Comme je l'ai déjà noté, dans le calcul intégral, il n'y a pas de formule pratique pour intégrer une fraction. Et par conséquent, il y a une triste tendance : plus la fraction est "fantaisiste", plus il est difficile d'en trouver l'intégrale. À cet égard, il faut recourir à diverses astuces, dont je vais maintenant discuter. Les lecteurs préparés peuvent utiliser immédiatement table des matières:
- La méthode de subsumer sous le signe de la différentielle pour les fractions simples
Méthode de transformation artificielle du numérateur
Exemple 1
Soit dit en passant, l'intégrale considérée peut également être résolue par la méthode du changement de variable, notant , mais la solution sera beaucoup plus longue.
Exemple 2
Trouver l'intégrale indéfinie. Exécutez une vérification.
Ceci est un exemple à faire soi-même. Il convient de noter qu'ici la méthode de remplacement de variable ne fonctionnera plus.
Attention importante ! Les exemples n° 1, 2 sont typiques et sont courants. En particulier, de telles intégrales surviennent souvent au cours de la résolution d'autres intégrales, en particulier lors de l'intégration de fonctions irrationnelles (racines).
La méthode ci-dessus fonctionne également dans le cas si la plus grande puissance du numérateur est supérieure à la plus grande puissance du dénominateur.
Exemple 3
Trouver l'intégrale indéfinie. Exécutez une vérification.
Commençons par le numérateur.
L'algorithme de sélection du numérateur ressemble à ceci :
1) Au numérateur j'ai besoin d'organiser , mais là . Que faire? Je mets entre parenthèses et multiplie par : .
2) Maintenant, j'essaie d'ouvrir ces crochets, que se passe-t-il ? . Hmm... déjà mieux, mais il n'y a pas de diable avec initialement au numérateur. Que faire? Il faut multiplier par :
3) Ouvrir à nouveau les supports : . Et voici le premier succès ! Nécessaire s'est avéré! Mais le problème est qu'un terme supplémentaire est apparu. Que faire? Pour que l'expression ne change pas, je dois ajouter la même chose à ma construction : 
. La vie est devenue plus facile. Est-il possible de s'organiser à nouveau au numérateur ?
4) Vous pouvez. Nous essayons: 
. Développez les parenthèses du deuxième terme : 
. Désolé, mais j'avais en fait à l'étape précédente, et non . Que faire? Il faut multiplier le second terme par : 
5) Là encore, pour vérification, j'ouvre les parenthèses au second terme : 
. Maintenant c'est normal : obtenu à partir de la construction finale du paragraphe 3 ! Mais encore une fois il y a un petit « mais », un terme supplémentaire est apparu, ce qui signifie que je dois ajouter à mon expression : 
Si tout est fait correctement, alors lors de l'ouverture de toutes les parenthèses, nous devrions obtenir le numérateur d'origine de l'intégrande. Nous vérifions:
Bon.
Ainsi: 
Prêt. Au dernier trimestre, j'ai appliqué la méthode de ramener la fonction sous la différentielle.
Si nous trouvons la dérivée de la réponse et amenons l'expression à un dénominateur commun, alors nous obtenons exactement l'intégrande d'origine. La méthode considérée d'expansion en une somme n'est rien de plus que l'action inverse pour amener l'expression à un dénominateur commun.
L'algorithme de sélection du numérateur dans de tels exemples est mieux exécuté sur un brouillon. Avec certaines compétences, cela fonctionnera aussi mentalement. Je me souviens d'un temps record où j'ai fait une sélection pour la puissance 11, et l'expansion du numérateur a pris presque deux lignes de Werd.
Exemple 4
Trouver l'intégrale indéfinie. Exécutez une vérification.
Ceci est un exemple à faire soi-même.
La méthode de subsumer sous le signe de la différentielle pour les fractions simples
Passons au prochain type de fractions.
, , , (les coefficients et ne sont pas égaux à zéro).
