Un autre schéma pour décrire des expériences avec des résultats prédits de manière ambiguë, qui permet d'introduire assez facilement une caractéristique quantitative de la faisabilité d'un événement, est le schéma des probabilités géométriques, qui, comme le schéma de cas considéré ci-dessus, exploite l'idée de la possibilité égale des résultats de l'expérience. Tout comme cela a été fait dans le schéma de cas, la caractéristique quantitative de la faisabilité d'un événement - sa probabilité - est définie comme une valeur normalisée en quelque sorte, proportionnelle au stock de résultats qui favorisent la mise en œuvre de l'événement. Laissez l'ensemble des résultats de l'expérience à l'étude être décrit comme un ensemble de points P d'un certain "continuum géométrique" - chaque résultat correspond à un certain point et chaque point correspond à un certain résultat. Le « continu géométrique » Q peut être un segment de droite, un arc de courbe rectifiable sur un plan ou dans l'espace, une quadrature fixée sur un plan (triangle, rectangle, cercle, ellipse, etc.) ou une partie de une surface carrée, un certain volume dans l'espace (un polyèdre - un prisme, une pyramide, une boule, un ellipsoïde, etc.) Un événement est tout sous-ensemble carré d'un ensemble (longueur, aire, volume) que nous pouvons mesurer. En supposant l'équiprobabilité des résultats, appelons la probabilité de l'événement A un nombre proportionnel à la mesure du sous-ensemble A de l'ensemble P : les probabilités géométriques dans ce cas seront comprises entre zéro - la probabilité d'un événement impossible, et un - la probabilité d'un événement fiable4*. La condition de normalisation vous permet de trouver la constante k - le coefficient de proportionnalité qui spécifie la probabilité. Il s'avère être égal à Ainsi, dans le schéma des probabilités géométriques, la probabilité de tout événement est définie comme le rapport de la mesure du sous-ensemble A, décrivant l'événement, à la mesure de l'ensemble il, décrivant l'expérience comme un tout : contenu dans un autre ne peut être plus grand que ce dernier. Comme dans le schéma des cas, les événements du schéma des probabilités géométriques peuvent être combinés, combinés et construits sur leur base d'événements opposés - dans ce cas, d'une manière générale, des événements différents des événements d'origine seront obtenus. La propriété suivante est très importante. 3. Si les événements sont incompatibles, alors, en particulier, le principe de complémentarité est valable : Cette propriété, habituellement appelée règle d'addition des probabilités, découle évidemment de l'additivité de la mesure5*. En conclusion, nous notons que la probabilité de tout résultat dans le schéma des probabilités géométriques est toujours égale à zéro, ainsi que la probabilité de tout événement décrit par un ensemble de points "maigre", c'est-à-dire ensemble dont la mesure (respectivement - longueur, surface, volume) est égale à zéro. Considérons quelques exemples illustrant le calcul des probabilités dans le schéma des probabilités géométriques. Exemple 1. L'expérience consiste à choisir au hasard un point du segment [a, 6|. Trouver la probabilité que le point sélectionné se trouve dans la moitié gauche du segment considéré. 4 Par définition, la probabilité de choisir un point dans n'importe quel ensemble sur un segment est supérieure à zéro, et leur produit est négatif.
Réponse : 0;25.
4.6. Au cours de l'entraînement au combat, le n-ième escadron de bombardiers a reçu la tâche d'attaquer le dépôt pétrolier «ennemi». Sur le territoire du dépôt pétrolier, qui a la forme d'un rectangle de 30 et 50 m de côté, se trouvent quatre réservoirs d'huile ronds d'un diamètre de 10 m chacun. Trouvez la probabilité d'un coup direct des réservoirs de pétrole par une bombe qui a frappé le territoire du dépôt de pétrole, si la bombe frappe n'importe quel point de cette base avec une probabilité égale.
Réponse : π/15.
4.7. Deux nombres réels x et y sont choisis au hasard de sorte que la somme de leurs carrés soit inférieure à 100. Quelle est la probabilité que la somme des carrés de ces nombres soit supérieure à 64 ?
