La formule d'une ligne droite sur un graphique de fonction. Fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et leurs graphes

1. Fonction fractionnaire linéaire et son graphique

Une fonction de la forme y = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes, est appelée une fonction rationnelle fractionnaire.

Vous connaissez probablement déjà le concept des nombres rationnels. De la même manière fonctions rationnelles sont des fonctions qui peuvent être représentées comme un quotient de deux polynômes.

Si une fonction rationnelle fractionnaire est un quotient de deux fonctions linéaires - polynômes du premier degré, c'est-à-dire fonction d'affichage

y = (ax + b) / (cx + d), alors on l'appelle linéaire fractionnaire.

Notons que dans la fonction y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (sinon la fonction devient linéaire y = ax/d + b/d) et que a/c ≠ b/d (sinon la fonction est une constante). La fonction linéaire fractionnaire est définie pour tous les nombres réels, sauf pour x = -d/c. Les graphiques de fonctions linéaires fractionnaires ne diffèrent pas par leur forme du graphique que vous connaissez y = 1/x. La courbe qui est le graphique de la fonction y = 1/x est appelée hyperbole. Avec une augmentation illimitée de x en valeur absolue, la fonction y = 1/x décroît indéfiniment en valeur absolue et les deux branches du graphique se rapprochent de l'axe des abscisses : celle de droite se rapproche d'en haut, et celle de gauche se rapproche d'en bas. Les lignes approchées par les branches d'une hyperbole sont appelées ses asymptotes.

Exemple 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Décision.

Choisissons la partie entière : (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Maintenant, il est facile de voir que le graphe de cette fonction est obtenu à partir du graphe de la fonction y = 1/x par les transformations suivantes : décalage de 3 segments unitaires vers la droite, étirement le long de l'axe Oy de 7 fois et décalage de 2 segments unitaires vers le haut.

Toute fraction y = (ax + b) / (cx + d) peut s'écrire de la même manière en mettant en évidence la « partie entière ». Par conséquent, les graphiques de toutes les fonctions linéaires fractionnaires sont des hyperboles décalées le long des axes de coordonnées de diverses manières et étirées le long de l'axe Oy.

Pour tracer un graphique d'une fonction linéaire fractionnaire arbitraire, il n'est pas du tout nécessaire de transformer la fraction qui définit cette fonction. Puisque nous savons que le graphe est une hyperbole, il suffira de trouver les droites auxquelles aboutissent ses branches - les asymptotes de l'hyperbole x = -d/c et y = a/c.

Exemple 2

Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction y = (3x + 5)/(2x + 2).

Décision.

La fonction n'est pas définie, pour x = -1. Par conséquent, la ligne x = -1 sert d'asymptote verticale. Pour trouver l'asymptote horizontale, cherchons à quoi s'approchent les valeurs de la fonction y(x) lorsque l'argument x augmente en valeur absolue.

Pour ce faire, nous divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par x :

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Lorsque x → ∞ la fraction tend vers 3/2. L'asymptote horizontale est donc la droite y = 3/2.

Exemple 3

Tracez la fonction y = (2x + 1)/(x + 1).

Décision.

Nous sélectionnons la "partie entière" de la fraction :

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Or il est facile de voir que le graphe de cette fonction est obtenu à partir du graphe de la fonction y = 1/x par les transformations suivantes : un décalage de 1 unité vers la gauche, un affichage symétrique par rapport à Ox, et un décalage d'intervalles de 2 unités vers le haut le long de l'axe Oy.

Domaine de définition D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Plage de valeurs E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Points d'intersection avec les axes : c Oy : (0 ; 1) ; c Ox : (-1/2 ; 0). La fonction croît sur chacun des intervalles du domaine de définition.

Réponse : figure 1.

2. Fonction fractionnaire-rationnelle

Considérons une fonction rationnelle fractionnaire de la forme y = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes de degré supérieur au premier.

Exemples de telles fonctions rationnelles :

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ou y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Si la fonction y = P(x) / Q(x) est un quotient de deux polynômes de degré supérieur au premier, alors son graphe sera, en règle générale, plus compliqué, et il peut parfois être difficile de le construire exactement , avec tous les détails. Cependant, il suffit souvent d'appliquer des techniques similaires à celles que nous avons déjà rencontrées plus haut.

Soit la fraction propre (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d UNE 1 / (x - K 1) m1 + UNE 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + UNE m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Évidemment, le graphe d'une fonction rationnelle fractionnaire peut être obtenu comme la somme de graphes de fractions élémentaires.

Tracer des fonctions rationnelles fractionnaires

Envisagez plusieurs façons de tracer une fonction fractionnaire-rationnelle.

Exemple 4

Tracez la fonction y = 1/x 2 .

Décision.

Nous utilisons le graphique de la fonction y \u003d x 2 pour tracer le graphique y \u003d 1 / x 2 et utilisons la méthode de "division" des graphiques.

Domaine D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Plage de valeurs E(y) = (0 ; +∞).

Il n'y a pas de points d'intersection avec les axes. La fonction est paire. Augmente pour tout x de l'intervalle (-∞; 0), diminue pour x de 0 à +∞.

Réponse : figure 2.

Exemple 5

Tracez la fonction y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Décision.