En fait, quelques cas avec arc sinus et arc tangente ont déjà glissé dans la leçon Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie. De tels exemples sont résolus en mettant la fonction sous le signe de la différentielle puis en intégrant à l'aide de la table. Voici quelques exemples plus typiques avec un logarithme long et élevé :
Exemple 5
Exemple 6
Ici, il est conseillé de prendre un tableau d'intégrales et de suivre quelles formules et comme transformation s'opère. Noter, comment et pourquoi les carrés sont surlignés dans ces exemples. En particulier, dans l'exemple 6, nous devons d'abord représenter le dénominateur comme 
, puis placez-vous sous le signe de la différentielle. Et vous devez faire tout cela pour utiliser la formule tabulaire standard 
.
Mais que regarder, essayez de résoudre vous-même les exemples n ° 7,8, d'autant plus qu'ils sont assez courts:
Exemple 7
Exemple 8
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Si vous pouvez également vérifier ces exemples, alors un grand respect est votre meilleure capacité de différenciation.
Méthode de sélection par carré complet
Intégrales de la forme , 
(les coefficients et ne sont pas égaux à zéro) sont résolus méthode de sélection par carré complet, qui est déjà apparu dans la leçon Transformations de tracé géométrique.
En fait, de telles intégrales se réduisent à l'une des quatre intégrales de table que nous venons de considérer. Et ceci est réalisé en utilisant les formules de multiplication abrégées familières :
Les formules sont appliquées dans ce sens, c'est-à-dire que l'idée de la méthode est d'organiser artificiellement des expressions dans le dénominateur ou , puis de les convertir, respectivement, en ou .
Exemple 9
Trouver l'intégrale indéfinie
C'est l'exemple le plus simple où avec le terme - coefficient unitaire(et pas un certain nombre ou moins).
On regarde le dénominateur, ici le tout est clairement ramené au cas. Commençons à convertir le dénominateur :
Évidemment, vous devez ajouter 4. Et pour que l'expression ne change pas - les mêmes quatre et soustraire :
Vous pouvez maintenant appliquer la formule :
Une fois la conversion terminée TOUJOURS il est souhaitable d'effectuer un mouvement inverse: tout va bien, il n'y a pas d'erreurs.
La conception épurée de l'exemple en question devrait ressembler à ceci : 
Prêt. Mettre une fonction complexe "libre" sous le signe différentiel : , en principe, pourrait être négligé
Exemple 10
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Ceci est un exemple d'auto-résolution, la réponse est à la fin de la leçon.
Exemple 11
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Que faire quand il y a un moins devant ? Dans ce cas, vous devez retirer le moins des crochets et organiser les termes dans l'ordre dont nous avons besoin :. Constante("double" dans ce cas) Ne pas toucher!
Maintenant, nous en ajoutons un entre parenthèses. En analysant l'expression, nous arrivons à la conclusion qu'il nous en faut une derrière la parenthèse - ajoutez :
Voici la formule, appliquez :
TOUJOURS nous effectuons une vérification sur le brouillon :
, ce qui était à vérifier.
La conception épurée de l'exemple ressemble à ceci : 
Nous compliquons la tâche
Exemple 12
Trouvez l'intégrale indéfinie : 
Ici, avec le terme, ce n'est plus un coefficient unique, mais un « cinq ».
(1) Si une constante est trouvée à, alors nous la retirons immédiatement des parenthèses.
(2) En général, il est toujours préférable de retirer cette constante de l'intégrale, afin qu'elle ne gêne pas.
(3) Il est évident que tout se ramènera à la formule . Il faut comprendre le terme, à savoir, obtenir un "deux"
(4) Oui, . Donc, nous ajoutons à l'expression et soustrayons la même fraction.
(5) Sélectionnez maintenant un carré complet. Dans le cas général, il faut aussi calculer , mais on a ici une longue formule de logarithme 
, et l'action n'a pas de sens à effectuer, pourquoi - cela deviendra clair un peu plus bas.
(6) En fait, on peut appliquer la formule 
, seulement au lieu de "x" nous avons, ce qui ne nie pas la validité de l'intégrale tabulaire. Strictement parlant, il manque une étape - avant intégration, la fonction aurait dû être placée sous le signe différentiel : 
, mais, comme je l'ai noté à plusieurs reprises, cela est souvent négligé.
