მარტივი წილადების ტიპები და მათგან ინტეგრალები. მარტივი (ელემენტარული) წილადების ინტეგრაცია

როგორც უკვე აღვნიშნე, ინტეგრალურ გამოთვლებში არ არსებობს მოსახერხებელი ფორმულა წილადის ინტეგრაციისთვის. და ამიტომ, არსებობს სამწუხარო ტენდენცია: რაც უფრო "ლამაზია" წილადი, მით უფრო რთულია მისგან ინტეგრალის პოვნა. ამ მხრივ, ადამიანმა უნდა მიმართოს სხვადასხვა ხრიკებს, რომლებზეც ახლა ვისაუბრებ. მომზადებულ მკითხველს შეუძლია დაუყოვნებლივ გამოიყენოს სარჩევი:

• მარტივი წილადებისთვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდი

მრიცხველის ხელოვნური ტრანსფორმაციის მეთოდი

მაგალითი 1

სხვათა შორის, განხილული ინტეგრალი ასევე შეიძლება ამოიხსნას ცვლადის მეთოდის ცვლილებით, აღსანიშნავად, მაგრამ ამოხსნა გაცილებით გრძელი იქნება.

მაგალითი 2

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უნდა აღინიშნოს, რომ აქ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი აღარ იმუშავებს.

ყურადღება მნიშვნელოვანია! მაგალითები No1, 2 ტიპიური და გავრცელებულია. კერძოდ, ასეთი ინტეგრალები ხშირად წარმოიქმნება სხვა ინტეგრალების ამოხსნისას, კერძოდ, ირაციონალური ფუნქციების (ფესვების) ინტეგრირებისას.

ზემოთ მოყვანილი მეთოდი ასევე მუშაობს ამ შემთხვევაში თუ მრიცხველის უმაღლესი ხარისხი მეტია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე.

მაგალითი 3

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

დავიწყოთ მრიცხველით.

მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი დაახლოებით ასეთია:

1) მრიცხველში მჭირდება ორგანიზება, მაგრამ იქ. Რა უნდა ვქნა? ვსვამ ფრჩხილებში და ვამრავლებ: .

2) ახლა ვცდილობ გავხსნა ეს ფრჩხილები, რა ხდება? . ჰმ... უკვე უკეთესია, მაგრამ მრიცხველში თავდაპირველად დუი არ არის. Რა უნდა ვქნა? თქვენ უნდა გაამრავლოთ:

3) ფრჩხილების ხელახლა გახსნა: . და აი, პირველი წარმატება! საჭირო აღმოჩნდა! მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დამატებითი ტერმინი გამოჩნდა. Რა უნდა ვქნა? იმისათვის, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს, იგივე უნდა დავამატო ჩემს კონსტრუქციას:
. ცხოვრება უფრო ადვილი გახდა. შესაძლებელია თუ არა მრიცხველში ხელახლა ორგანიზება?

4) შეგიძლია. Ჩვენ ვცდილობთ: . გააფართოვეთ მეორე ტერმინის ფრჩხილები:
. უკაცრავად, მაგრამ მე რეალურად მქონდა წინა ეტაპზე და არა. Რა უნდა ვქნა? მეორე წევრი უნდა გავამრავლოთ:

5) ისევ გადამოწმებისთვის ვხსნი ფრჩხილებს მეორე ტერმინში:
. ახლა ეს ნორმალურია: მიღებულია მე-3 პუნქტის საბოლოო კონსტრუქციიდან! მაგრამ ისევ არის პატარა "მაგრამ", გამოჩნდა დამატებითი ტერმინი, რაც ნიშნავს, რომ ჩემს გამოთქმას უნდა დავამატო:

თუ ყველაფერი სწორად გაკეთდა, მაშინ ყველა ფრჩხილის გახსნისას უნდა მივიღოთ ინტეგრანტის ორიგინალური მრიცხველი. ჩვენ ვამოწმებთ:
კარგი.

ამრიგად:

მზადაა. ბოლო ტერმინში გამოვიყენე ფუნქციის დიფერენციალში მოყვანის მეთოდი.

თუ პასუხის წარმოებულს ვიპოვით და გამოსახულებას მივიღებთ საერთო მნიშვნელზე, მაშინ მივიღებთ ზუსტად თავდაპირველ ინტეგრანდს. ჯამად გაფართოების განხილული მეთოდი სხვა არაფერია, თუ არა საპირისპირო მოქმედება გამოხატვის საერთო მნიშვნელამდე მიყვანისთვის.

