ვარჯიში. შემთხვევითი ცვლადების X და Y მნიშვნელობების წყვილების დარტყმების რაოდენობა შესაბამის ინტერვალებში მოცემულია ცხრილში. ამ მონაცემებიდან იპოვეთ ნიმუშის კორელაციის კოეფიციენტი და სწორი რეგრესიული ხაზების ნიმუშის განტოლებები Y X-ზე და X-ზე Y-ზე.
გადაწყვეტილება

მაგალითი. ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის (X, Y) ალბათობის განაწილება მოცემულია ცხრილით. იპოვეთ X, Y კომპონენტის სიდიდეების განაწილების კანონები და კორელაციის კოეფიციენტი p(X, Y).
გადაწყვეტის ჩამოტვირთვა

ვარჯიში. ორგანზომილებიანი დისკრეტული მნიშვნელობა (X, Y) მოცემულია განაწილების კანონით. იპოვეთ X და Y კომპონენტების განაწილების კანონები, კოვარიანტობა და კორელაციის კოეფიციენტი.

მიეცით ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი $(X,Y)$.

განმარტება 1

$(X,Y)$ ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის $(x_i,\ y_j)$ რიცხვების შესაძლო წყვილების სიმრავლე (სადაც $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) და მათი ალბათობა $p_(ij)$ .

ყველაზე ხშირად, ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი იწერება ცხრილის სახით (ცხრილი 1).

ნახაზი 1. ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი.

ახლა გავიხსენოთ თეორემა დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა მიმატების შესახებ.

თეორემა 1

დამოუკიდებელი მოვლენების სასრული რაოდენობის ჯამის ალბათობა $(\ A)_1$, $(\ A)_2$, ... ,$\ (\ A)_n$ გამოითვლება ფორმულით:

ამ ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ განაწილების კანონები ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის თითოეული კომპონენტისთვის, ეს არის:

აქედან გამომდინარეობს, რომ ორგანზომილებიანი სისტემის ყველა ალბათობის ჯამს აქვს შემდეგი ფორმა:

მოდით განვიხილოთ დეტალურად (ეტაპობრივად) პრობლემა, რომელიც დაკავშირებულია ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის კონცეფციასთან.

მაგალითი 1

ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი მოცემულია შემდეგი ცხრილით:

სურათი 2.

იპოვეთ $X,\ Y$, $X+Y$ შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონები და თითოეულ შემთხვევაში შეამოწმეთ, რომ ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს.

1. ჯერ ვიპოვოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის განაწილება. შემთხვევითი ცვლადი $X$ შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. განაწილების საპოვნელად გამოვიყენებთ თეორემა 1-ს.

მოდით, ჯერ ვიპოვოთ $x_1$ ალბათობების ჯამი შემდეგნაირად:

სურათი 3

ანალოგიურად, ჩვენ ვიპოვით $P\left(x_2\right)$ და $P\left(x_3\right)$:

\ \

სურათი 4

1. ახლა ვიპოვოთ შემთხვევითი $Y$ ცვლადის განაწილება. შემთხვევითი ცვლადი $Y$ შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები $x_1=1,$ $x_2=3$, $x_3=4$. განაწილების საპოვნელად გამოვიყენებთ თეორემა 1-ს.

მოდით, ჯერ ვიპოვოთ $y_1$ ალბათობების ჯამი შემდეგნაირად:

სურათი 5

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ $P\left(y_2\right)$ და $P\left(y_3\right)$:

\ \

აქედან გამომდინარე, $X$ რაოდენობის განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა:

სურათი 6

შევამოწმოთ ალბათობათა ჯამის ტოლობის შესრულება:

1. რჩება შემთხვევითი $X+Y$ ცვლადის განაწილების კანონის პოვნა.

მოდით დანიშნოთ იგი მოხერხებულობისთვის $Z$: $Z=X+Y$-ით.

