Як я вже зазначав, в інтегральному обчисленні немає зручної формули для інтегрування дробу. І тому спостерігається сумна тенденція: чим «навороченіший» дріб, тим важче знайти від нього інтеграл. У зв'язку з цим доводиться вдаватися до різних хитрощів, про які я зараз розповім. Підготовлені читачі можуть одразу скористатися змістом:
- Метод підведення під знак диференціалу для найпростіших дробів
Метод штучного перетворення чисельника
Приклад 1
До речі, розглянутий інтеграл можна вирішити і шляхом заміни змінної, позначаючи , але запис рішення вийде значно довше.
Приклад 2
Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Це приклад самостійного рішення. Слід зазначити, що тут метод заміни змінної не пройде.
Увага, важливо! Приклади №№1,2 є типовими та зустрічаються часто. У тому числі подібні інтеграли нерідко виникають у ході вирішення інших інтегралів, зокрема при інтегруванні ірраціональних функцій (коренів).
Розглянутий прийом працює і у випадку, якщо старший ступінь чисельника, більший за старший ступінь знаменника.
Приклад 3
Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Починаємо підбирати чисельник.
Алгоритм підбору чисельника приблизно такий:
1) У чисельнику мені потрібно організувати, але там. Що робити? Укладаю в дужки і множу на : .
2) Тепер намагаюся розкрити ці дужки, що вийде? . Хмм ... вже краще, але ніякої двійки при спочатку в чисельнику немає. Що робити? Потрібно домножити на:
3) Знову розкриваю дужки: . А ось і перший успіх! Потрібний вийшов! Але проблема в тому, що з'явилося зайве доданок. Що робити? Щоб вираз не змінилося, я зобов'язаний додати до своєї конструкції те саме: 
. Жити полегшало. А чи не можна ще раз у чисельнику організувати?
4) Можна. Пробуємо: 
. Розкриваємо дужки другого доданку: 
. Вибачте, але в мене взагалі було на попередньому кроці, а не. Що робити? Потрібно домножити другий доданок на: 
5) Знову для перевірки розкриваю дужки у другому доданку: 
. Ось тепер нормально: отримано із остаточної конструкції пункту 3! Але знову є маленьке «але», з'явилося зайве доданок, отже, я повинен додати до свого висловлювання: 
Якщо все виконано правильно, то при розкритті всіх дужок у нас має вийти вихідний чисельник підінтегральної функції. Перевіряємо:
Гуд.
Таким чином: 
Готово. В останньому доданку я застосував метод підведення функції під диференціал.
Якщо знайти похідну від відповіді та привести вираз до спільного знаменника, то в нас вийде точно вихідна підінтегральна функція . Розглянутий спосіб розкладання на суму – не що інше, як зворотне дію до приведення висловлювання до спільного знаменника.
Алгоритм підбору чисельника в подібних прикладах краще виконувати на чернетці. За деяких навичок виходитиме і подумки. Пригадую рекордний випадок, коли я виконував підбір для 11-го ступеня, і розкладання чисельника зайняло майже два рядки Верда.
Приклад 4
Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Це приклад самостійного рішення.
Метод підведення під знак диференціалу для найпростіших дробів
Переходимо до розгляду такого типу дробів.
, , , (коефіцієнти і не дорівнюють нулю).
Насправді пара випадків з арксинусом та арктангенсом вже прослизала на уроці Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі. Вирішуються такі приклади способом підведення функції під знак диференціала та подальшим інтегруванням за допомогою таблиці. Ось ще типові приклади з довгим та високим логарифмом:
Приклад 5
Приклад 6
Тут доцільно взяти до рук таблицю інтегралів і простежити, за якими формулами якздійснюється перетворення. Зверніть увагу, як і навіщовиділяються квадрати у даних прикладах. Зокрема, у прикладі 6 спочатку необхідно уявити знаменник у вигляді 
, потім підвести під знак диференціалу А зробити це все потрібно для того, щоб скористатися стандартною табличною формулою 
.
Та що дивитися, спробуйте самостійно розв'язати приклади №№7,8, тим більше вони досить короткі:
Приклад 7
Приклад 8
Знайти невизначений інтеграл:
Якщо Вам вдасться виконати ще й перевірку цих прикладів, то великий респект – Ваші навички диференціювання на висоті.
