ფიგურის სავარაუდო გადაწყვეტა კონტაქტის პროცესში. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის გეომეტრიული განსაზღვრება

შენიშვნა 1.4.იმ შემთხვევაში, როცა გდა გ- სწორი ხაზის სეგმენტები, მოვლენის ალბათობა აუდრის ამ სეგმენტების სიგრძის თანაფარდობას. Თუ გდა გარის სხეულები სამგანზომილებიან სივრცეში, შემდეგ მოვლენის ალბათობა აგვხვდება როგორც ამ სხეულების მოცულობების თანაფარდობა. ამიტომ, ზოგად შემთხვევაში

სადაც მესარის განსახილველი სივრცის მეტრიკა.

შენიშვნა 1.5.ალბათობის გეომეტრიული განმარტება ეხება ცდებს უსასრულო რაოდენობის შედეგებით.

მაგალითი 1.13.ორი ადამიანი დათანხმდა შეხვედრაზე გარკვეულ ადგილას 12-დან 13 საათამდე, ხოლო შეხვედრაზე მოსული თითოეული ელოდება მეორეს 20 წუთის განმავლობაში, მაგრამ არა უმეტეს 13:00 საათამდე, რის შემდეგაც ის მიდის. იპოვეთ ამ ადამიანებთან შეხვედრის ალბათობა, თუ თითოეული მათგანი მოვა დროის შემთხვევით მომენტში, რომელიც არ არის კოორდინირებული მეორის ჩამოსვლის მომენტთან.

გადაწყვეტილება.დაე, ღონისძიება ა- შეხვედრა შედგა. აღნიშნეთ მიერ x- შეხვედრაზე პირველი პირის მოსვლის დრო, წ- მეორე პირის ჩამოსვლის დრო. შემდეგ გამოცდილების ყველა შესაძლო შედეგის ნაკრები არის ყველა წყვილის ნაკრები ( x, წ), სადაც x, წО . და ხელსაყრელი შედეგების სიმრავლე განისაზღვრება უთანასწორობით

|x – წ| £20 (წთ).

ორივე ეს კომპლექტი უსასრულოა, ამიტომ ალბათობის გამოთვლის კლასიკური განმარტება ვერ გამოიყენება. მოდით გამოვიყენოთ გეომეტრიული განმარტება. ნახ. 1.2 აჩვენებს ყველა შესაძლო შედეგის კომპლექტს (კვადრატი OKMT) და ხელსაყრელი შედეგები (ექვსკუთხედი OSLMNR). განმარტება 1.13-ის გამოყენებით ვიღებთ

მოვლენათა ჯამი და პროდუქტი. თეორემები მოვლენათა ჯამისა და ნამრავლის ალბათობის შესახებ

განმარტება 1.14.მოვლენათა ჯამი ადა ბდაასახელეთ ღონისძიება, რომელიც შედგება მინიმუმ ერთი მათგანის გამოჩენაში. Დანიშნულება: ა + ბ.

განმარტება 1.15.მოვლენების პროდუქტი ადა ბმოვუწოდებთ მოვლენას, რომელიც შედგება ამ მოვლენების ერთდროული წარმოშობისგან იმავე გამოცდილებაში. Დანიშნულება: AB.

მაგალითი 1.14. 36 ბანქოსგან შემდგარი გემბანიდან შემთხვევით დგება ერთი კარტი. შემოვიღოთ აღნიშვნა: ა- გათამაშებული ბარათი ქალბატონი აღმოჩნდა, ბ- ამოიღეს ყვავი ბარათი. იპოვნეთ მოვლენების ალბათობა ა + ბდა AB.

გადაწყვეტილება. ღონისძიება ა + ბხდება თუ გათამაშებული ბარათი არის ყვავი ან დედოფალი. ეს ნიშნავს, რომ განსახილველ მოვლენას ხელს უწყობს 13 შედეგი (ნებისმიერი ყვავი 9 კარტიდან, სხვა კოსტუმის 3 დედოფლიდან რომელიმე) 36-დან. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენებით, მივიღებთ

ღონისძიება ABხდება თუ გათამაშებული ბარათი არის ყვავი და დედოფალი. ამიტომ, მოვლენა ABემხრობა გამოცდილების მხოლოდ ერთ შედეგს (ყვავითა დედოფალი) 36-დან. განმარტების 1.11 გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ

შენიშვნა 1.6.მოვლენების ჯამისა და პროდუქტის განმარტებები შეიძლება გავრცელდეს მოვლენათა ნებისმიერ რაოდენობაზე.

