Знайти площу поверхні утвореної обертанням навколо ох. Як знайти площу поверхні обертання за допомогою інтегралу

Якщо крива задана параметричними рівняннями, то площа поверхні, отриманої обертанням даної кривої навколо осі, розраховується за формулою . При цьому "напрямок промальовування" лінії, про яке було зламана стільки копій у статті, байдуже. Але, як і в попередньому пункті, важливо, щоб крива розташовувалася вищеосі абсцис – інакше функція , що «відповідає за ігреки», прийматиме негативні значення і перед інтегралом доведеться поставити знак «мінус».

Приклад 3

Обчислити площу сфери, отриманої обертанням кола навколо осі .

Рішення: із матеріалів статті про площу та об'єм при параметрично заданій лініїви знаєте, що рівняння задають коло із центром на початку координат радіуса 3.

Ну а сфера , для тих, хто забув, – це поверхня кулі(або кульова поверхня).

Дотримуємось напрацьованої схеми рішення. Знайдемо похідні:

Складемо і спростимо «формульний» корінь:

Що й казати, вийшла цукерка. Ознайомтеся для порівняння, як Фіхтенгольц бадьорився з площею еліпсоїда обертання.

Згідно з теоретичною ремаркою, розглядаємо верхню півколо. Вона "промальовується" при зміні значення параметра в межах (легко бачити, що на даному проміжку), таким чином:

Відповідь:

Якщо вирішити задачу в загальному вигляді, то вийде точно шкільна формулаплощі сфери, де – її радіус.

Щось дуже просте завдання, навіть соромно стало…. пропоную вам виправити таку недоробку =)

Приклад 4

Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням першої арки циклоїди навколо осі.

Завдання креативне. Намагайтеся вивести або інтуїтивно здогадатися про формулу обчислення площі поверхні, отриманої обертанням кривої навколо осі ординат. І, звісно, ​​знову слід зазначити перевагу параметричних рівнянь – їх треба якось видозмінювати; не потрібно морочитися зі знаходженням інших меж інтегрування.

Графік циклоїди можна переглянути на сторінці Площа та об'єм, якщо лінія задана параметрично. Поверхня обертання нагадуватиме… навіть не знаю з чим порівняти… щось неземне – округлої форми з гострокінцевим заглибленням посередині. Ось для випадку обертання циклоїди навколо осі асоціація в голову миттєво спала - довгастий м'яч для гри в регбі.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Завершуємо наш цікавий огляд випадком полярних координат. Так, саме огляд, якщо ви заглянете в підручники з математичного аналізу(Фіхтенгольця, Бохана, Піскунова, ін. авторів), то зможете роздобути добрий десяток (а то й помітно більше) стандартних прикладів, серед яких цілком можливо знайдеться потрібне вам завдання.

Як вирахувати площу поверхні обертання,
якщо лінія задана у полярній системі координат?

Якщо крива задана в полярних координатахрівнянням , і функція має безперервну похідну на даному проміжку, площа поверхні, отриманої обертанням даної кривої навколо полярної осі, розраховується за формулою , де - Кутові значення, що відповідають кінцям кривої.

Відповідно до геометричним змістомзавдання підінтегральна функція , а це досягається лише за умови (і явно невід'ємні). Отже, необхідно розглядати значення кута з діапазону , тобто крива повинна розташовуватися вищеполярної осі та її продовження. Як бачите, та сама історія, що й у двох попередніх параграфах.

Приклад 5

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.

Рішення: графік даної кривої можна переглянути в Прикладі 6 уроку про полярній системі координат. Кардіоїда симетрична щодо полярної осі, тому розглядаємо її верхню половинку на проміжку (що, власне, обумовлено і сказаним вище зауваженням).

Поверхня обертання нагадуватиме яблучко.

Техніка рішення стандартна. Знайдемо похідну за «фі»:

Складемо і спростимо корінь:

Сподіваюся, із заштатними тригонометричними формуламині в кого не виникло труднощів.

Використовуємо формулу:

На проміжку , отже: (про те, як правильно позбавлятися кореня, я докладно розповів у статті Довжина дуги кривої).