(7) Dans la réponse sous la racine, il est souhaitable d'ouvrir toutes les parenthèses :
Compliqué? Ce n'est pas le plus difficile en calcul intégral. Cependant, les exemples considérés ne sont pas si compliqués qu'ils nécessitent une bonne technique de calcul.
Exemple 13
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Ceci est un exemple à faire soi-même. Réponse à la fin de la leçon.
Il y a des intégrales avec des racines dans le dénominateur, qui, à l'aide d'un remplacement, sont réduites à des intégrales du type considéré, vous pouvez lire à leur sujet dans l'article Intégrales complexes, mais il est conçu pour les étudiants hautement préparés.
Amener le numérateur sous le signe de la différentielle
C'est la dernière partie de la leçon, cependant, les intégrales de ce type sont assez courantes ! Si la fatigue s'est accumulée, peut-être vaut-il mieux lire demain ? ;)
Les intégrales que nous allons considérer sont similaires aux intégrales du paragraphe précédent, elles ont la forme : ou 
(les coefficients , et ne sont pas égaux à zéro).
Autrement dit, nous avons une fonction linéaire au numérateur. Comment résoudre de telles intégrales ?
La fraction s'appelle Corriger si la plus grande puissance du numérateur est inférieure à la plus grande puissance du dénominateur. L'intégrale d'une fraction rationnelle propre a la forme :
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
La formule d'intégration des fractions rationnelles dépend des racines du polynôme au dénominateur. Si le polynôme $ ax^2+bx+c $ a :
- Seules les racines complexes, il faut alors en sélectionner un carré complet : $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm un ^2) $$
- Différentes racines réelles $ x_1 $ et $ x_2 $, alors vous devez développer l'intégrale et trouver les coefficients indéfinis $ A $ et $ B $ : $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Une racine multiple $ x_1 $, puis nous développons l'intégrale et trouvons les coefficients indéfinis $ A $ et $ B $ pour cette formule : $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Si la fraction est mauvais, c'est-à-dire que le degré le plus élevé du numérateur est supérieur ou égal au degré le plus élevé du dénominateur, il doit d'abord être réduit à Corriger esprit en divisant le polynôme du numérateur par le polynôme du dénominateur. Dans ce cas, la formule d'intégration d'une fraction rationnelle est :
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Exemples de solutions
| Exemple 1 |
| Trouver l'intégrale d'une fraction rationnelle : $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Décision |
|
La fraction est régulière et le polynôme n'a que des racines complexes. Par conséquent, nous sélectionnons un carré complet : $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ On regroupe le carré plein et la somme sous le signe différentiel $ x-5 $ : $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ En utilisant le tableau des intégrales, on obtient : $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Si vous ne parvenez pas à résoudre votre problème, envoyez-le nous. Nous fournirons une solution détaillée. Vous pourrez vous familiariser avec l'avancement du calcul et recueillir des informations. Cela vous aidera à obtenir un crédit de l'enseignant en temps opportun! |
| Répondre |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| Exemple 2 |
| Intégrer des fractions rationnelles : $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Décision |
|
Résolvez l'équation quadratique : $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Écrivons les racines: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6 ; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ En tenant compte des racines obtenues, on transforme l'intégrale : $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Nous effectuons le développement d'une fraction rationnelle: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Mettez les numérateurs en équation et trouvez les coefficients $ A $ et $ B $ : $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cas) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cas) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Nous substituons les coefficients trouvés dans l'intégrale et la résolvons : $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Répondre |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
La dérivation des formules de calcul des intégrales à partir des fractions élémentaires les plus simples de quatre types est donnée. Des intégrales plus complexes, à partir de fractions du quatrième type, sont calculées à l'aide de la formule de réduction. Un exemple d'intégration d'une fraction du quatrième type est considéré.
