Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (jada liikmed)

Milles iga järgnev liige erineb eelmisest terastermini võrra, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.

Seega, määrates progressiooni sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida selle mis tahes elemendi

Aritmeetilise progressiooni omadused

1) Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest numbrist, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine

Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel asuva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Selle väite kohaselt on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.

Ka aritmeetilise progressiooni omaduse järgi saab ülaltoodud valemi üldistada järgmiseks

Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutame terminid võrdusmärgist paremale

Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.

2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemiga

Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, see on arvutustes asendamatu ja lihtsates elusituatsioonides üsna tavaline.

3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast, mis algab selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem

4) Praktilist huvi pakub k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa leidmine. Selleks kasutage valemit

Siin lõpeb teoreetiline materjal ja liigume edasi praktikas levinud probleemide lahendamise juurde.

Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...

Lahendus:

Vastavalt seisukorrale on meil

Määratlege edenemise samm

Tuntud valemi järgi leiame progressiooni neljakümnenda liikme

Näide2. Aritmeetilise progressiooni annavad selle kolmas ja seitsmes liige. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Lahendus:

Kirjutame etteantud progressiooni elemendid valemite järgi

Me lahutame esimese võrrandi teisest võrrandist, mille tulemusena leiame progresseerumisastme

Leitud väärtus asendatakse aritmeetilise progressiooni esimese liikme leidmiseks mis tahes võrrandiga

Arvutage progressiooni esimese kümne liikme summa

Keerulisi arvutusi rakendamata leidsime kõik vajalikud väärtused.

Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.

Lahendus:

Kirjutame progressiooni sajanda elemendi valemi

ja leia esimene

Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme

Progressiooni osa summa leidmine

ja esimese 100 summa

Progressi summa on 250.

Näide 4

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lahendus:

Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning defineerime need

Asendame saadud väärtused summa valemis, et määrata summas olevate liikmete arv

Lihtsustuste tegemine

ja lahendage ruutvõrrand

Kahest leitud väärtusest sobib probleemi olukorra jaoks ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.

Näide 5

lahendage võrrand

1+3+5+...+x=307.

Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse

Enne kui hakkame otsustama aritmeetilise progressiooni ülesanded, mõelge, mis on arvujada, kuna aritmeetiline progressioon on arvujada erijuht.

Numbrijada on numbrite hulk, mille igal elemendil on oma seerianumber. Selle hulga elemente nimetatakse jada liikmeteks. Jada elemendi järjekorranumbrit näitab indeks:

Jada esimene element;

Jada viies element;

- jada "n-s" element, st. element "seisab järjekorras" numbril n.

Jadaelemendi väärtuse ja selle järgarvu vahel on sõltuvus. Seetõttu võime jada pidada funktsiooniks, mille argumendiks on jada elemendi järgarv. Teisisõnu võib nii öelda jada on loomuliku argumendi funktsioon:

Järjestust saab määrata kolmel viisil:

1 . Järjekorda saab määrata tabeli abil. Sel juhul määrame lihtsalt jada iga liikme väärtuse.

Näiteks otsustas Keegi võtta isikliku ajahalduse ja alustuseks lugeda nädala jooksul kokku, kui palju aega ta VKontakte'is veedab. Kirjutades aja tabelisse, saab ta seitsmest elemendist koosneva jada:

Tabeli esimene rida sisaldab nädalapäeva numbrit, teine ​​- kellaaeg minutites. Näeme, et st esmaspäeval veetis keegi VKontakte'is 125 minutit, see tähendab neljapäeval - 248 minutit ja see tähendab reedel ainult 15.

2 . Jada saab määrata n-nda liikme valemi abil.

Sel juhul väljendatakse jadaelemendi väärtuse sõltuvust selle arvust otse valemina.

Näiteks kui , siis

Antud arvuga jadaelemendi väärtuse leidmiseks asendame elemendi numbri n-nda liikme valemis.

Teeme sama, kui peame leidma funktsiooni väärtuse, kui argumendi väärtus on teada. Selle asemel asendame argumendi väärtuse funktsiooni võrrandis:

Kui näiteks , siis

Veel kord märgin, et jadas, erinevalt suvalisest numbrilisest funktsioonist, saab argumendiks olla ainult naturaalarv.

3 . Jada saab täpsustada valemiga, mis väljendab jada numbriga n liikme väärtuse sõltuvust eelmiste liikmete väärtusest. Sel juhul ei piisa, kui me teame ainult jadaliikme arvu, et leida selle väärtus. Peame määrama jada esimese liikme või paar esimest liiget.

Mõelge näiteks järjestusele ,

Leiame jada liikmete väärtused järjest, alustades kolmandast:

See tähendab, et jada n-nda liikme väärtuse leidmiseks pöördume iga kord tagasi kahe eelmise juurde. Sellist järjestamisviisi nimetatakse korduv, ladinakeelsest sõnast recurro- tule tagasi.

