Формула пряма на графіку функції. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки

1. Дробно-лінійна функція та її графік

Функція виду y = P(x) / Q(x), де P(x) і Q(x) – багаточлени, називається дробно-раціональною функцією.

З поняттям раціональних чисел ви вже, напевно, знайомі. Аналогічно раціональні функції– це функції, які можна як приватне двох многочленов.

Якщо дробно-раціональна функція є окреме двох лінійних функцій – многочленів першого ступеня, тобто. функцію виду

y = (ax + b) / (cx + d), то її називають дробово-лінійною.

Зауважимо, що у функції y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (інакше функція стає лінійною y = ax/d + b/d) і що a/c ≠ b/d (інакше функція константа ). Дробно-лінійна функція визначена за всіх дійсних числах, крім x = -d/c. Графіки дробно-лінійних функцій формою не відрізняються від відомого вам графіка y = 1/x. Крива, що є графіком функції y = 1/x, називається гіперболою. При необмеженому збільшенні x за абсолютною величиною функція y = 1/x необмежено зменшується по абсолютній величині та обидві гілки графіка наближаються до осі абсцис: права наближається зверху, а ліва – знизу. Прямі, до яких наближаються гілки гіперболи, називають її асимптотами.

приклад 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

Рішення.

Виділимо цілу частину: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зсувом на 3 одиничні відрізки вправо, розтягненням вздовж осі Oy у 7 разів і зсувом на 2 одиничні відрізки вгору.

Будь-який дріб y = (ax + b) / (cx + d) можна записати аналогічним чином, виділивши «цілу частину». Отже, графіки всіх дробно-лінійних функцій є гіперболи, по-різному зсунуті вздовж координатних осей і розтягнуті по осі Oy.

Для побудови графіка будь-якої довільної дробно-лінійної функції не обов'язково дріб, що задає цю функцію, перетворювати. Оскільки знаємо, що графік є гіпербола, досить знайти прямі, яких наближаються її гілки – асимптоти гіперболи x = -d/c і y = a/c.

приклад 2.

Знайти асимптоти графіка функції y = (3x + 5) / (2x + 2).

Рішення.

Функція не визначена при x = -1. Значить, пряма x = -1 є вертикальною асимптотою. Для знаходження горизонтальної асимптоти, з'ясуємо, чого наближаються значення функції y(x), коли аргумент x зростає по абсолютній величині.

Для цього розділимо чисельник та знаменник дробу на x:

y = (3+5/x)/(2+2/x).

При x → ∞ дріб буде до 3/2. Значить, горизонтальна асимптота це пряма y = 3/2.

Приклад 3.

Побудувати графік функції y = (2x + 1) / (x + 1).

Рішення.

Виділимо у дробу «цілу частину»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 - 1/(x + 1).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить із графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зсувом на 1 одиницю вліво, симетричним відображенням щодо Ox і зрушенням на 2 одиничні відрізки вгору по осі Oy.

Область визначення D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значень E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Крапки перетину з осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функція зростає кожному з проміжків області визначення.

Відповідь: рисунок 1.

2. Дробно-раціональна функція

Розглянемо дробово-раціональну функцію виду y = P (x) / Q (x), де P (x) і Q (x) - багаточлени, ступеня вище за першу.

Приклади таких раціональних функцій:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) або y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Якщо функція y = P(x) / Q(x) є приватним двома багаточленами ступеня вище першої, то її графік буде, як правило, складніше, і побудувати його точно, з усіма деталями буває іноді важко. Однак, часто достатньо застосувати прийоми, аналогічні тим, з якими ми вже ознайомилися вище.

Нехай дріб – правильний (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Вочевидь, що графік дробно-раціональної функції можна як суму графіків елементарних дробів.

Побудова графіків дробово-раціональних функцій

Розглянемо кілька способів побудови графіків дробової раціональної функції.

Приклад 4.

Побудувати графік функції y = 1/x2.

Рішення.

Використовуємо графік функції y = x 2 для побудови графіка y = 1/x 2 та скористаємося прийомом «поділу» графіків.

