არასწორი ინტეგრალების კონვერგენციის ნიშნები. არასათანადო ინტეგრალების შესწავლის მაგალითები კონვერგენციის ტესტი ინტეგრალის კონვერგენციის შედარებისთვის

მოგეხსენებათ, ინტეგრალის პოვნა საკმაოდ რთული ამოცანაა. დიდი იმედგაცრუება იქნება არასწორი ინტეგრალის გამოთვლა და გზის ბოლოს რომ აღმოვაჩინოთ, რომ ის განსხვავდება. მაშასადამე, საინტერესოა მეთოდები, რომლებიც საშუალებას აძლევს ადამიანს გამოიტანოს დასკვნა არასწორი ინტეგრალის დაახლოების ან განსხვავების შესახებ ფუნქციის ერთი ტიპის სერიოზული გამოთვლების გარეშე. პირველი და მეორე შედარების თეორემები, რომლებიც ქვემოთ იქნება განხილული, დიდწილად გვეხმარება შეუსაბამობის ინტეგრალების გამოკვლევაში.

ვთქვათ f(x)?0. შემდეგ ფუნქციები

მონოტონურად იზრდება t ან -q ცვლადებით (რადგან ავიღებთ q > 0, -q მარცხნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის). თუ არგუმენტების მატებასთან ერთად ფუნქციები F 1 (t) და F 2 (-d) ზემოდან შემოსაზღვრული რჩება, ეს ნიშნავს, რომ შესაბამისი არასათანადო ინტეგრალები იყრიან თავს. ეს არის პირველი შედარების თეორემის საფუძველი არაუარყოფითი ფუნქციების ინტეგრალებისთვის.

მოდით დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობები f(x) ფუნქციისთვის და g(x) x?a-ზე:

• 1) 0?f(x)?g(x);
• 2) f(x) და g(x) ფუნქციები უწყვეტია.

მაშინ ინტეგრალის დაახლოება გულისხმობს ინტეგრალის კონვერგენციას, ხოლო ინტეგრალის დაახლოება გულისხმობს განსხვავებას.

ვინაიდან 0?f(x)?g(x) და ფუნქციები უწყვეტია, მაშინ

ვარაუდით, ინტეგრალი იყრის თავს, ე.ი. აქვს სასრული მნიშვნელობა. ამიტომ, ინტეგრალიც იყრის თავს.

ახლა მოდით, ინტეგრალი განსხვავდებოდეს. დავუშვათ, რომ ინტეგრალი იყრის თავს, მაგრამ შემდეგ ინტეგრალი უნდა გადაიზარდოს, რაც ეწინააღმდეგება პირობას. ჩვენი ვარაუდი მცდარია, ინტეგრალი განსხვავდება.

შედარების თეორემა მე-2 სახის არასწორი ინტეგრალებისთვის.

დავუშვათ, რომ f(x) და g(x) ფუნქციები ინტერვალზე გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით x>+0. მისთვის x>+0-სთვის უტოლობა<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

შედარების თეორემა პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალებისთვის.

დაე, ინტეგრალი განსხვავდებოდეს f(x) და g(x) ფუნქციისთვის ინტერვალზე.

ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრალი ასევე განსხვავდება სეგმენტზე.

ამრიგად, ეს ინტეგრალი განსხვავდება მთელ სეგმენტზე [-1, 1]. გაითვალისწინეთ, რომ თუ ჩვენ დავიწყეთ ამ ინტეგრალის გამოთვლა, არ მივაქციოთ ყურადღება ინტეგრანტის უწყვეტობას x = 0 წერტილში, მივიღებთ არასწორ შედეგს. მართლაც,

, რაც შეუძლებელია.

ასე რომ, წყვეტილი ფუნქციის არასათანადო ინტეგრალის შესასწავლად საჭიროა მისი რამდენიმე ინტეგრალად „გატეხვა“ და მათი გამოკვლევა.

