Ймовірне вирішення фігури у процесі контакту. Геометричне визначення ймовірності випадкової події

Зауваження 1.4.У випадку, коли gі G– відрізки прямої, ймовірність події Aдорівнює відношенню довжин цих відрізків. Якщо gі G– тіла у тривимірному просторі, то ймовірність події Aзнаходять як відношення обсягів цих тіл. Тому в загальному випадку

де mes– метрика розглянутого простору.

Зауваження 1.5.Геометричне визначення ймовірності застосовується до випробувань із нескінченним числом результатів.

приклад 1.13.Дві особи домовилися зустрітися в певному місці між 12 і 13 год., причому кожен, хто прийшов на зустріч, чекає іншого протягом 20 хв., але не довше, ніж до 13.00, після чого йде. Знайти ймовірність зустрічі цих осіб, якщо кожен із них приходить у випадковий час, не узгоджений з моментом приходу іншого.

Рішення.Нехай подія A- зустріч відбулась. Позначимо через x– час приходу першої особи на зустріч, y- час приходу другої особи. Тоді безліч усіх можливих результатів досвіду – безліч усіх пар ( x, y), де x, yÎ. А безліч сприятливих результатів визначається нерівністю

|x – y| £ 20 (хв).

Обидва ці множини нескінченні, тому класичне визначення для обчислення ймовірності застосувати не можна. Скористаємося геометричним визначенням. На рис. 1.2 зображені множини всіх можливих результатів (квадрат OKMT) та сприятливих результатів (шестикутник OSLMNR). Використовуючи визначення 1.13, отримаємо

Сума та добуток подій. Теореми про ймовірність суми та добутку подій

Визначення 1.14.Сумою подій Aі Bназивають подія, що полягає у появі хоча б одного з них. Позначення: A + B.

Визначення 1.15.Добутком подій Aі Bназивають подія, що полягає у одночасному наступі цих подій у тому самому досвіді. Позначення: AB.

приклад 1.14.З колоди в 36 карт вийнято одну карту навмання. Введемо позначення: A- Вийнята карта виявилася дамою, B- Вийняли карту пікової масті. Знайти ймовірність подій A + Bі AB.

Рішення. Подія A + Bстанеться, якщо витягнута карта буде пікової масті або жінкою. Отже, даній події сприяють 13 результатів (кожна з 9 карт пікової масті, кожна з трьох жінок іншої масті) з 36 можливих. Використовуючи класичне визначення ймовірності випадкової події, отримаємо

Подія ABнастане, якщо витягнута карта буде пікової масті та жінкою. Отже, події ABсприяє тільки один результат досвіду (пікова жінка) з 36 потенційних. З урахуванням визначення 1.11 отримаємо

Зауваження 1.6.Визначення суми та добутку подій можна поширити на будь-яку кількість подій.

При обчисленні ймовірності суми та добутку подій зручно використовувати такі твердження.

Теорема 1.1.Імовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої саме, дорівнює сумі ймовірностей цих подій

P( A+B) = P ( A)+P( B).

Наслідок 1.1.Імовірність появи однієї з кількох попарно несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій

P( A 1 +A 2 +…+A n) = P ( A 1) + P ( A 2) + ... + P ( A n).

Наслідок 1.2.Сума ймовірностей попарно несумісних подій A 1 , A 2 ,…, A n, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці

P( A 1) + P ( A 2) + ... + P ( A n)=1.

Наслідок 1.3.Ймовірність протилежної події

Випадкова подія була визначена як подія, яка в результаті досвіду може статися або не статися. Якщо при обчисленні ймовірності події жодних інших обмежень (крім умов досвіду) не накладається, таку ймовірність називають безумовною. Якщо ж накладаються інші додаткові умови, то ймовірність події називають умовною.

Визначення 1.16.Умовною ймовірністю P B(A) (або P( A|B)) називають ймовірність події A, обчислену у припущенні, що подія Bвже сталося.

Використовуючи поняття умовної ймовірності, дамо визначення незалежності подій, відмінне від наведеного раніше.

Визначення 1.17. Подія A незалежно від події Bякщо має місце рівність

У практичних питаннях визначення незалежності даних подій рідко звертаються до перевірки виконання їм рівностей (1.3) і (1.4). Зазвичай при цьому користуються інтуїтивними міркуваннями, заснованими на досвіді.