TeneurVoir également: Tableau des intégrales indéfinies
Méthodes de calcul des intégrales indéfinies
Comme on le sait, toute fonction rationnelle d'une variable x peut être décomposée en un polynôme et en fractions élémentaires simples. Il existe quatre types de fractions simples :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ici a, A, B, b, c sont des nombres réels. Équation x 2+bx+c=0 n'a pas de vraies racines.
Intégration des fractions des deux premiers types
L'intégration des deux premières fractions se fait à l'aide des formules suivantes du tableau des intégrales :
,
, n ≠ - 1
.
1. Intégration d'une fraction du premier type
Une fraction du premier type par substitution t = x - a se réduit à une intégrale de table :
.
2. Intégration d'une fraction du second type
Une fraction du deuxième type est réduite à une intégrale de table par la même substitution t \u003d x - a:
.
3. Intégration d'une fraction du troisième type
Considérons l'intégrale d'une fraction du troisième type :
.
Nous allons le calculer en deux étapes.
3.1. Étape 1. Sélectionnez la dérivée du dénominateur dans le numérateur
Nous sélectionnons la dérivée du dénominateur dans le numérateur de la fraction. Notons : u = x 2+bx+c. Différencier : u′ = 2 x + b. Puis
;
.
Mais
.
Nous avons omis le signe modulo car .
Puis:
,
où
.
3.2. Étape 2. Calculer l'intégrale avec A = 0, B=1
Calculons maintenant l'intégrale restante :
.
On ramène le dénominateur de la fraction à la somme des carrés :
,
où .
Nous pensons que l'équation x 2+bx+c=0 n'a pas de racines. Alors .
Faisons une substitution
,
.
.
Alors,
.
Ainsi, nous avons trouvé une intégrale d'une fraction du troisième type :
,
où .
4. Intégration d'une fraction du quatrième type
Et enfin, considérons l'intégrale d'une fraction du quatrième type :
.
Nous le calculons en trois étapes.
4.1) On sélectionne la dérivée du dénominateur au numérateur :
.
4.2) Calculer l'intégrale
.
4.3) Calculer les intégrales
,
en utilisant la formule coulée :
.
4.1. Étape 1. Extraction de la dérivée du dénominateur au numérateur
Nous sélectionnons la dérivée du dénominateur dans le numérateur, comme nous l'avons fait dans . Notons u = x 2+bx+c. Différencier : u′ = 2 x + b. Puis
.
.
Mais
.
Enfin nous avons :
.
4.2. Étape 2. Calcul de l'intégrale avec n = 1
On calcule l'intégrale
.
Son calcul est indiqué dans .
4.3. Étape 3. Dérivation de la formule de réduction
Considérons maintenant l'intégrale
.
On ramène le trinôme carré à la somme des carrés :
.
Ici .
On fait un remplacement.
.
.
Nous effectuons des transformations et intégrons par parties.
.
Multiplier par 2(n - 1):
.
On revient à x et I n .
,
;
;
.
Ainsi, pour I n nous avons la formule de réduction :
.
En appliquant successivement cette formule, on réduit l'intégrale I n à I 1
.
Exemple
Calculer l'intégrale
1.
Nous sélectionnons la dérivée du dénominateur dans le numérateur.
;
;
.
Ici
.
2.
Nous calculons l'intégrale de la fraction la plus simple.
.
3.
On applique la formule de réduction :
pour l'intégrale.
Dans notre cas b = 1
, c = 1
,
4 c - b 2 = 3. Nous écrivons cette formule pour n = 2
et n = 3
:
;
.
D'ici
.
Enfin nous avons :
.
On trouve le coefficient à .
.
Le matériel présenté dans ce sujet est basé sur les informations présentées dans le sujet "Fractions rationnelles. Décomposition de fractions rationnelles en fractions élémentaires (simples)". Je vous conseille fortement de parcourir au moins ce sujet avant de passer à la lecture de ce matériel. De plus, nous aurons besoin d'un tableau d'intégrales indéfinies.
Permettez-moi de vous rappeler quelques termes. Ils ont été discutés dans le sujet concerné, je me limiterai donc ici à une brève formulation.