Domaine D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Ici, nous avons utilisé la technique de factorisation, de réduction et de réduction à une fonction linéaire.

Réponse : figure 3.

Exemple 6

Tracez la fonction y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Décision.

Le domaine de définition est D(y) = R. Puisque la fonction est paire, le graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Avant de tracer, nous transformons à nouveau l'expression en mettant en surbrillance la partie entière :

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Notez que la sélection de la partie entière dans la formule d'une fonction rationnelle fractionnaire est l'une des principales lors du tracé de graphiques.

Si x → ±∞, alors y → 1, c'est-à-dire, la droite y = 1 est une asymptote horizontale.

Réponse : figure 4.

Exemple 7

Considérez la fonction y = x/(x 2 + 1) et essayez de trouver exactement sa plus grande valeur, c'est-à-dire le point le plus élevé sur la moitié droite du graphique. Pour construire avec précision ce graphe, les connaissances d'aujourd'hui ne suffisent pas. Il est évident que notre courbe ne peut pas "monter" très haut, puisque le dénominateur commence rapidement à « dépasser » le numérateur. Voyons si la valeur de la fonction peut être égale à 1. Pour ce faire, vous devez résoudre l'équation x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Cette équation n'a pas de racines réelles. Notre hypothèse est donc fausse. Pour trouver la plus grande valeur de la fonction, vous devez savoir pour quel A le plus grand l'équation A \u003d x / (x 2 + 1) aura une solution. Remplaçons l'équation d'origine par une équation quadratique: Ax 2 - x + A \u003d 0. Cette équation a une solution lorsque 1 - 4A 2 ≥ 0. De là, nous trouvons la plus grande valeur A \u003d 1/2.

Réponse : Figure 5, max y(x) = ½.

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Une fonction linéaire est une fonction de la forme y=kx+b, où x est une variable indépendante, k et b sont des nombres quelconques.
Le graphique d'une fonction linéaire est une droite.

1. Pour tracer un graphique de fonction, nous avons besoin des coordonnées de deux points appartenant au graphe de la fonction. Pour les trouver, vous devez prendre deux valeurs x, les substituer dans l'équation de la fonction et calculer les valeurs y correspondantes à partir d'elles.

Par exemple, pour tracer la fonction y=x+2, il convient de prendre x=0 et x=3, alors les ordonnées de ces points seront égales à y=2 et y=3. On obtient les points A(0;2) et B(3;3). Relions-les et obtenons le graphe de la fonction y= x+2 :

2. Dans la formule y=kx+b, le nombre k est appelé facteur de proportionnalité :
si k>0, alors la fonction y=kx+b augmente
si k
Le coefficient b montre le décalage du graphique de la fonction le long de l'axe OY :
si b>0, alors le graphe de la fonction y=kx+b est obtenu à partir du graphe de la fonction y=kx en décalant b unités vers le haut le long de l'axe OY
si b
La figure ci-dessous montre les graphes des fonctions y=2x+3 ; y= ½x+3 ; y=x+3

Notez que dans toutes ces fonctions le coefficient k Au dessus de zéro, et les fonctions sont en augmentant. De plus, plus la valeur de k est grande, plus l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à la direction positive de l'axe OX est grand.

Dans toutes les fonctions b=3 - et nous voyons que tous les graphiques coupent l'axe OY au point (0;3)

Considérons maintenant les graphiques des fonctions y=-2x+3 ; y=- ½ x+3 ; y=-x+3

Cette fois, dans toutes les fonctions, le coefficient k moins que zéro et fonctionnalités diminuer. Le coefficient b=3, et les graphiques, comme dans le cas précédent, croisent l'axe OY au point (0;3)

Considérons les graphiques des fonctions y=2x+3 ; y=2x; y=2x-3

Maintenant, dans toutes les équations de fonctions, les coefficients k sont égaux à 2. Et nous avons trois droites parallèles.

Mais les coefficients b sont différents, et ces graphiques coupent l'axe OY en différents points :
Le graphe de la fonction y=2x+3 (b=3) coupe l'axe OY au point (0;3)
Le graphique de la fonction y=2x (b=0) coupe l'axe OY au point (0;0) - l'origine.
Le graphique de la fonction y=2x-3 (b=-3) coupe l'axe OY au point (0;-3)

Donc, si nous connaissons les signes des coefficients k et b, nous pouvons immédiatement imaginer à quoi ressemble le graphique de la fonction y=kx+b.
Si un k 0

Si un k>0 et b>0, alors le graphique de la fonction y=kx+b ressemble à :

Si un k>0 et b, alors le graphique de la fonction y=kx+b ressemble à :

Si un k, alors le graphe de la fonction y=kx+b ressemble à :

Si un k=0, alors la fonction y=kx+b se transforme en une fonction y=b et son graphique ressemble à :

Les ordonnées de tous les points du graphique de la fonction y=b sont égales à b Si b=0, alors le graphe de la fonction y=kx (proportionnalité directe) passe par l'origine :

3. Séparément, nous notons le graphique de l'équation x=a. Le graphique de cette équation est une droite parallèle à l'axe OY dont tous les points ont pour abscisse x=a.

Par exemple, le graphique de l'équation x=3 ressemble à ceci :
Attention! L'équation x=a n'est pas une fonction, puisqu'une valeur de l'argument correspond à différentes valeurs de la fonction, ce qui ne correspond pas à la définition de la fonction.