Nüüd saame määratleda aritmeetilise progressiooni. Aritmeetiline progressioon on arvulise jada lihtne erijuht.

Aritmeetiline progressioon nimetatakse arvuliseks jadaks, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, mis on liidetud sama numbriga.

Numbrile helistatakse aritmeetilise progressiooni erinevus. Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla positiivne, negatiivne või null.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} suureneb.

Näiteks 2; 5; kaheksa; üksteist;...

Kui , siis on aritmeetilise progressiooni iga liige väiksem kui eelmine ja progressioon on kahanev.

Näiteks 2; -üks; - neli; -7;...

Kui , siis kõik progressiooni liikmed on võrdsed ja progressioon on paigal.

Näiteks 2;2;2;2;...

Aritmeetilise progressiooni peamine omadus:

Vaatame pilti.

Me näeme seda

, ja samal ajal

Lisades need kaks võrdsust, saame:

.

Jagage võrrandi mõlemad pooled 2-ga:

Seega on iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdne kahe naaberliikme aritmeetilise keskmisega:

Pealegi, kuna

, ja samal ajal

, siis

, ja seega

Iga aritmeetilise progressiooni liige, mis algab tähega title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

liikme valem.

Näeme, et aritmeetilise progressiooni liikmete puhul kehtivad järgmised seosed:

ja lõpuks

Saime n-nda liikme valem.

TÄHTIS! Iga aritmeetilise progressiooni liiget saab väljendada ja . Teades aritmeetilise progressiooni esimest liiget ja erinevust, leiate selle kõik liikmed.

Aritmeetilise progressiooni n liikme summa.

Suvalises aritmeetilises progressioonis on äärmuslikest võrdsete vahedega liikmete summad üksteisega võrdsed:

Vaatleme n liikmega aritmeetilist progressiooni. Olgu selle progressiooni n liikme summa võrdne .

Järjesta edenemise tingimused esmalt numbrite kasvavas järjekorras ja seejärel kahanevas järjekorras:

Paarime selle kokku:

Summa igas sulus on , paaride arv on n.

Saame:

Niisiis, aritmeetilise progressiooni n liikme summa saab leida valemite abil:

Kaaluge aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine.

1 . Jada on antud n-nda liikme valemiga: . Tõesta, et see jada on aritmeetiline progressioon.

Tõestame, et jada kahe kõrvuti asetseva liikme vahe on võrdne sama arvuga.

Oleme saanud, et jada kahe kõrvuti asetseva liikme erinevus ei sõltu nende arvust ja on konstant. Seetõttu on see jada definitsiooni järgi aritmeetiline progressioon.

2 . Antud aritmeetiline progressioon -31; -27;...

a) Leidke progressiooni 31 liiget.

b) Tehke kindlaks, kas arv 41 sisaldub selles progressioonis.

a) Me näeme seda;

Paneme kirja oma progressiooni n-nda liikme valemi.

Üldiselt

Meie puhul , sellepärast

Kui iga naturaalarv n vaste reaalarvuga a n , siis nad ütlevad, et antud numbrijada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbriline jada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine ​​liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas jada n-s liige ja naturaalarv n — tema number .

Kahelt naaberliikmelt a n ja a n +1 liikmete järjestused a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), a a n — eelmine ( suunas a n +1 ).

Jada määramiseks tuleb määrata meetod, mis võimaldab leida suvalise numbriga jadaliikme.

Sageli on järjestus antud koos n-nda termini valemid , st valem, mis võimaldab määrata jadaliikme numbri järgi.

Näiteks,

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a n= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks,

kui a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis seatakse arvjada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks,

kahekohaliste naturaalarvude jada:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algnumbrite jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse kahanev , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on tõusev jada;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on kahanev jada. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu suurenedes ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on suvalise naturaalarvu aritmeetiline progressioon n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

kus d - mingi number.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgmise ja eelmise liikme vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse määramisest.

Näiteks,

kui a 1 = 3, d = 4 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks,

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-1 + a n+1
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.

Näiteks,

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Järelikult

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks,

jaoks a 5 saab kirjutada

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-k + a n+k
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

esiteks n aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne poolte äärmiste liikmete summa ja liikmete arvu korrutisega:

Eelkõige sellest järeldub, et kui on vaja tingimusi kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused a 1 , a n, d, n jaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe tundmatuga kahe võrrandi süsteemiks kombineeritud kahe teise suuruse vastavad väärtused.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:

• kui d > 0 , siis see suureneb;
• kui d < 0 , siis see väheneb;
• kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

geomeetriline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

kus q ≠ 0 - mingi number.

Seega on selle geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja määramisest.

Näiteks,

kui b 1 = 1, q = -3 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n -nda termini saab leida valemiga:

b n = b 1 · q n -1 .

Näiteks,

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmise (proportsionaalsega).

