სწორი ხაზის ფორმულა ფუნქციის გრაფიკზე. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები

1. წრფივი წილადი ფუნქცია და მისი გრაფიკი

y = P(x) / Q(x) ფორმის ფუნქციას, სადაც P(x) და Q(x) მრავალწევრებია, წილადი რაციონალური ფუნქცია ეწოდება.

თქვენ ალბათ უკვე იცნობთ რაციონალური რიცხვების ცნებას. ანალოგიურად რაციონალური ფუნქციებიარის ფუნქციები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მრავალწევრის კოეფიციენტად.

თუ წილადი რაციონალური ფუნქცია არის ორი წრფივი ფუნქციის - პირველი ხარისხის მრავალწევრების კოეფიციენტი, ე.ი. ნახვის ფუნქცია

y = (ax + b) / (cx + d), მაშინ მას ეწოდება წილადი წრფივი.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციაში y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (წინააღმდეგ შემთხვევაში ფუნქცია ხდება წრფივი y = ax/d + b/d) და რომ a/c ≠ b/d (წინააღმდეგ შემთხვევაში ფუნქცია მუდმივია). წრფივი წილადი ფუნქცია განისაზღვრება ყველა რეალური რიცხვისთვის, გარდა x = -d/c. წრფივი წილადი ფუნქციების გრაფიკები ფორმაში არ განსხვავდება იმ გრაფიკისგან, რომელიც თქვენ იცით y = 1/x. მრუდი, რომელიც არის y = 1/x ფუნქციის გრაფიკი, ეწოდება ჰიპერბოლა. აბსოლუტურ მნიშვნელობაში x-ის შეუზღუდავი ზრდით, ფუნქცია y = 1/x განუსაზღვრელი ვადით მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში და გრაფიკის ორივე ტოტი უახლოვდება აბსცისის ღერძს: მარჯვენა უახლოვდება ზემოდან, მარცხენა კი ქვემოდან. ჰიპერბოლის ტოტებით მიახლოებულ ხაზებს მისი ეწოდება ასიმპტოტები.

მაგალითი 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

გადაწყვეტილება.

ავირჩიოთ მთელი რიცხვი: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

ახლა ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = 1/x ფუნქციის გრაფიკიდან შემდეგი გარდაქმნებით: გადაინაცვლეთ 3 ერთეული სეგმენტით მარჯვნივ, გაიჭიმეთ Oy ღერძის გასწვრივ 7-ჯერ და გადაიტანეთ 2 ერთეული სეგმენტი ზემოთ.

ნებისმიერი წილადი y = (ax + b) / (cx + d) შეიძლება ჩაიწეროს იმავე გზით, ხაზგასმით აღვნიშნოთ "მთელი ნაწილი". შესაბამისად, ყველა წრფივი წილადი ფუნქციის გრაფიკები არის ჰიპერბოლები, რომლებიც გადაადგილებულია კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ სხვადასხვა გზით და გადაჭიმულია Oy ღერძის გასწვრივ.

რაიმე თვითნებური წრფივი წილადი ფუნქციის გრაფიკის გამოსასახად სულაც არ არის საჭირო ამ ფუნქციის განმსაზღვრელი წილადის გარდაქმნა. ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ გრაფიკი არის ჰიპერბოლა, საკმარისი იქნება ვიპოვოთ ხაზები, რომლებსაც უახლოვდება მისი ტოტები - ჰიპერბოლის ასიმპტოტები x = -d/c და y = a/c.

მაგალითი 2

იპოვეთ y = (3x + 5)/(2x + 2) ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

გადაწყვეტილება.

ფუნქცია არ არის განსაზღვრული x = -1-ისთვის. აქედან გამომდინარე, ხაზი x = -1 ემსახურება როგორც ვერტიკალური ასიმპტოტი. ჰორიზონტალური ასიმპტოტის საპოვნელად, მოდით გავარკვიოთ, რას უახლოვდება y(x) ფუნქციის მნიშვნელობები, როდესაც არგუმენტი x იზრდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში.

ამისათვის ჩვენ ვყოფთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს x-ზე:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

როგორც x → ∞ წილადი მიდრეკილია 3/2-ისკენ. აქედან გამომდინარე, ჰორიზონტალური ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი y = 3/2.

მაგალითი 3

დახაზეთ ფუნქცია y = (2x + 1)/(x + 1).

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვირჩევთ წილადის "მთლიან ნაწილს":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

ახლა ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = 1/x ფუნქციის გრაფიკიდან შემდეგი გარდაქმნებით: 1 ერთეულის გადანაცვლება მარცხნივ, სიმეტრიული ჩვენება Ox-ის მიმართ და ცვლა. 2 ერთეული ინტერვალით Oy ღერძის გასწვრივ.

განმარტების დომენი D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

მნიშვნელობების დიაპაზონი E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

გადაკვეთის წერტილები ღერძებით: c Oy: (0; 1); გ ოქსი: (-1/2; 0). ფუნქცია იზრდება განმარტების დომენის თითოეულ ინტერვალზე.

პასუხი: სურათი 1.

2. წილადი-რაციონალური ფუნქცია

განვიხილოთ y = P(x) / Q(x) ფორმის წილადი რაციონალური ფუნქცია, სადაც P(x) და Q(x) არის პირველზე მაღალი ხარისხის პოლინომები.

ასეთი რაციონალური ფუნქციების მაგალითები:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ან y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

თუ ფუნქცია y = P(x) / Q(x) არის პირველზე მაღალი ხარისხის ორი მრავალწევრის კოეფიციენტი, მაშინ მისი გრაფიკი, როგორც წესი, უფრო რთული იქნება და ზოგჯერ შეიძლება რთული იყოს მისი ზუსტად აგება. , ყველა დეტალით. თუმცა, ხშირად საკმარისია ისეთი ტექნიკის გამოყენება, როგორიც ზემოთ უკვე შევხვდით.

წილადი იყოს სწორი (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

ცხადია, წილადი რაციონალური ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ ელემენტარული წილადების გრაფიკების ჯამის სახით.

წილადი რაციონალური ფუნქციების გამოსახვა

განვიხილოთ წილადი-რაციონალური ფუნქციის გამოსახვის რამდენიმე გზა.

მაგალითი 4

დახაზეთ ფუნქცია y = 1/x 2 .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიყენებთ y \u003d x 2 ფუნქციის გრაფიკს გრაფიკის y \u003d 1 / x 2 გამოსაყენებლად და ვიყენებთ გრაფიკების "გაყოფის" მეთოდს.