4. Condition de parallélisme de deux droites :

Le graphique de la fonction y=k 1 x+b 1 est parallèle au graphique de la fonction y=k 2 x+b 2 si k 1 =k 2

5. La condition pour que deux droites soient perpendiculaires :

Le graphique de la fonction y=k 1 x+b 1 est perpendiculaire au graphique de la fonction y=k 2 x+b 2 si k 1 *k 2 =-1 ou k 1 =-1/k 2

6. Points d'intersection du graphique de la fonction y=kx+b avec les axes de coordonnées.

avec axe OY. L'abscisse de tout point appartenant à l'axe OY est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OY, vous devez remplacer zéro au lieu de x dans l'équation de la fonction. On obtient y=b. C'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe OY a pour coordonnées (0;b).

Avec l'axe des abscisses : L'ordonnée de tout point appartenant à l'axe des abscisses est zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OX, vous devez substituer zéro au lieu de y dans l'équation de la fonction. On obtient 0=kx+b. Donc x=-b/k. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe OX a pour coordonnées (-b / k; 0):

Voyons comment explorer une fonction à l'aide d'un graphe. Il s'avère qu'en regardant le graphique, vous pouvez découvrir tout ce qui nous intéresse, à savoir:

• portée de la fonction
• gamme de fonctions
• zéros de fonction
• périodes de hausse et de baisse
• points hauts et bas
• la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment.

Précisons la terminologie :

Abscisse est la coordonnée horizontale du point.
Ordonnée- coordonnée verticale.
abscisse- l'axe horizontal, le plus souvent appelé l'axe.
Axe Y- axe vertical, ou axe.

Argument est une variable indépendante dont dépendent les valeurs de la fonction. Le plus souvent indiqué.
En d'autres termes, nous choisissons nous-mêmes , substituons dans la formule de la fonction et obtenons .

Domaine fonctions - l'ensemble de ces (et uniquement ces) valeurs de l'argument pour lequel la fonction existe.
Noté : ou .

Dans notre figure, le domaine de la fonction est un segment. C'est sur ce segment que le graphe de la fonction est tracé. Seulement ici cette fonction existe.

Gamme de fonctions est l'ensemble des valeurs que prend la variable. Dans notre figure, il s'agit d'un segment - de la valeur la plus basse à la plus élevée.

Fonction zéros- les points où la valeur de la fonction est égale à zéro, c'est-à-dire . Dans notre figure, ce sont les points et .

Les valeurs de fonction sont positives où . Dans notre figure, ce sont les intervalles et .
Les valeurs de fonction sont négatives où . Nous avons cet intervalle (ou intervalle) de à.

Les notions les plus importantes - fonction croissante et décroissante sur certains ensembles. En tant qu'ensemble, vous pouvez prendre un segment, un intervalle, une union d'intervalles ou la droite numérique entière.

Une fonction augmente

En d'autres termes, plus , plus , c'est-à-dire que le graphique va vers la droite et vers le haut.

Une fonction diminue sur l'ensemble si pour tout et appartenant à l'ensemble l'inégalité implique l'inégalité .

Pour une fonction décroissante, une valeur plus grande correspond à une valeur plus petite. Le graphique va vers la droite et vers le bas.

Dans notre figure, la fonction croît sur l'intervalle et décroît sur les intervalles et .

Définissons ce qui est points maximum et minimum de la fonction.

Note maximale- c'est un point interne au domaine de définition, tel que la valeur de la fonction en lui soit plus grande qu'en tout point suffisamment proche de lui.
En d'autres termes, le point maximum est un tel point, la valeur de la fonction à laquelle Suite que dans les voisins. Il s'agit d'une "colline" locale sur la carte.

Dans notre figure - le point maximum.

Point bas- un point interne au domaine de définition, tel que la valeur de la fonction en lui soit moindre qu'en tout point suffisamment proche de lui.
C'est-à-dire que le point minimum est tel que la valeur de la fonction qu'il contient est inférieure à celle des fonctions voisines. Sur le graphique, il s'agit d'un « trou » local.

Dans notre figure - le point minimum.

Le point est la frontière. Ce n'est pas un point intérieur du domaine de définition et ne correspond donc pas à la définition d'un point maximum. Après tout, elle n'a pas de voisins sur la gauche. De la même manière, il ne peut y avoir de point minimum sur notre graphique.

Les points maximum et minimum sont appelés collectivement points extrêmes de la fonction. Dans notre cas, il s'agit de et .

Mais que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver, par exemple, fonction minimale sur la coupe ? Dans ce cas, la réponse est : car fonction minimale est sa valeur au point minimum.

De même, le maximum de notre fonction est . Il est atteint au point .

On peut dire que les extrema de la fonction sont égaux à et .

Parfois, dans les tâches, vous devez trouver les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction sur un segment donné. Ils ne coïncident pas nécessairement avec des extrêmes.

Dans notre cas plus petite valeur de fonction sur l'intervalle est égal et coïncide avec le minimum de la fonction. Mais sa plus grande valeur sur ce segment est égale à . Il est atteint à l'extrémité gauche du segment.

Dans tous les cas, les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment sont atteintes soit aux points extrêmes, soit aux extrémités du segment.