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, st üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

Näiteks,

tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Järelikult

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab nõutavat väidet. ◄

Pange tähele, et n geomeetrilise progressiooni liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka mis tahes eelmist terminit b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · q n - k.

Näiteks,

jaoks b 5 saab kirjutada

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel olevate liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks,

eksponentsiaalselt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks n nimetajaga geomeetrilise progressiooni liikmed q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= n.b. 1

Pange tähele, et kui meil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Näiteks,

eksponentsiaalselt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nende kolme suuruse väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis on kombineeritud kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Kui a q< 0 , siis on geomeetriline progressioon märgi vahelduv: selle paaritutel liikmetel on sama märk kui esimesel liikmel ja paarisnumbritel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode n geomeetrilise progressiooni termineid saab arvutada järgmise valemiga:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem kui 1 , see on

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhtumiga

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada märk-vahelduv. Näiteks,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta number, millele esimese summa n progresseerumise tingimustes koos arvu piiramatu suurenemisega n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Näiteks,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatleme ainult kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , siis

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks,

1, 3, 5, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon q , siis

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks,

2, 12, 72, . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Jah, jah: aritmeetiline progressioon pole sinu jaoks mänguasi :)

Noh, sõbrad, kui te seda teksti loete, siis sisemine korgitõend ütleb mulle, et te ei tea ikka veel, mis on aritmeetiline progressioon, kuid te tõesti (ei, nii: NIIAA!) tahate teada. Seetõttu ei piina ma teid pikkade tutvustustega ja asun kohe asja kallale.

Alustuseks paar näidet. Mõelge mitmele numbrikomplektile:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mis on kõigil neil komplektidel ühist? Esmapilgul ei midagi. Aga tegelikult on midagi. Nimelt: iga järgmine element erineb eelmisest sama numbri võrra.

Otsustage ise. Esimene komplekt on lihtsalt järjestikused numbrid, millest igaüks on rohkem kui eelmine. Teisel juhul on kõrvutiasuvate arvude vahe juba võrdne viiega, kuid see erinevus on siiski konstantne. Kolmandal juhul on juured üldiselt olemas. Samas $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, samas kui $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, st. sel juhul suureneb iga järgmine element lihtsalt $\sqrt(2)$ võrra (ja ärge kartke, et see arv on irratsionaalne).

Niisiis: kõiki selliseid jadasid nimetatakse lihtsalt aritmeetiliseks progressiooniks. Anname range määratluse:

Definitsioon. Arvujada, milles iga järgmine erineb eelmisest täpselt sama palju, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks. Seda summat, mille võrra numbrid erinevad, nimetatakse progresseerumise erinevuseks ja seda tähistatakse enamasti tähega $d$.

Märkus: $\left(((a)_(n)) \right)$ on progressioon ise, $d$ on selle erinevus.

Ja vaid paar olulist märkust. Esiteks võetakse arvesse ainult progresseerumist korrastatud numbrite jada: neid on lubatud lugeda rangelt nende kirjutamise järjekorras - ja mitte midagi muud. Te ei saa numbreid ümber korraldada ega vahetada.

Teiseks võib jada ise olla kas lõplik või lõpmatu. Näiteks hulk (1; 2; 3) on ilmselgelt lõplik aritmeetiline progressioon. Aga kui kirjutate midagi sellist, nagu (1; 2; 3; 4; ...) - see on juba lõpmatu edasiminek. Ellips pärast nelja justkui vihjab, et päris paljud numbrid lähevad kaugemale. Lõpmatult palju näiteks. :)

Samuti tahaksin märkida, et progresseerumine suureneb ja väheneb. Oleme juba näinud kasvavaid - sama komplekt (1; 2; 3; 4; ...). Siin on näited progresseerumise vähenemisest:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Olgu, okei: viimane näide võib tunduda liiga keeruline. Aga ülejäänud, ma arvan, saate aru. Seetõttu tutvustame uusi määratlusi:

Definitsioon. Aritmeetilist progressiooni nimetatakse:

1. suureneb, kui iga järgmine element on eelmisest suurem;
2. väheneb, kui vastupidi, iga järgnev element on väiksem kui eelmine.

Lisaks on olemas nn "statsionaarsed" jadad – need koosnevad samast korduvast numbrist. Näiteks (3; 3; 3; ...).

Jääb vaid üks küsimus: kuidas eristada kasvavat progresseerumist kahanevast? Õnneks sõltub siin kõik ainult numbri $d$ märgist, st. progresseerumise erinevused:

1. Kui $d \gt 0$, siis progresseerumine kasvab;
2. Kui $d \lt 0$, siis progresseerumine on ilmselgelt vähenemas;
3. Lõpuks on juhtum $d=0$ — sel juhul taandatakse kogu progressioon identsete arvude statsionaarseks jadaks: (1; 1; 1; 1; ...) jne.

