Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.
Побудова шестикутника полягає в тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити коло на шість рівних частин і поєднати знайдені точки між собою.
Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною та косинцем 30X60°. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр кола за бісектрису кутів 1 і 4, будуємо сторони 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 і 7 - 2, після чого проводимо сторони 5 - 6 і 3 - 2.
Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля та косинця з кутами в 30 і 60° або лише одного циркуля. Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.
Перший спосіб(фіг. 61,a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60°, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0 - 1 - 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони 1 - 2 достатньо побудувати по точці 1 і стороні 0 - 1 кут 30 °. Для цього встановлюємо рейсшину та косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1 - 2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати бік 2 - 3, встановлюємо рейсшину в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.
Другий спосібзаснований на тому, що якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, а потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.
Для побудови трикутника намічаємо на діаметрі вершину точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1 - 4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D/2, описуємо дугу до перетину з колом у точках 3 та 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.
Цю побудову можна виконати за допомогою косинця та циркуля.
Перший спосібзаснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до осей під кутом 45°. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшину та косинець з кутами 45° так, як це показано на фіг. 62, а і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4 - 1 і 3 -2. Потім за допомогою рейсшини по катету косинця проводимо вертикальні сторони квадрата 1 – 2 та 4 – 3.
Другий спосібзаснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги кола, укладені між кінцями діаметра. Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом описуємо дуги до взаємного їх перетину.
Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відмічені на фігурі суцільними лініями. Крапки їх перетину з колом визначать вершини 1 та 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини квадрата шуканого з'єднуємо послідовно між собою.
Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.
Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник, робимо такі побудови. Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом у точках M і В. З'єднавши ці точки прямий, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральною лінією АТ у точці H. З'єднавши точку 1 з точкою H, отримаємо бік п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим самим розчином циркуля засічки з вершин 2 і 5 отримаємо інші вершини 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.
Побудова правильного п'ятикутника з цієї стороні.
Для побудови правильного п'ятикутника по даній стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і поділ 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму. Далі від точки К на цій прямій відкладаємо відрізок, що дорівнює 4/6 AB. Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, рівним АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А та В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 та 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.
Побудова вписаного в коло правильного семикутника.
Нехай дано коло діаметра D; потрібно вписати до неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр кола на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, рівним діаметру кола D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні поділки вертикального діаметра промені, перетин яких з колом визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин / - // - /// З точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини послідовно з'єднуємо між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів з полюса F і через непарні поділки вертикального діаметра.
Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників із будь-яким числом сторін.
Розподіл кола на будь-яке число рівних частин можна робити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведені коефіцієнти, що дають змогу визначати розміри сторін правильних вписаних багатокутників.
Довжина сторін правильних вписаних багатокутників.
У першій колонці цієї таблиці вказані числа сторін правильного вписаного багатокутника, а другий - коефіцієнти. Довжина сторони заданого багатокутника вийде від множення радіусу даного кола на коефіцієнт, що відповідає числу сторін цього багатокутника.
Правильний п'ятикутник(Грець. πενταγωνον ) - геометрична фігура, правильний багатокутник з п'ятьма сторонами.
Властивості
- Додекаедр - єдиний з правильних багатогранників, грані якого є правильними п'ятикутниками.
- Пентагон - будівля Міністерства оборони має форму правильного п'ятикутника.
- Правильний п'ятикутник - правильний багатокутник з найменшою кількістю кутів із тих, якими не можна замостити площину.
- У природі немає кристалів з гранями у вигляді правильного п'ятикутника.
- П'ятикутник з усіма його діагоналями є проекцією 4-симплексу.
Див. також
Напишіть відгук про статтю "Правильний п'ятикутник"
Примітки
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Уривок, що характеризує правильний п'ятикутник
Петя не знав, як довго це тривало: він насолоджувався, весь час дивувався своїй насолоді і шкодував, що нема кому повідомити його. Його розбудив лагідний голос Лихачова.- Готово, ваше благородіє, надвоє хранцуза розпластаєте.