Les fonctions élémentaires de base, leurs propriétés inhérentes et les graphiques correspondants sont l'une des bases de la connaissance mathématique, d'une importance similaire à la table de multiplication. Les fonctions élémentaires sont la base, le support de l'étude de toutes les questions théoriques.

L'article ci-dessous fournit des éléments clés sur le thème des fonctions élémentaires de base. Nous allons introduire des termes, leur donner des définitions ; Étudions en détail chaque type de fonctions élémentaires et analysons leurs propriétés.

On distingue les types suivants de fonctions élémentaires de base :

Définition 1

• fonction constante (constante);
• racine du nième degré;
• fonction de puissance;
• fonction exponentielle;
• fonction logarithmique ;
• fonctions trigonométriques;
• fonctions trigonométriques fraternelles.

Une fonction constante est définie par la formule : y = C (C est un nombre réel) et porte également un nom : constant. Cette fonction détermine si une valeur réelle de la variable indépendante x correspond à la même valeur de la variable y - la valeur C .

Le graphique d'une constante est une droite parallèle à l'axe des x et passant par un point de coordonnées (0, C). Pour plus de clarté, nous présentons des graphiques de fonctions constantes y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (marquées respectivement en noir, rouge et bleu sur le dessin).

Définition 2

Cette fonction élémentaire est définie par la formule y = x n (n est un entier naturel supérieur à un).

Considérons deux variantes de la fonction.

1. Racine du nième degré, n est un nombre pair

Pour plus de clarté, nous indiquons le dessin, qui montre les graphiques de ces fonctions: y = x , y = x 4 et y = x 8 . Ces fonctions sont codées par couleur : noir, rouge et bleu, respectivement.

Une vue similaire des graphiques de la fonction d'un degré pair pour d'autres valeurs de l'indicateur.

Définition 3

Propriétés de la fonction racine du nième degré, n est un nombre pair

• le domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels non négatifs [ 0 , + ∞) ;
• quand x = 0 , la fonction y = x n a une valeur égale à zéro ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni paire ni impaire) ;
• gamme : [ 0 , + ∞) ;
• cette fonction y = x n à exposants pairs de la racine augmente sur tout le domaine de définition ;
• la fonction a une convexité de direction ascendante sur tout le domaine de définition ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• il n'y a pas d'asymptotes ;
• le graphe de la fonction pour n pair passe par les points (0 ; 0) et (1 ; 1) .

1. Racine du nième degré, n est un nombre impair

Une telle fonction est définie sur l'ensemble des nombres réels. Pour plus de clarté, considérons les graphiques de fonctions y = x 3 , y = x 5 et x 9 . Dans le dessin, ils sont indiqués par des couleurs : couleurs noires, rouges et bleues des courbes, respectivement.

D'autres valeurs impaires de l'exposant de la racine de la fonction y = x n donneront un graphique de forme similaire.

Définition 4

Propriétés de la fonction racine du nième degré, n est un nombre impair

• le domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels ;
• cette fonction est impaire ;
• la plage de valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels ;
• la fonction y = x n à exposants impairs de la racine augmente sur tout le domaine de définition ;
• la fonction a une concavité sur l'intervalle (- ∞ ; 0 ] et une convexité sur l'intervalle [ 0 , + ∞) ;
• le point d'inflexion a pour coordonnées (0 ; 0) ;
• il n'y a pas d'asymptotes ;
• le graphique de la fonction pour n impair passe par les points (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) et (1 ; 1) .

Fonction de puissance

Définition 5

La fonction puissance est définie par la formule y = x a .

Le type de graphiques et les propriétés de la fonction dépendent de la valeur de l'exposant.

• lorsqu'une fonction puissance a un exposant entier a , alors la forme du graphique de la fonction puissance et ses propriétés dépendent du fait que l'exposant est pair ou impair, ainsi que du signe de l'exposant. Examinons tous ces cas particuliers plus en détail ci-dessous ;
• l'exposant peut être fractionnaire ou irrationnel - en fonction de cela, le type de graphiques et les propriétés de la fonction varient également. Nous analyserons les cas particuliers en fixant plusieurs conditions : 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• une fonction puissance peut avoir un exposant nul, nous analyserons également ce cas plus en détail ci-dessous.

Analysons la fonction puissance y = x a lorsque a est un nombre positif impair, par exemple, a = 1 , 3 , 5 …

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de telles fonctions puissance : y = x (couleur noire du graphique), y = x 3 (couleur bleue du graphique), y = x 5 (couleur rouge du graphique), y = x 7 (graphique vert). Lorsque a = 1 , on obtient une fonction linéaire y = x .

Définition 6

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est un positif impair

• la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• la fonction est convexe pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et concave pour x ∈ [ 0 ; + ∞) (hors fonction linéaire) ;
• le point d'inflexion a pour coordonnées (0 ; 0) (hors fonction linéaire) ;
• il n'y a pas d'asymptotes ;
• fonction passant les points : (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analysons la fonction puissance y = x a lorsque a est un nombre positif pair, par exemple, a = 2 , 4 , 6 ...

Pour plus de clarté, nous indiquons les graphiques de telles fonctions puissance: y \u003d x 2 (couleur noire du graphique), y = x 4 (couleur bleue du graphique), y = x 8 (couleur rouge du graphique). Lorsque a = 2, on obtient une fonction quadratique dont le graphe est une parabole quadratique.