Метод виділення повного квадрата
Інтеграли виду, 
(Коефіцієнти і не дорівнюють нулю) вирішуються методом виділення повного квадрата, який вже фігурував на уроці Геометричні перетворення графіків.
Насправді такі інтеграли зводяться до одного з чотирьох табличних інтегралів, які ми щойно розглянули. А досягається це за допомогою знайомих формул скороченого множення:
Формули застосовуються саме в такому напрямку, тобто, ідея методу полягає в тому, щоб у знаменнику штучно організувати вирази або , а потім перетворити їх відповідно на або .
Приклад 9
Знайти невизначений інтеграл
Це найпростіший приклад, у якому при доданку – одиничний коефіцієнт(а не якесь число або мінус).
Дивимося на знаменник, тут вся справа явно зведеться. Починаємо перетворення знаменника:
Очевидно, що потрібно додавати 4. І щоб вираз не змінилося – цю ж четвірку і віднімати:
Тепер можна застосувати формулу:
Після того, як перетворення закінчено ЗАВЖДИбажано виконати зворотний хід: все нормально, помилок немає.
Чистове оформлення прикладу, що розглядається, має виглядати приблизно так: 
Готово. Підведенням «халявної» складної функції під знак диференціала: в принципі можна було знехтувати
Приклад 10
Знайти невизначений інтеграл:
Це приклад для самостійного вирішення, відповідь наприкінці уроку
Приклад 11
Знайти невизначений інтеграл:
Що робити, коли перед знаходиться мінус? І тут, необхідно винести мінус за дужки і розмістити доданки у необхідному нам порядке: . Константі(«двійку» у цьому випадку) не чіпаємо!
Тепер у дужках додаємо одиночку. Аналізуючи вираз, приходимо до висновку, що й за дужкою потрібно одиничку – додати:
Тут вийшла формула, застосовуємо:
ЗАВЖДИвиконуємо на чернетці перевірку:
, Що й потрібно перевірити.
Чистове оформлення прикладу виглядає приблизно так: 
Ускладнюємо завдання
Приклад 12
Знайти невизначений інтеграл: 
Тут при доданку вже не одиничний коефіцієнт, а «п'ятірка».
(1) Якщо знаходиться константа, то її відразу виносимо за дужки.
(2) І взагалі цю константу завжди краще винести за межі інтеграла, щоб вона не заважала під ногами.
(3) Очевидно, що все зведеться до формули. Треба розібратися в доданку, а саме, отримати «двійку»
(4) Ага, . Значить, до виразу додаємо, і цей же дріб віднімаємо.
(5) Тепер виділяємо повний квадрат. У загальному випадку також треба вирахувати, але тут у нас вимальовується формула довгого логарифму 
, і дію виконувати немає сенсу, чому – стане ясно трохи нижче.
(6) Власне, можна застосувати формулу 
, Тільки замість «ікс» у нас, що не скасовує справедливість табличного інтеграла. Строго кажучи, пропущено один крок - перед інтегруванням функцію слід підвести під знак диференціала: 
Але, як я вже неодноразово зазначав, цим часто нехтують.
(7) У відповіді під корінням бажано розкрити всі дужки назад:
Важко? Це ще найскладніше в інтегральному обчисленні. Хоча, приклади, що розглядаються, не так складні, скільки вимагають хорошої техніки обчислень.
Приклад 13
Знайти невизначений інтеграл:
Це приклад самостійного рішення. Відповідь наприкінці уроку.
Існують інтеграли з корінням у знаменнику, які за допомогою заміни зводяться до інтегралів розглянутого типу, про них можна прочитати у статті Складні інтегралиале вона розрахована на дуже підготовлених студентів.
Підведення чисельника під знак диференціалу
Це заключна частина уроку, проте інтеграли такого типу зустрічаються досить часто! Якщо накопичилася втома, може, воно краще завтра почитати? ;)
Інтеграли, які ми будемо розглядати, схожі на інтеграли попереднього параграфа, вони мають вигляд: або 
(Коефіцієнти , і не дорівнюють нулю).
Тобто, у чисельнику ми з'явилася лінійна функція. Як вирішувати такі інтеграли?