Петя прокинувся.
- Вже світає, правда, світає! – скрикнув він.
Невидні раніше коні стали видно до хвостів, і крізь оголені гілки виднілося рідке світло. Петя струснувся, схопився, дістав з кишені цілковиту і дав Лихачову, махнувши, спробував шашку і поклав її в піхви. Козаки відв'язували коней і підтягували попруги.
– Ось і командир, – сказав Ліхачов. З чату вийшов Денисов і, окликнувши Петю, наказав збиратися.
Швидко в напівтемряві розібрали коней, підтягнули попруги та розібралися по командах. Денисов стояв біля чату, віддаючи останні накази. Піхота партії, шльопаючи сотнею ніг, пройшла вперед дорогою і швидко зникла між дерев у передсвітанковому тумані. Есаул щось наказував козакам. Петя тримав свого коня у повіді, з нетерпінням чекаючи наказу сідати. Обмите холодною водою, лице його, особливо очі горіли вогнем, озноб пробігав по спині, і в усьому тілі щось швидко і поступово тремтіло.
- Ну, чи готове у вас все? – сказав Денисов. – Давай коней.
Коней подали. Денисов розсердився на козака через те, що попруги були слабкі, і, розбравши його, сів. Петя взявся за стремено. Кінь, за звичкою, хотів куснути його за ногу, але Петя, не відчуваючи своєї тяжкості, швидко скочив у сідло і, озираючись на гусар, що рушили ззаду в темряві, під'їхав до Денисова.
- Василю Федоровичу, ви мені доручите щось? Будь ласка… заради бога… – сказав він. Денисов, здавалося, забув про існування Петі. Він озирнувся на нього.
- Про одного тебе п ошу, - сказав він суворо, - слухатися мене і нікуди не потикатися.
Під час переїзду Денисов жодного слова не говорив більше з Петею і їхав мовчки. Коли під'їхали до узлісся, у полі вже стало світлішати. Денисов поговорив щось пошепки з есаулом, і козаки стали проїжджати повз Петі і Денисова. Коли вони всі проїхали, Денисов торкнувся свого коня і поїхав під гору. Сідаючи на зади і ковзаючи, коні спускалися зі своїми сідками в лощину. Петя їхав поряд із Денисовим. Тремтіння у всьому його тілі все посилювалося. Ставало все світлішим і світлішим, тільки туман приховував віддалені предмети. З'їхавши вниз і озирнувшись назад, Денисов кивнув головою козаку, що стояв біля нього.
– Сигнал! – промовив він.
Козак підняв руку, пролунав постріл. І в ту ж мить почувся тупіт попереду коней, що поскакали, крики з різних боків і ще постріли.
Тієї ж миті, як пролунали перші звуки тупоту і крику, Петя, вдаривши свого коня і випустивши поводи, не слухаючи Денисова, що кричав на нього, поскакав уперед. Пете здалося, що раптом зовсім, як серед дня, яскраво розвиднілося в ту хвилину, як почувся постріл. Він підскакав до мосту. Попереду дорогою скакали козаки. На мосту він зіткнувся з козаком, що відстав, і поскакав далі. Попереду якісь люди, мабуть, це були французи, бігли з правого боку дороги на ліву. Один упав у бруд під ногами Петіного коня.
Біля однієї хати стовпилися козаки, щось роблячи. З середини юрби почувся страшний крик. Петя підскакав до цього натовпу, і перше, що він побачив, було бліде, з тремтячою нижньою щелепою обличчя француза, що тримався за пиво.
– Ура!.. Хлопці… наші… – прокричав Петя і, давши поводи розпаленого коня, поскакав уперед вулицею.