Область визначення D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значень E(y) = (0; + ∞).

Точок перетину з осями немає. Функція парна. Зростає при всіх з інтервалу (-∞; 0), зменшується при x від 0 до +∞.

Відповідь: рисунок 2.

Приклад 5.

Побудувати графік функції y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Рішення.

Область визначення D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3+1/3.

Тут ми використовували прийом розкладання на множники, скорочення та приведення до лінійної функції.

Відповідь: рисунок 3.

Приклад 6.

Побудувати графік функції y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Рішення.

Область визначення D(y) = R. Оскільки функція парна, то графік симетричний щодо осі ординат. Перш ніж будувати графік, знову перетворимо вираз, виділивши цілу частину:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

Зауважимо, що виділення цілої частини у формулі дробово-раціональної функції є одним із основних при побудові графіків.

Якщо x → ±∞ то y → 1, тобто. Пряма y = 1 є горизонтальною асимптотою.

Відповідь: рисунок 4.

Приклад 7.

Розглянемо функцію y = x/(x 2 + 1) і спробуємо точно визначити максимальне її значення, тобто. найвищу точку правої половини графіка. Щоб точно побудувати цей графік, сьогоднішніх знань замало. Вочевидь, що крива неспроможна «піднятися» дуже високо, т.к. знаменник досить швидко починає «обганяти» чисельник. Подивимося, чи значення функції дорівнює 1. Для цього потрібно вирішити рівняння x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Це рівняння не має дійсних коренів. Отже, наше припущення не є вірним. Щоб знайти найбільше значення функції, треба дізнатися, за якого найбільшого А рівняння А = x/(x 2 + 1) матиме рішення. Замінимо вихідне рівняння квадратним: Аx 2 – x + А = 0. Це рівняння має розв'язок, коли 1 – 4А 2 ≥ 0. Звідси знаходимо найбільше значення А = 1/2.

Відповідь: рисунок 5, max y(x) = ½.

Залишились питання? Чи не знаєте, як будувати графіки функцій?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.

1. Щоб побудувати графік функції,нам потрібні координати двох точок, що належать до графіка функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх на рівняння функції, і за ними обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0; 2) і В (3; 3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y= x+2:

2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому, що більше значення k, то більше вписувалося кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k менше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0

Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцис x=a.

Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a перестав бути функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значення функції, що відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

5. Умова перепендикулярності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

6. Крапки перетину графіка функції y=kx+b з осями координат.

З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):

Подивимося, як вивчити функцію за допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися про все, що нас цікавить, а саме:

• область визначення функції
• область значень функції
• нулі функції
• проміжки зростання та спадання
• точки максимуму та мінімуму
• найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Уточнимо термінологію:

Абсцисса- Це координата точки по горизонталі.
Ордината- Координата по вертикалі.
Ось абсцис- горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
Вісь ординат- вертикальна вісь, або вісь.

Аргумент- незалежна змінна, від якої залежить значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо , підставляємо у формулу функції та отримуємо .

Область визначенняфункції - безліч тих (і лише тих) значень аргументу, у яких функція існує.
Позначається: або .

На нашому малюнку область визначення функції – це відрізок. Саме на цьому відрізку намальовано графік функції. Тільки тут ця функція існує.

Область значень функції- це безліч значень, які набуває змінна . На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до самого верхнього значення.

Нулі функції- Точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто . На малюнку це точки і .

Значення функції позитивнітам де . На нашому малюнку це проміжки та .
Значення функції негативнітам де . У нас це проміжок (або інтервал) від до .

Найважливіші поняття - зростання та зменшення функціїна деякій множині. Як безліч можна взяти відрізок , інтервал , об'єднання проміжків або всю числову пряму.

Функція зростає

Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо та вгору.

Функція зменшуєтьсяна множині, якщо для будь-яких і, що належать множині, з нерівності випливає нерівність.

Для спадної функції більшому значенню відповідає менше значення. Графік йде вправо та вниз.