Дроб називається правильною, якщо старший ступінь чисельника менший за старший ступінь знаменника. Інтеграл правильного раціонального дробу має вигляд:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Формула на інтегрування раціональних дробів залежить від коріння багаточлена у знаменнику. Якщо багаточлен $ ax^2+bx+c $ має:
- Тільки комплексне коріння, то з нього необхідно виділити повний квадрат: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a ^2) $$
- Різне дійсне коріння $ x_1 $ і $ x_2 $, то потрібно виконати розкладання інтеграла і знайти невизначені коефіцієнти $ A $ і $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Один кратний корінь $x_1$, то виконуємо розкладання інтеграла і знаходимо невизначені коефіцієнти $A$ і $B$ для такої формули: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Якщо дріб є неправильною, тобто старша ступінь у чисельнику більша чи дорівнює старшого ступеня знаменника, то спочатку її необхідно призвести до правильномувиду шляхом розподілу многочлена з чисельника на багаточлен із знаменника. В даному випадку формула інтегрування раціонального дробу має вигляд:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Приклади рішень
| Приклад 1 |
| Знайти інтеграл раціонального дробу: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Рішення |
|
Дроб є правильним і багаточлен має тільки комплексне коріння. Тому виділимо повний квадрат: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Звертаємо повний квадрат і підводимо під знак диференціалу $x-5$: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Користуючись таблицею інтегралів отримуємо: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | + C$$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | + C$$ |
| Приклад 2 |
| Виконати інтегрування раціональних дробів: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Рішення |
|
Розв'яжемо квадратне рівняння: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Записуємо коріння: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ З урахуванням отриманих коренів, перетворюємо інтеграл: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Виконуємо розкладання раціонального дробу: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Прирівнюємо чисельники і знаходимо коефіцієнти $A$ і $B$: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Підставляємо в інтеграл знайдені коефіцієнти та вирішуємо його: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| + C$$ |
| Відповідь |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| + C$$ |
Наводиться висновок формул обчислення інтегралів від найпростіших, елементарних, дробів чотирьох типів. Більш складні інтеграли від дробів четвертого типу обчислюються за допомогою формули приведення. Розглянуто приклад інтегрування дробу четвертого типу.
ЗмістДив. також: Таблиця невизначених інтегралів
Методи обчислення невизначених інтегралів
Як відомо, будь-яку раціональну функцію від деякої змінної x можна розкласти на багаточлен та найпростіші, елементарні дроби. Є чотири типи найпростіших дробів:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Тут a, A, B, b, c – дійсні числа. Рівняння x 2 + bx + c = 0не має дійсних коренів.
Інтегрування дробів перших двох типів
Інтегрування перших двох дробів виконується за допомогою наступних формул з таблиці інтегралів:
,
, n ≠ - 1
.
1. Інтегрування дробу першого типу
Дроб першого типу підстановкою t = x - a приводиться до табличного інтеграла:
.
2. Інтегрування дробу другого типу
Дроб другого типу приводиться до табличного інтегралу тією самою підстановкою t = x - a :
.
3. Інтегрування дробу третього типу
Розглянемо інтеграл від дробу третього типу:
.
Обчислюватимемо його в два прийоми.
3.1. Крок 1. Виділимо в чисельнику похідну знаменника
Виділимо в чисельнику дробу похідну від знаменника. Позначимо: u = x 2 + bx + c. Диференціюємо: u′ = 2 x + b. Тоді
;
.
Але
.
Ми опустили знак модуля, оскільки .
Тоді:
,
де
.
3.2. Крок 2. Обчислюємо інтеграл з A = 0, B = 1
Тепер обчислюємо інтеграл, що залишився:
.
Наводимо знаменник дробу до суми квадратів:
,
де.
Ми вважаємо, що рівняння x 2 + bx + c = 0не має коріння. Тому.
Зробимо підстановку
,
.
.
Отже,
.
Тим самим ми знайшли інтеграл від дробу третього типу:
,
де.
4. Інтегрування дробу четвертого типу
І нарешті, розглянемо інтеграл від дробу четвертого типу:
.
Обчислюємо його в три прийоми.
4.1) Виділяємо в чисельнику похідну знаменника:
.
