Як відомо, знаходження інтеграла може бути досить складним завданням. Було б великим розчаруванням зайнятися обчисленням невласного інтеграла та виявити наприкінці шляху, що він розходиться. Тому цікаві методи, дозволяють без серйозних обчислень за одним видом функцій зробити висновок про збіжність або розбіжності невласного інтеграла. Перша та друга теореми порівняння, які будуть розглянуті нижче, значною мірою допомагають досліджувати невласні інтеграли на збіжність.
Нехай f(x)? Тоді функції
є монотонно зростаючими від змінних t або-д (оскільки беремо д>0, -д прагне нуля ліворуч). Якщо зростання аргументів функції F 1 (t) і F 2 (-д) залишаються обмеженими зверху, це означає, що відповідні невласні інтеграли сходяться. На цьому ґрунтується перша теорема порівняння для інтегралів від невід'ємних функцій.
Нехай для функції f(x) та g(x) при x?a виконані умови:
- 1) 0?f(x)?g(x);
- 2) Функції f(x) і g(x) безперервні.
Тоді зі збіжності інтеграла слід збіжність інтеграла, та якщо з розбіжності інтеграла слід розбіжність
Оскільки 0?f(x)?g(x) і функції безперервні, то
За умовою інтеграл сходиться, тобто. має кінцеву величину. Отже, інтеграл сходиться також.
Нехай тепер інтеграл розходиться. Припустимо, що інтеграл сходиться, але тоді має сходитися інтеграл, що суперечить умові. Наше припущення неправильне, інтеграл розходиться.
Теорема порівняння для невласних інтегралів 2-го роду.
Нехай для функцій f(x) і g(x) на проміжку необмежено зростає при x>+0. Для неї при x>+0 справедлива нерівність<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.
Теорема порівняння для невласних інтегралів 1-го роду.
Нехай для функції f(x) та g(x) на проміжку інтеграл розходиться.
Отже, на ділянці інтеграл також розходиться.
Таким чином, даний інтеграл розходиться по всьому відрізку [-1, 1]. Зазначимо, що якби ми стали обчислювати цей інтеграл, не звертаючи уваги на розрив підінтегральної функції у точці x = 0, то отримали б неправильний результат. Справді,
, що неможливо.
Отже, на дослідження невласного інтеграла від розривної функції, необхідно " розбити " його кілька інтегралів і досліджувати їх.
Якщо підінтегральна функція має на (кінцевому) інтервалі інтегрування розрив другого роду, говорять про невласний інтеграл другого роду.
10.2.1 Визначення та основні властивості
Позначимо інтервал інтегрування $\left[ a, \, b \right ]$, обидва ці числа нижче вважаються кінцевими. Якщо є лише 1 розрив, він може бути або у точці $a$, або у точці $b$, або всередині інтервалу $(a,\,b)$. Розглянемо спочатку випадок, коли розрив другого роду є у точці $a$, а інших точках подинтегральная функція безперервна. Отже, ми обговорюємо інтеграл
\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)
причому $f(x) \rightarrow \infty $, коли $x \rightarrow a+0$. Як і раніше, насамперед слід надати сенс цього виразу. Для цього розглянемо інтеграл
\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Визначення. Нехай існує кінцева межа
\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Тоді стверджують, що невласний інтеграл другого роду (22) сходиться, і йому приписують значення $A$, саму функцію $f(x)$ називають інтегрованою на інтервалі $\left[ a, \, b\right]$.
Розглянемо інтеграл
\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]
Підінтегральна функція $1/\sqrt(x)$ при $x \rightarrow +0$ має нескінченну межу, тому в точці $x=0$ вона має розрив другого роду. Покладемо
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]
В даному випадку первісна відома,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2 \]
за $\epsilon \rightarrow +0$. Таким чином, вихідний інтеграл є схожим невласним інтегралом другого роду, причому він дорівнює 2.