На малюнку функція зростає проміжку і зменшується на проміжках і .

Визначимо, що таке точки максимуму та мінімуму функції.

Крапка максимуму- це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції у ній більше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, ніж у сусідніх. Це локальний горбок на графіку.

На нашому малюнку – точка максимуму.

Крапка мінімуму- внутрішня точка області визначення, така, що значення функції у ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції у ній менше, ніж у сусідніх. На графіку це локальна "ямка".

На нашому малюнку – точка мінімуму.

Крапка – гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить для визначення точки максимуму. Адже вона не має сусідів ліворуч. Так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.

Точки максимуму та мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.

А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функціїна відрізку? У разі відповідь: . Тому що мінімум функції- це її значення у точці мінімуму.

Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.

Можна сміливо сказати, що екстремуми функції рівні і .

Іноді у завданнях потрібно знайти найбільше та найменше значення функціїна заданому відрізку. Вони не обов'язково співпадають із екстремумами.

У нашому випадку найменше значення функціїна відрізку так само і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку дорівнює. Воно досягається у лівому кінці відрізка.

У будь-якому випадку найбільше та найменше значення безперервної функції на відрізку досягаються або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

Основні елементарні функції, притаманні їм якості та відповідні графіки – одні з азів математичних знань, схожих за рівнем важливості з таблицею множення. Елементарні функції є основою, опорою вивчення всіх теоретичних питань.

Стаття нижче дає ключовий матеріал на тему основних елементарних функцій. Ми введемо терміни, дамо їм визначення; докладно вивчимо кожен вид елементарних функцій, розберемо їх властивості.

Виділяють такі види основних елементарних функцій:

Визначення 1

• постійна функція (константа);
• корінь n-ого ступеня;
• статечна функція;
• показова функція;
• логарифмічна функція;
• тригонометричні функції;
• братні тригонометричні функції.

Постійна функція визначається формулою: y = C (C - якесь дійсне число) і має також назву: константа. Ця функція визначає відповідність будь-якому дійсному значенню незалежної змінної x одного і того ж значення змінної y значення C .

Графік константи - це пряма, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку, що має координати (0, С). Для наочності наведемо графіки постійних функцій y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (на кресленні позначено чорним, червоним та синім кольорами відповідно).

Визначення 2

Ця елементарна функція визначається формулою y = x n (n - натуральне число більше одиниці).

Розглянемо дві варіації функції.

1. Корінь n-го ступеня, n – парне число

Для наочності вкажемо креслення, у якому зображені графіки таких функций: y = x , y = x 4 y = x8. Ці функції позначені кольором: чорний, червоний та синій відповідно.

Подібний вигляд у графіків функції парного ступеня за інших значень показника.

Визначення 3

Властивості функції корінь n-ого ступеня, n – парне число

• область визначення - безліч всіх невід'ємних дійсних чисел [0, + ∞);
• коли x = 0 , функція y = x n має значення, що дорівнює нулю;
• дана функція-функція загального виду (не є ні парною, ні непарною);
• область значень: [0, + ∞);
• дана функція y = x n при парних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має опуклість з напрямком вгору по всій області визначення;
• відсутні точки перегину;
• асимптоти відсутні;
• графік функції при парних n проходить через точки (0; 0) і (1; 1).

1. Корінь n-го ступеня, n – непарне число

Така функція визначена на всій множині дійсних чисел. Для наочності розглянемо графіки функцій y = x 3 , y = x 5 х 9 . На кресленні вони позначені кольорами: чорний, червоний та синій кольори кривих відповідно.

Інші непарні значення показника кореня функції y = xn дадуть графік аналогічного виду.

Визначення 4

Властивості функції корінь n-ого ступеня, n - непарне число

• область визначення - безліч всіх дійсних чисел;
• дана функція – непарна;
• область значень – безліч усіх дійсних чисел;
• функція y = x n при непарних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має увігнутість на проміжку (- ∞ ; 0 ) і опуклість на проміжку [ 0 + ∞) ;
• точка перегину має координати (0; 0);
• асимптоти відсутні;
• графік функції при непарних n проходить через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) та (1 ; 1) .