Réponse : 0;36.
4.8. Les deux amis ont convenu de se rencontrer entre 13h00 et 14h00. La première personne qui arrive attend la deuxième personne pendant 20 minutes puis s'en va. Déterminez la probabilité de rencontrer des amis si les moments de leur arrivée dans l'intervalle de temps spécifié sont également probables.
Réponse : 5/9.
4.9. Deux bateaux à vapeur doivent venir au même quai. L'heure d'arrivée des deux navires est également possible au cours de la journée donnée. Déterminez la probabilité qu'un des paquebots doive attendre que le poste d'amarrage soit libéré si le premier paquebot reste une heure et le second deux heures.
Réponse : ≈ 0;121.
4.10. Deux nombres positifs x et y sont pris au hasard, dont chacun ne dépasse pas deux. Trouver la probabilité que le produit x y soit au plus égal à un et que le quotient y/x soit au plus égal à deux.
Réponse : ≈ 0;38.
4.11. Dans la région G délimitée par l'ellipsoïde 
, un point est fixé au hasard. Quelle est la probabilité que les coordonnées (x; y; z) de ce point satisfassent l'inégalité x 2 + y 2 + z 2 ≤4 ?
Réponse : 1/3.
4.12. Un point est projeté dans un rectangle de sommets R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Trouvez la probabilité que ses coordonnées satisfassent les inégalités 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Réponse : 2/3.
4.13. La région G est délimitée par le cercle x 2 + y 2 = 25, et la région g est délimitée par ce cercle et la parabole 16x - 3y 2 > 0. Trouvez la probabilité de tomber dans la région g.
Réponse : ≈ 0;346.
4.14. Deux nombres positifs x et y sont pris au hasard, dont chacun ne dépasse pas un. Trouvez la probabilité que la somme x + y ne dépasse pas 1 et que le produit x · y ne soit pas inférieur à 0,09.
Réponse : ≈ 0;198.
Définition statistique de la probabilité
Tâche 2. Le tireur tire un coup sur la cible. Estimez la probabilité qu'il atteigne la cible.
Décision. Dans cette expérience, deux issues sont possibles : soit le tireur touche la cible (l'événement UN), ou il a raté (événement). Événements UN et sont incompatibles et forment un groupe complet. Cependant, dans le cas général, on ne sait pas si elles sont également possibles ou non. Par conséquent, dans ce cas, la définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire ne peut pas être utilisée. Vous pouvez résoudre le problème en utilisant la définition statistique de la probabilité d'un événement aléatoire.
Définition 1.12. Fréquence relative des événements UN appelé le rapport du nombre d'essais dans lesquels l'événement UN apparus, au nombre total de tests réellement effectués.
Ainsi, la fréquence relative de l'événement UN peut être calculé par la formule
où k– nombre d'occurrences de l'événement UN, je est le nombre total d'essais.
Remarque 1.2. La principale différence dans la fréquence relative de l'événement UN de sa probabilité classique réside dans le fait que la fréquence relative est toujours trouvée en fonction des résultats des tests. Pour calculer la probabilité classique, il n'est pas nécessaire de mettre en place une expérience.
Des observations de longue durée ont montré que si une série d'expériences sont réalisées dans des conditions identiques, dans chacune desquelles le nombre d'essais est suffisamment grand, alors la fréquence relative révèle propriété de stabilité. Cette propriété consiste dans le fait que dans différentes séries d'expériences la fréquence relative W( UN) change peu (moins il y a, plus on effectue de tests), fluctuant autour d'un certain nombre constant.
Comme probabilité statistique d'un événement prendre une fréquence relative ou un nombre proche de celle-ci.
Revenons au problème 2 sur le calcul de la probabilité d'un événement UN(le tireur atteindra la cible). Pour le résoudre, il est nécessaire d'effectuer plusieurs séries d'un nombre suffisamment important de tirs sur la cible dans les mêmes conditions. Cela vous permettra de calculer la fréquence relative et d'estimer la probabilité d'un événement UN.
