Teine skeem ebaselgelt ennustatud tulemustega katsete kirjeldamiseks, mis muudab sündmuse teostatavuse kvantitatiivse tunnuse juurutamise üsna lihtsaks, on geomeetriliste tõenäosuste skeem, mis, nagu ka ülaltoodud juhtumite skeem, kasutab ära idee eksperimendi tulemuste võrdne võimalus. Nii nagu seda tehti juhtumite skeemis, määratletakse sündmuse teostatavuse kvantitatiivne tunnus - selle tõenäosus - mingil viisil normaliseeritud väärtus, mis on proportsionaalne sündmuse elluviimist soodustavate tulemuste hulgaga. Olgu uuritava katse tulemuste kogum kirjeldatud mingi "geomeetrilise kontiinumi" P-punktide kogumina - iga tulemus vastab kindlale punktile ja iga punkt vastab teatud tulemusele. "Geomeetriline kontiinum" Q võib olla sirge lõik, tasapinnal või ruumis sirgendatava kõvera kaar, tasapinnal ruudukujuline kogum (kolmnurk, ristkülik, ring, ellips jne) või selle osa. ruudukujuline pind, mingi ruumala ruumis ( hulktahukas - prisma, püramiid, pall, ellipsoid jne) Sündmus on hulga mistahes ruudukujuline alamhulk (pikkus, pindala, ruumala), mida saame mõõta. Eeldades tulemuste võrdset tõenäosust, nimetame sündmuse A tõenäosust arvuks, mis on võrdeline hulga P alamhulga A mõõtudega: geomeetrilised tõenäosused jäävad sel juhul nulli – võimatu sündmuse tõenäosuse – ja ühe – usaldusväärse sündmuse tõenäosus4*. Normaliseerimistingimus võimaldab leida konstanti k – tõenäosust täpsustava proportsionaalsuskoefitsiendi. See osutub võrdseks Seega geomeetriliste tõenäosuste skeemis on mis tahes sündmuse tõenäosus defineeritud kui sündmust kirjeldava alamhulga A mõõdu suhe hulga il, mis kirjeldab katset kui tervik: teises sisalduv ei saa olla suurem kui viimane. Nagu juhtumite skeemis, saab geomeetriliste tõenäosuste skeemis sündmusi kombineerida, kombineerida ja nende vastandlike põhjal ehitada - sel juhul saadakse üldiselt algsetest sündmustest erinevad sündmused. Järgmine vara on väga oluline. 3. Kui sündmused on kokkusobimatud, siis kehtib eelkõige komplementaarsuse printsiip: See omadus, mida tavaliselt nimetatakse tõenäosuste liitmise reegliks, tuleneb ilmselgelt mõõdiku liitlikkusest5*. Kokkuvõtteks märgime, et mis tahes tulemuse tõenäosus geomeetriliste tõenäosuste skeemis on alati võrdne nulliga, samuti mis tahes sündmuse tõenäosus, mida kirjeldab “kõhn” punktide kogum, st. komplekt, mille mõõt (vastavalt - pikkus, pindala, maht) võrdub nulliga. Vaatleme mitmeid näiteid, mis illustreerivad tõenäosuste arvutamist geomeetriliste tõenäosuste skeemis. Näide 1. Katse seisneb juhusliku punkti valimises lõigust [a, 6|. Leidke tõenäosus, et valitud punkt asub vaadeldava lõigu vasakus pooles. 4 Definitsiooni järgi on tõenäosus valida punkt mis tahes segmendi hulgast suurem kui null ja nende korrutis on negatiivne.
Vastus: 0;25.
4.6. Lahinguõppusel sai n-s pommitajate eskadrill ülesande rünnata “vaenlase” naftabaasi. 30- ja 50-meetrise ristkülikukujulise naftabaasi territooriumil on neli ümmargust 10-meetrise läbimõõduga õlimahutit. Leidke naftabaasi territooriumi tabanud pommi otsetabamuse tõenäosus naftamahutitele, kui pomm tabab võrdse tõenäosusega mõnda selle baasi punkti.
Vastus: π/15.
