Nagu teate, võib integraali leidmine olla üsna keeruline ülesanne. Oleks suur pettumus võtta ette vale integraali arvutamine ja avastada tee lõpus, et see lahkneb. Seetõttu pakuvad huvi meetodid, mis võimaldavad teha järeldusi ebaõige integraali lähenemise või lahknemise kohta ilma tõsiste arvutusteta ühte tüüpi funktsioonide jaoks. Esimene ja teine võrdlusteoreem, mida arutatakse allpool, aitavad suurel määral uurida konvergentsi sobimatuid integraale.
Olgu f(x)?0. Siis funktsioonid
on monotoonselt suurenevad muutujatega t või -q (kuna me võtame q > 0, siis -q kaldub vasakult nulli). Kui argumentide suurenedes jäävad funktsioonid F 1 (t) ja F 2 (-d) ülalt piiratuks, tähendab see, et vastavad ebaõiged integraalid lähenevad. See on mittenegatiivsete funktsioonide integraalide esimese võrdlusteoreemi aluseks.
Olgu funktsiooni f(x) ja g(x) jaoks punktis x?a täidetud järgmised tingimused:
- 1) 0?f(x)?g(x);
- 2) Funktsioonid f(x) ja g(x) on pidevad.
Siis tähendab integraali lähenemine integraali lähenemist ja integraali lahknemine tähendab lahknemist
Kuna 0?f(x)?g(x) ja funktsioonid on pidevad, siis
Eeldusel integraal koondub, st on piiratud väärtusega. Seetõttu koondub ka integraal.
Nüüd lase integraalil lahkneda. Oletame, et integraal koondub, kuid siis peab integraal lähenema, mis on tingimusega vastuolus. Meie oletus on vale, integraal läheb lahku.
2. tüüpi valede integraalide võrdlusteoreem.
Olgu funktsioonide f(x) ja g(x) jaoks intervallil , x>+0 korral määramata suurenemine. Selle jaoks x>+0 korral ebavõrdsus<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.
Võrdlusteoreem esimest tüüpi ebaõigete integraalide jaoks.
Olgu funktsiooni f(x) ja g(x) integraal divergeeruv intervallil.
See tähendab, et integraal lahkneb ka segmendis.
Seega lahkneb see integraal kogu segmendis [-1, 1]. Pange tähele, et kui me hakkaksime seda integraali arvutama, pööramata tähelepanu integrandi katkestusele punktis x = 0, saaksime vale tulemuse. Tõesti,
, mis on võimatu.
Niisiis, katkendliku funktsiooni vale integraali uurimiseks on vaja see "lõhkuda" mitmeks integraaliks ja neid uurida.
Kui integrandil on integratsiooni (lõplikul) intervallil teist tüüpi katkestus, siis räägitakse teist tüüpi ebaõigest integraalist.
10.2.1 Definitsioon ja põhiomadused
Tähistame integreerimise intervalli $\left[ a, \, b \right ]$, mõlemad arvud on allpool lõplikud. Kui vahe on ainult 1, võib see olla kas punktis $a$ või punktis $b$ või intervalli $(a,\,b)$ sees. Vaatleme esmalt juhtumit, kui punktis $a$ esineb teist tüüpi katkestus ja teistes punktides on integrand pidev. Seega arutame integraali
\begin(võrrand) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(võrrand)
kus $f(x) \rightarrow \infty $, kui $x \rightarrow a+0$. Nagu varemgi, tuleb esimese asjana sellele väljendile tähendus anda. Selleks kaaluge integraali
\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Definitsioon. Las olla piir
\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Siis öeldakse, et teist tüüpi ebaõige integraal (22) läheneb ja sellele omistatakse väärtus $A$, funktsioon $f(x)$ ise on integreeritav intervalliga $\left[ a, \ , b\right]$.
Mõelge integraalile
\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]
$x \rightarrow +0$ integrandil $1/\sqrt(x)$ on lõpmatu limiit, seega punktis $x=0$ on sellel teist tüüpi katkestus. Paneme
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]
Sel juhul on antiderivaat teada,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\paremnool 2 \]
$\epsilon \rightarrow +0$ eest. Seega on algne integraal teist tüüpi koonduv valeintegraal ja see on võrdne 2-ga.