თუ ინტეგრანდს აქვს მეორე სახის უწყვეტობა ინტეგრაციის (სასრულო) ინტერვალზე, საუბარია მეორე სახის არასწორ ინტეგრალზე.

10.2.1 განმარტება და ძირითადი თვისებები

მოდით აღვნიშნოთ $\left[a, \, b \right ]$ ინტეგრაციის ინტერვალი, ორივე ეს რიცხვი ჩაითვლება სასრულად ქვემოთ. თუ არის მხოლოდ 1 უფსკრული, ის შეიძლება იყოს $a$ წერტილში, ან $b$ წერტილში, ან $(a,\,b)$ ინტერვალის შიგნით. ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც $a$ წერტილში არის მეორე სახის უწყვეტობა, ხოლო სხვა წერტილებში ინტეგრადი უწყვეტია. ასე რომ, ჩვენ განვიხილავთ ინტეგრალს

\begin(განტოლება) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(განტოლება)

სადაც $f(x) \rightarrow \infty $ როდესაც $x \rightarrow a+0$. როგორც ადრე, პირველი რაც უნდა გააკეთოთ არის ამ გამოთქმისთვის მნიშვნელობის მიცემა. ამისათვის განიხილეთ ინტეგრალი

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

განმარტება. დაე იყოს ზღვარი

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

შემდეგ ამბობენ, რომ მეორე ტიპის (22) არასწორი ინტეგრალი ერთმანეთს ემთხვევა და მას ენიჭება მნიშვნელობა $A$, თავად ფუნქცია $f(x)$ არის ინტეგრირებადი $\left[a, \ ინტერვალზე. , b\right]$.

განვიხილოთ ინტეგრალი

\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]

ინტეგრანდს $1/\sqrt(x)$-ისთვის $x \rightarrow +0$-ისთვის აქვს უსასრულო ლიმიტი, ამიტომ $x=0$ წერტილში მას აქვს მეორე სახის შეწყვეტა. დავსვათ

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]

ამ შემთხვევაში ცნობილია ანტიდერივატი,

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon)=2(1-\sqrt( \epsilon ))\ მარჯვენა ისარი 2 \]

$\epsilon \rightarrow +0$-ისთვის. ამრიგად, თავდაპირველი ინტეგრალი არის მეორე სახის კონვერგენტული არასწორი ინტეგრალი და ის უდრის 2-ს.

განვიხილოთ ვარიანტი, როდესაც ინტეგრაციის ინტერვალის ზედა ზღვარზე არის მეორე სახის ინტეგრანტის უწყვეტობა. ეს შემთხვევა შეიძლება შემცირდეს წინაზე $x=-t$ ცვლადის შეცვლით და შემდეგ ინტეგრაციის საზღვრების გადალაგებით.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ინტეგრანდს აქვს მეორე სახის უწყვეტობა ინტეგრაციის ინტერვალის შიგნით, $c \in (a,\,b)$ წერტილში. ამ შემთხვევაში, ორიგინალური ინტეგრალი

\begin(განტოლება) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(განტოლება)

ჯამის სახით წარმოდგენილი

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

განმარტება. თუ ორივე ინტეგრალი $I_1, \, I_2$ ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ არასწორ ინტეგრალს (23) ეწოდება კონვერგენტი და მას ენიჭება მნიშვნელობა $I_1, \, I_2$ ინტეგრალების ჯამის ტოლი, ფუნქცია $f(x) $ ეწოდება ინტეგრირებადი $\left [a, \, b\right]$ ინტერვალზე. თუ $I_1,\, I_2$ ინტეგრალებიდან ერთი მაინც განსხვავებულია, არასწორი ინტეგრალი (23) ითვლება დივერგენტულად.

მე-2 ტიპის არასწორ ინტეგრალებს აქვთ ჩვეულებრივი განსაზღვრული ინტეგრალის ყველა სტანდარტული თვისება.

