Aritmeetilise progressiooni summa.

Aritmeetilise progressiooni summa on lihtne asi. Nii tähenduses kui valemis. Aga sellel teemal on igasuguseid ülesandeid. Algklassidest päris soliidseks.

Kõigepealt käsitleme summa tähendust ja valemit. Ja siis me otsustame. Enda rõõmuks.) Summa tähendus on sama lihtne kui madaldamine. Aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks peate lihtsalt hoolikalt lisama kõik selle liikmed. Kui neid termineid on vähe, saate lisada ilma valemiteta. Aga kui on palju, või palju ... lisamine on tüütu.) Sel juhul valem päästab.

Summa valem on lihtne:

Mõelgem välja, millised tähed valemis sisalduvad. See selgitab palju.

S n on aritmeetilise progressiooni summa. Lisamise tulemus kõik liikmed, koos esiteks peal viimane. See on tähtis. Lisage täpselt kõik liikmed reas, ilma vahede ja hüpeteta. Ja täpselt, alates esiteks. Selliste probleemide korral nagu kolmanda ja kaheksanda liikme summa või viie kuni kahekümnenda liikmete summa leidmine valmistab valemi otsene rakendamine pettumuse.)

a 1 - esimene progressi liige. Siin on kõik selge, see on lihtne esiteks rea number.

a n- viimane progressi liige. Rea viimane number. Pole just väga tuttav nimi, aga kogusele kandes sobib väga hästi. Siis näete ise.

n on viimase liikme number. Oluline on mõista, et valemis see arv ühtib lisatud terminite arvuga.

Määratleme mõiste viimane liige a n. Täiteküsimus: milline liige saab viimane, kui antakse lõputu aritmeetiline progressioon?

Kindla vastuse saamiseks peate mõistma aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja ... lugema ülesannet hoolikalt läbi!)

Aritmeetilise progressiooni summa leidmise ülesandes ilmub alati (otseselt või kaudselt) viimane liige, mida tuleks piirata. Muidu lõplik, konkreetne summa lihtsalt ei eksisteeri. Lahenduse jaoks pole vahet, milline progressioon on antud: lõplik või lõpmatu. Pole tähtis, kuidas see on antud: arvude jada või n-nda liikme valemiga.

Kõige tähtsam on mõista, et valem toimib progressiooni esimesest liikmest numbriga liikmeni n. Tegelikult näeb valemi täisnimi välja selline: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Nende päris esimeste liikmete arv, s.o. n, määrab ainult ülesanne. Ülesandes on kogu see väärtuslik teave sageli krüptitud, jah ... Kuid mitte midagi, allolevates näidetes avaldame need saladused.)

Näited ülesannetest aritmeetilise progressiooni summa jaoks.

Eelkõige kasulik informatsioon:

Aritmeetilise progressiooni summa ülesannete peamine raskus on valemi elementide õige määramine.

Ülesannete autorid krüpteerivad piiritu fantaasiaga just need elemendid.) Peaasi, et siin ei pea kartma. Elementide olemuse mõistmisel piisab nende dešifreerimisest. Vaatame mõnda näidet üksikasjalikumalt. Alustame ülesandega, mis põhineb tõelisel GIA-l.

1. Aritmeetiline progressioon antud tingimusega: a n = 2n-3,5. Leidke esimese 10 liikme summa.

Tubli töö. Lihtne.) Mida me peame teadma, et määrata summa valemi järgi? Esimene liige a 1, viimane ametiaeg a n, jah viimase termini number n.

Kust saada viimane liikmenumber n? Jah, samas kohas, seisukorras! See ütleb, et leia summa esimesed 10 liiget. No mis number see saab olema viimane, kümnes liige?) Te ei usu seda, tema number on kümnes!) Seetõttu selle asemel a n asendame valemiga a 10, aga selle asemel n- kümme. Jällegi on viimase liikme arv sama, mis liikmete arv.

See jääb veel kindlaks teha a 1 ja a 10. Seda saab hõlpsasti arvutada n-nda liikme valemiga, mis on antud ülesande avalduses. Ei tea, kuidas seda teha? Külastage eelmist õppetundi, ilma selleta - mitte midagi.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10–3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saime teada aritmeetilise progressiooni summa valemi kõigi elementide tähenduse. Jääb need asendada ja lugeda:

See on kõik. Vastus: 75.

Teine ülesanne, mis põhineb GIA-l. Natuke keerulisem:

2. Antud aritmeetiline progressioon (a n), mille erinevus on 3,7; a 1 \u003d 2,3. Leidke esimese 15 liikme summa.

Kirjutame kohe summa valemi:

See valem võimaldab meil leida mis tahes liikme väärtuse selle numbri järgi. Otsime lihtsat asendust:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Jääb vaid asendada kõik valemis olevad elemendid aritmeetilise progressiooni summaga ja arvutada vastus:

Vastus: 423.

Muide, kui summa valemis asemel a n lihtsalt asendades n-nda liikme valemi, saame:

Anname sarnased, saame aritmeetilise progressiooni liikmete summa jaoks uue valemi:

Nagu näete, pole vaja n-s tähtaeg a n. Mõnes ülesandes aitab see valem palju, jah ... Selle valemi võite meeles pidada. Ja saate selle lihtsalt õigel ajal tagasi võtta, nagu siin. Summa valem ja n-nda liikme valem tuleb ju igati meeles pidada.)

Nüüd ülesanne lühikese krüptimise vormis):

3. Leidke kõigi positiivsete kahekohaliste arvude summa, mis on kolmekordsed.

Kuidas! Pole esimest liiget, pole viimast, ei mingit progressi... Kuidas elada!?

Peate mõtlema oma peaga ja võtma tingimusest välja kõik aritmeetilise progressiooni summa elemendid. Mis on kahekohalised numbrid - me teame. Need koosnevad kahest numbrist.) Milline kahekohaline arv esiteks? 10, arvatavasti.) viimane asi kahekohaline number? 99 muidugi! Kolmekohalised järgivad teda ...

Kolme kordsed... Hm... Need on arvud, mis jaguvad võrdselt kolmega, siin! Kümme ei jagu kolmega, 11 ei jagu... 12... jagub! Niisiis, midagi on ilmnemas. Saate juba kirjutada seeria vastavalt probleemi seisukorrale:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Kas see seeria on aritmeetiline progressioon? Muidugi! Iga termin erineb eelmisest rangelt kolme võrra. Kui terminile lisada 2 või 4, siis ütleme, et tulemus, s.t. uut arvu enam 3-ga ei jagata. Saate kohe määrata kuhja aritmeetilise progressiooni erinevuse: d = 3. Kasulik!)