Розглянемо варіант, коли розрив другого роду підінтегральної функції є верхньому межі інтервалу інтегрування. Цей випадок можна звести до попереднього, замінивши змінну $x=-t$ і потім переставивши межі інтегрування.
Розглянемо варіант, коли розрив другого роду у підінтегральної функції є всередині інтервалу інтегрування, у точці $ c \ in (a, \, b) $. У цьому випадку вихідний інтеграл
\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)
представляють у вигляді суми
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Визначення. Якщо обидва інтеграли $I_1, \, I_2$ сходяться, то невласний інтеграл (23) називають схожим і йому приписують значення, що дорівнює сумі інтегралів $I_1, \, I_2$, функцію $f(x)$ називають інтегрованою на інтервалі $\left [a, \, b\right]$. Якщо хоча б один із інтегралів $I_1,\, I_2$ є розбіжним, невласний інтеграл (23) називають розбіжним.
Схожі невласні інтеграли 2 роду мають усіма стандартними якостями стандартних конкретних інтегралів.
1. Якщо $f(x)$, $g(x)$ інтегровані на інтервалі $\left[ a, \,b \right ]$, їх сума $f(x)+g(x)$ також інтегрована на цьому інтервалі, причому \[ \ int _a ^ (b) \ left (f (x) + g (x) \ right) dx = \ int _a (x) dx. \] 2. Якщо $f(x)$ інтегрована на інтервалі $\left[ a, \, b \right ]$, то для будь-якої константи $C$ функція $C\cdot f(x)$ також інтегрована на цьому інтервалі , причому \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Якщо $f(x)$ інтегрована на інтервалі $\left[ a, \, b \right ]$, причому на цьому інтервалі $f(x)>0$, то \[ \int _a^(b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Якщо $f(x)$ інтегрована на інтервалі $\left[ a, \, b \right ]$, то для будь-якого $c\in (a, \,b)$ інтеграли \[ \int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] теж сходяться, причому \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (адитивність інтеграла за інтервалом).
Розглянемо інтеграл \begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation) Якщо $k>0$, підінтегральна функція прагне $\infty$ при $x \rightarrow +0$, так що інтеграл - невласний другого роду. Введемо функцію \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] В даному випадку первісна відома, так що \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] при $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] за $k = 1$. Розглядаючи поведінку при $\epsilon \rightarrow +0$, приходимо до висновку, що інтеграл (20) сходиться при $k
10.2.2 Ознаки збіжності невласних інтегралів 2 роду
Теорема (перша ознака порівняння). Нехай $f(x)$, $g(x)$ - безперервні за $x\in (a,\,b)$, причому $0 1. Якщо інтеграл \[ \int _a^(b)g(x)dx \] сходиться, то сходиться й інтеграл \[ \int _a^(b)f(x)dx. \] 2. Якщо інтеграл \[ \int _a^(b)f(x)dx \] розходиться, то розходиться і інтеграл \[ \int _a^(b)g(x)dx. \]
Теорема (друга ознака порівняння). Нехай $f(x)$, $g(x)$ - безперервні і позитивні за $x\in (a,\,b)$, причому існує кінцева межа
\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Тоді інтеграли
\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]
сходяться або розходяться одночасно.
Розглянемо інтеграл
\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
Підінтегральний вираз - позитивна функція на інтервалі інтегрування, підінтегральна функція прагне $\infty$ при $x \rightarrow +0$, так що наш інтеграл - невласний другого роду. Далі, за $x \rightarrow +0$ маємо: якщо $g(x)=1/x$, то
\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]
Застосовуючи другу ознаку порівняння, приходимо до висновку, що наш інтеграл сходиться чи розходиться одночасно з інтегралом
\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]
Як було показано у попередньому прикладі, цей інтеграл розходиться ($k=1$). Отже, вихідний інтеграл також розходиться.
Обчислити невласний інтеграл чи встановити його збіжність (розбіжність).
1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]