მოვლენათა ჯამისა და ნამრავლის ალბათობის გამოთვლისას მოსახერხებელია შემდეგი დებულებების გამოყენება.

თეორემა 1.1.ორი შეუთავსებელი მოვლენიდან ერთის დადგომის ალბათობა, რომელი არ უნდა იყოს, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.

P( ა+ბ)=P( ა)+P( ბ).

დასკვნა 1.1.რამდენიმე წყვილად შეუთავსებელი მოვლენიდან ერთის დადგომის ალბათობა, რომელი არ უნდა იყოს, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.

P( ა 1 +ა 2 +…+ნ)=P( ა 1)+P( ა 2)+…+P( ნ).

დასკვნა 1.2.წყვილში შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების ჯამი ა 1 , ა 2 ,…, ნ, რომელიც ქმნის სრულ ჯგუფს, უდრის ერთს

P( ა 1)+P( ა 2)+…+P( ნ)=1.

დასკვნა 1.3.საპირისპირო მოვლენის ალბათობა

შემთხვევითი მოვლენა განისაზღვრა, როგორც მოვლენა, რომელიც გამოცდილების შედეგად შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. თუ მოვლენის ალბათობის გამოთვლისას სხვა შეზღუდვები (გარდა ექსპერიმენტული პირობებისა) არ არის დაწესებული, მაშინ ასეთ ალბათობას უპირობო ეწოდება. თუ სხვა დამატებითი პირობებია დაწესებული, მაშინ მოვლენის ალბათობას პირობითი ეწოდება.

განმარტება 1.16.პირობითი ალბათობაპ ბ(ა) (ან P( ა|ბ)) ეწოდება მოვლენის ალბათობას ა, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ მოვლენა ბუკვე მოხდა.

პირობითი ალბათობის კონცეფციის გამოყენებით, ჩვენ ვაძლევთ მოვლენათა დამოუკიდებლობის განმარტებას, რომელიც განსხვავდება ადრე მოცემულისგან.

განმარტება 1.17. მოვლენა A დამოუკიდებელია B მოვლენისგანთუ თანასწორობა

პრაქტიკულ კითხვებში, ამ მოვლენების დამოუკიდებლობის დასადგენად, იშვიათად მიმართავენ მათთვის თანასწორობის (1.3) და (1.4) შესრულების შემოწმებას. როგორც წესი, ამისთვის იყენებენ გამოცდილებაზე დაფუძნებულ ინტუიციურ მოსაზრებებს.

განმარტება 1.18.რამდენიმე ღონისძიებას ეძახიან წყვილი დამოუკიდებელითუ ყოველი ორი მათგანი დამოუკიდებელია.

განმარტება 1.19.რამდენიმე ღონისძიებას ეძახიან კოლექტიურად დამოუკიდებელითუ ისინი წყვილში დამოუკიდებელია და თითოეული მოვლენა და სხვების ყველა შესაძლო პროდუქტი დამოუკიდებელია.

თეორემა 1.2.ორი მოვლენის ერთობლივი მოვლენის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ პირველი მოვლენა უკვე მოხდა.

მოვლენების თანმიმდევრობის არჩევიდან გამომდინარე, თეორემა 1.2 შეიძლება დაიწეროს როგორც

P( AB) = P( ა) პ ა(ბ)

P( AB) = P( ბ) პ ბ(ა).

დასკვნა 1.4.რამდენიმე მოვლენის ერთობლივი მოვლენის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს ყველა დანარჩენის პირობითი ალბათობით, ხოლო ყოველი მომდევნო მოვლენის ალბათობა გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ ყველა წინა მოვლენა უკვე გამოჩნდა.

ამ შემთხვევაში, თანმიმდევრობა, რომლითაც განლაგებულია მოვლენები, შეიძლება შეირჩეს ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგალითი 1.15.ურნა შეიცავს 6 თეთრ და 3 შავ ბურთულას. ერთი ბურთი იშლება ურნადან შემთხვევით, სანამ შავი არ გამოჩნდება. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მეოთხე გაყვანა უნდა განხორციელდეს, თუ ბურთები არ დაბრუნდება ურნაში.