Відповідь:

Цікаве та коротке завдання для самостійного рішення:

Приклад 6

Обчислити площу шарового пояса ,

Що таке кульовий пояс? Покладіть на стіл круглий апельсин неочищений і візьміть в руки ніж. Зробіть два паралельнихрозрізу, розділивши цим фрукт на 3 частини довільних розмірів. Тепер візьміть серединку, у якої соковита м'якоть оголилася з обох боків. Це тіло називається шаровим шаром, А що обмежує її поверхню (помаранчева шкірка) - шаровим поясом.

Читачі, добре знайомі з полярними координатами, легко представили креслення задачі: рівняння задає коло з центром у полюсі радіуса, від якого промені відсікають меншудугу. Ця дуга обертається навколо полярної осі і таким чином виходить шаровий пояс.

Тепер можна з чистою совістюі легким серцем з'їсти апельсинку, на цій смачній ноті і завершимо заняття, не псувати вам апетит іншими прикладами =)

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення : обчислимо площу поверхні, утвореної обертанням верхньої гілки навколо осі абсцис. Використовуємо формулу .
В даному випадку: ;

Таким чином:


Відповідь:

Приклад 4:Рішення : використовуємо формулу . Перша арка циклоїди визначена на відрізку .
Знайдемо похідні:

Складемо і спростимо корінь:

Таким чином, площа поверхні обертання:

На проміжку тому

Перший інтегралінтегруємо частинами :

У другому інтегралі використовуємотригонометричну формулу .


Відповідь:

Приклад 6:Рішення : використовуємо формулу:


Відповідь:

Вища математика для заочників і не лише >>>

(Перехід на головну сторінку)

Як вирахувати певний інтеграл
за формулою трапецій та методом Сімпсона?

Численні методи - досить великий розділ вищої математики та серйозні підручники з цієї теми налічують сотні сторінок. На практиці, у контрольних роботах традиційно пропонуються для вирішення деякі завдання за чисельними методами, і одним з найпоширеніших завдань є наближене обчислення певних інтегралів. У цій статті я розгляну два методи наближеного обчислення певного інтегралу. метод трапеційі метод Сімпсона.

Що знати, щоб освоїти дані методи? Прозвучить кумедно, але взагалі можна не вміти брати інтеграли. І навіть взагалі не розуміти, що таке інтеграли. З технічних засобів буде потрібно мікрокалькулятор. Так-так, на нас чекають рутинні шкільні розрахунки. А ще краще – закачайте мій калькулятор-напівавтомат для методу трапецій та методу Сімпсона. Калькулятор написаний в Екселі і дозволить у десятки разів зменшити час вирішення та оформлення завдань. Для екселевський чайників додається відеомануал! До речі, перший відеозапис із моїм голосом.

Спочатку поставимо питання, а навіщо взагалі потрібні наближені обчислення? Начебто можна знайти первісну функцію і використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, обчисливши точне значення певного інтеграла. Як відповідь на запитання одразу розглянемо демонстраційний прикладз малюнком.

Обчислити певний інтеграл

Все було б добре, але в даному прикладі інтеграл не береться - перед вами так, що не береться, так званий інтегральний логарифм. А чи взагалі існує цей інтеграл? Зобразимо на кресленні графік підінтегральної функції:

Все нормально. Підінтегральна функція безперервнана відрізку і певний інтеграл чисельно дорівнює заштрихованій площі. Та ось тільки одна проблема – інтеграл не береться. І в подібних випадках на допомогу приходять чисельні методи. При цьому завдання зустрічається у двох формулюваннях:

1) Обчислити певний інтеграл приблизно , округляючи результат до певного знака після коми. Наприклад, до двох знаків після коми, до трьох знаків після коми тощо. Припустимо, вийшла наближена відповідь 5,347. Насправді він може бути не зовсім вірним (насправді, скажімо, точніша відповідь 5,343). Наше завдання полягає лише в тому, щоб округлити результат до трьох знаків після коми.

2) Обчислити певний інтеграл приблизно, з певною точністю. Наприклад, обчислити певний інтеграл приблизно з точністю до 0,001. Що це означає? Це означає, що якщо отримана наближена відповідь 5,347, то Усецифри повинні бути залізобетонні правильними. А точніше кажучи, відповідь 5,347 повинна відрізнятись від істини за модулем (в той чи інший бік) не більше ніж на 0,001.

Існують кілька основних методів наближеного обчислення певного інтеграла, який зустрічається у задачах:

Метод прямокутників. Відрізок інтегрування розбивається кілька частин і будується ступінчаста постать ( гістограма), яка за площею близька до шуканої площі:

Чи не судіть строго за креслення, точність не ідеальна - вони лише допомагають зрозуміти суть методів.