Seega võime julgelt üles kirjutada mõned edenemise parameetrid:

Mis saab numbriks n viimane liige? Kõik, kes arvavad, et 99, on saatuslikult eksinud... Numbrid - need lähevad alati järjest ja meie liikmed hüppavad üle esikolmiku. Need ei sobi kokku.

Siin on kaks lahendust. Üks võimalus on ülitöökatele. Saate maalida progressi, terve arvude jada ja lugeda näpuga liikmete arvu.) Teine võimalus on mõeldud mõtlikule. Peate meeles pidama n-nda liikme valemit. Kui valemit meie probleemile rakendada, saame, et 99 on progressiooni kolmekümnes liige. Need. n = 30.

Vaatame aritmeetilise progressiooni summa valemit:

Vaatame ja rõõmustame.) Tõmbasime probleemi seisukorrast välja kõik summa arvutamiseks vajaliku:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Alles jääb elementaarne aritmeetika. Asendage valemis olevad arvud ja arvutage:

Vastus: 1665

Teist tüüpi populaarsed mõistatused:

4. Antakse aritmeetiline progressioon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Leidke terminite summa kahekümnendast kuni kolmekümne neljandani.

Vaatame summa valemit ja ... oleme ärritunud.) Lubage mul teile meelde tuletada, et valem arvutab summa esimesest liige. Ja ülesandes peate arvutama summa alates kahekümnendast... Valem ei tööta.

Võite muidugi värvida kogu käigu järjest ja panna liikmed 20-lt 34-le. Aga ... see tuleb kuidagi rumalalt ja pikaks ajaks, eks?)

On elegantsem lahendus. Jagame oma sarja kaheks osaks. Esimene osa saab esimesest ametiajast kuni üheksateistkümnendani. Teine osa - kakskümmend kuni kolmkümmend neli. On selge, et kui arvutame esimese osa tingimuste summa S 1-19, liidame selle teise osa liikmete summale S 20-34, saame esimesest liikmest kolmekümne neljandani progressiooni summa S 1-34. Nagu nii:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

See näitab, et leida summa S 20-34 saab teha lihtsa lahutamise teel

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Arvesse võetakse mõlemad paremal pool olevad summad esimesest liige, s.o. standardsumma valem on neile üsna rakendatav. Kas alustame?

Eraldame ülesande tingimusest edenemise parameetrid:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Esimese 19 ja esimese 34 liikme summade arvutamiseks vajame 19. ja 34. liiget. Loendame need n-nda liikme valemi järgi, nagu ülesandes 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ei jää midagi järele. Lahutage 34 termini summast 19 termini summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastus: 262,5

Üks oluline märkus! Selle probleemi lahendamiseks on väga kasulik funktsioon. Otsese arvutamise asemel mida vajate (S 20-34), me loendasime mida, näib, pole vaja - S 1-19. Ja siis nad otsustasid S 20-34, jättes kogu tulemusest ebavajaliku kõrvale. Selline "kõrvade pettus" päästab sageli kurjade mõistatuste puhul.)

Selles õppetükis uurisime ülesandeid, mille puhul piisab aritmeetilise progressiooni summa tähenduse mõistmisest. Noh, sa pead teadma paari valemit.)

praktilisi nõuandeid:

Mis tahes ülesande lahendamisel aritmeetilise progressiooni summa eest, soovitan sellest teemast kohe välja kirjutada kaks peamist valemit.

N-nda liikme valem:

Need valemid ütlevad kohe, mida otsida, millises suunas mõelda, et probleem lahendada. Aitab.

Ja nüüd iseseisva lahenduse ülesanded.

5. Leia kõigi kahekohaliste arvude summa, mis ei jagu kolmega.

Lahe?) Vihje on peidetud märkuses ülesandele 4. Noh, ülesanne 3 aitab.

6. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke esimese 24 liikme summa.

Ebatavaline?) See on korduv valem. Selle kohta saate lugeda eelmises õppetükis. Ärge ignoreerige linki, selliseid mõistatusi leidub sageli GIA-s.

7. Vasya kogus puhkuseks raha. Koguni 4550 rubla! Ja otsustasin kinkida kõige armastatumale inimesele (endale) paar päeva õnne). Elage ilusti ilma endale midagi keelamata. Kulutage esimesel päeval 500 rubla ja igal järgmisel päeval kulutage 50 rubla rohkem kui eelmisel! Kuni raha saab otsa. Mitu päeva oli Vasjal õnnelik?

Kas see on raske?) Abiks on ülesande 2 lisavalem.

Vastused (segaselt): 7, 3240, 6.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Algebra õppimisel aastal üldhariduskool(9. klass) Üheks oluliseks teemaks on arvjadade uurimine, mille hulka kuuluvad progressioonid – geomeetrilised ja aritmeetilised. Selles artiklis käsitleme aritmeetilist progressiooni ja näiteid lahendustega.

Mis on aritmeetiline progressioon?

Selle mõistmiseks on vaja anda vaadeldava progressi definitsioon, samuti põhivalemid, mida edaspidi probleemide lahendamisel kasutatakse.

On teada, et mõnes algebralises progressioonis võrdub 1. liige 6-ga ja 7. liige 18-ga. On vaja leida erinevus ja taastada see jada 7. liikmeks.

Kasutame tundmatu liikme määramiseks valemit: a n = (n - 1) * d + a 1 . Asendame sellesse tingimusest teadaolevad andmed, see tähendab numbrid a 1 ja a 7, meil on: 18 \u003d 6 + 6 * d. Selle avaldise järgi saate hõlpsalt arvutada erinevuse: d = (18 - 6) / 6 = 2. Seega sai ülesande esimene osa vastatud.

Jada taastamiseks 7. liikmeni peaksite kasutama algebralise progressiooni definitsiooni, st a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d jne. Selle tulemusena taastame kogu jada: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ja 7 = 18.

Näide nr 3: edasiminek

Teeme probleemi olukorra veelgi keerulisemaks. Nüüd peate vastama küsimusele, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Võime tuua järgmise näite: on antud kaks arvu, näiteks 4 ja 5. On vaja teha algebraline progressioon, et nende vahele mahuks veel kolm liiget.

Enne selle probleemi lahendamise alustamist on vaja mõista, millise koha antud numbrid edaspidises progresseerumises hõivavad. Kuna nende vahel on veel kolm terminit, siis 1 \u003d -4 ja 5 \u003d 5. Olles selle kindlaks teinud, jätkame ülesandega, mis on sarnane eelmisele. Jällegi, n-nda liikme jaoks kasutame valemit, saame: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Alates: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Siin ei ole erinevus täisarv, vaid see on ratsionaalne arv, seega jäävad algebralise progressiooni valemid samaks.