გადაწყვეტილება.განსახილველ ექსპერიმენტში აუცილებელია მეოთხე მოცილება, თუ პირველი სამი ბურთი თეთრი აღმოჩნდება. აღნიშნეთ მიერ ა იმოვლენა, რომელიც მე- გამოჩნდება თეთრი ბურთის დახატვა ( მე= 1, 2, 3). პრობლემა არის მოვლენის ალბათობის პოვნა ა 1 ა 2 ა 3 . ვინაიდან გათამაშებული ბურთები უკან არ ბრუნდებიან, მოვლენები ა 1 , ა 2 და ა 3 არის დამოკიდებული (თითოეული წინა გავლენას ახდენს შემდეგის შესაძლებლობაზე). ალბათობის გამოსათვლელად ვიყენებთ დასკვნას 1.4 და შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის კლასიკურ განმარტებას, კერძოდ

დასკვნა 1.5.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს

P( AB)=P( ა)P( ბ).

დასკვნა 1.6.რამდენიმე მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა, რომლებიც მთლიანობაში დამოუკიდებელია, უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს.

P( ა 1 ა 2 …ნ)=P( ა 1) P( ა 2)…P( ნ).

მაგალითი 1.16.ამოიღეთ პრობლემა 1.15 მაგალითიდან, იმ ვარაუდით, რომ ყოველი ამოღების შემდეგ ბურთები უბრუნდება ურნას.

გადაწყვეტილება.როგორც ადრე (მაგალითი 1.15), ჩვენ უნდა ვიპოვოთ P( ა 1 ა 2 ა 3). თუმცა მოვლენები ა 1 , ა 2 და ა 3 დამოუკიდებელია მთლიანობაში, ვინაიდან ურნის შემადგენლობა ერთი და იგივეა ყოველი ამოღებისთვის და, შესაბამისად, ერთი ტესტის შედეგი არ მოქმედებს დანარჩენებზე. ამიტომ, ალბათობის გამოსათვლელად ვიყენებთ შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის დასკვნას 1.6 და განმარტებას 1.11, კერძოდ,

P( ა 1 ა 2 ა 3)=P( ა 1) P( ა 2) P ( ა 3)= = .

თეორემა 1.3.ორი ერთობლივი მოვლენიდან მინიმუმ ერთის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი მოვლენის ალბათობის გარეშე.

შენიშვნა 1.7.ფორმულის გამოყენებისას (1.5) უნდა გვახსოვდეს, რომ მოვლენები ადა ბშეიძლება იყოს დამოკიდებული ან დამოუკიდებელი.

მაგალითი 1.17.ორმა მსროლელმა თითო გასროლა მიზანში ესროლა. ცნობილია, რომ სამიზნეზე მოხვედრის ალბათობა ერთ-ერთი მსროლელისთვის არის 0,6, ხოლო მეორის - 0,7. იპოვეთ ამის ალბათობა

ა) ორივე მსროლელი მოხვდა მიზანში (მოვლენა დ);

ბ) მხოლოდ ერთი მსროლელი მოხვდება მიზანში (მოვლენა ე);

გ) ერთ-ერთი მსროლელი მაინც მოხვდება მიზანში (მოვლენა ფ).

გადაწყვეტილება.შემოვიღოთ აღნიშვნა: ა- პირველმა მსროლელმა მიზანს დაარტყა, ბმეორე მსროლელი მიზანში მოხვდა. პირობით P ( ა) = 0.6 და P( ბ) = 0.7. ჩვენ ვუპასუხებთ კითხვებს.

ა) მოვლენა დმოხდება თუ მოვლენა მოხდება AB. რადგან მოვლენები ადა ბარიან დამოუკიდებლები, შემდეგ, დასკვნის 1.5-ის გათვალისწინებით, ვიღებთ

P( დ) = P( AB) = P( ა)P( ბ) = 0,6×0,7 = 0,42.