У даному прикладі проведено розбиття відрізка інтегрування на три відрізки:
. Очевидно, що чим частіше розбиття (більше дрібних проміжних відрізків), тим вища точність. Метод прямокутників дає грубе наближення площі, мабуть, тому дуже рідко зустрічається на практиці (нагадав лише один практичний приклад). У зв'язку з цим я не розглядатиму метод прямокутників, і навіть не наведу просту формулу. Не тому, що ліньки, а через принцип мого рішника: що дуже рідко зустрічається в практичних завданнях, то – не розглядається.

Метод трапецій. Ідея аналогічна. Відрізок інтегрування розбивається на кілька проміжних відрізків і графік підінтегральної функції наближається ламаноюлінією:

Таким чином, наша площа (синє штрихування) наближається сумою площ трапецій (червоний колір). Звідси й назва методу. Легко помітити, що метод трапецій дає значно краще наближення ніж метод прямокутників (при однаковій кількості відрізків розбиття). І, природно, що більше дрібніших проміжних відрізків ми розглянемо, тим вище точність. Спосіб трапецій іноді зустрічається в практичних завданнях, і в цій статті буде розібрано кілька прикладів.

Метод Сімпсона (метод парабол). Це досконаліший спосіб – графік підінтегральної функції наближається не ламаною лінією, а дрібними параболками. Скільки проміжних відрізків – стільки й невеликих парабол. Якщо взяти ті ж три відрізки, то метод Сімпсона дасть ще більш точне наближення, ніж метод прямокутників або трапецій.

Креслення будувати не бачу сенсу, оскільки візуально наближення накладатиметься на графік функції (ламана лінія попереднього пункту – і то практично збіглася).

Завдання на обчислення певного інтеграла за формулою Сімпсона – найпопулярніше завдання практично. І методу парабол буде приділено значну увагу.

Вітаю вас, шановні студенти ВНЗ Аргемони!

Сьогодні ми продовжимо вчитися матеріалізації предметів. Минулого разу ми обертали плоскі фігури та отримували об'ємні тіла. Деякі з них - дуже привабливі і корисні. Думаю, що багато чого, що винаходить маг, можна надалі знайти застосування.

Сьогодні ми будемо крутити криві. Зрозуміло, що таким чином ми можемо отримати якийсь предмет з дуже тонкими гранями (колбочка або флакон для зілля, ваза для квітів, склянка для напоїв тощо), тому що крива, що обертається, саме такого роду предмети і може створити. Іншими словами, обертанням кривої ми можемо отримати якусь поверхню – замкнуту з усіх боків чи ні. Чому прямо зараз згадалася дірка, з якої весь час пив сер Шурф Лонлі-Локлі.

Ось ми і створимо діряну чашу і недиряву, і підрахуємо площу створеної поверхні. Думаю, для чогось вона (взагалі площа поверхні) буде потрібна - ну хоча б для нанесення спеціальної магічної фарби. А з іншого боку, площі магічних артефактів можуть знадобитися для розрахунку прикладених до них магічних сил чи ще чогось. Ми навчимося це знаходити, а вже де застосувати – знайдемо.

Отже, форму чаші цілком може дати шматок параболи. Візьмемо найпростішу y=x2 на проміжку. Видно, що при обертанні її навколо осі OY виходить саме чаша. Без дна.

Заклинання для розрахунку площі поверхні обертання виглядає так:

Тут | y | - це відстань від осі обертання до будь-якої точки кривої, що обертається. Як відомо, відстань – це перпендикуляр.
Дещо важче з другим елементом заклинання: ds - це диференціал дуги. Ці слова нам нічого не дають, тому не морочимось, а перейдемо на мову формул, де цей диференціал явно представлений для всіх відомих нам випадків:
- Декартової системи координат;
- Записи кривої в параметричному вигляді;
- Полярної системи координат.

Для нашого випадку відстань від осі обертання до будь-якої точки на кривій дорівнює х. Вважаємо площу поверхні дірявої чаші, що вийшла:

Щоб зробити чашу з дном, потрібно взяти ще шматочок, але інший кривій: на інтервалі це лінія y=1.