Визначення 1.18.Декілька подій називають попарно незалежнимиякщо кожні два з них незалежні.

Визначення 1.19.Декілька подій називають незалежними у сукупності, якщо вони попарно незалежні і незалежні кожна подія та всі можливі твори інших.

Теорема 1.2.Імовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену у припущенні, що перша подія вже настала.

Залежно від вибору порядку проходження подій теорема 1.2 може бути записана у вигляді

P( AB) = P ( A)P A(B)

P( AB) = P ( B)P B(A).

Наслідок 1.4.Імовірність спільної появи кількох подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовні ймовірності решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з'явилися

При цьому порядок, у якому розташовані події, може бути обраний будь-яким.

приклад 1.15.У урні 6 білих та 3 чорні кулі. З урни навмання виймають по одній кулі до появи чорної. Знайти ймовірність того, що доведеться проводити четверте виймання, якщо кулі в урну не повертають назад.

Рішення.У аналізованому досвіді потрібно проводити четверте виймання, якщо перші три кулі виявляться білими. Позначимо через A iподія, яка полягає в тому, що при i-ом вийманні з'явиться біла куля ( i= 1, 2, 3). Завдання полягає у пошуку ймовірності події A 1 A 2 A 3 . Оскільки вийняті кулі назад не повертають, події A 1 , A 2 та A 3 є залежними (кожне попереднє впливає можливість появи наступного). Для обчислення ймовірності скористаємося наслідком 1.4 та класичним визначенням ймовірності випадкової події, саме

Наслідок 1.5.Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює твору їх ймовірностей

P( AB) = P ( A)P( B).

Наслідок 1.6.Імовірність спільної появи кількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку їх ймовірностей

P( A 1 A 2 …A n) = P ( A 1) P ( A 2) ... P ( A n).

приклад 1.16.Розв'язати задачу з прикладу 1.15, вважаючи, що після кожного виймання кулі повертають у урну.

Рішення.Як і раніше (приклад 1.15) потрібно знайти P( A 1 A 2 A 3). Проте події A 1 , A 2 та A 3 є незалежними у сукупності, т.к. склад урни при кожному вийманні однаковий і, отже, результат окремого випробування впливає інші. Тому для обчислення ймовірності скористаємося наслідком 1.6 та визначенням 1.11 ймовірності випадкової події, а саме

P( A 1 A 2 A 3) = P ( A 1) P ( A 2) P ( A 3)= = .

Теорема 1.3.Імовірність появи хоча б однієї з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їхньої спільної появи

Зауваження 1.7.При використанні формули (1.5) треба мати на увазі, що події Aі Bможуть бути як залежними, і незалежними.

приклад 1.17.Два стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Відомо, що можливість потрапляння в ціль для одного зі стрільців дорівнює 0,6, а для іншого – 0,7. Знайти ймовірність того, що

а) обидва стрільці потраплять у ціль (подія D);

б) тільки один зі стрільців потрапить у ціль (подія E);

в) хоча б один зі стрільців потрапить у ціль (подія F).

Рішення.Введемо позначення: A– перший стрілець влучив у ціль, B– другий стрілець влучив у ціль. За умовою P( A) = 0,6 і P( B) = 0,7. Відповімо на поставлені запитання.

а) Подія Dстанеться, якщо виникне подія AB. Оскільки події Aі Bнезалежні, то з урахуванням слідства 1.5 отримаємо

P( D) = P ( AB) = P ( A)P( B) = 0,6 0,7 = 0,42.

б) Подія Eстанеться, якщо з'явиться одна з подій Aабо B. Ці події несумісні, а події A() та B() незалежні, тому за теореми 1.1, наслідками 1.3 та 1.5 матимемо

P( E) = P ( A+ B) = P ( A) + P( B) =

P( A)P() + P()P( B) = 0,6 0,3 + 0,4 0,7 = 0,46.

в) Подія Fвиникне, якщо з'явиться хоча б одна з подій Aабо B. Ці події спільні. Отже, за теоремою 1.3 маємо

P( F) = P ( A+B) = P ( A) + P( B) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88.

