

Pideva SW jaoks: .

Kõigi SW-de dispersioon ja standardhälve määratakse samade meile tuntud valemitega:

Definitsioon. Punkti nimetatakse hajutuskeskus kahemõõtmeline SW.

Definitsioon. Kovariatsioon (korrelatsioonimoment) NE kutsutakse

Diskreetse SW jaoks: .

Pideva SW jaoks: .

Arvutamise valem: .

Sõltumatute CB-de jaoks.

Karakteristiku ebamugavus seisneb selle mõõtmes (komponentide mõõtühiku ruut). Järgmine kogus on sellest puudusest vaba.

Definitsioon. Korrelatsioonikordaja SW X ja Y helistas

Sõltumatute CB-de jaoks.

Iga SW paari jaoks . On teada, et siis ja ainult siis kus.

Definitsioon. SW X ja Y helistas korrelatsioonita , kui .

SW korrelatsiooni ja sõltuvuse vaheline seos:

− kui CB X ja Y korrelatsioonis, st. , siis on nad sõltuvad; vastupidine pole tõsi;

− kui CB X ja Y iseseisev siis ; vastupidine pole tõsi.

Märkus 1. Kui SW X ja Y jaotatakse vastavalt tavaseadusele ja , siis on nad iseseisvad.

Märkus 2. Praktiline väärtus sõltuvuse mõõdupuuna on õigustatud ainult siis, kui paari ühine jaotus on normaalne või ligikaudu normaalne. Suvalise SW jaoks X ja Y võid teha eksliku järelduse, st. võib olla isegi siis, kui X ja Y seotud range funktsionaalse suhtega.

Märkus 3. Matemaatilises statistikas on korrelatsioon tõenäosuslik (statistiline) sõltuvus suuruste vahel, millel üldiselt ei ole rangelt funktsionaalset iseloomu. Korrelatsioonisõltuvus tekib siis, kui üks suurustest ei sõltu ainult antud sekundist, vaid ka mitmest juhuslikust tegurist või kui tingimuste hulgas, millest üks või teine ​​suurus sõltub, on mõlemale ühised tingimused.

Näide 4 SW jaoks X ja Y näitest 3 leia .

Otsus.

Näide 5 Kahemõõtmelise SW ühine jaotustihedus on antud.

Juhuslike suuruste X ja Y järjestatud paari (X , Y) nimetatakse kahemõõtmeliseks juhuslikuks muutujaks või kahemõõtmelise ruumi juhuslikuks vektoriks. Kahemõõtmelist juhuslikku suurust (X,Y) nimetatakse ka juhuslike suuruste X ja Y süsteemiks. Diskreetse juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste kogumit koos nende tõenäosustega nimetatakse selle juhusliku suuruse jaotusseaduseks. Diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus (X, Y) loetakse antud, kui selle jaotusseadus on teada:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Teenindusülesanne. Teenust kasutades leiate vastavalt antud levitamisseadusele:

• jaotusread X ja Y, matemaatiline ootus M[X], M[Y], dispersioon D[X], D[Y];
• kovariatsioon cov(x,y), korrelatsioonikordaja r x,y , tingimuslik jaotusrida X, tingimuslik ootus M;

Juhend. Määrake tõenäosusjaotuse maatriksi dimensioon (ridade ja veergude arv) ja selle vorm. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili.

Näide nr 1. Kahemõõtmelisel diskreetsel juhuslikul muutujal on jaotustabel:

Otsus. Väärtuse q leiame tingimusest Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Kust q = 0,09

Kasutades valemit ∑P(x i,y j) = lk i(j=1..n), leidke jaotusseeria X.

kovariatsioon cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 0,30 + 0,02 + . 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Korrelatsioonikordaja rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

Näide 2 . Kahe näitaja X ja Y teabe statistilise töötlemise andmed kajastuvad korrelatsioonitabelis. Nõutud:

1. kirjutada X ja Y jaotusread ning arvutada nende valimi keskmised ja valimi standardhälbed;
2. kirjutada tingimusliku jaotuse seeria Y/x ja arvutada tingimuslikud keskmised Y/x;
3. kujutage graafiliselt tingimuslike keskmiste Y/x sõltuvust X väärtustest;
4. arvutada valimi korrelatsioonikordaja Y kohta X;
5. kirjutada otseregressiooni võrrandi näidis;
6. esitama geomeetriliselt korrelatsioonitabeli andmeid ja koostama regressioonisirge.