Попереду було чути постріли. Козаки, гусари та російські обірвані полонені, що бігли з обох боків дороги, все голосно і нескладно кричали щось. Молодкуватий, без шапки, з червоним нахмуреним обличчям, француз у синій шинелі відбивався багнетом від гусарів. Коли Петя підскакав, француз уже впав. Знову спізнився, майнуло в голові Петі, і він поскакав туди, звідки лунали часті постріли. Постріли лунали надворі того панського будинку, на якому він був учора вночі з Долоховим. Французи засіли там за тином у густому саду, що заросло кущами, і стріляли по козаках, що стовпилися біля воріт. Під'їжджаючи до воріт, Петя в пороховому диму побачив Долохова з блідим, зеленуватим обличчям, що щось кричав людям. «В об'їзд! Піхоту почекати! – кричав він, коли Петя під'їхав до нього.
– Почекати?.. Ураааа!.. – закричав Петя і, не зволікаючи жодної хвилини, поскакав до того місця, звідки чулися постріли і де густіше був пороховий дим. Почувся залп, провизжали порожні й у щось шльоплі кулі. Козаки і Долохов схопилися за Петею у ворота будинку. Французи в густому димі, що коливаються, одні кидали зброю і вибігали з кущів назустріч козакам, інші бігли під гору до ставка. Петя скакав на своєму коні вздовж панським двором і, замість того, щоб тримати поводи, дивно і швидко махав обома руками і все далі і далі збивався з сідла на один бік. Кінь, набігши на вогнище, що тліло в ранковому світло, уперся, і Петя важко впав на мокру землю. Козаки бачили, як швидко засмикалися його руки та ноги, незважаючи на те, що голова його не ворушилася. Куля пробила йому голову.
Переговоривши зі старшим французьким офіцером, який вийшов до нього з-за будинку з хусткою на шпазі і оголосив, що вони здаються, Долохов зліз з коня і підійшов до нерухомо, з розкинутими руками, що лежав Петі.
- Готовий, - сказав він, насупившись, і пішов у ворота назустріч Денисову, що їхав до нього.
– Убито?! – скрикнув Денисов, побачивши ще здалеку те знайоме йому, безсумнівно неживе становище, в якому лежало тіло Петі.
- Готовий, - повторив Долохов, ніби вимовляння цього слова приносило йому задоволення, і швидко пішов до полонених, яких оточили козаки, що поспішали. - Брати не будемо! - Крикнув він Денисову.
Без вивчення техніки цього процесу не обійтись. Існує кілька варіантів виконання роботи. Як намалювати зірку за допомогою лінійки, допоможуть зрозуміти найвідоміші методи цього процесу.
Різновиди зірок
Існує безліч варіантів зовнішнього виглядутакої постаті, як зірка.
Ще з давніх часів п'ятикутний її різновид використовувався для накреслення пентаграм. Це її властивістю, що дозволяє зробити малюнок, не відриваючи ручки від паперу.
Існують також шестикінцеві, хвостаті комети.
П'ять вершин традиційно має морська зірка. Такої ж форми часто зустрічаються зображення різдвяного варіанту.
У будь-якому випадку, щоб намалювати п'ятикутну зірку поетапно, необхідно вдатися до допомоги спеціальних інструментів, оскільки зображення від руки навряд чи виглядатиме симетрично і красиво.
Виконання креслення
Щоб зрозуміти як намалювати рівну зірку, слід усвідомити суть цієї фігури.
Основою для її зображення є ламана лінія, кінці якої сходяться в початковій точці. Вона утворює правильний п'ятикутник – пентагон.
Відмінними властивостями такої фігури є можливості вписання її в коло, а також кола цього багатокутника.
Усі сторони пентагону рівні між собою. Розуміючи, як правильно виконати креслення, можна усвідомити суть процесу побудови всіх фігур, а також різноманітні схеми деталей, вузлів.
Для досягнення такої мети, як намалювати зірку за допомогою лінійки, необхідно мати знання про найпростіші математичні формули, які є основними в геометрії. А також потрібно вміння рахувати на калькуляторі. Але найголовніше – це логічне мислення.
