Funktsioonigraafiku sirge valem. Põhilised elementaarfunktsioonid, nende omadused ja graafikud

1. Lineaarne murdfunktsioon ja selle graafik

Funktsiooni kujul y = P(x) / Q(x), kus P(x) ja Q(x) on polünoomid, nimetatakse murdratsionaalfunktsiooniks.

Tõenäoliselt olete ratsionaalarvude mõistega juba tuttav. Samamoodi ratsionaalsed funktsioonid on funktsioonid, mida saab esitada kahe polünoomi jagatisena.

Kui murdosaline ratsionaalfunktsioon on kahe lineaarfunktsiooni - esimese astme polünoomide jagatis, s.o. vaatamise funktsioon

y = (ax + b) / (cx + d), siis nimetatakse seda murdosa lineaarseks.

Pange tähele, et funktsioonis y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (muidu muutub funktsioon lineaarseks y = ax/d + b/d) ja et a/c ≠ b/d (muidu funktsioon on konstant). Lineaar-murdfunktsioon on defineeritud kõigi reaalarvude jaoks, välja arvatud x = -d/c. Lineaar-murdfunktsioonide graafikud ei erine kuju poolest teile teadaolevast graafikust y = 1/x. Kutsutakse kõverat, mis on funktsiooni y = 1/x graafik hüperbool. Absoluutväärtuse x piiramatu suurenemise korral väheneb funktsioon y = 1/x absoluutväärtuses lõputult ja graafiku mõlemad harud lähenevad abstsissteljele: parempoolne läheneb ülalt, vasak aga alt. Sirgeid, millele hüperbooli harud lähenevad, nimetatakse selleks asümptoodid.

Näide 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Otsus.

Valime täisarvulise osa: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Nüüd on lihtne näha, et selle funktsiooni graafik saadakse funktsiooni y = 1/x graafikust järgmiste teisendustega: nihuta 3 ühikulist lõiku paremale, venita mööda Oy telge 7 korda ja nihuta 2 ühiku segmenti üles.

Mis tahes murdosa y = (ax + b) / (cx + d) saab kirjutada samal viisil, tuues esile “tervikosa”. Järelikult on kõigi lineaar-murdfunktsioonide graafikud hüperboolid, mida on erineval viisil nihutatud piki koordinaattelge ja mis on venitatud piki Oy telge.

Mõne suvalise lineaar-murdfunktsiooni graafiku joonistamiseks ei ole üldse vaja seda funktsiooni defineerivat murdosa teisendada. Kuna me teame, et graaf on hüperbool, siis piisab, kui leida sirged, millele selle harud lähenevad – hüperbooli asümptoodid x = -d/c ja y = a/c.

Näide 2

Leia funktsiooni y = (3x + 5)/(2x + 2) graafiku asümptoodid.

Otsus.

Funktsioon ei ole määratletud, kui x = -1. Seega toimib joon x = -1 vertikaalse asümptoodina. Horisontaalse asümptoodi leidmiseks uurime välja, millele lähenevad funktsiooni y(x) väärtused, kui argumendi x absoluutväärtus suureneb.

Selleks jagame murdosa lugeja ja nimetaja x-ga:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Nagu x → ∞, kipub murd olema 3/2. Seega on horisontaalne asümptoot sirge y = 3/2.

Näide 3

Joonistage funktsioon y = (2x + 1)/(x + 1).

Otsus.

Valime murdosa "terve osa":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nüüd on lihtne näha, et selle funktsiooni graafik saadakse funktsiooni y = 1/x graafikust järgmiste teisendustega: nihe 1 ühiku võrra vasakule, sümmeetriline kuva Ox suhtes ja nihe. 2 ühiku intervalliga üles mööda Oy telge.

Määratluspiirkond D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Väärtuste vahemikE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Lõikepunktid telgedega: c Oy: (0; 1); c Härg: (-1/2; 0). Funktsioon suureneb igal definitsioonipiirkonna intervallil.

Vastus: joonis 1.

2. Murd-ratsionaalfunktsioon

Vaatleme murdarvulist ratsionaalfunktsiooni kujul y = P(x) / Q(x), kus P(x) ja Q(x) on esimesest kõrgema astme polünoomid.

Selliste ratsionaalsete funktsioonide näited:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) või y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Kui funktsioon y = P(x) / Q(x) on kahe esimesest kõrgema astme polünoomi jagatis, siis on selle graafik reeglina keerulisem ja mõnikord võib selle täpne koostamine olla keeruline. , koos kõigi üksikasjadega. Sageli piisab aga selliste tehnikate rakendamisest, millega oleme juba eespool kohtunud.

Olgu murd õige (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Ilmselgelt saab murdarvulise ratsionaalfunktsiooni graafiku saada elementaarmurdude graafikute summana.

Murdratsionaalfunktsioonide joonistamine

Mõelge mitmele murdosa-ratsionaalfunktsiooni joonistamise võimalusele.

Näide 4

Joonistage funktsioon y = 1/x 2 .

Otsus.

Graafiku y \u003d 1 / x 2 joonistamiseks kasutame funktsiooni y \u003d x 2 graafikut ja kasutame graafikute "jagamise" meetodit.

Domeen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Väärtuste vahemik E(y) = (0; +∞).

Telgedega ristumispunkte pole. Funktsioon on ühtlane. Suureneb kõigi x väärtuste puhul vahemikust (-∞; 0), väheneb x puhul 0-st +∞-ni.

Vastus: joonis 2.

Näide 5

Joonistage funktsioon y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Otsus.