ბ) მოვლენა ეხდება, თუ მოხდება ერთ-ერთი მოვლენა აან ბ. ეს მოვლენები შეუთავსებელია და მოვლენები ა() და ბ() დამოუკიდებლები არიან, შესაბამისად, თეორემა 1.1, დასკვნა 1.3 და 1.5, გვაქვს

P( ე) = P( ა+ ბ) = P( ა) + P( ბ) =

P( ა)P() + P()P( ბ) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46.

გ) მოვლენა ფმოხდება, თუ მოხდება ერთ-ერთი მოვლენა მაინც აან ბ. ეს მოვლენები გაზიარებულია. მაშასადამე, თეორემა 1.3-ით გვაქვს

P( ფ) = P( ა+ბ) = P( ა) + P( ბ) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88.

გაითვალისწინეთ მოვლენის ალბათობა ფშეიძლებოდა სხვაგვარად გამოთვლა. სახელდობრ

P( ფ) = P( ა+ ბ + AB) = P( ა) + P( ბ) + P( AB) = 0,88

P( ფ) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0.4×0.3 = 0.88.

საერთო ალბათობის ფორმულა. ბეისის ფორმულები

დაე, ღონისძიება აშეიძლება მოხდეს, თუ მოხდება ერთ-ერთი შეუთავსებელი მოვლენა ბ 1 , ბ 2 ,…, B nსრული ჯგუფის ჩამოყალიბება. ვინაიდან წინასწარ არ არის ცნობილი ამ მოვლენებიდან რომელი მოხდება, ისინი ე.წ ჰიპოთეზები.

შეაფასეთ მოვლენის დადგომის ალბათობა აექსპერიმენტამდე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი განცხადება.

თეორემა 1.4.მოვლენის ალბათობა ა, რომელიც შეიძლება მოხდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოხდება ერთ-ერთი შეუთავსებელი მოვლენა ბ 1 , ბ 2 ,…, B n, რომელიც ქმნის სრულ ჯგუფს, უდრის

ფორმულა (1.6) ე.წ საერთო ალბათობის ფორმულები.

მაგალითი 1.18.გამოცდის ჩასაბარებლად სტუდენტებს 30 კითხვა უნდა მოემზადებინათ. 25 მოსწავლიდან 10-მა მოამზადა ყველა კითხვა, 8 - 25 კითხვა, 5 - 20 კითხვა და 2 - 15 კითხვა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეულმა მოსწავლემ უპასუხოს მოცემულ კითხვას.

გადაწყვეტილება.მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა: ა- ღონისძიება, რომელიც შედგება იმაში, რომ შემთხვევით გამოძახებულმა სტუდენტმა უპასუხა დასმულ კითხვას, ბ 1 - შემთხვევით გამოძახებულმა სტუდენტმა იცის ყველა კითხვაზე პასუხი, ბ 2 - შემთხვევით გამოძახებულმა სტუდენტმა იცის 25 კითხვაზე პასუხი, ბ 3 - შემთხვევით გამოძახებულმა მოსწავლემ იცის 20 კითხვაზე პასუხი და ბ 4 - შემთხვევით გამოძახებულმა მოსწავლემ იცის 15 კითხვაზე პასუხი. გაითვალისწინეთ მოვლენები ბ 1 ,ბ 2 ,ბ 3 და ბ 4 შეუთავსებელია, ქმნის სრულ ჯგუფს და მოვლენას აშეიძლება მოხდეს, თუ რომელიმე ეს მოვლენა მოხდება. ამიტომ მოვლენის ალბათობის გამოთვლა აჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ საერთო ალბათობის ფორმულა (1.6):

პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით ცნობილია ჰიპოთეზების ალბათობა

P( ბ 1) = , P( ბ 2) = , P( ბ 3) = , P( ბ 4) =

და პირობითი ალბათობები (შესაძლებლობა ოთხი ჯგუფის მოსწავლეებისთვის, რომ უპასუხონ კითხვას)

1, = , = , = .

ამრიგად,

P( ა) = ×1 + × + × + × = .

დავუშვათ, რომ ჩატარდა ტესტი, რის შედეგადაც მოხდა მოვლენა ადა რომელი მოვლენა ბ ი (მე =1, 2,…, ნ) მოხდა მკვლევარისთვის ცნობილი. ჰიპოთეზების ალბათობის შესაფასებლად მას შემდეგ, რაც ტესტის შედეგი გახდება ცნობილი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ბეისის ფორმულები

აქ P( ა) გამოითვლება საერთო ალბათობის ფორმულით (1.6).