Робота не є складною, але вона потребує точності та скрупульозності. Витрачені зусилля будуть винагороджені гарним симетричним, а тому й гарним зображенням п'ятикутної зірки.
Класична техніка
Найвідоміший спосіб того, як намалювати зірку за допомогою циркуля, лінійки та транспортира є досить нескладним.
Для цієї методики знадобиться кілька інструментів: циркуль або транспортир, лінійка, простий олівець, гумка та лист білого паперу.
Щоб зрозуміти, як красиво намалювати зірку, діяти слід послідовно, етап за етапом.
Можна скористатися спеціальними обчисленнями.
Розрахунок фігури
На цьому етапі малювання правильної зірки проступають контури готової фігури.
Якщо все зроблено правильно, отримане зображення буде рівним. Це можна перевірити візуально, обертаючи аркуш паперу та оцінюючи форму. Вона буде постійною при кожному повороті.
Основні контури наводяться за допомогою лінійки та простого олівця чіткіше. Всі допоміжні лінії забираються.
Щоб зрозуміти, як намалювати зірку поетапно, слід проводити усі дії вдумливо. У разі помилки можна підправити малюнок гумкою або провести всі маніпуляції заново.
Оформлення роботи
Готову форму можна прикрасити найрізноманітнішими способами. Головне – не треба боятися експериментувати. Фантазія підкаже оригінальний та гарний образ.
Можна прикрасити намальовану рівну зірку простим олівцемабо використовувати найрізноманітніші кольори та відтінки.
Щоб розібратися в тому, як намалювати правильну зірку, необхідно дотримуватись ідеальних ліній у всьому. Тому найпопулярніший варіант оформлення полягає у поділі кожного променя фігури на дві рівні частини лінією, що походить від вершини до центру.
Можна не поділяти сторони зірки лініями. Допускається просто зафарбувати кожен промінь фігури темнішим відтінком з одного боку.
Такий варіант також буде відповіддю на питання, як намалювати правильну зірку, адже всі її лінії будуть симетричні.
За бажанням при естетичному оформленні фігури можна додати орнамент чи інші елементи. Додавши кружечки до вершин, можна отримати зірку шерифа. Застосувавши плавне розтушування тіньових сторін, можна отримати морську зірку.
Ця техніка є найпоширенішою, тому що без особливих зусиль дозволяє зрозуміти, як намалювати п'ятикутну зірку поетапно. Не вдаючись до складних математичних обчислень, можна отримати правильне, красиве зображення.
Розглянувши всі способи того, як намалювати зірку за допомогою лінійки, можна вибрати для себе більш підходящий. Найбільш популярним є геометричний поетапний метод. Він досить нескладний та ефективний. Застосувавши фантазію та уяву, можна з отриманої правильної, гарної форми створити оригінальну композицію. Варіантів оформлення малюнка існує безліч. Але ж завжди можна придумати свій власний, незвичайний і незабутній сюжет. Головне – не варто боятися експериментувати!
5.3. Золотий п'ятикутник; побудова Евкліда.
Чудовий приклад «золотого перерізу» є правильним п'ятикутником – опуклим і зірчастим (рис. 5).
Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник.
Нехай О – центр кола, А – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці, перетинається з колом в точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять один одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.
Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.
Є і золотий кубоїд-це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.
Тепер розглянемо доказ, запропонований Евклідом у «Початках».
| |
з центру описаного кола. Почнемо з
відрізка АВЕ, розділеного в середньому та
Отже, нехай АС = АЕ. Позначимо через a рівні кути ЄВС та ПЕВ. Оскільки АС=АЕ, то кут АСЕ також дорівнює a. Теорема у тому, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, дозволяє знайти кут ВСІ: він дорівнює 180-2a, а кут ЕАС - 3a - 180. Але тоді кут АВС дорівнює 180-a. Підсумовуючи кути трикутника АВС отримуємо,
180 = (3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Звідки 5a=360, отже a=72.