L'inconvénient de la définition statistique est l'ambiguïté de la probabilité statistique. Par exemple, si W( UN)»0,4, alors comme la probabilité de l'événement UN vous pouvez prendre 0,4, 0,39 et 0,41.
Remarque 1.3. La définition statistique de la probabilité surmonte le deuxième défaut de la définition classique de la probabilité.
Qu'il y ait des chiffres dans l'avion g et g, et gÌ g(Fig. 1.1).
|
Remarque 1.4. Au cas où quand g et g- des segments de droite, la probabilité d'un événement UN est égal au rapport des longueurs de ces segments. Si un g et g sont des corps dans un espace tridimensionnel, alors la probabilité d'un événement UN se trouve comme le rapport des volumes de ces corps. Ainsi, dans le cas général où moi est la métrique de l'espace considéré. Remarque 1.5. La définition géométrique de la probabilité s'applique aux essais avec un nombre infini de résultats. Exemple 1.13. Deux personnes ont convenu de se rencontrer à un certain endroit entre 12 et 13 heures, et chaque personne qui est venue à la réunion attend l'autre pendant 20 minutes, mais pas plus que jusqu'à 13 heures, après quoi elle part. Trouver la probabilité de rencontrer ces personnes si chacune d'elles arrive à un moment aléatoire, non coordonné avec le moment d'arrivée de l'autre. Décision. Laissez l'événement UN- la rencontre a eu lieu. Dénoter par X- l'heure d'arrivée de la première personne à la réunion, y- heure d'arrivée de la deuxième personne. Alors l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience est l'ensemble de toutes les paires ( X, y), où X, yО . Et l'ensemble des résultats favorables est déterminé par l'inégalité |X – y| 20 £ (min). Ces deux ensembles sont infinis, de sorte que la définition classique du calcul de la probabilité ne peut pas être appliquée. Utilisons la définition géométrique. Sur la fig. 1.2 montre les ensembles de tous les résultats possibles (carré OKMT) et des résultats favorables (hexagone OSLMNR). En utilisant la définition 1.13, on obtient Somme et produit des événements. Théorèmes sur la probabilité de la somme et du produit des événements Définition 1.14.La somme des événements A et B nommer l'événement consistant en l'apparition d'au moins l'un d'entre eux. La désignation: UN + B. Définition 1.15.Le produit des événements A et B appellent un événement consistant en l'occurrence simultanée de ces événements dans la même expérience. La désignation: UN B. Exemple 1.14. Dans un jeu de 36 cartes, une carte est tirée au hasard. Introduisons la notation : UN- la carte tirée s'est avérée être une dame, B- ils ont sorti une carte de pique. Trouver des probabilités d'événements UN + B et UN B. Décision. Événement UN + B se produit si la carte tirée est un pique ou une reine. Cela signifie que l'événement considéré est favorisé par 13 résultats (n'importe laquelle des 9 cartes de pique, n'importe laquelle des 3 dames d'une autre couleur) sur 36 possibles. En utilisant la définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire, on obtient Événement UN B se produit si la carte tirée est un pique et une reine. Par conséquent, l'événement UN B privilégie un seul résultat de l'expérience (Dame de Pique) sur 36 possibles. En tenant compte de la Définition 1.11, on obtient Remarque 1.6. Les définitions de somme et de produit d'événements peuvent être étendues à n'importe quel nombre d'événements. Lors du calcul de la probabilité de la somme et du produit des événements, il est pratique d'utiliser les déclarations suivantes. Théorème 1.1. La probabilité de survenance de l'un des deux événements incompatibles, quel qu'il soit, est égale à la somme des probabilités de ces événements P( UN+B)=P( UN)+P( B). Corollaire 1.1. La probabilité d'occurrence de l'un de plusieurs événements incompatibles deux à deux, quel qu'il soit, est égale à la somme des probabilités de ces événements P( UN 1 +UN 2 +…+Un)=P( UN 1)+P( UN 2)+…+P( Un). Corollaire 1.2. La somme des probabilités d'événements incompatibles par paires UN 1 , UN 2 ,…, Un, formant