4.7. Kaks reaalarvu x ja y valitakse juhuslikult nii, et nende ruutude summa on väiksem kui 100. Kui suur on tõenäosus, et nende arvude ruutude summa on suurem kui 64?
Vastus: 0;36.
4.8. Kaks sõpra leppisid kokku, et kohtuvad kella 13.00-14.00. Esimene saabuja ootab teist inimest 20 minutit ja lahkub siis. Määrake sõpradega kohtumise tõenäosus, kui nende saabumise hetked määratud ajavahemikus on võrdselt tõenäolised.
Vastus: 5/9.
4.9. Kaks aurupaati peavad tulema samale muulile. Mõlema laeva saabumise aeg on antud päeva jooksul võrdselt võimalik. Määrake tõenäosus, et üks aurikutest peab ootama kai vabastamist, kui esimene aurulaev seisab ühe tunni ja teine kaks tundi.
Vastus: ≈ 0;121.
4.10. Juhuslikult võetakse kaks positiivset arvu x ja y, millest kumbki ei ületa kahte. Leidke tõenäosus, et korrutis x y on kõige rohkem üks ja jagatis y/x on maksimaalselt kaks.
Vastus: ≈ 0;38.
4.11. Ellipsoidiga piiratud piirkonnas G 
, punkt fikseeritakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et selle punkti koordinaadid (x; y; z) rahuldavad ebavõrdsust x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
Vastus: 1/3.
4.12. Punkt visatakse ristkülikusse, mille tipud on R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Leia tõenäosus, et selle koordinaadid rahuldavad võrratusi 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Vastus: 2/3.
4.13. Piirkonda G piirab ringjoon x 2 + y 2 = 25 ning piirkonda g piirab see ring ja parabool 16x - 3y 2 > 0. Leia tõenäosus, et satub piirkonda g.
Vastus: ≈ 0;346.
4.14. Juhuslikult võetakse kaks positiivset arvu x ja y, millest kumbki ei ületa ühte. Leidke tõenäosus, et summa x + y ei ületa 1 ja korrutis x · y ei ole väiksem kui 0,09.
Vastus: ≈ 0;198.
Tõenäosuse statistiline määratlus
2. ülesanne. Laskja laseb ühe lasu sihtmärki. Hinnake tõenäosust, et ta tabab sihtmärki.
Otsus. Selles katses on võimalikud kaks tulemust: kas laskur tabas sihtmärki (sündmus A), või jäi (sündmus) vahele. Sündmused A ja on kokkusobimatud ning moodustavad tervikliku rühma. Üldjuhul pole aga teada, kas need on võrdselt võimalikud või mitte. Seetõttu ei saa antud juhul kasutada juhusliku sündmuse tõenäosuse klassikalist definitsiooni. Probleemi saate lahendada juhusliku sündmuse tõenäosuse statistilise definitsiooni abil.
Definitsioon 1.12. Suhteline sündmuste sagedus A nimetatakse suhe katsete arvu, milles sündmus A tegelikult tehtud testide koguarvule.
Seega sündmuse suhteline sagedus A saab arvutada valemiga
kus k– sündmuse esinemiste arv A, l on katsete koguarv.
Märkus 1.2. Peamine erinevus sündmuse suhtelises sageduses A selle klassikaline tõenäosus seisneb selles, et suhteline sagedus leitakse alati vastavalt testide tulemustele. Klassikalise tõenäosuse arvutamiseks ei ole vaja katset seadistada.
Pikaajalised vaatlused on näidanud, et kui identsetes tingimustes viiakse läbi rida katseid, millest igaühes on katsete arv piisavalt suur, näitab suhteline sagedus stabiilsusomadus. See omadus seisneb selles, et erinevates katseseeriates on suhteline sagedus W( A) muutub vähe (mida vähem, seda rohkem teste tehakse), kõikudes teatud konstantse arvu ümber.
Nagu sündmuse statistiline tõenäosus võta suhteline sagedus või sellele lähedane arv.
Tuleme tagasi ülesande 2 juurde sündmuse tõenäosuse arvutamise kohta A(laskja tabab sihtmärki). Selle lahendamiseks on vaja samades tingimustes sooritada mitu seeriat piisavalt suurest arvust laskudest. See võimaldab teil arvutada suhtelise sageduse ja hinnata sündmuse tõenäosust A.