პირველი, მოდით ვიპოვოთ რა მნიშვნელობების მიღება შეუძლია ამ რაოდენობას. ამისათვის ჩვენ წყვილში დავამატებთ $X$ და $Y$ მნიშვნელობებს. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. ახლა, შესაბამისი მნიშვნელობების უგულებელყოფით, მივიღებთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X+Y$ შეუძლია მიიღოს $z_1 მნიშვნელობები. =3,\ z_2=4,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

ჯერ ვიპოვოთ $P(z_1)$. ვინაიდან $z_1$-ის მნიშვნელობა არის ერთჯერადი, ის შემდეგნაირად გვხვდება:

სურათი 7

ყველა ალბათობა მსგავსია, გარდა $P(z_4)$-ისა:

მოდით ვიპოვოთ $P(z_4)$ შემდეგნაირად:

Ფიგურა 8

ამრიგად, $Z$-ის განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა:

სურათი 9

შევამოწმოთ ალბათობათა ჯამის ტოლობის შესრულება:

განმარტება.თუ ელემენტარული მოვლენების ერთსა და იმავე სივრცეზე მოცემულია ორი შემთხვევითი ცვლადი Xდა Y,შემდეგ ამბობენ, რომ ეს მოცემულია ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი (X,Y) .

მაგალითი.მანქანა ბეჭდავს ფოლადის ფილებს. სიგრძე კონტროლირებადი Xდა სიგანე ი. − ორგანზომილებიანი SW.

სვ Xდა იაქვს საკუთარი განაწილების ფუნქციები და სხვა მახასიათებლები.

განმარტება. ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია (X, Y) ფუნქცია ეწოდება.

განმარტება. დისკრეტული ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი (X, Y) დაურეკა მაგიდას

ორგანზომილებიანი დისკრეტული SW-სთვის.

Თვისებები :

2) თუ, მაშინ ; თუ, მაშინ ;

4) − განაწილების ფუნქცია X;

− განაწილების ფუნქცია ი.

მართკუთხედში ორგანზომილებიანი SW მნიშვნელობების დაჭერის ალბათობა:

განმარტება. 2D შემთხვევითი ცვლადი (X,Y)დაურეკა უწყვეტი თუ მისი განაწილების ფუნქცია არის უწყვეტი და ყველგან აქვს (მრუდების სასრული რაოდენობის გარდა) მე-2 რიგის უწყვეტი შერეული ნაწილობრივი წარმოებული. .

განმარტება. ორგანზომილებიანი უწყვეტი SW-ის ერთობლივი ალბათობის განაწილების სიმკვრივე ფუნქცია ეწოდება.

მაშინ აშკარად .

მაგალითი 1ორგანზომილებიანი უწყვეტი SW მოცემულია განაწილების ფუნქციით

შემდეგ განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა

მაგალითი 2ორგანზომილებიანი უწყვეტი SW მოცემულია განაწილების სიმკვრივით

ვიპოვოთ მისი განაწილების ფუნქცია:

Თვისებები :

3) ნებისმიერი ფართობისთვის.

მოდით ცნობილი იყოს ერთობლივი განაწილების სიმკვრივე. შემდეგ ორგანზომილებიანი SW-ის თითოეული კომპონენტის განაწილების სიმკვრივე გვხვდება შემდეგნაირად:

მაგალითი 2 (გაგრძელება).

ორგანზომილებიანი SW კომპონენტების განაწილების სიმკვრივეები მოხსენიებულია ზოგიერთი ავტორის მიერ მარგინალურიალბათობის განაწილების სიმკვრივეები .

დისკრეტული RV სისტემის კომპონენტების განაწილების პირობითი კანონები.

პირობითი ალბათობა , სადაც .

კომპონენტის პირობითი განაწილების კანონი Xზე:

ანალოგიურად , სადაც .

შევადგინოთ პირობითი განაწილების კანონი Xზე Y= 2.

შემდეგ პირობითი განაწილების კანონი

განმარტება. X კომპონენტის პირობითი განაწილების სიმკვრივე მოცემულ ღირებულებაზე Y=yდაურეკა .

ანალოგიურად: .

განმარტება. პირობითი მათემატიკური ელოდება დისკრეტულ SW Y-ს at ეწოდება , სადაც − იხ.

აქედან გამომდინარე,.

ამისთვის უწყვეტისვ ი .

ცხადია, ეს არგუმენტის ფუნქციაა X. ეს ფუნქცია ე.წ რეგრესიის ფუნქცია Y X-ზე .

ანალოგიურად განსაზღვრულია x-on-y რეგრესიის ფუნქცია : .

თეორემა 5. (დამოუკიდებელ რვ-ების განაწილების ფუნქციის შესახებ)

სვ Xდა ი

შედეგი.უწყვეტი SW Xდა იდამოუკიდებლები არიან თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში.