Proovime arvutada erinevuse $d$ kolme ülaltoodud kahaneva progresseerumise jaoks. Selleks piisab, kui võtta kaks kõrvuti asetsevat elementi (näiteks esimene ja teine) ning lahutada parempoolsest numbrist vasakpoolne arv. See näeb välja selline:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Nagu näete, osutus erinevus kõigil kolmel juhul tõesti negatiivseks. Ja nüüd, kui oleme määratlused enam-vähem selgeks saanud, on aeg välja mõelda, kuidas progresseerumist kirjeldatakse ja millised omadused neil on.

Progressiooni ja korduva valemi liikmed

Kuna meie jadade elemente ei saa omavahel vahetada, saab neid nummerdada:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \õige\)\]

Selle komplekti üksikuid elemente nimetatakse progressiooni liikmeteks. Neid tähistatakse sel viisil numbri abil: esimene liige, teine ​​liige jne.

Lisaks, nagu me juba teame, on progressi naaberliikmed seotud valemiga:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Paremnool ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Lühidalt, progresseerumise $n$-nda liikme leidmiseks peate teadma $n-1$-ndat liiget ja erinevust $d$. Sellist valemit nimetatakse korduvaks, kuna selle abil saate leida suvalise arvu, teades ainult eelmist (ja tegelikult ka kõiki eelmisi). See on väga ebamugav, seetõttu on olemas keerulisem valem, mis taandab kõik arvutused esimesele liikmele ja erinevusele:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tõenäoliselt olete selle valemiga varem kokku puutunud. Neile meeldib seda anda kõikvõimalikes teatmeteostes ja reshebnikutes. Ja igas mõistlikus matemaatikaõpikus on see üks esimesi.

Siiski soovitan teil veidi harjutada.

Ülesanne number 1. Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni $\left(((a)_(n)) \right)$ kolm esimest liiget, kui $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lahendus. Seega teame esimest liiget $((a)_(1))=8$ ja progresseerumise erinevust $d=-5$. Kasutame just antud valemit ja asendame $n=1$, $n=2$ ja $n=3$:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\vasak(1-1 \parem)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vasak(2-1 \parem)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(joonda)\]

Vastus: (8; 3; -2)

See on kõik! Pange tähele, et meie areng väheneb.

Muidugi ei saanud $n=1$ asendada – esimest terminit me juba teame. Kuid ühikut asendades veendusime, et meie valem töötab isegi esimesel ametiajal. Muudel juhtudel taandus kõik banaalsele aritmeetikale.

Ülesanne number 2. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget, kui selle seitsmes liige on −40 ja seitsmeteistkümnes liige on −50.

Lahendus. Kirjutame probleemi seisukorra tavapärastes mõistetes:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(joonda) \paremale.\]

\[\left\( \begin(joona) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(joonda) \õige.\]

Panin süsteemi märgi, sest need nõuded peavad olema täidetud üheaegselt. Ja nüüd märgime, et kui lahutame esimese võrrandi teisest võrrandist (meil on õigus seda teha, kuna meil on süsteem), saame järgmise:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(joonda)\]

Just nii leidsime edenemise erinevuse! Jääb leida leitud arv süsteemi mis tahes võrrandis asendada. Näiteks esimeses:

\[\begin(maatriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(maatriks)\]

Nüüd, teades esimest terminit ja erinevust, jääb üle leida teine ​​ja kolmas termin:

\[\begin(joona) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(joonda)\]

Valmis! Probleem lahendatud.

Vastus: (-34; -35; -36)

Pöörake tähelepanu meie avastatud progressiooni kummalisele omadusele: kui võtame $n$-nda ja $m$-nda liikme ning lahutame need üksteisest, siis saame progressiooni erinevuse korrutatuna arvuga $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Lihtne aga väga kasulik vara, mida pead kindlasti teadma – selle abiga saad oluliselt kiirendada paljude progressi käigus tekkivate probleemide lahendamist. Siin on selle suurepärane näide:

Ülesanne number 3. Aritmeetilise progressiooni viies liige on 8,4 ja kümnes liige on 14,4. Leidke selle progressiooni viieteistkümnes liige.

Lahendus. Kuna $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ja me peame leidma $((a)_(15))$, siis paneme tähele järgmist:

\[\begin(joonda) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(joonda)\]

Kuid tingimusel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, seega $5d=6$, kust saame:

\[\begin(joona) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(joonda)\]

Vastus: 20.4

See on kõik! Meil ei olnud vaja koostada võrrandisüsteeme ja arvutada esimest liiget ja erinevust – kõik otsustati vaid paari reaga.

Vaatleme nüüd teist tüüpi probleemi – progresseerumise negatiivsete ja positiivsete liikmete otsimist. Pole saladus, et kui progresseerumine suureneb, kui selle esimene liige on negatiivne, siis varem või hiljem ilmuvad sellesse positiivsed terminid. Ja vastupidi: kahaneva progresseerumise tingimused muutuvad varem või hiljem negatiivseks.