Vaatleme varianti, kui integreerimisintervalli ülemisel piiril esineb integrandi teist tüüpi katkestus. Seda juhtumit saab taandada eelmisele, muutes muutujat $x=-t$ ja seejärel lõimimise piire ümber korraldades.
Vaatleme juhtumit, kui integrandil on integreerimisintervalli sees punktis $c \in (a,\,b)$ teist tüüpi katkestus. Sel juhul algne integraal
\begin(võrrand) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(võrrand)
esitatakse summana
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Definitsioon. Kui mõlemad integraalid $I_1, \, I_2$ koonduvad, nimetatakse ebaõiget integraali (23) koonduvaks ja sellele omistatakse väärtus, mis võrdub integraalide $I_1, \, I_2$, funktsiooni $f(x) summaga. $ nimetatakse integreeritavaks intervallil $\left [a, \, b\right]$. Kui vähemalt üks integraalidest $I_1,\, I_2$ on lahknev, nimetatakse vale integraali (23) divergentseks.
2. tüüpi koonduvatel ebaõigetel integraalidel on kõik tavaliste kindlate integraalide standardomadused.
1. Kui $f(x)$, $g(x)$ on integreeritavad intervalliga $\left[ a, \,b \right ]$, siis on nende summa $f(x)+g(x)$ integreeritav ka sellel intervallil ja \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Kui $f(x)$ on integreeritav intervalliga $\left[ a, \, b \right ]$, siis mis tahes konstandi $C$ korral on ka funktsioon $C\cdot f(x)$ integreeritav sellel intervallil ja \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Kui $f(x)$ on integreeritav sellel intervallil $\left[ a, \, b \right ]$ ja $f(x)>0$, siis \[ \int _a^( b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Kui $f(x)$ on integreeritav intervalliga $\left[ a, \, b \right ]$, siis mis tahes $c\in (a, \,b)$ korral integraalid \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] koonduvad samuti kokku ja \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (integraali liitmine intervalliga).
Mõelge integraalile \begin(võrrand) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(võrrand) Kui $k>0$, kipub integrand $\infty$ kujul $x \rightarrow +0$, seega on integraal teist tüüpi vale. Tutvustame funktsiooni \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] Sel juhul on antiderivaat teada, nii et \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] $k \neq 1 $ eest, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] $k jaoks = 1 $. Arvestades $\epsilon \rightarrow +0$ käitumist, järeldame, et integraal (20) läheneb $k jaoks
10.2.2 2. tüüpi sobimatute integraalide lähenemise kriteeriumid
Teoreem (esimene võrdlusmärk). Olgu $f(x)$, $g(x)$ pidevad väärtused $x\in (a,\,b)$ ja $0 1. Kui integraal \[ \int _a^(b)g(x) dx \] koondub, siis koondub ka integraal \[ \int _a^(b)f(x)dx. \] 2. Kui integraal \[ \int _a^(b)f(x)dx \] lahkneb, siis lahkneb ka integraal \[ \int _a^(b)g(x)dx. \]
Teoreem (teine võrdlusmärk). Olgu $f(x)$, $g(x)$ pidevad ja positiivsed $x\in (a,\,b)$ jaoks ning olgu olemas lõplik piir
\[ \theta = \lim_(x \paremnool a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Siis integraalid
\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]
lähenevad või lahknevad samal ajal.
Mõelge integraalile
\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
Integrand on integreerimisintervalli positiivne funktsioon, integrand kipub olema $\infty$ kui $x \rightarrow +0$, seega on meie integraal teist tüüpi vale. Lisaks on $x \paremnool +0$ jaoks: kui $g(x)=1/x$, siis
\[ \lim _(x \paremnool +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \paremnool +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]
Rakendades teist võrdluskriteeriumi, jõuame järeldusele, et meie integraal koondub või lahkneb integraaliga samaaegselt
\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]
Nagu näidatud eelmises näites, see integraal lahkneb ($k=1$). Seetõttu lahkneb ka algne integraal.
Arvutage vale integraal või määrake selle konvergents (lahknemine).
1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]
