Lihtmurdude tüübid ja integraalid nendest. Liht(elementaar)murdude integreerimine

Nagu ma juba märkisin, pole integraalarvutuses mugavat valemit murru integreerimiseks. Ja seetõttu on kurb tendents: mida “ilusam” murd, seda keerulisem on sealt integraali leida. Sellega seoses tuleb kasutada erinevaid nippe, millest ma nüüd räägin. Ettevalmistatud lugejad saavad kohe kasutada Sisukord:

• Lihtmurdude diferentsiaali märgi alla liitmise meetod

Lugeja kunstliku teisendamise meetod

Näide 1

Muide, vaadeldava integraali saab lahendada ka muutujameetodi muutmisega, tähistades , kuid lahendus on palju pikem.

Näide 2

Leidke määramatu integraal. Käivitage kontroll.

See on tee-seda-ise näide. Tuleb märkida, et siin muutuja asendusmeetod enam ei tööta.

Tähelepanu oluline! Näited nr 1, 2 on tüüpilised ja levinud. Eelkõige tekivad sellised integraalid sageli teiste integraalide lahendamise käigus, eriti irratsionaalsete funktsioonide (juurte) integreerimisel.

Ülaltoodud meetod töötab ka juhul kui lugeja suurim aste on suurem nimetaja suurimast astmest.

Näide 3

Leidke määramatu integraal. Käivitage kontroll.

Alustame lugejaga.

Lugeja valimise algoritm on umbes selline:

1) Lugejas pean korraldama , aga seal . Mida teha? Lisan sulgudesse ja korrutan järgmisega: .

2) Nüüd proovin need sulgud avada, mis juhtub? . Hmm ... juba parem, aga lugejas pole algselt kahekesi. Mida teha? Peate korrutama järgmisega:

3) Sulgude uuesti avamine: . Ja siin on esimene edu! Vajadus tuli välja! Kuid probleem on selles, et on ilmunud lisatermin. Mida teha? Selleks, et väljend ei muutuks, pean oma konstruktsiooni lisama sama:
. Elu on muutunud lihtsamaks. Kas lugejas saab uuesti korraldada?

4) Saate. Me üritame: . Laiendage teise termini sulgusid:
. Vabandust, aga mul oli tegelikult eelmises etapis ja mitte . Mida teha? Peame teise liikme korrutama järgmisega:

5) Jällegi, kontrollimiseks avan sulgud teisel ametiajal:
. Nüüd on see normaalne: saadud lõike 3 lõplikust konstruktsioonist! Aga jälle on väike “aga”, ilmunud on lisatermin, mis tähendab, et pean oma väljendile lisama:

Kui kõik on õigesti tehtud, peaksime kõigi sulgude avamisel saama integrandi algse lugeja. Kontrollime:
Hea.

Seega:

Valmis. Viimasel semestril rakendasin funktsiooni diferentsiaali alla toomise meetodit.

Kui leiame vastuse tuletise ja viime avaldise ühise nimetaja juurde, siis saame täpselt algse integrandi. Vaadeldav summaks laiendamise meetod pole midagi muud kui vastupidine tegevus avaldise ühise nimetaja saavutamiseks.

Lugeja valimise algoritmi sellistes näidetes on kõige parem teostada mustandiga. Teatud oskuste korral töötab see ka vaimselt. Mäletan rekordaega, kui tegin 11. astme valiku ja lugeja laiendamine võttis Werdi peaaegu kaks rida.

Näide 4

Leidke määramatu integraal. Käivitage kontroll.

See on tee-seda-ise näide.

Lihtmurdude diferentsiaali märgi alla liitmise meetod

Liigume edasi järgmist tüüpi murdude juurde.
, , , (koefitsiendid ja ei ole nulliga võrdsed).