Зазначимо, що ймовірність події Fможна було вирахувати інакше. А саме

P( F) = P ( A+ B + AB) = P ( A) + P( B) + P( AB) = 0,88

P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 – 0,4×0,3 = 0,88.

Формула ймовірності. Формули Байєса

Нехай подія Aможе наступити за умови появи однієї з несумісних подій B 1 , B 2 ,…, B n, що утворюють повну групу Оскільки наперед не відомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами.

Оцінити ймовірність появи події Aдо проведення досвіду можна, використовуючи таке твердження.

Теорема 1.4.Ймовірність події A, яке може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій B 1 , B 2 ,…, B n, що утворюють повну групу, дорівнює

Формула (1.6) зветься формули повної ймовірності.

приклад 1.18.Для складання іспиту студентам необхідно було підготувати 30 питань. З 25 студентів 10 підготували всі питання, 8 – 25 питань, 5 – 20 питань та 2 – 15 питань. Знайти ймовірність того, що викликаний навмання студент відповість на поставлене запитання.

Рішення.Введемо такі позначення: A- подія, що полягає в тому, що викликаний навмання студент відповів на поставлене питання, B 1 - викликаний навмання студент знає відповіді на всі питання, B 2 - викликаний навмання студент знає відповіді на 25 питань, B 3 - викликаний навмання студент знає відповіді на 20 питань та B 4 - викликаний навмання студент знає відповіді на 15 питань. Зауважимо, що події B 1 ,B 2 ,B 3 та B 4 несумісні, утворюють повну групу, та подія Aможе наступити за умови появи однієї з цих подій. Отже, для обчислення ймовірності події Aможна використовувати формулу повної ймовірності (1.6):

За умовою завдання відомі ймовірності гіпотез

P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) =

та умовні ймовірності (імовірності для студентів кожної з чотирьох груп відповісти на поставлене запитання)

1, = , = , = .

Таким чином,

P( A) = ×1 + × + × + × = .

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія A, причому яка з подій B i (i =1, 2,…, n) сталося досліднику невідомо. Оцінити ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, можна за допомогою формул Байєса

Тут P( A) обчислюється за формулою ймовірності (1.6).

приклад 1.19.На деякій фабриці машина I виробляє 40% усієї продукції, а машина II – 60%. У середньому 9 з 1000 одиниць продукції, виробленої машиною I, виявляється шлюбом, а й у машини II – шлюб 4 одиниці з 500. Деяка одиниця продукції, обрана випадковим чином із денної продукції, виявилася шлюбом. Яка ймовірність, що вона зроблена машиною II?

Рішення.Введемо позначення: A– подія, яка полягає в тому, що одиниця продукції, обрана випадковим чином із денної продукції, виявилася шлюбом, B i- одиниця продукції, вибрана навмання, виготовлена ​​машиною i(i= І, ІІ). Події B 1 та B 2 несумісні та утворюють повну групу, причому подія Aможе виникнути лише внаслідок появи однієї з цих подій. Відомо, що подія Aсталося (обрана навмання одиниця продукції виявилася шлюбом). Яка саме з подій B 1 або B 2 у своїй мало місце невідомо, т.к. невідомо на якій із двох машин виготовлено вибраний виріб. Оцінку ймовірності гіпотези B 2 можна провести за формулою Байєса (1.7):

де ймовірність випадкового вибору бракованого виробу визначається за формулою повної ймовірності (1.6):

Враховуючи, що за умовою завдання

P( B 1) = 0,40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008,

Послідовність незалежних випробувань

У науковій та практичній діяльності постійно доводиться проводити випробування, що багаторазово повторюються, в подібних умовах. Як правило, при цьому результати попередніх випробувань не позначаються на наступних. Дуже важливий найпростіший тип таких випробувань, коли в кожному випробуванні певна подія Aможе з'явитися з тією ж ймовірністю і ця ймовірність залишається однією і тією ж, незалежно від результатів попередніх або наступних випробувань. Цей тип випробувань був вперше досліджений Якобом Бернуллі, і тому отримав назву схеми Бернуллі.