მრიცხველის შერჩევის ალგორითმი ასეთ მაგალითებში საუკეთესოდ შესრულებულია მონახაზზე. გარკვეული უნარებით ის გონებრივადაც იმუშავებს. მახსოვს რეკორდული დრო, როდესაც მე გავაკეთე არჩევანი მე-11 ხარისხზე და მრიცხველის გაფართოებამ Werd-ის თითქმის ორი ხაზი დასჭირდა.

მაგალითი 4

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.

მარტივი წილადებისთვის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ შეყვანის მეთოდი

გადავიდეთ შემდეგი ტიპის წილადებზე.
, , , (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი).

ფაქტობრივად, გაკვეთილზე უკვე გაცურდა რამდენიმე შემთხვევა რკალით და არქტანგენტით ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში. ასეთი მაგალითები იხსნება ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანით და შემდეგ ცხრილის გამოყენებით ინტეგრირებით. აქ არის კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი გრძელი და მაღალი ლოგარითმით:

მაგალითი 5

მაგალითი 6

აქ მიზანშეწონილია აიღოთ ინტეგრალების ცხრილი და მიჰყვეთ რა ფორმულებს და როგორცტრანსფორმაცია ხდება. Შენიშვნა, როგორ და რატომამ მაგალითებში ხაზგასმულია კვადრატები. კერძოდ, მე-6 მაგალითში ჩვენ ჯერ უნდა წარმოვადგინოთ მნიშვნელი როგორც , შემდეგ მოიტანეთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ. და ეს ყველაფერი უნდა გააკეთოთ იმისათვის, რომ გამოიყენოთ სტანდარტული ცხრილის ფორმულა .

მაგრამ რას უნდა მიხედოთ, შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ მაგალითები No7,8, მით უმეტეს, რომ ისინი საკმაოდ მოკლეა:

მაგალითი 7

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

თუ თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს მაგალითები, მაშინ დიდი პატივისცემა არის თქვენი დიფერენცირების უნარი საუკეთესოდ.

სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

ფორმის ინტეგრალები, (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი) ამოხსნილია სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი, რომელიც უკვე გამოჩნდა გაკვეთილზე გეომეტრიული ნაკვეთის გარდაქმნები.

სინამდვილეში, ასეთი ინტეგრალები მცირდება ცხრილის ოთხი ინტეგრალიდან ერთ-ერთამდე, რომელიც ახლა განვიხილეთ. და ეს მიიღწევა ნაცნობი შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით:

ფორმულები გამოიყენება ამ მიმართულებით, ანუ მეთოდის იდეაა გამოსახულებების ხელოვნურად ორგანიზება მნიშვნელში ან , და შემდეგ მათი გადაქცევა, შესაბამისად, ან .

მაგალითი 9

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის უმარტივესი მაგალითი, სადაც ტერმინით - ერთეული კოეფიციენტით(და არა რაღაც რიცხვი ან მინუსი).

ჩვენ ვუყურებთ მნიშვნელს, აქ ყველაფერი აშკარად საქმეზეა დაყვანილი. დავიწყოთ მნიშვნელის კონვერტაცია:

ცხადია, თქვენ უნდა დაამატოთ 4. და ისე, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს - იგივე ოთხი და გამოვაკლოთ:

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

კონვერტაციის დასრულების შემდეგ ყოველთვისსასურველია შეასრულოთ საპირისპირო მოძრაობა: ყველაფერი კარგადაა, შეცდომები არ არის.

მოცემული მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

მზადაა. "თავისუფალი" რთული ფუნქციის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: , პრინციპში, შეიძლება უგულებელყოფილი იყოს

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 11

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

რა უნდა გააკეთოს, როდესაც წინ მინუსია? ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ამოიღოთ მინუსი ფრჩხილებიდან და დაალაგოთ პირობები ჩვენთვის საჭირო თანმიმდევრობით:. მუდმივი(ამ შემთხვევაში "ორმაგი") არ შეეხოთ!

ახლა ერთს ვამატებთ ფრჩხილებში. გამონათქვამის გაანალიზებით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ გვჭირდება ერთი ფრჩხილის მიღმა - დაამატეთ:

აქ არის ფორმულა, გამოიყენეთ:

ყოველთვისჩვენ ვამოწმებთ პროექტს:
, რომელიც გადამოწმებული იყო.

მაგალითის სუფთა დიზაინი ასე გამოიყურება:

ჩვენ ვართულებთ დავალებას

მაგალითი 12

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

აქ, ტერმინთან ერთად, ის აღარ არის ერთი კოეფიციენტი, არამედ "ხუთი".

(1) თუ მუდმივი არის ნაპოვნი, მაშინ ჩვენ დაუყოვნებლივ ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან.

(2) ზოგადად, ყოველთვის სჯობს, რომ ეს მუდმივი ამოიღოთ ინტეგრალიდან, რათა ხელი არ შეუშალოს.