მაგალითი 1.19.გარკვეულ ქარხანაში I მანქანა აწარმოებს მთლიანი პროდუქტის 40%-ს, ხოლო მანქანა II აწარმოებს 60%-ს. I მანქანით წარმოებული 1000 ერთეულიდან საშუალოდ 9 არის დეფექტური, ხოლო II მანქანას აქვს 500 დეფექტური ერთეულიდან 4. რა არის იმის ალბათობა, რომ იგი წარმოებული იყო II მანქანით?

გადაწყვეტილება.შემოვიღოთ აღნიშვნა: ა- მოვლენა, რომელიც შედგება იმაში, რომ ყოველდღიური წარმოებიდან შემთხვევით შერჩეული წარმოების ერთეული დეფექტი აღმოჩნდა, ბ ი- წარმოების ერთეული, რომელიც არჩეულია შემთხვევით, მზადდება მანქანით მე(მე= I, II). Ივენთი ბ 1 და ბ 2 შეუთავსებელია და ქმნიან სრულ ჯგუფს და მოვლენას აშეიძლება მოხდეს მხოლოდ ერთ-ერთი ამ მოვლენის დადგომის შედეგად. ცნობილია, რომ ღონისძიება ამოხდა (შემთხვევით შერჩეული წარმოების ერთეული დეფექტი აღმოჩნდა). რომელი მოვლენა ბ 1 ან ბ 2, ამავე დროს, უცნობია, რადგან უცნობია, რომელ მანქანაზეა დამზადებული შერჩეული ნივთი. ჰიპოთეზის ალბათობის შეფასება ბ 2 შეიძლება განხორციელდეს ბეიზის ფორმულის გამოყენებით (1.7):

სადაც დეფექტური პროდუქტის შემთხვევითი შერჩევის ალბათობა გამოითვლება საერთო ალბათობის ფორმულით (1.6):

იმის გათვალისწინებით, რომ პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე

P( ბ 1) = 0.40, P( ბ 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008,

დამოუკიდებელი ცდების თანმიმდევრობა

სამეცნიერო და პრაქტიკულ საქმიანობაში მუდმივად საჭიროა განმეორებითი ტესტების ჩატარება მსგავს პირობებში. როგორც წესი, წინა ტესტების შედეგები გავლენას არ მოახდენს შემდგომ ტესტებზე. ასეთი ტესტების უმარტივესი ტიპი ძალიან მნიშვნელოვანია, როდესაც თითოეულ ტესტში რაიმე მოვლენაა აშეიძლება გამოჩნდეს იგივე ალბათობით და ეს ალბათობა იგივე რჩება, მიუხედავად წინა ან შემდგომი ტესტების შედეგებისა. ამ ტიპის ტესტი პირველად იაკობ ბერნულმა გამოიკვლია და ამიტომ ე.წ ბერნულის სქემები.

ბერნულის სქემა.დაე, წარმოიქმნას ნდამოუკიდებელი ტესტები მსგავს პირობებში (ან ტარდება იგივე ექსპერიმენტი ნჯერ), რომელთაგან თითოეულში ხდება ღონისძიება აშეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს. ამ შემთხვევაში მოვლენის დადგომის ალბათობა ათითოეულ საცდელში არის იგივე და თანაბარი გვ. მაშასადამე, მოვლენის არ დადგომის ალბათობა ათითოეულ ინდივიდუალურ ტესტში ასევე მუდმივი და ტოლია ქ= 1 - გვ.

ალბათობა იმისა, რომ ამ პირობებში მოვლენა აზუსტად ახდება კჯერ (და, შესაბამისად, არ განხორციელდება ნ – კჯერ) შეიძლება მოიძებნოს მიერ ბერნულის ფორმულა

ამ შემთხვევაში, მოვლენის მოვლენის თანმიმდევრობა ამითითებულში ნტესტები შეიძლება იყოს თვითნებური.

მაგალითი 1.20.ალბათობა იმისა, რომ მომხმარებელს დასჭირდება 41 ზომის ფეხსაცმელი არის 0.2. იპოვეთ ალბათობა, რომ პირველი 5 მყიდველიდან ამ ზომის ფეხსაცმელი დაგჭირდებათ: ა) ერთი; ბ) ერთი მაინც; გ) არანაკლებ სამი; დ) ერთზე მეტი და ოთხზე ნაკლები.