Le rapport de deux polynômes $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ est appelé une fonction rationnelle ou une fraction rationnelle. La fraction rationnelle est appelée Corriger si $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется mauvais.
Les fractions rationnelles élémentaires (les plus simples) sont des fractions rationnelles de quatre types :
- $\frac(A)(x-a)$ ;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Remarque (souhaitable pour une meilleure compréhension du texte) : afficher\masquer
Pourquoi la condition $p^2-4q est-elle nécessaire ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Par exemple, pour l'expression $x^2+5x+10$ on obtient : $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Puisque $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
D'ailleurs, pour cette vérification il n'est pas nécessaire que le coefficient devant $x^2$ soit égal à 1. Par exemple, pour $5x^2+7x-3=0$ on obtient : $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Puisque $D > 0$, l'expression $5x^2+7x-3$ est factorisable.
Des exemples de fractions rationnelles (régulières et impropres), ainsi que des exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en fractions élémentaires, peuvent être trouvés. Ici nous ne nous intéressons qu'aux questions de leur intégration. Commençons par l'intégration des fractions élémentaires. Ainsi, chacun des quatre types de fractions élémentaires ci-dessus est facile à intégrer à l'aide des formules ci-dessous. Permettez-moi de vous rappeler que lors de l'intégration de fractions de type (2) et (4), $n=2,3,4,\ldots$ est supposé. Les formules (3) et (4) nécessitent la condition $p^2-4q< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)
Pour $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ le remplacement $t=x+\frac(p)(2)$ est effectué, après quoi l'intégrale résultante est divisé en deux. Le premier sera calculé en l'insérant sous le signe différentiel, et le second ressemblera à $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Cette intégrale est prise en utilisant la relation de récurrence
\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Je_n, \ ; n\in N \end(équation)
Le calcul d'une telle intégrale est analysé dans l'exemple n°7 (voir la troisième partie).
Schéma de calcul des intégrales à partir de fonctions rationnelles (fractions rationnelles):
- Si l'intégrande est élémentaire, appliquez les formules (1)-(4).
- Si l'intégrande n'est pas élémentaire, représentez-la comme une somme de fractions élémentaires, puis intégrez-la à l'aide des formules (1) à (4).
L'algorithme ci-dessus pour l'intégration de fractions rationnelles a un avantage indéniable - il est universel. Ceux. Grâce à cet algorithme, on peut intégrer quelconque fraction rationnelle. C'est pourquoi presque tous les remplacements de variables dans l'intégrale indéfinie (substitutions d'Euler, Chebyshev, substitution trigonométrique universelle) sont effectués de telle manière qu'après ce remplacement, nous obtenons une fraction rationnelle sous l'intervalle. Et appliquez-lui l'algorithme. Nous analyserons l'application directe de cet algorithme à l'aide d'exemples, après avoir fait une petite note.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
En principe, cette intégrale est facile à obtenir sans application mécanique de la formule. Si nous retirons la constante $7$ du signe intégral et prenons en compte que $dx=d(x+9)$, alors nous obtenons :
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Pour des informations détaillées, je recommande de regarder le sujet. Il explique en détail comment de telles intégrales sont résolues. Soit dit en passant, la formule est prouvée par les mêmes transformations qui ont été appliquées dans ce paragraphe lors de la résolution "manuellement".
2) Là encore, il y a deux façons : appliquer une formule toute faite ou s'en passer. Si vous appliquez la formule, vous devez tenir compte du fait que le coefficient devant $x$ (le chiffre 4) devra être supprimé. Pour ce faire, nous retirons simplement les quatre d'entre eux entre parenthèses :
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\gauche(x+\frac(19)(4)\droite)^8). $$
Il est maintenant temps d'appliquer la formule :
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Vous pouvez le faire sans utiliser la formule. Et même sans mettre les $4$ constants hors des parenthèses. Si on prend en compte que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, alors on obtient :
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Des explications détaillées sur la recherche de telles intégrales sont données dans le sujet "Intégration par substitution (introduction sous le signe différentiel)" .