(3) აშკარაა, რომ ყველაფერი დაიყვანება ფორმულამდე. აუცილებელია ტერმინის გაგება, კერძოდ, "ორი"-ს მიღება.

(4) დიახ, . ასე რომ, ჩვენ ვამატებთ გამოსახულებას და ვაკლებთ იგივე წილადს.

(5) ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატი. ზოგადად, ასევე აუცილებელია გამოთვლა, მაგრამ აქ გვაქვს გრძელი ლოგარითმის ფორმულა და მოქმედების შესრულებას აზრი არ აქვს, რატომ - ცოტა დაბლა გაირკვევა.

(6) სინამდვილეში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა , მხოლოდ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს, რაც არ უარყოფს ტაბულური ინტეგრალის ნამდვილობას. მკაცრად რომ ვთქვათ, ერთი ნაბიჯი აკლია - ინტეგრაციამდე ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ უნდა ყოფილიყო: , მაგრამ, როგორც არაერთხელ აღვნიშნე, ეს ხშირად უგულებელყოფილია.

(7) ძირის ქვეშ მყოფ პასუხში, სასურველია ყველა ფრჩხილის უკან გახსნა:

რთული? ეს არ არის ყველაზე რთული ინტეგრალური გამოთვლებით. თუმცა, განხილული მაგალითები არც ისე რთულია, რამდენადაც ისინი საჭიროებენ გამოთვლის კარგ ტექნიკას.

მაგალითი 13

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს.

მნიშვნელში არის ინტეგრალები ფესვებით, რომლებიც ჩანაცვლების დახმარებით მცირდება განხილული ტიპის ინტეგრალებზე, მათ შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში რთული ინტეგრალები, მაგრამ ის განკუთვნილია მაღალ მომზადებული სტუდენტებისთვის.

მრიცხველის მოყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ

ეს გაკვეთილის ბოლო ნაწილია, თუმცა ამ ტიპის ინტეგრალები საკმაოდ გავრცელებულია! თუ დაღლილობა დაგროვდა, იქნებ ჯობია ხვალ წავიკითხო? ;)

ინტეგრალები, რომლებსაც განვიხილავთ წინა აბზაცის ინტეგრალების მსგავსია, აქვთ ფორმა: ან (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი).

ანუ მრიცხველში გვაქვს წრფივი ფუნქცია. როგორ ამოხსნათ ასეთი ინტეგრალები?

წილადს უწოდებენ სწორითუ მრიცხველის უმაღლესი ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე. სწორი რაციონალური წილადის ინტეგრალს აქვს ფორმა:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

რაციონალური წილადების ინტეგრირების ფორმულა დამოკიდებულია მრავალწევრის ფესვებზე მნიშვნელში. თუ მრავალწევრს $ax^2+bx+c $ აქვს:

1. მხოლოდ რთული ფესვები, მაშინ მისგან უნდა აირჩიოთ სრული კვადრატი: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. სხვადასხვა რეალური ფესვები $ x_1 $ და $ x_2 $, შემდეგ თქვენ უნდა გააფართოვოთ ინტეგრალი და იპოვოთ განუსაზღვრელი კოეფიციენტები $ A $ და $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. ერთი მრავალჯერადი ფესვი $ x_1 $, შემდეგ გავაფართოვოთ ინტეგრალი და ვიპოვოთ განუსაზღვრელი კოეფიციენტები $ A $ და $ B $ ამ ფორმულისთვის: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

თუ წილადი არის არასწორიანუ, მრიცხველში უმაღლესი ხარისხი მეტია ან ტოლია მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხზე, მაშინ ჯერ ის უნდა შემცირდეს სწორიგონება მრიცხველისგან მრავალწევრზე მნიშვნელის მრავალწევრზე გაყოფით. ამ შემთხვევაში რაციონალური წილადის ინტეგრირების ფორმულა არის:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

გადაწყვეტის მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ რაციონალური წილადის ინტეგრალი: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

გადაწყვეტილება

წილადი რეგულარულია და მრავალწევრს აქვს მხოლოდ რთული ფესვები. ამიტომ, ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ ჩვენ ვაფუჭებთ სრულ კვადრატს და ვაჯამებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით ვიღებთ: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | + C$$ თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ გაეცნოთ გაანგარიშების მიმდინარეობას და შეაგროვოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ კრედიტი!