un groupe complet, est égal à un P( UN 1)+P( UN 2)+…+P( Un)=1. Corollaire 1.3. Probabilité de l'événement inverse Un événement aléatoire a été défini comme un événement qui, à la suite d'une expérience, peut ou non se produire. Si lors du calcul de la probabilité d'un événement, aucune autre restriction (à l'exception des conditions expérimentales) n'est imposée, une telle probabilité est appelée inconditionnelle. Si d'autres conditions supplémentaires sont imposées, alors la probabilité de l'événement est dite conditionnelle. Définition 1.16.Probabilite conditionnelle P B(UN) (ou P( UN|B)) s'appelle la probabilité d'un événement UN, calculé sous l'hypothèse que l'événement B déjà arrivé. En utilisant le concept de probabilité conditionnelle, nous donnons une définition de l'indépendance des événements qui diffère de celle donnée précédemment. Définition 1.17. L'événement A est indépendant de l'événement B si l'égalité Dans les questions pratiques, pour déterminer l'indépendance de ces événements, on a rarement recours à la vérification du respect des égalités (1.3) et (1.4) pour eux. Habituellement, pour cela, ils utilisent des considérations intuitives basées sur l'expérience. Définition 1.18. Plusieurs événements sont appelés indépendants par paires si tous les deux sont indépendants. Définition 1.19. Plusieurs événements sont appelés collectivement indépendant s'ils sont deux à deux indépendants et si chaque événement et tous les produits possibles des autres sont indépendants. Théorème 1.2. La probabilité de survenance conjointe de deux événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée en supposant que le premier événement s'est déjà produit. Selon le choix de la séquence d'événements, le théorème 1.2 peut être écrit comme P( UN B) = P( UN)P UN(B) P( UN B) = P( B)P B(UN). Corollaire 1.4. La probabilité d'occurrence conjointe de plusieurs événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par les probabilités conditionnelles de tous les autres, et la probabilité de chaque événement suivant est calculée en supposant que tous les événements précédents sont déjà apparus Dans ce cas, l'ordre dans lequel les événements sont situés peut être choisi dans n'importe quel ordre. Exemple 1.15. Une urne contient 6 boules blanches et 3 boules noires. Une boule est tirée au hasard de l'urne jusqu'à ce qu'une noire apparaisse. Trouver la probabilité que le quatrième retrait devra être effectué si les boules ne sont pas remises dans l'urne. Décision. Dans l'expérience considérée, il est nécessaire d'effectuer le quatrième retrait si les trois premières boules s'avèrent être blanches. Dénoter par Un je un événement qui je-th dessinant une boule blanche apparaîtra ( je= 1, 2, 3). Le problème est de trouver la probabilité d'un événement UN 1 UN 2 UN 3 . Comme les boules tirées ne reviennent pas, les événements UN 1 , UN 2 et UN 3 sont dépendants (chaque précédent affecte la possibilité du suivant). Pour calculer la probabilité, on utilise le corollaire 1.4 et la définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire, à savoir Corollaire 1.5. La probabilité d'occurrence conjointe de deux événements indépendants est égale au produit de leurs probabilités P( UN B)=P( UN)P( B). Corollaire 1.6. La probabilité de survenance conjointe de plusieurs événements indépendants dans l'agrégat est égale au produit de leurs probabilités P( UN 1 UN 2 …Un)=P( UN 1)P( UN 2)…P( Un). Exemple 1.16. Résolvez le problème de l'exemple 1.15, en supposant qu'après chaque retrait, les boules sont remises dans l'urne. Décision. Comme précédemment (exemple 1.15), il faut trouver P( UN 1 UN 2 UN 3). Cependant, les événements UN 1 , UN 2 et UN 3 sont indépendants dans l'ensemble, puisque la composition de l'urne est la même pour chaque prélèvement et, par conséquent, le résultat d'un seul test n'affecte pas les autres. Par conséquent, pour calculer la probabilité, nous utilisons le corollaire 1.6 et la définition 1.11 de la probabilité d'un événement aléatoire, à savoir P( UN 1 UN 2 UN 3)=P( UN 1)P( UN 2)P( UN 3)= = . Théorème 1.3. La probabilité de survenance d'au moins un des deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur survenance conjointe