Зрозуміло, що з її обертанні навколо осі OY вийде денце чаші як кола одиничного радіусу. І ми знаємо, як вважається площа кола (за формулою пі*r^2. Для нашого випадку площа кола дорівнюватиме пі), але обчислимо його за новою формулою - для перевірки.
Відстань від осі обертання до будь-якої точки цього шматочка кривої також дорівнює х.

Ну ось, розрахунки наші вірні, що тішить.

А тепер домашнє завдання.

1. Знайти площу поверхні, отриманої обертанням ламаної ABC, де A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2) навколо осі ОХ.
Порада. Записати всі відрізки у параметричному вигляді.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
До речі, на що схожий предмет, що вийшов?

2. Ну, а тепер придумайте щось самі. Трьох предметів, гадаю, вистачить.

Тому відразу перейду до основних понять та практичних прикладів.

Подивимося на лаконічну картинку

І згадаємо: що можна вирахувати за допомогою певного інтегралу?

Насамперед, звичайно, площа криволінійної трапеції. Знайоме зі шкільних часів.

Якщо ж ця фігура обертається навколо координатної осі, то вже йдеться про знаходження об'єму тіла обертання. Теж просто.

Що ще? Нещодавно була розглянута задача про довжину дуги кривої .

І сьогодні ми навчимося розраховувати ще одну характеристику – ще одну площу. Уявіть, що лінія обертаєтьсянавколо осі. Внаслідок цієї дії виходить геометрична фігура, звана поверхнею обертання. У цьому випадку вона нагадує такий горщик без дна. І без кришки. Як би сказав ослик Іа-Іа, несамовите видовище =)

Щоб виключити двозначне трактування, зроблю занудне, але важливе уточнення:

з геометричного погляду наш «горщик» має нескінченно тонкустінку та двіповерхні з однаковими площами – зовнішню та внутрішню. Так ось, всі подальші викладки мають на увазі площу тільки зовнішньої поверхні.

У прямокутній системі координат площа поверхні обертання розраховується за такою формулою:

або, якщо компактніше: .

До функції та її похідної пред'являються ті самі вимоги, що й під час перебування довжини дуги кривої, але, крім того, крива повинна розташовуватися вищеосі. Це суттєво! Неважко зрозуміти, що якщо лінія розташовується підвіссю, то підінтегральна функція буде негативною: , І тому до формули доведеться додати символ «мінус» щоб зберегти геометричний сенс задачі.

Розглянемо незаслужено обійдену увагою фігуру:

Площа поверхні тора

У двох словах, тор – це бублик. Хрестоматійний приклад, що розглядається практично у всіх підручниках з матану, присвячений знаходженню обсягутора, і тому з метою різноманітності я розберу більш рідкісне завдання про площі його поверхні. Спочатку з конкретними числовими значеннями:

Приклад 1

Обчислити площу поверхні тора, отриманого обертанням кола навколо осі.

Рішення: як ви знаєте, рівняння ставить колоодиничного радіусу з центром у точці. При цьому легко отримати дві функції:

- Задає верхню півколо;
- Задає нижню півколо:

Суть кристально прозора: колообертається навколо осі абсцис та утворює поверхнябублик. Єдине, тут, щоб уникнути грубих застережень, слід виявити акуратність у термінології: якщо обертати коло, обмежений колом , то вийде геометричне тіло, тобто сам бублик. І зараз розмова про площу його поверхні, яку, очевидно, слід розрахувати як суму площ:

1) Знайдемо площу поверхні, яка виходить обертанням «синьої» дуги навколо осі абсцис. Використовуємо формулу . Як я вже неодноразово радив, дії зручніше проводити поетапно:

Беремо функцію і знаходимо її похідну:

І, нарешті, заряджаємо результат у формулу:

Зауважте, що в даному випадку виявилося раціональнішим подвоїти інтеграл від парної функціїпо ходу рішення, ніж попередньо міркувати про симетрію фігури щодо осі ординат.

2) Знайдемо площу поверхні, яка виходить обертанням «червоної» дуги навколо осі абсцис. Всі дії відрізнятимуться фактично лише одним знаком. Оформлю рішення в іншому стилі, що, само собою, теж має право на життя:


3) Таким чином, площа поверхні тора:

Відповідь:

Завдання можна було вирішити в загальному вигляді - обчислити площу поверхні тора, отриманого обертанням кола навколо осі абсцис, і отримати відповідь . Однак для наочності та більшої простоти я провів рішення на конкретних числах.

