Comme vous le savez, trouver l'intégrale peut être une tâche assez difficile. Ce serait une grande déception de reprendre le calcul d'une intégrale impropre et de constater au bout du chemin qu'elle diverge. Par conséquent, les méthodes intéressantes permettent de tirer une conclusion sur la convergence ou la divergence d'une intégrale impropre sans calculs sérieux pour un type de fonction. Les premier et deuxième théorèmes de comparaison, qui seront discutés ci-dessous, aident dans une large mesure à étudier les intégrales impropres pour la convergence.
Soit f(x)?0. Ensuite les fonctions
sont croissantes de façon monotone avec les variables t ou -q (puisque nous prenons q > 0, -q tend vers zéro à partir de la gauche). Si, à mesure que les arguments augmentent, les fonctions F 1 (t) et F 2 (-d) restent bornées par le haut, cela signifie que les intégrales impropres correspondantes convergent. C'est la base du premier théorème de comparaison pour les intégrales de fonctions non négatives.
Soit les conditions suivantes satisfaites pour la fonction f(x) et g(x) en x?a :
- 1) 0?f(x)?g(x);
- 2) Les fonctions f(x) et g(x) sont continues.
Alors la convergence de l'intégrale implique la convergence de l'intégrale, et la divergence de l'intégrale implique la divergence
Puisque 0?f(x)?g(x) et les fonctions sont continues, alors
Par hypothèse, l'intégrale converge, c'est-à-dire a une valeur finie. Par conséquent, l'intégrale converge également.
Maintenant, laissez l'intégrale diverger. Supposons que l'intégrale converge, mais alors l'intégrale doit converger, ce qui contredit la condition. Notre hypothèse est fausse, l'intégrale diverge.
Théorème de comparaison pour les intégrales impropres de 2ème espèce.
Soit pour les fonctions f(x) et g(x) sur l'intervalle , augmente indéfiniment pour x>+0. Pour cela, pour x>+0, l'inégalité<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.
Théorème de comparaison pour les intégrales impropres de première espèce.
Laissez l'intégrale diverger pour la fonction f(x) et g(x) sur l'intervalle.
Cela signifie que l'intégrale diverge également sur le segment.
Ainsi, cette intégrale diverge sur tout le segment [-1, 1]. Notez que si nous commencions à calculer cette intégrale, sans faire attention à la discontinuité de l'intégrande au point x = 0, nous obtiendrions un résultat incorrect. Vraiment,
, ce qui est impossible.
Ainsi, pour étudier l'intégrale impropre d'une fonction discontinue, il est nécessaire de la "casser" en plusieurs intégrales et de les étudier.
Si l'intégrande a une discontinuité de seconde espèce sur l'intervalle (fini) d'intégration, on parle d'intégrale impropre de seconde espèce.
10.2.1 Définition et propriétés de base
Notons l'intervalle d'intégration $\left[ a, \, b \right ]$, ces deux nombres étant supposés finis ci-dessous. S'il n'y a qu'un seul espace, il peut être soit au point $a$, soit au point $b$, soit à l'intérieur de l'intervalle $(a,\,b)$. Considérons d'abord le cas où il y a une discontinuité de seconde espèce au point $a$, et l'intégrande est continue en d'autres points. On parle donc de l'intégrale
\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)
où $f(x) \rightarrow \infty $ quand $x \rightarrow a+0$. Comme précédemment, la première chose à faire est de donner un sens à cette expression. Pour cela, considérons l'intégrale
\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Définition. Qu'il y ait une limite
\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]
Alors l'intégrale impropre de seconde espèce (22) est dite convergente et la valeur $A$ lui est affectée, la fonction $f(x)$ elle-même est dite intégrable sur l'intervalle $\left[ a, \ , b\droit]$.
Considérez l'intégrale
\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]
L'intégrande $1/\sqrt(x)$ pour $x \rightarrow +0$ a une limite infinie, donc au point $x=0$ il a une discontinuité de seconde espèce. Mettons
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]
Dans ce cas, la primitive est connue,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2 \]
pour $\epsilon \rightarrow +0$. Ainsi, l'intégrale d'origine est une intégrale convergente impropre de seconde espèce, et elle est égale à 2.