Õigupoolest on paar juhtumit arsiini ja arktangensiga juba tunnis libisenud Muutuja muutmise meetod määramata integraalis. Sellised näited lahendatakse nii, et funktsioon tuuakse diferentsiaali märgi alla ja seejärel integreeritakse tabeli abil. Siin on mõned tüüpilisemad pika ja kõrge logaritmiga näited:

Näide 5

Näide 6

Siin on soovitav võtta integraalide tabel ja järgida, millised valemid ja naguümberkujundamine toimub. Märge, kuidas ja miks ruudud on nendes näidetes esile tõstetud. Täpsemalt, näites 6 peame esmalt esitama nimetaja kui , seejärel tuua diferentsiaali märgi alla. Ja standardse tabelivalemi kasutamiseks peate seda kõike tegema .

Aga mida vaadata, proovige näiteid nr 7,8 ise lahendada, eriti kuna need on üsna lühikesed:

Näide 7

Näide 8

Leidke määramata integraal:

Kui saate ka neid näiteid kontrollida, on teie eristumisoskus nende parimal tasemel.

Täisruudu valiku meetod

Vormi integraalid, (koefitsiendid ja ei võrdu nulliga) on lahendatud täisruudu valiku meetod, mis on juba õppetükis ilmunud Geomeetrilise graafiku teisendused.

Tegelikult taanduvad sellised integraalid üheks neljast tabeliintegraalist, mida just vaatlesime. Ja see saavutatakse tuttavate lühendatud korrutamisvalemite abil:

Selles suunas rakendatakse valemeid, see tähendab, et meetodi mõte on avaldiste kunstlik korraldamine nimetajas või ja seejärel teisendada need vastavalt või .

Näide 9

Leidke määramatu integraal

See on lihtsaim näide, kus terminiga - ühikukoefitsient(ja mitte mingi number või miinus).

Vaatame nimetajat, siin taandub kogu asi selgelt juhtumile. Alustame nimetaja teisendamist:

Ilmselgelt peate lisama 4. Ja et avaldis ei muutuks - sama neli ja lahutage:

Nüüd saate rakendada valemit:

Pärast konversiooni lõppu ALATI soovitav on teha pöördkäik: kõik on korras, vigu pole.

Kõnealuse näite puhas kujundus peaks välja nägema umbes selline:

Valmis. "Tasuta" kompleksfunktsiooni toomine diferentsiaalmärgi alla: , võiks põhimõtteliselt jätta tähelepanuta

Näide 10

Leidke määramata integraal:

See on näide ise lahendamiseks, vastus on tunni lõpus.

Näide 11

Leidke määramata integraal:

Mida teha, kui ees on miinus? Sel juhul peate miinuse sulgudest välja võtma ja korraldama tingimused meile vajalikus järjekorras:. Püsiv(antud juhul "topelt") ärge puudutage!

Nüüd lisame sulgudesse ühe. Väljendit analüüsides jõuame järeldusele, et vajame seda sulu taha - lisage:

Siin on valem, rakendage:

ALATI teostame eelnõu kontrolli:
, mida tuli kontrollida.

Näite puhas kujundus näeb välja umbes selline:

Teeme ülesande keerulisemaks

Näide 12

Leidke määramata integraal:

Siin pole terminiga enam tegemist ühe koefitsiendiga, vaid "viiega".

(1) Kui konstant leitakse juures, siis võtame selle kohe sulgudest välja.

(2) Üldiselt on alati parem see konstant integraalist välja võtta, et see ei segaks.

(3) On ilmne, et kõik taandatakse valemile . Terminist on vaja aru saada, nimelt saada "kaks"

(4) Jah, . Seega liidame avaldisele ja lahutame sama murru.

(5) Nüüd vali täisruut. Üldjuhul on vaja ka arvutada , kuid siin on meil pikk logaritmivalem , ja toimingut pole mõtet sooritada, miks - see selgub veidi madalamal.