Tingimuslik ootus M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=30).
P(X = 11/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 16/Y = 30) = 6/9 = 0,67
P(X = 21/Y = 30) = 3/9 = 0,33
P(X = 26/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 31/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 36/Y = 30) = 0/9 = 0
Tingimuslik ootus M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=40).
P(X = 11/Y = 40) = 0/55 = 0
P(X = 16/Y = 40) = 0/55 = 0
P(X = 21/Y = 40) = 6/55 = 0,11
P(X = 26/Y = 40) = 45/55 = 0,82
P(X = 31/Y = 40) = 4/55 = 0,0727
P(X = 36/Y = 40) = 0/55 = 0
Tingimuslik ootus M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0,11 + 26 * 0,82 + 31 * 0,0727 + 36 * 0 = 25,82
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=50).
P(X = 11/Y = 50) = 0/16 = 0
P(X = 16/Y = 50) = 0/16 = 0
P(X = 21/Y = 50) = 2/16 = 0,13
P(X = 26/Y = 50) = 8/16 = 0,5
P(X = 31/Y = 50) = 6/16 = 0,38
P(X = 36/Y = 50) = 0/16 = 0
Tingimuslik ootus M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0,13 + 26 * 0,5 + 31 * 0,38 + 36 * 0 = 27,25
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=60).
P(X = 11/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 16/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 21/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 26/Y = 60) = 4/14 = 0,29
P(X = 31/Y = 60) = 7/14 = 0,5
P(X = 36/Y = 60) = 3/14 = 0,21
Tingimuslik ootus M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0,29 + 31 * 0,5 + 36 * 0,21 = 30,64
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Tingimuslik jaotusseadus Y.
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=11).
P(Y = 20/X = 11) = 2/2 = 1
P(Y = 30/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 40/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 50/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 60/X = 11) = 0/2 = 0
Tingimuslik ootus M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=16).
P(Y = 20/X = 16) = 4/10 = 0,4
P(Y = 30/X = 16) = 6/10 = 0,6
P(Y = 40/X = 16) = 0/10 = 0
P(Y = 50/X = 16) = 0/10 = 0
P(Y = 60/X = 16) = 0/10 = 0
Tingimuslik ootus M = 20 * 0,4 + 30 * 0,6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=21).
P(Y = 20/X = 21) = 0/11 = 0
P(Y = 30/X = 21) = 3/11 = 0,27
P(Y = 40/X = 21) = 6/11 = 0,55
P(Y = 50/X = 21) = 2/11 = 0,18
P(Y = 60/X = 21) = 0/11 = 0
Tingimuslik ootus M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=26).
P(Y = 20/X = 26) = 0/57 = 0
P(Y = 30/X = 26) = 0/57 = 0
P(Y = 40/X = 26) = 45/57 = 0,79
P(Y = 50/X = 26) = 8/57 = 0,14
P(Y = 60/X = 26) = 4/57 = 0,0702
Tingimuslik ootus M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0,79 + 50 * 0,14 + 60 * 0,0702 = 42,81
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0,79 + 50 2 * 0,14 + 60 2 * 0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=31).
P(Y = 20/X = 31) = 0/17 = 0
P(Y = 30/X = 31) = 0/17 = 0
P(Y = 40/X = 31) = 4/17 = 0,24
P(Y = 50/X = 31) = 6/17 = 0,35
P(Y = 60/X = 31) = 7/17 = 0,41
Tingimuslik ootus M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0,24 + 50 * 0,35 + 60 * 0,41 = 51,76
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=36).
P(Y = 20/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 30/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 40/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 50/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 60/X = 36) = 3/3 = 1
Tingimuslik ootus M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
kovariatsioon.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 25,3 42,3 = 38,11
Kui juhuslikud suurused on sõltumatud, on nende kovariatsioon null. Meie puhul cov(X,Y) ≠ 0.
Korrelatsioonikordaja.


Lineaarse regressiooni võrrand y-st x-ni on:

Lineaarse regressiooni võrrand x-st y-ni on:

Leia vajalikud arvkarakteristikud.
Näidis tähendab:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
dispersioonid:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 a = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100 - 25,3 2 = 24,01
Kust saame standardhälbed:
σ x = 9,99 ja σ y = 4,9
ja kovariatsioon:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 42,3 25,3 = 38,11
Määratleme korrelatsioonikordaja:


Kirjutame üles regressioonisirgete y(x) võrrandid:

ja arvutades saame:
yx = 0,38x + 9,14
Kirjutame üles regressioonisirgete x(y) võrrandid:

ja arvutades saame:
x y = 1,59 y + 2,15
Kui koostame tabeli ja regressioonisirgetega määratletud punktid, siis näeme, et mõlemad sirged läbivad punkti koordinaatidega (42,3; 25,3) ja punktid asuvad regressioonisirgete lähedal.
Korrelatsioonikordaja olulisus.

Studenti tabeli järgi olulisuse tasemega α=0,05 ja vabadusastmetega k=100-m-1 = 98 leiame t crit:
t crit (n-m-1; α/2) = (98; 0,025) = 1,984
kus m = 1 on selgitavate muutujate arv.
Kui t obs > t on kriitiline, siis tunnistatakse saadud korrelatsioonikordaja väärtus oluliseks (nullhüpotees, mis väidab, et korrelatsioonikordaja on võrdne nulliga, lükatakse tagasi).
Kuna t obl > t crit, lükkame ümber hüpoteesi, et korrelatsioonikordaja on 0. Teisisõnu, korrelatsioonikordaja on statistiliselt oluline.