დომენი D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

მნიშვნელობების დიაპაზონი E(y) = (0; +∞).

ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები არ არის. ფუნქცია თანაბარია. იზრდება ყველა x-ისთვის ინტერვალიდან (-∞; 0), x-ისთვის მცირდება 0-დან +∞-მდე.

პასუხი: სურათი 2.

მაგალითი 5

დახაზეთ ფუნქცია y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

გადაწყვეტილება.

დომენი D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

აქ გამოვიყენეთ ფაქტორინგის, შემცირების და ხაზოვან ფუნქციამდე შემცირების ტექნიკა.

პასუხი: სურათი 3.

მაგალითი 6

დახაზეთ ფუნქცია y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

გადაწყვეტილება.

განმარტების დომენი არის D(y) = R. ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ. შედგენის დაწყებამდე ჩვენ კვლავ გარდაქმნით გამონათქვამს მთელი რიცხვის ნაწილის ხაზგასმით:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

გაითვალისწინეთ, რომ წილადი-რაციონალური ფუნქციის ფორმულაში მთელი ნაწილის შერჩევა ერთ-ერთი მთავარია გრაფიკების გამოსახვისას.

თუ x → ±∞, მაშინ y → 1, ე.ი. ხაზი y = 1 არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

პასუხი: სურათი 4.

მაგალითი 7

განვიხილოთ ფუნქცია y = x/(x 2 + 1) და შეეცადეთ იპოვოთ ზუსტად მისი უდიდესი მნიშვნელობა, ე.ი. ყველაზე მაღალი წერტილი გრაფიკის მარჯვენა ნახევარში. ამ გრაფიკის ზუსტად ასაგებად, დღევანდელი ცოდნა საკმარისი არ არის. აშკარაა, რომ ჩვენი მრუდი ძალიან მაღლა ვერ „აძვრება“, ვინაიდან მნიშვნელი სწრაფად იწყებს მრიცხველის „გასწრებას“. ვნახოთ, შეიძლება თუ არა ფუნქციის მნიშვნელობა იყოს 1-ის ტოლი. ამისათვის თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. ამ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები. ასე რომ, ჩვენი ვარაუდი მცდარია. ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რომელ უმსხვილეს A-სთვის ექნება გამოსავალი განტოლებას A \u003d x / (x 2 + 1). შევცვალოთ საწყისი განტოლება კვადრატულით: Ax 2 - x + A \u003d 0. ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი, როდესაც 1 - 4A 2 ≥ 0. აქედან ვპოულობთ უდიდეს მნიშვნელობას A \u003d 1/2.

პასუხი: ნახაზი 5, max y(x) = ½.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ააწყოთ ფუნქციების გრაფიკები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

წრფივი ფუნქცია არის y=kx+b ფორმის ფუნქცია, სადაც x დამოუკიდებელი ცვლადია, k და b არის ნებისმიერი რიცხვი.
წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი.

1. ფუნქციის გრაფიკის დასახატად,ჩვენ გვჭირდება ფუნქციის გრაფიკის კუთვნილი ორი წერტილის კოორდინატები. მათ მოსაძებნად, თქვენ უნდა აიღოთ ორი x მნიშვნელობა, ჩაანაცვლოთ ისინი ფუნქციის განტოლებაში და გამოთვალოთ შესაბამისი y მნიშვნელობები მათგან.

მაგალითად, y= x+2 ფუნქციის გამოსათვლელად მოსახერხებელია ავიღოთ x=0 და x=3, მაშინ ამ წერტილების ორდინატები უდრის y=2 და y=3. ვიღებთ ქულებს A(0;2) და B(3;3). დავაკავშიროთ ისინი და მივიღოთ y= x+2 ფუნქციის გრაფიკი:

2. ფორმულაში y=kx+b რიცხვს k ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტი:
თუ k>0, მაშინ ფუნქცია y=kx+b იზრდება
თუ კ
კოეფიციენტი b გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკის ცვლას OY ღერძის გასწვრივ:
თუ b>0, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y=kx ფუნქციის გრაფიკიდან b ერთეულების ზემოთ OY ღერძის გასწვრივ გადაწევით.
თუ ბ
ქვემოთ მოყვანილ სურათზე ნაჩვენებია y=2x+3 ფუნქციების გრაფიკები; y= ½x+3; y=x+3

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ამ ფუნქციაში კოეფიციენტი k ნულის ზემოთ,და ფუნქციებია იზრდება.უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია k-ის მნიშვნელობა, მით მეტია სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე OX ღერძის დადებითი მიმართულებით.

ყველა ფუნქციაში b=3 - და ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;3) წერტილში.

ახლა განვიხილოთ y=-2x+3 ფუნქციების გრაფიკები; y=- ½ x+3; y=-x+3

ამჯერად ყველა ფუნქციაში კოეფიციენტი k ნულზე ნაკლებიდა თვისებები შემცირება.კოეფიციენტი b=3 და გრაფიკები, როგორც წინა შემთხვევაში, კვეთენ OY ღერძს (0;3) წერტილში.

განვიხილოთ y=2x+3 ფუნქციების გრაფიკები; y=2x; y=2x-3

ახლა, ფუნქციების ყველა განტოლებაში k კოეფიციენტები უდრის 2-ს. და მივიღეთ სამი პარალელური წრფე.

მაგრამ b კოეფიციენტები განსხვავებულია და ეს გრაფიკები კვეთენ OY ღერძს სხვადასხვა წერტილში:
y=2x+3 (b=3) ფუნქციის გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;3) წერტილში.
y=2x (b=0) ფუნქციის გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;0) – საწყის წერტილში.
y=2x-3 (b=-3) ფუნქციის გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;-3) წერტილში.

ასე რომ, თუ ვიცით k და b კოეფიციენტების ნიშნები, მაშინვე შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, როგორ გამოიყურება y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი.
Თუ k 0

Თუ k>0 და b>0, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

Თუ k>0 და ბ, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

Თუ k, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

Თუ k=0, შემდეგ ფუნქცია y=kx+b გადაიქცევა y=b ფუნქციად და მისი გრაფიკი ასე გამოიყურება:

y=b ფუნქციის გრაფიკის ყველა წერტილის ორდინატები უდრის b თუ b=0, მაშინ y=kx ფუნქციის გრაფიკი (პირდაპირი პროპორციულობა) გადის საწყისში:

3. ცალკე აღვნიშნავთ x=a განტოლების გრაფიკს.ამ განტოლების გრაფიკი არის სწორი ხაზი OY ღერძის პარალელურად, რომლის ყველა წერტილს აქვს აბსციზა x=a.