Samal ajal pole kaugeltki alati võimalik seda hetke "otsmikul" leida, elemente järjestikku sorteerides. Tihti on ülesanded kujundatud nii, et valemeid teadmata kuluks arvutustele mitu lehte – jääksime lihtsalt magama, kuni vastuse leidsime. Seetõttu püüame need probleemid kiiremini lahendada.

Ülesanne number 4. Mitu negatiivset liiget aritmeetilises progressioonis -38,5; -35,8; …?

Lahendus. Seega $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, millest leiame kohe vahe:

Pange tähele, et erinevus on positiivne, seega progresseerumine suureneb. Esimene liige on negatiivne, nii et ühel hetkel komistame positiivsete arvude otsa. Küsimus on ainult selles, millal see juhtub.

Proovime välja selgitada: kui kaua (st millise naturaalarvuni $n$) säilib terminite negatiivsus:

\[\begin(joona) & ((a)_(n)) \lt 0\Paremnool ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \parem. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Paremnool ((n)_(\max ))=15. \\ \end(joonda)\]

Viimane rida vajab täpsustamist. Seega teame, et $n \lt 15\frac(7)(27)$. Teisest küljest sobivad meile ainult arvu täisarvud (lisaks: $n\in \mathbb(N)$), seega on suurim lubatud arv täpselt $n=15$ ja mitte mingil juhul 16.

Ülesanne number 5. Aritmeetilises progressioonis $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Leidke selle progressiooni esimese positiivse liikme arv.

See oleks täpselt sama probleem, mis eelmine, aga me ei tea $((a)_(1))$. Kuid naaberterminid on teada: $((a)_(5))$ ja $((a)_(6))$, nii et leiame hõlpsalt progresseerumise erinevuse:

Lisaks proovime standardvalemi abil väljendada viiendat liiget esimese ja erinevuse kaudu:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(joonda)\]

Nüüd jätkame analoogselt eelmise probleemiga. Saame teada, millises punktis meie jada positiivsed numbrid ilmuvad:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Paremnool ((n)_(\min ))=56. \\ \end(joonda)\]

Selle võrratuse minimaalne täisarvlahend on arv 56.

Pange tähele: sisse viimane ülesanne kõik taandus rangele ebavõrdsusele, seega variant $n=55$ meile ei sobi.

Nüüd, kui oleme õppinud lihtsaid probleeme lahendama, liigume edasi keerukamate juurde. Kuid kõigepealt tutvume veel ühe väga kasuliku aritmeetilise progressiooni omadusega, mis säästab meid tulevikus palju aega ja ebavõrdseid lahtreid. :)

Aritmeetiline keskmine ja võrdsed taanded

Vaatleme mitut järjestikust liiget kasvavas aritmeetilises progressioonis $\left(((a)_(n)) \right)$. Proovime need numbrireale märkida:

Aritmeetilise progressiooni liikmed arvteljel

Märkasin konkreetselt suvalised liikmed $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, mitte mingid $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ jne. Sest reegel, millest ma nüüd räägin, toimib samamoodi kõikide "segmentide" puhul.

Ja reegel on väga lihtne. Jätame meelde rekursiivse valemi ja kirjutame selle kõigi märgitud liikmete jaoks üles:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(joonda)\]

Neid võrdusi saab aga erinevalt ümber kirjutada:

\[\begin(joona) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(joonda)\]

No mis siis? Kuid asjaolu, et terminid $((a)_(n-1))$ ja $((a)_(n+1))$ asuvad $((a)_(n)) $-st samal kaugusel . Ja see vahemaa on võrdne $d$. Sama võib öelda ka terminite $((a)_(n-2))$ ja $((a)_(n+2))$ kohta - need on samuti eemaldatud $((a)_(n) )$ sama vahemaa võrra, mis võrdub $2d$. Jätkata võib lõputult, aga pilt illustreerib tähendust hästi

Progressiooni liikmed asuvad keskpunktist samal kaugusel

Mida see meie jaoks tähendab? See tähendab, et kui naabernumbrid on teada, leiate $((a)_(n))$:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Oleme järeldanud suurepärase väite: aritmeetilise progressiooni iga liige on võrdne naaberliikmete aritmeetilise keskmisega! Pealegi saame oma $((a)_(n))$-st kõrvale kalduda vasakule ja paremale mitte ühe sammu võrra, vaid $k$ sammu võrra — ja ikkagi on valem õige:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Need. me leiame lihtsalt mõned $((a)_(150))$, kui teame $((a)_(100))$ ja $((a)_(200))$, sest $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Esmapilgul võib tunduda, et see fakt ei anna meile midagi kasulikku. Praktikas on aga paljud ülesanded spetsiaalselt "teritatud" aritmeetilise keskmise kasutamiseks. Vaata:

Ülesanne number 6. Leidke kõik $x$ väärtused nii, et arvud $-6((x)^(2))$, $x+1$ ja $14+4((x)^(2))$ oleksid järjestikused liikmed aritmeetiline progressioon (määratud järjekorras).