Отже, кожен із кутів при підставі трикутника ВЕС удвічі більший за кут при вершині, що дорівнює 36 градусів. Отже, щоб побудувати правильний п'ятикутник, необхідно лише провести будь-яке коло з центром у точці Е, що перетинає ЄС у точці Х та сторону ЕВ у точці Y: відрізок XY служить однією зі сторін вписаного в коло правильного п'ятикутника; Обійшовши навколо всього кола, можна знайти й інші сторони.
Доведемо тепер, що АС = АЕ. Припустимо, що вершина С з'єднана відрізком прямий із серединою N відрізка ВЕ. Зауважимо, що оскільки СВ = РЄ, то кут СNЕ прямий. За теоремою Піфагора:
CN 2 = а 2 – (а/2j) 2 = а 2 (1-4j 2)
Звідси маємо (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Отже, АС = jа = jАВ = АЕ, що потрібно було довести
5.4.Спіраль Архімеда.
Послідовно відсікаючи від золотих прямокутників квадрати до нескінченності, щоразу з'єднуючи протилежні точки чвертю кола, ми отримаємо досить витончену криву. Першим на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її та вивів рівняння цієї спіралі.
В даний час спіраль Архімед широко використовується в техніці.
6.Числа Фібоначчі.
Із золотим перетином побічно пов'язане ім'я італійського математика Леонардо з Пізи, який відомий більше на прізвисько Фібоначчі (Fibonacci - скорочене filius Bonacci, тобто син Боначчі)
У 1202р. їм була написана книга "Liber abacci", тобто "Книга про абака". "Liber abacci" являє собою об'ємисту працю, що містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу і відіграв помітну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Зокрема, саме з цієї книги європейці познайомилися з індуськими ("арабськими") цифрами.
Матеріал, що повідомляється в книзі, пояснюється на великій кількості завдань, що становлять значну частину цього трактату.
Розглянемо одне таке завдання:
"Скільки пар кроликів за один рік від однієї пари народжується?"
Хтось помістив пару кроликів у якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться протягом цього року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів відтворить іншу, а народжують кролики з другого місяця після народження.
| Місяці | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Пари кроликів | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Перейдемо тепер від кроликів до чисел і розглянемо таку числову послідовність:
u 1 , u 2 … u n
де кожен член дорівнює сумі двох попередніх, тобто. при всякому n>2
u n = u n -1 + u n -2 .
Ця послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне деякому постійному співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дробовій частині. Його неможливо висловити точно.
Якщо якийсь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875... і через раз перевищує, то не досягає його.
Асимптотичне поведінка послідовності, що загасають коливання її співвідношення близько ірраціонального числа Ф можуть стати більш зрозумілими, якщо показати відносини кількох перших членів послідовності. У цьому прикладі наведено відношення другого члена до першого, третього до другого, четвертого до третього, і так далі:
1:1 = 1.0000, що менше фі на 0.6180
2:1 = 2.0000, що більше фі на 0.3820
3:2 = 1.5000, що менше фі на 0.1180
5:3 = 1.6667, що більше фі на 0.0486
8:5 = 1.6000, що менше фі на 0.0180
У міру просування по суммационной послідовності Фібоначчі кожен новий член ділитиме наступний з дедалі більшим і більшим наближенням до недосяжного Ф.
Людина підсвідомо шукає Божественну пропорцію: вона потрібна задоволення її потреби у комфорті.
При діленні будь-якого члена послідовності Фібоначчі на наступний за ним виходить просто зворотна до 1.618 величина (1: 1.618 = 0.618). Але це теж дуже незвичайне, навіть чудове явище. Оскільки початкове співвідношення - нескінченна дроб, у цього співвідношення також не повинно бути кінця.