(6) Tegelikult saame valemit rakendada , on meil ainult "x" asemel, mis ei muuda tabeliintegraali kehtivust. Rangelt võttes on puudu üks samm – enne integreerimist oleks tulnud funktsioon tuua diferentsiaalmärgi alla: , kuid nagu olen korduvalt märkinud, jäetakse see sageli tähelepanuta.

(7) Juure all olevas vastuses on soovitav kõik sulud tagasi avada:

Keeruline? See pole integraalarvutuses kõige keerulisem. Kuigi vaadeldavad näited pole niivõrd keerulised, kuivõrd nõuavad head arvutustehnikat.

Näide 13

Leidke määramata integraal:

See on tee-seda-ise näide. Vastus õppetunni lõpus.

Nimetajas on juurtega integraalid, mis asendamise abil taandatakse vaadeldavat tüüpi integraalideks, nende kohta saate lugeda artiklist Komplekssed integraalid, kuid see on mõeldud hästi ettevalmistatud õpilastele.

Lugeja toomine diferentsiaali märgi alla

See on tunni viimane osa, kuid seda tüüpi integraalid on üsna tavalised! Kui väsimus on kogunenud, on ehk homme parem lugeda? ;)

Integraalid, mida me käsitleme, on sarnased eelmise lõigu integraalidega, neil on vorm: või (koefitsiendid ja ei ole nulliga võrdsed).

See tähendab, et lugejas on lineaarne funktsioon. Kuidas selliseid integraale lahendada?

Murdu nimetatakse õige kui lugeja kõrgeim aste on väiksem nimetaja suurimast astmest. Õige ratsionaalse murru integraalil on järgmine kuju:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ratsionaalmurdude integreerimise valem sõltub nimetajas oleva polünoomi juurtest. Kui polünoomil $ ax^2+bx+c $ on:

1. Ainult kompleksjuured, siis tuleb sealt valida täisruut: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 ^2) $$
2. Erinevad reaaljuured $ x_1 $ ja $ x_2 $, siis tuleb integraali laiendada ja leida määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Üks mitmekordne juur $ x_1 $, siis laiendame integraali ja leiame selle valemi jaoks määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kui murdosa on vale, see tähendab, et lugeja kõrgeim aste on suurem või võrdne nimetaja kõrgeima astmega, siis tuleb see kõigepealt taandada õige meeles, jagades lugejast pärineva polünoomi nimetaja polünoomiga. Sel juhul on ratsionaalse murru integreerimise valem järgmine:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Lahendusnäited

Näide 1

Leidke ratsionaalse murru integraal: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Otsus

Murd on korrapärane ja polünoomil on ainult komplekssed juured. Seetõttu valime täisruudu: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Ahendame täisruudu ja liidame diferentsiaalmärgi alla $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Integraalide tabeli abil saame: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Kui te ei saa oma probleemi lahendada, saatke see meile. Pakume üksikasjalikku lahendust. Saate end kurssi viia arvutamise käiguga ja koguda teavet. See aitab teil õigeaegselt õpetajalt ainepunkti saada!

Vastus

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Näide 2

Integreerige ratsionaalsed murrud: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Otsus

Lahendage ruutvõrrand: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7) (2) $$ Paneme juured kirja: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Võttes arvesse saadud juuri, teisendame integraali: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Teostame ratsionaalse murru laiendamise: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Võrdstage lugejad ja leidke koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(juhtumid) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(juhtumid) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(juhtumid) $$ Asendame leitud koefitsiendid integraaliga ja lahendame selle: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Vastus

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Antakse integraalide arvutamise valemite tuletamine nelja tüübi kõige lihtsamatest elementaarsetest murdudest. Keerulisemad integraalid neljandat tüüpi murdudest arvutatakse redutseerimisvalemi abil. Vaadeldakse näidet neljanda tüübi murdosa integreerimisest.

Sisu

Vaata ka: Määramata integraalide tabel
Määramata integraalide arvutamise meetodid

Teatavasti saab mõne muutuja x mis tahes ratsionaalse funktsiooni lagundada polünoomiks ja lihtsateks elementaarmurdudeks. Lihtmurrusid on nelja tüüpi:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Siin on a, A, B, b, c reaalarvud. Võrrand x 2+bx+c=0 tal pole tõelisi juuri.