უპასუხე

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | + C$$

მაგალითი 2

რაციონალური წილადების ინტეგრირება: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

გადაწყვეტილება

ამოხსენით კვადრატული განტოლება: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ მოდით ჩამოვწეროთ ფესვები: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ მიღებული ფესვების გათვალისწინებით, ჩვენ გარდაქმნით ინტეგრალს: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ ჩვენ ვასრულებთ რაციონალური წილადის გაფართოებას: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ გააიგივეთ მრიცხველები და იპოვეთ კოეფიციენტები $ A $ და $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \ დასაწყისი (შემთხვევები) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \ დასასრული (შემთხვევები) $$ $$ \დაწყება(შემთხვევები) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \ბოლო(შემთხვევები) $$ ნაპოვნ კოეფიციენტებს ვცვლით ინტეგრალში და ვხსნით: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| + C$$

უპასუხე

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| + C$$

მოცემულია ინტეგრალების გამოთვლის ფორმულების წარმოშობა უმარტივესი, ელემენტარული, ოთხი ტიპის წილადებიდან. უფრო რთული ინტეგრალები, მეოთხე ტიპის წილადებიდან, გამოითვლება შემცირების ფორმულის გამოყენებით. განხილულია მეოთხე ტიპის წილადის ინტეგრაციის მაგალითი.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი
განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლის მეთოდები

როგორც ცნობილია, x ზოგიერთი ცვლადის ნებისმიერი რაციონალური ფუნქცია შეიძლება დაიყოს მრავალწევრებულ და მარტივ, ელემენტარულ წილადებად. არსებობს მარტივი წილადების ოთხი ტიპი:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
აქ a, A, B, b, c არის რეალური რიცხვები. განტოლება x 2+bx+c=0არ აქვს ნამდვილი ფესვები.

პირველი ორი ტიპის წილადების ინტეგრაცია

პირველი ორი წილადის ინტეგრაცია ხდება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით ინტეგრალების ცხრილიდან:
,
, n ≠ - 1 .

1. პირველი ტიპის წილადის ინტეგრაცია

პირველი ტიპის წილადი t = x - a ჩანაცვლებით მცირდება ცხრილის ინტეგრალში:
.

2. მეორე ტიპის წილადის ინტეგრაცია

მეორე ტიპის ფრაქცია მცირდება ცხრილის ინტეგრალში იგივე ჩანაცვლებით t \u003d x - a:

.

3. მესამე ტიპის წილადის ინტეგრაცია

განვიხილოთ მესამე ტიპის წილადის ინტეგრალი:
.
ჩვენ გამოვთვლით ორ ეტაპად.

3.1. ნაბიჯი 1. მრიცხველში აირჩიეთ მნიშვნელის წარმოებული

წილადის მრიცხველში ვირჩევთ მნიშვნელის წარმოებულს. აღნიშნეთ: u = x 2+bx+c. დიფერენცირება: u′ = 2 x + b. მერე
;
.
მაგრამ
.
ჩვენ გამოვტოვეთ მოდულის ნიშანი, რადგან .

შემდეგ:
,
სადაც
.

3.2. ნაბიჯი 2. გამოთვალეთ ინტეგრალი A = 0, B=1

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ დარჩენილ ინტეგრალს:
.

წილადის მნიშვნელი მივყავართ კვადრატების ჯამს:
,
სად .
ჩვენ გვჯერა, რომ განტოლება x 2+bx+c=0ფესვები არ აქვს. Ისე .

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება
,
.
.

Ისე,
.

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ მესამე ტიპის წილადის ინტეგრალი:

,
სად .

4. მეოთხე ტიპის წილადის ინტეგრაცია

და ბოლოს, განვიხილოთ მეოთხე ტიპის წილადის ინტეგრალი:
.
ჩვენ ვიანგარიშებთ მას სამ ეტაპად.

4.1) ჩვენ ვირჩევთ მნიშვნელის წარმოებულს მრიცხველში:
.

4.2) გამოთვალეთ ინტეგრალი
.

4.3) ინტეგრალების გამოთვლა
,
ჩამოსხმის ფორმულის გამოყენებით:
.

4.1. ნაბიჯი 1. მრიცხველში მნიშვნელის წარმოებულის ამოღება

ჩვენ ვირჩევთ მნიშვნელის წარმოებულს მრიცხველში, როგორც ეს გავაკეთეთ. აღნიშნეთ u = x 2+bx+c. დიფერენცირება: u′ = 2 x + b. მერე
.

.
მაგრამ
.

საბოლოოდ გვაქვს:
.

4.2. ნაბიჯი 2. ინტეგრალის გამოთვლა n = 1-ით

ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს
.
მისი გაანგარიშება მოცემულია .

4.3. ნაბიჯი 3. შემცირების ფორმულის წარმოშობა

ახლა განიხილეთ ინტეგრალი
.

კვადრატის ტრინომილს მივყავართ კვადრატების ჯამამდე:
.
Აქ .
ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას.
.
.

ჩვენ ვასრულებთ ტრანსფორმაციას და ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით.




.