Remarque 1.7. Lors de l'utilisation de la formule (1.5), il faut garder à l'esprit que les événements UN et B peut être dépendant ou indépendant. Exemple 1.17. Deux tireurs ont tiré chacun un coup sur la cible. On sait que la probabilité d'atteindre la cible pour l'un des tireurs est de 0,6 et pour l'autre de 0,7. Trouvez la probabilité que a) les deux tireurs touchent la cible (événement ré); b) un seul des tireurs atteindra la cible (événement E); c) au moins un des tireurs atteindra la cible (l'événement F). Décision. Introduisons la notation : UN- le premier tireur touche la cible, B Le deuxième tireur a touché la cible. Par condition P( UN) = 0,6 et P( B) = 0,7. Nous répondrons aux questions. a) Événement ré se produira si un événement se produit UN B. Parce que les événements UN et B sont indépendants, alors, compte tenu du corollaire 1.5, on obtient P( ré) = P( UN B) = P( UN)P( B) = 0,6×0,7 = 0,42. b) Événement E se produit si l'un des événements se produit UN ou alors B. Ces événements sont incompatibles et les événements UN() et B() sont indépendants, donc, d'après le Théorème 1.1, Corollaires 1.3 et 1.5, on a P( E) = P( UN+ B) = P( UN) + P( B) = P( UN)P() + P()P( B) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. c) Événement F se produira si au moins un des événements se produit UN ou alors B. Ces événements sont partagés. Par conséquent, d'après le théorème 1.3, nous avons P( F) = P( UN+B) = P( UN) + P( B) - P( UN B) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Notez que la probabilité d'un événement F aurait pu être calculé différemment. À savoir P( F) = P( UN+ B + UN B) = P( UN) + P( B) + P( UN B) = 0,88 P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0,4×0,3 = 0,88. Formule de probabilité totale. Formules de Bayes Laissez l'événement UN peut se produire si l'un des événements incompatibles se produit B 1 , B 2 ,…, B n, formant un groupe complet. Comme on ne sait pas à l'avance lesquels de ces événements se produiront, on les appelle hypothèses. Estimer la probabilité qu'un événement se produise UN avant l'expérience, vous pouvez utiliser l'instruction suivante. Théorème 1.4. Probabilité d'événement UN, qui ne peut se produire que si l'un des événements incompatibles se produit B 1 , B 2 ,…, B n, formant un groupe complet, est égal à
La formule (1.6) s'appelle formules de probabilité totale. Exemple 1.18. Pour réussir l'examen, les étudiants devaient préparer 30 questions. Sur 25 étudiants, 10 ont préparé toutes les questions, 8 à 25 questions, 5 à 20 questions et 2 à 15 questions. Trouvez la probabilité qu'un élève choisi au hasard réponde à la question donnée. Décision. Introduisons la notation suivante : UN- un événement consistant dans le fait qu'un élève appelé au hasard a répondu à la question posée, B 1 - l'élève appelé au hasard connaît les réponses à toutes les questions, B 2 - l'élève appelé au hasard connaît les réponses à 25 questions, B 3 - l'élève appelé au hasard connaît les réponses à 20 questions et B 4 - l'élève appelé au hasard connaît les réponses à 15 questions. A noter que les événements B 1 ,B 2 ,B 3 et B 4 sont incompatibles, forment un groupe complet, et l'événement UN peut se produire si l'un de ces événements se produit. Par conséquent, pour calculer la probabilité d'un événement UN nous pouvons utiliser la formule de probabilité totale (1.6) : Selon la condition du problème, les probabilités des hypothèses sont connues P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) = et les probabilités conditionnelles (probabilités pour les élèves de chacun des quatre groupes de répondre à la question) 1, = , = , = . Ainsi, P( UN) = ×1 + × + × + × = . Supposons qu'un test a été effectué, à la suite duquel un événement s'est produit UN, et lequel des événements B je (je =1, 2,…, n) survenue n'est pas connue du chercheur. Pour estimer les probabilités des hypothèses une fois que le résultat du test est connu, vous pouvez utiliser Formules de Bayes