Domeen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Siin kasutasime faktooringu, redutseerimise ja lineaarseks funktsiooniks redutseerimise tehnikat.

Vastus: joonis 3.

Näide 6

Joonistage funktsioon y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Otsus.

Definitsioonipiirkond on D(y) = R. Kuna funktsioon on paaris, on graafik y-telje suhtes sümmeetriline. Enne joonistamist teisendame avaldise uuesti, tõstes esile täisarvulise osa:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Pange tähele, et täisarvulise osa valimine murdarvulise ratsionaalfunktsiooni valemis on graafikute joonistamisel üks peamisi.

Kui x → ±∞, siis y → 1, st. joon y = 1 on horisontaalne asümptoot.

Vastus: joonis 4.

Näide 7

Vaatleme funktsiooni y = x/(x 2 + 1) ja proovige leida täpselt selle suurim väärtus, s.t. kõrgeim punkt graafiku paremal poolel. Selle graafiku täpseks koostamiseks ei piisa tänapäeva teadmistest. On ilmne, et meie kõver ei saa väga kõrgele "ronida", kuna nimetaja hakkab kiiresti lugejast "mööda minema". Vaatame, kas funktsiooni väärtus võib olla võrdne 1-ga. Selleks tuleb lahendada võrrand x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Sellel võrrandil pole reaalseid juuri. Seega on meie oletus vale. Funktsiooni suurima väärtuse leidmiseks peate välja selgitama, millisele suurimale A võrrandile A \u003d x / (x 2 + 1) on lahendus. Asendame algse võrrandi ruutvõrrandiga: Ax 2 - x + A \u003d 0. Sellel võrrandil on lahendus, kui 1 - 4A 2 ≥ 0. Siit leiame suurima väärtuse A \u003d 1/2.

Vastus: Joonis 5, max y(x) = ½.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas funktsioonigraafikuid koostada?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
Esimene tund on tasuta!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Lineaarfunktsioon on funktsioon kujul y=kx+b, kus x on sõltumatu muutuja, k ja b on suvalised arvud.
Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.

1. Funktsioonigraafiku joonistamiseks vajame kahe funktsiooni graafikusse kuuluva punkti koordinaate. Nende leidmiseks peate võtma kaks x väärtust, asendama need funktsiooni võrrandiga ja arvutama nende põhjal vastavad y väärtused.

Näiteks funktsiooni y= x+2 joonistamiseks on mugav võtta x=0 ja x=3, siis on nende punktide ordinaadid võrdsed y=2 ja y=3. Saame punktid A(0;2) ja B(3;3). Ühendame need omavahel ja saame funktsiooni y= x+2 graafiku:

2. Valemis y=kx+b nimetatakse arvu k proportsionaalsusteguriks:
kui k>0, siis funktsioon y=kx+b suureneb
kui k
Koefitsient b näitab funktsiooni graafiku nihet piki OY telge:
kui b>0, siis funktsiooni y=kx+b graafik saadakse funktsiooni y=kx graafikult, nihutades b ühikut mööda OY telge üles
kui b
Alloleval joonisel on toodud funktsioonide y=2x+3 graafikud; y = ½x+3; y=x+3

Pange tähele, et kõigis neis funktsioonides on koefitsient k Üle nulli, ja funktsioonid on suureneb. Veelgi enam, mida suurem on k väärtus, seda suurem on sirge kaldenurk OX-telje positiivse suuna suhtes.

Kõikides funktsioonides b=3 - ja näeme, et kõik graafikud lõikuvad OY teljega punktis (0;3)

Vaatleme nüüd funktsioonide y=-2x+3 graafikuid; y = - 1/2 x+3; y=-x+3

Seekord on kõigis funktsioonides koefitsient k vähem kui null ja funktsioonid vähenema. Koefitsient b=3 ja graafikud, nagu ka eelmisel juhul, ristuvad OY teljega punktis (0;3)

Vaatleme funktsioonide y=2x+3 graafikuid; y = 2x; y = 2x-3

Nüüd on kõigis funktsioonivõrrandites koefitsiendid k 2. Ja saime kolm paralleelset sirget.

Kuid koefitsiendid b on erinevad ja need graafikud lõikuvad OY teljega erinevates punktides:
Funktsiooni y=2x+3 (b=3) graafik ristub OY-teljega punktis (0;3)
Funktsiooni y=2x (b=0) graafik ristub OY teljega punktis (0;0) - alguspunktis.
Funktsiooni y=2x-3 (b=-3) graafik ristub OY-teljega punktis (0;-3)

Seega, kui teame koefitsientide k ja b märke, siis võime kohe ette kujutada, milline näeb välja funktsiooni y=kx+b graafik.
Kui a k 0

Kui a k>0 ja b>0, siis näeb funktsiooni y=kx+b graafik välja selline:

Kui a k>0 ja b, siis näeb funktsiooni y=kx+b graafik välja selline:

Kui a k, siis näeb funktsiooni y=kx+b graafik välja selline:

Kui a k = 0, siis muutub funktsioon y=kx+b funktsiooniks y=b ja selle graafik näeb välja järgmine:

Funktsiooni y=b graafiku kõigi punktide ordinaadid on võrdsed b Kui b = 0, siis funktsiooni y=kx (otsene proportsionaalsus) graafik läbib lähtepunkti:

3. Eraldi märgime ära võrrandi x=a graafiku. Selle võrrandi graafik on OY teljega paralleelne sirgjoon, mille kõikide punktide abstsiss on x=a.