При розподілі кожного числа на наступне за ним через одне отримуємо число 0.382
Підбираючи таким чином співвідношення, отримуємо основний набір коефіцієнтів Фібоначчі: 4.235, 2.618, 1.618,0.618,0.382,0.236. Згадаємо також 0.5. Всі вони відіграють особливу роль у природі і зокрема в технічному аналізі.
Тут слід зазначити, що Фібоначчі лише нагадав свою послідовність людству, оскільки вона була відома ще в найдавніші часипід назвою Золотий перетин.
Золотий перетин, як ми бачили, виникає у зв'язку з правильним п'ятикутником, тому і числа Фібоначчі грають роль у всьому, що стосується правильних п'ятикутників - опуклих і зірчастих.
Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного висловлювання закону золотого поділу. Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перетину. Ю. Матіясевич з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10 проблему Гільберта (про рішення Діофантових рівнянь). Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.
Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16 ... (тобто ряд чисел до n де будь-яке натуральне число, менше n можна уявити сумою деяких чисел цього ряду) на перший погляд абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна знайти загальну математичну формулу, з якої виходять і « двійковий» ряд і ряд Фібоначчі?
Дійсно, задамося числовим параметром S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого – одиниці, а кожен із наступних дорівнює сумі двох членів попереднього та віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n-й членцього ряду ми позначимо через S(n), то отримаємо загальну формулу S(n) = S(n – 1) + S (n – S – 1).
Очевидно, що за S = 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, за S = 1 –ряд Фібоначчі, за S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.
В загальному виглядізолота S-пропорція є позитивним коренем рівняння золотого S-перетину x S+1 – x S – 1 = 0.
Неважко показати, що за S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а за S = 1 – знайомий класичний золотий перетин.
Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю співпадають у межі із золотими S-пропорціями! Тобто золоті S-січення є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.
7.Золотий перетин у мистецтві.
7.1. Золотий перетин у живописі.
Переходячи до прикладів «золотого перетину» у живописі, не можна не зупинити свою увагу на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі казав: «Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю».
Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість та діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язне викладення своїх ідей, а лише численні рукописні начерки, замітки, в яких йдеться «про усім у світі».
Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.
Також пропорція золотого перетину проявляється у картині Шишкіна. На цій знаменитій картиніІ. І. Шишкіна з очевидністю проглядаються мотиви золотого перетину. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перетину. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить по золотому перерізу праву частину картини по горизонталі.
У картині Рафаеля "Побиття немовлят" проглядається інший елемент золотої пропорції - золота спіраль. На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо кісточки дитини - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім вздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу . Невідомо, чи Рафаель будував золоту спіраль чи відчував її.
Т.Кук використав при аналізі картини Сандро Боттічеллі «народження Венери» золотий перетин.
7.2. Піраміди золотого перерізу.
Широко відомі медичні властивості пірамід, особливо золотого перетину. За деякими найбільш поширеними думками, кімната, в якій знаходиться така піраміда, здається більше, а повітря - прозоріше. Сни починають запам'ятовуватись краще. Також відомо, що золотий переріз широко застосовувався в архітектурі та скульптурі. Прикладом цього стали: Пантеон та Парфенон у Греції, будівлі архітекторів Баженова та Малевича
8. Висновок.
Необхідно сказати, що золотий переріз має велике застосування у нашому житті.
Було доведено, що тіло ділиться в пропорції золотого перерізу лінією пояса.
Раковина наутілуса закручена подібно до золотої спіралі.
Завдяки золотому перерізу було відкрито пояс астероїдів між Марсом і Юпітером – за пропорцією там має бути ще одна планета.
Порушення струни в точці, що ділить її щодо золотого поділу, не викличе коливань струни, тобто це точка компенсації.
На літальних апаратах із електромагнітними джерелами енергії створюються прямокутні осередки з пропорцією золотого перетину.
Джоконда побудована на золотих трикутниках, золота спіраль є на картині Рафаеля «Побиття немовлят».