მაგალითში 1 ერთად. ამიტომ, სვ Xდა იდამოუკიდებელი.

ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის კომპონენტების რიცხვითი მახასიათებლები

დისკრეტული CB-სთვის:

უწყვეტი SW-სთვის: .

დისპერსია და სტანდარტული გადახრა ყველა SW-სთვის განისაზღვრება ჩვენთვის ცნობილი იგივე ფორმულებით:

განმარტება.წერტილი ე.წ გაფანტვის ცენტრი ორგანზომილებიანი SW.

განმარტება. კოვარიანტობა (კორელაციის მომენტი) NE ეწოდება

დისკრეტული SW-სთვის: .

უწყვეტი SW-სთვის: .

გამოთვლის ფორმულა: .

დამოუკიდებელი CB-ებისთვის.

მახასიათებლის უხერხულობა არის მისი განზომილება (კომპონენტების საზომი ერთეულის კვადრატი). შემდეგი რაოდენობა თავისუფალია ამ ნაკლოვანებისგან.

განმარტება. Კორელაციის კოეფიციენტი სვ Xდა იდაურეკა

დამოუკიდებელი CB-ებისთვის.

ნებისმიერი წყვილი SW . ცნობილია, რომ თუ და მხოლოდ თუ სად .

განმარტება.სვ Xდა იდაურეკა არაკორელირებული , თუ .

კავშირი SW-ის კორელაციასა და დამოკიდებულებას შორის:

- თუ CB Xდა იკორელირებული, ე.ი. , მაშინ ისინი დამოკიდებულნი არიან; საპირისპირო არ არის მართალი;

- თუ CB Xდა იდამოუკიდებელი, მაშინ ; საპირისპირო არ არის სიმართლე.

შენიშვნა 1.თუ სვ Xდა იგანაწილებული ჩვეულებრივი კანონით და , მაშინ ისინი დამოუკიდებლები არიან.

შენიშვნა 2.პრაქტიკული ღირებულება როგორც დამოკიდებულების საზომი გამართლებულია მხოლოდ მაშინ, როდესაც წყვილის ერთობლივი განაწილება ნორმალურია ან დაახლოებით ნორმალური. თვითნებური SW-სთვის Xდა იშეიძლება მცდარ დასკვნამდე მიხვიდე, ე.ი. შესაძლოა მაშინაც კი, როცა Xდა იდაკავშირებულია მკაცრ ფუნქციურ ურთიერთობასთან.

შენიშვნა 3.მათემატიკური სტატისტიკაში, კორელაცია არის ალბათური (სტატისტიკური) დამოკიდებულება რაოდენობებს შორის, რომელსაც, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ აქვს მკაცრად ფუნქციონალური ხასიათი. კორელაციური დამოკიდებულება ხდება მაშინ, როდესაც ერთ-ერთი სიდიდე დამოკიდებულია არა მხოლოდ მოცემულ წამზე, არამედ უამრავ შემთხვევით ფაქტორზე, ან როცა იმ პირობებს შორის, რომლებზეც დამოკიდებულია ერთი ან მეორე რაოდენობა, არის ორივესთვის საერთო პირობები.

მაგალითი 4 SW-სთვის Xდა იმაგალითი 3-დან იპოვე .

გადაწყვეტილება.

მაგალითი 5მოცემულია ორგანზომილებიანი SW-ის ერთობლივი განაწილების სიმკვრივე.

X და Y შემთხვევითი ცვლადების მოწესრიგებულ წყვილს (X, Y) ეწოდება ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი, ან ორგანზომილებიანი სივრცის შემთხვევითი ვექტორი. ორგანზომილებიან შემთხვევით ცვლადს (X,Y) ასევე უწოდებენ X და Y შემთხვევითი ცვლადების სისტემას. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის სიმრავლეს მათი ალბათობით ეწოდება ამ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი. დისკრეტული ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი (X, Y) ითვლება მოცემულად, თუ ცნობილია მისი განაწილების კანონი:

P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m

სამსახურის დავალება. სერვისის გამოყენებით, მოცემული განაწილების კანონის მიხედვით, შეგიძლიათ იპოვოთ:

• განაწილების სერიები X და Y, მათემატიკური მოლოდინი M[X], M[Y], ვარიაცია D[X], D[Y];
• კოვარიანტობა cov(x,y), კორელაციის კოეფიციენტი r x,y, პირობითი განაწილების სერია X, პირობითი მოლოდინი M;

ინსტრუქცია. მიუთითეთ ალბათობის განაწილების მატრიცის განზომილება (სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა) და მისი ფორმა. შედეგად მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში.