Näiteks võrrandi x=3 graafik näeb välja selline:
Tähelepanu! Võrrand x=a ei ole funktsioon, kuna argumendi üks väärtus vastab funktsiooni erinevatele väärtustele, mis ei vasta funktsiooni definitsioonile.

4. Kahe joone paralleelsuse tingimus:

Funktsiooni y=k 1 x+b 1 graafik on paralleelne funktsiooni y=k 2 x+b 2 graafikuga, kui k 1 =k 2

5. Tingimus, et kaks sirget oleksid risti:

Funktsiooni y=k 1 x+b 1 graafik on risti funktsiooni y=k 2 x+b 2 graafikuga, kui k 1 *k 2 =-1 või k 1 =-1/k 2

6. Funktsiooni y=kx+b graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.

OY teljega. Mis tahes OY-teljele kuuluva punkti abstsiss on võrdne nulliga. Seetõttu tuleb OY-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis asendada x asemel null. Saame y=b. See tähendab, et lõikepunktil OY-teljega on koordinaadid (0;b).

X-teljega: iga x-teljesse kuuluva punkti ordinaat on null. Seetõttu tuleb OX-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis asendada y asemel null. Saame 0=kx+b. Seega x=-b/k. See tähendab, et lõikepunktil OX-teljega on koordinaadid (-b / k; 0):

Vaatame, kuidas funktsiooni graafiku abil uurida. Selgub, et graafikut vaadates saate teada kõike, mis meid huvitab, nimelt:

• funktsiooni ulatus
• funktsioonide vahemik
• funktsiooni nullid
• tõusu ja languse perioodid
• kõrged ja madalad punktid
• funktsiooni suurim ja väikseim väärtus segmendil.

Täpsustame terminoloogiat:

Abstsiss on punkti horisontaalne koordinaat.
Ordinaat- vertikaalne koordinaat.
abstsiss- horisontaaltelg, mida enamasti nimetatakse teljeks.
Y-telg- vertikaaltelg või telg.

Argument on sõltumatu muutuja, millest sõltuvad funktsiooni väärtused. Kõige sagedamini näidatud.
Teisisõnu, me ise valime , asendame funktsiooni valemis ja saame .

Domeen funktsioonid - argumendi nende (ja ainult nende) väärtuste kogum, mille jaoks funktsioon on olemas.
Tähistatakse: või .

Meie joonisel on funktsiooni domeeniks segment. Sellele segmendile joonistatakse funktsiooni graafik. Ainult siin on see funktsioon olemas.

Funktsioonide vahemik on väärtuste kogum, mille muutuja võtab. Meie joonisel on see segment - madalaimast kuni kõrgeima väärtuseni.

Funktsiooni nullid- punktid, kus funktsiooni väärtus on võrdne nulliga, st . Meie joonisel on need punktid ja .

Funktsiooni väärtused on positiivsed kus . Meie joonisel on need intervallid ja .
Funktsiooni väärtused on negatiivsed kus . Meil on see intervall (või intervall) alates kuni.

Kõige olulisemad mõisted - funktsiooni suurendamine ja vähenemine mõnel komplektil. Hulgana võite võtta lõigu, intervalli, intervallide liidu või terve arvurea.

Funktsioon suureneb

Teisisõnu, mida rohkem , seda rohkem , see tähendab, et graafik läheb paremale ja üles.

Funktsioon väheneb hulgal, kui mis tahes ja hulka kuulumine tähendab ebavõrdsust.

Väheneva funktsiooni puhul vastab suurem väärtus väiksemale väärtusele. Graafik liigub paremale ja alla.

Meie joonisel funktsioon suureneb intervallil ja väheneb intervallidel ja .

Määratleme, mis on funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktid.

Maksimaalne punkt- see on määratluspiirkonna sisepunkt, nii et funktsiooni väärtus selles on suurem kui kõigis sellele piisavalt lähedal asuvates punktides.
Teisisõnu, maksimumpunkt on selline punkt, funktsiooni väärtus, mille juures rohkem kui naaberriikides. See on graafikul kohalik "mägi".

Meie joonisel - maksimaalne punkt.

Madal punkt- määratluspiirkonna sisemine punkt, nii et funktsiooni väärtus selles on väiksem kui kõigis sellele piisavalt lähedal asuvates punktides.
See tähendab, et miinimumpunkt on selline, et selles oleva funktsiooni väärtus on väiksem kui naaberfunktsioonides. Graafikul on see kohalik "auk".

Meie joonisel - miinimumpunkt.

Punkt on piir. See ei ole definitsioonipiirkonna sisepunkt ja seetõttu ei sobi see maksimumpunkti määratlusega. Lõppude lõpuks pole tal vasakpoolseid naabreid. Samamoodi ei saa meie diagrammil olla miinimumpunkti.

Maksimaalset ja miinimumpunkti nimetatakse ühiselt funktsiooni äärmuspunktid. Meie puhul on see ja .

Aga kui teil on vaja leida näiteks funktsiooni miinimum lõike peal? Sel juhul on vastus järgmine: sest funktsiooni miinimum on selle väärtus miinimumpunktis.

Samamoodi on meie funktsiooni maksimum . Selleni jõutakse punktis .

Võime öelda, et funktsiooni äärmused on võrdsed ja .

Mõnikord peate ülesannetes leidma funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused antud segmendil. Need ei pruugi äärmustega kokku langeda.

Meie puhul väikseim funktsiooni väärtus intervall on võrdne funktsiooni miinimumiga ja kattub sellega. Kuid selle suurim väärtus selles segmendis on võrdne . Selleni jõutakse segmendi vasakpoolses otsas.