Схема Бернуллі.Нехай проводиться nнезалежних випробувань у подібних умовах (або той самий досвід проводиться nраз), у кожному з яких подія Aможе виникнути або виникнути. При цьому ймовірність появи події Aу кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює p. Отже, ймовірність ненастання події Aу кожному окремому випробуванні також постійна і рівна q= 1 - p.

Імовірність того, що в цих умовах подія Aздійсниться рівно kраз (і, отже, не здійсниться n – kраз) можна знайти за формулі Бернуллі

При цьому порядок появи події Aу вказаних nвипробуваннях може бути довільним.

приклад 1.20.Імовірність того, що покупцю знадобиться взуття 41-го розміру, дорівнює 0,2. Знайти можливість, що з 5 перших покупців взуття цього розміру знадобиться: а) одному; б) по крайнього заходу одному; в) не менше трьох; г) понад один і менше чотирьох.

Рішення.У цьому прикладі той самий досвід (вибір взуття) проводиться 5 разів, причому ймовірність події A– обране взуття 41-го розміру – постійне та дорівнює 0,2. З іншого боку, результат кожного окремого випробування впливає інші досліди, т.к. покупці вибирають взуття незалежно один від одного. Отже, маємо послідовність випробувань, які проводяться за схемою Бернуллі, в якій n = 5, p = 0,2, q= 0,8. Для відповіді на поставлені запитання слід обчислити ймовірності P 5 ( k). Скористайтеся формулою (1.8).

а) P 5 (1) = 0,4096;

б) P 5 ( k³ 1) = 1 - P 5 ( k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232;

в) P 5 ( k³ 3) = P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) = + + = = 0,5792;

г) P 5 (1< k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256.

Використання формули Бернуллі (1.32) при великих значеннях піт викликає великі труднощі, так як це пов'язано з громіздкими обчисленнями. Так, при п = 200, т = 116, р = 0,72 формула Бернуллі набуває вигляду Р 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Підрахувати результат практично неможливо. Обчислення Р п (т) викликає труднощі також за малих значень р (q). Виникає необхідність знаходження наближених формул для обчислення Р п (т), які забезпечують необхідну точність. Такі формули дають нам граничні теореми; вони містять так звані асимптотичні формули, які при великих значеннях випробувань дають як завгодно малу відносну похибку. Розглянемо три граничні теореми, що містять асимптотичні формули для обчислення біномної ймовірності Р п (т) при п.

Теорема 1.5.Якщо число випробувань необмежено збільшується (п) і ймовірність р настання події А в кожному випробуванні необмежено зменшується (p), але так, що їх твір є постійною величиною (пр = а = const), то ймовірність Р п (т) задовольняє граничному рівності

Вираз (1.9) називається асимптотичною формулою Пуассона.

З граничної рівності (1.9) при великих і малих р випливає наближена формула Пуассона

Формулу (1.10) застосовують, коли ймовірність р = const успіху вкрай мала, тобто сам по собі успіх (поява події А) є рідкісною подією (наприклад, виграш автомобіля за лотерейним квитком), але кількість випробувань п велике, середня кількість успіхів пр = а незначно. Наближену формулу (1.10) зазвичай використовують, коли п 50 а пр 10.

Формула Пуассона знаходить застосування у теорії масового обслуговування.

Потоком подій називають послідовність подій, що настають у випадкові моменти часу (наприклад, потік відвідувачів у перукарні, потік викликів на телефонній станції, потік відмов елементів, потік обслужених абонентів тощо).

Потік подій, що має властивості стаціонарності, ординарності та відсутності наслідку називається найпростішим (пуассонівським) потоком.

Властивість стаціонарності означає, що можливість появи k подій на ділянці часу довжини залежить тільки від його довжини (тобто не залежить від початку його відліку). Отже, середня кількість подій, що з'являються в одиницю часу, так звана інтенсивність потоку, є постійна величина: ( t) = .

Властивість простоти означає, що обставина утворюється не групами, а поодинці. Іншими словами, ймовірність появи більше однієї події на малу ділянку часу t зневажливо мала порівняно з ймовірністю появи лише однієї події (наприклад, потік катерів, що підходять до причалу, ординарен).