Ступенева функція

Визначення 5

Ступенева функція визначається формулою y = x a.

Вигляд графіків та властивості функції залежать від значення показника ступеня.

• коли статечна функція має цілий показник a , то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний чи непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
• показник ступеня може бути дробовим чи ірраціональним – залежно від цього також варіюється вид графіків та властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, задавши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – непарне позитивне число, наприклад, a = 1 , 3 , 5 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x (чорний колір графіка), y = x 3 (синій колір графіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x7 (зелений колір графіка). Коли a = 1, отримуємо лінійну функцію y = x.

Визначення 6

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний позитивний

• функція є зростаючою за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і увігнутість при x ∈ [ 0 ; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
• точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо статечну функцію y = x a коли а – парне позитивне число, наприклад, a = 2 , 4 , 6 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2 отримуємо квадратичну функцію, графік якої – квадратична парабола.

Визначення 7

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний позитивний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• спадної при x ∈ (- ∞ ; 0] ;
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• окуляри перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – непарне від'ємне число: y = x – 9 (чорний колір графіка); y = x – 5 (синій колір графіка); y = x – 3 (червоний колір графіка); y = x – 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1 отримуємо зворотну пропорційність, графік якої - гіпербола.

Визначення 8

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний негативний:

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, …. Отже, пряма х = 0 – вертикальна асимптота;

• область значень: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функція є непарною, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0) і увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – парне від'ємне число: y = x – 8 (чорний колір графіка); y = x – 4 (синій колір графіка); y = x – 2 (червоний колір графіка).

Визначення 9

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний негативний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, …. Отже, пряма х = 0 – вертикальна асимптота;

• функція є парною, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ (- ∞ ; 0) і спадною при x ∈ 0 ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , коли a = -2, -4, -6,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на наступний аспект: у випадку, коли a – позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори приймають за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞ , говорячи у своїй, що показник a – нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник – дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримаємося саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – раціональне чи ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y = x a коли а = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 13 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Визначення 10

Властивості статечної функції при 0< a < 1:

• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – неціле раціональне чи ірраціональне число за умови, що a > 1 .

Проілюструємо графіками статечну функцію y = x a у заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня, а за умови a > 1, дадуть схожий вид графіка.

Визначення 11

Властивості статечної функції при a > 1:

• область визначення: x ∈ [0; + ∞);
• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a – негативний дріб з непарним знаменником, у роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку – інтервал - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a – нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалів з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дробовими негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему та розбираємо статечну функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступних функцій: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

Визначення 12

Властивості статечної функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ 0; + ∞;
• дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (чорний, червоний, синій, зелений кольори кривих відповідно).

Визначення 13

Властивості статечної функції при a< - 1:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
• точка проходження функції: (1; 1) .

Коли a = 0 і х ≠ 0 отримаємо функцію y = x 0 = 1 , що визначає пряму, з якої виключена точка (0 ; 1) (умовилися, що виразу 0 0 не надаватиметься жодного значення).

Показова функція має вигляд y = a x , де а > 0 і а ≠ 1 і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи зі значення підстави a . Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли основа показової функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладом послужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) та a = 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний вигляд матимуть графіки показової функції при інших значеннях підстави за умови 0< a < 1 .

Визначення 14

Властивості показової функції, коли основа менше одиниці:

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої підстава менше одиниці, є спадною по всій області визначення;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота – пряма y = 0 при змінній x , що прагне + ∞ ;

Тепер розглянемо випадок, коли основа показової функції більша за одиницю (а > 1) .

Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) та y = e x (червоний колір графіка).

Інші значення основи, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показової функції.

Визначення 15

Властивості показової функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення - все безліч дійсних чисел;
• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа більша за одиницю, є зростаючою при x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне до - ∞;
• точка проходження функції: (0; 1).

Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x) , де a > 0 , a ≠ 1 .