Kahe esimese tüübi murdude integreerimine

Kahe esimese murru integreerimine toimub integraalide tabelist järgmiste valemite abil:
,
, n ≠ - 1 .

1. Esimese tüübi murdosa integreerimine

Esimese tüübi murdosa asendusega t = x - a taandatakse tabeliintegraaliks:
.

2. Teist tüüpi murdosa integreerimine

Teist tüüpi murdosa taandatakse tabeliintegraaliks sama asendusega t \u003d x - a:

.

3. Kolmanda tüübi murdosa integreerimine

Mõelge kolmanda tüübi murdosa integraalile:
.
Arvutame selle kahes etapis.

3.1. Samm 1. Valige lugejas nimetaja tuletis

Murru lugejas valime nimetaja tuletise. Tähistage: u = x 2+bx+c. Eristada: u′ = 2 x + b. Siis
;
.
Aga
.
Jätsime moodulmärgi välja, sest .

Seejärel:
,
kus
.

3.2. Etapp 2. Arvutage integraal, kus A = 0, B = 1

Nüüd arvutame ülejäänud integraali:
.

Toome murdosa nimetaja ruutude summaks:
,
kus .
Usume, et võrrand x 2+bx+c=0 pole juuri. Niisiis .

Teeme asendus
,
.
.

Niisiis,
.

Seega oleme leidnud kolmanda tüübi murdosa integraali:

,
kus .

4. Neljanda tüübi murdosa integreerimine

Ja lõpuks, kaaluge neljanda tüübi murdosa integraali:
.
Arvutame selle kolmes etapis.

4.1) Valime lugejas nimetaja tuletise:
.

4.2) Arvutage integraal
.

4.3) Arvuta integraalid
,
kasutades valamisvalemit:
.

4.1. Etapp 1. Lugejas oleva nimetaja tuletise eraldamine

Valime lugejas nimetaja tuletise, nagu tegime aastal. Tähistage u = x 2+bx+c. Eristada: u′ = 2 x + b. Siis
.

.
Aga
.

Lõpuks on meil:
.

4.2. Etapp 2. Integraali, mille n = 1, arvutamine

Arvutame integraali
.
Selle arvutus on sätestatud .

4.3. Etapp 3. Redutseerimisvalemi tuletamine

Nüüd kaaluge integraali
.

Toome ruutkolminoomi ruutude summaks:
.
siin .
Teeme asendus.
.
.

Teostame teisendusi ja integreerime osade kaupa.




.

Korruta arvuga 2 (n - 1):
.
Naaseme x ja I n juurde.
,
;
;
.

Seega saime I n jaoks redutseerimisvalemi:
.
Seda valemit järjest rakendades taandame integraali I n väärtuseks I 1 .

Näide

Arvutage integraal

1. Valime lugejas nimetaja tuletise.
;
;


.
Siin
.

2. Arvutame lihtsaima murru integraali.

.

3. Rakendame redutseerimisvalemit:

integraali jaoks.
Meie puhul b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Kirjutame selle valemi n = jaoks välja 2 ja n = 3 :
;
.
Siit

.

Lõpuks on meil:

.
Leiame koefitsiendi juures .
.

Vaata ka:

Antud teemas esitatav materjal põhineb teemas "Ratsionaalmurrud. Ratsionaalmurdude lagundamine elementaar(liht)murdudeks" toodud infol. Soovitan teil tungivalt see teema vähemalt läbi lugeda, enne kui hakkate seda materjali lugema. Lisaks vajame määramata integraalide tabelit.

Lubage mul teile meelde tuletada paar terminit. Neid käsitleti vastavas teemas, seega piirdun siinkohal lühikese sõnastusega.