გადაწყვეტილება.ამ მაგალითში იგივე გამოცდილება (ფეხსაცმლის არჩევა) შესრულებულია 5-ჯერ და მოვლენის ალბათობა არის ა- არჩეულია 41-ე ზომის ფეხსაცმელი - მუდმივია და 0,2-ის ტოლია. გარდა ამისა, თითოეული ინდივიდუალური ტესტის შედეგი არ მოქმედებს სხვა ექსპერიმენტებზე, რადგან. მყიდველები ფეხსაცმელს ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ირჩევენ. აქედან გამომდინარე, გვაქვს ბერნულის სქემის მიხედვით ჩატარებული ტესტების თანმიმდევრობა, რომელშიც ნ = 5, გვ = 0,2, ქ= 0.8. დასმულ კითხვებზე პასუხის გასაცემად საჭიროა გამოვთვალოთ ალბათობები P 5 ( კ). ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (1.8).

ა) P 5 (1) = = 0,4096;

ბ) P 5 ( კ³ 1) = 1 - P 5 ( კ < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232;

გ) P 5 ( კ³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0,5792;

დ) P 5 (1< კ < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256.

ბერნულის ფორმულის (1.32) გამოყენება n და m-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის დიდ სირთულეებს იწვევს, რადგან ეს მოიცავს რთულ გამოთვლებს. ამრიგად, n = 200, m = 116, p = 0.72, ბერნულის ფორმულა იღებს ფორმას P 200 (116) = (0.72) 116 (0.28) 84. შედეგის გამოთვლა თითქმის შეუძლებელია. P n (m) გაანგარიშება ასევე იწვევს სირთულეებს p (q) მცირე მნიშვნელობებისთვის. საჭიროა იპოვოთ სავარაუდო ფორმულები P n (m) გამოსათვლელად, რაც უზრუნველყოფს საჭირო სიზუსტეს. ასეთი ფორმულები გვაძლევს ზღვრულ თეორემებს; ისინი შეიცავს ეგრეთ წოდებულ ასიმპტოტურ ფორმულებს, რომლებიც დიდი ტესტის მნიშვნელობებისთვის იძლევა თვითნებურად მცირე ფარდობით შეცდომას. განვიხილოთ სამი ზღვრული თეორემა, რომელიც შეიცავს ასიმპტოტურ ფორმულებს P n (m) ალბათობის n-ის სახით გამოსათვლელად.

თეორემა 1.5.თუ ცდების რაოდენობა იზრდება განუსაზღვრელი ვადით (n) და A მოვლენის დადგომის p ალბათობა თითოეულ ცდაში მცირდება განუსაზღვრელი ვადით (p), მაგრამ ისე, რომ მათი პროდუქტი pr არის მუდმივი მნიშვნელობა (pr = a = const) , მაშინ ალბათობა P n (m) აკმაყოფილებს ზღვრულ ტოლობას

გამოხატულებას (1.9) ეწოდება ასიმპტომური პუასონის ფორმულა.

ზღვრული თანასწორობიდან (1.9) დიდი n-სთვის და პატარა p-ისთვის მიჰყვება პუასონის სავარაუდო ფორმულას.

ფორმულა (1.10) გამოიყენება მაშინ, როდესაც ალბათობა p = წარმატება ძალიან მცირეა, ანუ თავად წარმატება (A მოვლენის გამოჩენა) იშვიათი მოვლენაა (მაგალითად, ლატარიის ბილეთით მანქანის მოგება), მაგრამ საცდელების რაოდენობა. n დიდია, წარმატებების საშუალო რაოდენობა pr = ოდნავ. სავარაუდო ფორმულა (1.10) ჩვეულებრივ გამოიყენება, როდესაც n 50 და pr 10.

პუასონის ფორმულა პოულობს გამოყენებას რიგის თეორიაში.

მოვლენების ნაკადი არის მოვლენების თანმიმდევრობა, რომლებიც ხდება შემთხვევით დროს (მაგალითად, ვიზიტორთა ნაკადი პარიკმახერში, ზარების ნაკადი სატელეფონო სადგურზე, ელემენტების შეფერხების ნაკადი, აბონენტების მომსახურე ნაკადი და ა.შ.).