Définition 7

Propriétés d'une fonction puissance lorsque l'exposant est pair positif :

• domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• décroissant pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• la fonction est concave pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• il n'y a pas d'asymptotes ;
• fonction passant les points : (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de fonctions exponentielles y = x a lorsque a est un nombre négatif impair : y = x - 9 (couleur noire du graphique) ; y = x - 5 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 3 (couleur rouge du graphique) ; y = x - 1 (graphique vert). Quand a \u003d - 1, on obtient une proportionnalité inverse dont le graphique est une hyperbole.

Définition 8

Propriétés de la fonction puissance lorsque l'exposant est impair négatif :

Lorsque x \u003d 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pour a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

• plage : y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• la fonction est impaire car y (- x) = - y (x) ;
• la fonction est décroissante pour x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• la fonction est convexe pour x ∈ (- ∞ ; 0) et concave pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;

k = lim X → ∞ X une X = 0 , b = lim X → ∞ (x une - k X) = 0 ⇒ y = k X + b = 0 quand a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• fonction passant les points : (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figure ci-dessous montre des exemples de graphes de fonction puissance y = x a lorsque a est un nombre pair négatif : y = x - 8 (graphique en noir) ; y = x - 4 (couleur bleue du graphique) ; y = x - 2 (couleur rouge du graphique).

Définition 9

Propriétés de la fonction puissance lorsque l'exposant est pair négatif :

• domaine de définition : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Lorsque x \u003d 0, on obtient une discontinuité de seconde espèce, puisque lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pour a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

• la fonction est paire car y (- x) = y (x) ;
• la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; 0) et décroissante pour x ∈ 0 ; +∞ ;
• la fonction est concave pour x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• l'asymptote horizontale est une droite y = 0 car :

k = lim X → ∞ X une X = 0 , b = lim X → ∞ (x une - k X) = 0 ⇒ y = k X + b = 0 quand a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• fonction passant les points : (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Dès le début, faites attention à l'aspect suivant : dans le cas où a est une fraction positive avec un dénominateur impair, certains auteurs prennent l'intervalle - ∞ comme domaine de définition de cette fonction puissance ; + ∞ , stipulant que l'exposant a est une fraction irréductible. À l'heure actuelle, les auteurs de nombreuses publications pédagogiques sur l'algèbre et les débuts de l'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions de puissance, où l'exposant est une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous nous en tiendrons à une telle position : nous prenons l'ensemble [ 0 ; +∞) . Recommandation pour les élèves : renseignez-vous à ce stade sur le point de vue de l'enseignant afin d'éviter les désaccords.

Examinons donc la fonction de puissance y = x a lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel à condition que 0< a < 1 .

Illustrons par des graphiques les fonctions puissances y = x a quand a = 11 12 (graphique en noir) ; a = 5 7 (couleur rouge du graphique) ; a = 1 3 (couleur bleue du graphique) ; a = 2 5 (couleur verte du graphique).

Autres valeurs de l'exposant a (en supposant 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Définition 10

Propriétés de la fonction puissance à 0< a < 1:

• plage : y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la fonction est convexe pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• il n'y a pas d'asymptotes ;

Analysons la fonction puissance y = x a lorsque l'exposant est un nombre rationnel ou irrationnel non entier à condition que a > 1 .

Nous illustrons les graphiques de la fonction puissance y = x a dans des conditions données sur l'exemple de telles fonctions : y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (couleur noire, rouge, bleue, verte des graphiques, respectivement) .

D'autres valeurs de l'exposant a sous la condition a > 1 donneront une vue similaire du graphique.

Définition 11

Propriétés de la fonction puissance pour a > 1 :

• domaine de définition : x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• plage : y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
• la fonction est croissante pour x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la fonction est concave pour x ∈ (0 ; + ∞) (lorsque 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• il n'y a pas d'asymptotes ;
• fonction passant les points : (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Nous attirons votre attention!Lorsque a est une fraction négative avec un dénominateur impair, dans les travaux de certains auteurs, il existe une opinion selon laquelle le domaine de définition dans ce cas est l'intervalle - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) à condition que l'exposant a soit une fraction irréductible. À l'heure actuelle, les auteurs de matériel pédagogique sur l'algèbre et les débuts de l'analyse NE DÉFINISSENT PAS les fonctions de puissance avec un exposant sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous adhérons à un tel point de vue : nous prenons l'ensemble (0 ; + ∞) comme domaine des fonctions de puissance avec des exposants négatifs fractionnaires. Suggestion pour les élèves : Clarifiez la vision de votre enseignant à ce stade pour éviter les désaccords.

Nous continuons le sujet et analysons la fonction puissance y = x a pourvu : - 1< a < 0 .

Voici un dessin des graphiques des fonctions suivantes : y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (lignes noires, rouges, bleues, vertes, respectivement ).

Définition 12

Propriétés de la fonction puissance à - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x une = + ∞ quand - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• plage : y ∈ 0 ; +∞ ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;

Le dessin ci-dessous montre des graphiques de fonctions de puissance y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (noir, rouge, bleu, vert des courbes, respectivement).