Якщо вам необхідно розрахувати обсяг самого бублика, будь ласка, зверніться до підручника як експрес-довідку:

Згідно з теоретичною ремаркою, розглядаємо верхню півколо. Вона "промальовується" при зміні значення параметра в межах (легко бачити, що на даному проміжку), таким чином:

Відповідь:

Якщо вирішити завдання у вигляді, то вийде точно шкільна формула площі сфери , де – її радіус.

Щось дуже просте завдання, навіть соромно стало…. пропоную вам виправити таку недоробку =)

Приклад 4

Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням першої арки циклоїди навколо осі.

Завдання креативне. Намагайтеся вивести або інтуїтивно здогадатися про формулу обчислення площі поверхні, отриманої обертанням кривої навколо осі ординат. І, звісно, ​​знову слід зазначити перевагу параметричних рівнянь – їх треба якось видозмінювати; не потрібно морочитися зі знаходженням інших меж інтегрування.

Графік циклоїди можна переглянути на сторінці Площа та об'єм, якщо лінія задана параметрично. Поверхня обертання нагадуватиме… навіть не знаю з чим порівняти… щось неземне – округлої форми з гострокінцевим заглибленням посередині. Ось для випадку обертання циклоїди навколо осі асоціація в голову миттєво спала - довгастий м'яч для гри в регбі.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Завершуємо наш цікавий огляд випадком полярних координат. Так, саме огляд, якщо ви заглянете в підручники з математичного аналізу (Фіхтенгольца, Бохана, Піскунова, ін. авторів), то зможете роздобути добрий десяток (а то й помітно більше) стандартних прикладів, серед яких цілком можливо знайдеться потрібне завдання.

Як обчислити площу поверхні обертання,
якщо лінія задана у полярній системі координат?

Якщо крива задана в полярних координатахрівнянням , і функція має безперервну похідну на даному проміжку, площа поверхні, отриманої обертанням даної кривої навколо полярної осі, розраховується за формулою , де - Кутові значення, що відповідають кінцям кривої.

Відповідно до геометричного змісту завдання підінтегральна функція , а це досягається лише за умови (і явно невід'ємні). Отже, необхідно розглядати значення кута з діапазону , тобто крива повинна розташовуватися вищеполярної осі та її продовження. Як бачите, та сама історія, що й у двох попередніх параграфах.

Приклад 5

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.

Рішення: графік даної кривої можна переглянути в Прикладі 6 уроку про полярній системі координат. Кардіоїда симетрична щодо полярної осі, тому розглядаємо її верхню половинку на проміжку (що, власне, обумовлено і сказаним вище зауваженням).

Поверхня обертання нагадуватиме яблучко.

Техніка рішення стандартна. Знайдемо похідну за «фі»:

Складемо і спростимо корінь:

Сподіваюся, із заштатними

Нехай у просторі задано тіло. Нехай побудовані його перерізи площинами, перпендикулярними до осей, що проходять через точки x
на ній. Площа фігури, що утворюється у перерізі, залежить від точки х, Що визначає площину перерізу Нехай ця залежність відома і задана безперервною на функцією. Тоді об'єм частини тіла, що знаходиться між площинами х=аі х = вобчислюється за формулою

приклад.Знайдемо об'єм обмеженого тіла, укладеного між поверхнею циліндра радіуса:, горизонтальною площиною і похилою площиною z = 2y і лежачого вище горизонтальної площини.

Очевидно, що тіло, що розглядається, проектується на вісь відрізок
, а пріx
поперечний переріз тіла є прямокутним трикутником з катетами y і z=2y, де y можна виразити через x з рівняння циліндра:

Тому площа S(x) поперечного перерізу така:

Застосовуючи формулу, знаходимо об'єм тіла:

Обчислення обсягів тіл обертання

Нехай на відрізку a, b] задана безперервна знакопостійна функція y= f(x). Обсяги тіла обертання, утвореного обертанням навколо осі Ох(або осі Оу) криволінійної трапеції, обмеженою кривою y= f(x) (f(x) 0) та прямими у=0, х=а, х=b, обчислюються відповідно за формулами:

, ( 19)

(20)

Якщо тіло утворюється під час обертання навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженою кривою
та прямими x=0, y= c, y= d, то об'єм тіла обертання дорівнює

. (21)

приклад.Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі Ох.