Igal juhul saavutatakse segmendi pideva funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused kas äärmuspunktides või segmendi otstes.

Põhilised elementaarfunktsioonid, nendele omased omadused ja vastavad graafikud on matemaatikateadmiste üks põhialuseid, mis on oma tähtsuselt sarnane korrutustabeliga. Elementaarfunktsioonid on kõigi teoreetiliste küsimuste uurimise aluseks, toeks.

Allolev artikkel pakub põhimaterjali põhiliste elementaarfunktsioonide teemal. Tutvustame termineid, anname neile definitsioone; Uurime üksikasjalikult igat tüüpi elementaarfunktsioone ja analüüsime nende omadusi.

Eristatakse järgmist tüüpi põhilisi elementaarfunktsioone:

Definitsioon 1

• konstantne funktsioon (konstant);
• n-nda astme juur;
• toitefunktsioon;
• eksponentsiaalne funktsioon;
• logaritmiline funktsioon;
• trigonomeetrilised funktsioonid;
• vennalikud trigonomeetrilised funktsioonid.

Konstantne funktsioon defineeritakse valemiga: y = C (C on mingi reaalarv) ja sellel on ka nimi: konstant. See funktsioon määrab, kas sõltumatu muutuja x mõni reaalväärtus vastab muutuja y samale väärtusele – väärtusele C .

Konstandi graafik on sirgjoon, mis on paralleelne x-teljega ja läbib punkti, millel on koordinaadid (0, C). Selguse huvides esitame konstantsete funktsioonide y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 graafikud (joonisel märgitud vastavalt musta, punase ja sinisega).

Definitsioon 2

See elementaarfunktsioon on defineeritud valemiga y = x n (n on ühest suurem naturaalarv).

Vaatleme funktsiooni kahte varianti.

1. N-nda astme juur, n on paarisarv

Selguse huvides näitame joonist, mis näitab selliste funktsioonide graafikuid: y = x , y = x 4 ja y = x 8. Need funktsioonid on värvikoodiga: vastavalt must, punane ja sinine.

Sarnane vaade paarisastme funktsiooni graafikutele indikaatori muude väärtuste jaoks.

3. määratlus

Funktsiooni n-nda astme juure omadused, n on paarisarv

• definitsioonipiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk [ 0 , + ∞) ;
• kui x = 0 , funktsioon y = x n väärtus on võrdne nulliga;
• see funktsioon on üldvormi funktsioon (see pole paaris ega paaritu);
• vahemik: [ 0 , + ∞) ;
• see funktsioon y = x n paarisaste juurkasvudega kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• funktsioonil on ülespoole suunatud kumerus kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni graafik paaris n korral läbib punkte (0 ; 0) ja (1 ; 1) .

1. N-nda astme juur, n on paaritu arv

Selline funktsioon on defineeritud kogu reaalarvude hulga kohta. Selguse huvides vaadake funktsioonide graafikuid y = x 3, y = x 5 ja x 9 . Joonisel on need tähistatud värvidega: vastavalt must, punane ja sinine kõverate värv.

Funktsiooni y = x n juure eksponendi teised paaritud väärtused annavad sarnase kujuga graafiku.

4. definitsioon

Funktsiooni n-nda astme juure omadused, n on paaritu arv

• määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk;
• see funktsioon on paaritu;
• väärtuste vahemik on kõigi reaalarvude kogum;
• funktsioon y = x n juure paaritute astendajatega kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• funktsioonil on intervallil (- ∞ ; 0 ] nõgusus ja intervallil [ 0 , + ∞) kumerus;
• käändepunktil on koordinaadid (0 ; 0) ;
• asümptoote pole;
• paaritu n funktsiooni graafik läbib punkte (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) ja (1 ; 1) .

Toitefunktsioon

Definitsioon 5

Võimsusfunktsioon on defineeritud valemiga y = x a .

Graafikute tüüp ja funktsiooni omadused sõltuvad eksponendi väärtusest.

• kui astmefunktsioonil on täisarv astendaja a, siis astmefunktsiooni graafiku vorm ja omadused sõltuvad sellest, kas astendaja on paaris või paaritu, ning ka sellest, milline on astendaja märk. Vaatleme allpool kõiki neid erijuhtumeid üksikasjalikumalt;
• eksponent võib olla murdosa või irratsionaalne – olenevalt sellest varieerub ka graafikute tüüp ja funktsiooni omadused. Analüüsime erijuhtumeid, seades mitu tingimust: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• astmefunktsioonil võib olla nullastendaja, analüüsime seda juhtumit ka allpool üksikasjalikumalt.

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paaritu positiivne arv, näiteks a = 1 , 3 , 5 …

Selguse huvides toome välja selliste võimsusfunktsioonide graafikud: y = x (graafiku must värv), y = x 3 (diagrammi sinine värv), y = x 5 (graafiku punane värv), y = x 7 (roheline graafik). Kui a = 1 , saame lineaarfunktsiooni y = x .

Definitsioon 6

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on paaritu positiivne

• funktsioon kasvab x ∈ korral (- ∞ ; + ∞) ;
• funktsioon on kumer x ∈ (- ∞ ; 0 ] ja nõgus x ∈ [ 0 ; + ∞) korral (v.a lineaarfunktsioon);
• käändepunktil on koordinaadid (0 ; 0) (v.a lineaarfunktsioon);
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimispunktid: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui a on paarisarv, näiteks a = 2 , 4 , 6 ...