Définition 13

Propriétés de la fonction puissance pour un< - 1:

• domaine de définition : x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quand a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
• la fonction est décroissante pour x ∈ 0 ; +∞ ;
• la fonction est concave pour x ∈ 0 ; +∞ ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• asymptote horizontale - droite y = 0 ;
• point de passage de la fonction : (1 ; 1) .

Quand a \u003d 0 et x ≠ 0, on obtient la fonction y \u003d x 0 \u003d 1, qui détermine la droite dont le point (0; 1) est exclu (nous avons convenu que l'expression 0 0 ne sera pas quelle que soit la valeur).

La fonction exponentielle a la forme y = a x , où a > 0 et a ≠ 1 , et le graphique de cette fonction semble différent en fonction de la valeur de la base a . Considérons des cas particuliers.

Analysons d'abord la situation où la base de la fonction exponentielle a une valeur de zéro à un (0< a < 1) . Un exemple illustratif est les graphiques de fonctions pour a = 1 2 (couleur bleue de la courbe) et a = 5 6 (couleur rouge de la courbe).

Les graphiques de la fonction exponentielle auront une forme similaire pour les autres valeurs de la base, à condition que 0< a < 1 .

Définition 14

Propriétés d'une fonction exponentielle lorsque la base est inférieure à un :

• plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
• une fonction exponentielle dont la base est inférieure à un est décroissante sur tout le domaine de définition ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• l'asymptote horizontale est la droite y = 0 de variable x tendant vers + ∞ ;

Considérons maintenant le cas où la base de la fonction exponentielle est supérieure à un (a > 1).

Illustrons ce cas particulier avec le graphique des fonctions exponentielles y = 3 2 x (couleur bleue de la courbe) et y = e x (couleur rouge du graphique).

D'autres valeurs de la base, supérieures à un, donneront une vue similaire du graphique de la fonction exponentielle.

Définition 15

Propriétés de la fonction exponentielle lorsque la base est supérieure à un :

• le domaine de définition est l'ensemble des nombres réels ;
• plage : y ∈ (0 ; + ∞) ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
• une fonction exponentielle dont la base est supérieure à un est croissante pour x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la fonction est concave pour x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• asymptote horizontale - droite y = 0 de variable x tendant vers - ∞ ;
• point de passage de la fonction : (0 ; 1) .

La fonction logarithmique a la forme y = log a (x) , où a > 0 , a ≠ 1 .

Une telle fonction n'est définie que pour des valeurs positives de l'argument : pour x ∈ 0 ; +∞ .

Le graphique de la fonction logarithmique a une forme différente, basée sur la valeur de la base a.

Considérons d'abord la situation où 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

D'autres valeurs de la base, pas supérieures à un, donneront une vue similaire du graphique.

Définition 16

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est inférieure à un :

• domaine de définition : x ∈ 0 ; +∞ . Lorsque x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers + ∞ ;
• plage : y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
• logarithmique
• la fonction est concave pour x ∈ 0 ; +∞ ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• il n'y a pas d'asymptotes ;

Analysons maintenant un cas particulier où la base de la fonction logarithmique est supérieure à un : a > 1 . Dans le dessin ci-dessous, il y a des graphiques de fonctions logarithmiques y = log 3 2 x et y = ln x (couleurs bleue et rouge des graphiques, respectivement).

D'autres valeurs de la base supérieures à un donneront une vue similaire du graphique.

Définition 17

Propriétés d'une fonction logarithmique lorsque la base est supérieure à un :

• domaine de définition : x ∈ 0 ; +∞ . Lorsque x tend vers zéro à partir de la droite, les valeurs de la fonction tendent vers - ∞ ;
• plage : y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'ensemble des nombres réels) ;
• cette fonction est une fonction de forme générale (elle n'est ni impaire ni paire) ;
• la fonction logarithmique est croissante pour x ∈ 0 ; +∞ ;
• la fonction est convexe pour x ∈ 0 ; +∞ ;
• il n'y a pas de points d'inflexion;
• il n'y a pas d'asymptotes ;
• point de passage de la fonction : (1 ; 0) .

Les fonctions trigonométriques sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. Analysons les propriétés de chacun d'eux et les graphiques correspondants.

En général, toutes les fonctions trigonométriques sont caractérisées par la propriété de périodicité, c'est-à-dire lorsque les valeurs des fonctions sont répétées pour différentes valeurs de l'argument qui diffèrent les unes des autres par la valeur de la période f (x + T) = f (x) (T est la période). Ainsi, l'item "période la moins positive" est ajouté à la liste des propriétés des fonctions trigonométriques. De plus, nous indiquerons telles valeurs de l'argument pour lesquelles la fonction correspondante s'annule.

1. Fonction sinus : y = sin(x)

Le graphique de cette fonction s'appelle une onde sinusoïdale.

Définition 18

Propriétés de la fonction sinus :

• domaine de définition : l'ensemble des nombres réels x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la fonction s'annule lorsque x = π k , où k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
• la fonction est croissante pour x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z et décroissant pour x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• la fonction sinus a des maxima locaux aux points π 2 + 2 π · k ; 1 et minima locaux aux points - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• la fonction sinus est concave lorsque x ∈ - π + 2 π k ; 2 π k , k ∈ Z et convexe quand x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• il n'y a pas d'asymptotes.