4.2) Обчислюємо інтеграл
.
4.3) Обчислюємо інтеграли
,
використовуючи формулу приведення:
.
4.1. Крок 1. Виділення у чисельнику похідної знаменника
Виділимо в чисельнику похідну знаменника, як це робили в . Позначимо u = x 2 + bx + c. Диференціюємо: u′ = 2 x + b. Тоді
.
.
Але
.
Остаточно маємо:
.
4.2. Крок 2. Обчислення інтегралу з n = 1
Обчислюємо інтеграл
.
Його обчислення викладено у .
4.3. Крок 3. Висновок формули наведення
Тепер розглянемо інтеграл
.
Наводимо квадратний тричлен до суми квадратів:
.
Тут.
Робимо підстановку.
.
.
Виконуємо перетворення та інтегруємо вроздріб.
.
Помножимо на 2(n - 1):
.
Повертаємося до x та I n .
,
;
;
.
Отже, для In ми отримали формулу приведення:
.
Послідовно застосовуючи цю формулу, ми зведемо інтеграл I n до I 1
.
Приклад
Обчислити інтеграл
1.
Виділимо в чисельнику похідну знаменника.
;
;
.
Тут
.
2.
Обчислюємо інтеграл від найпростішого дробу.
.
3.
Застосовуємо формулу приведення:
для інтегралу.
У нашому випадку b = 1
, c = 1
,
4 c - b 2 = 3. Виписуємо цю формулу для n = 2
та n = 3
:
;
.
Звідси
.
Остаточно маємо:
.
Знаходимо коефіцієнт при .
.
Матеріал, викладений у цій темі, спирається на відомості, представлені в темі "Раціональні дроби. Розкладання раціональних дробів на елементарні (найпростіші) дроби". Дуже раджу хоча б швидко переглянути цю тему перед тим, як переходити до читання даного матеріалу. Крім того, нам буде потрібна таблиця невизначених інтегралів.
Нагадаю кілька термінів. Про них йшлося у відповідній темі, тому тут обмежуся коротким формулюванням.
Відношення двох багаточленів $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ називається раціональною функцією або раціональним дробом. Раціональний дріб називається правильноюякщо $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильною.
Елементарними (найпростішими) раціональними дробами називають раціональні дроби чотирьох типів:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати
Навіщо потрібна умова $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Наприклад, для вираження $x^2+5x+10$ отримаємо: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Оскільки $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
До речі, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $x^2$ дорівнював 1. Наприклад, для $5x^2+7x-3=0$ отримаємо: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Оскільки $D > 0$, то вираз $5x^2+7x-3$ розкладається на множники.
Приклади раціональних дробів (правильних та неправильних), а також приклади розкладання раціонального дробу на елементарні можна знайти. Тут нас цікавитимуть лише питання їх інтегрування. Почнемо з інтегрування елементарних дробів. Отже, кожен із чотирьох типів зазначених вище елементарних дробів нескладно проінтегрувати, використовуючи формули, вказані нижче. Нагадаю, що при інтегруванні дробів типу (2) та (4) передбачається $n=2,3,4,\ldots$. Формули (3) та (4) вимагають виконання умови $p^2-4q< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)
Для $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ виробляється заміна $t=x+\frac(p)(2)$, після отриманий інтерал розбивається на два. Перший обчислюватиметься за допомогою внесення під знак диференціала, а другий матиме вигляд $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Цей інтеграл береться за допомогою рекурентного співвідношення
\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)
Обчислення такого інтеграла розібрано на прикладі №7 (див. третину).
Схема обчислення інтегралів від раціональних функцій (раціональних дробів):
- Якщо підінтегральний дріб є елементарним, то застосувати формули (1)-(4).
- Якщо підінтегральний дріб не є елементарним, то уявити його у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати, використовуючи формули (1)-(4).