მაგალითად, x=3 განტოლების გრაფიკი ასე გამოიყურება:
ყურადღება!განტოლება x=a არ არის ფუნქცია, რადგან არგუმენტის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, რაც არ შეესაბამება ფუნქციის განმარტებას.

4. ორი წრფის პარალელურობის პირობა:

y=k 1 x+b 1 ფუნქციის გრაფიკი პარალელურია y=k 2 x+b 2 ფუნქციის გრაფიკის, თუ k 1 =k 2.

5. ორი სწორი ხაზის პერპენდიკულარული პირობა:

y=k 1 x+b 1 ფუნქციის გრაფიკი პერპენდიკულარულია y=k 2 x+b 2 ფუნქციის გრაფიკზე, თუ k 1 *k 2 =-1 ან k 1 =-1/k 2

6. y=kx+b ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან.

OY ღერძით. OY ღერძის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის აბსციზა ნულის ტოლია. ამიტომ, OY ღერძთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად, ფუნქციის განტოლებაში x-ის ნაცვლად უნდა ჩაანაცვლოთ ნული. ვიღებთ y=b. ანუ OY ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები (0;b).

x ღერძით: x ღერძის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის ორდინატი არის ნული. ამიტომ, OX ღერძთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად, ფუნქციის განტოლებაში y-ის ნაცვლად ნული უნდა ჩაანაცვლოთ. ვიღებთ 0=kx+b. აქედან გამომდინარე x=-b/k. ანუ, OX ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები (-b / k; 0):

მოდი ვნახოთ, როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია გრაფიკის გამოყენებით. გამოდის, რომ გრაფიკის დათვალიერებისას შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს, კერძოდ:

• ფუნქციის ფარგლები
• ფუნქციის დიაპაზონი
• ფუნქცია ნულები
• ზრდისა და შემცირების პერიოდები
• მაღალი და დაბალი წერტილები
• ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე.

მოდით დავაზუსტოთ ტერმინოლოგია:

აბსციზაარის წერტილის ჰორიზონტალური კოორდინატი.
ორდინატი- ვერტიკალური კოორდინატი.
აბსცისა- ჰორიზონტალური ღერძი, რომელსაც ყველაზე ხშირად უწოდებენ ღერძს.
Y-ღერძი- ვერტიკალური ღერძი, ან ღერძი.

არგუმენტიარის დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელზედაც დამოკიდებულია ფუნქციის მნიშვნელობები. ყველაზე ხშირად მითითებულია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ, ჩავნაცვლებთ ფუნქციის ფორმულაში და ვიღებთ.

დომენიფუნქციები - არგუმენტის იმ (და მხოლოდ იმ) მნიშვნელობების ნაკრები, რომლისთვისაც არსებობს ფუნქცია.
აღინიშნება: ან .

ჩვენს ფიგურაში ფუნქციის დომენი არის სეგმენტი. სწორედ ამ სეგმენტზეა დახატული ფუნქციის გრაფიკი. მხოლოდ აქ არის ეს ფუნქცია.

ფუნქციის დიაპაზონიარის მნიშვნელობების ნაკრები, რომელსაც იღებს ცვლადი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის სეგმენტი - ყველაზე დაბალიდან უმაღლეს მნიშვნელობამდე.

ფუნქცია ნულები- წერტილები, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ე.ი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის პუნქტები და .

ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითიასად . ჩვენს ფიგურაში ეს არის ინტერვალები და .
ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითიასად . ჩვენ გვაქვს ეს ინტერვალი (ან ინტერვალი) დან.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებები - ფუნქციების გაზრდა და შემცირებარაღაც კომპლექტზე. როგორც ნაკრები, შეგიძლიათ აიღოთ სეგმენტი, ინტერვალი, ინტერვალების გაერთიანება ან მთელი რიცხვითი ხაზი.

ფუნქცია იზრდება

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო მეტი, მით მეტი, ანუ გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ზემოთ.

ფუნქცია მცირდებასიმრავლეზე თუ რომელიმე და სიმრავლის კუთვნილება უტოლობა გულისხმობს უტოლობას.

კლებადი ფუნქციისთვის, უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება მცირე მნიშვნელობას. გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ქვევით.

ჩვენს ფიგურაში ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალებზე და .

მოდით განვსაზღვროთ რა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

მაქსიმალური ქულა- ეს არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა უფრო დიდია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მაქსიმალური წერტილი არის ისეთი წერტილი, ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელშიც მეტივიდრე მეზობელებში. ეს არის ადგილობრივი "გორაკი" ჩარტზე.

ჩვენს ფიგურაში - მაქსიმალური ქულა.

დაბალი წერტილი- განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
ანუ მინიმალური წერტილი ისეთია, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მეზობელებში. გრაფიკზე, ეს არის ადგილობრივი "ხვრელი".

ჩვენს ფიგურაში - მინიმალური ქულა.

წერტილი არის საზღვარი. ეს არ არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი და, შესაბამისად, არ შეესაბამება მაქსიმალური წერტილის განმარტებას. ბოლოს და ბოლოს, მას მეზობლები არ ჰყავს მარცხენა მხარეს. ანალოგიურად, არ შეიძლება იყოს მინიმალური წერტილი ჩვენს სქემაზე.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები იწოდება ერთობლივად ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის და .

მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ, მაგალითად, ფუნქციის მინიმუმიჭრილზე? ამ შემთხვევაში პასუხი ასეთია: რადგან ფუნქციის მინიმუმიარის მისი მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში.

ანალოგიურად, ჩვენი ფუნქციის მაქსიმალური არის . ის მიღწეულია წერტილში.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის უკიდურესობები ტოლია და .

ზოგჯერ ამოცანებში უნდა იპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიმოცემულ სეგმენტზე. ისინი სულაც არ ემთხვევა უკიდურესობებს.

ჩვენს შემთხვევაში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობაინტერვალზე უდრის და ემთხვევა ფუნქციის მინიმუმს. მაგრამ მისი უდიდესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტზე უდრის . იგი მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში.