Kahe polünoomi suhet $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks või ratsionaalmurruks. Ratsionaalmurdu nimetatakse õige kui $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется vale.

Elementaarsed (lihtsamad) ratsionaalsed murrud on nelja tüüpi ratsionaalsed murrud:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Märkus (soovitav teksti paremaks mõistmiseks): näita\peida

Miks on tingimus $p^2-4q vajalik?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Näiteks avaldise $x^2+5x+10$ jaoks saame: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kuna $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Muide, selle kontrolli jaoks ei ole vaja, et koefitsient $x^2$ ees oleks 1. Näiteks $5x^2+7x-3=0$ korral saame: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Kuna $D > 0$, on avaldis $5x^2+7x-3$ faktoriseeritav.

Võib leida näiteid ratsionaalsete murdude (tavaliste ja ebaõigete) kohta, aga ka näiteid ratsionaalse murru lagundamisest elementaarmurdudeks. Siin huvitavad meid ainult nende integreerimise küsimused. Alustame elementaarmurdude integreerimisega. Seega on kõiki ülaltoodud elementaarmurdude nelja tüüpi alltoodud valemite abil lihtne integreerida. Tuletan meelde, et (2) ja (4) tüüpi murdude integreerimisel eeldatakse $n=2,3,4,\ldots$. Valemid (3) ja (4) nõuavad tingimust $p^2-4q< 0$.

\begin(võrrand) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(võrrand)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ jaoks tehakse asendus $t=x+\frac(p)(2)$, mille järel saadakse saadud integraal jagada kaheks. Esimene arvutatakse, lisades selle diferentsiaalmärgi alla, ja teine ​​näeb välja selline: $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. See integraal võetakse kordusseost kasutades

\begin(võrrand) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(võrrand)

Sellise integraali arvutamist on analüüsitud näites nr 7 (vt kolmas osa).

Skeem integraalide arvutamiseks ratsionaalsetest funktsioonidest (ratsionaalmurrud):

1. Kui integrand on elementaarne, rakendage valemeid (1)-(4).
2. Kui integrand ei ole elementaar, siis esitage see elementaarmurdude summana ja seejärel integreerige valemite (1)-(4) abil.

Ülaltoodud algoritmil ratsionaalsete murdude integreerimiseks on vaieldamatu eelis - see on universaalne. Need. Seda algoritmi kasutades saab integreerida ükskõik milline ratsionaalne murdosa. Seetõttu tehakse peaaegu kõik muutujate asendused määramatus integraalis (Euleri, Tšebõševi asendused, universaalne trigonomeetriline asendus) nii, et pärast seda asendust saame intervalli alla ratsionaalse murdosa. Ja rakendage sellele algoritmi. Pärast väikese märkuse tegemist analüüsime selle algoritmi otsest rakendamist näidete abil.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Põhimõtteliselt on seda integraali lihtne saada ilma valemi mehaanilise rakendamiseta. Kui võtta integraalimärgist välja konstant $7$ ja arvestada, et $dx=d(x+9)$, siis saame:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Täpsema teabe saamiseks soovitan vaadata teemat. See selgitab üksikasjalikult, kuidas selliseid integraale lahendatakse. Muide, valemit tõestavad samad teisendused, mida rakendati selles lõigus "käsitsi" lahendamisel.

2) Jällegi on kaks võimalust: kas rakendada valmis valemit või teha ilma selleta. Kui rakendate valemit, peaksite arvestama, et koefitsient $x$ ees (arv 4) tuleb eemaldada. Selleks võtame sulgudes need neli välja:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Nüüd on aeg rakendada valemit:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasak(x+\frac(19)(4) \parem)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Saate teha ilma valemit kasutamata. Ja isegi ilma pidevat 4 dollarit sulgudest välja panemata. Kui võtta arvesse, et $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, siis saame:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Täpsemad selgitused selliste integraalide leidmise kohta on antud teemas "Integreerimine asendusega (sissejuhatus diferentsiaalmärgi alla)" .