Вказаний вище алгоритм інтегрування раціональних дробів має незаперечну гідність – він універсальний. Тобто. користуючись цим алгоритмом, можна проінтегрувати будь-якураціональний дріб. Саме тому майже всі заміни змінних у невизначеному інтегралі (підстановки Ейлера, Чебишева, універсальна тригонометрична підстановка) робляться з таким розрахунком, щоб після заміни отримати під інтералом раціональний дріб. А до неї вже застосувати алгоритм. Безпосереднє застосування цього алгоритму розберемо з прикладів, попередньо зробивши невелике примітка.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
У принципі, цей інтеграл легко отримати без механічного застосування формули . Якщо винести константу $7$ за знак інтеграла та врахувати, що $dx=d(x+9)$, то отримаємо:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Для детальної інформації рекомендую переглянути тему . Там докладно пояснюється, як вирішуються такі інтеграли. До речі, формула доводиться тими самими перетвореннями, що були застосовані у цьому пункті під час вирішення "вручну".
2) Знову є два шляхи: застосувати готову формулу або обійтися без неї. Якщо застосовувати формулу , слід врахувати, що коефіцієнт перед $x$ (число 4) доведеться прибрати. Для цього цю четвірку просто винесемо за дужки:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Тепер настала черга і для застосування формули:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Можна обійтися і застосування формули . І навіть без винесення константи $4$ за дужки. Якщо врахувати, що $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, то отримаємо:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Детальні пояснення щодо знаходження подібних інтегралів дано у темі "Інтегрування підстановкою (внесення під знак диференціала)".
3) Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Цей дріб має структуру $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, де $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однак, щоб переконатися, що це дійсно елементарний дріб третього типу, потрібно перевірити виконання умови $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Вирішимо цей приклад, але без використання готової формули. Спробуємо виділити у чисельнику похідну знаменника. Що це означає? Ми знаємо, що $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Саме вираз $2x+10$ нам і належить вичленувати в чисельнику. Поки що чисельник містить лише $4x+7$, але це ненадовго. Застосуємо до чисельника таке перетворення:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Тепер у чисельнику з'явився необхідний вираз $2x+10$. І наш інтеграл можна переписати у такому вигляді:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Розіб'ємо підінтегральний дріб на два. Ну і, відповідно, сам інтеграл теж "роздвоєм":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Поговоримо спочатку про перший інтеграл, тобто. про $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Оскільки $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, то в чисельнику підінтегрального дробу розташований диференціал знаменника. Коротше кажучи, замість виразу $( 2x+10)dx$ запишемо $d(x^2+10x+34)$.
Тепер скажемо пару слів і про другий інтеграл. Виділимо у знаменнику повний квадрат: $ x ^ 2 + 10 x + 34 = (x + 5) ^ 2 + 9 $. Крім того, врахуємо $dx=d(x+5)$. Тепер отриману нами раніше суму інтегралів можна переписати в дещо іншому вигляді:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Якщо в першому інтегралі зробити заміну $u=x^2+10x+34$, то він набуде вигляду $\int\frac(du)(u)$ і візьметься простим застосуванням другої формули з . Що ж до другого інтеграла, то для нього здійсненна заміна $u=x+5$, після якої він набуде вигляду $\int\frac(du)(u^2+9)$. Це чистої води одинадцята формула з таблиці невизначених інтегралів. Отже, повертаючись до суми інтегралів, матимемо:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5)^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$
Ми отримали ту саму відповідь, що і при застосуванні формули, що, власне, не дивно. Взагалі, формула доводиться тими самими способами, які ми використовували для знаходження цього інтеграла. Вважаю, що у уважного читача тут може виникнути одне питання, тому сформулюю його:
Питання №1
Якщо інтегралу $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ застосовувати другу формулу з таблиці невизначених інтегралів , ми отримаємо таке:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Чому ж у рішенні був відсутній модуль?
Відповідь на запитання №1
Питання цілком закономірне. Модуль був відсутній лише тому, що вираз $x^2+10x+34$ при будь-якому $x\in R$ більший за нуль. Це зовсім нескладно показати декількома шляхами. Наприклад, оскільки $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ і $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$ . Можна розсудити і інакше, не залучаючи виділення повного квадрата. Оскільки $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ при будь-якому $x\in R$ (якщо цей логічний ланцюжок викликає подив, раджу подивитися графічний метод розв'язання квадратних нерівностей). У кожному разі, оскільки $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, тобто. замість модуля можна використати звичайні дужки.
Усі пункти прикладу №1 вирішено, залишилося лише записати відповідь.