ნებისმიერ შემთხვევაში, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თანდაყოლილი თვისებები და შესაბამისი გრაფიკები არის მათემატიკური ცოდნის ერთ-ერთი საფუძველი, გამრავლების ცხრილის მსგავსი მნიშვნელობით. ელემენტარული ფუნქციები არის საფუძველი, მხარდაჭერა ყველა თეორიული საკითხის შესწავლისთვის.

ქვემოთ მოცემულ სტატიაში მოცემულია ძირითადი მასალა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თემაზე. გავაცნობთ ტერმინებს, მივცემთ მათ განმარტებებს; მოდით დეტალურად შევისწავლოთ ელემენტარული ფუნქციების თითოეული ტიპი და გავაანალიზოთ მათი თვისებები.

გამოირჩევა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების შემდეგი ტიპები:

განმარტება 1

• მუდმივი ფუნქცია (მუდმივი);
• n ხარისხის ფესვი;
• დენის ფუნქცია;
• ექსპონენციალური ფუნქცია;
• ლოგარითმული ფუნქცია;
• ტრიგონომეტრიული ფუნქციები;
• ძმური ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მუდმივი ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით: y = C (C არის რეალური რიცხვი) და ასევე აქვს სახელი: მუდმივი. ეს ფუნქცია განსაზღვრავს, შეესაბამება თუ არა x დამოუკიდებელი ცვლადის რომელიმე რეალური მნიშვნელობა y ცვლადის იგივე მნიშვნელობას - მნიშვნელობა C .

მუდმივის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც პარალელურია x ღერძისა და გადის წერტილში, რომელსაც აქვს კოორდინატები (0, C). სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ მუდმივი ფუნქციების გრაფიკებს y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (ნახაზზე აღნიშნულია შესაბამისად შავი, წითელი და ლურჯი ფერებით).

განმარტება 2

ეს ელემენტარული ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით y = x n (n არის ერთზე მეტი ბუნებრივი რიცხვი).

განვიხილოთ ფუნქციის ორი ვარიაცია.

1. n-ე ხარისხის ფესვი, n არის ლუწი რიცხვი

სიცხადისთვის, ჩვენ მივუთითებთ ნახატს, რომელიც აჩვენებს ასეთი ფუნქციების გრაფიკებს: y = x, y = x 4 და y = x 8. ეს ფუნქციები ფერადი კოდირებულია: შავი, წითელი და ლურჯი, შესაბამისად.

ტოლი ხარისხის ფუნქციის გრაფიკების მსგავსი ხედვა ინდიკატორის სხვა მნიშვნელობებისთვის.

განმარტება 3

n-ე ხარისხის ფუნქციის ფესვის თვისებები, n არის ლუწი რიცხვი

• განსაზღვრების დომენი არის ყველა არაუარყოფითი რეალური რიცხვის სიმრავლე [0, + ∞);
• როდესაც x = 0, ფუნქცია y = x n აქვს ნულის ტოლი მნიშვნელობა;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის არც ლუწი და არც კენტი);
• დიაპაზონი: [0, + ∞);
• ეს ფუნქცია y = x n ფესვის ლუწი მაჩვენებლებით იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• ფუნქციას აქვს ამოზნექილი აღმავალი მიმართულებით განსაზღვრის მთელ დომენზე;
• არ არის დახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გრაფიკი n-ისთვის გადის წერტილებში (0 ; 0) და (1 ; 1) .

1. n-ე ხარისხის ფესვი, n არის კენტი რიცხვი

ასეთი ფუნქცია განისაზღვრება რეალური რიცხვების მთელ სიმრავლეზე. სიცხადისთვის, განიხილეთ ფუნქციების გრაფიკები y = x 3, y = x 5 და x 9 . ნახატზე ისინი მითითებულია ფერებით: მრუდების შავი, წითელი და ლურჯი ფერები, შესაბამისად.

y = x n ფუნქციის ფესვის მაჩვენებლის სხვა უცნაური მნიშვნელობები მისცემს მსგავსი ფორმის გრაფიკს.

განმარტება 4

n-ე ხარისხის ფუნქციის ფესვის თვისებები, n არის კენტი რიცხვი

• განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე;
• ეს ფუნქცია უცნაურია;
• მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები;
• ფუნქცია y = x n ფესვის კენტი მაჩვენებლებით იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• ფუნქციას აქვს ჩაზნექილი ინტერვალზე (- ∞ ; 0 ] და ამოზნექილი ინტერვალზე [0, + ∞);
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები (0 ; 0);
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• კენტი n ფუნქციის გრაფიკი გადის წერტილებში (- 1 ; - 1), (0 ; 0) და (1 ; 1) .

დენის ფუნქცია

განმარტება 5

სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით y = x a.

გრაფიკების ტიპი და ფუნქციის თვისებები დამოკიდებულია მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე.

• როდესაც სიმძლავრის ფუნქციას აქვს მთელი რიცხვი a მაჩვენებელი, მაშინ სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკის ფორმა და მისი თვისებები დამოკიდებულია იმაზე, არის თუ არა მაჩვენებლის ლუწი ან კენტი და ასევე, რა ნიშანი აქვს მაჩვენებელს. ქვემოთ უფრო დეტალურად განვიხილოთ ყველა ეს განსაკუთრებული შემთხვევა;
• მაჩვენებელი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური - აქედან გამომდინარე, ასევე განსხვავდება გრაფიკების ტიპი და ფუნქციის თვისებები. ჩვენ გავაანალიზებთ განსაკუთრებულ შემთხვევებს რამდენიმე პირობის დაყენებით: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• სიმძლავრის ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ნულოვანი მაჩვენებელი, ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ შემთხვევას უფრო დეტალურად ქვემოთ.

გავაანალიზოთ დენის ფუნქცია y = x a როდესაც a არის კენტი დადებითი რიცხვი, მაგალითად, a = 1, 3, 5…

სიცხადისთვის მივუთითებთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკებს: y = x (გრაფიკის შავი ფერი), y = x 3 (დიაგრამის ლურჯი ფერი), y = x 5 (გრაფიკის წითელი ფერი), y = x 7 (მწვანე გრაფიკი). როდესაც a = 1, ვიღებთ წრფივ ფუნქციას y = x.