მაგალითი #1. ორგანზომილებიან დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს აქვს განაწილების ცხრილი:

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ q მნიშვნელობას Σp ij = 1 პირობიდან
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. საიდანაც q = 0,09

ფორმულის გამოყენებით ∑P(x მე,ი ჯ) = გვ მე(j=1..n), იპოვეთ X განაწილების სერია.

კოვარიანტობა cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.02 3 30 0.08 + 4 30 0.01 + 1 40 0.03 + 2 40 0.11 + 3 40 0.05 + 4 40 0.09 - 25.2 2.59 = -0.068
Კორელაციის კოეფიციენტი rxy = cov(x,y)/σ(x)&სიგმა(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

მაგალითი 2 . ორი X და Y ინდიკატორის შესახებ ინფორმაციის სტატისტიკური დამუშავების მონაცემები აისახება კორელაციულ ცხრილში. საჭირო:

1. ჩაწერეთ განაწილების სერიები X და Y-სთვის და გამოთვალეთ ნიმუშის საშუალებები და სტანდარტული გადახრების ნიმუში მათთვის;
2. ჩაწერეთ პირობითი განაწილების სერიები Y/x და გამოთვალეთ პირობითი საშუალოები Y/x;
3. გრაფიკულად ასახავს პირობითი საშუალოების Y/x დამოკიდებულებას X-ის მნიშვნელობებზე;
4. გამოთვალეთ ნიმუშის კორელაციის კოეფიციენტი Y X-ზე;
5. პირდაპირი რეგრესიის განტოლების ნიმუშის დაწერა;
6. გეომეტრიულად წარმოადგენენ კორელაციური ცხრილის მონაცემებს და ააგებენ რეგრესიის ხაზს.

პირობითი მოლოდინი M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
პირობითი ვარიაცია D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
პირობითი განაწილების კანონი X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
პირობითი მოლოდინი M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
პირობითი ვარიაცია D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
პირობითი განაწილების კანონი X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
პირობითი მოლოდინი M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
პირობითი ვარიაცია D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
პირობითი განაწილების კანონი X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
პირობითი მოლოდინი M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
პირობითი ვარიაცია D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
პირობითი განაწილების კანონი X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
პირობითი მოლოდინი M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
პირობითი ვარიაცია D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. პირობითი განაწილების კანონი Y.
პირობითი განაწილების კანონი Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
პირობითი მოლოდინი M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
პირობითი ვარიაცია D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
პირობითი განაწილების კანონი Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
პირობითი მოლოდინი M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
პირობითი ვარიაცია D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
პირობითი განაწილების კანონი Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
პირობითი მოლოდინი M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
პირობითი ვარიაცია D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
პირობითი განაწილების კანონი Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
პირობითი მოლოდინი M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
პირობითი ვარიაცია D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
პირობითი განაწილების კანონი Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
პირობითი მოლოდინი M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
პირობითი ვარიაცია D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
პირობითი განაწილების კანონი Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
პირობითი მოლოდინი M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
პირობითი ვარიაცია D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
კოვარიანტობა.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 30 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
თუ შემთხვევითი ცვლადები დამოუკიდებელია, მაშინ მათი კოვარიანტობა ნულის ტოლია. ჩვენს შემთხვევაში cov(X,Y) ≠ 0.
Კორელაციის კოეფიციენტი.


წრფივი რეგრესიის განტოლება y-დან x-მდე არის:

წრფივი რეგრესიის განტოლება x-დან y-მდე არის:

იპოვეთ საჭირო რიცხვითი მახასიათებლები.
ნიმუში ნიშნავს:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
დისპერსიები:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
სად მივიღოთ სტანდარტული გადახრები:
σ x = 9,99 და σ y = 4,9
და კოვარიანსი:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 + 30 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
განვსაზღვროთ კორელაციის კოეფიციენტი:


ჩამოვწეროთ y(x) რეგრესიის წრფეების განტოლებები:

და გამოთვლით მივიღებთ:
yx = 0.38x + 9.14
ჩამოვწეროთ x(y) რეგრესიის წრფეების განტოლებები:

და გამოთვლით მივიღებთ:
x y = 1.59 y + 2.15
თუ ავაშენებთ ცხრილითა და რეგრესიის ხაზებით განსაზღვრულ წერტილებს, დავინახავთ, რომ ორივე ხაზი გადის კოორდინატების მქონე წერტილში (42.3; 25.3) და წერტილები განლაგებულია რეგრესიის ხაზებთან ახლოს.
კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა.