მოვლენათა ნაკადს, რომელსაც აქვს სტაციონარული, ჩვეულებრივობისა და შედეგების არარსებობის თვისებები, ეწოდება უმარტივესი (პუასონის) ნაკადი.

სტაციონარული თვისება ნიშნავს, რომ k მოვლენების დადგომის ალბათობა სიგრძის დროის ინტერვალში დამოკიდებულია მხოლოდ მის სიგრძეზე (ე.ი. არ არის დამოკიდებული მის წარმოშობაზე). შესაბამისად, მოვლენების საშუალო რაოდენობა, რომლებიც ჩნდება დროის ერთეულზე, ე.წ. ნაკადის ინტენსივობა, არის მუდმივი მნიშვნელობა: ტ) = .

ჩვეულებრივის თვისება ნიშნავს, რომ მოვლენა არ ჩნდება ჯგუფებად, არამედ სათითაოდ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთზე მეტი მოვლენის დადგომის ალბათობა დროის მცირე მონაკვეთში t უმნიშვნელოდ მცირეა მხოლოდ ერთი მოვლენის დადგომის ალბათობასთან შედარებით (მაგალითად, ნავების ნაკადი ნავმისადგომთან არის ჩვეულებრივი).

შედეგის არარსებობის თვისება ნიშნავს, რომ k მოვლენების დადგომის ალბათობა სიგრძის ნებისმიერ დროს ინტერვალში არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რამდენი მოვლენა გამოჩნდა ნებისმიერ სხვა სეგმენტზე, რომელიც არ კვეთს მას (ამბობენ: "მომავალი" ნაკადი არ არის დამოკიდებული "წარსულზე", მაგალითად, სუპერმარკეტში შემავალი ხალხის ნაკადი).

შეიძლება დადასტურდეს, რომ უმარტივესი დინების m მოვლენების წარმოშობის ალბათობა t ხანგრძლივობის დროს განისაზღვრება პუასონის ფორმულით.

გამოიყენეთ ბერნულის ფორმულა დიდი მნიშვნელობებისთვის ნსაკმარისად რთულია, რადგან ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეასრულოთ ოპერაციები უზარმაზარ რაოდენობაზე. გამოთვლები შეიძლება გამარტივდეს ფაქტორული ცხრილების ან ტექნიკური საშუალებების (კალკულატორი, კომპიუტერი) გამოყენებით. მაგრამ ამ შემთხვევაში, შეცდომები გროვდება გაანგარიშების პროცესში. აქედან გამომდინარე, საბოლოო შედეგი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ნამდვილისგან. არის განაცხადის საჭიროება მიახლოებითი (ასიმპტომური) ფორმულები.

შენიშვნა 1.8.ფუნქცია გ(x) უწოდებენ ვ ფუნქციის ასიმპტომური მიახლოება(x), თუ.

თეორემა 1.6. (ლოკალური მოივრე-ლაპლასის თეორემა) თუ ალბათობა გვმოვლენის დადგომა ათითოეულ საცდელში არის მუდმივი და განსხვავდება 0-დან და 1-დან, და დამოუკიდებელი ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა აგამოჩნდება ნზუსტად ბერნულის სქემის მიხედვით ჩატარებული ტესტები კჯერ, დაახლოებით თანაბარი (რაც უფრო ზუსტია, მით მეტი ნ)

ფუნქციის გრაფიკს აქვს ნახ. 1.3.

გასათვალისწინებელია, რომ:

ა) ფუნქცია φ(x) ლუწია, ანუ φ(-x) = φ(x);

ფუნქციისთვის ჯ(x) შედგენილია მნიშვნელობების ცხრილები x³ 0. იყიდება x< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция ჯ(x) თანაბარია.

თეორემა 1.7. (მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა) თუ ალბათობა გვღონისძიება ათითოეულ საცდელში არის მუდმივი და განსხვავდება 0-დან და 1-დან, მაშინ ალბათობა P ნ(კ 1 , კ 2) რომ მოვლენა აგამოჩნდება ნბერნულის სქემის მიხედვით ჩატარებული ტესტები, დან კ 1-მდე კ 2-ჯერ, დაახლოებით თანაბარი

Აქ ზ 1 და ზ 2 განსაზღვრულია (1.14).