Nüüd lisame leitud erinevuse 1-le ja taastame progressiooni puuduvad liikmed. Saame: a 1 = -4, a 2 = -4 + 2,25 = -1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003 mis langes kokku probleemi olukorraga.

Näide nr 4: progressi esimene liige

Jätkame lahendusega aritmeetilise progressiooni näidete toomist. Kõigis varasemates ülesannetes oli algebralise progressiooni esimene number teada. Vaatleme nüüd teist tüüpi ülesannet: olgu antud kaks arvu, kus a 15 = 50 ja a 43 = 37. Tuleb leida, millisest arvust see jada algab.

Seni kasutatud valemid eeldavad a 1 ja d tundmist. Nende numbrite kohta pole probleemi olukorras midagi teada. Sellegipoolest kirjutame välja avaldised iga termini kohta, mille kohta meil on teavet: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saime kaks võrrandit, milles on 2 tundmatut suurust (a 1 ja d). See tähendab, et ülesanne taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele.

Määratud süsteemi on kõige lihtsam lahendada, kui väljendate igas võrrandis 1 ja seejärel võrrelda saadud avaldisi. Esimene võrrand: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; teine ​​võrrand: a 1 \u003d a 43–42 * d = 37–42 * d. Võrdsustades need avaldised, saame: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kust erinevus d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (antud on ainult 3 kohta pärast koma).

Teades d-d, saate 1 jaoks kasutada ükskõik millist ülaltoodud kahest avaldisest. Näiteks kõigepealt: a 1 \u003d 50–14 * d \u003d 50–14 * (- 0,464) = 56,496.

Kui tulemuses on kahtlusi, saab seda kontrollida, näiteks määrata progresseerumise 43. liige, mis on tingimuses määratud. Saame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Väike viga on tingitud sellest, et arvutustes kasutati ümardamist tuhandikuteni.

Näide nr 5: summa

Vaatame nüüd mõningaid näiteid aritmeetilise progressiooni summa lahendustega.

Olgu antud arvuline progressioon järgmisel kujul: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuidas arvutada nende arvude 100 summat?

Tänu arvutitehnoloogia arengule saab selle probleemi lahendada, st liita järjestikku kõik numbrid, mida arvuti teeb kohe, kui inimene vajutab sisestusklahvi. Probleemi saab aga mõtteliselt lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, et esitatud arvude jada on algebraline progressioon ja selle erinevus on 1. Rakendades summa valemit, saame: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Huvitav on märkida, et seda probleemi nimetatakse Gaussiks, kuna in XVIII alguses sajandil suutis kuulus sakslane, olles veel vaid 10-aastane, selle oma mõtetes mõne sekundiga lahendada. Poiss ei teadnud algebralise progressiooni summa valemit, kuid ta märkas, et kui liita jada servades paiknevad arvupaarid, saad alati sama tulemuse ehk 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ja kuna need summad on täpselt 50 (100 / 2), siis õige vastuse saamiseks piisab, kui korrutada 50 101-ga.

Näide #6: terminite summa vahemikus n kuni m

Teine tüüpiline näide aritmeetilise progressiooni summa kohta on järgmine: kui on antud arvude jada: 3, 7, 11, 15, ..., peate leidma, milline on selle liikmete summa vahemikus 8 kuni 14.

Probleem lahendatakse kahel viisil. Esimene neist hõlmab tundmatute terminite leidmist vahemikus 8 kuni 14 ja seejärel nende järjestikust kokkuvõtmist. Kuna termineid on vähe, pole see meetod piisavalt töömahukas. Sellest hoolimata tehakse ettepanek lahendada see probleem teise meetodi abil, mis on universaalsem.

Idee on saada valem terminite m ja n vahelise algebralise progressiooni summa kohta, kus n > m on täisarvud. Mõlemal juhul kirjutame summa jaoks kaks avaldist:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Kuna n > m, on ilmne, et 2 summa sisaldab esimest. Viimane järeldus tähendab, et kui võtta nende summade vahe, ja lisada sellele liige a m (vahe võtmise korral lahutatakse see summast S n), siis saame ülesandele vajaliku vastuse. Meil on: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Selles avaldises on vaja asendada n ja m valemid. Siis saame: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Saadud valem on mõnevõrra tülikas, kuid summa S mn sõltub ainult n-st, m-st, a 1-st ja d-st. Meie puhul a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Nende arvude asendamisel saame: S mn = 301.

Nagu ülaltoodud lahendustest näha, põhinevad kõik ülesanded n-nda liikme avaldise ja esimeste liikmete hulga summa valemi tundmisel. Enne nende probleemide lahendamise alustamist on soovitatav tingimus hoolikalt läbi lugeda, selgelt mõista, mida soovite leida, ja alles seejärel jätkata lahendusega.

Teine näpunäide on püüelda lihtsuse poole, see tähendab, et kui saate küsimusele vastata ilma keerulisi matemaatilisi arvutusi kasutamata, peate seda tegema, kuna sel juhul on eksimise tõenäosus väiksem. Näiteks aritmeetilise progressiooni näites lahendusega nr 6 võiks peatuda valemis S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ja jaga üldülesanne eraldi alamülesanneteks (sel juhul leia esmalt terminid a n ja a m).

Kui saadud tulemuse suhtes on kahtlusi, on soovitatav seda kontrollida, nagu tehti mõnes toodud näites. Kuidas leida aritmeetilist progressiooni, sai teada. Kui olete sellest aru saanud, pole see nii raske.

Kui iga naturaalarv n vaste reaalarvuga a n , siis nad ütlevad, et antud numbrijada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbriline jada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine ​​liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas n-s liige järjestused ja naturaalarv n — tema number .

Kahelt naaberliikmelt a n ja a n +1 liikmejärjestused a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), a a n — eelmine ( suunas a n +1 ).

Jada määramiseks tuleb määrata meetod, mis võimaldab leida suvalise numbriga jadaliikme.

Sageli on järjestus antud koos n-nda termini valemid , st valem, mis võimaldab määrata jadaliikme numbri järgi.

Näiteks,

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a n= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks,

kui a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis seatakse arvjada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks,

kahekohaliste naturaalarvude jada:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algnumbrite jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse kahanev , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on tõusev jada;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on kahanev jada. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu suurenedes ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on suvalise naturaalarvu aritmeetiline progressioon n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

kus d - mingi number.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgmise ja eelmise liikme vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse määramisest.

Näiteks,

kui a 1 = 3, d = 4 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks,

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-1 + a n+1
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.