Lahendus. Kuna näidatud arvud on progressiooni liikmed, on nende jaoks täidetud aritmeetilise keskmise tingimus: keskne element$x+1$ saab väljendada naaberelementidena:

\[\begin(joonda) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(joonda)\]

Tulemuseks on klassikaline ruutvõrrand. Selle juured: $x=2$ ja $x=-3$ on vastused.

Vastus: -3; 2.

Ülesanne number 7. Leidke $$ väärtused nii, et arvud $-1;4-3;(()^(2))+1$ moodustavad aritmeetilise progressiooni (selles järjekorras).

Lahendus. Jällegi väljendame keskmist terminit naaberterminite aritmeetilise keskmisena:

\[\begin(joonda) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(joonda)\]

Veel üks ruutvõrrand. Ja jälle kaks juurt: $x=6$ ja $x=1$.

Vastus: 1; 6.

Kui ülesande lahendamise käigus saate jõhkraid numbreid või te pole leitud vastuste õigsuses täiesti kindel, siis on suurepärane nipp, mis võimaldab teil kontrollida: kas lahendasime probleemi õigesti?

Oletame, et ülesandes 6 saime vastused -3 ja 2. Kuidas kontrollida, kas need vastused on õiged? Ühendame need lihtsalt algsesse seisukorda ja vaatame, mis juhtub. Tuletan meelde, et meil on kolm arvu ($-6(()^(2))$, $+1$ ja $14+4(()^(2))$), mis peaksid moodustama aritmeetilise progressiooni. Asendus $x=-3$:

\[\begin(joonda) & x=-3\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(joonda)\]

Saime numbrid -54; −2; 50, mis erinevad 52 võrra, on kahtlemata aritmeetiline progressioon. Sama juhtub $x=2$ puhul:

\[\begin(joonda) & x=2\Paremnool \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(joonda)\]

Jällegi progressioon, kuid vahega 27. Seega on ülesanne õigesti lahendatud. Teise ülesandega saavad soovijad ise üle vaadata, aga ütlen kohe: ka seal on kõik õige.

Üldiselt viimaste ülesannete lahendamisel komistasime teise otsa huvitav fakt, mida tuleb ka meeles pidada:

Kui kolm arvu on sellised, et teine ​​on keskmine kõigepealt aritmeetika ja viimane, need arvud moodustavad aritmeetilise progressiooni.

Tulevikus võimaldab selle väite mõistmine meil sõna otseses mõttes "konstrueerida" vajalikud progressid, mis põhinevad probleemi seisundil. Kuid enne sellise "ehitusega" tegelemist peaksime pöörama tähelepanu veel ühele asjaolule, mis tuleneb otseselt juba käsitletust.

Elementide rühmitamine ja summa

Läheme uuesti numbrireale tagasi. Märgime seal mitmeid progressi liikmeid, mille vahel võib-olla. väärt palju teisi liikmeid:

6 numbrireale märgitud elementi

Proovime väljendada "vasakpoolset saba" väärtustega $((a)_(n))$ ja $d$ ning "parempoolset saba" sõnadega $((a)_(k))$ ja $ d$. See on väga lihtne:

\[\begin(joona) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(joonda)\]

Pange tähele, et järgmised summad on võrdsed:

\[\begin(joona) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(joonda)\]

Lihtsamalt öeldes, kui võtta alguseks kaks progressi elementi, mis kokku on võrdne mingi arvuga $S$ ja siis hakkame nendest elementidest vastandsuunas (teise poole või vastupidi, et eemalduda) astuma, siis elementide summad, mille otsa komistame, on samuti võrdsed$S$. Seda saab kõige paremini kujutada graafiliselt:

Samad taanded annavad võrdse summa

Selle fakti mõistmine võimaldab meil lahendada põhimõtteliselt kõrgema keerukusega probleeme kui need, mida eespool käsitlesime. Näiteks need:

Ülesanne number 8. Määrake aritmeetilise progressiooni erinevus, mille esimene liige on 66 ning teise ja kaheteistkümnenda liikme korrutis on väikseim võimalik.