სტუდენტის ცხრილის მიხედვით მნიშვნელოვნების დონე α=0.05 და თავისუფლების ხარისხი k=100-m-1 = 98 ვპოულობთ t კრიტს:
t კრიტი (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
სადაც m = 1 არის განმარტებითი ცვლადების რაოდენობა.
თუ t obs > t არის კრიტიკული, მაშინ კორელაციის კოეფიციენტის მიღებული მნიშვნელობა აღიარებულია, როგორც მნიშვნელოვანი (უარყოფილია ნულოვანი ჰიპოთეზა, რომ კორელაციის კოეფიციენტი ნულის ტოლია).
ვინაიდან t obl > t crit, ჩვენ უარვყოფთ ჰიპოთეზას, რომ კორელაციის კოეფიციენტი 0-ის ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კორელაციის კოეფიციენტი სტატისტიკურად მნიშვნელოვანია.

ვარჯიში. შემთხვევითი ცვლადების X და Y მნიშვნელობების წყვილების დარტყმების რაოდენობა შესაბამის ინტერვალებში მოცემულია ცხრილში. ამ მონაცემებიდან იპოვეთ ნიმუშის კორელაციის კოეფიციენტი და სწორი რეგრესიული ხაზების ნიმუშის განტოლებები Y X-ზე და X-ზე Y-ზე.
გადაწყვეტილება

მაგალითი. ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის (X, Y) ალბათობის განაწილება მოცემულია ცხრილით. იპოვეთ X, Y კომპონენტის სიდიდეების განაწილების კანონები და კორელაციის კოეფიციენტი p(X, Y).
გადაწყვეტის ჩამოტვირთვა

ვარჯიში. ორგანზომილებიანი დისკრეტული მნიშვნელობა (X, Y) მოცემულია განაწილების კანონით. იპოვეთ X და Y კომპონენტების განაწილების კანონები, კოვარიანტობა და კორელაციის კოეფიციენტი.

განმარტება 2.7. არის შემთხვევითი რიცხვების წყვილი (X, Y),ან წერტილი კოორდინატულ სიბრტყეზე (ნახ. 2.11).

ბრინჯი. 2.11.

ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი არის მრავალგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის ან შემთხვევითი ვექტორის განსაკუთრებული შემთხვევა.

განმარტება 2.8. შემთხვევითი ვექტორი -არის თუ არა ეს შემთხვევითი ფუნქცია?,(/) შესაძლო არგუმენტების მნიშვნელობების სასრული სიმრავლით ტ,რომლის ღირებულება ნებისმიერი ღირებულებისთვის ტარის შემთხვევითი ცვლადი.

ორგანზომილებიან შემთხვევით ცვლადს ეწოდება უწყვეტი, თუ მისი კოორდინატები უწყვეტია და დისკრეტული, თუ მისი კოორდინატები დისკრეტულია.

ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონის დაყენება ნიშნავს მის შესაძლო მნიშვნელობებსა და ამ მნიშვნელობების ალბათობას შორის შესაბამისობის დადგენას. დაყენების გზების მიხედვით, შემთხვევითი ცვლადები იყოფა უწყვეტად და დისკრეტებად, თუმცა არსებობს ზოგადი გზები ნებისმიერი RV-ის განაწილების კანონის დასაყენებლად.

დისკრეტული ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი

დისკრეტული ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი მითითებულია განაწილების ცხრილის გამოყენებით (ცხრილი 2.1).

ცხრილი 2.1

განაწილების ცხრილი (ერთობლივი განაწილება) CB ( X, U)

ცხრილის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით

განაწილების ცხრილის ელემენტების თვისებები:

განაწილება თითოეულ კოორდინატზე ეწოდება ერთგანზომილებიანიან მარგინალური:

რ 1> = P(X =.დ,) - SW-ის ზღვრული განაწილება X;

p^2) = P(Y= y,)- SV U-ის ზღვრული განაწილება.