Statistilise definitsiooni puuduseks on statistilise tõenäosuse ebaselgus. Näiteks kui W( A)»0,4, siis sündmuse tõenäosusena A võite võtta 0,4, 0,39 ja 0,41.
Märkus 1.3. Tõenäosuse statistiline definitsioon ületab klassikalise tõenäosuse definitsiooni teise puuduse.
Olgu lennukis figuurid G ja g, ja gÌ G(joonis 1.1).
|
Märkus 1.4. Juhul kui g ja G- sirgjoone lõigud, sündmuse tõenäosus A on võrdne nende segmentide pikkuste suhtega. Kui a g ja G on kehad kolmemõõtmelises ruumis, siis sündmuse tõenäosus A leitakse nende kehade mahtude suhtena. Seega üldjuhul kus mes on vaadeldava ruumi mõõdik. Märkus 1.5. Tõenäosuse geomeetriline määratlus kehtib katsete kohta, millel on lõpmatu arv tulemusi. Näide 1.13. Kaks inimest leppisid kokku, et kohtuvad kindlas kohas kella 12-13 vahel ning iga kohtumisele tulija ootab teist 20 minutit, kuid mitte kauem kui kella 13-ni, misjärel ta lahkub. Leidke nende inimestega kohtumise tõenäosus, kui igaüks neist saabub juhuslikul ajal, mis ei ole kooskõlas teise saabumise hetkega. Otsus. Las sündmus A- koosolek toimus. Tähistage x- koosolekule esimese inimese saabumise aeg, y- teise isiku saabumisaeg. Siis on kogemuse kõigi võimalike tulemuste hulk kõigi paaride kogum ( x, y), kus x, yО . Ja soodsate tulemuste kogumi määrab ebavõrdsus |x – y| 20 £ (min). Mõlemad hulgad on lõpmatud, seega ei saa tõenäosuse arvutamiseks kasutada klassikalist definitsiooni. Kasutame geomeetrilist määratlust. Joonisel fig. 1.2 näitab kõigi võimalike tulemuste komplekte (ruut OKMT) ja soodsad tulemused (kuusnurk OSLMNR). Kasutades definitsiooni 1.13, saame Sündmuste summa ja korrutis. Teoreemid sündmuste summa ja korrutise tõenäosuse kohta Definitsioon 1.14.Sündmuste summa A ja B nimeta sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist esinemisest. Määramine: A + B. Definitsioon 1.15.Sündmuste tulemus A ja B nimetada sündmust, mis seisneb nende sündmuste samaaegses toimumises samas kogemuses. Määramine: AB. Näide 1.14. 36 kaardipakist tõmmatakse juhuslikult üks kaart. Tutvustame tähistust: A- tõmmatud kaart osutus daamiks, B- nad võtsid välja labidakaardi. Leidke sündmuste tõenäosus A + B ja AB. Otsus. Sündmus A + B juhtub siis, kui tõmmatud kaart on labidas või emand. See tähendab, et vaadeldavat sündmust soosib 13 tulemust (ükskõik milline 9-st labidakaardist, ükskõik milline teise masti 3 emandast) 36-st võimalikust. Kasutades juhusliku sündmuse tõenäosuse klassikalist definitsiooni, saame Sündmus AB juhtub siis, kui väljatõmmatud kaart koosneb labidatest ja emandast. Seetõttu üritus AB soosib ainult ühte kogemuse tulemust (Queen of Spades) 36 võimalikust. Võttes arvesse definitsiooni 1.11, saame Märkus 1.6. Sündmuste summa ja korrutise määratlusi saab laiendada suvalisele arvule sündmustele. Sündmuste summa ja korrutise tõenäosuse arvutamisel on mugav kasutada järgmisi väiteid. Teoreem 1.1. Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus, olenemata sellest, milline neist on, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga P( A+B)=P( A)+P( B). Järeldus 1.1.