Considérons la variante lorsqu'il y a une discontinuité du second type de l'intégrande à la limite supérieure de l'intervalle d'intégration. Ce cas peut être ramené au précédent en changeant la variable $x=-t$ puis en réarrangeant les limites d'intégration.
Considérons le cas où l'intégrande présente une discontinuité de seconde espèce à l'intérieur de l'intervalle d'intégration, au point $c \in (a,\,b)$. Dans ce cas, l'intégrale d'origine
\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)
présenté comme une somme
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Définition. Si les deux intégrales $I_1, \, I_2$ convergent, alors l'intégrale impropre (23) est dite convergente et on lui attribue une valeur égale à la somme des intégrales $I_1, \, I_2$, la fonction $f(x) $ est dit intégrable sur l'intervalle $\left [a, \, b\right]$. Si au moins une des intégrales $I_1,\, I_2$ est divergente, l'intégrale impropre (23) est dite divergente.
Les intégrales impropres convergentes de 2e espèce ont toutes les propriétés standard des intégrales définies ordinaires.
1. Si $f(x)$, $g(x)$ sont intégrables sur l'intervalle $\left[ a, \,b \right ]$, alors leur somme $f(x)+g(x)$ est aussi intégrable sur cet intervalle, et \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Si $f(x)$ est intégrable sur l'intervalle $\left[ a, \, b \right ]$, alors pour toute constante $C$ la fonction $C\cdot f(x)$ est aussi intégrable sur cet intervalle , et \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Si $f(x)$ est intégrable sur l'intervalle $\left[ a, \, b \right ]$ et $f(x)>0$ sur cet intervalle, alors \[ \int _a^( b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Si $f(x)$ est intégrable sur l'intervalle $\left[ a, \, b \right ]$, alors pour tout $c\in (a, \,b)$ les intégrales \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] convergent également, et \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (additivité de l'intégrale sur l'intervalle).
Considérez l'intégrale \begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation) Si $k>0$, l'intégrande tend vers $\infty$ comme $x \rightarrow +0$, donc l'intégrale est impropre de seconde espèce. Nous introduisons la fonction \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] Dans ce cas, la primitive est connue, de sorte que \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] pour $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] pour $k = 1$. Considérant le comportement de $\epsilon \rightarrow +0$, nous concluons que l'intégrale (20) converge pour $k
10.2.2 Critères de convergence des intégrales impropres de 2e espèce
Théorème (le premier signe de comparaison). Soient $f(x)$, $g(x)$ continus pour $x\in (a,\,b)$, et $0 1. Si l'intégrale \[ \int _a^(b)g(x) dx \] converge, alors l'intégrale \[ \int _a^(b)f(x)dx converge également. \] 2. Si l'intégrale \[ \int _a^(b)f(x)dx \] diverge, alors l'intégrale \[ \int _a^(b)g(x)dx diverge également. \]
Théorème (le deuxième signe de comparaison). Soit $f(x)$, $g(x)$ continu et positif pour $x\in (a,\,b)$, et soit une limite finie
\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Alors les intégrales
\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]
convergent ou divergent en même temps.
Considérez l'intégrale
\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
L'intégrande est une fonction positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrande tend vers $\infty$ comme $x \rightarrow +0$, donc notre intégrale est impropre de seconde espèce. De plus, pour $x \rightarrow +0$ on a : si $g(x)=1/x$, alors
\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]
En appliquant le deuxième critère de comparaison, nous arrivons à la conclusion que notre intégrale converge ou diverge simultanément avec l'intégrale
\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]
Comme le montre l'exemple précédent, cette intégrale diverge ($k=1$). Par conséquent, l'intégrale d'origine diverge également.
Calculer l'intégrale impropre ou établir sa convergence (divergence).
1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]