Selguse huvides näitame selliste võimsusfunktsioonide graafikuid: y \u003d x 2 (graafiku must värv), y = x 4 (graafiku sinine värv), y = x 8 (graafiku punane värv). Kui a = 2, saame ruutfunktsiooni, mille graafik on ruutparabool.

Definitsioon 7

Positiivse astme funktsiooni omadused, kui astendaja on isegi positiivne:

• määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• väheneb x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
• funktsioon on x ∈ korral nõgus (- ∞ ; + ∞) ;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimispunktid: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on eksponentsiaalfunktsiooni graafikute näited y = x a, kui a on paaritu negatiivne arv: y = x - 9 (tabeli must värv); y = x - 5 (graafiku sinine värv); y = x - 3 (diagrammi punane värv); y = x - 1 (roheline graafik). Kui a \u003d - 1, saame pöördproportsionaalsuse, mille graafik on hüperbool.

Definitsioon 8

Positiivse funktsiooni omadused, kui eksponent on paaritu negatiivne:

Kui x \u003d 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 1, - 3, - korral 5, .... Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

• vahemik: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x) ;
• funktsioon on kahanev x ∈ - ∞ korral; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funktsioon on x ∈ (- ∞ ; 0) korral kumer ja x ∈ (0 ; + ∞) korral nõgus;
• pöördepunktid puuduvad;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Alloleval joonisel on näited astmefunktsiooni graafikutest y = x a, kui a on paarisarv negatiivne: y = x - 8 (diagramm must); y = x - 4 (graafiku sinine värv); y = x - 2 (graafiku punane värv).

Definitsioon 9

Positiivse funktsiooni omadused, kui eksponent on isegi negatiivne:

• määratluspiirkond: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kui x \u003d 0, saame teist tüüpi katkestuse, kuna lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - korral 6, .... Seega on sirge x = 0 vertikaalne asümptoot;

• funktsioon on paaris, sest y (- x) = y (x) ;
• funktsioon kasvab x ∈ (- ∞ ; 0) ja kahaneb x ∈ 0 korral; +∞ ;
• funktsioon on nõgus x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) korral;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot on sirgjoon y = 0, sest:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kui a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funktsiooni läbimise punktid: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Pöörake algusest peale tähelepanu järgmisele aspektile: juhul, kui a on paaritu nimetajaga positiivne murd, võtavad mõned autorid selle astmefunktsiooni definitsioonipiirkonnaks intervalli - ∞; + ∞ , mis näeb ette, et astendaja a on taandamatu murd. Praegu EI defineeri paljude algebrat ja analüüsi algust käsitlevate õppeväljaannete autorid astmefunktsioone, kus eksponendiks on argumendi negatiivsete väärtuste paaritu nimetajaga murd. Edasi peame kinni just sellisest positsioonist: võtame hulga [ 0 ; +∞) . Soovitus õpilastele: uurige siinkohal välja õpetaja seisukoht, et vältida lahkarvamusi.

Nii et vaatame võimsusfunktsiooni y = x a, kui eksponendiks on ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et 0< a < 1 .

Illustreerime graafikutega võimsusfunktsioone y = x a, kui a = 11 12 (diagramm must); a = 5 7 (graafiku punane värv); a = 1 3 (tabeli sinine värv); a = 2 5 (graafiku roheline värv).

Eksponent a muud väärtused (eeldades, et 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definitsioon 10

Võimsusfunktsiooni omadused 0 juures< a < 1:

• vahemik: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funktsioonil on kumerus x ∈ (0 ; + ∞) korral;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;

Analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a, kui eksponendiks on mittetäisarvuline ratsionaal- või irratsionaalarv, eeldusel, et a > 1 .

Illustreerime võimsusfunktsiooni graafikuid y = x a antud tingimustel selliste funktsioonide näitel: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (vastavalt must, punane, sinine, roheline graafikute värv) .

Teised eksponendi a väärtused tingimusel a > 1 annavad graafikust sarnase vaate.

Definitsioon 11

Võimsusfunktsiooni omadused > 1:

• määratluspiirkond: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• vahemik: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• see funktsioon on üldkuju funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• funktsioon kasvab x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funktsioon on nõgus x ∈ (0 ; + ∞) korral (kui 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimise punktid: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Juhime teie tähelepanu!Kui a on paaritu nimetajaga negatiivne murd, on mõne autori töödes seisukoht, et definitsioonipiirkonnaks on sel juhul intervall - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) eeldusel, et astendaja a on taandamatu murd. Hetkel algebrat ja analüüsi algust käsitlevate õppematerjalide autorid EI MÄÄRATA võimsusfunktsioone argumendi negatiivsete väärtuste jaoks paaritu nimetajaga murdosaga eksponendiga. Lisaks peame kinni just sellisest vaatest: võtame hulga (0 ; + ∞) murdosa negatiivsete eksponentide astmefunktsioonide domeeniks. Soovitus õpilastele: lahkarvamuste vältimiseks täpsustage siinkohal oma õpetaja nägemust.

Jätkame teemat ja analüüsime võimsusfunktsiooni y = x a tingimusel: - 1< a < 0 .

Siin on joonis järgmiste funktsioonide graafikutest: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (vastavalt mustad, punased, sinised, rohelised jooned ).

Definitsioon 12

Võimsusfunktsiooni omadused -1 juures< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kui - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• vahemik: y ∈ 0 ; +∞ ;
• see funktsioon on üldkuju funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• pöördepunktid puuduvad;

Alloleval joonisel on kujutatud astmefunktsioonide y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 graafikud (vastavalt must, punane, sinine, kõverate roheline värv).