Lahendus. Paneme kirja kõik, mida teame:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(joonda)\]

Seega me ei tea progresseerumise erinevust $d$. Tegelikult ehitatakse kogu lahendus selle erinevuse ümber, kuna toote $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ saab ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(joonda)\]

Neile, kes on paagis: võtsin teisest klambrist välja ühise teguri 11. Seega on soovitud korrutis ruutfunktsioon muutuja $d$ suhtes. Seetõttu kaaluge funktsiooni $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – selle graafik on ülespoole harudega parabool, sest kui avame sulgud, saame:

\[\begin(joona) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(joonda)\]

Nagu näete, on kõrgeima liikmega koefitsient 11 - see on positiivne arv, nii et meil on tõesti tegemist parabooliga, mille harud on ülespoole:

ruutfunktsiooni graafik - parabool

Pange tähele: see parabool võtab minimaalse väärtuse oma tipus abstsissiga $((d)_(0))$. Muidugi saame selle abstsissi arvutada standardskeemi järgi (seal on valem $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), kuid palju mõistlikum oleks Pange tähele, et soovitud tipp asub parabooli telje sümmeetrial, seega on punkt $((d)_(0)) $ võrrandi $f\left(d \right)=0$ juurtest võrdsel kaugusel:

\[\begin(joonda) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(joonda)\]

Seetõttu ei kiirustanud ma sulgude avamisega: algsel kujul oli juuri väga-väga lihtne leida. Seetõttu on abstsiss võrdne arvude −66 ja −6 aritmeetilise keskmisega:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2) = -36\]

Mis annab meile avastatud numbri? Sellega võtab nõutav toode väikseima väärtuse (muide, me ei arvutanud $((y)_(\min ))$ - seda meilt ei nõuta). Ühtlasi on see arv esialgse progressiooni vahe, s.o. leidsime vastuse. :)

Vastus: -36

Ülesanne number 9. Sisesta kolm arvu numbrite $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac(1)(6)$ vahele nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise progressiooni.

Lahendus. Tegelikult peame tegema viiest numbrist koosneva jada, mille esimene ja viimane number on juba teada. Tähistage puuduvad numbrid muutujatega $x$, $y$ ja $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Pange tähele, et arv $y$ on meie jada "keskmine" – see on võrdsel kaugusel numbritest $x$ ja $z$ ning numbritest $-\frac(1)(2)$ ja $-\frac (1) (6) $. Ja kui numbritest $x$ ja $z$ oleme sees Sel hetkel me ei saa $y$, siis on olukord progressiooni otstega erinev. Pidage meeles aritmeetiline keskmine:

Nüüd, teades $y$, leiame ülejäänud arvud. Pange tähele, et $x$ asub äsja leitud $-\frac(1)(2)$ ja $y=-\frac(1)(3)$ vahel. Sellepärast

Sarnaselt arutledes leiame ülejäänud arvu:

Valmis! Leidsime kõik kolm numbrit. Kirjutame need vastusesse üles selles järjekorras, millises järjekorras need algnumbrite vahele panna.

Vastus: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Ülesanne number 10. Sisestage arvude 2 ja 42 vahele mitu arvu, mis koos antud arvudega moodustavad aritmeetilise progressiooni, kui on teada, et sisestatud esimese, teise ja viimase arvu summa on 56.

Lahendus. Veelgi raskem ülesanne, mis aga lahendatakse samamoodi nagu eelnevad - läbi aritmeetilise keskmise. Probleem on selles, et me ei tea täpselt, mitu numbrit sisestada. Seetõttu eeldame täpsuse huvides, et pärast sisestamist on täpselt $n$ arvud, millest esimene on 2 ja viimane on 42. Sel juhul võib soovitud aritmeetilise progressiooni esitada järgmiselt:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \parem\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1)) = 56\]

Pane aga tähele, et numbrid $((a)_(2))$ ja $((a)_(n-1))$ saadakse numbritest 2 ja 42, mis seisavad servades ühe sammu võrra üksteise poole. , st. jada keskele. Ja see tähendab seda

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Kuid siis saab ülaltoodud avaldise ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(joonda)\]

Teades $((a)_(3))$ ja $((a)_(1))$, leiame lihtsalt progresseerumise erinevuse:

\[\begin(joona) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Paremnool d=5. \\ \end(joonda)\]

Jääb vaid leida ülejäänud liikmed:

\[\begin(joonda) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(joonda)\]

Seega juba 9. sammul jõuame jada vasakpoolsesse otsa - numbrisse 42. Kokku tuli sisestada vaid 7 numbrit: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Vastus: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstiülesanded edenemisega

Kokkuvõtteks tahaksin käsitleda paari suhteliselt lihtsat probleemi. Noh, nagu lihtsad: enamikule õpilastele, kes õpivad koolis matemaatikat ja pole ülalkirjutatut lugenud, võivad need ülesanded tunduda žestina. Sellegipoolest kohtavad OGE-s ja matemaatikas USE-s just sellised ülesanded, seega soovitan teil nendega tutvuda.

Ülesanne number 11. Meeskond tootis jaanuaris 62 osa ja igal järgneval kuul 14 osa rohkem kui eelmisel. Mitu osa brigaad novembris tootis?

Lahendus. Ilmselgelt on osade arv, mis on maalitud kuude kaupa, aina suurem aritmeetiline progressioon. Ja:

\[\begin(joona) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(joonda)\]

November on aasta 11. kuu, seega peame leidma $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Seega valmib novembris 202 detaili.