3) Peame integreerima murdosa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Selle murdosa struktuur on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kus $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Kuid veendumaks, et see on tõepoolest kolmanda tüübi elementaarmurd, peate kontrollima tingimust $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Lahendame sama näite, kuid ilma valmis valemit kasutamata. Proovime eraldada lugejas nimetaja tuletist. Mida see tähendab? Teame, et $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Lugejas peame isoleerima avaldise $2x+10$. Siiani sisaldab lugeja ainult $4x+7$ , kuid see pole pikk. Rakendage lugejale järgmine teisendus:

$ 4x+7=2\cpunkt 2x+7=2\cpunkt (2x+10-10)+7=2\cpunkt(2x+10)-2\cpunkt 10+7=2\cpunkt(2x+10) - kolmteist. $$

Nüüd on lugejasse ilmunud vajalik avaldis $2x+10$. Ja meie integraali saab ümber kirjutada järgmiselt:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Jagame integrandi kaheks. Noh, ja vastavalt sellele on ka integraal ise "lõhestatud":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \parem)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Räägime kõigepealt esimesest integraalist, st. umbes $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Kuna $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, siis nimetaja diferentsiaal asub integrandi lugejas. Ühesõnaga, selle asemel avaldisest $( 2x+10)dx$ kirjutame $d(x^2+10x+34)$.

Nüüd ütleme paar sõna teise integraali kohta. Toome välja nimetaja täisruudu: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisaks võtame arvesse $dx=d(x+5)$. Nüüd saab meie poolt varem saadud integraalide summa veidi teistsugusel kujul ümber kirjutada:

$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ üheksa). $$

Kui teeme esimeses integraalis muudatuse $u=x^2+10x+34$, siis on see kujul $\int\frac(du)(u)$ ja see võetakse lihtsalt rakendusest teise valemi rakendamisega. Mis puutub teise integraali, siis selle jaoks on võimalik asendada $u=x+5$, misjärel see võtab kuju $\int\frac(du)(u^2+9)$. See on puhtaim vesi, üheteistkümnes valem määramata integraalide tabelist. Niisiis, naastes integraalide summa juurde, saame:

$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Saime sama vastuse nagu valemi rakendamisel, mis tegelikult pole üllatav. Üldiselt tõestatakse valemit samade meetoditega, mida kasutasime selle integraali leidmiseks. Usun, et tähelepanelikul lugejal võib siin tekkida üks küsimus, seetõttu sõnastan selle:

Küsimus 1

Kui rakendada teist valemit määramata integraalide tabelist integraalile $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, siis saame järgmise:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miks moodul lahendusest puudus?

Vastus küsimusele nr 1

Küsimus on täiesti õigustatud. Moodul puudus ainult seetõttu, et mis tahes $x\in R$ avaldis $x^2+10x+34$ on suurem kui null. Seda on üsna lihtne mitmel viisil näidata. Näiteks kuna $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, siis $(x+5)^2+9 > 0$ . On võimalik hinnata teistmoodi, ilma täisruudu valimiseta. Alates $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mis tahes $x\in R$ (kui see loogiline ahel on üllatav, soovitan teil vaadata ruutvõrratuste lahendamise graafilist meetodit). Igal juhul kuna $x^2+10x+34 > 0$, siis $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, s.o. mooduli asemel võite kasutada tavalisi sulgusid.

Kõik näite nr 1 punktid on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna.

Vastus:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Näide nr 2

Leidke integraal $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on esmapilgul väga sarnane kolmanda tüübi elementaarmurdule, s.t. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Tundub, et ainus erinevus on koefitsient $3$ $x^2$ ees, kuid koefitsiendi eemaldamine (sulgudest välja) ei võta kaua aega. See sarnasus on aga ilmne. Murru $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ jaoks tingimus $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Meie koefitsient $x^2$ ees ei ole võrdne ühega, seega kontrollige tingimust $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, seega saab avaldise $3x^2-5x-2$ faktoriseerida. Ja see tähendab, et murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmanda tüübi elementaarmurd ja see kehtib integraali $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ valem pole lubatud.