Näiteks,

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Järelikult

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks,

jaoks a 5 saab kirjutada

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-k +a n+k
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

esiteks n aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne poolte äärmiste liikmete summa ja liikmete arvu korrutisega:

Eelkõige sellest järeldub, et kui on vaja tingimusi kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused a 1 , a n, d, n jaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest kolme väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:

• kui d > 0 , siis see suureneb;
• kui d < 0 , siis see väheneb;
• kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

geomeetriline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

kus q ≠ 0 - mingi number.

Seega on selle geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja määramisest.

Näiteks,

kui b 1 = 1, q = -3 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n -nda termini saab leida valemiga:

b n = b 1 · q n -1 .

Näiteks,

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, võrdub eelmise ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmisega (proportsionaalne).

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe teise geomeetriline keskmine.

Näiteks,

tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Järelikult

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab nõutavat väidet. ◄

Pange tähele, et n geomeetrilise progressiooni liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka mis tahes eelmist terminit b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · q n - k.

Näiteks,

jaoks b 5 saab kirjutada

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel olevate liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks,

eksponentsiaalselt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks n geomeetrilise progressiooni liikmed nimetajaga q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= n.b. 1

Pange tähele, et kui meil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Näiteks,

eksponentsiaalselt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nende kolme suuruse väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis on kombineeritud kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Kui a q< 0 , siis on geomeetriline progressioon märgi vahelduv: selle paaritutel liikmetel on sama märk kui esimesel liikmel ja paarisnumbritel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode n geomeetrilise progressiooni termineid saab arvutada järgmise valemiga:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem kui 1 , see on

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhtumiga

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada märk-vahelduv. Näiteks,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta number, millele esimese summa n progresseerumise tingimustes koos arvu piiramatu suurenemisega n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Näiteks,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatleme ainult kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , siis

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks,

1, 3, 5, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon q , siis

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks,

2, 12, 72, . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Esimene tase

Aritmeetiline progressioon. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2019)

Numbriline jada

Nii et istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, milline teine ​​ja nii edasi kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbriline jada
Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele järjekorranumbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu -th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Oletame, et meil on arvuline jada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks:

jne.
Sellist arvulist jada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele juba 6. sajandil ja seda mõisteti laiemas tähenduses lõputu numbrijadana. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, millega tegelesid vanad kreeklased.

See on arvuline jada, mille iga liige on võrdne eelmisega, millele on lisatud sama number. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja seda tähistatakse.

Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:

a)
b)
c)
d)

Sain aru? Võrrelge meie vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.

Pöördume tagasi antud progressiooni () juurde ja proovime leida selle th liikme väärtust. Olemas kaks viis selle leidmiseks.

1. Meetod

Saame lisada progressiooninumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:

Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni -s liige võrdne.

2. Tee

Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine oleks võtnud meilt üle ühe tunni ja pole tõsiasi, et me poleks arvude liitmisel vigu teinud.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust pole vaja eelmisele väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti tähelepanelikult ... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:

Näiteks vaatame, mis moodustab selle aritmeetilise progressiooni -nda liikme väärtuse:


Teisisõnu:

Proovige sel viisil iseseisvalt leida selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.

Arvutatud? Võrrelge oma sissekandeid vastusega:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku aritmeetilise progressiooni liikmed eelmisele väärtusele.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" – toome selle sisse üldine vorm ja saada:

Aritmeetilise progressiooni võrrand.

Aritmeetilised progressioonid kas suurenevad või vähenevad.

Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on eelmisest suurem.
Näiteks:

Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:

Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmistest numbritest:

Sellest ajast:

Seega olime veendunud, et valem töötab nii kahanevas kui ka suurendavas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni -ndat ja -ndat liiget.

Võrdleme tulemusi:

Aritmeetilise progressiooni omadus

Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
See on lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:

Olgu, a, siis:

Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses on meile antud numbrid? Nõus, arvutustes on vigu võimalik teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi, jah, ja me proovime selle nüüd välja tuua.

Tähistame aritmeetilise progressiooni soovitud liiget nii, et me teame selle leidmise valemit - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, siis:

• edenemise eelmine liige on:
• edenemise järgmine tähtaeg on:

Summeerime edenemise eelmised ja järgmised liikmed:

Selgub, et progressiooni eelmiste ja järgnevate liikmete summa on kaks korda suurem kui nende vahel paikneva progressiooni liikme väärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks on vaja need liita ja jagada.

Täpselt nii, meil on sama number. Parandame materjali. Arvutage progresseerumise väärtus ise, sest see pole üldse keeruline.

Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi on üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss - enda jaoks hõlpsasti tuletatud ...

Kui Carl Gauss oli 9-aastane, esitas õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: "Arvutage kõigi naturaalarvude summa vahemikus kuni (teistel andmetel kuni) kaasa arvatud. " Mis oli õpetaja üllatus, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minuti pärast ülesandele õige vastuse, samal ajal kui enamik hulljulge klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse ...

Noor Carl Gauss märkas mustrit, mida on lihtne märgata.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ti liikmetest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni antud liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui meil on vaja leida ülesandest selle liikmete summa, nagu Gauss otsis?

Kujutame meile antud progressi. Vaadake tähelepanelikult esiletõstetud numbreid ja proovige nendega teha erinevaid matemaatilisi tehteid.


Proovis? Mida sa märkasid? Õigesti! Nende summad on võrdsed

Nüüd vastake, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased võrdsed paarid, saame, et kogusumma on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:

Mõne ülesande puhul me ei tea th liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige summa valemis asendada th liikme valemiga.
Mis sa said?

Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile antud ülesande juurde: arvutage ise, milline on -ndast algavate arvude summa ja -ndast algavate arvude summa.

Kui palju sa said?
Gauss selgus, et liikmete summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?

Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit juba 3. sajandil Vana-Kreeka teadlane Diophantus ja kogu selle aja jooksul kasutasid vaimukad inimesed aritmeetilise progressiooni omadusi jõuliselt ja põhiliselt.
Kujutage näiteks ette Vana-Egiptust ja tolleaegset suurimat ehitusplatsi – püramiidi ehitamist... Joonisel on selle üks pool.

Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster.


Miks mitte aritmeetiline progressioon? Loendage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusesse asetada klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, kas mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?

Sel juhul näeb edenemine välja järgmine:
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (loendame plokkide arvu kahel viisil).

1. meetod.

2. meetod.

Ja nüüd saate ka monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Kas see nõustus? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni liikmete summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:

Treening

Ülesanded:

1. Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda kükib Maša nädalate jooksul, kui ta tegi kükke esimeses treeningus.
2. Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
3. Palkide ladustamisel laovad metsamehed need nii, et iga pealmine kiht sisaldab ühe palgi vähem kui eelmises. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise alus on palgid.

Vastused:

1. Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
   (nädalad = päevad).

   Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha kükitama kord päevas.

2. Esimene paaritu number, viimane number.
   Aritmeetilise progressiooni erinevus.
   Paaritute arvude arv pooles, kontrollige seda fakti aritmeetilise progressiooni -nda liikme leidmise valemi abil:

   Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
   Asendame saadaolevad andmed valemiga:

   Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.

3. Tuletage meelde püramiididega seotud probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht on vähendatud ühe palgi võrra, on ainult hunnik kihte, see tähendab.
   Asendage andmed valemis:

   Vastus: Müüritises on palgid.

Summeerida

1. - numbriline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See suureneb ja väheneb.
2. Valemi leidmine aritmeetilise progressiooni liige kirjutatakse valemiga - , kus on progressioonis olevate arvude arv.
3. Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus - progressi arvude arv.
4. Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:
   
   , kus on väärtuste arv.

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE

Numbriline jada

Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Kuid alati saab öelda, milline neist on esimene, kumb teine ​​ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.

Numbriline jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Teisisõnu, iga arvu saab seostada teatud naturaalarvuga ja ainult ühega. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.

Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Väga mugav on, kui jada -nda liige saab esitada mingi valemiga. Näiteks valem

määrab järjestuse:

Ja valem on järgmine jada:

Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus). Või (, erinevus).

n-nda termini valem

Korduvaks nimetame valemit, milles -nda liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelnevat:

Et leida sellise valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:

Noh, nüüd on selge, mis valem on?

Igal real liidame, korrutatuna mõne arvuga. Milleks? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:

Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:

Otsustage ise:

Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.

Lahendus:

Esimene täht on võrdne. Ja mis vahet sellel on? Ja siin on see, mis:

(lõppude lõpuks nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).

Seega valem on järgmine:

Siis on sajas liige:

Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?

Legendi järgi arvutas suur matemaatik Carl Gauss, olles 9-aastane poiss, selle summa mõne minutiga välja. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja 3. summa lõpust on sama jne. Kui palju selliseid paare on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,

Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:

Näide:
Leidke kõigi kahekohaliste kordajate summa.

Lahendus:

Esimene selline number on see. Iga järgmine saadakse, lisades eelmisele numbri. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.

Selle progresseerumise kolmanda liikme valem on:

Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?

Väga lihtne: .

Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:

Vastus:.

Otsustage nüüd ise:

1. Iga päev jookseb sportlane 1m rohkem kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit ta nädalatega jookseb, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
2. Jalgrattur sõidab iga päev rohkem miile kui eelmine. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta sõitma, et kilomeeter läbida? Mitu kilomeetrit ta reisi viimasel päeval läbib?
3. Külmiku hinda poes langetatakse igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Vastused:

1. Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
   .
   Vastus:
2. Siin on antud:, on vaja leida.
   Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
   .
   Asendage väärtused:

   Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus.
   Arvutame viimase päeva jooksul läbitud vahemaa, kasutades -nda liikme valemit:
   (km).
   Vastus:

3. Arvestades: . Leia:.
   See ei lähe lihtsamaks:
   (hõõruda).
   Vastus:

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST

See on arvuline jada, milles kõrvuti asetsevate arvude erinevus on sama ja võrdne.

Aritmeetiline progressioon suureneb () ja väheneb ().

Näiteks:

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

kirjutatakse valemina, kus on arvude arv progresseerumisel.

Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus

See muudab progressi liikme leidmise lihtsaks, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Summa leidmiseks on kaks võimalust:

Kus on väärtuste arv.

Kus on väärtuste arv.

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Edukaks eksami sooritamine, instituuti eelarve eest vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes pole seda saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla eksamil teistest parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpetuse 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega, iga teema kohta, igale keerukusastmele." Kindlasti piisab sellest, kui suvalise teemaga probleemide lahendamisel kätt saada.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator – terve koolitusprogramm. Vajadusel saate seda kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Jah, jah: aritmeetiline progressioon pole sinu jaoks mänguasi :)

Noh, sõbrad, kui te seda teksti loete, siis sisemised korgi tõendid ütlevad mulle, et te ei tea ikka veel, mis on aritmeetiline progressioon, kuid te tõesti (ei, nii: NIIAA!) tahate teada. Seetõttu ei piina ma teid pikkade tutvustustega ja asun kohe asja kallale.

Alustuseks paar näidet. Mõelge mitmele numbrikomplektile:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mis on kõigil neil komplektidel ühist? Esmapilgul mitte midagi. Aga tegelikult on midagi. Nimelt: iga järgmine element erineb eelmisest sama numbri võrra.

Otsustage ise. Esimene komplekt on lihtsalt järjestikused numbrid, millest igaüks on rohkem kui eelmine. Teisel juhul on kõrvuti asetsevate arvude vahe juba võrdne viiega, kuid see erinevus on siiski konstantne. Kolmandal juhul on juured üldiselt olemas. Samas $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, samas kui $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, st. sel juhul suureneb iga järgmine element lihtsalt $\sqrt(2)$ võrra (ja ärge kartke, et see arv on irratsionaalne).

Niisiis: kõiki selliseid jadasid nimetatakse lihtsalt aritmeetiliseks progressiooniks. Anname range määratluse:

Definitsioon. Arvujada, milles iga järgmine erineb eelmisest täpselt sama palju, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Seda summat, mille võrra numbrid erinevad, nimetatakse progresseerumise erinevuseks ja seda tähistatakse enamasti tähega $d$.

Tähistus: $\left(((a)_(n)) \right)$ on progressioon ise, $d$ on selle erinevus.

Ja vaid paar olulist märkust. Esiteks võetakse arvesse ainult progresseerumist korrastatud numbrite jada: neid on lubatud lugeda rangelt nende kirjutamise järjekorras - ja mitte midagi muud. Te ei saa numbreid ümber korraldada ega vahetada.

Teiseks võib jada ise olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks hulk (1; 2; 3) on ilmselgelt lõplik aritmeetiline progressioon. Aga kui kirjutate midagi sellist, nagu (1; 2; 3; 4; ...) - see on juba lõpmatu edasiminek. Ellips pärast nelja viitab justkui sellele, et päris paljud numbrid lähevad kaugemale. Lõpmatult palju näiteks. :)

Samuti tahaksin märkida, et progresseerumine suureneb ja väheneb. Oleme juba näinud kasvavaid - sama komplekt (1; 2; 3; 4; ...). Siin on näited progresseerumise vähenemisest:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Olgu, okei: viimane näide võib tunduda liiga keeruline. Aga ülejäänud, ma arvan, saate aru. Seetõttu tutvustame uusi määratlusi:

Definitsioon. Aritmeetilist progressiooni nimetatakse:

1. suureneb, kui iga järgmine element on eelmisest suurem;
2. väheneb, kui vastupidi, iga järgnev element on väiksem kui eelmine.