Така функція визначена лише за позитивних значень аргументу: при x ∈ 0 ; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення основи а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення основи, невеликі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли основа менша за одиницю:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля праворуч, значення функції прагнуть + ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці: а > 1 . На кресленні нижче – графіки логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій та червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення основи більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більша за одиницю:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне нуля справа, значення функції прагнуть до - ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
• дана функція – функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна функція є зростаючою за x ∈ 0 ; + ∞;
• функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точка проходження функції: (1; 0) .

Тригонометричні функції – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Розберемо властивості кожної їх і відповідні графіки.

Загалом всім тригонометричних функцій характерно властивість періодичності, тобто. коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f(x + T) = f(x) (T – період). Таким чином, у списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт найменший позитивний період. Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, у яких відповідна функція перетворюється на нуль.

1. Функція синус: y = sin(х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

Визначення 18

Властивості функції синус:

• область визначення: всі множини дійсних чисел x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z та спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• асимптоти відсутні.

1. Функція косинус: y = cos(х)

Графік цієї функції називається косінусоїда.

Визначення 19

Властивості функції косинус:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• найменший позитивний період: Т = 2 π;
• область значень: y ∈ - 1; 1;
• дана функція – парна, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1 , k ∈ Z та локальні мінімуми в точках π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
• функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• асимптоти відсутні.

1. Функція тангенс: y = tg(х)

Графік цієї функції називається тангенсоіда.

Визначення 20

Властивості функції тангенс:

• область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• Поведінка функції тангенс на межі області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
• функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклої при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z ;
• точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

1. Функція котангенс: y = c t g (х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

Визначення 21

Властивості функції котангенс:

• область визначення: x ∈ (π · k; π + π · k) , де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенс на межі області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;

• найменший позитивний період: Т = π;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
• функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
• функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k ;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• похилі та горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції – це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Найчастіше, у зв'язку з наявністю приставки «арк» у назві, зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями .

1. Функція арксинус: y = a r c sin (х)

Визначення 22

Властивості функції арксинус:

• дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
• функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
• точки перегину мають координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арккосинус: y = a r c cos (х)

Визначення 23

Властивості функції арккосинус:

• область визначення: x ∈ - 1; 1;
• область значень: y ∈ 0; π;
• дана функція - загального виду (ні парна, ні непарна);
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
• точки перегину мають координати 0; π 2;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арктангенс: y = r c t g (х)

Визначення 24

Властивості функції арктангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ - π 2; π 2;
• дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
• функція є зростаючою по всій області визначення;
• функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і опуклість при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• точка перегину має координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = - π 2 за x → - ∞ і y = π 2 за x → + ∞ (на малюнку асимптоти – це лінії зеленого кольору).

1. Функція арккотангенс: y = r c c t g (х)

Визначення 25

Властивості функції арккотангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ (0; π);
• ця функція – загального виду;
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0];
• точка перегину має координати 0; π 2;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = π за x → - ∞ (на кресленні – лінія зеленого кольору) і y = 0 за x → + ∞ .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Після того, як ви дійсно зрозумієте, що таке функція (можливо, доведеться прочитати урок не один раз) ви з більшою впевненістю зможете вирішувати завдання з функціями.

У цьому уроці ми розберемо, як вирішувати основні типи завдань на функцію та графіки функцій.

Як отримати значення функції

Розглянемо завдання. Функція задана формулою «y = 2x − 1»

1. Обчислити "y" при "x = 15"
2. Знайти значення "x", при якому значення "y" дорівнює "-19".

Для того, щоб обчислити «y» при «x = 15», достатньо підставити в функцію замість «x» необхідне числове значення.

Запис рішення виглядає так.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, щоб знайти «x» за відомим «y», необхідно підставити замість «y» у формулу функції числове значення.

Тобто тепер навпаки, для пошуку «x» ми підставляємо у функцію «y = 2x − 1» замість «y» число «−19».