განმარტება 6

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც მაჩვენებელი კენტი დადებითია

• ფუნქცია იზრდება x ∈-ისთვის (- ∞ ; + ∞) ;
• ფუნქცია ამოზნექილია x ∈-ისთვის (- ∞ ; 0 ] და ჩაზნექილი x ∈-ისთვის [ 0 ; + ∞) (წრფივი ფუნქციის გამოკლებით);
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები (0 ; 0) (წრფივი ფუნქციის გამოკლებით);
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გამსვლელი ქულები: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

გავაანალიზოთ დენის ფუნქცია y = x a როდესაც a არის ლუწი დადებითი რიცხვი, მაგალითად, a = 2, 4, 6 ...

სიცხადისთვის, ჩვენ მივუთითებთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკებს: y \u003d x 2 (გრაფიკის შავი ფერი), y = x 4 (გრაფიკის ლურჯი ფერი), y = x 8 (გრაფიკის წითელი ფერი). როდესაც a = 2, ვიღებთ კვადრატულ ფუნქციას, რომლის გრაფიკი არის კვადრატული პარაბოლა.

განმარტება 7

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც მაჩვენებლის მაჩვენებელი დადებითია:

• განმარტების დომენი: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• კლება x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈-ისთვის (- ∞ ; + ∞) ;
• არ არის დახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გამსვლელი ქულები: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკების მაგალითებს y = x a როდესაც a არის კენტი უარყოფითი რიცხვი: y = x - 9 (სქემის შავი ფერი); y = x - 5 (დიაგრამის ლურჯი ფერი); y = x - 3 (დიაგრამის წითელი ფერი); y = x - 1 (მწვანე გრაფიკი). როდესაც \u003d - 1, ჩვენ ვიღებთ შებრუნებულ პროპორციულობას, რომლის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა.

განმარტება 8

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც ექსპონენტი კენტი უარყოფითია:

როდესაც x \u003d 0, ვიღებთ მეორე სახის შეწყვეტას, რადგან lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ \u003d - 1, - 3, - 5, .... ამრიგად, სწორი ხაზი x = 0 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი;

• დიაპაზონი: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ფუნქცია კენტია, რადგან y (- x) = - y (x) ;
• ფუნქცია მცირდება x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• ფუნქცია ამოზნექილია x ∈-სთვის (- ∞ ; 0) და ჩაზნექილი x ∈-სთვის (0 ; + ∞) ;
• არ არის დახრის წერტილები;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 როდესაც a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• ფუნქციის გამსვლელი ქულები: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკების მაგალითებს y = x a, როდესაც a არის ლუწი უარყოფითი რიცხვი: y = x - 8 (დიაგრამა შავი); y = x - 4 (გრაფიკის ლურჯი ფერი); y = x - 2 (გრაფიკის წითელი ფერი).

განმარტება 9

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც მაჩვენებელი კი უარყოფითია:

• განმარტების დომენი: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

როდესაც x \u003d 0, ვიღებთ მეორე სახის შეწყვეტას, რადგან lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ \u003d - 2, - 4, - 6, .... ამრიგად, სწორი ხაზი x = 0 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი;

• ფუნქცია ლუწია, რადგან y (- x) = y (x) ;
• ფუნქცია იზრდება x ∈-ისთვის (- ∞ ; 0) და მცირდება x ∈ 0-ისთვის; +∞ ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• არ არის დახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი y = 0, რადგან:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 როდესაც a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• ფუნქციის გამსვლელი ქულები: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

თავიდანვე ყურადღება მიაქციეთ შემდეგ ასპექტს: იმ შემთხვევაში, როდესაც a არის დადებითი წილადი კენტი მნიშვნელით, ზოგიერთი ავტორი ამ ძალაუფლების ფუნქციის განსაზღვრის დომენად იღებს ინტერვალს - ∞; + ∞ , რომელშიც მითითებულია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ამ დროისთვის, მრავალი საგანმანათლებლო პუბლიკაციის ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს, სადაც მაჩვენებელი არის არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების უცნაური მნიშვნელის წილადი. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცავთ ზუსტად ასეთ პოზიციას: ვიღებთ კომპლექტს [0; +∞). რეკომენდაცია მოსწავლეებს: გაარკვიეთ მასწავლებლის თვალსაზრისი ამ ეტაპზე, რათა თავიდან აიცილოთ უთანხმოება.

მოდით შევხედოთ დენის ფუნქციას y = x a როდესაც მაჩვენებელი არის რაციონალური ან ირაციონალური რიცხვი იმ პირობით, რომ 0< a < 1 .

მოდით, გრაფიკებით ავსახოთ დენის ფუნქციები y = x a როდესაც a = 11 12 (დიაგრამა შავი); a = 5 7 (გრაფიკის წითელი ფერი); a = 1 3 (დიაგრამის ლურჯი ფერი); a = 2 5 (გრაფიკის მწვანე ფერი).

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობები (0-ის ვარაუდით< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

განმარტება 10

დენის ფუნქციის თვისებები 0-ზე< a < 1:

• დიაპაზონი: y ∈ [ 0 ; +∞);
• ფუნქცია იზრდება x ∈ [0; +∞);
• ფუნქციას აქვს ამოზნექილი x ∈ (0 ; + ∞) ;
• არ არის დახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;

გავაანალიზოთ დენის ფუნქცია y = x a როდესაც მაჩვენებელი არის არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური რიცხვი იმ პირობით, რომ a > 1 .

ჩვენ ვასახავთ დენის ფუნქციის გრაფიკებს y \u003d x a მოცემულ პირობებში შემდეგი ფუნქციების გამოყენებით მაგალითად: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (შავი, წითელი, ლურჯი, მწვანე გრაფიკები, შესაბამისად).

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობები a > 1-ის პირობებში მისცემს გრაფის მსგავს ხედვას.

განმარტება 11

დენის ფუნქციის თვისებები > 1-ისთვის:

• განმარტების დომენი: x ∈ [ 0 ; +∞);
• დიაპაზონი: y ∈ [ 0 ; +∞);
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის კენტი და ლუწი);
• ფუნქცია იზრდება x ∈ [0; +∞);
• ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ (0 ; + ∞)-სთვის (როდესაც 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• არ არის დახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გამსვლელი ქულები: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ, როცა a არის უარყოფითი წილადი კენტი მნიშვნელით, ზოგიერთი ავტორის ნაშრომში არსებობს მოსაზრება, რომ განსაზღვრების დომენი ამ შემთხვევაში არის ინტერვალი - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) იმ პირობით, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ამ დროისთვის, საგანმანათლებლო მასალების ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცავთ სწორედ ასეთ შეხედულებას: ჩვენ ვიღებთ სიმრავლეს (0 ; + ∞), როგორც ძალაუფლების ფუნქციების დომენს წილადი უარყოფითი მაჩვენებლებით. წინადადება სტუდენტებისთვის: განმარტეთ თქვენი მასწავლებლის ხედვა ამ ეტაპზე, რათა თავიდან აიცილოთ უთანხმოება.