Ici P( UN) est calculé par la formule de probabilité totale (1.6). Exemple 1.19. Dans une certaine usine, la machine I produit 40 % de toute la production et la machine II produit 60 %. En moyenne, 9 unités sur 1 000 produites par la machine I sont défectueuses et la machine II a 4 unités défectueuses sur 500. Quelle est la probabilité qu'il ait été produit par la machine II ? Décision. Introduisons la notation : UN- un événement consistant dans le fait qu'une unité de production, tirée au sort d'une production journalière, s'est avérée défectueuse, B je- une unité de production, choisie au hasard, est fabriquée par une machine je(je= Je, II). Événements B 1 et B 2 sont incompatibles et forment un groupe complet, et l'événement UN ne peut survenir qu'à la suite de la survenance de l'un de ces événements. On sait que l'événement UN s'est produit (une unité de production choisie au hasard s'est avérée être un défaut). Lequel des événements B 1 ou B 2 en même temps, il est inconnu, car on ne sait pas sur laquelle des deux machines l'article sélectionné a été fabriqué. Estimer la vraisemblance d'une hypothèse B 2 peut être réalisée en utilisant la formule de Bayes (1.7) : où la probabilité de sélection aléatoire d'un produit défectueux est calculée par la formule de probabilité totale (1.6) : Considérant que, selon l'état du problème P( B 1) = 0,40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Séquence d'essais indépendants Dans les activités scientifiques et pratiques, il est constamment nécessaire d'effectuer des tests répétés dans des conditions similaires. En règle générale, les résultats des tests précédents n'affectent pas les suivants. Le type le plus simple de ces tests est très important, lorsque dans chacun des tests un événement UN peuvent apparaître avec la même probabilité, et cette probabilité reste la même, quels que soient les résultats des tests précédents ou ultérieurs. Ce type de test a été exploré pour la première fois par Jacob Bernoulli et est donc appelé Schémas de Bernoulli. Schéma de Bernoulli. Qu'il soit produit n tests indépendants dans des conditions similaires (ou la même expérience est réalisée n fois), dans chacun desquels l'événement UN peut apparaître ou non. Dans ce cas, la probabilité d'occurrence d'un événement UN dans chaque essai est le même et égal p. Par conséquent, la probabilité de non-occurrence de l'événement UN dans chaque test individuel est également constante et égale à q= 1 - p. La probabilité que dans ces conditions un événement UN se réalisera exactement k fois (et, par conséquent, ne sera pas réalisé n – k fois) peut être trouvé par Formule de Bernoulli
Dans ce cas, l'ordre d'apparition de l'événement UN dans l'indiqué n les tests peuvent être arbitraires. Exemple 1.20. La probabilité qu'un client ait besoin de chaussures de taille 41 est de 0,2. Trouvez la probabilité que sur les 5 premiers acheteurs des chaussures de cette taille soient nécessaires : a) une ; b) au moins un ; c) au moins trois ; d) plus d'un et moins de quatre. Décision. Dans cet exemple, la même expérience (choix de chaussures) est effectuée 5 fois, et la probabilité de l'événement est UN- des chaussures de la 41e taille sont choisies - elle est constante et égale à 0,2. De plus, le résultat de chaque test individuel n'affecte pas les autres expériences, car. les acheteurs choisissent les chaussures indépendamment les unes des autres. Par conséquent, nous avons une séquence de tests effectués selon le schéma de Bernoulli, dans lequel n = 5, p = 0,2, q= 0,8. Pour répondre aux questions posées, il faut calculer les probabilités P 5 ( k). Nous utilisons la formule (1.8). a) P 5 (1) = = 0,4096 ; b) P 5 ( k³ 1) = 1 - P 5 ( k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; c) P5 ( k³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0,5792; d) P5 (1< k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. L'utilisation de la formule de Bernoulli (1.32) pour les grandes valeurs de n et m pose de grandes difficultés, car cela implique des calculs lourds. Ainsi, à n = 200, m = 116, p = 0,72, la formule de Bernoulli prend la forme P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Il est presque impossible de calculer le résultat. Le calcul de P n (m) pose également des difficultés pour les petites valeurs de p (q). Il est nécessaire de trouver des formules approximatives pour calculer P n (m), fournissant la précision nécessaire. De telles formules nous donnent des théorèmes limites ; ils contiennent les formules dites asymptotiques, qui, pour de grandes valeurs de test, donnent une erreur relative arbitrairement petite. Considérons trois théorèmes limites contenant des formules asymptotiques pour calculer la probabilité binomiale P n (m) comme n. Théorème 1.5. Si le nombre d'essais augmente indéfiniment (n) et que la probabilité p d'occurrence de l'événement A dans chaque essai diminue indéfiniment (p), mais de telle manière que leur produit pr soit une valeur constante (pr = a = const) , alors la probabilité P n (m) satisfait l'égalité limite L'expression (1.9) est appelée la formule asymptotique de Poisson. De l'égalité limite (1.9) pour grand n et petit p suit la formule de Poisson approchée La formule (1.10) est utilisée lorsque la probabilité p = const de succès est extrêmement faible, c'est-à-dire que le succès lui-même (l'apparition de l'événement A) est un événement rare (par exemple, gagner une voiture avec un billet de loterie), mais le nombre d'essais n est grand, le nombre moyen de succès pr = a légèrement. La formule approximative (1.10) est généralement utilisée lorsque n 50 et pr 10. La formule de Poisson trouve une application dans la théorie des files d'attente. Un flux d'événements est une séquence d'événements se produisant à des moments aléatoires (par exemple, un flux de visiteurs chez un coiffeur, un flux d'appels dans un central téléphonique, un flux de pannes d'éléments, un flux d'abonnés desservis, etc.). Le flux d'événements, qui a les propriétés de stationnarité, d'ordinaire et d'absence de conséquences, est appelé le flux le plus simple (Poisson). La propriété de stationnarité signifie que la probabilité d'occurrence de k événements dans un intervalle de temps de longueur ne dépend que de sa longueur (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de son origine). Par conséquent, le nombre moyen d'événements qui apparaissent par unité de temps, ce que l'on appelle l'intensité du flux, est une valeur constante : ( t) = . La propriété d'ordinaire signifie que l'événement n'apparaît pas en groupes, mais un par un. En d'autres termes, la probabilité d'occurrence de plus d'un événement pendant une petite période de temps t est négligeable par rapport à la probabilité d'occurrence d'un seul événement (par exemple, le flux de bateaux s'approchant du quai est ordinaire). La propriété d'absence de conséquence signifie que la probabilité d'occurrence k d'événements à tout intervalle de temps de longueur ne dépend pas du nombre d'événements apparus sur tout autre segment qui ne l'intersecte pas (ils disent : le "futur" de le flux ne dépend pas du "passé", par exemple, le flux de personnes, inclus dans le supermarché). On peut prouver que la probabilité d'occurrence de m événements du flux le plus simple dans un temps de durée t est déterminée par la formule de Poisson. Utilisez la formule de Bernoulli pour les grandes valeurs n assez difficile, car dans ce cas, il faut effectuer des opérations sur des nombres énormes. Les calculs peuvent être simplifiés à l'aide de tables factorielles ou à l'aide de moyens techniques (calculatrice, ordinateur). Mais dans ce cas, les erreurs s'accumulent dans le processus de calcul. Par conséquent, le résultat final peut différer considérablement du vrai. Il faut postuler approximatif (asymptotique) formules. Remarque 1.8. Une fonction g(X) sont appelés