Lisaks on olemas nn "statsionaarsed" jadad - need koosnevad samast korduvast numbrist. Näiteks (3; 3; 3; ...).

Jääb vaid üks küsimus: kuidas eristada kasvavat progresseerumist kahanevast? Õnneks sõltub siin kõik ainult numbri $d$ märgist, st. progresseerumise erinevused:

1. Kui $d \gt 0$, siis progresseerumine kasvab;
2. Kui $d \lt 0$, siis progresseerumine on ilmselgelt vähenemas;
3. Lõpuks on juhtum $d=0$, mille puhul kogu progress taandub statsionaarseks jadaks samad numbrid: (1; 1; 1; 1; ...) jne.

Proovime arvutada erinevuse $d$ kolme ülaltoodud kahaneva progresseerumise jaoks. Selleks piisab, kui võtta mis tahes kaks kõrvutiasetsevat elementi (näiteks esimene ja teine) ning lahutada parempoolsest ja vasakpoolsest numbrist. See näeb välja selline:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Nagu näete, osutus erinevus kõigil kolmel juhul tõesti negatiivseks. Ja nüüd, kui oleme definitsioonid enam-vähem selgeks saanud, on aeg välja mõelda, kuidas progresseerumist kirjeldatakse ja millised omadused neil on.

Progressiooni ja korduva valemi liikmed

Kuna meie jadade elemente ei saa omavahel vahetada, saab neid nummerdada:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \õige\)\]

Selle komplekti üksikuid elemente nimetatakse progressiooni liikmeteks. Neid tähistatakse sel viisil numbri abil: esimene liige, teine ​​liige jne.

Lisaks, nagu me juba teame, on progressi naaberliikmed seotud valemiga:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Paremnool ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Lühidalt, progresseerumise $n$-nda liikme leidmiseks peate teadma $n-1$-ndat liiget ja erinevust $d$. Sellist valemit nimetatakse korduvaks, kuna selle abil saate leida suvalise arvu, teades ainult eelmist (ja tegelikult ka kõiki eelmisi). See on väga ebamugav, seetõttu on olemas keerulisem valem, mis taandab kõik arvutused esimesele liikmele ja erinevusele:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tõenäoliselt olete selle valemiga varem kokku puutunud. Neile meeldib seda anda kõikvõimalikes teatmeteostes ja reshebnikutes. Ja igas mõistlikus matemaatikaõpikus on see üks esimesi.

Siiski soovitan teil veidi harjutada.

Ülesanne number 1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni $\left(((a)_(n)) \right)$ kolm esimest liiget, kui $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lahendus. Seega teame esimest liiget $((a)_(1))=8$ ja progresseerumise erinevust $d=-5$. Kasutame just antud valemit ja asendame $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasak(1-1 \parem)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasak(2-1 \parem)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vasak(3-1 \parem)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(joonda)\]

Vastus: (8; 3; -2)

See on kõik! Pange tähele, et meie areng väheneb.

Muidugi ei saanud $n=1$ asendada – esimest terminit me juba teame. Kuid ühikut asendades veendusime, et meie valem töötab isegi esimesel ametiajal. Muudel juhtudel taandus kõik banaalsele aritmeetikale.

Ülesanne number 2. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget, kui selle seitsmes liige on −40 ja seitsmeteistkümnes liige on −50.

Lahendus. Kirjutame probleemi seisukorra tavapärastes mõistetes:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(joonda) \paremale.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(joonda) \õige.\]

Panin süsteemi märgi, sest need nõuded peavad olema täidetud üheaegselt. Ja nüüd märgime, et kui lahutame teisest võrrandist esimese võrrandi (meil on õigus seda teha, kuna meil on süsteem), saame järgmise:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(joonda)\]

Just nii leidsime edenemise erinevuse! Jääb leida leitud arv süsteemi mis tahes võrrandis asendada. Näiteks esimeses:

\[\begin(maatriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(maatriks)\]

Nüüd, teades esimest terminit ja erinevust, jääb üle leida teine ​​ja kolmas termin:

\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(joonda)\]

Valmis! Probleem lahendatud.

Vastus: (-34; -35; -36)

Pange tähele meie avastatud progressiooni kummalist omadust: kui võtame $n$-nda ja $m$-nda liikme ning lahutame need üksteisest, saame progressiooni erinevuse korrutatuna arvuga $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Lihtne aga väga kasulik vara, mida pead kindlasti teadma – selle abiga saad oluliselt kiirendada paljude progressi käigus tekkivate probleemide lahendamist. Siin helge sellele näide:

Ülesanne number 3. Aritmeetilise progressiooni viies liige on 8,4 ja kümnes liige on 14,4. Leidke selle progressiooni viieteistkümnes liige.

Lahendus. Kuna $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ ja me peame leidma $((a)_(15))$, siis paneme tähele järgmist:

\[\begin(joona) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(joonda)\]

Kuid tingimusel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, seega $5d=6$, kust saame:

\[\begin(joona) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(joonda)\]

Vastus: 20.4

See on kõik! Meil ei olnud vaja koostada võrrandisüsteeme ja arvutada esimest liiget ja erinevust – kõik otsustati vaid paari reaga.

Vaatleme nüüd teist tüüpi probleemi – progresseerumise negatiivsete ja positiivsete liikmete otsimist. Pole saladus, et kui progresseerumine suureneb, kui selle esimene liige on negatiivne, siis varem või hiljem ilmuvad sellesse positiivsed terminid. Ja vastupidi: kahaneva progresseerumise tingimused muutuvad varem või hiljem negatiivseks.

Samal ajal pole kaugeltki alati võimalik seda hetke "otsmikul" leida, elemente järjestikku sorteerides. Tihti on ülesanded kujundatud nii, et valemeid teadmata kuluks arvutustele mitu lehte – jääme lihtsalt magama, kuni vastuse leiame. Seetõttu püüame need probleemid kiiremini lahendada.

Ülesanne number 4. Mitu negatiivset liiget aritmeetilises progressioonis -38,5; -35,8; …?

Lahendus. Seega $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, millest leiame kohe vahe:

Pange tähele, et erinevus on positiivne, seega progresseerumine suureneb. Esimene liige on negatiivne, nii et ühel hetkel komistame positiivsete arvude otsa. Küsimus on ainult selles, millal see juhtub.