მაგალითი 1.21.თესლის გაღივება ფასდება 0,85 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა, რომ 500 დათესილი თესლიდან ამოიზარდოს: ა) 425 თესლი; ბ) 425-დან 450 თესლამდე.

გადაწყვეტილება.აქ, როგორც წინა მაგალითში, არსებობს ბერნულის სქემის მიხედვით ჩატარებული დამოუკიდებელი ტესტების თანმიმდევრობა (ექსპერიმენტი - ერთი თესლის დარგვა, მოვლენა ა- ამოიზარდა თესლი ნ = 500, გვ = 0,85, ქ= 0.15. ვინაიდან საცდელების რაოდენობა დიდია ( ნ> 100), ვიყენებთ ასიმპტოტურ ფორმულებს (1.10) და (1.13) საჭირო ალბათობების გამოსათვლელად.

ბ) »F(3.13)–F(0)»0.49.

თუ ცდების რაოდენობა ნბერნულის სქემის მიხედვით განხორციელებული დიდია და ალბათობა გვმოვლენის დადგომა ათითოეულ მათგანში არის პატარა ( გვ£ 0,1), მაშინ ლაპლასის ასიმპტომური ფორმულა უვარგისია. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ ასიმპტომური პუასონის ფორმულა

სადაც l = np.

მაგალითი 1.22.მაღაზიამ მიიღო 1000 ბოთლი მინერალური წყალი. ტრანზიტის დროს ბოთლის გატეხვის ალბათობა არის 0,003. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მაღაზიამ გატეხილი ბოთლები მიიღო: ა) ზუსტად 2; ბ) 2-ზე ნაკლები; გ) ერთი მაინც.

გადაწყვეტილება.ამ პრობლემაში არის ბერნულის სქემის მიხედვით ჩატარებული დამოუკიდებელი ტესტების თანმიმდევრობა (ექსპერიმენტი - ერთი ბოთლის მთლიანობის შემოწმება, მოვლენა ა- ბოთლი გატეხილია ნ = 1000, გვ = 0,003, ქ= 0.997. იმიტომ რომ საცდელების რაოდენობა დიდია ( ნ> 100) და ალბათობა გვპატარა ( გვ < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что ლ=3.

ა) = 4,5 ე-3 » 0,224;

ბ) P 1000 ( კ < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4ე-3 » 0,199;

გ) P 1000 ( კ³ 1) = 1 - P 1000 ( კ < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - ე-3 » 0,95.

ლოკალური და ინტეგრალური მოივრე-ლაპლასის თეორემები უფრო ზოგადის დასკვნაა ცენტრალური ლიმიტის თეორემა. ბევრი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი აქვს ნორმალურიგანაწილება. ეს გარემოება დიდწილად განისაზღვრება იმით, რომ შემთხვევითი ცვლადების დიდი რაოდენობის შეჯამება ძალიან განსხვავებული განაწილების კანონებით იწვევს ამ ჯამის ნორმალურ განაწილებას.

თეორემა . თუ შემთხვევითი ცვლადი არის ძალიან დიდი რაოდენობის ურთიერთდამოუკიდებელ შემთხვევითი ცვლადების ჯამი, რომელთაგან თითოეულის გავლენა უმნიშვნელოა მთელ ჯამზე, მაშინ მას აქვს განაწილება ნორმასთან ახლოს. .

ცენტრალურ ზღვრულ თეორემას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს.

დავუშვათ, გარკვეული ეკონომიკური მაჩვენებელი განისაზღვრება, მაგალითად, ელექტროენერგიის მოხმარება ქალაქში წლის განმავლობაში. მთლიანი მოხმარების ღირებულება არის ინდივიდუალური მომხმარებლების მიერ ენერგიის მოხმარების ჯამი, რომელსაც აქვს შემთხვევითი მნიშვნელობები სხვადასხვა განაწილებით. თეორემა ამბობს, რომ ამ შემთხვევაში, როგორიც არ უნდა იყოს ცალკეული კომპონენტების განაწილება, მიღებული მოხმარების განაწილება ნორმალურთან ახლოს იქნება.