1. fonction cosinus : y=cos(x)

Le graphique de cette fonction est appelé une onde cosinus.

Définition 19

Propriétés de la fonction cosinus :

• domaine de définition : x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la plus petite période positive: T \u003d 2 π;
• plage : y ∈ - 1 ; une ;
• cette fonction est paire, puisque y (- x) = y (x) ;
• la fonction est croissante pour x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z et décroissant pour x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• la fonction cosinus a des maxima locaux aux points 2 π · k ; 1 , k ∈ Z et minima locaux aux points π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• la fonction cosinus est concave lorsque x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z et convexe quand x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• il n'y a pas d'asymptotes.

1. Fonction tangente : y = t g (x)

Le graphe de cette fonction s'appelle tangentoïde.

Définition 20

Propriétés de la fonction tangente :

• domaine de définition : x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , où k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
• Le comportement de la fonction tangente à la frontière du domaine de définition lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Ainsi, les droites x = π 2 + π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;
• la fonction s'annule lorsque x = π k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
• plage : y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• cette fonction est impaire car y (- x) = - y (x) ;
• la fonction est croissante en - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• la fonction tangente est concave pour x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z et convexe pour x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• les points d'inflexion ont pour coordonnées π k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Fonction cotangente : y = c t g (x)

Le graphe de cette fonction s'appelle la cotangentoïde. .

Définition 21

Propriétés de la fonction cotangente :

• domaine de définition : x ∈ (π k ; π + π k) , où k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;

Comportement de la fonction cotangente sur la frontière du domaine de définition lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Ainsi, les droites x = π k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;

• la plus petite période positive: T \u003d π;
• la fonction s'annule lorsque x = π 2 + π k pour k ∈ Z (Z est l'ensemble des entiers) ;
• plage : y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• cette fonction est impaire car y (- x) = - y (x) ;
• la fonction est décroissante pour x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• la fonction cotangente est concave pour x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z et convexe pour x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• les points d'inflexion ont pour coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• il n'y a pas d'asymptotes obliques et horizontales.

Les fonctions trigonométriques inverses sont l'arcsinus, l'arccosinus, l'arctangente et l'arccotangente. Souvent, en raison de la présence du préfixe "arc" dans le nom, les fonctions trigonométriques inverses sont appelées fonctions d'arc. .

1. Fonction arcsinus : y = a r c sin (x)

Définition 22

Propriétés de la fonction arcsinus :

• cette fonction est impaire car y (- x) = - y (x) ;
• la fonction arc sinus est concave pour x ∈ 0 ; 1 et convexité pour x ∈ - 1 ; 0 ;
• les points d'inflexion ont pour coordonnées (0 ; 0) , c'est aussi le zéro de la fonction ;
• il n'y a pas d'asymptotes.

1. Fonction arc cosinus : y = une r c cos (x)

Définition 23

Propriétés de la fonction arc cosinus :

• domaine de définition : x ∈ - 1 ; une ;
• plage : y ∈ 0 ; π ;
• cette fonction est de forme générale (ni paire, ni impaire) ;
• la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
• la fonction arccosinus est concave pour x ∈ - 1 ; 0 et convexité pour x ∈ 0 ; une ;
• les points d'inflexion ont pour coordonnées 0 ; π2 ;
• il n'y a pas d'asymptotes.

1. Fonction arctangente : y = a r c t g (x)

Définition 24

Propriétés de la fonction arctangente :

• domaine de définition : x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• plage : y ∈ - π 2 ; π2 ;
• cette fonction est impaire car y (- x) = - y (x) ;
• la fonction est croissante sur tout le domaine de définition ;
• la fonction arctangente est concave pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] et convexe pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• le point d'inflexion a pour coordonnées (0 ; 0), c'est aussi le zéro de la fonction ;
• les asymptotes horizontales sont des lignes droites y = - π 2 pour x → - ∞ et y = π 2 pour x → + ∞ (les asymptotes sur la figure sont des lignes vertes).

1. Fonction arc cotangente : y = une r c c t g (x)

Définition 25

Propriétés de la fonction arc cotangente :

• domaine de définition : x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• plage : y ∈ (0 ; π) ;
• cette fonction est de type général ;
• la fonction est décroissante sur tout le domaine de définition ;
• la fonction arc cotangente est concave pour x ∈ [ 0 ; + ∞) et convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• le point d'inflexion a pour coordonnées 0 ; π2 ;
• les asymptotes horizontales sont des droites y = π en x → - ∞ (ligne verte sur le dessin) et y = 0 en x → + ∞.

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Une fois que vous aurez vraiment compris ce qu'est une fonction (vous devrez peut-être lire la leçon plus d'une fois), vous serez en mesure de résoudre les problèmes avec les fonctions avec plus de confiance.

Dans cette leçon, nous analyserons comment résoudre les principaux types de problèmes de fonctions et de graphes de fonctions.

Comment obtenir la valeur d'une fonction

Considérons la tâche. La fonction est donnée par la formule " y \u003d 2x - 1"

1. Calculez " y"Quand" x \u003d 15 "
2. Trouvez la valeur " x", À laquelle la valeur " y "est égale à" −19 ".

Pour calculer " y"Avec" x \u003d 15"Il suffit de substituer la valeur numérique requise dans la fonction au lieu de" x".