За формулою (19) потрібний обсяг

приклад.Нехай у площині xOy розглядається лінія y=cosx на відрізку .

Е та лінія обертається у просторі навколо осі, і отримана поверхня обертання обмежує деяке тіло обертання (див. мал.). Знайдемо обсяг цього тіла обертання.

Відповідно до формули, отримуємо:

Площа поверхні обертання

,
, обертається навколо осі Ox, площа поверхні обертання обчислюється за формулою
, де aі b- абсциси початку та кінця дуги.

Якщо дуга крива, задана невід'ємною функцією
,
, обертається навколо осі Oy, площа поверхні обертання обчислюється за формулою

,

де з і d – абсциси початку та кінця дуги.

Якщо дуга крива задана параметричними рівняннями
,
, причому
, то

Якщо дуга задана в полярних координатах
, то

.

приклад.Обчислимо площу поверхні, утвореної обертанням у просторі навколо осі частини лінії= , розташована над відрізкомосі.

Так як
, то формула дає нам інтеграл

Зробимо в останньому інтегралі заміну t=x+(1/2) та отримаємо:

У першому з інтегралів правої частини зробимо заміну z=t 2 -:

Для обчислення другого з інтегралів у правій частині позначимо його і проінтегруємо частинами, отримавши рівняння для:

Переносячи в ліву частину і ділячи на 2, отримуємо

звідки, нарешті,

Додатки певного інтеграла до вирішення деяких завдань механіки та фізики

Робота змінної сили. Розглянемо рух матеріальної точки вздовж осі OXпід дією змінної сили f, яка залежить від положення точки xна осі, тобто. сили, що є функцією x. Тоді робота A, необхідна для переміщення матеріальної точки з позиції x = aу позицію x = bобчислюється за такою формулою:

Для обчислення сили тиску рідинивикористовують закон Паскаля, згідно з яким тиск рідини на майданчик дорівнює її площі S, помноженої на глибину занурення h, на щільність ρ та прискорення сили тяжіння g, тобто.

.

1. Моменти та центри мас плоских кривих. Якщо дуга кривої задана рівнянням y=f(x), a≤x≤b, має щільність
, то статичні моментицієї дуги M x та M y щодо координатних осей Ox та Oy рівні

;

моменти інерції I Х і I у тих же осей Ох і Оу обчислюються за формулами

а координати центру мас і - за формулами

де l маса дуги, тобто.

Приклад 1. Знайти статичні моменти та моменти інерції щодо осей Ох та Оу дуги ланцюгової лінії y=chx при 0≤x≤1.

Якщо щільність не вказана, передбачається, що крива однорідна та
. Маємо:Отже,

приклад 2.Знайти координати центру мас дуги кола x=acost, y=asint, розташованої першої чверті. Маємо:

Звідси отримуємо:

У додатках часто виявляється корисною наступна Теорема Гульдена. Площа поверхні, утвореної обертанням дуги плоскою кривою навколо осі, що лежить у площині дуги та її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги на довжину кола, що описується її центром мас.

Приклад 3.Знайти координати центру мас півкола

Внаслідок симетрії
. При обертанні півкола навколо осі Ох виходить сфера, площа поверхні якої дорівнює, а довжина півкола дорівнює па. За теоремою Гульдена маємо 4

Звідси
, тобто. центр мас C має координати C
.

2. Фізичні завдання.Деякі застосування певного інтеграла під час вирішення фізичних завдань ілюструються нижче у прикладах.

Приклад 4.Швидкість прямолінійного руху тіла виражається формулою (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом за 5 секунд від початку руху.

Так як шлях, пройдений тіломзі швидкістю v(t) за відрізок часу , виражається інтегралом

то маємо:

П
ример.Знайдемо площу обмеженої області, що лежить між віссю та лінією y = x 3 -x. Оскільки

лінія перетинає вісь у трьох точках: x 1 =-1, x 2 = 0, x 3 = 1.

Обмежена область між лінією та віссю проектується на відрізок
,причому на відрізку
,лінія y = x 3 -x йде вище за осі (тобто лінії y = 0, а на - Нижче. Тому площу області можна підрахувати так:

П
ример.Знайдемо площу області, укладену між першим та другим витком спіралі Архімедаr=a (a>0) та відрізком горизонтальної осі
.