3) Nous devons intégrer la fraction $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Cette fraction a la structure $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, où $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cependant, pour s'assurer qu'il s'agit bien d'une fraction élémentaire du troisième type, il faut vérifier la condition $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Résolvons le même exemple, mais sans utiliser la formule toute faite. Essayons d'isoler la dérivée du dénominateur dans le numérateur. Qu'est-ce que ça veut dire? On sait que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. C'est l'expression $2x+10$ qu'il faut isoler au numérateur. Pour l'instant, le numérateur ne contient que $4x+7$ , mais ce n'est pas pour longtemps. Appliquez la transformation suivante au numérateur :
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -treize. $$
L'expression requise $2x+10$ est maintenant apparue au numérateur. Et notre intégrale peut être réécrite comme suit :
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Séparons l'intégrande en deux. Eh bien, et, par conséquent, l'intégrale elle-même est également "divisée":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\ ; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Parlons d'abord de la première intégrale, c'est-à-dire environ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Puisque $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, alors le différentiel du dénominateur est situé dans le numérateur de l'intégrande. En bref, à la place de l'expression $( 2x+10)dx$ on note $d(x^2+10x+34)$.
Disons maintenant quelques mots sur la deuxième intégrale. Distinguons le carré entier du dénominateur : $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. De plus, nous prenons en compte $dx=d(x+5)$. Maintenant, la somme des intégrales obtenues par nous plus tôt peut être réécrite sous une forme légèrement différente :
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ neuf). $$
Si nous effectuons le changement $u=x^2+10x+34$ dans la première intégrale, alors il prendra la forme $\int\frac(du)(u)$ et est pris en appliquant simplement la deuxième formule de . Quant à la deuxième intégrale, le remplacement $u=x+5$ lui est faisable, après quoi elle prend la forme $\int\frac(du)(u^2+9)$. C'est l'eau la plus pure, la onzième formule du tableau des intégrales indéfinies. Ainsi, en revenant à la somme des intégrales, nous aurons :
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Nous avons obtenu la même réponse que lors de l'application de la formule , ce qui, en fait, n'est pas surprenant. En général, la formule est prouvée par les mêmes méthodes que nous avons utilisées pour trouver cette intégrale. Je crois qu'un lecteur attentif peut avoir une question ici, donc je vais la formuler :
Question 1
Si nous appliquons la seconde formule du tableau des intégrales indéfinies à l'intégrale $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, nous obtenons alors :
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Pourquoi le module manquait-il dans la solution ?
Réponse à la question #1
La question est tout à fait légitime. Le module manquait uniquement parce que l'expression $x^2+10x+34$ pour tout $x\in R$ est supérieure à zéro. Ceci est assez facile à montrer de plusieurs façons. Par exemple, puisque $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ et $(x+5)^2 ≥ 0$, alors $(x+5)^2+9 > 0$ . Il est possible de juger d'une manière différente, sans impliquer la sélection d'un carré complet. Depuis $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pour tout $x\in R$ (si cette chaîne logique est surprenante, je vous conseille de regarder la méthode graphique de résolution des inégalités carrées). Dans tous les cas, puisque $x^2+10x+34 > 0$, alors $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, soit vous pouvez utiliser des crochets normaux au lieu d'un module.
Tous les points de l'exemple n ° 1 sont résolus, il ne reste plus qu'à écrire la réponse.
Répondre:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$ ;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$ ;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+$ CA.
Exemple #2
Trouvez l'intégrale $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
À première vue, l'intégrande $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ressemble beaucoup à une fraction élémentaire du troisième type, c'est-à-dire à $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Il semble que la seule différence soit le coefficient $3$ devant $x^2$, mais il ne faudra pas longtemps pour supprimer le coefficient (hors parenthèses). Cependant, cette similitude est apparente. Pour la fraction $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ la condition $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Notre coefficient devant $x^2$ n'est pas égal à un, donc vérifiez la condition $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, donc l'expression $3x^2-5x-2$ peut être factorisée. Et cela signifie que la fraction $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ n'est pas une fraction élémentaire du troisième type, et s'applique à l'intégrale $\int\frac(7x+12)( La formule 3x^2- 5x-2)dx$ n'est pas autorisée.