ვაგრძელებთ თემას და ვაანალიზებთ დენის ფუნქციას y = x a მოწოდებულია: - 1< a < 0 .

აქ მოცემულია შემდეგი ფუნქციების გრაფიკების ნახაზი: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (შესაბამისად შავი, წითელი, ლურჯი, მწვანე ხაზები ).

განმარტება 12

დენის ფუნქციის თვისებები - 1-ზე< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ როდესაც - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• დიაპაზონი: y ∈ 0 ; +∞ ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის კენტი და ლუწი);
• არ არის დახრის წერტილები;

ქვემოთ მოყვანილი ნახაზი გვიჩვენებს სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკებს y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (მრუდების შავი, წითელი, ლურჯი, მწვანე ფერები, შესაბამისად).

განმარტება 13

დენის ფუნქციის თვისებები ა< - 1:

• განმარტების დომენი: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ როდესაც a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• დიაპაზონი: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის კენტი და ლუწი);
• ფუნქცია მცირდება x ∈ 0-ზე; +∞ ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ 0-ისთვის; +∞ ;
• არ არის დახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - სწორი ხაზი y = 0 ;
• ფუნქციის გამტარი წერტილი: (1 ; 1) .

როდესაც \u003d 0 და x ≠ 0, ვიღებთ ფუნქციას y \u003d x 0 \u003d 1, რომელიც განსაზღვრავს სწორ ხაზს, საიდანაც გამორიცხულია წერტილი (0; 1) (ჩვენ შევთანხმდით, რომ გამოხატულება 0 0 არ იქნება ნებისმიერი მნიშვნელობის გათვალისწინებით).

ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს ფორმა y = a x, სადაც a > 0 და a ≠ 1, და ამ ფუნქციის გრაფიკი განსხვავებულია a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები.

ჯერ გავაანალიზოთ სიტუაცია, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველს აქვს მნიშვნელობა ნულიდან ერთამდე (0< a < 1) . საილუსტრაციო მაგალითია ფუნქციების გრაფიკები a = 1 2 (მრუდის ლურჯი ფერი) და a = 5 6 (მრუდის წითელი ფერი).

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი ფორმა ფუძის სხვა მნიშვნელობებისთვის, იმ პირობით, რომ 0< a < 1 .

განმარტება 14

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე ნაკლებია:

• დიაპაზონი: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის კენტი და ლუწი);
• ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის ბაზაც ერთზე ნაკლებია, მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• არ არის დახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი y = 0 ცვლადი x მიდრეკილია + ∞-ზე;

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია (a > 1).

მოდით ილუსტრაციოთ ეს განსაკუთრებული შემთხვევა y = 3 2 x (მრუდის ლურჯი ფერი) და y = e x (გრაფიკის წითელი ფერი) ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკით.

ბაზის სხვა მნიშვნელობები, ერთზე მეტი, მისცემს მსგავს ხედვას ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკზე.

განმარტება 15

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე მეტია:

• განსაზღვრების დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები;
• დიაპაზონი: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის კენტი და ლუწი);
• ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის ფუძე ერთზე მეტია, იზრდება x ∈ - ∞-ისთვის; +∞ ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ - ∞-ისთვის; +∞ ;
• არ არის დახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - სწორი ხაზი y = 0 ცვლადი x მიდრეკილია - ∞-ზე;
• ფუნქციის გამტარი წერტილი: (0 ; 1) .

ლოგარითმული ფუნქციას აქვს ფორმა y = log a (x) , სადაც a > 0 , a ≠ 1 .

ასეთი ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის: x ∈ 0-სთვის; +∞ .

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკს განსხვავებული ფორმა აქვს, a ფუძის მნიშვნელობაზე დაყრდნობით.

ჯერ განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

ბაზის სხვა მნიშვნელობები, არაუმეტეს ერთი, მსგავს ხედვას მისცემს გრაფიკს.

განმარტება 16

ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე ნაკლებია:

• განმარტების დომენი: x ∈ 0 ; +∞ . რამდენადაც x მარჯვნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია + ∞-ზე;
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის კენტი და ლუწი);
• ლოგარითმული
• ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ 0-ისთვის; +∞ ;
• არ არის დახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;

ახლა გავაანალიზოთ სპეციალური შემთხვევა, როდესაც ლოგარითმული ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია: a > 1 . ქვემოთ მოყვანილ ნახაზზე მოცემულია ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები y = log 3 2 x და y = ln x (გრაფიკების ლურჯი და წითელი ფერები, შესაბამისად).

ბაზის სხვა მნიშვნელობები ერთზე მეტი მისცემს გრაფიკის მსგავს ხედვას.

განმარტება 17

ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე მეტია:

• განმარტების დომენი: x ∈ 0 ; +∞ . რამდენადაც x მარჯვნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია - ∞;
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ნამდვილი რიცხვების მთელი სიმრავლე);
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არ არის კენტი და ლუწი);
• ლოგარითმული ფუნქცია იზრდება x ∈ 0-ისთვის; +∞ ;
• ფუნქციას აქვს ამოზნექილი x ∈ 0; +∞ ;
• არ არის დახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გამტარი წერტილი: (1 ; 0) .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. გავაანალიზოთ თითოეული მათგანის თვისებები და შესაბამისი გრაფიკები.

ზოგადად, ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას ახასიათებს პერიოდულობის თვისება, ე.ი. როდესაც ფუნქციების მნიშვნელობები მეორდება არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება პერიოდის მნიშვნელობით f (x + T) = f (x) (T არის პერიოდი). ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების ჩამონათვალს ემატება პუნქტი „უმცირესი დადებითი პერიოდი“. გარდა ამისა, ჩვენ მივუთითებთ არგუმენტის ისეთ მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც შესაბამისი ფუნქცია ქრება.

1. სინუს ფუნქცია: y = sin(x)

ამ ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება სინუსური ტალღა.