CB-ის ერთობლივი განაწილების კომუნიკაცია Xდა Y, მოცემული ალბათობების სიმრავლით [p () ), ი = 1,..., ნ, ჯ = 1,..., ტ(განაწილების ცხრილი) და ზღვრული განაწილება.

ანალოგიურად SV U-სთვის p- 2)= X გვ, გ

პრობლემა 2.14. მოცემული:

უწყვეტი 2D შემთხვევითი ცვლადი

/(X, y) dxdy- ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის ელემენტი (X, Y) - შემთხვევითი ცვლადის (X, Y) გვერდების მქონე ოთხკუთხედში მოხვედრის ალბათობა cbc, dyზე dx, dy -* 0:

f(x, y) - განაწილების სიმკვრივეორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი (X, Y). ამოცანა /(x, y)ჩვენ ვაძლევთ სრულ ინფორმაციას ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების შესახებ.

ზღვრული განაწილებები მითითებულია შემდეგნაირად: X-სთვის - CB X/,(x) განაწილების სიმკვრივით; on ი- SV განაწილების სიმკვრივე f>(y).

ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის დაყენება განაწილების ფუნქციით

დისკრეტული ან უწყვეტი ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის განსაზღვრის უნივერსალური გზა არის განაწილების ფუნქცია. F(x, y).

განმარტება 2.9. განაწილების ფუნქცია F(x, y)- მოვლენების ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა (Xy), ე.ი. F(x0,yნ) = = P(X y), გადააგდეს კოორდინატულ სიბრტყეზე, მოხვდება უსასრულო ოთხკუთხედში წვერით M წერტილში (x 0, u i)(ნახ. 2.12-ზე დაჩრდილულ ზონაში).

ბრინჯი. 2.12.განაწილების ფუნქციის ილუსტრაცია F( x, y)

ფუნქციის თვისებები F(x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo,-ოო) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F(ოო, ოო) = 1;
• 3) F(x, y)- ყოველ არგუმენტში არ კლებულობს;
• 4) F(x, y) -უწყვეტი მარცხენა და ქვედა;
• 5) განაწილების თანმიმდევრულობა:

F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y,ოო) - ზღვრული განაწილება ზევით Y F(ოო, y) = F 2 (y).კავშირი /(x, y)თან F(x, y):

კავშირი სახსრის სიმკვრივესა და ზღვრულ სიმკვრივეს შორის. დანა f(x, y).ჩვენ ვიღებთ ზღვრულ განაწილების სიმკვრივეს f(x),f 2 (y)".

ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადის დამოუკიდებელი კოორდინატების შემთხვევა

განმარტება 2.10. სვ Xდა Yindependent(ნ.გ) თუ რომელიმე ამ RV-თან დაკავშირებული რაიმე მოვლენა დამოუკიდებელია. nc CB-ს განმარტებიდან გამომდინარეობს:

• 1 )პიჯ = პ X) პფ
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

გამოდის, რომ დამოუკიდებელი სვ-ებისთვის Xდა იდასრულდა და

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

ეს დავამტკიცოთ დამოუკიდებელი სვ-ებისთვის Xდა Y2) 3). მტკიცებულება,ა) მოდით 2), ე.ი.

ამავე დროს F(x,y) =ვ ჯ f(u,v)dudv,საიდანაც მოსდევს 3);

ბ) ახლავე გამართავს 3, მაშინ

იმათ. მართალია 2).

განვიხილოთ ამოცანები.

პრობლემა 2.15. განაწილება მოცემულია შემდეგი ცხრილით:

ჩვენ ვაშენებთ მარგინალურ განაწილებებს:

ვიღებთ P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0.1485 => => SV Xდა დამოკიდებულები.

განაწილების ფუნქცია:

პრობლემა 2.16. განაწილება მოცემულია შემდეგი ცხრილით:

ვიღებთ P tl = 0.2 0.3 = 0.06; P 12 \u003d 0.2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => სვ Xდა ინზ.

პრობლემა 2.17. დანა /(x, y) = 1/st exp| -0.5(d"+ 2xy + 5d/ 2)]. Პოვნა ოჰ)და /აი)-

გადაწყვეტილება

(თვითონ გამოთვალეთ).