Ühe mitmest paaris kokkusobimatust sündmusest, olenemata sellest, milline neist, toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga P( A 1 +A 2 +…+A n)=P( A 1)+P( A 2)+…+P( A n). Järeldus 1.2. Paaripõhiselt kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste summa A 1 , A 2 ,…, A n, moodustades tervikliku rühma, on võrdne ühega P( A 1)+P( A 2)+…+P( A n)=1. Järeldus 1.3. Vastupidise sündmuse tõenäosus Juhuslikku sündmust defineeriti kui sündmust, mis kogemuse tulemusena võib juhtuda, kuid ei pruugi toimuda. Kui sündmuse tõenäosuse arvutamisel muid piiranguid (välja arvatud katsetingimused) ei kehtestata, siis nimetatakse sellist tõenäosust tingimusteta. Kui on kehtestatud muid lisatingimusi, nimetatakse sündmuse tõenäosust tingimuslikuks. Definitsioon 1.16.Tingimuslik tõenäosus P B(A) (või P( A|B)) nimetatakse sündmuse tõenäosuseks A, mis arvutatakse eeldusel, et sündmus B juba juhtunud. Kasutades tingimusliku tõenäosuse mõistet, anname sündmuste sõltumatusele definitsiooni, mis erineb varem esitatust. Definitsioon 1.17. Sündmus A on sündmusest B sõltumatu kui võrdsus Praktilistes küsimustes pöördutakse nende sündmuste sõltumatuse kindlakstegemiseks harva nende võrduste (1.3) ja (1.4) täitmise kontrollimise poole. Tavaliselt kasutavad nad selleks kogemustel põhinevaid intuitiivseid kaalutlusi. Definitsioon 1.18. Nimetatakse mitmeid üritusi paaris sõltumatu kui igaüks neist on sõltumatu. Definitsioon 1.19. Nimetatakse mitmeid üritusi kollektiivselt sõltumatud kui nad on paaris sõltumatud ja iga sündmus ja kõik teiste võimalikud produktid on sõltumatud. Teoreem 1.2. Kahe sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutisega, mis arvutatakse eeldusel, et esimene sündmus on juba toimunud. Sõltuvalt sündmuste jada valikust võib teoreemi 1.2 kirjutada järgmiselt P( AB) = P( A)P A(B) P( AB) = P( B)P B(A). Järeldus 1.4. Mitme sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse korrutisega kõigi teiste tingimuslike tõenäosustega ja iga järgneva sündmuse tõenäosus arvutatakse eeldusel, et kõik eelnevad sündmused on juba ilmnenud Sel juhul saab sündmuste paiknemise järjekorda valida suvalises järjekorras. Näide 1.15. Urnis on 6 valget ja 3 musta palli. Urnist tõmmatakse juhuslikult üks pall, kuni ilmub must. Leidke tõenäosus, et kui palle urni ei tagastata, tuleb sooritada neljas väljatõmbamine. Otsus. Vaatlusaluses katses on vaja läbi viia neljas eemaldamine, kui kolm esimest palli osutuvad valgeks. Tähistage A i sündmus, mis i- ilmub välja joonistatud valge pall ( i= 1, 2, 3). Probleemiks on sündmuse tõenäosuse leidmine A 1 A 2 A 3 . Kuna tõmmatud pallid tagasi ei naase, siis sündmused A 1 , A 2 ja A 3 on sõltuvad (iga eelnev mõjutab järgmise võimalust). Tõenäosuse arvutamiseks kasutame järeldust 1.4 ja juhusliku sündmuse tõenäosuse klassikalist definitsiooni, nimelt Järeldus 1.5. Kahe sõltumatu sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste korrutisega P( AB)=P( A)P( B). Järeldus 1.6. Mitme sõltumatu sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste korrutisega P( A 1 A 2 …A n)=P( A 1)P( A 2)…P( A n). Näide 1.16. Lahendage ülesanne näitest 1.15, eeldades, et pärast iga eemaldamist viiakse pallid tagasi urni. Otsus. Nagu varem (näide 1.15), peame leidma P( A 1 A 2 A 3). Küll aga sündmused A 1 , A 2 ja A 3 on kokkuvõttes sõltumatud, kuna urni koostis on igal eemaldamisel sama ja seetõttu ei mõjuta ühe testi tulemus teisi. Seetõttu kasutame tõenäosuse arvutamiseks juhusliku sündmuse tõenäosuse järeldust 1.6 ja definitsiooni 1.11, nimelt P( A 1 A 2 A 3)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)= = . Teoreem 1.3. Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta
Märkus 1.7. Valemi (1.5) kasutamisel tuleb silmas pidada, et sündmused A ja B võib olla sõltuv või sõltumatu. Näide 1.17. Kaks laskurit lasid sihtmärki kumbki ühe lasu. On teada, et ühe laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,6 ja teise puhul 0,7. Leidke tõenäosus, et a) mõlemad laskurid tabasid märklauda (sündmus D); b) sihtmärki tabab ainult üks laskuritest (sündmus E); c) vähemalt üks laskuritest tabab sihtmärki (sündmus F). Otsus. Tutvustame tähistust: A- esimene laskur tabas sihtmärki, B Teine laskur tabas märklauda. Tingimuse järgi P( A) = 0,6 ja P( B) = 0,7. Vastame küsimustele. a) Sündmus D juhtub, kui sündmus toimub AB. Sest sündmused A ja B on sõltumatud, siis järeldust 1.5 arvesse võttes saame P( D) = P( AB) = P( A)P( B) = 0,6 × 0,7 = 0,42. b) Sündmus E juhtub, kui üks sündmustest leiab aset A või B. Need sündmused on kokkusobimatud ja sündmused A() ja B() on sõltumatud, seega on meil teoreemi 1.1, järelduste 1.3 ja 1.5 põhjal P( E) = P( A+ B) = P( A) + P( B) = P( A)P() + P()P( B) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,7 = 0,46. c) Sündmus F toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. Neid sündmusi jagatakse. Seetõttu on meil teoreemi 1.3 järgi P( F) = P( A+B) = P( A) + P( B) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Pange tähele, et sündmuse tõenäosus F oleks võinud teisiti arvutada. Nimelt P( F) = P( A+ B + AB) = P( A) + P( B) + P( AB) = 0,88 P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0,4 × 0,3 = 0,88. Kogutõenäosuse valem. Bayesi valemid Las sündmus A võib juhtuda, kui ilmneb mõni kokkusobimatutest sündmustest B 1 , B 2 ,…, B n, moodustades tervikliku rühma. Kuna pole ette teada, milline neist sündmustest toimub, nimetatakse neid hüpoteesid. Hinnake sündmuse toimumise tõenäosust A enne katset võite kasutada järgmist väidet. Teoreem 1.4. Sündmuse tõenäosus A, mis võib ilmneda ainult siis, kui ilmneb mõni kokkusobimatutest sündmustest B 1 , B 2 ,…, B n, moodustades tervikliku rühma, on võrdne
Valemit (1.6) nimetatakse kogutõenäosuse valemid. Näide 1.18. Eksami sooritamiseks pidid õpilased koostama 30 küsimust. 25 õpilasest koostasid kõik küsimused 10, 8 - 25 küsimust, 5 - 20 küsimust ja 2 - 15 küsimust. Leia tõenäosus, et juhuslikult valitud õpilane vastab antud küsimusele. Otsus. Tutvustame järgmist tähistust: A- sündmus, mis seisnes selles, et juhuslikult helistatud õpilane vastas püstitatud küsimusele, B 1 - juhuslikult helistatud õpilane teab vastuseid kõigile küsimustele, B 2 - juhuslikult helistatud õpilane teab vastuseid 25 küsimusele, B 3 - juhuslikult kutsutud õpilane teab vastuseid 20 küsimusele ja B 4 - juhuslikult helistatud õpilane teab vastuseid 15 küsimusele. Pange tähele, et sündmused B 1 ,B 2 ,B 3 ja B 4 ei ühildu, moodustavad tervikliku rühma ja sündmus A võib juhtuda, kui üks neist sündmustest leiab aset. Seetõttu sündmuse tõenäosuse arvutamiseks A saame kasutada kogutõenäosuse valemit (1.6): Vastavalt ülesande seisukorrale on hüpoteeside tõenäosused teada P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) = ja tingimuslikud tõenäosused (iga nelja rühma õpilaste tõenäosus küsimusele vastata) 1, = , = , = . Seega P( A) = ×1 + × + × + × = . Oletame, et on tehtud test, mille tulemusena on toimunud sündmus A ja millised sündmused B i (i =1, 2,…, n) juhtus, pole uurijale teada. Hüpoteeside tõenäosuse hindamiseks pärast testi tulemuste selgumist võite kasutada Bayesi valemid