Definitsioon 13

Võimsusfunktsiooni omadused a< - 1:

• määratluspiirkond: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kui a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• see funktsioon on üldkuju funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• funktsioon on kahanev x ∈ 0 korral; +∞ ;
• funktsioon on x ∈ 0 korral nõgus; +∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot - sirgjoon y = 0 ;
• funktsiooni läbimispunkt: (1 ; 1) .

Kui a \u003d 0 ja x ≠ 0, saame funktsiooni y \u003d x 0 \u003d 1, mis määrab sirge, millest punkt (0; 1) välja jäetakse (leppisime kokku, et avaldist 0 0 ei kasutata mis tahes väärtust arvestades).

Eksponentfunktsioonil on vorm y = a x , kus a > 0 ja a ≠ 1 ning selle funktsiooni graafik näeb aluse a väärtuse alusel erinev välja. Vaatleme erijuhtumeid.

Esiteks analüüsime olukorda, kui eksponentsiaalfunktsiooni baasi väärtus on nullist üheni (0< a < 1) . Illustreeriv näide on funktsioonide graafikud a = 1 2 (kõvera sinine värv) ja a = 5 6 (kõvera punane värv) jaoks.

Eksponentfunktsiooni graafikud on sarnase kujuga ka teiste baasväärtuste puhul, eeldusel, et 0< a < 1 .

Definitsioon 14

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

• vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• see funktsioon on üldkuju funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• eksponentsiaalne funktsioon, mille baas on väiksem kui üks, väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot on sirge y = 0, mille muutuja x kaldub + ∞ ;

Vaatleme nüüd juhtumit, kui eksponentsiaalfunktsiooni alus on suurem kui üks (a > 1).

Illustreerime seda erijuhtumit eksponentsiaalfunktsioonide y = 3 2 x (kõvera sinine värv) ja y = e x (graafiku punane värv) graafikuga.

Teised aluse väärtused, mis on suuremad kui üks, annavad eksponentsiaalfunktsiooni graafikule sarnase ülevaate.

Definitsioon 15

Eksponentfunktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

• määratluspiirkond on kogu reaalarvude hulk;
• vahemik: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• see funktsioon on üldkuju funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• eksponentsiaalfunktsioon, mille baas on suurem kui üks, kasvab x ∈ - ∞ korral; +∞ ;
• funktsioon on x ∈ - ∞ korral nõgus; +∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• horisontaalne asümptoot - sirge y = 0 muutujaga x kaldub - ∞ ;
• funktsiooni läbimispunkt: (0 ; 1) .

Logaritmiline funktsioon on kujul y = log a (x) , kus a > 0, a ≠ 1 .

Selline funktsioon on defineeritud ainult argumendi positiivsete väärtuste jaoks: x ∈ 0 jaoks; +∞ .

Logaritmilise funktsiooni graafik on aluse a väärtuse alusel erineva kujuga.

Mõelge esmalt olukorrale, kui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Teised aluse väärtused, mitte suuremad kui üks, annavad graafikust sarnase ülevaate.

Definitsioon 16

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on väiksem kui üks:

• määratluspiirkond: x ∈ 0 ; +∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, kipuvad funktsiooni väärtused + ∞;
• vahemik: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• see funktsioon on üldkuju funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• logaritmiline
• funktsioon on x ∈ 0 korral nõgus; +∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;

Nüüd analüüsime erijuhtu, kui logaritmilise funktsiooni baas on suurem kui üks: a > 1 . Alloleval joonisel on logaritmiliste funktsioonide y = log 3 2 x ja y = ln x graafikud (graafikute sinine ja punane värvus vastavalt).

Teised aluse väärtused, mis on suuremad kui üks, annavad graafikust sarnase vaate.

Definitsioon 17

Logaritmilise funktsiooni omadused, kui alus on suurem kui üks:

• määratluspiirkond: x ∈ 0 ; +∞ . Kuna x kaldub paremalt nulli, kipuvad funktsiooni väärtused - ∞;
• vahemik: y ∈ - ∞ ; + ∞ (reaalarvude kogum);
• see funktsioon on üldkuju funktsioon (see ei ole paaritu ega paaris);
• logaritmiline funktsioon kasvab x ∈ 0 korral; +∞ ;
• funktsioonil on kumerus x ∈ 0 korral; +∞ ;
• pöördepunktid puuduvad;
• asümptoote pole;
• funktsiooni läbimispunkt: (1 ; 0) .

Trigonomeetrilised funktsioonid on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Analüüsime nende igaühe omadusi ja vastavaid graafikuid.

Üldiselt iseloomustab kõiki trigonomeetrilisi funktsioone perioodilisuse omadus, s.t. kui funktsioonide väärtusi korratakse argumendi erinevate väärtuste jaoks, mis erinevad üksteisest perioodi väärtusega f (x + T) = f (x) (T on periood). Seega lisatakse trigonomeetriliste funktsioonide omaduste loendisse üksus "vähim positiivne periood". Lisaks märgime need argumendi väärtused, mille puhul vastav funktsioon kaob.

1. Siinusfunktsioon: y = sin(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse siinuslaineks.

Definitsioon 18

Siinuse funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: terve reaalarvude hulk x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funktsioon kaob, kui x = π k , kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
• funktsioon kasvab x ∈ - π 2 + 2 π · k korral; π 2 + 2 π k , k ∈ Z ja kahanevalt x ∈ π 2 + 2 π k korral; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z;
• siinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides π 2 + 2 π · k ; 1 ja lokaalsed miinimumid punktides - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈ Z;
• siinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z ja kumer, kui x ∈ 2 π k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
• asümptoote pole.