გავამრავლოთ 2 (n - 1):
.
ჩვენ ვუბრუნდებით x-ს და მე n-ს.
,
;
;
.

ასე რომ, I n-ისთვის მივიღეთ შემცირების ფორმულა:
.
ამ ფორმულის თანმიმდევრული გამოყენებით, ჩვენ ვამცირებთ I n ინტეგრალს I-მდე 1 .

მაგალითი

გამოთვალეთ ინტეგრალი

1. მრიცხველში ვირჩევთ მნიშვნელის წარმოებულს.
;
;


.
Აქ
.

2. ჩვენ ვიანგარიშებთ უმარტივესი წილადის ინტეგრალს.

.

3. ჩვენ ვიყენებთ შემცირების ფორმულას:

ინტეგრალურისთვის.
ჩვენს შემთხვევაში b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. ჩვენ ვწერთ ამ ფორმულას n =-ისთვის 2 და n = 3 :
;
.
აქედან

.

საბოლოოდ გვაქვს:

.
ჩვენ ვპოულობთ კოეფიციენტს.
.

Იხილეთ ასევე:

ამ თემაში წარმოდგენილი მასალა ეფუძნება თემაზე „რაციონალური წილადები. რაციონალური წილადების დაშლა ელემენტარულ (მარტივ) წილადებად წარმოდგენილ ინფორმაციას“. დაჟინებით გირჩევთ, გადახედოთ ამ თემას, სანამ ამ მასალის კითხვას გააგრძელებთ. გარდა ამისა, დაგვჭირდება განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი.

შეგახსენებთ რამდენიმე ტერმინს. ისინი განხილული იყო შესაბამის თემაში, ამიტომ აქ მოკლე ფორმულირებით შემოვიფარგლები.

$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ორი მრავალწევრის შეფარდებას რაციონალური ფუნქცია ან რაციონალური წილადი ეწოდება. რაციონალური წილადი ე.წ სწორითუ $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется არასწორი.

ელემენტარული (უმარტივესი) რაციონალური წილადები არის ოთხი ტიპის რაციონალური წილადები:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

შენიშვნა (სასურველია ტექსტის უკეთ გასაგებად): ჩვენება/დამალვა

რატომ არის საჭირო $p^2-4q პირობა?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

მაგალითად, გამოთქმისთვის $x^2+5x+10$ ვიღებთ: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. ვინაიდან $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

სხვათა შორის, ამ შემოწმებისთვის არ არის აუცილებელი, რომ კოეფიციენტი $x^2$-ის წინ იყოს 1. მაგალითად, $5x^2+7x-3=0$-ზე მივიღებთ: $D=7^2-. 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. ვინაიდან $D > 0$, გამოთქმა $5x^2+7x-3$ არის ფაქტორიზირებადი.

შეიძლება მოიძებნოს რაციონალური წილადების მაგალითები (რეგულარული და არასათანადო), ასევე რაციონალური წილადის ელემენტარულებად დაშლის მაგალითები. აქ ჩვენ მხოლოდ მათი ინტეგრაციის საკითხები გვაინტერესებს. დავიწყოთ ელემენტარული წილადების ინტეგრაციით. ასე რომ, ზემოაღნიშნული ელემენტარული წილადების ოთხი ტიპიდან თითოეული მარტივია ინტეგრირება ქვემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით. შეგახსენებთ, რომ (2) და (4) ტიპის წილადების ინტეგრირებისას გათვალისწინებულია $n=2,3,4,\ldots$. ფორმულები (3) და (4) მოითხოვს $p^2-4q პირობას< 0$.

\ დასაწყისი(განტოლება) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(განტოლება) \დაწყება(განტოლება) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(განტოლება) \დაწყება(განტოლება) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(განტოლება)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ ჩანაცვლება ხდება $t=x+\frac(p)(2)$, რის შემდეგაც მიღებული ინტეგრალი არის გაყოფილი ორად. პირველი გამოითვლება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ჩასმით, ხოლო მეორე გამოიყურება $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. ეს ინტეგრალი აღებულია რეციდივის მიმართების გამოყენებით

\begin(განტოლება) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n \ N \ ბოლოს (განტოლება)

ასეთი ინტეგრალის გამოთვლა გაანალიზებულია მაგალითში No7 (იხ. მესამე ნაწილი).

რაციონალური ფუნქციებიდან ინტეგრალების გამოთვლის სქემა (რაციონალური წილადები):

1. თუ ინტეგრანტი ელემენტარულია, მაშინ გამოიყენეთ ფორმულები (1)-(4).
2. თუ ინტეგრადი არ არის ელემენტარული, მაშინ წარმოადგინეთ იგი ელემენტარული წილადების ჯამის სახით და შემდეგ ინტეგრირება ფორმულების გამოყენებით (1)-(4).