განმარტება 18

სინუსური ფუნქციის თვისებები:

• განსაზღვრების სფერო: ნამდვილ რიცხვთა მთელი სიმრავლე x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ფუნქცია ქრება, როდესაც x = π k , სადაც k ∈ Z (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• ფუნქცია იზრდება x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z და კლება x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• სინუს ფუნქციას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი π 2 + 2 π · k წერტილებში; 1 და ლოკალური მინიმუმები წერტილებში - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈ Z;
• სინუსური ფუნქცია ჩაზნექილია, როდესაც x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z და ამოზნექილი როცა x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• არ არის ასიმპტოტები.

1. კოსინუსის ფუნქცია: y=cos(x)

ამ ფუნქციის გრაფიკს კოსინუსური ტალღა ეწოდება.

განმარტება 19

კოსინუსის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი: T \u003d 2 π;
• დიაპაზონი: y ∈ - 1 ; ერთი ;
• ეს ფუნქცია ლუწია, ვინაიდან y (- x) = y (x) ;
• ფუნქცია იზრდება x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z და კლება x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• კოსინუს ფუნქციას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი 2 π · k წერტილებში; 1 , k ∈ Z და ლოკალური მინიმუმები π + 2 π · k წერტილებში ; - 1 , k ∈ z ;
• კოსინუსის ფუნქცია ჩაზნექილია, როდესაც x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z და ამოზნექილი როცა x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ π 2 + π · k კოორდინატები; 0 , k ∈ Z
• არ არის ასიმპტოტები.

1. ტანგენტის ფუნქცია: y = t გ (x)

ამ ფუნქციის გრაფიკი ე.წ ტანგენტოიდი.

განმარტება 20

ტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , სადაც k ∈ Z (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• ტანგენტის ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვარზე lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . ამრიგად, წრფეები x = π 2 + π · k k ∈ Z არის ვერტიკალური ასიმპტოტები;
• ფუნქცია ქრება, როდესაც x = π k k ∈ Z-სთვის (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ეს ფუნქცია კენტია, რადგან y (- x) = - y (x) ;
• ფუნქცია იზრდება - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• ტანგენტის ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z და ამოზნექილი x ∈-სთვის (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ π k კოორდინატები; 0 , k ∈ Z ;

1. კოტანგენტის ფუნქცია: y = c t g (x)

ამ ფუნქციის გრაფიკს კოტანგენტოიდი ეწოდება. .

განმარტება 21

კოტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების სფერო: x ∈ (π k ; π + π k) , სადაც k ∈ Z (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);

კოტანგენსი ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვარზე lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . ამრიგად, წრფეები x = π k k ∈ Z არის ვერტიკალური ასიმპტოტები;

• ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი: T \u003d π;
• ფუნქცია ქრება, როდესაც x = π 2 + π k k ∈ Z-სთვის (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ეს ფუნქცია კენტია, რადგან y (- x) = - y (x) ;
• ფუნქცია მცირდება x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• კოტანგენტური ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈-სთვის (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z და ამოზნექილია x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ), k ∈ Z ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ π 2 + π · k კოორდინატები; 0 , k ∈ Z ;
• არ არსებობს ირიბი და ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ხშირად, სახელში პრეფიქსი „რკალის“ არსებობის გამო, შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს რკალ ფუნქციებს უწოდებენ. .

1. არქსინის ფუნქცია: y = a r c sin (x)

განმარტება 22

რკალის ფუნქციის თვისებები:

• ეს ფუნქცია კენტია, რადგან y (- x) = - y (x) ;
• რკალის ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ 0-ისთვის; 1 და ამოზნექილი x ∈ - 1 ; 0;
• გადახრის წერტილებს აქვთ კოორდინატები (0 ; 0), ის ასევე არის ფუნქციის ნული;
• არ არის ასიმპტოტები.

1. არკოზინის ფუნქცია: y = a r c cos (x)

განმარტება 23

არკოზინის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - 1 ; ერთი ;
• დიაპაზონი: y ∈ 0 ; π;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმისაა (არც ლუწი და არც კენტი);
• ფუნქცია მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• არკოზინის ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ - 1-ისთვის; 0 და ამოზნექილი x ∈ 0 ; ერთი ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ კოორდინატები 0; π2;
• არ არის ასიმპტოტები.

1. არქტანგენტის ფუნქცია: y = a r c t g (x)

განმარტება 24

არქტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• დიაპაზონი: y ∈ - π 2 ; π2;
• ეს ფუნქცია კენტია, რადგან y (- x) = - y (x) ;
• ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე;
• არქტანგენტის ფუნქცია არის ჩაზნექილი x ∈-ისთვის (- ∞ ; 0 ] და ამოზნექილი x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები (0; 0), ის ასევე არის ფუნქციის ნული;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტები არის სწორი ხაზები y = - π 2 x → - ∞-თვის და y = π 2 x → + ∞-ისთვის (სურათზე ასიმპტოტები მწვანე ხაზებია).

1. რკალის კოტანგენტის ფუნქცია: y = a r c c t g (x)

განმარტება 25

რკალის კოტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• დიაპაზონი: y ∈ (0 ; π) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ტიპისაა;
• ფუნქცია მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• რკალის კოტანგენტის ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ [0; + ∞) და ამოზნექილი x ∈-ისთვის (- ∞ ; 0 ] ;
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები 0; π2;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტები არის სწორი ხაზები y = π x → - ∞ (მწვანე ხაზი ნახაზზე) და y = 0 x → + ∞-ზე.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მას შემდეგ რაც ნამდვილად გაიგებთ რა არის ფუნქცია (შეიძლება მოგიწიოთ გაკვეთილის არაერთხელ წაკითხვა), თქვენ შეძლებთ უფრო თავდაჯერებულად მოაგვაროთ ფუნქციების პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ფუნქციის ამოცანების ძირითადი ტიპები და ფუნქციის გრაფიკები.

როგორ მივიღოთ ფუნქციის მნიშვნელობა

მოდით განვიხილოთ დავალება. ფუნქცია მოცემულია ფორმულით "y \u003d 2x - 1"

1. გამოთვალეთ " y" როდის" x \u003d 15 "
2. იპოვეთ მნიშვნელობა " x", რომლის მნიშვნელობა " y " უდრის" −19".

იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ " y" ერთად" x \u003d 15" საკმარისია ჩაანაცვლოთ საჭირო რიცხვითი მნიშვნელობა ფუნქციაში "x"-ის ნაცვლად.