Noh, kui antud ratsionaalne murd ei ole elementaarne, siis tuleb see esitada elementaarmurdude summana ja seejärel integreerida. Lühidalt, rada ära. Kuidas ratsionaalne murd elementaarseteks lagundada, on üksikasjalikult kirjutatud. Alustuseks arvutame nimetaja:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(joondatud) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(joondatud)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Esitame alam-sisemise fraktsiooni järgmisel kujul:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Nüüd laiendame murdosa $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ elementaarseteks:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\paremal). $$

Koefitsientide $A$ ja $B$ leidmiseks on kaks standardset viisi: määramatute koefitsientide meetod ja osaväärtuste asendamise meetod. Rakendame osalise väärtuse asendusmeetodit, asendades $x=2$ ja seejärel $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Kuna koefitsiendid on leitud, jääb üle vaid valmis laiendus üles kirjutada:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3)+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Põhimõtteliselt võite selle sissekande jätta, kuid mulle meeldib täpsem versioon:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Naastes algse integraali juurde, asendame sellega saadud laienduse. Seejärel jagame integraali kaheks ja rakendame mõlemale valemit. Eelistan integraalmärgist väljaspool olevad konstandid kohe välja võtta:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vastus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Näide nr 3

Leidke integraal $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Peame integreerima murdosa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Lugeja on teise astme polünoom ja nimetaja kolmanda astme polünoom. Kuna polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, s.o. 2 dollarit< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Peame lihtsalt jagama antud integraali kolmeks ja rakendama igaühele valemi. Eelistan integraalmärgist väljaspool olevad konstandid kohe välja võtta:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Vastus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Selle teema näidete analüüsi jätk asub teises osas.

Tuletage seda meelde murdosaliselt ratsionaalne nimetatakse funktsioonideks kujul $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ on üldjuhul kahe polünoomi %%P_n(x)%% ja % suhe. %Q_m(x)% %.

Kui %%m > n \geq 0%%, siis kutsutakse ratsionaalne murd õige, muidu on see vale. Kasutades polünoomi jagamise reeglit, saab ebaõiget ratsionaalset murdu esitada polünoomi %%P_(n - m)%% astmest %%n - m%% ja mõne õige murru summana, st. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ kus aste on %%l% % polünoomist %%P_l(x)%% on väiksem kui aste %%n%% polünoomist %%Q_n(x)%%.

Seega saab ratsionaalfunktsiooni määramatut integraali esitada polünoomi ja õige ratsionaalmurru määramatute integraalide summana.

Lihtratsionaalmurdude integraalid

Õigeid ratsionaalseid murde on nelja tüüpi, mida liigitatakse järgmiselt lihtsaimad ratsionaalsed murrud:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

kus %%k > 1%% on täisarv ja %%p^2 – 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Määramatute integraalide arvutamine kahe esimese tüübi murdudest

Kahe esimese tüübi murdude määramata integraalide arvutamine on lihtne: $$ \begin(massiiv)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(massiiv) $$

Määramatute integraalide arvutamine kolmandat tüüpi murdudest

Esmalt teisendame kolmanda tüübi murdosa, valides nimetajas täisruudu: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ alates %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, mida tähistame kui %%a^2%%. Asendades ka %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, teisendame nimetaja ja kirjutame kolmanda tüübi murdosa integraali kujul $$ \begin (massiiv)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(massiiv) $$

Kasutades määramatu integraali lineaarsust, esitame viimase integraali kahe summana ja esimeses sisestame diferentsiaalmärgi alla %%t%%: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\paremale| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(massiivi) $$

Naastes algse muutuja %%x%% juurde, saame tulemuseks $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ kus %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Tüübi 4 integraali arvutamine on keeruline, mistõttu seda käesolevas kursuses ei käsitleta.