რაციონალური წილადების ინტეგრირების ზემოხსენებულ ალგორითმს აქვს უდაო უპირატესობა - ის უნივერსალურია. იმათ. ამ ალგორითმის გამოყენებით შესაძლებელია ინტეგრირება ნებისმიერირაციონალური წილადი. ამიტომ განუსაზღვრელ ინტეგრალში ცვლადების თითქმის ყველა ჩანაცვლება (ეილერი, ჩებიშევის ჩანაცვლება, უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება) ხდება ისე, რომ ამ ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ რაციონალურ წილადს ინტერვალის ქვეშ. და გამოიყენეთ ალგორითმი მასზე. ჩვენ გავაანალიზებთ ამ ალგორითმის პირდაპირ გამოყენებას მაგალითების გამოყენებით, მცირე ჩანაწერის გაკეთების შემდეგ.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

პრინციპში, ამ ინტეგრალის მიღება მარტივია ფორმულის მექანიკური გამოყენების გარეშე. თუ ინტეგრალური ნიშნიდან ავიღებთ $7$-ის მუდმივას და გავითვალისწინებთ, რომ $dx=d(x+9)$, მაშინ მივიღებთ:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

დეტალური ინფორმაციისთვის გირჩევთ გადახედოთ თემას. იგი დეტალურად განმარტავს, თუ როგორ იხსნება ასეთი ინტეგრალები. სხვათა შორის, ფორმულა დასტურდება იმავე გარდაქმნებით, რაც გამოიყენეს ამ პუნქტში „ხელით“ ამოხსნისას.

2) ისევ ორი ​​გზა არსებობს: მზა ფორმულის გამოყენება ან მის გარეშე გაკეთება. თუ გამოიყენებთ ფორმულას, მაშინ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ კოეფიციენტი $x$-ის წინ (4 რიცხვი) უნდა მოიხსნას. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ამოვიღებთ ოთხ მათგანს ფრჩხილებში:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\მარჯვნივ)\მარჯვნივ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

ახლა დროა გამოვიყენოთ ფორმულა:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\მარცხნივ(x+\frac(19)(4) \მარჯვნივ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \მარჯვნივ)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \მარჯვნივ )^7)+C. $$

შეგიძლიათ გააკეთოთ ფორმულის გამოყენების გარეშე. და თუნდაც მუდმივი $4$-ის ფრჩხილებიდან ამოღების გარეშე. თუ გავითვალისწინებთ, რომ $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, მაშინ მივიღებთ:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

დეტალური ახსნა ასეთი ინტეგრალების პოვნის შესახებ მოცემულია თემაში "ინტეგრაცია ჩანაცვლებით (შესავალი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ)" .

3) ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ წილადი $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. ამ წილადს აქვს სტრუქტურა $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, სადაც $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. თუმცა, იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ეს ნამდვილად არის მესამე ტიპის ელემენტარული ფრაქცია, თქვენ უნდა შეამოწმოთ მდგომარეობა $p^2-4q.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

მოდით გადავჭრათ იგივე მაგალითი, მაგრამ მზა ფორმულის გამოყენების გარეშე. შევეცადოთ გამოვყოთ მნიშვნელის წარმოებული მრიცხველში. Რას ნიშნავს ეს? ჩვენ ვიცით, რომ $(x^2+10x+34)"=2x+10$. ეს არის გამოხატულება $2x+10$, რომელიც უნდა გამოვყოთ მრიცხველში. ჯერჯერობით, მრიცხველი შეიცავს მხოლოდ $4x+7$-ს. , მაგრამ ეს არ არის ხანგრძლივი. გამოიყენეთ შემდეგი ტრანსფორმაცია მრიცხველზე:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -ცამეტი. $$

ახლა მრიცხველში გამოჩნდა საჭირო გამოხატულება $2x+10$. და ჩვენი ინტეგრალი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

მოდით დავყოთ ინტეგრანტი ორად. კარგად, და, შესაბამისად, თავად ინტეგრალი ასევე "გაყოფილია":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \მარჯვნივ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

ჯერ პირველ ინტეგრალზე ვისაუბროთ, ე.ი. დაახლოებით $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. ვინაიდან $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, მაშინ მნიშვნელის დიფერენციალი მდებარეობს ინტეგრანტის მრიცხველში. მოკლედ, ამის ნაცვლად გამოხატვის $( 2x+10)dx$ ვწერთ $d(x^2+10x+34)$.