Пропорція виявлена в картині Сандро Боттічеллі «Народження Венери»
Відомо багато пам'яток архітектури, збудованих з використанням золотої пропорції, у тому числі Пантеон та Парфенон в Афінах, будівлі архітекторів Баженова та Малевича.
Іоанну Кеплеру, який жив п'ять століть тому, належить висловлювання: "Геометрія має два великі скарби. Перше - це теорема Піфагора, друге - поділу відрізка в крайньому та середньому відношенні"
Список літератури
1. Д. Підоу. Геометрія та мистецтво. - М.: Світ, 1979.
2. Журнал "Наука та техніка"
3. Журнал «Квант», 1973 № 8.
4. Журнал "Математика в школі", 1994 № 2; №3.
5. Ковальов Ф.В. Золотий перетин у живописі. К.: Вища школа, 1989.
6. Стахов А. Коди золотої пропорції.
7.Воробйов Н.М. "Числа Фібоначчі" - М: Наука 1964
8. "Математика - Енциклопедія для дітей" М: Аванта +, 1998
9. Інформація з Інтернету.
Матриць Фібоначчі та так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорія кодування та нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з погляду золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить теоретичні нові і напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному відношенні – «золоту» комп'ютеризацію. А оскільки...
Чи не вплинуть на цей результат. Основа золотої пропорції є інваріантом рекурсивних співвідношень 4 і 6. У цьому виявляється «стійкість» золотого перетину, одного з принципів організації живої матерії. Також, основа золотої пропорції є рішенням двох екзотичних рекурсивних послідовностей (рис 4.) Рис. 4 Рекурсивні послідовності Фібоначчі так...
Юшка - j5, а відстань від вуха до верхівки - j6. Таким чином, у цій статуї ми бачимо геометричну прогресію зі знаменником j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Рис.9). Таким чином, золотий перетин - один з основоположних принципіву мистецтві античної Греції. Ритми серця та мозку. Поступово б'ється серце людини – близько 60 ударів на хвилину у стані спокою. Серце як поршень стискає...
Рівень складності: Нескладно
1 крок
Перш за все, вибирайте, де розмістити центр кола. Там потрібно поставити початкову точку, нехай вона називається О. За допомогою циркуля викреслюємо навколо неї коло заданого діаметра чи радіусу.
2 крок
Потім проводимо дві осі через точку О, центр кола, одна горизонтальна, інша під 90 градусів стосовно неї – вертикальна. Крапки перетину по горизонталі назвемо зліва на право А і В, по вертикалі, зверху вниз – М і Н. Радіус, який лежить на будь-якій осі, наприклад, на горизонтальній у правій частині, ділимо навпіл. Це можна зробити так: циркуль з радіусом відомого нам кола встановлюємо вістрям в точку перетину горизонтальної осі та кола – В, відкреслюємо перетину з колом, отримані точки називаємо, відповідно зверху вниз – С і Р, з'єднуємо їх відрізком, який перетинатиме вісь ОВ, точку перетину називаємо До.
3 крок
З'єднуємо точки К і М та отримуємо відрізок КМ, встановлюємо циркуль у точку М, задаємо на ньому відстань до точки К і окреслюємо мітки на радіусі ОА, цю точку називаємо Е, далі ведемо циркуль до перетину з лівою верхньою частиною кола ОМ. Цю точку перетину називаємо F. Відстань рівну відрізку МО є стороною рівностороннього п'ятикутника. При цьому точка М буде однією вершиною п'ятикутника, що вбудовується в коло, а точка F - інший.
4 крок
Далі з отриманих точок по всьому колу викреслюємо циркулем відстані, рівні відрізку МЕ, всього точок має вийти 5. З'єднуємо всі крапки відрізками - отримуємо п'ятикутник, вписаний в коло.
- При кресленні будьте обережні у вимірах відстаней, не допускайте похибок, щоб п'ятикутник дійсно був рівностороннім.