approximation asymptotique de la fonction f(X), si. Théorème 1.6. (Théorème de Moivre-Laplace local) Si la probabilité p survenance d'un événement UN dans chaque essai est constant et différent de 0 et 1, et que le nombre d'essais indépendants est suffisamment grand, alors la probabilité que l'événement UN apparaîtra dans n tests effectués selon le schéma de Bernoulli, exactement k fois, approximativement égales (plus elles sont précises, plus n) Le graphique de la fonction a la forme illustrée à la Fig. 1.3. Il faut prendre en compte que : a) la fonction φ(x) est paire, c'est-à-dire φ(-x) = φ(x) ; Pour la fonction j(X) des tableaux de valeurs sont compilés pour X³ 0. Pour X< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(X) est même. Théorème 1.7. (Théorème intégral de Moivre-Laplace) Si la probabilité p un événement UN dans chaque essai est constante et différente de 0 et 1, alors la probabilité P n(k 1 , k 2) que l'événement UN apparaîtra dans n essais effectués selon le schéma de Bernoulli, à partir de k 1 à k 2 fois, approximativement égal Ici z 1 et z 2 sont définis en (1.14). Exemple 1.21. La germination des graines est estimée avec une probabilité de 0,85. Trouvez la probabilité que sur 500 graines semées, il y ait germination : a) 425 graines ; b) de 425 à 450 graines. Décision. Ici, comme dans l'exemple précédent, il y a une séquence de tests indépendants effectués selon le schéma de Bernoulli (expérience - plantation d'une graine, événement UN- graine germée n = 500, p = 0,85, q= 0,15. Comme le nombre d'essais est important ( n> 100), nous utilisons les formules asymptotiques (1.10) et (1.13) pour calculer les probabilités requises. b) »F(3.13)–F(0)»0.49. Si le nombre d'essais n, effectué selon le schéma de Bernoulli, est grand, et la probabilité p survenance d'un événement UN dans chacun d'eux est petit ( p£ 0,1), alors la formule asymptotique de Laplace ne convient pas. Dans ce cas, utilisez formule asymptotique de Poisson
où l = np. Exemple 1.22. Le magasin a reçu 1 000 bouteilles d'eau minérale. La probabilité qu'une bouteille soit cassée pendant le transport est de 0,003. Trouvez la probabilité que le magasin reçoive des bouteilles cassées : a) exactement 2 ; b) moins de 2 ; c) au moins un. Décision. Dans ce problème, il y a une séquence de tests indépendants effectués selon le schéma de Bernoulli (expérience - vérification de l'intégrité d'une bouteille, événement UN- la bouteille est cassée n = 1000, p = 0,003, q= 0,997. Car le nombre d'essais est grand ( n> 100), et la probabilité p petit ( p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что je=3. a) = 4,5 e-3 » 0,224 ; b) P 1000 ( k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0,199 ; c) P 1000 ( k³ 1) = 1 - P 1000 ( k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0,95. Les théorèmes locaux et intégraux de Moivre-Laplace sont des corollaires d'une théorie plus générale théorème central limite. De nombreuses variables aléatoires continues ont Ordinaire Distribution. Cette circonstance est largement déterminée par le fait que la sommation d'un grand nombre de variables aléatoires avec des lois de distribution très différentes conduit à la distribution normale de cette somme. Théorème . Si une variable aléatoire est la somme d'un très grand nombre de variables aléatoires indépendantes les unes des autres, dont l'influence de chacune est négligeable sur l'ensemble de la somme, alors elle a une distribution proche de la normale . Le théorème central limite est d'une grande importance pratique. Supposons qu'un indicateur économique soit déterminé, par exemple, la consommation d'électricité dans la ville pour l'année. La valeur de la consommation totale est la somme de la consommation d'énergie par les consommateurs individuels, qui a des valeurs aléatoires avec différentes distributions. Le théorème stipule que dans ce cas, quelle que soit la distribution des composants individuels, la distribution de la consommation résultante sera proche de la normale. |