Harjutus. Juhuslike muutujate X ja Y väärtuspaaride tabamuste arv vastavates intervallides on toodud tabelis. Nende andmete põhjal leidke valimi korrelatsioonikordaja ja sirge regressioonisirgete Y valimivõrrandid X-l ja X-il Y .
Otsus

Näide. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) tõenäosusjaotus on antud tabeli abil. Leia komponentsuuruste X, Y ja korrelatsioonikordaja p(X, Y) jaotuse seadused.
Laadige lahendus alla

Harjutus. Kahemõõtmeline diskreetne väärtus (X, Y) antakse jaotusseadusega. Leia X ja Y komponentide jaotusseadused, kovariatsioon ja korrelatsioonikordaja.

Definitsioon 2.7. on juhuslike arvude paar (X, jah), või punkt koordinaattasandil (joonis 2.11).

Riis. 2.11.

Kahemõõtmeline juhuslik suurus on mitmemõõtmelise juhusliku muutuja ehk juhusliku vektori erijuht.

Definitsioon 2.8. Juhuslik vektor - kas see on juhuslik funktsioon?,(/) võimalike argumentide väärtuste lõpliku hulgaga t, mille väärtus mis tahes väärtuse puhul t on juhuslik muutuja.

Kahemõõtmelist juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks, kui selle koordinaadid on pidevad, ja diskreetseks, kui selle koordinaadid on diskreetsed.

Kahemõõtmeliste juhuslike suuruste jaotusseaduse seadmine tähendab vastavuse loomist selle võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuse vahel. Vastavalt seadistusviisidele jagatakse juhuslikud suurused pidevateks ja diskreetseteks, kuigi on olemas üldised viisid mis tahes RV jaotusseaduse seadmiseks.

Diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus

Diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus määratakse jaotustabeli abil (tabel 2.1).

Tabel 2.1

Eraldamistabel (ühine eraldamine) CB ( X, U)

Tabeli elemendid on määratletud valemiga

Jaotustabeli elemendi omadused:

Nimetatakse jaotus iga koordinaadi vahel ühemõõtmeline või marginaalne:

R 1> = P(X =.d,) - SW marginaalne jaotus X;

p^2) = P(Y= y,)- SV U marginaalne jaotus.

CB ühisjaotuse kommunikatsioon X ja Y, mis on antud tõenäosuste hulgaga [p () ), i = 1,..., n,j = 1,..., t(jaotustabel) ja piirjaotus.

Samamoodi SV U jaoks p-2)= X p, g

Ülesanne 2.14. Arvestades:

Pidev 2D juhuslik suurus

/(X, y)dxdy- kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) tõenäosuse element - juhusliku suuruse (X, Y) tabamise tõenäosus külgedega ristkülikus cbc, dy juures dx, dy -* 0:

f(x, y) - jaotustihedus kahemõõtmeline juhuslik suurus (X, Y). Ülesanne /(x, y) anname täielikku teavet kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotuse kohta.

Piirjaotused määratakse järgmiselt: X jaoks - CB jaotustiheduse järgi X/,(x); peal Y- SV jaotustihedus f>(y).

Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseaduse seadmine jaotusfunktsiooni abil

Universaalne viis diskreetse või pideva kahemõõtmelise juhusliku muutuja jaotusseaduse täpsustamiseks on jaotusfunktsioon F(x, y).

Definitsioon 2.9. Jaotusfunktsioon F(x, y)– sündmuste ühise toimumise tõenäosus (Xy), s.o. F(x0,y n) = = P(X y), visatud koordinaattasandile, langevad lõpmatusse kvadranti, mille tipp asub punktis M(x 0, sina i)(joon. 2.12 varjutatud alal).

Riis. 2.12. Jaotusfunktsiooni F( x, y)

Funktsiooni omadused F(x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
• 3) F(x, y)- mittekahanev igas argumendis;
• 4) F(x, y) – pidev vasak ja alumine;
• 5) jaotuste järjepidevus:

F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - marginaalne jaotus üle Y F( oo, y) = F2(y).Ühendus /(x, y) koos F(x, y):

Liigestiheduse ja piirtiheduse seos. Dana f(x, y). Saame marginaalsed jaotustihedused f(x),f 2 (y)".

Kahemõõtmelise juhusliku suuruse sõltumatute koordinaatide juhtum

Definitsioon 2.10. SW X ja Sõltumatu(nc) kui iga nende RV-ga seotud sündmused on sõltumatud. nc CB määratlusest järeldub:

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Selgub, et sõltumatute SW-de jaoks X ja Y lõpetatud ja

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Tõestame seda sõltumatute SW-de jaoks X ja Y2) 3). tõend, a) Olgu 2), st

samal ajal F(x,y) = f J f(u,v)dudv, kust see järgneb 3);

b) las 3 nüüd hoida, siis

need. tõsi 2).

Vaatleme ülesandeid.

Ülesanne 2.15. Jaotuse annab järgmine tabel:

Ehitame marginaalsed jaotused:

Saame P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) = 0,1485 => => SV X ja ülalpeetavad.

Jaotusfunktsioon:

Ülesanne 2.16. Jaotuse annab järgmine tabel:

Saame P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW X ja Y nz.

Ülesanne 2.17. Dana /(x, y) = 1/st exp| -0,5(d "+ 2xy + 5d/ 2)]. Leidma Oh) ja /Jah)-

Otsus

(arvesta ise).