Siin P( A) arvutatakse kogutõenäosuse valemiga (1.6). Näide 1.19. Teatud tehases toodab masin I 40% kogu toodangust ja masin II 60%. Masina I toodetud ühikust 1000-st on keskmiselt 9 defektiga ja masinal II on 500 defektiga ühikut 4. Kui suur on tõenäosus, et selle valmistas masin II? Otsus. Tutvustame tähistust: A- sündmus, mis seisnes selles, et igapäevasest toodangust juhuslikult valitud tootmisüksus osutus defektiks, B i- juhuslikult valitud tootmisüksus valmistatakse masinaga i(i= I, II). Sündmused B 1 ja B 2 on kokkusobimatud ja moodustavad tervikliku rühma ning sündmus A võib tekkida ainult ühe neist sündmustest. On teada, et sündmus A juhtus (juhuslikult valitud tootmisüksus osutus defektiks). Milline sündmustest B 1 või B 2 samal ajal, pole teada, kuna pole teada, kummal kahest masinast valitud ese on valmistatud. Hüpoteesi tõenäosuse hindamine B 2 saab läbi viia Bayesi valemiga (1.7): kus defektse toote juhusliku valiku tõenäosus arvutatakse kogu tõenäosuse valemiga (1.6): Arvestades seda, vastavalt probleemi seisukorrale P( B 1) = 0,40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Sõltumatute katsete järjestus Teaduslikus ja praktilises tegevuses on pidevalt vaja teha korduvaid katseid sarnastes tingimustes. Eelmiste testide tulemused reeglina järgnevaid ei mõjuta. Selliste testide lihtsaim tüüp on väga oluline, kui igas testis on mõni sündmus A võib ilmneda sama tõenäosusega ja see tõenäosus jääb samaks, sõltumata eelnevate või järgnevate testide tulemustest. Seda tüüpi testi uuris esmakordselt Jacob Bernoulli ja seetõttu nimetatakse seda Bernoulli skeemid. Bernoulli skeem. Las toodetakse n sõltumatud katsed sarnastes tingimustes (või tehakse sama katse n korda), millest igaühel on sündmus A võib ilmuda või mitte. Sel juhul sündmuse toimumise tõenäosus A igas katses on sama ja võrdne lk. Seega sündmuse mittetoimumise tõenäosus A igas individuaalses testis on samuti konstantne ja võrdne q= 1 - lk. Tõenäosus, et nendel tingimustel toimub sündmus A saab täpselt teoks k korda (ja seetõttu ei realiseeru n – k korda) leiate järgmiselt Bernoulli valem
Sel juhul sündmuse toimumise järjekord A märgitud n testid võivad olla meelevaldsed. Näide 1.20. Tõenäosus, et klient vajab suurust 41 kingi, on 0,2. Leidke tõenäosus, et esimesest 5 ostjast läheb vaja selle suurusega kingi: a) ühte; b) vähemalt üks; c) vähemalt kolm; d) rohkem kui üks ja vähem kui neli. Otsus. Selles näites tehakse sama kogemust (jalatsite valimine) 5 korda ja sündmuse tõenäosus on A- valitakse 41. suuruse kingad - see on konstantne ja võrdne 0,2-ga. Lisaks ei mõjuta iga üksiku testi tulemus teisi katseid, sest. ostjad valivad kingad üksteisest sõltumatult. Seetõttu on meil Bernoulli skeemi järgi läbi viidud testide jada, milles n = 5, lk = 0,2, q= 0,8. Esitatud küsimustele vastamiseks on vaja arvutada tõenäosused P 5 ( k). Kasutame valemit (1.8). a) P5 (1) = = 0,4096; b) P 5 ( k³ 1) = 1 - P 5 ( k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; c) P 5 ( k³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0,5792; d) P 5 (1< k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. Bernoulli valemi (1.32) kasutamine suurte n ja m väärtuste korral põhjustab suuri raskusi, kuna see nõuab tülikaid arvutusi. Seega, kui n = 200, m = 116, p = 0,72, on Bernoulli valem kujul P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Tulemust on peaaegu võimatu arvutada. P n (m) arvutamine põhjustab raskusi ka väikeste p (q) väärtuste korral. P n (m) arvutamiseks on vaja leida ligikaudsed valemid, mis tagavad vajaliku täpsuse. Sellised valemid annavad meile piirteoreemid; need sisaldavad nn asümptootilisi valemeid, mis suurte testiväärtuste korral annavad suvaliselt väikese suhtelise vea. Vaatleme kolme piirteoreemi, mis sisaldavad asümptootilisi valemeid binoomtõenäosuse P n (m) arvutamiseks kui n. Teoreem 1.5. Kui katsete arv suureneb määramatult (n) ja sündmuse A toimumise tõenäosus p igas katses väheneb lõputult (p), kuid nii, et nende korrutis pr on konstantne väärtus (pr = a = const) , siis tõenäosus P n (m) rahuldab piirvõrdsuse Avaldist (1.9) nimetatakse asümptootiliseks Poissoni valemiks. Suure n ja väikese p piirväärtusest (1.9) järgib ligikaudset Poissoni valemit Valemit (1.10) kasutatakse siis, kui tõenäosus p = õnnestumise konst on üliväike, s.t edu ise (sündmuse A ilmumine) on haruldane sündmus (näiteks loteriipiletiga auto võitmine), kuid katsete arv n on suur, keskmine õnnestumiste arv pr = a veidi. Ligikaudset valemit (1.10) kasutatakse tavaliselt siis, kui n 50 ja pr 10. Poissoni valem leiab rakendust järjekorrateoorias. Sündmuste voog on juhuslikel aegadel toimuvate sündmuste jada (näiteks külastajate voog juuksuris, kõnede voog telefonijaamas, elementide tõrgete voog, teenindatavate abonentide voog jne). Sündmuste voogu, millel on statsionaarsuse, tavalisuse ja tagajärgede puudumise omadused, nimetatakse lihtsaimaks (Poissoni) vooluks. Statsionaarsusomadus tähendab, et k sündmuse toimumise tõenäosus mingis pikkuses ajavahemikus sõltub ainult selle pikkusest (st ei sõltu selle päritolust). Järelikult on ajaühikus ilmnevate sündmuste keskmine arv, nn voolu intensiivsus, konstantne väärtus: ( t) = . Tavalise omadus tähendab, et sündmus ei ilmu rühmadena, vaid ükshaaval. Teisisõnu, rohkem kui ühe sündmuse toimumise tõenäosus väikese ajavahemiku t jooksul on tühiselt väike, võrreldes ainult ühe sündmuse toimumise tõenäosusega (näiteks muulile lähenevate paatide voog on tavaline). Tagajärje puudumise omadus tähendab, et sündmuste k toimumise tõenäosus mis tahes ajaintervalli pikkusega ei sõltu sellest, kui palju sündmusi ilmnes mõnel teisel segmendil, mis sellega ei ristu (nad ütlevad: "tulevik" voog ei sõltu "minevikust", näiteks inimeste voog, mis sisaldub supermarketis). Võib tõestada, et kõige lihtsama voolu m sündmuse toimumise tõenäosus aja jooksul kestusega t määratakse Poissoni valemiga. Kasutage suurte väärtuste jaoks Bernoulli valemit n piisavalt raske, sest sel juhul tuleb teha tehteid tohutute arvudega. Arvutamist saab lihtsustada faktoritabelite või tehniliste vahendite (kalkulaator, arvuti) abil. Kuid sel juhul kogunevad arvutusprotsessis vead. Seetõttu võib lõpptulemus tegelikust oluliselt erineda. Vajadus kandideerida ligikaudne (asümptootiline) valemid. Märkus 1.8. Funktsioon