Перший виток спіралі відповідає зміні кута в межах від 0 до, а другий - отдо. Щоб привести зміну аргументу до одного проміжку, запишемо рівняння другого витка спіралі як
,

. Тоді площу можна буде знайти за формулою, поклавши
і
:

П ример.Знайдемо об'єм тіла, обмеженого поверхнею обертання лінії y = 4x-x 2 навколо осі (при
).

Для обчислення об'єму тіла обертання застосуємо формулу

П ример.Обчислимо довжину дуги лінії y=lncosx, розташованої між прямими та
.

(ми взяли як значення кореня , а не -cosx, оскільки cosx >0 при
довжина дуги дорівнює

Відповідь:
.

приклад.Обчислимо площу Q поверхні обертання, отриманої при обертанні дуги циклоїди x = t-sint; y=1-cost, при

навколо осі.

Д ля обчислення застосуємо формулу:

Маємо:

, так що

Для переходу під знаком інтеграла до змінної зауважимо, що за

отримуємо

, а також

Крім того, попередньо обчислимо

(так що
) та

Отримуємо:

Роблячи заміну, приходимо до інтегралу

5. Знаходження площі поверхні тіл обертання

Нехай крива АВ є графіком функції у = f(х) 0, де х [а; b], а функція у = f(х) та її похідна у" = f"(х) безперервні на цьому відрізку.

Знайдемо площу поверхні S, утвореної обертанням кривої АВ навколо осі Ох (рис 8).

Застосуємо схему II (метод диференціала).

Через довільну точку х [а; b] проведемо площину П, перпендикулярну до осіОх. Площина П перетинає поверхню обертання по колу з радіусом у f (х). Величина S поверхні частини фігури обертання, що лежить ліворуч від площини, є функцією від х, тобто. s = s(х) (s(а) = 0 і s(b) = S).

Дамо аргументу х збільшення Δх = dх. Через точку х + dх [а; b] також проведемо площину, перпендикулярну до осі Ох. Функція s = s(х) отримає збільшення Δs, зображеного на малюнку у вигляді «пояску».

Знайдемо диференціал площі ds, замінюючи утворену між перерізами фігуру усіченим конусом, що утворює якого дорівнює dl, а радіуси основ рівні у та у + dу. Площа його бічної поверхні дорівнює: 2ydl + dydl.

Відкидаючи твір dу d1 як нескінченно малу вищого порядку, ніж ds, отримуємо ds = 2уdl, або, оскільки d1 = dx.

Інтегруючи отриману рівність у межах від х = а до х = b, отримуємо

Якщо крива AB задана параметричними рівняннями x = x(t), y = y(t), t≤t≤t, то формула для площі поверхні обертання набуває вигляду

S = 2 dt.

Приклад: Знайти площу поверхні кулі радіусу R.

S=2 =

6. Знаходження роботи змінної сили

Робота змінної сили

Нехай матеріальна точка М переміщається вздовж осі Ох під дією змінної сили F = F(х), спрямованої паралельно до цієї осі. Робота, виконана силою при переміщенні точки М з положення х = а в положення х = b (а

Яку роботу слід витратити, щоб розтягнути пружину на 0,05 м, якщо сила 100 Н розтягує пружину на 0,01 м?

За законом Гука пружна сила, що розтягує пружину, пропорційна цьому розтягуванню х, тобто. F = kх, де k – коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі, сила F = 100 Н розтягує пружину на х = 0,01 м; отже, 100 = k 0,01, звідки k = 10000; отже, F = 10000х.

Шукана робота на підставі формули

A =

Знайти роботу, яку необхідно витратити, щоб викачати через край рідину з вертикального циліндричного резервуару висоти Н м та радіусом основи R м (рис 13).

Робота, що витрачається на підняття тіла вагою р на висоту h, дорівнює р Н. Але різні шари рідини в резервуарі знаходяться на різних глибинах і висота підняття (краю резервуара) різних шарів не однакова.

Для вирішення поставленої задачі застосуємо схему ІІ (метод диференціала). Введемо систему координат.

1) Робота, що витрачається на викачування з резервуару шару рідини завтовшки х (0 ≤ х ≤ Н), є функція від х, тобто. А = А(х), де (0 ≤ х ≤ Н) (A(0) = 0, A(H) = А 0).