L'entrée de la solution ressemble à ceci :

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Afin de trouver " x"Selon le" y" connu, il est nécessaire de substituer une valeur numérique au lieu de" y "dans la formule de la fonction.

C'est-à-dire maintenant, au contraire, pour rechercher " x"Nous substituons dans la fonction" y \u003d 2x - 1 "Au lieu de" y ", le nombre" −19".

−19 = 2x − 1

Nous avons obtenu une équation linéaire avec un "x" inconnu, qui est résolue selon les règles de résolution des équations linéaires.

Se souvenir!

N'oubliez pas la règle de transfert dans les équations.

Lors du transfert du côté gauche de l'équation vers la droite (et vice versa), la lettre ou le chiffre change de signe en opposé.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Comme pour résoudre une équation linéaire, pour trouver l'inconnue, nous devons maintenant multiplier à gauche et à droiteà "−1" pour changer le signe.

-2x = 18 | (−1)
2x = −18

Divisons maintenant les côtés gauche et droit par "2" pour trouver "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Comment vérifier si l'égalité est vraie pour une fonction

Considérons la tâche. La fonction est donnée par la formule "f(x) = 2 − 5x".

L'égalité "f(−2) = −18" est-elle vraie ?

Pour vérifier si l'égalité est vraie, vous devez substituer la valeur numérique "x = −2" dans la fonction " f (x) \u003d 2 - 5x"Et comparer avec ce qui se passe dans les calculs.

Important!

Lorsque vous substituez un nombre négatif à "x", assurez-vous de le mettre entre parenthèses.

Pas vrai

Correctement

A l'aide de calculs, nous avons obtenu "f(−2) = 12".

Cela signifie que "f(−2) = −18" pour la fonction "f(x) = 2 − 5x" n'est pas une égalité valide.

Comment vérifier si un point appartient à un graphique d'une fonction

Considérons la fonction " y \u003d x 2 −5x + 6"

Il faut savoir si le point de coordonnées (1; 2) appartient au graphe de cette fonction.

Pour cette tâche, il n'est pas nécessaire de tracer une fonction donnée.

Se souvenir!

Pour déterminer si un point appartient à une fonction, il suffit de substituer ses coordonnées dans la fonction (coordonnée selon l'axe "Ox" au lieu de "x" et la coordonnée selon l'axe "Oy" au lieu de "y").

Si cela marche véritable égalité, donc le point appartient à la fonction.

Revenons à notre tâche. Remplacez dans la fonction "y \u003d x 2 - 5x + 6" les coordonnées du point (1; 2).

Au lieu de " x"Nous substituons" 1". Au lieu de " y"Remplacer" 2».

2 = 1 2 - 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (juste)

Nous avons obtenu l'égalité correcte, ce qui signifie que le point de coordonnées (1 ; 2) appartient à la fonction donnée.

Vérifions maintenant le point de coordonnées (0; 1) . Appartient-elle
fonctions "y \u003d x 2 - 5x + 6" ?

Au lieu de "x", remplaçons "0". Au lieu de " y"Remplacer" 1».

1 = 0 2 - 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (faux)

Dans ce cas, nous n'avons pas obtenu l'égalité correcte. Cela signifie que le point de coordonnées (0; 1) n'appartient pas à la fonction " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Comment obtenir les coordonnées des points de fonction

A partir de n'importe quel graphe de fonction, vous pouvez prendre les coordonnées d'un point. Ensuite, vous devez vous assurer que lors de la substitution des coordonnées dans la formule de la fonction, l'égalité correcte est obtenue.

Considérons la fonction "y(x) = −2x + 1". Nous avons déjà construit son emploi du temps dans la leçon précédente.

Trouvons sur le graphique de la fonction " y (x) \u003d -2x + 1", qui est égal à" y"Pour x \u003d 2.

Pour ce faire, à partir de la valeur " 2"Sur l'axe" Ox", Tracez une perpendiculaire au graphe de la fonction. A partir du point d'intersection de la perpendiculaire et du graphe de la fonction, tracer une autre perpendiculaire à l'axe "Oy".

La valeur résultante " −3"Sur l'axe" Oy"Et sera la valeur souhaitée" y».

Assurons-nous d'avoir bien pris les coordonnées du point pour x = 2
dans la fonction "y(x) = −2x + 1".

Pour ce faire, nous substituons x \u003d 2 dans la formule de la fonction "y (x) \u003d -2x + 1". Si nous dessinons correctement la perpendiculaire, nous devrions également nous retrouver avec y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Lors du calcul, nous avons également obtenu y = −3.

Cela signifie que nous avons correctement reçu les coordonnées du graphique de la fonction.

Important!

Assurez-vous de vérifier toutes les coordonnées du point à partir du graphique de la fonction en remplaçant les valeurs de "x" dans la fonction.

Lorsque vous substituez la valeur numérique "x"Dans la fonction, le résultat doit être la même valeur" y", que vous avez obtenue sur le graphique.

Lors de l'obtention des coordonnées des points à partir du graphique de la fonction, il est fort probable que vous fassiez une erreur, car tracer une perpendiculaire aux axes s'effectue "à l'oeil".

Seule la substitution de valeurs dans une formule de fonction donne des résultats précis.