Відповідь:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C $.
Приклад №2
Знайти інтеграл $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
На перший погляд, підінтегральний дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ дуже схожий на елементарний дріб третього типу, тобто. на $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Здається, що єдина відмінність - це коефіцієнт $3$ перед $x^2$, але коефіцієнт і прибрати недовго (за дужки винести). Однак це схожість здається. Для дробу $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ обов'язковою є умова $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
У нас коефіцієнт перед $x^2$ не дорівнює одиниці, тому перевірити умову $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, тому вираз $3x^2-5x-2$ можна розкласти на множники. А це означає, що дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не є елементаним дробом третього типу, і застосовувати до інтеграла $\int\frac(7x+12)(3x^2- 5x-2)dx$ формулу не можна.
Ну що ж, якщо заданий раціональний дріб не є елементарним, то його потрібно подати у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати. Коротше кажучи, слід скористатися. Як розкласти раціональний дріб на елементарні докладно написано. Почнемо з того, що розкладемо на множники знаменник:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Подинтеральний дріб представимо в такому вигляді:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Тепер розкладемо дріб $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ на елементарні:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3) \ right). $$
Щоб знайти коефіцієнти $A$ і $B$ є два стандартні шляхи: метод невизначених коефіцієнтів та метод підстановки приватних значень. Застосуємо метод підстановки приватних значень, підставляючи $x=2$, а потім $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Оскільки коефіцієнти знайдено, залишилося лише записати готове розкладання:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
В принципі, можна такий запис залишити, але мені до душі акуратний варіант:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac (1) (x + frac (1) (3)) + frac (26) (7) cdot frac (1) (x-2). $$
Повертаючись до вихідного інтегралу, підставимо до нього отримане розкладання. Потім розіб'ємо інтеграл на два, і до кожного застосуємо формулу. Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Відповідь: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Приклад №3
Знайти інтеграл $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. У чисельнику розташований многочлен другого ступеня, а знаменнику - многочлен третього ступеня. Оскільки ступінь многочлена в чисельнику менше ступеня многочлена у знаменнику, тобто. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-frac(1)(x-9). $$
Нам залишиться лише розбити заданий інтеграл на три, і до кожного застосувати формулу. Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Відповідь: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4|-\ln|x-9|+C$.
Продовження аналізу прикладів цієї теми розташоване в другій частині.
Нагадаємо, що дробово-раціональниминазивають функції виду $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ у загальному випадку є відношенням двох багаточленів %%P_n(x)%% і %%Q_m(x)% %.
Якщо %%m > n \geq 0%%, то раціональний дріб називають правильною, інакше - неправильною. Використовуючи правило розподілу многочленів , неправильний раціональний дріб можна як суми многочлена %%P_(n - m)%% ступеня %%n - m%% і деякої правильної дробу, тобто. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ де ступінь %%l%% багаточлена %%P_l(x)%% менше ступеня %%n%% багаточлена %%Q_n(x)%%.
Таким чином, невизначений інтеграл від раціональної функції можна уявити сумою невизначених інтегралів від многочлена та від правильного раціонального дробу.
Інтеграли від найпростіших раціональних дробів
Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до найпростішим раціональним дробам:
- %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
- %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,
де %%k > 1%% - ціле та %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Обчислення невизначених інтегралів від дробів перших двох типів
Обчислення невизначених інтегралів від дробів перших двох типів не викликає труднощів: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm (d) (x - a)) (x - a) = A \ ln | x - a | + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$
Обчислення невизначених інтегралів від дробів третього типу
Дроби третього типу спочатку перетворимо, виділивши повний квадрат у знаменнику: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2/4), $$ оскільки %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, яке позначимо як %%a^2%%. Замінивши також %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, перетворимо знаменник і запишемо інтеграл від дробу третього типу у формі $$ \begin(array)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(array) $$
Останній інтеграл, використовуючи лінійність невизначеного інтеграла, представимо у вигляді суми двох і в першому з них введемо %%t%% під знак диференціала: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$
Повертаючись до вихідної змінної %%x%%, у результаті для дробу третього типу отримуємо $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right | + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ де %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.
Обчислення інтеграла 4 типу складно, у цьому курсі не розглядається.