1. koosinusfunktsioon: y=cos(x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse koosinuslaineks.

Definitsioon 19

Koosinusfunktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• väikseim positiivne periood: T \u003d 2 π;
• vahemik: y ∈ - 1 ; üks ;
• see funktsioon on paaris, kuna y (- x) = y (x) ;
• funktsioon kasvab x ∈ - π + 2 π · k korral; 2 π · k , k ∈ Z ja kahanevalt x ∈ 2 π · k korral; π + 2 π k, k ∈ Z;
• koosinusfunktsioonil on lokaalsed maksimumid punktides 2 π · k ; 1 , k ∈ Z ja lokaalsed miinimumid punktides π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
• koosinusfunktsioon on nõgus, kui x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z ja kumer, kui x ∈ - π 2 + 2 π k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z
• asümptoote pole.

1. Tangensi funktsioon: y = t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse tangentoid.

Definitsioon 20

Tangensi funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);
• Puutujafunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna piiril lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Seega on sirged x = π 2 + π · k k ∈ Z vertikaalsed asümptoodid;
• funktsioon kaob, kui x = π k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
• vahemik: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• see funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x) ;
• funktsioon kasvab juures - π 2 + π · k ; π 2 + π k, k ∈ Z;
• puutujafunktsioon on x ∈ [ π · k korral nõgus; π 2 + π k) , k ∈ Z ja kumer x ∈ jaoks (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• käändepunktide koordinaadid on π k; 0, k ∈ Z;

1. Kotangentne funktsioon: y = c t g (x)

Selle funktsiooni graafikut nimetatakse kotangentoidiks. .

Definitsioon 21

Kootangensfunktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ (π k ; π + π k) , kus k ∈ Z (Z on täisarvude hulk);

Kootangensfunktsiooni käitumine definitsioonipiirkonna lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ piiril, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Seega on sirged x = π k k ∈ Z vertikaalsed asümptoodid;

• väikseim positiivne periood: T \u003d π;
• funktsioon kaob, kui x = π 2 + π k k ∈ Z korral (Z on täisarvude hulk);
• vahemik: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• see funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x) ;
• funktsioon on kahanev x ∈ π · k korral; π + π k, k ∈ Z;
• kotangensfunktsioon on x ∈ korral nõgus (π k ; π 2 + π k ], k ∈ Z ja kumer x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ) , k ∈ Z korral;
• käändepunktide koordinaadid on π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z;
• puuduvad kaldus ja horisontaalsed asümptoosid.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid on arcsinus, arkosiinus, arktangens ja arkotangens. Sageli nimetatakse eesliite "kaar" olemasolu tõttu nimes trigonomeetrilisi pöördfunktsioone kaarefunktsioonideks. .

1. Arksiinusfunktsioon: y = a r c sin (x)

Definitsioon 22

Arsiinuse funktsiooni omadused:

• see funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x) ;
• arcsinusfunktsioon on x ∈ 0 korral nõgus; 1 ja kumerus x ∈ - 1 korral; 0;
• käändepunktidel on koordinaadid (0 ; 0) , see on ka funktsiooni null;
• asümptoote pole.

1. Arkosiini funktsioon: y = a r c cos (x)

Definitsioon 23

Arkosiini funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - 1 ; üks ;
• vahemik: y ∈ 0 ; π;
• see funktsioon on üldkujuline (ei paaris ega paaritu);
• funktsioon väheneb kogu määratluspiirkonnas;
• arkosiinusfunktsioon on x ∈ - 1 korral nõgus; 0 ja kumerus x ∈ 0 korral; üks ;
• käändepunktide koordinaadid on 0 ; π2;
• asümptoote pole.

1. Arktangensi funktsioon: y = a r c t g (x)

Definitsioon 24

Arktangensi funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• vahemik: y ∈ - π 2 ; π2;
• see funktsioon on paaritu, sest y (- x) = - y (x) ;
• funktsioon kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
• arktangensfunktsioon on x ∈ (- ∞ ; 0 ] korral nõgus ja x ∈ [ 0 ; + ∞ ) korral kumer;
• käändepunktil on koordinaadid (0; 0), see on ühtlasi funktsiooni null;
• horisontaalsed asümptoodid on sirgjooned y = - π 2 x → - ∞ ja y = π 2 x → + ∞ (asümptoodid joonisel on rohelised jooned).

1. Kaare kotangensi funktsioon: y = a r c c t g (x)

Definitsioon 25

Kaare kotangensi funktsiooni omadused:

• määratluspiirkond: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• vahemik: y ∈ (0 ; π) ;
• see funktsioon on üldist tüüpi;
• funktsioon väheneb kogu määratluspiirkonnas;
• kaare kotangensfunktsioon on nõgus x ∈ [ 0 ; + ∞) ja kumerus x ∈ jaoks (- ∞ ; 0 ] ;
• käändepunkti koordinaadid on 0 ; π2;
• horisontaalsed asümptoodid on sirged y = π punktis x → - ∞ (joonisel roheline joon) ja y = 0 punktis x → + ∞.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kui olete tõesti aru saanud, mis funktsioon on (peate võib-olla õppetundi rohkem kui korra läbi lugema), saate funktsioonidega seotud probleeme enesekindlamalt lahendada.