Властивість відсутності наслідку означає, що ймовірність появи до подій на будь-якій ділянці часу довжини не залежить від того, скільки подій з'явилося на будь-якій іншій ділянці, що не перетинається з нею (кажуть: «майбутнє» потоку не залежить від «минулого», наприклад, потік людей, що входять до супермаркету).

Можна довести, що ймовірність появи подій найпростішого потоку за час тривалістю t визначається формулою Пуассона.

Користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях nдосить складно, т.к. при цьому доводиться виконувати події над величезними числами. Спростити обчислення можна, використовуючи таблиці факторіалів або застосовуючи технічні засоби (калькулятор, ЕОМ). Але в цьому випадку у процесі обчислень накопичуються похибки. Тому остаточний результат може значно відрізнятись від істинного. Виникає необхідність застосування наближених (асимптотичних) формул.

Зауваження 1.8.Функцію g(x) називають асимптотичним наближенням функції f(x), якщо.

Теорема 1.6. (Локальна теорема Муавра-Лапласа) Якщо ймовірність pпояви події Aу кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, а кількість незалежних випробувань досить велика, то ймовірність того, що подія Aз'явиться в nвипробуваннях, що проводяться за схемою Бернуллі, рівно kраз, приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше n)

Графік функції має вигляд, зображений на рис. 1.3.

Слід враховувати, що:

а) функція φ(x) парна, тобто φ(-x) = φ(x);

Для функції j(x) складені таблиці значень при x³ 0. При x< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(x) парна.

Теорема 1.7. (Інтегральна теорема Муавра-Лапласа) Якщо ймовірність pнастання події Aу кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 та 1, то ймовірність P n(k 1 , k 2) те, що подія Aз'явиться в nвипробуваннях, що проводяться за схемою Бернуллі, від k 1 до k 2 разів, приблизно дорівнює

Тут z 1 та z 2 визначені (1.14).

Приклад 1.21.Схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,85. Знайдіть ймовірність того, що з 500 висіяних насіння зійде: а) 425 насінин; б) від 425 до 450 насінин.

Рішення.Тут, як і в попередньому прикладі, є послідовність незалежних випробувань, що проводяться за схемою Бернуллі (досвід – посадка одного насіння, подія A- Насіння зійшло): n = 500, p = 0,85, q= 0,15. Оскільки число випробувань велике ( n> 100), скористаємося при обчисленні необхідних ймовірностей асимптотичними формулами (1.10) та (1.13).

б) "F(3,13)-F(0)"0,49.

Якщо кількість випробувань n, що проводяться за схемою Бернуллі, велика, а ймовірність pпояви події Aу кожному їх мала ( p£ 0,1), то асимптотична формула Лапласа непридатна. У цьому випадку використовують асимптотичну формулу Пуассона

де l = np.

приклад 1.22.Магазин одержав 1000 пляшок мінеральної води. Імовірність того, що при перевезенні пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Знайдіть ймовірність того, що магазин отримає розбиті пляшки: а) рівно 2; б) менше 2; в) хоча б одну.

Рішення.У цьому завдання є послідовність незалежних випробувань, проведених за схемою Бернуллі (досвід – перевірка однієї пляшки на цілісність, подія A- Пляшка розбилася): n = 1000, p = 0,003, q= 0,997. Т.к. число випробувань велике ( n> 100), а ймовірність pмала ( p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l=3.

а) = 4,5 e-3» 0,224;

б) P 1000 ( k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3» 0,199;

в) P 1000 ( k³ 1) = 1 - P 1000 ( k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3» 0,95.

Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа є наслідками загальної центральної граничної теореми. Багато безперервних випадкових величин мають нормальнерозподіл. Ця обставина багато в чому визначається тим, що підсумовування великої кількості випадкових величин з різними законами розподілу призводить до нормального розподілу цієї суми.

Теорема . Якщо випадкова величина є сумою дуже великої кількості взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, то має розподіл, близький до нормального .

Центральна гранична теорема має значення для практики.

Припустимо, визначається певний економічний показник, наприклад, споживання електроенергії у місті протягом року. Величина сумарного споживання складається із споживання енергії окремими споживачами, яка має випадкові значення з різними розподілами. Теорема стверджує, що в цьому випадку, хоч би який розподіл не мали окремі складові, розподіл результуючого споживання буде близьким до нормального.