ახლა მოდით ვთქვათ ორიოდე სიტყვა მეორე ინტეგრალის შესახებ. გამოვყოთ სრული კვადრატი მნიშვნელში: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. გარდა ამისა, ჩვენ გავითვალისწინებთ $dx=d(x+5)$. ახლა ჩვენ მიერ ადრე მიღებული ინტეგრალების ჯამი შეიძლება გადაიწეროს ოდნავ განსხვავებული ფორმით:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ ცხრა). $$

თუ ჩვენ გავაკეთებთ ცვლილებას $u=x^2+10x+34$ პირველ ინტეგრალში, მაშინ ის მიიღებს $\int\frac(du)(u)$-ს და მიიღება უბრალოდ მეორე ფორმულის გამოყენებით. რაც შეეხება მეორე ინტეგრალს, მისთვის შესაძლებელია ჩანაცვლება $u=x+5$, რის შემდეგაც ის იღებს $\int\frac(du)(u^2+9)$ ფორმას. ეს არის ყველაზე სუფთა წყალი, მეთერთმეტე ფორმულა განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილიდან. ასე რომ, ინტეგრალების ჯამს რომ დავუბრუნდეთ, გვექნება:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ჩვენ მივიღეთ იგივე პასუხი, რაც ფორმულის გამოყენებისას, რაც, ფაქტობრივად, გასაკვირი არ არის. ზოგადად, ფორმულა დასტურდება იმავე მეთოდებით, რომლებიც ჩვენ გამოვიყენეთ ამ ინტეგრალის საპოვნელად. მე მჯერა, რომ ყურადღებიან მკითხველს შეიძლება აქ ერთი შეკითხვა ჰქონდეს, ამიტომ ჩამოვაყალიბებ:

Კითხვა 1

თუ განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილიდან მეორე ფორმულას გამოვიყენებთ ინტეგრალზე $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, მაშინ მივიღებთ შემდეგს:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

რატომ აკლდა მოდული გამოსავალს?

პასუხი #1 კითხვაზე

კითხვა სრულიად ლეგიტიმურია. მოდული აკლდა მხოლოდ იმიტომ, რომ გამოხატულება $x^2+10x+34$ ნებისმიერი $x\in R$ არის ნულზე მეტი. ამის ჩვენება საკმაოდ მარტივია რამდენიმე გზით. მაგალითად, ვინაიდან $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ და $(x+5)^2 ≥ 0$, შემდეგ $(x+5)^2+9 > 0$ . შესაძლებელია განსჯა სხვაგვარად, სრული კვადრატის შერჩევის გარეშე. $10^2-4$-დან\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ ნებისმიერი $x\in R$ (თუ ეს ლოგიკური ჯაჭვი გასაკვირია, გირჩევთ, გადახედოთ კვადრატული უტოლობების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდს). ნებისმიერ შემთხვევაში, ვინაიდან $x^2+10x+34 > 0$, მაშინ $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ე.ი. მოდულის ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ფრჩხილები.

No1 მაგალითის ყველა პუნქტი მოგვარებულია, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

მაგალითი #2

იპოვეთ ინტეგრალი $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

ერთი შეხედვით ინტეგრანდ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ძალიან ჰგავს მესამე ტიპის ელემენტარულ წილადს, ე.ი. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$-მდე. როგორც ჩანს, განსხვავება მხოლოდ $3$-ის კოეფიციენტია $x^2$-ის წინ, მაგრამ კოეფიციენტის ამოღებას (ფრჩხილებიდან) დიდი დრო არ დასჭირდება. თუმცა, ეს მსგავსება აშკარაა. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ წილადისთვის $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

ჩვენი კოეფიციენტი $x^2$-ის წინ არ არის ერთის ტოლი, ამიტომ შეამოწმეთ პირობა $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, ასე რომ გამოხატვის $3x^2-5x-2$ შეიძლება ფაქტორიზირებული იყოს. და ეს ნიშნავს, რომ წილადი $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ არ არის მესამე ტიპის ელემენტარული წილადი და ვრცელდება $\int\frac(7x+12)(ინტეგრალზე). 3x^2- 5x-2)dx$ ფორმულა დაუშვებელია.

ისე, თუ მოცემული რაციონალური წილადი არ არის ელემენტარული, მაშინ ის უნდა იყოს წარმოდგენილი ელემენტარული წილადების ჯამის სახით და შემდეგ ინტეგრირებული. მოკლედ, ბილიკი ისარგებლეთ. როგორ დავშალოთ რაციონალური წილადი ელემენტარულებად, დეტალურად არის დაწერილი. დავიწყოთ მნიშვნელის ფაქტორინგით:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \დაწყება(გასწორებული) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \ბოლო(გასწორებული)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

ჩვენ წარმოვადგენთ ქვეშიდა წილადს შემდეგი სახით:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\მარჯვნივ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