გამოსავლის ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ " x"ცნობილი" y"-ის მიხედვით", აუცილებელია ფუნქციის ფორმულაში "y"-ის ნაცვლად რიცხვითი მნიშვნელობის ჩანაცვლება.

ანუ, ახლა, პირიქით, მოძებნოთ " x"ჩვენ ვცვლით ფუნქციაში" y \u003d 2x - 1 "ნაცვლად" y ", რიცხვი" −19".

−19 = 2x − 1

მივიღეთ წრფივი განტოლება უცნობი „x“-ით, რომელიც ამოხსნილია წრფივი განტოლებების ამოხსნის წესების მიხედვით.

გახსოვდეს!

არ დაივიწყოთ გადაცემის წესი განტოლებებში.

განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ (და პირიქით) გადატანისას ასო ან რიცხვი ცვლის ნიშანს საწინააღმდეგო.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

როგორც წრფივი განტოლების ამოხსნისას, უცნობის საპოვნელად, ახლა ჩვენ უნდა გავამრავლოთ ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარეს"−1"-მდე ნიშნის შესაცვლელად.

-2x = 18 | (-1)
2x = −18

ახლა მოდით გავყოთ ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარე "2"-ზე, რათა ვიპოვოთ "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

როგორ შევამოწმოთ არის თუ არა თანასწორობა ფუნქციისთვის

მოდით განვიხილოთ დავალება. ფუნქცია მოცემულია ფორმულით "f(x) = 2 − 5x".

მართალია ტოლობა "f(−2) = −18"?

იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა თანასწორობა, თქვენ უნდა შეცვალოთ რიცხვითი მნიშვნელობა "x = −2" ფუნქციაში "f (x) \u003d 2 - 5x"და შეადარეთ რა ხდება გამოთვლებში.

Მნიშვნელოვანი!

როდესაც უარყოფით რიცხვს "x" ანაცვლებთ, აუცილებლად ჩადეთ იგი ფრჩხილებში.

Არ არის სწორი

სწორად

გამოთვლების დახმარებით მივიღეთ "f(−2) = 12".

ეს ნიშნავს, რომ "f(−2) = −18" ფუნქციისთვის "f(x) = 2 − 5x" არ არის სწორი ტოლობა.

როგორ შევამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა წერტილი ფუნქციის გრაფიკს

განვიხილოთ ფუნქცია " y \u003d x 2 −5x + 6"

საჭიროა იმის გარკვევა, ეკუთვნის თუ არა წერტილი კოორდინატებით (1; 2) ამ ფუნქციის გრაფიკს.

ამ ამოცანისთვის არ არის საჭირო მოცემული ფუნქციის შედგენა.

გახსოვდეს!

იმის დასადგენად, ეკუთვნის თუ არა წერტილი ფუნქციას, საკმარისია მისი კოორდინატები ჩავანაცვლოთ ფუნქციაში (კოორდინატი ღერძის გასწვრივ "Ox" ნაცვლად "x" და კოორდინატი ღერძის გასწვრივ "Oy" ნაცვლად "y").

თუ ეს გამოდგება ნამდვილი თანასწორობა, ასე რომ წერტილი ეკუთვნის ფუნქციას.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. ჩაანაცვლეთ ფუნქციაში "y \u003d x 2 - 5x + 6" წერტილის კოორდინატები (1; 2).

ნაცვლად "x"ჩვენ ვცვლით" 1". ნაცვლად "y"შემცვლელი" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (სწორი)

ჩვენ მივიღეთ სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი (1; 2) კოორდინატებით მიეკუთვნება მოცემულ ფუნქციას.

ახლა შევამოწმოთ წერტილი კოორდინატებით (0; 1) . ეკუთვნის ის
ფუნქციონირებს "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

"x"-ის ნაცვლად ჩავანაცვლოთ "0". ნაცვლად " y" შემცვლელი" 1».

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (არასწორი)

ამ შემთხვევაში ჩვენ ვერ მივიღეთ სწორი თანასწორობა. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი კოორდინატებით (0; 1) არ ეკუთვნის ფუნქციას "y \u003d x 2 - 5x + 6"

როგორ მივიღოთ ფუნქციის წერტილის კოორდინატები

ნებისმიერი ფუნქციის გრაფიკიდან შეგიძლიათ აიღოთ წერტილის კოორდინატები. მაშინ უნდა დარწმუნდეთ, რომ ფუნქციის ფორმულაში კოორდინატების ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი თანასწორობა.

განვიხილოთ ფუნქცია „y(x) = −2x + 1“. წინა გაკვეთილზე უკვე შევქმენით მისი განრიგი.

მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკზე " y (x) \u003d -2x + 1", რომელიც უდრის" y" x \u003d 2-ისთვის.

ამისათვის, მნიშვნელობიდან " 2"ღერძზე" Ox", დახაზეთ პერპენდიკულარული ფუნქციის გრაფიკზე. პერპენდიკულარის და ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის ადგილიდან დახაზეთ კიდევ ერთი პერპენდიკულარი ღერძზე „Oy“.

შედეგად მიღებული მნიშვნელობა " −3"ღერძზე" Oy"და იქნება სასურველი მნიშვნელობა" y».

დავრწმუნდეთ, რომ სწორად ავიღეთ წერტილის კოორდინატები x = 2-ისთვის
ფუნქციაში „y(x) = −2x + 1“.

ამისათვის ჩვენ ვცვლით x \u003d 2 ფუნქციის ფორმულაში "y (x) \u003d -2x + 1". თუ პერპენდიკულარს სწორად დავხატავთ, ასევე უნდა მივიღოთ y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

გამოთვლისას ასევე მივიღეთ y = −3.

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ სწორად მივიღეთ კოორდინატები ფუნქციის გრაფიკიდან.

Მნიშვნელოვანი!

დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ წერტილის ყველა კოორდინატი ფუნქციის გრაფიკიდან "x"-ის მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფუნქციაში.

"x" რიცხვითი მნიშვნელობის ფუნქციაში ჩანაცვლებისას, შედეგი უნდა იყოს იგივე მნიშვნელობა" y", რომელიც თქვენ მიიღეთ სქემაზე.

ფუნქციის გრაფიკიდან წერტილების კოორდინატების მიღებისას დიდია ალბათობა, რომ შეცდომა დაუშვათ, რადგან ღერძებზე პერპენდიკულარული დახაზვა შესრულებულია "თვალით".

მხოლოდ მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფუნქციის ფორმულაში იძლევა ზუსტ შედეგებს.