Proovime välja selgitada: kui kaua (st millise naturaalarvuni $n$) säilib terminite negatiivsus:

\[\begin(joona) & ((a)_(n)) \lt 0\Paremnool ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \parem. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Paremnool ((n)_(\max ))=15. \\ \end(joonda)\]

Viimane rida vajab täpsustamist. Seega teame, et $n \lt 15\frac(7)(27)$. Teisest küljest sobivad meile ainult arvu täisarvud (lisaks: $n\in \mathbb(N)$), seega on suurim lubatud arv täpselt $n=15$ ja mitte mingil juhul 16.

Ülesanne number 5. Aritmeetilises progressioonis $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Leidke selle progressiooni esimese positiivse liikme arv.

See oleks täpselt sama probleem, mis eelmine, aga me ei tea $((a)_(1))$. Kuid naaberterminid on teada: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, nii et leiame hõlpsasti progresseerumise erinevuse:

Lisaks proovime standardvalemi abil väljendada viiendat liiget esimese ja erinevuse kaudu:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(joonda)\]

Nüüd jätkame analoogselt eelmise probleemiga. Saame teada, millises punktis meie jada positiivsed numbrid ilmuvad:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Paremnool ((n)_(\min ))=56. \\ \end(joonda)\]

Selle võrratuse minimaalne täisarvlahend on arv 56.

Pange tähele: sisse viimane ülesanne kõik taandus rangele ebavõrdsusele, seega variant $n=55$ meile ei sobi.

Nüüd, kui oleme õppinud lihtsaid probleeme lahendama, liigume edasi keerukamate juurde. Kuid kõigepealt tutvume veel ühe väga kasuliku aritmeetilise progressiooni omadusega, mis säästab meid tulevikus palju aega ja ebavõrdseid lahtreid. :)

Aritmeetiline keskmine ja võrdsed taanded

Vaatleme mitut järjestikust liiget kasvavas aritmeetilises progressioonis $\left(((a)_(n)) \right)$. Proovime need numbrireale märkida:

Aritmeetilise progressiooni liikmed arvteljel

Märkasin konkreetselt suvalised liikmed $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, mitte mingid $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Sest reegel, millest ma nüüd räägin, toimib samamoodi kõikide "segmentide" puhul.

Ja reegel on väga lihtne. Jätame meelde rekursiivse valemi ja kirjutame selle kõigi märgitud liikmete jaoks üles:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(joonda)\]

Neid võrdusi saab aga erinevalt ümber kirjutada:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(joonda)\]

No mis siis? Kuid asjaolu, et terminid $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ asuvad $((a)_(n)) $-st samal kaugusel . Ja see vahemaa on võrdne $d$. Sama võib öelda ka terminite $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ kohta – need eemaldatakse ka $((a)_(n) hulgast )$ sama vahemaa võrra, mis võrdub $2d$. Jätkata võib lõputult, aga pilt illustreerib tähendust hästi

Progressiooni liikmed asuvad keskpunktist samal kaugusel

Mida see meie jaoks tähendab? See tähendab, et saate leida $((a)_(n))$, kui naabernumbrid on teada:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Oleme järeldanud suurepärase väite: aritmeetilise progressiooni iga liige on võrdne naaberliikmete aritmeetilise keskmisega! Pealegi saame oma $((a)_(n))$-st kõrvale kalduda vasakule ja paremale mitte ühe sammu võrra, vaid $k$ sammu võrra — ja ikkagi on valem õige:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Need. leiame lihtsalt mõned $((a)_(150))$, kui teame $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, sest $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Esmapilgul võib tunduda, et see fakt ei anna meile midagi kasulikku. Praktikas on aga paljud ülesanded spetsiaalselt "teritatud" aritmeetilise keskmise kasutamiseks. Vaata:

Ülesanne number 6. Leidke kõik $x$ väärtused nii, et arvud $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ oleksid järjestikused liikmed aritmeetiline progressioon (määratud järjekorras).

Lahendus. Kuna näidatud arvud on progressiooni liikmed, on nende jaoks täidetud aritmeetilise keskmise tingimus: keskne element$x+1$ saab väljendada naaberelementidena:

\[\begin(joonda) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(joonda)\]

Tulemuseks on klassikaline ruutvõrrand. Selle juured: $x=2$ ja $x=-3$ on vastused.

Vastus: -3; 2.

Ülesanne number 7. Leidke $$ väärtused nii, et arvud $-1;4-3;(()^(2))+1$ moodustavad aritmeetilise progressiooni (selles järjekorras).

Lahendus. Jällegi väljendame keskmist terminit naaberterminite aritmeetilise keskmisena:

\[\begin(joona) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(joonda)\]

Veel üks ruutvõrrand. Ja jälle kaks juurt: $x=6$ ja $x=1$.

Vastus: 1; 6.

Kui ülesande lahendamise käigus saate jõhkraid numbreid või te pole leitud vastuste õigsuses täiesti kindel, siis on suurepärane nipp, mis võimaldab teil kontrollida: kas lahendasime probleemi õigesti?

Oletame, et ülesandes 6 saime vastused -3 ja 2. Kuidas kontrollida, kas need vastused on õiged? Ühendame need lihtsalt algsesse seisukorda ja vaatame, mis juhtub. Tuletan meelde, et meil on kolm arvu ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), mis peaksid moodustama aritmeetilise progressiooni. Asendus $x=-3$:

\[\begin(joonda) & x=-3\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(joonda)\]

Saime numbrid -54; −2; 50, mis erinevad 52 võrra, on kahtlemata aritmeetiline progressioon. Sama juhtub $x=2$ puhul:

\[\begin(joona) & x=2\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(joonda)\]

Jällegi progressioon, kuid vahega 27. Seega on ülesanne õigesti lahendatud. Teise ülesandega saavad soovijad ise üle vaadata, aga ütlen kohe: ka seal on kõik õige.

Üldiselt viimaste ülesannete lahendamisel komistasime teise otsa huvitav fakt, mida tuleb ka meeles pidada:

Kui kolm arvu on sellised, et teine ​​on esimese ja viimase keskmine, moodustavad need arvud aritmeetilise progressiooni.

Tulevikus võimaldab selle väite mõistmine sõna otseses mõttes "konstrueerida" probleemi olukorrast lähtuvalt vajalikke arenguid. Kuid enne sellise "ehitusega" tegelemist peaksime tähelepanu pöörama veel ühele asjaolule, mis tuleneb otseselt juba käsitletust.