2) Знаходимо головну частину збільшення ΔA за зміни х величину Δх = dx, тобто. знаходимо диференціал dА функції А(х).

Зважаючи на дещицю dх вважаємо, що «елементарний» шар рідини знаходиться на одній глибині х (від краю резервуара). Тоді dА = dрх де dр - вага цього шару; він дорівнює g АV, де g – прискорення вільного падіння, – щільність рідини, dv – обсяг «елементарного» шару рідини (на малюнку виділено), тобто. dр = g. Обсяг зазначеного шару рідини, зрозуміло, дорівнює , де dx – висота циліндра (шару), – площа його підстави, тобто. dv =.

Отже, dр = . і

3) Інтегруючи отриману рівність у межах від х = 0 до х = Н, знаходимо

A

8. Обчислення інтегралів за допомогою пакету MathCAD

При вирішенні деяких прикладних задач потрібно використовувати операцію символічного інтегрування. При цьому програма MathCad може стати в нагоді як на початковому етапі (добре знати відповідь заздалегідь або знати, що вона існує), так і на заключному етапі (добре перевірити отриманий результат з використанням відповіді з іншого джерела або рішення іншої людини).

Вирішуючи велику кількість завдань, можна помітити деякі особливості вирішення задач за допомогою програми MathCad. Спробуємо зрозуміти на кількох прикладах, як працює ця програма, проаналізуємо рішення, отримані з її допомогою та порівняємо ці рішення з рішеннями, отриманими іншими способами.

Основні проблеми при використанні програми MathCad полягають у наступному:

а) програма дає відповідь над вигляді звичних елементарних функцій, а вигляді спеціальних функцій, відомих далеко ще не всім;

б) у деяких випадках «відмовляється» давати відповідь, хоча рішення завдання має;

в) іноді неможливо скористатися отриманим результатом через його громіздкість;

г) вирішує завдання в повному обсязі і робить аналізу рішення.

Для того, щоб вирішити ці проблеми, необхідно використовувати сильні та слабкі сторони програми.

З її допомогою легко і легко обчислювати інтеграли від дрібно-раціональних функцій. Тому рекомендується використовувати спосіб заміни змінної, тобто. попередньо підготувати інтеграл на вирішення. Для цього можуть бути використані підстановки, розібрані вище. Також слід мати на увазі, що отримані результати необхідно досліджувати на збіг областей визначення вихідної функції та отриманого результату. Крім того, деякі отримані рішення вимагають додаткового дослідження.

Програма MathCad звільняє учня або дослідника від рутинної роботи, але не може звільнити його від додаткового аналізу як при постановці завдання, так і при отриманні будь-яких результатів.

У цьому роботі було розглянуто основні тези, що з вивченням додатків певного інтеграла у курсі математики.

– було проведено аналіз теоретичної основи рішення інтегралів;

- матеріал був підданий систематизації та узагальнення.

У процесі виконання курсової роботи було розглянуто приклади практичних завдань у сфері фізики, геометрії, механіки.

Висновок

Розглянуті вище приклади практичних завдань, дають нам ясне уявлення значущості певного інтеграла їхнього разрешимости.

Важко назвати наукову галузь, у якій не застосовувалися методи інтегрального обчислення, загалом, і властивості певного інтеграла, зокрема. Так у процесі виконання курсової роботи нами було розглянуто приклади практичних завдань у галузі фізики, геометрії, механіки, біології та економіки. Звичайно, це ще далеко не вичерпний список наук, які використовують інтегральний метод для пошуку встановлюваної величини при вирішенні конкретної задачі та встановленні теоретичних фактів.

Також певний інтеграл використовується для вивчення самої математики. Наприклад, при вирішенні диференціальних рівнянь, які в свою чергу роблять свій незамінний внесок у вирішення завдань практичного змісту. Можна сміливо сказати, що певний інтеграл – це певний фундамент вивчення математики. Звідси важливість знання методів їх вирішення.

З усього вище сказаного зрозуміло, чому знайомство з певним інтегралом відбувається ще рамках середньої загальноосвітньої школи, де учні вивчають як поняття інтеграла та її властивості, а й деякі його докладання.

Література

1. Волков Є.А. Чисельні методи. М., наука, 1988.

2. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. М., Інтеграл-Прес, 2004. Т. 1.

3. Шипачов В.С. Вища математика. М., Вища школа, 1990.