g(x) kutsutakse funktsiooni f asümptootiline lähendus(x), kui. Teoreem 1.6. (Kohalik Moivre-Laplace'i teoreem) Kui tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas katses on konstantne ja erinev 0-st ja 1-st ning sõltumatute katsete arv on piisavalt suur, siis on tõenäosus, et sündmus A ilmub sisse n Bernoulli skeemi järgi tehtud katsed, täpselt k korda, ligikaudu võrdne (mida täpsem, seda rohkem n) Funktsiooni graafik on joonisel fig. 1.3. Arvestada tuleks sellega, et: a) funktsioon φ(x) on paaris, st φ(-x) = φ(x); Funktsiooni jaoks j(x) jaoks koostatakse väärtuste tabelid x³ 0. Sest x< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(x) on ühtlane. Teoreem 1.7. (Moivre-Laplace'i integraaliteoreem) Kui tõenäosus lk sündmus A igas katses on konstantne ja erinev 0-st ja 1-st, siis on tõenäosus P n(k 1 , k 2) et sündmus A ilmub sisse n Bernoulli skeemi järgi tehtud katsed, alates k 1 kuni k 2 korda, ligikaudu võrdne Siin z 1 ja z 2 on määratletud punktis (1.14). Näide 1.21. Seemnete idanemist hinnatakse tõenäosusega 0,85. Leia tõenäosus, et 500 külvatud seemnest tärkab: a) 425 seemet; b) 425 kuni 450 seemet. Otsus. Siin, nagu eelmises näites, on Bernoulli skeemi järgi läbi viidud sõltumatute testide jada (katse - ühe seemne istutamine, sündmus A- seeme tärkas n = 500, lk = 0,85, q= 0,15. Kuna katsete arv on suur ( n> 100), kasutame nõutavate tõenäosuste arvutamiseks asümptootilisi valemeid (1.10) ja (1.13). b) »F(3,13)–F(0)»0,49. Kui katsete arv n, mis viiakse läbi Bernoulli skeemi järgi, on suur ja tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas neist on väike ( lk 0,1 £), siis Laplace'i asümptootiline valem ei sobi. Sel juhul kasutage asümptootiline Poissoni valem
kus l = np. Näide 1.22. Pood sai 1000 pudelit mineraalvett. Tõenäosus, et pudel transpordi ajal puruneb, on 0,003. Leia tõenäosus, et poodi saab katkiseid pudeleid: a) täpselt 2; b) vähem kui 2; c) vähemalt üks. Otsus. Selles ülesandes on Bernoulli skeemi järgi läbi viidud sõltumatute testide jada (katse - ühe pudeli terviklikkuse kontrollimine, sündmus A- pudel on katki n = 1000, lk = 0,003, q= 0,997. Sest katsete arv on suur ( n> 100) ja tõenäosus lk väike ( lk < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l=3. a) = 4,5 e-3 » 0,224; b) 1000 P ( k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0,199; c) 1000 P ( k³ 1) = 1 - 1000 P ( k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0,95. Lokaalsed ja integraalsed Moivre-Laplace'i teoreemid on üldisema järelmõjud keskpiiri teoreem. Paljudel pidevatel juhuslikel muutujatel on normaalne levitamine. Selle asjaolu määrab suuresti asjaolu, et suure hulga väga erinevate jaotusseadustega juhuslike suuruste liitmisel tekib selle summa normaaljaotus. Teoreem . Kui juhuslik suurus on väga suure arvu üksteisest sõltumatute juhuslike suuruste summa, millest igaühe mõju kogu summale on tühine, siis on selle jaotus normaallähedane . Kesksel piiriteoreemil on suur praktiline tähtsus. Oletame, et määratakse mingi majandusnäitaja, näiteks aasta elektritarbimine linnas. Kogutarbimise väärtus on üksikute tarbijate energiatarbimise summa, millel on erineva jaotusega juhuslikud väärtused. Teoreem väidab, et sel juhul, olenemata üksikute komponentide jaotusest, on saadud tarbimise jaotus normaalsele lähedane. |