Elementide rühmitamine ja summa

Läheme uuesti numbrireale tagasi. Märgime seal mitmeid progressi liikmeid, mille vahel võib-olla. väärt palju teisi liikmeid:

6 numbrireale märgitud elementi

Proovime väljendada "vasakpoolset saba" väärtustega $((a)_(n))$ ja $d$ ning "parempoolset saba" väärtustega $((a)_(k))$ ja $ d$. See on väga lihtne:

\[\begin(joona) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(joonda)\]

Pange tähele, et järgmised summad on võrdsed:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(joonda)\]

Lihtsamalt öeldes, kui võtta alguseks kaks progressi elementi, mis kokku on võrdne mingi arvuga $S$ ja seejärel hakkame nendest elementidest vastandsuunas (teise poole või vastupidi, et eemalduda) astuma, siis elementide summad, mille otsa komistame, on samuti võrdsed$S$. Seda saab kõige paremini kujutada graafiliselt:

Samad taanded annavad võrdse summa

Selle fakti mõistmine võimaldab meil lahendada põhimõtteliselt kõrgema keerukusega probleeme kui need, mida eespool käsitlesime. Näiteks need:

Ülesanne number 8. Määrake aritmeetilise progressiooni erinevus, mille esimene liige on 66 ning teise ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on väikseim võimalik.

Lahendus. Paneme kirja kõik, mida teame:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(joonda)\]

Seega me ei tea progresseerumise $d$ erinevust. Tegelikult ehitatakse kogu lahendus selle erinevuse ümber, kuna toote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ saab ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joonda) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(joonda)\]

Neile, kes on paagis: võtsin teisest klambrist välja ühise teguri 11. Seega on soovitud korrutis ruutfunktsioon muutuja $d$ suhtes. Seetõttu kaaluge funktsiooni $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – selle graafik on ülespoole harudega parabool, sest kui avame sulgud, saame:

\[\begin(joona) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(joonda)\]

Nagu näete, on kõrgeima liikmega koefitsient 11 - see on positiivne arv, nii et meil on tõesti tegemist parabooliga, mille harud on ülespoole:

ruutfunktsiooni graafik - parabool

Pange tähele: see parabool võtab minimaalse väärtuse oma tipus abstsissiga $((d)_(0))$. Muidugi saame selle abstsissi arvutada standardskeemi järgi (seal on valem $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), kuid palju mõistlikum oleks Pange tähele, et soovitud tipp asub parabooli telje sümmeetrias, seega on punkt $((d)_(0)) $ võrrandi $f\left(d \right)=0$ juurtest võrdsel kaugusel:

\[\begin(joonda) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(joonda)\]

Seetõttu ei kiirustanud ma sulgude avamisega: algsel kujul oli juuri väga-väga lihtne leida. Seetõttu on abstsiss võrdne arvude −66 ja −6 aritmeetilise keskmisega:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2) = -36\]

Mis annab meile avastatud numbri? Sellega võtab nõutav toode väikseima väärtuse (muide, me ei arvutanud $((y)_(\min ))$ - seda meilt ei nõuta). Ühtlasi on see arv esialgse progressiooni vahe, s.o. leidsime vastuse. :)

Vastus: -36

Ülesanne number 9. Sisesta kolm arvu numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ vahele nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise progressiooni.

Lahendus. Tegelikult peame tegema viiest numbrist koosneva jada, mille esimene ja viimane number on juba teada. Tähistage puuduvad numbrid muutujatega $x$, $y$ ja $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Pange tähele, et arv $y$ on meie jada "keskmine" – see on võrdsel kaugusel numbritest $x$ ja $z$ ning numbritest $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac (1) (6) $. Ja kui numbritest $x$ ja $z$ oleme sees Sel hetkel me ei saa $y$, siis on olukord progressiooni otstega erinev. Pidage meeles aritmeetiline keskmine:

Nüüd, teades $y$, leiame ülejäänud arvud. Pange tähele, et $x$ asub äsja leitud $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ vahel. Sellepärast

Sarnaselt arutledes leiame ülejäänud arvu:

Valmis! Leidsime kõik kolm numbrit. Kirjutame need vastusesse üles selles järjekorras, millises järjekorras need originaalnumbrite vahele tuleks panna.

Vastus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Ülesanne number 10. Sisestage arvude 2 ja 42 vahele mitu arvu, mis koos antud arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni, kui on teada, et sisestatud esimese, teise ja viimase arvu summa on 56.

Lahendus. Isegi rohkem raske ülesanne, mis aga on lahendatud samamoodi nagu eelnevad - läbi aritmeetilise keskmise. Probleem on selles, et me ei tea täpselt, mitu numbrit sisestada. Seetõttu eeldame täpsuse huvides, et pärast sisestamist on täpselt $n$ numbrid, millest esimene on 2 ja viimane on 42. Sel juhul saab soovitud aritmeetilist progressiooni esitada järgmiselt:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \parem\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Pane aga tähele, et numbrid $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadakse numbritest 2 ja 42, mis seisavad servades ühe sammu võrra üksteise poole. , st. jada keskele. Ja see tähendab seda

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Kuid siis saab ülaltoodud avaldise ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(joonda)\]

Teades $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, leiame lihtsalt progresseerumise erinevuse:

\[\begin(joona) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Paremnool d=5. \\ \end(joonda)\]

Jääb vaid leida ülejäänud liikmed:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(joonda)\]

Seega juba 9. sammul jõuame jada vasakpoolsesse otsa - arv 42. Kokku tuli sisestada vaid 7 numbrit: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Vastus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstiülesanded edenemisega

Kokkuvõtteks tahaksin käsitleda paari suhteliselt lihtsat probleemi. Noh, nagu lihtsad: enamikule õpilastele, kes õpivad koolis matemaatikat ja pole ülalkirjutatut lugenud, võivad need ülesanded tunduda žestina. Sellegipoolest kohtavad OGE-s ja matemaatikas USE-s just sellised ülesanded, seega soovitan teil nendega tutvuda.

Ülesanne number 11. Meeskond tootis jaanuaris 62 osa ja igal järgneval kuul 14 osa rohkem kui eelmisel. Mitu osa brigaad novembris tootis?

Lahendus. Ilmselgelt on osade arv, mis on maalitud kuude kaupa, aina suurem aritmeetiline progressioon. Ja:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(joonda)\]

November on aasta 11. kuu, seega peame leidma $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Seega valmib novembris 202 detaili.

Ülesanne number 12. Köitmistöökoda köitis jaanuaris 216 raamatut ja iga kuu köideti 4 raamatut rohkem kui eelmisel kuul. Mitu raamatut töötuba detsembris köitis?

Lahendus. Kõik on sama:

$\begin(joona) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(joonda)$

Detsember on aasta viimane, 12. kuu, seega otsime $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

See on vastus – detsembris köidetakse 260 raamatut.

Noh, kui olete siiani lugenud, kiirustan teid õnnitlema: olete edukalt läbinud aritmeetilise progressiooni “noorvõitleja kursuse”. Võime julgelt edasi liikuda järgmise õppetüki juurde, kus uurime progresseerumise summa valemit ning selle olulisi ja väga kasulikke tagajärgi.