Eh bien, si la fraction rationnelle donnée n'est pas élémentaire, alors elle doit être représentée comme une somme de fractions élémentaires, puis intégrée. En bref, profitez des sentiers. Comment décomposer une fraction rationnelle en fractions élémentaires est écrit en détail. Commençons par factoriser le dénominateur :
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Nous représentons la fraction sous-interne sous la forme suivante :
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Développons maintenant la fraction $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ en fractions élémentaires :
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\droite). $$
Pour trouver les coefficients $A$ et $B$, il existe deux méthodes standard : la méthode des coefficients indéterminés et la méthode de substitution des valeurs partielles. Appliquons la méthode de substitution de valeur partielle en substituant $x=2$ puis $x=-\frac(1)(3)$ :
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \ ; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \ ; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Les coefficients étant trouvés, il ne reste plus qu'à noter le développement fini :
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
En principe, vous pouvez laisser cette entrée, mais j'aime une version plus précise :
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Revenant à l'intégrale d'origine, nous lui substituons l'expansion résultante. Ensuite, nous divisons l'intégrale en deux et appliquons la formule à chacun. Je préfère retirer immédiatement les constantes en dehors du signe intégral :
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Répondre: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Exemple #3
Trouvez l'intégrale $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Nous devons intégrer la fraction $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Le numérateur est un polynôme du second degré et le dénominateur est un polynôme du troisième degré. Puisque le degré du polynôme au numérateur est inférieur au degré du polynôme au dénominateur, c'est-à-dire 2 $< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Il suffit de diviser l'intégrale donnée en trois et d'appliquer la formule à chacun. Je préfère retirer immédiatement les constantes en dehors du signe intégral :
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Répondre: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Une suite de l'analyse d'exemples de ce sujet se trouve dans la deuxième partie.
Rappeler que fractionnellement rationnel sont appelées fonctions de la forme $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ étant dans le cas général le rapport de deux polynômes %%P_n(x)%% et % %Q_m(x)% %.
Si %%m > n \geq 0%%, alors une fraction rationnelle est appelée Corriger, sinon c'est faux. En utilisant la règle de division polynomiale, une fraction rationnelle impropre peut être représentée comme la somme d'un polynôme %%P_(n - m)%% de degré %%n - m%% et d'une fraction propre, c'est-à-dire $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ où le degré est %%l% % du polynôme %%P_l(x)%% est inférieur au degré %%n%% du polynôme %%Q_n(x)%%.
Ainsi, l'intégrale indéfinie d'une fonction rationnelle peut être représentée comme la somme des intégrales indéfinies d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre.
Intégrales de fractions rationnelles simples
Il existe quatre types de fractions rationnelles propres, qui sont classées comme les fractions rationnelles les plus simples:
- %%\displaystyle\frac(A)(x - a)%%,
- %%\displaystyle\frac(A)((x - a)^k)%%,
- %%\displaystyle\frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
- %%\displaystyle\frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,
où %%k > 1%% est un entier et %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Calcul d'intégrales indéfinies à partir de fractions des deux premiers types
Le calcul des intégrales indéfinies des fractions des deux premiers types est facile : $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(tableau) $$
Calcul d'intégrales indéfinies à partir de fractions du troisième type
On transforme d'abord la fraction du troisième type en sélectionnant le carré plein au dénominateur : $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$ depuis %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, que nous appellerons %%a^2%%. En remplaçant aussi %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, on transforme le dénominateur et on écrit l'intégrale d'une fraction du troisième type sous la forme $$ \begin (tableau)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(tableau) $$
En utilisant la linéarité de l'intégrale indéfinie, on représente la dernière intégrale comme une somme de deux et dans la première on introduit %%t%% sous le signe différentiel : $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\droite| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$
En revenant à la variable d'origine %%x%%, on se retrouve avec $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\droite| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ où %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.
Le calcul de l'intégrale de type 4 est difficile, il n'est donc pas abordé dans ce cours.