1. თუ $f(x)$, $g(x)$ ინტეგრირებადია $\left[a, \,b \right ]$ ინტერვალზე, მაშინ მათი ჯამი $f(x)+g(x)$ არის ასევე ინტეგრირებულია ამ ინტერვალზე და \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( ბ)გ (x)dx. \] 2. თუ $f(x)$ ინტეგრირებადია $\left[a, \, b \right ]$ ინტერვალზე, მაშინ ნებისმიერი მუდმივი $C$-ისთვის არის ფუნქცია $C\cdot f(x)$. ინტეგრირებადი ამ ინტერვალზე და \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. თუ $f(x)$ ინტეგრირებადია $\left[a, \, b \right ]$ და $f(x)>0$ ინტერვალზე ამ ინტერვალზე, მაშინ \[ \int _a^( ბ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. თუ $f(x)$ ინტეგრირებადია $\left[ a, \, b \right ]$ ინტერვალზე, მაშინ ნებისმიერი $c\in (a, \,b)$ ინტეგრალები \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] ასევე იყრიან თავს და \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (ინტეგრალის დამატება ინტერვალზე).

განვიხილოთ ინტეგრალი

\begin(განტოლება) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(განტოლება)

თუ $k>0$, ინტეგრადი მიდრეკილია $\infty$-ზე, როგორც $x \rightarrow +0$, ასე რომ, ინტეგრალი მეორე ტიპის არასწორია. ჩვენ წარმოგიდგენთ ფუნქციას

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

ამ შემთხვევაში ცნობილია ანტიდერივატი, ასე რომ

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

$k \neq 1$-ად,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

$k = 1$-ად. თუ გავითვალისწინებთ $\epsilon \rightarrow +0$-ის ქცევას, დავასკვნით, რომ ინტეგრალი (20) იყრის $k-ს.

10.2.2 მე-2 ტიპის არასწორი ინტეგრალების დაახლოების კრიტერიუმები

თეორემა (შედარების პირველი ნიშანი). მოდით $f(x)$, $g(x)$ იყოს უწყვეტი $x\in (a,\,b)$-ისთვის და $0 1. თუ ინტეგრალი \[ \int _a^(b)g(x) dx \] იყრის თავს, შემდეგ ინტეგრალი \[ \int _a^(b)f(x)dx ასევე იყრის თავს. \] 2. თუ ინტეგრალი \[ \int _a^(b)f(x)dx \] განსხვავდება, მაშინ ინტეგრალი \[ \int _a^(b)g(x)dx ასევე განსხვავდება. \]

თეორემა (შედარების მეორე ნიშანი). მოდით $f(x)$, $g(x)$ იყოს უწყვეტი და დადებითი $x\in (a,\,b)$-ისთვის და იყოს სასრული ზღვარი

\[ \theta = \lim_(x \მარჯვენა arrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

შემდეგ ინტეგრალები

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

თანხვედრა ან განსხვავებები ერთდროულად.

განვიხილოთ ინტეგრალი

\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

ინტეგრანდელი არის დადებითი ფუნქცია ინტეგრაციის ინტერვალზე, ინტეგრადი მიდრეკილია $\infty$-ისკენ, როგორც $x \rightarrow +0$, ასე რომ, ჩვენი ინტეგრალი მეორე ტიპის არასწორია. გარდა ამისა, $x \rightarrow +0$-ისთვის გვაქვს: თუ $g(x)=1/x$, მაშინ

\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]

შედარების მეორე კრიტერიუმის გამოყენებით მივდივართ დასკვნამდე, რომ ჩვენი ინტეგრალი ემთხვევა ან განსხვავდება ინტეგრალთან ერთდროულად.

\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]

როგორც წინა მაგალითშია ნაჩვენები, ეს ინტეგრალი განსხვავდება ($k=1$). აქედან გამომდინარე, ორიგინალური ინტეგრალი ასევე განსხვავდება.

გამოთვალეთ არასწორი ინტეგრალი ან დაადგინეთ მისი კონვერგენცია (დივერგენცია).

1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]