Ülesanne number 12. Köitmistöökoda köitis jaanuaris 216 raamatut ja iga kuu köideti 4 raamatut rohkem kui eelmisel kuul. Mitu raamatut töötuba detsembris köitis?

Lahendus. Kõik on sama:

$\begin(joona) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(joonda)$

Detsember on aasta viimane, 12. kuu, seega otsime $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

See on vastus – detsembris köidetakse 260 raamatut.

Noh, kui olete siiani lugenud, kiirustan teid õnnitlema: olete edukalt läbinud aritmeetilise progressiooni “noorvõitleja kursuse”. Võime julgelt edasi liikuda järgmise õppetüki juurde, kus uurime edasimineku summa valemit ning selle olulisi ja väga kasulikke tagajärgi.

Või aritmeetika - see on järjestatud arvjada tüüp, mille omadusi uuritakse koolialgebra kursusel. Selles artiklis käsitletakse üksikasjalikult küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa.

Mis see progress on?

Enne küsimuse (kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa) käsitlemist tasub aru saada, millest arutatakse.

Igasugust reaalarvude jada, mis saadakse igast eelnevast arvust mingi väärtuse liitmisel (lahutamisel), nimetatakse algebraliseks (aritmeetiliseks) progressiooniks. See matemaatika keelde tõlgitud määratlus on järgmine:

Siin i on seeria a i elemendi järgarv. Seega, teades ainult ühte algnumbrit, saate hõlpsalt taastada kogu seeria. Valemis olevat parameetrit d nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

On lihtne näidata, et vaadeldava arvu jada puhul kehtib järgmine võrdsus:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

See tähendab, et järjekorras n-nda elemendi väärtuse leidmiseks lisage vahe d esimesele elemendile a 1 n-1 korda.

Mis on aritmeetilise progressiooni summa: valem

Enne näidatud summa valemi andmist tasub kaaluda lihtsat erijuhtumit. Arvestades naturaalarvude progresseerumist 1-st 10-ni, peate leidma nende summa. Kuna progressioonis (10) on vähe liikmeid, on võimalik ülesannet otsekohe lahendada ehk kõik elemendid järjestikku summeerida.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Tasub kaaluda üht huvitavat asja: kuna iga liige erineb järgmisest sama väärtusega d \u003d 1, siis esimese paarikaupa liitmine kümnendaga, teine ​​üheksandaga jne annab sama tulemuse. . Tõesti:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Nagu näete, on neid summasid ainult 5, see tähendab täpselt kaks korda vähem kui seeria elementide arv. Seejärel korrutades summade arvu (5) iga summa tulemusega (11), jõuate esimeses näites saadud tulemuseni.

Kui me need argumendid üldistame, saame kirjutada järgmise avaldise:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

See avaldis näitab, et kõiki reas olevaid elemente pole üldse vaja summeerida, piisab esimese a 1 ja viimase a n väärtuse teadmisest ning ka koguarv terminid n.

Arvatakse, et Gauss mõtles sellele võrdsusele esmakordselt, kui otsis lahendust oma kooliõpetaja püstitatud ülesandele: summeerida esimesed 100 täisarvu.

Elementide summa m-st n-ni: valem

Eelmises lõigus toodud valem vastab küsimusele, kuidas leida aritmeetilise progressiooni (esimeste elementide) summat, kuid sageli on ülesannetes vaja summeerida arvjada progressiooni keskel. Kuidas seda teha?

Lihtsaim viis sellele küsimusele vastata on vaadeldes järgmist näidet: olgu vaja leida liikmete summa m-st n-ndani. Ülesande lahendamiseks on vaja esitada progressi antud segment m-st n-ni uue kujul numbriseeria. Sellises esindus m-nda liige a m on esimene ja a n nummerdatakse n-(m-1). Sel juhul saadakse summa standardvalemit kasutades järgmine avaldis:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Näide valemite kasutamisest

Teades, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat, tasub kaaluda lihtsat näidet ülaltoodud valemite kasutamisest.

Allpool on numbriline jada, peaksite leidma selle liikmete summa, alustades 5-ndast ja lõpetades 12-ndaga:

Antud numbrid näitavad, et erinevus d on võrdne 3-ga. Kasutades n-nda elemendi avaldist, leiate progressiooni 5. ja 12. liikme väärtused. Selgub:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Teades vaadeldava algebralise progressiooni otstes olevate arvude väärtusi ja teades ka, milliseid numbreid seerias need hõivavad, saate kasutada eelmises lõigus saadud summa valemit. Hankige:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Väärib märkimist, et selle väärtuse võib saada erinevalt: esiteks leidke standardvalemi abil esimese 12 elemendi summa, seejärel arvutage sama valemi abil esimese 4 elemendi summa ja lahutage seejärel esimesest summast teine. .