Selles õppetükis analüüsime, kuidas lahendada funktsiooniülesannete põhitüüpe ja funktsioonigraafikuid.

Kuidas saada funktsiooni väärtust

Vaatleme ülesannet. Funktsioon on antud valemiga " y \u003d 2x - 1"

1. Arvutage " y" millal " x \u003d 15 "
2. Leidke väärtus " x", mille juures väärtus " y " on võrdne" −19".

" y" arvutamiseks koos" x \u003d 15"Piisab, kui asendada funktsiooniga "x" asemel vajalik arvväärtus.

Lahenduse kirje näeb välja selline:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Et leida "x"vastavalt teadaolevale" y", tuleb funktsiooni valemis asendada"y" asemel arvväärtus.

See tähendab, et nüüd, vastupidi, otsige "x"Asendame funktsioonis" y \u003d 2x - 1 "Y" asemel number" −19".

−19 = 2x − 1

Saime tundmatu "x"-ga lineaarvõrrandi, mis on lahendatud vastavalt lineaarvõrrandite lahendamise reeglitele.

Pea meeles!

Ärge unustage võrrandites ülekandereeglit.

Kui liigute võrrandi vasakult poolelt paremale (ja vastupidi), muutub täht või number märgiks vastupidine.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Nagu lineaarvõrrandi lahendamisel, peame tundmatu leidmiseks nüüd korrutama nii vasak kui ka parem pool märgi muutmiseks "−1".

-2x = 18 | (−1)
2x = −18

Nüüd jagame nii vasaku kui ka parema külje "2"-ga, et leida "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Kuidas kontrollida, kas funktsiooni võrdsus on tõene

Vaatleme ülesannet. Funktsioon on antud valemiga "f(x) = 2 − 5x".

Kas võrdus "f(−2) = −18" on tõene?

Võrdsuse tõesuse kontrollimiseks peate asendama numbrilise väärtuse "x = −2" funktsiooniga " f (x) \u003d 2 - 5x"Ja võrdlema arvutustes toimuvaga.

Tähtis!

Kui asendate "x" negatiivse arvuga, lisage see kindlasti sulgudesse.

Pole õige

Õigesti

Arvutuste abil saime "f(−2) = 12".

See tähendab, et "f(-2) = -18" funktsiooni "f(x) = 2 - 5x" jaoks ei ole kehtiv võrdus.

Kuidas kontrollida, kas punkt kuulub funktsiooni graafikusse

Mõelge funktsioonile " y \u003d x 2 −5x + 6"

Tuleb välja selgitada, kas punkt koordinaatidega (1; 2) kuulub selle funktsiooni graafikusse.

Selle ülesande jaoks ei ole vaja antud funktsiooni joonistada.

Pea meeles!

Et teha kindlaks, kas punkt kuulub funktsiooni, piisab selle koordinaatide asendamisest funktsiooniga (koordinaat piki telge "x" asemel "Ox" ja koordinaat piki telge "O" asemel "y").

Kui see õnnestub tõeline võrdsus, seega kuulub punkt funktsioonile.

Tuleme tagasi oma ülesande juurde. Asendage funktsioonis "y \u003d x 2 - 5x + 6" punkti koordinaadid (1; 2).

"x" asemel asendame 1". "y" asemel "Asendaja" 2».

2 = 1 2–5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (õige)

Saime õige võrdsuse, mis tähendab, et punkt koordinaatidega (1; 2) kuulub antud funktsiooni.

Nüüd kontrollime punkti koordinaatidega (0; 1) . Kas ta kuulub
funktsioonid "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

"x" asemel asendame "0". "y" asemel "Asendaja" 1».

1 = 0 2 – 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (vale)

Sel juhul ei saanud me õiget võrdsust. See tähendab, et punkt koordinaatidega (0; 1) ei kuulu funktsiooni " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Kuidas saada funktsioonipunkti koordinaate

Mis tahes funktsioonigraafikult saate võtta punkti koordinaadid. Siis peate veenduma, et funktsiooni valemis koordinaatide asendamisel saadakse õige võrdsus.

Vaatleme funktsiooni "y(x) = −2x + 1". Oleme selle ajakava juba eelmises tunnis koostanud.

Leiame graafikult funktsiooni " y (x) \u003d -2x + 1", mis on võrdne" y" x \u003d 2 jaoks.

Selleks joonistage väärtusest " 2"Teljel" Ox" funktsiooni graafikuga risti. Perpendikulaari ja funktsiooni graafiku lõikepunktist tõmmake teljega "Oy" teine ​​risti.

Saadud väärtus " −3"Teljel" Oy"Ja on soovitud väärtus" y».

Veenduge, et võtsime punkti x = 2 koordinaadid õigesti
funktsioonis "y(x) = −2x + 1".

Selleks asendame funktsiooni "y (x) \u003d -2x + 1" valemis x \u003d 2. Kui joonistame risti õigesti, peaksime ka lõpuks saama y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Arvutamisel saime ka y = −3.

See tähendab, et saime funktsiooni graafikult koordinaadid õigesti.

Tähtis!

Kontrollige funktsiooni graafikult kindlasti kõiki punkti koordinaate, asendades funktsiooniga "x" väärtused.

Asendades numbrilise väärtuse "x"funktsiooni, peaks tulemuseks olema sama väärtus" y", mille saite diagrammile.

Funktsiooni graafikult punktide koordinaatide saamisel on suur tõenäosus, et teete vea, sest telgedega risti joonistamine toimub "silma järgi".

Ainult väärtuste asendamine funktsiooni valemiga annab täpsed tulemused.