ახლა მოდით გავაფართოვოთ $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ელემენტარულ წილადებად:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\მარცხენა(x+\frac(1)(3)\მარჯვნივ))(\მარცხნივ(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\მარჯვნივ). $$

$A$ და $B$ კოეფიციენტების საპოვნელად არსებობს ორი სტანდარტული გზა: განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი და ნაწილობრივი მნიშვნელობების ჩანაცვლების მეთოდი. მოდით გამოვიყენოთ ნაწილობრივი მნიშვნელობის ჩანაცვლების მეთოდი $x=2$-ის და შემდეგ $x=-\frac(1)(3)$-ის ჩანაცვლებით:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \მარჯვნივ)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\მარჯვნივ)+B\მარცხნივ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

მას შემდეგ, რაც კოეფიციენტები იქნა ნაპოვნი, რჩება მხოლოდ დასრულებული გაფართოების ჩაწერა:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

პრინციპში, შეგიძლიათ დატოვოთ ეს ჩანაწერი, მაგრამ მე მომწონს უფრო ზუსტი ვერსია:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ ინტეგრალს, ჩვენ ვცვლით მიღებულ გაფართოებას მასში. შემდეგ ინტეგრალს ვყოფთ ორად და თითოეულს მივმართავთ ფორმულას. მირჩევნია დაუყოვნებლივ ამოიღო მუდმივები ინტეგრალური ნიშნის გარეთ:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

უპასუხე: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

მაგალითი #3

იპოვეთ ინტეგრალი $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ წილადი $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. მრიცხველი მეორე ხარისხის მრავალწევრია, მნიშვნელი კი მესამე ხარისხის მრავალწევრია. ვინაიდან მრიცხველში მრავალწევრის ხარისხი ნაკლებია მნიშვნელში მრავალწევრის ხარისხზე, ე.ი. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

ჩვენ უბრალოდ უნდა დავყოთ მოცემული ინტეგრალი სამად და გამოვიყენოთ ფორმულა თითოეულზე. მირჩევნია დაუყოვნებლივ ამოიღო მუდმივები ინტეგრალური ნიშნის გარეთ:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

უპასუხე: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ამ თემის მაგალითების ანალიზის გაგრძელება მოცემულია მეორე ნაწილში.

გავიხსენოთ რომ ფრაქციულად რაციონალურიეწოდება $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ ზოგად შემთხვევაში არის ორი მრავალწევრის %%P_n(x)%% და % შეფარდება. %Q_m(x)% %.

თუ %%m > n \geq 0%%, მაშინ რაციონალური წილადი იწოდება სწორითორემ არასწორია. მრავალწევრის გაყოფის წესის გამოყენებით, არასწორი რაციონალური წილადი შეიძლება წარმოვიდგინოთ %%P_(n - m)%% ხარისხის %%n - m%% მრავალწევრის ჯამი და ზოგიერთი სათანადო წილადი, ე.ი. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ სადაც ხარისხი არის %%l% %%P_l(x)%% მრავალწევრის %%%Q_n(x)%% პოლინომის %%n%% ხარისხზე ნაკლებია.

ამრიგად, რაციონალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მრავალწევრის განუსაზღვრელი ინტეგრალების ჯამი და სწორი რაციონალური წილადი.

მარტივი რაციონალური წილადების ინტეგრალი

არსებობს სწორი რაციონალური წილადების ოთხი ტიპი, რომლებიც კლასიფიცირდება როგორც უმარტივესი რაციონალური წილადები:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

სადაც %%k > 1%% არის მთელი რიცხვი და %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლა პირველი ორი ტიპის წილადებიდან

პირველი ორი ტიპის წილადების განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლა მარტივია: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ მათემატიკა (დ)(x - ა))(x - ა) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(მასივი) $$

განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლა მესამე ტიპის წილადებიდან

ჩვენ პირველად გარდაქმნით მესამე ტიპის წილადს მნიშვნელში სრული კვადრატის არჩევით: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ როგორც %%a^2%%. ჩანაცვლებით ასევე %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, ვაქცევთ მნიშვნელს და ვწერთ მესამე ტიპის წილადის ინტეგრალს $$ \begin სახით. (მასივი)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end (მასივი) $$

განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის გამოყენებით, ჩვენ წარმოვადგენთ ბოლო ინტეგრალს ორის ჯამის სახით და მათგან პირველში შემოგვაქვს %%t%% დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (at + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \მარცხნივ| t^2 + a^2\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(მასივი) $$

თავდაპირველ ცვლადს %%x%% დავუბრუნდებით, ჩვენ მივიღებთ $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \n \მარცხნივ| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ სადაც %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %

მე-4 ტიპის ინტეგრალის გამოთვლა რთულია, ამიტომ ის არ არის გათვალისწინებული ამ კურსში.