−19 = 2x − 1

Ми отримали лінійне рівняння з невідомим «x», яке вирішується за правилами розв'язування лінійних рівнянь.

Запам'ятайте!

Не забувайте про правило перенесення на рівняннях.

При перенесенні з лівої частини рівняння в праву (і навпаки) буква чи число змінює знак на протилежний.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Як і при вирішенні лінійного рівняння, щоб знайти невідоме, зараз потрібно помножити і ліву, і праву частинуна "−1" для зміни знака.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

Тепер розділимо і ліву, і праву частину на "2", щоб знайти "x".

2x = 18 | (: 2)
x = 9

Як перевірити чи правильність рівність для функції

Розглянемо завдання. Функція задана формулою "f(x) = 2 - 5x".

Чи правильна рівність «f(−2) = −18 »?

Щоб перевірити чи правильність рівність, необхідно підставити на функцію «f(x) = 2 − 5x » числове значення «x = −2 » і порівняти з тим, що вийде при розрахунках.

Важливо!

Коли підставляєте негативне число замість "x", обов'язково укладайте його у дужки.

Неправильно

Правильно

За допомогою розрахунків ми отримали «f(−2) = 12».

Це означає, що «f(−2) = −18» для функції «f(x) = 2 − 5x » не є правильною рівністю.

Як перевірити, що точка належить до графіка функції

Розглянемо функцію "y = x 2 −5x + 6"

Потрібно з'ясувати, чи належить графіку цієї функції точка з координатами (1; 2).

Для цього завдання немає необхідності будувати графік заданої функції.

Запам'ятайте!

Щоб визначити, чи належить точка функції, достатньо підставити її координати у функцію (координату по осі «Ox» замість «x» та координату по осі «Oy» замість «y»).

Якщо вийде вірна рівністьОтже, точка належить функції.

Повернемося до нашого завдання. Підставимо у функцію «y = x 2 − 5x + 6» координати точки (1; 2) .

Замість «x» підставимо «1». Замість «y» підставимо «2».

2 = 1 2 − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (вірно)

У нас вийшла правильна рівність, отже, точка з координатами (1; 2) належить заданій функції.

Тепер перевіримо точку з координатами (0; 1). Чи належить вона
функції «y = x 2 − 5x + 6»?

Замість "x" підставимо "0". Замість «y» підставимо «1».

1 = 0 2 − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неправильно)

У цьому випадку ми не здобули правильну рівність. Це означає, що точка з координатами (0; 1) не належить до функції «y = x 2 − 5x + 6 »

Як отримати координати точки функції

З будь-якого графіка функції можна зняти координати точки. Потім необхідно переконатися, що при підстановці координат формулу функції виходить правильна рівність.

Розглянемо функцію "y(x) = -2x + 1". Її графік ми вже будували у попередньому уроці.

Знайдемо на графіку функції «y(x) = −2x + 1», чому дорівнює «y» за x = 2 .

Для цього значення «2» на осі «Ox» проведемо перпендикуляр до графіка функції. З точки перетину перпендикуляра та графіка функції проведемо ще один перпендикуляр до осі «Oy».

Отримане значення "−3" на осі "Oy" і буде шуканим значенням "y".

Переконаємося, що правильно зняли координати точки для x = 2
у функції «y(x) = −2x + 1».

Для цього ми підставимо x = 2 до формули функції «y(x) = −2x + 1». Якщо ми правильно провели перпендикуляр, ми також маємо отримати у результаті y = −3 .

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + ​​1 = −3

Під час розрахунків ми також отримали y = −3 .

Отже, ми правильно отримали координати із графіка функції.

Важливо!

Усі отримані координати точки з графіка функції обов'язково перевіряйте підстановкою значень x у функцію.

При підстановці числового значення «x» у функцію в результаті має бути те саме значення «y», яке ви отримали на графіку.

При отриманні координат точок графіка функції висока ймовірність, що ви помилитеся, т.к. проведення перпендикуляра до осей виконується «на око».

Тільки підстановка значень формулу функції дає точні результати.